x txT máx W M W M I xM I yM LN yc y xc x y cy x cxC máx W M W M I xM I yM onde t x xt y I W t y yt x I W c y yc x I W c x xc y I W x y M LN A B xA yA xB yB M M dz (variável) dw dz z x y A M II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 22 yx MMM LN yt y xt xT máx W M W M yc y xc xC máx W M W M y y x x EI xM EI yM z y y x x y EI xM EI yMx W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Seção EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Seção x y M LN A B xA yA xB yB M M dz (variável) dw dz z x y A M II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 22 yx MMM LN x y M LN A B xA yA xB yB M M dz (variável) dw dz z x y A M ,sen e cos Se MMMM yx tytxtyt y xt xT máx W M WW M W M W M sencos cycxcyc y xc xC máx W M WW M W M W M sencos onde ctiWWW yixii , ,sencos1 II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cálculo dos Deslocamentos Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura xddz eixo da barra A A’ dz dx y 2 3 21 1 v v Da Geometria Analítica, dz z x y A xM M M dz (variável) dw (equação da curvatura) xM S v vx z x xx EI M dz d 1 II.3. Flexão Pura de Barras :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura xddz 2 3 21 1 v v Da Geometria Analítica, dz z x y A xM M M dz (variável) dw x xx EI M dz d 1 (equação da curvatura) xM S vz vx Como 1x (hipótese das pequenas deformações), x x EI M dz vd v 1 2 2 Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz z x y A xM M M dz (variável) dw x x EI M dz vd 2 2 Equação Diferencial da Linha Elástica (LE) Integrando esta equação, 1 Cdz EI M dz dv x x x (expressão da rotação) 21 CzCdz EI M v x x (expressão da flecha) Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz z x y A xM M M dz (variável) dw 1 Cdz EI M x x x 21 CzCdz EI M v x x As constantes de integração são determinadas a partir de: a) condições de apoio; b) condições de continuidade da LE Observação importante: Não se deve utilizar condições relacionadas ao carregamento; não são gerais para a viga e sim particulares para aquele carregamento específico. Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz z x y A xM M M dz (variável) dw 1 Cdz EI M x x x 21 CzCdz EI M v x x 2 22 z q z qL M x Exemplos: q L S z a) 2qL2qL Condições de apoio: e 0 ,0 em vz . 0 , em vLz Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1 e C2. Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz z x y A xM M M dz (variável) dw Exemplos: 20 , 21 Lzz P M Sx P 2L 1S z b) 2P2P 2S 2L z LzLPLzPM Sx 2 , 222 e 1 1 1 Cdz EI M x x x S S 21 1 1 CzCdz EI M v x x S S 3 2 2 Cdz EI M x x x S S 43 2 2 CzCdz EI M v x x S S Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz z x y A xM M M dz (variável) dw Exemplos: P 2L 1S z b) 2P2P 2S 2L z Condições de apoio: e 0 ,0 em vz . 0 , em vLz Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3 e C4. Condições de continuidade da LE: e ,2 em 21S x Sx Lz . ,2 em 21 SS vvLz Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura M M dz (variável) dw y y EI M dz ud 2 2 Equação Diferencial da Linha Elástica (LE) Integrando esta equação, 1 Cdz EI M dz du y y y (expressão da rotação) 21 CzCdz EI M u y y (expressão da flecha) dz z x y A yMCálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura M M dz (variável) dw y y EI M dz ud 2 2 dz du y 22 yx dz z x y A M x x EI M dz vd 2 2 dz dv x 22 vu (expressão da rotação) (expressão da flecha) Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Convenção de Sinais: zq zVy zM x zdVzV yy zdMzM xx dz 0v 0x Cálculo dos Deslocamentos II.3. Flexão Pura de Barras Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Analogia de Mohr: 2 2 dz Md q x x x EI M dz vd 2 2 equação diferencial da LE equação fundamental da Estática Viga Real: Viga Conjugada: x x EI M dz vd 2 2 q dz Md x 2 2 viga real viga conjugada v xM xdzdv yx VdzMd xx EIM q II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Analogia de Mohr: Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura A viga conjugada é construída a partir das condições iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) viga real : 0x 0x 0yV viga conjugada: 0xM q xx EIMq viga conjugada viga real v xM xdzdv yx VdzMd xx EIM q q 0x 0v0v 0v 0xM 0yV 0x 0v 0yV 0xM 0yV 0xM xx EIMq II.3. Flexão Pura de Barras Cálculo dos Deslocamentos Mecânica dos