EQUAÇÕES DE MAXUEL E MAGNETISMO DA MATÉRIA

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO – UEMA 
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
DISCIPLINA: ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
PROFESSOR: UBIRACI SILVA NASCIMENTO 
 
 01 / AGO / 21 
 
MATEUS LEITE LUNA – Código: 201626289 
ROSIANE AZEVEDO COSTA – Código: 20190151174 
HEVILIN GLÓRIA SANTOS FERREIRA – Código: 
LEIDE BARBARA GOMES AMORIM – Código: 
EDILSON DA CONCEIÇÃO ROCHA JUNIOR – Código: 20190151049 
PEDRO LUCAS MOTA PINHEIRO – Código: 2017161969 
RODRIGO ANDERSON PINHEIRO DA TRINDADE – Código: 20190085838 
THIAGO JOSÉ LEITE MATOS – Código: 20190151030 
MATHEUS DE OLIVEIRA GOMES – Código: 20180013610 
 
 
RESUMO 
EQUAÇÕES DE MAXWELL E MAGNETISMO DA MATÉRIA 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Ao longo do curso de Física 3, estudamos quatro equações que, juntas, 
representam a descrição do comportamento de campos elétricos e magnéticos. 
Estas equações podem ser escritas tanto em forma local, também chamada de 
forma diferencial, ou num formato distribuído ao longo de superfícies e volumes, 
também chamado de forma integral. 
 Em nossos estudos, o foco sempre se deu na maioria das vezes no 
comportamento dos campos eletromagnéticos em vácuo. 
 Vamos revisitar, rapidamente, as quatro equações do eletromagnetismo, vistas 
até agora. 
 
 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 As equações de Maxwell firmam-se nas teorias de Gauss, Ampére e Faraday 
para fundamentar o eletromagnetismo, relacionando o campo elétrico e o campo 
magnético. Veja em que consiste cada uma das leis: 
 
2.1 LEIS DE GAUSS 
2.1.1 Lei de Gauss para a eletricidade 
 É a primeira das quatro equações de Maxwell e recebe esse nome em 
 2 
 
 
homenagem ao seu criador, o físico “Carl Friederick Gauss”. Ela estabelece a 
relação entre carga elétrica e campo elétrico, podendo ser enunciada da seguinte 
forma: 
“O fluxo do campo elétrico 
através de uma superfície 
fechada no vácuo é igual à 
soma das cargas internas à 
superfície dividida pela 
permissividade elétrica do 
vácuo”. 
 
2.1.2 Lei de Gauss para o magnetismo 
“O fluxo magnético resultante no interior 
de uma superfície fechada é zero” 
 
 Essa lei evidencia a impossibilidade de existência 
de monopolos magnéticos, ou seja, não existe polo 
sul ou polo norte isolado. Além disso, afirma que as 
linhas de campo magnético são contínuas, ao 
contrário das linhas de campo elétrico que se iniciam 
nas cargas positivas e terminam nas cargas 
negativas. 
 
2.2 LEI DE AMPÉRE 
 A Lei de Ampére é assim denominada em homenagem a “André Marie 
Ampére”, essa lei relaciona o campo magnético com o movimento de cargas 
elétricas ou corrente elétrica: 
“Uma corrente elétrica de 
intensidade i ou a variação de 
fluxo do campo elétrico podem 
dar origem a um campo 
magnético.” 
 
2.3 LEI DE FARADAY 
 A Lei de Faraday estabelece a relação entre campo magnético e elétrico. 
“A variação do fluxo do campo magnético 
gera um campo elétrico.” 
 É obtida inicialmente através de experimentos com indução e pelo conceito das 
linhas de forças. 
 
 
𝐸 . 𝑑𝐴 = 
𝑄
𝜀0
 
LEI DE GAUSS 
 
𝑬 = vetor do campo elétrico 
ε0 = constante de 
 permissividade elétrica no 
 vácuo 
Φ = fluxo elétrico resultante 
q = carga elétrica envolvida 
0 
𝐵 . 𝑑𝐴 = 0 
LEI DE GAUSS EM 
CAMPOS MAGNÉTICOS 
 
𝑩 = vetor do campo 
magnético 
𝐵 . 𝑑𝑙 = µ0𝑖 
LEI DE AMPÉRE 
 
0 
µ0 = permeabilidade 
 magnética do vácuo 
 
µ0 = 4π . 10-7 
𝑵
𝑨𝟐
 
𝐸. 𝑑𝑙 = −
а𝐵
а𝑡
. 𝑑𝐴 
LEI DE FARADAY 
 Nesta equação ao lado, temos do lado esquerdo 
uma integral de linha, calculada numa curva 
fechada; do lado direito temos uma integral de 
superfície, calculada na superfície delimitada pela 
curva da integral de linha. 
 
 
 
 
 
2.4 EQUAÇÕES DE MAXWELL
2.4.1 Lei da Indução de Maxwell
 Uma contribuição importante de Maxwell foi escrever os resultados de Faraday, 
descritos em termos de linhas de força, em termos dos operadores diferenciais de 
divergente e racional. Da Lei de Indução de Faraday, sabemos que uma variação 
no fluxo do campo magnético gera um campo elétrico
análogo: uma variação no campo elétrico para o campo magnético, esse resultado 
é conhecido como “Lei da Indução de Maxwell
 Por outro lado, a Lei de Ampére deduzida para correntes constantes, dizia que
 . Vejamos
 
2.4.2 Lei de Ampére-Maxwell
 Tendo que a Lei de Ampére, deduzida para 
 , e comparando
 
 
 
 
 
 Podemos combinar essas duas equações, e, assim, chegar à 
Maxwell”: 
 
3. MAGNETISMO DA MATÉRIA
 Todas as substâncias sejam elas sólidas, ou líquidas, ou gasosas, mostram 
alguma característica magnética, em todas as 
LEI DA INDUÇÃO DE MAXWELL
𝐵. 𝑑𝑙 = µ0𝑖 
𝐵. 𝑑𝑙 = µ0𝑖 
0 
0 
= µ0𝜀0 
𝑑𝜙𝐸
𝑑𝑡
 = µ0𝜀
são iguais. Na primeira equação supomos “
Maxwell encontrou o efeito da indução caso ocorra variação no fluxo do campo 
elétrico. 
𝐵
0 0 0 
Pode-se observar que, se o campo magnético 
caso, 
а ⃗
а
 = 0, e nenhum campo magnético será induzido, conforme verificado os 
experimentos. 
QUAÇÕES DE MAXWELL 
Lei da Indução de Maxwell 
Uma contribuição importante de Maxwell foi escrever os resultados de Faraday, 
descritos em termos de linhas de força, em termos dos operadores diferenciais de 
Da Lei de Indução de Faraday, sabemos que uma variação 
ampo magnético gera um campo elétrico. Maxwell provou um resultado 
uma variação no campo elétrico para o campo magnético, esse resultado 
Lei da Indução de Maxwell”. 
 
Por outro lado, a Lei de Ampére deduzida para correntes constantes, dizia que
. Vejamos a seguir: 
Maxwell 
Lei de Ampére, deduzida para correntes constantes
, e comparando-a com a Lei da Indução de Maxwell:
Podemos combinar essas duas equações, e, assim, chegar à “
 
 
 
 
MAGNETISMO DA MATÉRIA 
Todas as substâncias sejam elas sólidas, ou líquidas, ou gasosas, mostram 
alguma característica magnética, em todas as temperaturas. Dessa forma, o 
𝐵. 𝑑𝑙 = µ0𝜀0 
𝑑𝜙𝐸
𝑑𝑡
 
LEI DA INDUÇÃO DE MAXWELL 
0 0 
𝜀0 
𝑑
𝑑𝑡
 [ �⃗� . 𝑑𝐴 ] . Observe que, os lados esquerdos 
primeira equação supomos “i” estacionária, e, na segunda equação, 
Maxwell encontrou o efeito da indução caso ocorra variação no fluxo do campo 
𝐵. 𝑑𝑙 = µ0𝑖 + µ0𝜀0 
𝑑
𝑑𝑡
 [ 𝐸. 𝑑𝐴 ] 
LEI DE AMPÉRE-MAXWELL 
0 
0 0 0 
que, se o campo magnético 𝐵 fosse constante, teríamos, neste 
= 0, e nenhum campo magnético será induzido, conforme verificado os 
 3 
 
Uma contribuição importante de Maxwell foi escrever os resultados de Faraday, 
descritos em termos de linhas de força, em termos dos operadores diferenciais de 
Da Lei de Indução de Faraday, sabemos que uma variação 
Maxwell provou um resultado 
uma variação no campo elétrico para o campo magnético, esse resultado 
Por outro lado, a Lei de Ampére deduzida para correntes constantes, dizia que 
correntes constantes, afirma que 
: 
“Lei de Ampére-
Todas as substâncias sejam elas sólidas, ou líquidas, ou gasosas, mostram 
Dessa forma, o 
𝐵. 𝑑𝐴 = 
Observe que, os lados esquerdos 
” estacionária, e, na segunda equação, 
Maxwell encontrou o efeito da indução caso ocorra variação no fluxo do campo 
fosse constante, teríamos, neste 
= 0, e nenhum campo magnético será induzido, conforme verificado os 
 4 
 
 
magnetismo é uma propriedade básica de qualquer material, e é uma propriedade 
cuja natureza é de origem elétrica, e está relacionada com uma carga em 
movimento. 
 As propriedades magnéticas têm sua carga de origem na estrutura dos átomos. 
Do ponto de vista clássico, são de dois tipos de movimentos associados ao elétron 
que podem explicar a origem dos momentos magnéticos: o momento angular orbital 
e o momento angular do “spin” do elétron. Alguns materiais apresentam a 
capacidade de atração e repulsão entre eles, istopode estar relacionado às 
propriedades magnéticas. 
 
3.1 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS 
3.1.1 Materiais diamagnéticos 
 São materiais que, quando colocados na presença de um campo magnético 
externo, a resultante da densidade de fluxo magnético é fortemente reduzida e os 
momentos magnéticos criados no interior do material alinham-se em oposição ao 
campo magnético externo, o que causa a sua mútua repulsão. São materiais em 
que a susceptibilidade magnética é χm < 0. 
 São exemplos deste tipo de materiais, o cobre, a prata e o ouro. 
 
3.1.2 Materiais paramagnéticos 
 São materiais que, quando colocados na presença de um campo magnético 
externo, os momentos magnéticos do material são alinhados com o campo externo, 
e o fluxo de campo magnético dentro do material é aumentado. Estes tipos de 
materiais são ligeiramente atraídos por campos magnéticos externos. São materiais 
em que a susceptibilidade magnética é χm > 0. 
 São exemplos deste tipo de materiais, o magnésio, o molibdénio e o lítio. 
 
3.1.3 Materiais ferromagnéticos 
 São materiais fortemente paramagnéticos que, quando submetidos a um campo 
magnético externo, a densidade de fluxo magnético é aumentada de uma forma 
muito intensa. São materiais fortemente atraídos por campos magnéticos externos. 
São materiais em que a susceptibilidade magnética é χm >>> 0. 
 São exemplos deste tipo de materiais, o ferro, o níquel e o cobalto. 
 
 
 5 
 
 
4. CONCLUSÃO 
 Incluindo as correções de Maxwell, as quatro equações do eletromagnetismo 
em vácuo são: 
 PELA FORMA INTEGRAL 
 
 
 
 
 
 
 
 PELA FORMA LOCAL (OU DIFERENCIAL) 
 
 
 
 
 
 
 Esse conjunto de equações permitiu que Maxwell deduzisse uma equação para 
as ondas eletromagnéticas e, a partir de uma analogia com as ondas mecânicas, 
chegasse à expressão para a velocidade dessas ondas: 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste resumo estudamos sobre magnetismo da matéria bem como as 
propriedades magnéticas que são divididas como: Materiais Diamagnéticos, 
exemplo: cobre, prata e ouro; Materiais Paramagnéticos, exemplo: magnésio, 
molibdênio e lítio; e Materiais Ferromagnéticos, exemplo deste são: o ferro, o 
níquel e o cobalto. 
Sendo: 
 μ - permeabilidade magnética do meio; 
 ε - permissividade elétrica do meio. 
 Quando utilizamos os valores de μ e ε para o vácuo, obtemos a velocidade das 
ondas eletromagnéticas no vácuo, que é igual à velocidade da luz: 
C = 3 . 108 m/s. Essa descoberta levou Maxwell a acreditar que a luz seria uma 
onda eletromagnética, o que só foi provado anos mais tarde. 
�⃗� . 𝑑𝐴 = 
𝑄
𝜀0
 
LEI DE GAUSS NA ELETRICIDADE 
 
𝐵 . 𝑑𝐴 = 0 
LEI DE GAUSS NO MAGNETISMO 
 
0 
�⃗�. 𝑑𝑙 = − 
𝑑
𝑑𝑡
 [ 𝐵. 𝑑𝐴 ] 
LEI DE FARADAY 
𝐵. 𝑑𝑙 = µ0𝑖 + µ0𝜀0 
𝑑
𝑑𝑡
 [ �⃗�. 𝑑𝐴 ] 
LEI DE AMPÉRE-MAXWELL 
0 0 0 
𝛻. �⃗� = 
𝜌
𝜀0
 
LEI DE GAUSS NA ELETRICIDADE 
 
𝛻. 𝐵 = 0 
LEI DE GAUSS NO MAGNETISMO 
 
𝛻𝑥�⃗� = − 
а𝐵
а𝑡
 
LEI DE FARADAY 
𝛻𝑥𝐵 = µ0𝚥 + 𝜀0µ0 
а�⃗�
а𝑡
 
LEI DE AMPÉRE-MAXWELL 
0 
0 0 0 
 6 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 HALLIDAY, David. Fundamentos de Física, Volume 3: Eletromagnetismo. 
David Halliday; Robert Resnick; Jearl Walker. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. 
– 10ª Ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
 
 https://www.preparaenem.com/fisica/equacoes-maxwell-para-
eletromagnetismo.htm. < Acesso em: 28/07/21 > 
 
 https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/14463/14463_2.PDF. <Acesso em: 30/07/21> 
 
 https://www.ctborracha.com/borracha-sintese-historica/propriedades-das-
borrachas-vulcanizadas/propriedades-fisicas/propriedades-magneticas/ 
 <Acesso em: 30/07/21>