Aula 07 de Resistência I - Flexão Pura

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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Aula 07 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
II.1. Introdução 
II.2. Tração e Compressão de Barras 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
xddz  
ydzdw z com varia:
dwdzAA' 

  xx yddzdyAA'  

xdydw  
dz
dθ
y
dz
dw x
z 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
dz
d
EyE xz
 z
Logo, 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
0 0   A
x
A
z dA
dz
d
EydAN

0 0   A
x
A
zy dA
dz
d
ExydAxM

O eixo de flexão x é central 
Os eixos x e y são principais 
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
0 0  xA SydA
0 0  xyA IxydA
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Flexão Reta: 
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
O momento resultante M = Mx 
atua segundo um eixo principal 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
  A
x
x
A
zx dA
dz
d
EyMdAyM
 2 
, Como z
dz
d
Ey x
 
x
x
I
yM
z
x
x
EI
yM
z
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
xx
x
x
x
A
x
x
EI
M
dz
d
I
dz
d
EMdAy
dz
d
EM  

 2
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
xM
z
y
z
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
z
x
SN: Superfície Neutra 
LN: Linha Neutra 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
x
I
yM
z
x
x
EI
yM
z
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. 
As tensões variam 
linearmente com y. 
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
x
x
I
yM
z
Resumindo: 
  0 0 xA z SdAN 
0y
Equação da LN 
  0A zy dAxM 
   dAyM A zx 
Flexão Reta (os eixos x e y são principais) 
x
x
EI
yM
z
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
0 xyI
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
xdzdw z com varia:
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dy 
 
x dz
dθ
x
dz
dw y
z 
dz
d
ExE
y
z

 z
M M 
dz
 (variável) dw
Analogamente, 
dz
z
x
y
A
yM
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dw
0 0   A
y
A
z dA
dz
d
ExdAN

0 0   A
y
A
zx dA
dz
d
ExydAyM

O eixo de flexão y é central 
Os eixos x e y são principais 
0 0  yA SxdA
0 0  xyA IxydA
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dy 
 
x 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dwFlexão Reta: 
O momento resultante M = My 
atua segundo um eixo principal 
dAxM
A
zy  
y
y
I
xM
z
y
y
EI
xM
z
 eixo da barra 
A A’ 
dz 
dy 
 
x 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dw
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dy 
 
x 
y
y
I
xM
z
y
y
EI
xM
z
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. 
As tensões variam 
linearmente com x. 
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão 
dz
yM
z
x
z
z
y
SN: Superfície Neutra 
LN: Linha Neutra 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dw
y
y
I
xM
z
Resumindo: 
  0 0 yA z SdAN 
0x
Equação da LN 
  0A zx dAyM 
   dAxM A zy 
Flexão Reta (os eixos x e y são principais) 
y
y
EI
xM
z
0 xyI
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Se o eixo de flexão não é um eixo 
principal, obtém-se, do PSE, 
22
yx MMM 
y
y
x
x
I
xM
I
yM
z
As tensões e as deformações 
variam linearmente com x e com y 
y
y
x
x
EI
xM
EI
yM
z









y
y
x
x
y
EI
xM
EI
yMx
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
22
yx MMM 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
Flexão Oblíqua: 
O momento resultante M não 
atua segundo um eixo principal 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Equação da LN: 
22
yx MMM 
 0z
y
y
x
x
I
xM
I
yM x
M
M
I
I
y
x
y
y
x
,sen e cos Se  MMMM yx 
x
y M
 
x
I
I
y
y
x








 tan
ou 
 xy tan
 
LN 
A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Tensões Máximas: 
22
yx MMM 
x
y M
 
 
LN 
y
y
x
x
I
xM
I
yM
z
é a equação de um plano que 
intercepta a seção na LN. 
Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos 
mais afastados da LN: A e B A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
tA xx 
tA yy 
cB xx 
cB yy 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Tensões Máximas: 
22
yx MMM 
yt
y
xt
x
y
tyx
txT
máx
W
M
W
M
I
xM
I
yM

 
 
LN 
yc
y
xc
x
y
cy
x
cxC
máx
W
M
W
M
I
xM
I
yM

onde 
t
x
xt
y
I
W 
t
y
yt
x
I
W 
c
y
yc
x
I
W 
c
x
xc
y
I
W 
x
y M
 
 
LN 
A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
22
yx MMM 
 
 
LN 
yt
y
xt
xT
máx
W
M
W
M

yc
y
xc
xC
máx
W
M
W
M

y
y
x
x
EI
xM
EI
yM
z









y
y
x
x
y
EI
xM
EI
yMx
W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Seção 
EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Seção 
x
y M
 
 
LN 
A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
22
yx MMM 
 
 
LN x
y M
 
 
LN 
A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
,sen e cos Se  MMMM yx 
tytxtyt
y
xt
xT
máx
W
M
WW
M
W
M
W
M










 sencos
cycxcyc
y
xc
xC
máx
W
M
WW
M
W
M
W
M










 sencos
onde 
ctiWWW yixii , ,sencos1  
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cálculo dos Deslocamentos 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
xddz  
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y   2
3
21
1
v
v




Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
(equação da curvatura) 
xM
S
v
vx 
z
x
xx
EI
M
dz
d



 
1
 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
xddz  
  2
3
21
1
v
v




Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
xx
EI
M
dz
d



 
1
 
(equação da curvatura) 
xM
S
vz
vx 
Como 
1x
(hipótese das pequenas deformações), 
x
x
EI
M
dz
vd
v 
1
2
2


Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2

Equação Diferencial 
da Linha Elástica (LE) 
Integrando esta equação, 
1 Cdz
EI
M
dz
dv
x
x
x  
(expressão da rotação) 
21 CzCdz
EI
M
v
x
x  
(expressão da flecha) 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
1 Cdz
EI
M
x
x
x  
21 CzCdz
EI
M
v
x
x  
As constantes de integração 
são determinadas a partir de: 
a) condições de apoio; 
b) condições de continuidade da LE 
Observação importante: 
Não se deve utilizar condições 
relacionadas ao carregamento; não são 
gerais para a viga e sim particulares para 
aquele carregamento específico. 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
1 Cdz
EI
M
x
x
x  
21 CzCdz
EI
M
v
x
x  
2
22
z
q
z
qL
M x 


Exemplos: 
q
L
S
z
a) 
2qL2qL Condições de apoio: 
e 0 ,0 em  vz
. 0 , em  vLz
Substituindo-se a expressão de 
Mx e as condições de apoio nas 
expressões da rotação e da 
flecha, determina-se C1 e C2. 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
Exemplos: 
 20 ,
21
Lzz
P
M
Sx



P
2L
1S
z
b) 
2P2P
2S
2L
z
 LzLPLzPM
Sx
 2 ,
222
e 
1
1
1
 Cdz
EI
M
x
x
x
S
S
 
21
1
1
 CzCdz
EI
M
v
x
x
S
S  
3
2
2
 Cdz
EI
M
x
x
x
S
S
 
43
2
2
 CzCdz
EI
M
v
x
x
S
S  
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
Exemplos: 
P
2L
1S
z
b) 
2P2P
2S
2L
z
Condições de apoio: 
e 0 ,0 em  vz
. 0 , em  vLz
Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões 
da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3 e C4. 
Condições de continuidade da LE: 
e ,2 em
21S
x Sx
Lz  
. ,2 em
21 SS
vvLz 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
M M 
dz
 (variável) dw
y
y
EI
M
dz
ud 
 
2
2 Equação Diferencial 
da Linha Elástica (LE) 
Integrando esta equação, 
1 Cdz
EI
M
dz
du
y
y
y  
(expressão da rotação) 
21 CzCdz
EI
M
u
y
y
 
(expressão da flecha) 
dz
z
x
y
A
yMCálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
M M 
dz
 (variável) dw
y
y
EI
M
dz
ud 
 
2
2
dz
du
y 
22
yx  
dz
z
x
y
A
M
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2

dz
dv
x 
22 vu 
(expressão da rotação) 
(expressão da flecha) 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Convenção de Sinais: 
 zq
 zVy
 zM x
   zdVzV yy 
   zdMzM xx 
dz
0v
0x
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Analogia de Mohr: 
2
2
dz
Md
q x
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2

equação diferencial da LE 
equação fundamental da 
Estática 
Viga Real: Viga Conjugada: 
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2
 q
dz
Md x 
2
2
viga real viga conjugada 
v
xM
xdzdv 
yx VdzMd 
xx EIM q
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cálculo dos Deslocamentos 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Analogia de Mohr: 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
A viga conjugada é construída a partir das condições 
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) 
viga real : 
0x 0x
0yV
viga conjugada: 
0xM
q
xx EIMq 
viga conjugada viga real 
v
xM
xdzdv 
yx VdzMd 
xx EIM q
q
0x
0v0v 0v
0xM
0yV
0x
0v
0yV
0xM
0yV
0xM
xx EIMq 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cálculo dos Deslocamentos 
Mecânica dosCorpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
viga real : 
0x 0x
0yV
viga conjugada: 
0xM
q
viga conjugada viga real 
v
xM
xdzdv 
yx VdzMd 
xx EIM q
0v
0v
0xM
dir
y
esq
y VV 
dir
x
esq
x  
0v
0yV
0xM
xx EIMq 
Analogia de Mohr: 
A viga conjugada é construída a partir das condições 
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cálculo dos Deslocamentos 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
viga real : 
0x 0x
0yV
viga conjugada: 
dir
x
esq
x MM 
viga conjugada viga real 
v
xM
xdzdv 
yx VdzMd 
xx EIM q
0v
0v
0xM
dir
y
esq
y VV 
dir
x
esq
x  
diresq vv 
0yV
0xM
xx EIMq 
q
Analogia de Mohr: 
A viga conjugada é construída a partir das condições 
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cálculo dos Deslocamentos 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
viga real : 
0x 0x
0yV
viga conjugada: 
0xM
viga conjugada viga real 
v
xM
xdzdv 
yx VdzMd 
xx EIM q
0v
0v
0xM
dir
y
esq
y VV 
dir
x
esq
x  
0v
0yV
0xM
xx EIMq 
q
Analogia de Mohr: 
A viga conjugada é construída a partir das condições 
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cálculo dos Deslocamentos 
este caso é equivalente a 
duas vigas biapoiadas 
em série. 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
MProjeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
R
lim
d 

 
Resistência e 
Estabilidade: onde 
lim
R
d
é a máxima tensão de cálculo 
é a tensão limite (função do estado limite considerado) e 
é o coeficiente de resistência 
R
T
lim
t
dT
máxdd
W
M

  ,

R
C
lim
c
dC
máxdd
W
M

  ,

R
T
limtd WM 
R
C
limcd WM 
e 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
limyx   22
limvu   22
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Projeto de Barras Submetidas ao Momento Fletor 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
Rigidez: e/ou 
onde 
é a rotação limite e 
lim
é a flecha limite 
lim
Ex: q
L 2qL2qL
300384
5 4 L
EI
qL
v
x
máx 
máxv

3
256,0
L
EI
q x
II.3. Flexão Pura de Barras 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Fim da Aula 07