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Aula 07 de Resistência I - Flexão Pura

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x
txT
máx
W
M
W
M
I
xM
I
yM

 
 
LN 
yc
y
xc
x
y
cy
x
cxC
máx
W
M
W
M
I
xM
I
yM

onde 
t
x
xt
y
I
W 
t
y
yt
x
I
W 
c
y
yc
x
I
W 
c
x
xc
y
I
W 
x
y M
 
 
LN 
A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
22
yx MMM 
 
 
LN 
yt
y
xt
xT
máx
W
M
W
M

yc
y
xc
xC
máx
W
M
W
M

y
y
x
x
EI
xM
EI
yM
z









y
y
x
x
y
EI
xM
EI
yMx
W [cm3]: Módulos de Resistência à Flexão da Seção 
EI [kN.cm2]: Módulos de Rigidez à Flexão da Seção 
x
y M
 
 
LN 
A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
22
yx MMM 
 
 
LN x
y M
 
 
LN 
A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
,sen e cos Se  MMMM yx 
tytxtyt
y
xt
xT
máx
W
M
WW
M
W
M
W
M










 sencos
cycxcyc
y
xc
xC
máx
W
M
WW
M
W
M
W
M










 sencos
onde 
ctiWWW yixii , ,sencos1  
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cálculo dos Deslocamentos 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
xddz  
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y   2
3
21
1
v
v




Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
(equação da curvatura) 
xM
S
v
vx 
z
x
xx
EI
M
dz
d



 
1
 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
xddz  
  2
3
21
1
v
v




Da Geometria Analítica, dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
xx
EI
M
dz
d



 
1
 
(equação da curvatura) 
xM
S
vz
vx 
Como 
1x
(hipótese das pequenas deformações), 
x
x
EI
M
dz
vd
v 
1
2
2


Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2

Equação Diferencial 
da Linha Elástica (LE) 
Integrando esta equação, 
1 Cdz
EI
M
dz
dv
x
x
x  
(expressão da rotação) 
21 CzCdz
EI
M
v
x
x  
(expressão da flecha) 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
1 Cdz
EI
M
x
x
x  
21 CzCdz
EI
M
v
x
x  
As constantes de integração 
são determinadas a partir de: 
a) condições de apoio; 
b) condições de continuidade da LE 
Observação importante: 
Não se deve utilizar condições 
relacionadas ao carregamento; não são 
gerais para a viga e sim particulares para 
aquele carregamento específico. 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
1 Cdz
EI
M
x
x
x  
21 CzCdz
EI
M
v
x
x  
2
22
z
q
z
qL
M x 


Exemplos: 
q
L
S
z
a) 
2qL2qL Condições de apoio: 
e 0 ,0 em  vz
. 0 , em  vLz
Substituindo-se a expressão de 
Mx e as condições de apoio nas 
expressões da rotação e da 
flecha, determina-se C1 e C2. 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
Exemplos: 
 20 ,
21
Lzz
P
M
Sx



P
2L
1S
z
b) 
2P2P
2S
2L
z
 LzLPLzPM
Sx
 2 ,
222
e 
1
1
1
 Cdz
EI
M
x
x
x
S
S
 
21
1
1
 CzCdz
EI
M
v
x
x
S
S  
3
2
2
 Cdz
EI
M
x
x
x
S
S
 
43
2
2
 CzCdz
EI
M
v
x
x
S
S  
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
Exemplos: 
P
2L
1S
z
b) 
2P2P
2S
2L
z
Condições de apoio: 
e 0 ,0 em  vz
. 0 , em  vLz
Substituindo-se a expressão de Mx e as condições de apoio nas expressões 
da rotação e da flecha, determina-se C1, C2, C3 e C4. 
Condições de continuidade da LE: 
e ,2 em
21S
x Sx
Lz  
. ,2 em
21 SS
vvLz 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
M M 
dz
 (variável) dw
y
y
EI
M
dz
ud 
 
2
2 Equação Diferencial 
da Linha Elástica (LE) 
Integrando esta equação, 
1 Cdz
EI
M
dz
du
y
y
y  
(expressão da rotação) 
21 CzCdz
EI
M
u
y
y
 
(expressão da flecha) 
dz
z
x
y
A
yMCálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
M M 
dz
 (variável) dw
y
y
EI
M
dz
ud 
 
2
2
dz
du
y 
22
yx  
dz
z
x
y
A
M
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2

dz
dv
x 
22 vu 
(expressão da rotação) 
(expressão da flecha) 
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
 :0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Convenção de Sinais: 
 zq
 zVy
 zM x
   zdVzV yy 
   zdMzM xx 
dz
0v
0x
Cálculo dos Deslocamentos 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Analogia de Mohr: 
2
2
dz
Md
q x
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2

equação diferencial da LE 
equação fundamental da 
Estática 
Viga Real: Viga Conjugada: 
x
x
EI
M
dz
vd
 
2
2
 q
dz
Md x 
2
2
viga real viga conjugada 
v
xM
xdzdv 
yx VdzMd 
xx EIM q
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cálculo dos Deslocamentos 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Analogia de Mohr: 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
A viga conjugada é construída a partir das condições 
iniciais (condições de apoio e de continuidade da LE) 
viga real : 
0x 0x
0yV
viga conjugada: 
0xM
q
xx EIMq 
viga conjugada viga real 
v
xM
xdzdv 
yx VdzMd 
xx EIM q
q
0x
0v0v 0v
0xM
0yV
0x
0v
0yV
0xM
0yV
0xM
xx EIMq 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cálculo dos Deslocamentos 
Mecânica dos