Aula 07 de Resistência I - Flexão Pura

x
txT
máx
W
M
W
M
I
xM
I
yM
\uf02b\uf03d\uf02d\uf03d\uf073
\uf071 
\uf062 
LN 
yc
y
xc
x
y
cy
x
cxC
máx
W
M
W
M
I
xM
I
yM
\uf02b\uf03d\uf02d\uf03d\uf073
onde 
t
x
xt
y
I
W \uf03d
t
y
yt
x
I
W \uf03d
c
y
yc
x
I
W \uf03d
c
x
xc
y
I
W \uf03d
x
y M
\uf071 
\uf062 
LN 
A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
22
yx MMM \uf02b\uf03d
\uf071 
\uf062 
LN 
yt
y
xt
xT
máx
W
M
W
M
\uf02b\uf03d\uf073
yc
y
xc
xC
máx
W
M
W
M
\uf02b\uf03d\uf073
y
y
x
x
EI
xM
EI
yM
\uf02d\uf03dz\uf065
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf02d\uf03d\uf03d
y
y
x
x
y
EI
xM
EI
yM\uf06e\uf065\uf065x
W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Seção 
EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Seção 
x
y M
\uf071 
\uf062 
LN 
A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
22
yx MMM \uf02b\uf03d
\uf071 
\uf062 
LN x
y M
\uf071 
\uf062 
LN 
A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
,sen e cos Se \uf071\uf071 MMMM yx \uf03d\uf03d
tytxtyt
y
xt
xT
máx
W
M
WW
M
W
M
W
M
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d
\uf071\uf071\uf073 sencos
cycxcyc
y
xc
xC
máx
W
M
WW
M
W
M
W
M
\uf03d
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02b\uf03d\uf02b\uf03d
\uf071\uf071\uf073 sencos
onde 
ctiWWW yixii , ,sencos1 \uf03d\uf02b\uf03d \uf071\uf071
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cálculo dos Deslocamentos 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
xddz \uf071\uf072 \uf03d
eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071x 
\uf072 
y \uf028 \uf029 2
3
21
1
v
v
\uf0a2\uf02b
\uf0a2\uf0a2
\uf03d
\uf072
Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
(equação da curvatura) 
xM
S
v
vx \uf0a2\uf03d\uf071
z
x
xx
EI
M
dz
d
\uf03d\uf03d\uf05c
\uf071
\uf072
 
1
 
II.3. Flexão Pura de Barras 
\uf028 \uf029:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
xddz \uf071\uf072 \uf03d
\uf028 \uf029 2
3
21
1
v
v
\uf0a2\uf02b
\uf0a2\uf0a2
\uf03d
\uf072
Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
xx
EI
M
dz
d
\uf03d\uf03d\uf05c
\uf071
\uf072
 
1
 
(equação da curvatura) 
xM
S
vz
vx \uf0a2\uf03d\uf071
Como 
1\uf03c\uf03cx\uf071
(hipótese das pequenas deformações), 
x
x
EI
M
dz
vd
v 
1
2
2
\uf03d\uf03d\uf0a2\uf0a2\uf03d
\uf072
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
\uf028 \uf029:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2
\uf03d
Equação Diferencial 
da Linha Elástica (LE) 
Integrando esta equação, 
1 Cdz
EI
M
dz
dv
x
x
x \uf02b\uf03d\uf03d \uf0f2\uf071
(expressão da rotação) 
21 CzCdz
EI
M
v
x
x \uf02b\uf02b\uf03d \uf0f2\uf0f2
(expressão da flecha) 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
\uf028 \uf029:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
1 Cdz
EI
M
x
x
x \uf02b\uf03d \uf0f2\uf071
21 CzCdz
EI
M
v
x
x \uf02b\uf02b\uf03d \uf0f2\uf0f2
As constantes de integração 
são determinadas a partir de: 
a) condições de apoio; 
b) condições de continuidade da LE 
Observação importante: 
Não se deve utilizar condições 
relacionadas ao carregamento; não são 
gerais para a viga e sim particulares para 
aquele carregamento específico. 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
\uf028 \uf029:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
1 Cdz
EI
M
x
x
x \uf02b\uf03d \uf0f2\uf071
21 CzCdz
EI
M
v
x
x \uf02b\uf02b\uf03d \uf0f2\uf0f2
2
22
z
q
z
qL
M x \uf02b
\uf02d
\uf03d
Exemplos: 
q
L
S
z
a) 
2qL2qL Condições de apoio: 
e 0 ,0 em \uf03d\uf03d vz
. 0 , em \uf03d\uf03d vLz
Substituindo-se a expressão de 
Mx e as condições de apoio nas 
expressões da rotação e da 
flecha, determina-se C1 e C2. 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
\uf028 \uf029:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
Exemplos: 
\uf05b \uf05d20 ,
21
Lzz
P
M
Sx
\uf0a3\uf0a3
\uf02d
\uf03d
P
2L
1S
z
b) 
2P2P
2S
2L
z
\uf05b \uf05dLzLPLzPM
Sx
\uf0a3\uf0a3\uf02d\uf03d 2 ,
222
e 
1
1
1
 Cdz
EI
M
x
x
x
S
S
\uf02b\uf03d \uf0f2\uf071
21
1
1
 CzCdz
EI
M
v
x
x
S
S \uf02b\uf02b\uf03d \uf0f2\uf0f2
3
2
2
 Cdz
EI
M
x
x
x
S
S
\uf02b\uf03d \uf0f2\uf071
43
2
2
 CzCdz
EI
M
v
x
x
S
S \uf02b\uf02b\uf03d \uf0f2\uf0f2
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
\uf028 \uf029:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
Exemplos: 
P
2L
1S
z
b) 
2P2P
2S
2L
z
Condições de apoio: 
e 0 ,0 em \uf03d\uf03d vz
. 0 , em \uf03d\uf03d vLz
Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões 
da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3 e C4. 
Condições de continuidade da LE: 
e ,2 em
21S
x Sx
Lz \uf071\uf071 \uf03d\uf03d
. ,2 em
21 SS
vvLz \uf03d\uf03d
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
\uf028 \uf029:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
M M 
dz
 (variável) dw
y
y
EI
M
dz
ud \uf02d
\uf03d 
2
2 Equação Diferencial 
da Linha Elástica (LE) 
Integrando esta equação, 
1 Cdz
EI
M
dz
du
y
y
y \uf02b\uf02d\uf03d\uf03d \uf0f2\uf071
(expressão da rotação) 
21 CzCdz
EI
M
u
y
y
\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d \uf0f2\uf0f2
(expressão da flecha) 
dz
z
x
y
A
yMCálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
\uf028 \uf029:0 e 0 \uf0b9\uf03d yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
M M 
dz
 (variável) dw
y
y
EI
M
dz
ud \uf02d
\uf03d 
2
2
dz
du
y \uf03d\uf071
22
yx \uf071\uf071\uf071 \uf02b\uf03d
dz
z
x
y
A
M
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2
\uf03d
dz
dv
x \uf03d\uf071
22 vu \uf02b\uf03d\uf064
(expressão da rotação) 
(expressão da flecha) 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
\uf028 \uf029:0 e 0 \uf0b9\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
Convenção de Sinais: 
\uf028 \uf029zq
\uf028 \uf029zVy
\uf028 \uf029zM x
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029zdVzV yy \uf02b
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029zdMzM xx \uf02b
dz
0\uf03ev
0\uf03ex\uf071
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
Analogia de Mohr: 
2
2
dz
Md
q x\uf03d
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2
\uf03d
equação diferencial da LE 
equação fundamental da 
Estática 
Viga Real: Viga Conjugada: 
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2
\uf03d q
dz
Md x \uf03d
2
2
viga real viga conjugada 
v
xM
xdzdv \uf071\uf03d
yx VdzMd \uf03d
xx EIM q
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cálculo dos Deslocamentos 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Analogia de Mohr: 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
A viga conjugada é construída a partir das condições 
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) 
viga real : 
0\uf0b9x\uf071 0\uf0b9x\uf071
0\uf0b9yV
viga conjugada: 
0\uf03dxM
q
xx EIMq \uf03d
viga conjugada viga real 
v
xM
xdzdv \uf071\uf03d
yx VdzMd \uf03d
xx EIM q
q
0\uf03dx\uf071
0\uf03dv0\uf03dv 0\uf03dv
0\uf03dxM
0\uf0b9yV
0\uf0b9x\uf071
0\uf0b9v
0\uf03dyV
0\uf03dxM
0\uf0b9yV
0\uf0b9xM
xx EIMq \uf03d
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cálculo dos Deslocamentos 
Mecânica dos