Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
65 pág.

Aula 03 de Resistência I - Esforços 2


DisciplinaMecânica dos Sólidos I4.020 materiais36.313 seguidores
Pré-visualização5 páginas
dydy y\uf065\uf02d
elemento deformado 
Às tensões tangenciais correspondem 
deformações angulares 
xyxy t\uf067 \uf0b5
yxt
xyt
elemento deformado 
1\uf067
2\uf067
21 \uf067\uf067\uf067 \uf02b\uf03dxy
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
xsxs
\u201cAs tensões são proporcionais às deformações até um certo limite\u201d 
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
dxdx x\uf065\uf02b
dydy y\uf065\uf02d
elemento deformado 
Constantes de Proporcionalidade: 
E
x
x
s
\uf065 \uf03d
E
x
zy
s\uf06e\uf065\uf065 \uf02d\uf03d\uf03d
E: Módulo de Young ou Módulo 
de Deformação Longitudinal 
\uf06e: Coeficiente de Poisson 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
\u201cAs tensões são proporcionais às deformações até um certo limite\u201d 
yxt
xyt
elemento deformado 
1\uf067
2\uf067
21 \uf067\uf067\uf067 \uf02b\uf03dxy
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
Constantes de Proporcionalidade: 
G
xy
xy
t
\uf067 \uf03d
G: Módulo de Deformação Transversal 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
Constantes de Proporcionalidade: 
\u201cAs tensões são proporcionais às deformações até um certo limite\u201d 
E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade 
Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke 
só é válida no regime elástico. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): 
\u201cAs tensões são proporcionais às deformações até um certo limite\u201d 
\u201cSe é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre 
um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-
paradamente\u201d 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei Generalizada de Hooke: 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
\uf028 \uf029zyxx
EE
ss\uf06es\uf065 \uf02b\uf02d\uf03d
Utilizando o PSE, 
as somas das defor-
mações decorrentes 
de cada componen-
te de tensão, no ca-
so geral de Estado 
de Tensão em um 
ponto, serão: 
\uf028 \uf029xz
y
y
EE
ss\uf06e
s
\uf065 \uf02b\uf02d\uf03d
\uf028 \uf029yxzz
EE
ss\uf06es\uf065 \uf02b\uf02d\uf03d
G
xy
xy
t
\uf067 \uf03d
G
yz
yz
t
\uf067 \uf03d
G
zx
zx
t
\uf067 \uf03d
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei Generalizada de Hooke: 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
\uf028 \uf029\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02b
\uf02d
\uf02b\uf03d zy
x
x \uf065\uf065\uf06e\uf06e
\uf065\uf06cs
1
1
Resolvendo para obter as tensões : 
xyxy G\uf067t \uf03d
\uf028 \uf029\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02b
\uf02d
\uf02b\uf03d xz
y
y \uf065\uf065\uf06e\uf06e
\uf065
\uf06cs
1
1
\uf028 \uf029\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02b
\uf02d
\uf02b\uf03d yx
z
z \uf065\uf065\uf06e\uf06e
\uf065\uf06cs
1
1
yzyz G\uf067t \uf03d
zxzx G\uf067t \uf03d
\uf028 \uf029\uf028 \uf029\uf06e\uf06e
\uf06e\uf06c
211 \uf02d\uf02b
\uf03d
E
\uf06c e G são as 
Constantes de Lamé 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Observações: 
Estado Simples 
de Tensão 
xs
x
y
dx
dy
x\uf065
z\uf065
y\uf065
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo de 
Deformação 
A um estado simples de 
tensão corresponde um 
estado triplo de deformação 
E
E
x
zy
x
x
\uf06es
\uf065\uf065
s
\uf065
\uf02d\uf03d\uf03d
\uf03d
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Observações: 
Estado Simples 
de Deformação 
x\uf065
x
y
dx
dy
xs
zs
ys
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo de 
Tensão 
A um estado simples de 
deformação corresponde 
um estado triplo de tensão 
\uf028 \uf029\uf06e
\uf06c\uf065
ss
\uf06e
\uf06c\uf065
s
\uf02d
\uf03d\uf03d
\uf03d
1
x
zy
x
x
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam 
TRABALHO. 
KUW \uf02b\uf03d
onde W é o trabalho realizado pelos esforços, 
 U é a energia potencial do corpo deformado e 
 K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo. 
0\uf03dK
Como os esforços são aplicados lentamente, e 
.UW \uf03d
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. 
O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. 
wkN z\uf03d
2
2w
kwdwkU z
w
zN \uf03d\uf03d \uf0f2
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 
2
Nw
UN \uf03d\uf05c
wdwkdU zN \uf03d\uf0de
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. 
O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. 
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 
dwdNdU .
2
1
\uf03d
2
Nw
U N \uf03d
é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo 
de deformação. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. 
O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw. 
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 
dwdNdU .
2
1
\uf03d
\uf028 \uf029\uf028 \uf029dzdAdU zz \uf065s .
2
1
\uf03d zz
dV
dU \uf065s
2
1
 \uf03d\uf05c
xs
x\uf065
dV
dU
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Como a energia é uma grandeza escalar, 
\uf028 \uf029zxzxyzyzxyxyzzyyxx
dV
dU \uf067t\uf067t\uf067t\uf065s\uf065s\uf065s \uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d
2
1
é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento 
de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja o estado de cisalhamento puro. 
Em um plano inclinado de 45º, tem-se: 
xyt
yxt
x
y
dx
dy
45s
45t
0
2
2
2
2
20 45 \uf03d\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf05c\uf03d\uf0e5 dAdAF xyn ts
\uf05c
xyts \uf03d45
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0 45 \uf03d\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b\uf05c\uf03d\uf0e5 dAdAdAF xyxyt ttt \uf05c 045 \uf03dt
dA
2
2
dA
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Repetindo o raciocínio para um plano 
perpendicular ao plano inclinado 
considerado (-45º): 
xyt
yxt
x
y
dx
dy
45\uf02ds
45\uf02dt
xyts \uf02d\uf03d\uf02d45
e 
045 \uf03d\uf02dt
Logo, são equivalentes os 
seguintes estados de tensão: