Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
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dydy y\uf065\uf02d elemento deformado Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares xyxy t\uf067 \uf0b5 yxt xyt elemento deformado 1\uf067 2\uf067 21 \uf067\uf067\uf067 \uf02b\uf03dxy dx x y dy elemento indeformado Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: xsxs \u201cAs tensões são proporcionais às deformações até um certo limite\u201d dx x y dy elemento indeformado dxdx x\uf065\uf02b dydy y\uf065\uf02d elemento deformado Constantes de Proporcionalidade: E x x s \uf065 \uf03d E x zy s\uf06e\uf065\uf065 \uf02d\uf03d\uf03d E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal \uf06e: Coeficiente de Poisson Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: \u201cAs tensões são proporcionais às deformações até um certo limite\u201d yxt xyt elemento deformado 1\uf067 2\uf067 21 \uf067\uf067\uf067 \uf02b\uf03dxy dx x y dy elemento indeformado Constantes de Proporcionalidade: G xy xy t \uf067 \uf03d G: Módulo de Deformação Transversal Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Constantes de Proporcionalidade: \u201cAs tensões são proporcionais às deformações até um certo limite\u201d E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): \u201cAs tensões são proporcionais às deformações até um certo limite\u201d \u201cSe é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se- paradamente\u201d Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz \uf028 \uf029zyxx EE ss\uf06es\uf065 \uf02b\uf02d\uf03d Utilizando o PSE, as somas das defor- mações decorrentes de cada componen- te de tensão, no ca- so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão: \uf028 \uf029xz y y EE ss\uf06e s \uf065 \uf02b\uf02d\uf03d \uf028 \uf029yxzz EE ss\uf06es\uf065 \uf02b\uf02d\uf03d G xy xy t \uf067 \uf03d G yz yz t \uf067 \uf03d G zx zx t \uf067 \uf03d Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz \uf028 \uf029\uf0fa \uf0fb \uf0f9 \uf0ea \uf0eb \uf0e9 \uf02b \uf02d \uf02b\uf03d zy x x \uf065\uf065\uf06e\uf06e \uf065\uf06cs 1 1 Resolvendo para obter as tensões : xyxy G\uf067t \uf03d \uf028 \uf029\uf0fa \uf0fb \uf0f9 \uf0ea \uf0eb \uf0e9 \uf02b \uf02d \uf02b\uf03d xz y y \uf065\uf065\uf06e\uf06e \uf065 \uf06cs 1 1 \uf028 \uf029\uf0fa \uf0fb \uf0f9 \uf0ea \uf0eb \uf0e9 \uf02b \uf02d \uf02b\uf03d yx z z \uf065\uf065\uf06e\uf06e \uf065\uf06cs 1 1 yzyz G\uf067t \uf03d zxzx G\uf067t \uf03d \uf028 \uf029\uf028 \uf029\uf06e\uf06e \uf06e\uf06c 211 \uf02d\uf02b \uf03d E \uf06c e G são as Constantes de Lamé Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Simples de Tensão xs x y dx dy x\uf065 z\uf065 y\uf065 x y z dx dy dz Estado Triplo de Deformação A um estado simples de tensão corresponde um estado triplo de deformação E E x zy x x \uf06es \uf065\uf065 s \uf065 \uf02d\uf03d\uf03d \uf03d Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Simples de Deformação x\uf065 x y dx dy xs zs ys x y z dx dy dz Estado Triplo de Tensão A um estado simples de deformação corresponde um estado triplo de tensão \uf028 \uf029\uf06e \uf06c\uf065 ss \uf06e \uf06c\uf065 s \uf02d \uf03d\uf03d \uf03d 1 x zy x x Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam TRABALHO. KUW \uf02b\uf03d onde W é o trabalho realizado pelos esforços, U é a energia potencial do corpo deformado e K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo. 0\uf03dK Como os esforços são aplicados lentamente, e .UW \uf03d Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. wkN z\uf03d 2 2w kwdwkU z w zN \uf03d\uf03d \uf0f2 dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 2 Nw UN \uf03d\uf05c wdwkdU zN \uf03d\uf0de Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w. dwdNdU . 2 1 \uf03d 2 Nw U N \uf03d é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo de deformação. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw. dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w. dwdNdU . 2 1 \uf03d \uf028 \uf029\uf028 \uf029dzdAdU zz \uf065s . 2 1 \uf03d zz dV dU \uf065s 2 1 \uf03d\uf05c xs x\uf065 dV dU Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Como a energia é uma grandeza escalar, \uf028 \uf029zxzxyzyzxyxyzzyyxx dV dU \uf067t\uf067t\uf067t\uf065s\uf065s\uf065s \uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d 2 1 é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se: xyt yxt x y dx dy 45s 45t 0 2 2 2 2 20 45 \uf03d\uf0f7 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf02d\uf05c\uf03d\uf0e5 dAdAF xyn ts \uf05c xyts \uf03d45 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 45 \uf03d\uf0f7 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf02d\uf0f7 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf02b\uf05c\uf03d\uf0e5 dAdAdAF xyxyt ttt \uf05c 045 \uf03dt dA 2 2 dA Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º): xyt yxt x y dx dy 45\uf02ds 45\uf02dt xyts \uf02d\uf03d\uf02d45 e 045 \uf03d\uf02dt Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão: