A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
65 pág.
Aula 03 de Resistência I - Esforços 2

Pré-visualização | Página 4 de 5

dydy y
elemento deformado 
Às tensões tangenciais correspondem 
deformações angulares 
xyxy t 
yxt
xyt
elemento deformado 
1
2
21  xy
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
xsxs
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
dxdx x
dydy y
elemento deformado 
Constantes de Proporcionalidade: 
E
x
x
s
 
E
x
zy
s 
E: Módulo de Young ou Módulo 
de Deformação Longitudinal 
: Coeficiente de Poisson 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
yxt
xyt
elemento deformado 
1
2
21  xy
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
Constantes de Proporcionalidade: 
G
xy
xy
t
 
G: Módulo de Deformação Transversal 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
Constantes de Proporcionalidade: 
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade 
Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke 
só é válida no regime elástico. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): 
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
“Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre 
um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-
paradamente” 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei Generalizada de Hooke: 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
 zyxx
EE
sss 
Utilizando o PSE, 
as somas das defor-
mações decorrentes 
de cada componen-
te de tensão, no ca-
so geral de Estado 
de Tensão em um 
ponto, serão: 
 xz
y
y
EE
ss
s
 
 yxzz
EE
sss 
G
xy
xy
t
 
G
yz
yz
t
 
G
zx
zx
t
 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei Generalizada de Hooke: 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
 







 zy
x
x 
s
1
1
Resolvendo para obter as tensões : 
xyxy Gt 
 







 xz
y
y 

s
1
1
 







 yx
z
z 
s
1
1
yzyz Gt 
zxzx Gt 
  

211 

E
 e G são as 
Constantes de Lamé 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Observações: 
Estado Simples 
de Tensão 
xs
x
y
dx
dy
x
z
y
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo de 
Deformação 
A um estado simples de 
tensão corresponde um 
estado triplo de deformação 
E
E
x
zy
x
x
s

s



Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Observações: 
Estado Simples 
de Deformação 
x
x
y
dx
dy
xs
zs
ys
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo de 
Tensão 
A um estado simples de 
deformação corresponde 
um estado triplo de tensão 
 

ss


s



1
x
zy
x
x
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam 
TRABALHO. 
KUW 
onde W é o trabalho realizado pelos esforços, 
 U é a energia potencial do corpo deformado e 
 K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo. 
0K
Como os esforços são aplicados lentamente, e 
.UW 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. 
O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. 
wkN z
2
2w
kwdwkU z
w
zN  
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 
2
Nw
UN 
wdwkdU zN 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. 
O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. 
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 
dwdNdU .
2
1

2
Nw
U N 
é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo 
de deformação. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. 
O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw. 
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 
dwdNdU .
2
1

  dzdAdU zz s .
2
1
 zz
dV
dU s
2
1
 
xs
x
dV
dU
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Como a energia é uma grandeza escalar, 
 zxzxyzyzxyxyzzyyxx
dV
dU tttsss 
2
1
é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento 
de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja o estado de cisalhamento puro. 
Em um plano inclinado de 45º, tem-se: 
xyt
yxt
x
y
dx
dy
45s
45t
0
2
2
2
2
20 45 







 dAdAF xyn ts

xyts 45
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0 45 















 dAdAdAF xyxyt ttt  045 t
dA
2
2
dA
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Repetindo o raciocínio para um plano 
perpendicular ao plano inclinado 
considerado (-45º): 
xyt
yxt
x
y
dx
dy
45s
45t
xyts 45
e 
045 t
Logo, são equivalentes os 
seguintes estados de tensão: