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dydy y elemento deformado Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares xyxy t yxt xyt elemento deformado 1 2 21 xy dx x y dy elemento indeformado Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: xsxs “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” dx x y dy elemento indeformado dxdx x dydy y elemento deformado Constantes de Proporcionalidade: E x x s E x zy s E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal : Coeficiente de Poisson Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” yxt xyt elemento deformado 1 2 21 xy dx x y dy elemento indeformado Constantes de Proporcionalidade: G xy xy t G: Módulo de Deformação Transversal Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Constantes de Proporcionalidade: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” “Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se- paradamente” Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz zyxx EE sss Utilizando o PSE, as somas das defor- mações decorrentes de cada componen- te de tensão, no ca- so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão: xz y y EE ss s yxzz EE sss G xy xy t G yz yz t G zx zx t Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz zy x x s 1 1 Resolvendo para obter as tensões : xyxy Gt xz y y s 1 1 yx z z s 1 1 yzyz Gt zxzx Gt 211 E e G são as Constantes de Lamé Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Simples de Tensão xs x y dx dy x z y x y z dx dy dz Estado Triplo de Deformação A um estado simples de tensão corresponde um estado triplo de deformação E E x zy x x s s Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Simples de Deformação x x y dx dy xs zs ys x y z dx dy dz Estado Triplo de Tensão A um estado simples de deformação corresponde um estado triplo de tensão ss s 1 x zy x x Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam TRABALHO. KUW onde W é o trabalho realizado pelos esforços, U é a energia potencial do corpo deformado e K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo. 0K Como os esforços são aplicados lentamente, e .UW Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. wkN z 2 2w kwdwkU z w zN dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 2 Nw UN wdwkdU zN Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w. dwdNdU . 2 1 2 Nw U N é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo de deformação. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw. dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w. dwdNdU . 2 1 dzdAdU zz s . 2 1 zz dV dU s 2 1 xs x dV dU Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Como a energia é uma grandeza escalar, zxzxyzyzxyxyzzyyxx dV dU tttsss 2 1 é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se: xyt yxt x y dx dy 45s 45t 0 2 2 2 2 20 45 dAdAF xyn ts xyts 45 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 45 dAdAdAF xyxyt ttt 045 t dA 2 2 dA Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º): xyt yxt x y dx dy 45s 45t xyts 45 e 045 t Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão: