FLEXÃO EM VIGAS - RBC

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Mecânica dos Sólidos II 
Prof. Willyan Machado Giufrida 
FFlleexxããoo eemm VViiggaass ee PPrroojjeettoo ddee VViiggaass –– AAPPOOSSTTIILLAA 
 
Introdução: 
 
As vigas certamente podem ser consideradas entre os mais importantes de todos os elementos 
estruturais. Citamos como exemplo elementos utilizados para suportar o piso de um edifício, a plataforma 
de uma ponte ou a asa de um avião. Além disso, o eixo de um automóvel, a lança de um guindaste e até 
mesmo muitos dos ossos do corpo humano agem como vigas. As cargas que atuam numa viga a fazem 
fletir (ou curvar), e assim deformar o seu eixo em uma curva. Vigas e eixos são importantes elementos 
estruturais e mecânicos usados em projetas de engenharia. 
Nesta seção, determinaremos a tensão provocada nesses elementos por conta da flexão. 
Começaremos com uma discussão sobre como construir os diagramas de força cortante e momento fletor 
para uma viga ou eixo. Assim como os diagramas de força normal e de torque, os diagramas de força 
cortante e momento fletor proporcionam um meio útil para determinar a maior força de cisalhamento e o 
maior momento em um elemento e especificam onde esses máximos ocorrem. Uma vez determinado o 
momento interno em uma seção, a tensão de flexão pode ser calculada. Em primeiro lugar, 
consideraremos elementos retos, com seção transversal simétrica e feita de materiais homogêneos 
lineares elásticos. Em seguida, discutiremos casos especiais que envolvem flexão assimétrica e elementos 
feitos de materiais compósitos. Também consideraremos elementos curvos, concentrações de tensão, 
flexão inelástica e tensões residuais. 
11.. EEssffoorrççoo ccoorrttaannttee ((VV)) ee MMoommeennttoo FFlleettoorr ((MM)) 
 
Por conta dos carregamentos aplicados, as 
vigas desenvolvem uma força de cisalhamento 
interna (força cortante) e momento fletor que, 
em geral, variam de ponto para ponto ao longo 
do eixo da viga. Para projetar uma viga 
corretamente, em primeiro lugar, é necessário 
determinar a força de cisalhamento e o momento 
máximos que agem na viga. Um modo de fazer 
isso é expressar V e M em função de uma 
posição arbitrária x ao longo do eixo da viga. 
Então, essas funções de cisalhamento e momento 
podem ser representadas em gráficos 
denominados diagramas de força cortante e 
momento fletor. 
Os valores máximos tanto de V quanto de 
M podem ser obtidos desses gráficos. Além 
disso, uma vez que fornecem informações 
detalhadas sobre a variação do cisalhamento e do 
momento ao longo do eixo da viga, os diagramas 
de força cortante e momento fletor são 
frequentemente usados pelos engenheiros para 
decidir onde colocar materiais de reforço no 
interior da viga ou como calcular as dimensões 
da viga em vários pontos ao longo de seu 
comprimento. 
O esforço cortante e o momento fletor em um 
determinado ponto de uma viga é encontrado, 
passando-se uma seção através do ponto 
desejado e aplicando-se as equações de 
equilíbrio da estática para o trecho cortado. 
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Figura 1.1 – esforço cortante e o momento fletor 
em um determinado ponto de uma viga. 
 
Convenção de sinal para vigas. 
Antes de apresentar um método para 
determinar o cisalhamento e o momento em 
função de x e, então, construir um gráfico dessas 
funções (diagramas de força cortante e momento 
fletor), é necessário estabelecer uma convenção 
de sinal de modo a definir força cortante interna 
e momento fletor como "positivos" e 
"negativos". Embora a escolha de uma 
convenção de sinal seja arbitrária, aqui 
adotaremos a convenção frequentemente 
utilizada na prática da engenharia e mostrada na 
Figura 1.2. As direções positivas são as 
seguintes: a carga distribuída age para baixo na 
viga; a força cortante interna provoca uma 
rotação em sentido horário no segmento da viga 
sobre o qual age; e o momento interno causa 
compressão nas fibras superiores do segmento. 
 
Figura 1.2 
 
Esforços Internos 
As resultantes FR e MR0 reduzidas ao C.G. da 
seção direita deve ter o mesmo módulo e 
sentidos opostos das resultantes reduzidas ao 
C.G. da seção esquerda. 
Decompondo os vetores FR e M0 nas direções 
normal e paralela à seção, obtém: 
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Componentes de FR: 
 
N→ = Esforço Normal; 
V→ = Esforça Cortante. 
Componentes de MR0: 
 
M→ = Momento Fletor; 
T→ = Momento Torçor. 
Sinais: 
 
 
11..11.. PPrroocceeddiimmeennttoo ddee AAnnáálliissee 
 
Os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga podem ser construídos por meio dos 
procedimentos descritos a seguir. 
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Reações nos apoios 
• Determine todas as forças de reação e momentos conjugados que agem na viga e decomponha 
todas as forças em componentes que agem perpendicular e paralelamente ao eixo da viga. 
Diagramas de força cortante e momento fletor 
• Construa o diagrama de força cortante (V versus x) e o diagrama de momento fletor (M versus x). 
Se os valores numéricos das funções que descrevem V e M forem positivos, serão marcados acima 
do eixo x, ao passo que valores negativos serão marcados abaixo do eixo. 
• Em geral, é conveniente mostrar os diagramas de força cortante e momento fletor diretamente 
abaixo do diagrama de corpo livre da viga. 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
Para a viga e o carregamento mostrado na figura, construa o diagrama de esforço cortante e de 
momento fletor. 
 
Solução: 
• Aplique as equações de equilíbrio da estática e determine as reações de apoio para a viga: 
 
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• Seccione a viga e aplique as condições de 
equilíbrio para cada parte: 
 
 
• Construa o diagrama de esforço cortante 
e de momento fletor, identificando os 
valores máximos (em módulo). 
 
 
 
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22.. TTeennssããoo ddee FFlleexxããoo eemm VViiggaass 
 
A teoria de tensões de flexão nas vigas se aplica para vigas admitidas com suficiente estabilidade 
lateral em virtude de suas proporções ou suficientemente reforçadas na direção transversal. 
2.1. Deformação por flexão de um elemento reto 
 
Nesta seção, discutiremos as deformações 
que ocorrem quando uma viga prismática reta, 
feita de um material homogêneo, é submetida à 
flexão. A discussão ficará limitada a vigas com 
área de seção transversal simétrica em relação a 
um eixo e a um momento fletor aplicado em 
torno de uma linha central perpendicular a esse 
eixo de simetria, como mostrado na Figura 2.1. 
O comportamento de elementos com seções 
transversais assimétricas ou feitos de vários 
materiais diferentes é baseado em observações 
semelhantes e será discutido separadamente em 
seções posteriores deste capítulo. Se usarmos um 
material de alta capacidade de deformação, como 
a borracha, poderemos ilustrar fisicamente o que 
acontece quando um elemento prismático reto é 
submetido a um momento fietor. Considere, por 
exemplo, a barra reta (não deformada) na Figura 
2.2a, que tem seção transversal quadrada e 
marcada por uma grade de linhas longitudinais e 
transversais. Quando um momento fietor é 
aplicado, as linhas da grade tendem a se distorcer 
segundo o padrão mostrado na Figura 2.2b. 
Aqui, podemos ver que as linhas longitudinais se 
tornam curvas e as linhas transversais verticais 
continuam retas, porém sofrem rotação. O 
comportamento de qualquer barra deformável 
sujeita a um momento fietor provoca o 
alongamento do material na parte inferior da 
barra e a compressão do material na porção 
superior da barra. Por consequência, entre essas 
duas regiões devem existir uma superfície, 
denominada supe1jície neutra, na qual não 
ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras 
longitudinais do material (Figura 2.1). 
 
Figura 2.1 
 
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Figura 2.2 
 
Figura 2.3 
 
Com base nessas observações, adotaremosas 
três premissas seguintes em relação ao modo 
como a tensão deforma o material. A primeira é 
que o eixo longitudinal x, que se encontra no 
interior da superfície neutra (Figura 2.3a), não 
sofre qualquer mudança no comprimento. Mais 
exatamente, o momento tenderá a deformar a 
viga de modo que essa linha toma-se uma curva 
localizada no plano de simetria x-y (Figura 2.3b). 
A segunda é que todas as seções transversais da 
viga permanecem planas e perpendiculares ao 
eixo longitudinal durante a deformação. A 
terceira é que qualquer deformação da seção 
transversal dentro de seu próprio plano, como 
observamos na Figura 2.2b, será desprezada. Em 
particular, o eixo z, que se encontra no plano da 
seção transversal e em torno do qual a seção 
transversal gira, é denominado eixo neutro 
(Figura 2.3b ). Sua localização será determinada 
na próxima seção. 
 
22..22.. FFlleexxããoo 
 
Hipótese fundamental da teoria da flexão: As seções planas de uma viga, tomadas 
normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão. 
Essa conclusão é válida para vigas de qualquer material, seja ele elástico ou inelástico, 
linear ou não-linear. As propriedades dos materiais, assim como as dimensões, devem ser 
simétricas em relação ao plano de flexão. 
As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas (tracionadas), enquanto 
aquelas na parte superior são diminuídas (comprimidas). 
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Superfície Neutra ss: é uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em 
que as linhas longitudinais não mudam de comprimento. 
Linha neutra: é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção transversal. 
O eixo z é a linha neutra da seção transversal ilustrada na Figura 2.11b. 
 
Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F, atuando perpendicularmente ao 
seu eixo, produzindo uma flexão na barra, ou seja, uma curvatura na peça. O esforço 
solicitante responsável por este comportamento é chamado de momento fletor, podendo ou 
não ser acompanhado de esforço cortante e força normal. 
 
Figura 2.4 - Representação de uma viga biapoiada submetida á flexão. A ação da carga 
externa (a) sobre a viga produz o momento fletor (b) curvatura observada em (c). As fibras 
superiores tendem a se aproximar (compressão) e as fibras inferiores tendem a se afastar 
(tração). 
A flexão é provavelmente o tipo mais comum de solicitação produzida em 
componentes de máquinas, os quais atuam como vigas quando, em funcionamento, 
transmitem ou recebem esforços. 
 
22..33.. FFlleexxããoo PPuurraa ee FFlleexxããoo NNããoo--UUnniiffoorrmmee 
 
Flexão Pura - Referente à flexão na viga submetida a um momento fletor constante. 
Ocorre nas regiões onde a força de cisalhamento é zero, pois V=dM/dx 
 
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Figura 2.5 - Viga simples em flexão pura (M=M1) 
 
Figura 2.6 - Viga engastada em flexão Pura (M=-M2) 
 
Considere a viga AB mostrada na figura abaixo, cujo trecho CD encontra-se sobre 
Flexão pura. 
 
Figura 2.7 
Flexão Não-Uniforme – Flexão na presença de forças de cisalhamento, o que 
significa que o momento fletor varia quando nos movemos ao longo do eixo da viga. Veja a 
Figura 2.8 
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Figura 2.8 - Viga com região central em flexão pura e extremidades em flexão não uniforme. 
22..44.. FFlleexxããoo SSiimmpplleess 
 
Uma viga engastada numa extremidade, com uma carga concentrada P, aplicada na 
extremidade livre, está submetida à flexão simples ou flexão simples plana, quando a carga 
aplicada atua perpendicularmente ao eixo da viga. 
 
Figura 2.9 
22..55.. FFlleexxããoo CCoommppoossttaa 
 
 Quando o carregamento atua num plano não perpendicular ao eixo da viga. Neste caso 
a carga poderá ser decomposta em duas componentes, como apresentado na figura abaixo: 
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Figura 2.10 
No dimensionamento de peças 
submetidas à flexão, admitem-se 
somente deformações elásticas. A 
tensão de trabalho é fixada pelo fator 
de segurança, através da tensão 
admissível. 
A fórmula da flexão é aplicada 
nas secções críticas, ou seja, nas 
secções onde o momento fletor é 
máximo Mmáx. O momento fletor 
máximo de uma viga pode ser 
determinado através dos diagramas 
obtidos pelo método das secções, ou através de tabelas que apresentam expressões para estas 
grandezas. 
Nos anexos desta apostila estão algumas tabelas que permitem determinar o momento 
fletor máximo e outras grandezas relativas ao estudo de vigas. 
Hipóteses 
Os modelos de flexão utilizados em nosso estudo de resistência dos materiais baseiam-
se nas seguintes hipóteses: 
Sobre o Corpo Sólido 
I - O material é considerado homogêneo e isotrópico; 
II - A viga admite um plano de simetria; 
III - O corpo é formado por um conjunto de fibras unidas entre si e paralelas ao plano 
longitudinal. 
Sobre as forças 
IV - As forças atuam no plano de simetria; 
V - As forças atuantes são perpendiculares ao eixo, portanto trata-se de um problema 
de flexão simples: 
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Figura 2.11 
Sobre Deformações 
VI. Hipótese de Bernoulli: Os sólidos sob flexão são elásticos longitudinalmente e 
rígidos transversalmente. 
 
Figura 2.12 
 
VII. Hipótese de Navier: 
Sob ação de cargas de flexão, algumas fibras longitudinais que compõem o corpo 
sólido são submetidas à tração e outras “a compressão, existindo uma Superfície intermediária 
onde a deformação (εx) e a tensão (σx) para as fibras nela cintidas tornam-se nulas, isto é, não 
se encurtam e nem se alongam. Esta superfície é chamada de superfície neutra. A superfície 
neutra intercepta uma dada secção transversal da barra segundo uma reta chamada linha 
neutra. 
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Figura 2.13 
- Os esforços de 
tração e compressão 
aumentam à medida que 
se afastam da superfície 
neutra, atingindo sua 
intensidade máxima nas 
fibras mais distantes a ela. 
- O material 
obedece a Lei de Hooke, 
ou seja, as tensões e 
deformações produzidas 
no sólido estão abaixo do 
limite de proporcionalidade do material (regime elástico). 
Conclusões: 
1. Supondo uma viga submetida a esforços de flexão, constituída por uma série de 
fibras planas longitudinais, as fibras próximas à superfície convexa estão sob tração e portanto 
sofrem um aumento em seu comprimento. Da mesma forma, as fibras próximas à superfície 
côncava estão sob compressão e sofrem uma diminuição no seu comprimento. Como na 
superfície neutra o esforço é nulo, a deformação resultante também será nula, sendo assim um 
plano de transição entre as deformações de tração e compressão. 
2. De acordo com a Lei de Hooke, a tensão varia linearmente com a deformação. 
Desta forma temos que a tensão de flexão varia linearmente numa dada seção transversal de 
uma viga, passando por zero (tensão nula) na linha neutra. 
 
Figura 2.14 
 
3. Em uma viga com seção 
transversal constante, a linha neutra 
(interseção entre a superfície neutra e 
a seção transversal) passa pelo centro 
de gravidade desta seção. 
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22..66.. LLiinnhhaa NNeeuuttrraa 
 
Analisando o trecho CD da viga mostrada: 
 
As linhas mn e pq giram e permanecem particulares as fibras longitudinais (hipótese de 
Bernoulli-Navier). 
Sob a ação do momento M, as 
fibras da parte superior da viga estão 
sob compressão (diminuem de 
comprimento) e as fibras da parte 
inferior estão sob tração (aumentando 
de comprimento). Em algum ponto 
entre as partes superiores e inferiores da 
viga, as fibras longitudinais estão sob 
tensão nula, não sofrendo variação de 
comprimento. 
Essa superfície é denominada 
superfície neutra e a interseção com o 
plano da seção transversal forma a LINHA 
NEUTRA da seção. 
σ = 0 e ε = 0. 
Analisando as deformaçõesentre as duas seções 
distintas dx: 
ρ: raio do arco cd na linha LN; 
L: comprimento do arco cd da barra 
onde L = ρ.dƟ. 
 O comprimento do arco ef 
distante “y” acima da LN pode ser 
dado por: L’ = (ρ-y).dƟ. 
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 O comprimento original do arco ef era igual ao do arco cd, antes da deformação. 
Logo: 
δ = L’ – L; 
δ = (ρ – y).dƟ – ρ.dƟ 
δ =-y.dƟ. 
 A deformação específica εx na fibra ef é dada por: 
 
A deformação específica εx varia linearmente com a distância “y” da LN. 
A deformação específica máxima (εxmáx) ocorre para o maior valor de “y”. 
 
22..77.. CCuurrvvaattuurraa ddee uummaa vviiggaa 
 
Quando cargas são aplicadas a uma viga, seu eixo longitudinal é deformado em uma 
curva, como ilustrado anteriormente. As tensões e deformações resultantes estão diretamente 
relacionadas à curvatura da curva de deflexão. Ilustração do conceito de curvatura. Veja 
Figura 2.9. 
 
Figura 2.15 - Curvatura da viga fletida: (a) Viga com carregamento e (b) Curva de 
deflexão. 
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O’ - Centro de curvatura interseção das normais às tangentes às curvas de deflexão (normal à 
própria curva). 
m1O’ – Raio de curvatura ( ρ ) 
κ - Curvatura é definida como o inverso do raio de curvatura. Assim, 
 (1) 
É uma medida de quão intensamente a viga é flexionada. 
Carga pequena na viga → Viga praticamente reta → Raio de curvatura grande → Curvatura 
pequena e vice-versa. 
A partir da geometria do triângulo O’m1m2 obtemos: 
 (2) 
onde dθ é o ângulo infinitesimal entre as normais medido em radianos e ds é a distância 
infinitesimal ao longo da curva m1 e m2, Combinando a eq.(2) com (1) tem-se 
 (3) 
Sob as condições especiais de pequenas deflexões tem-se que: 
 (4) 
Convenção de sinais para a curvatura – Apresenta-se na Figura 2.10 
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Figura 2.16 - Convenção de sinal para a curvatura. 
 
22..88.. FFóórrmmuullaa ddee fflleexxããoo 
 
Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F, atuando perpendicularmente ao seu 
eixo, produzindo uma flexão na barra. O momento resultante na seção transversal é igual ao 
momento produzido pela distribuição linear da 
tensão normal em torno do eixo neutro. 
 
Flexão pura – desprezam-se as forças 
cortantes. 
 
 
σ = tensão normal no membro 
M = momento interno 
I = momento de inércia 
y = distância perpendicular do eixo neutro 
 
Essa equação é chamada de fórmula e flexão. Tensões calculadas a partir da fórmula de 
flexão são chamadas de tensões fletoras ou tensões de flexão. 
Esta equação representa a distribuição linear de tensões apresentadas na figura 
abaixo._A tensão de flexão assume seu valor máximo na superfície mais 
distante_da_linha_neutra,_ou_seja,_no maior valor de y, onde y simboliza a distância a partir 
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da L.N., podendo chegar até a superfície da peça. Em vigas com seção simétrica (em realção a 
linha neutra), as tensões de tração e compressão produzidas durante a flexão terão o mesmo 
valor. Na s vigas com seções assimétricas, a tensão máxima ocorrerá na superfície mais 
distante da linha neutra. 
 
A expressão mostra que as tensões são diretamente proporcionais aos momentos 
fletores e que aumenta linearmente com o aumento de y. Nota-se que momentos fletores 
positivos causam tensões de compressão na viga na parte superior acima da linha neutra e 
causam tensões de tração na parte inferir, pois o y é negativo e também se pode visualizar este 
resultado na prática. Caso os momentos sejam negativos, as tensões terão sinais invertidos 
como mostra a Figura 2.17. 
 
 
 
 
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Figura 2.17 – Relações entre os sinais dos momentos fletores e as direções das 
tensões normais: (a) momento fletor positivo e (b) momento fletor negativo. 
 
Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da 
seção tra sversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também 
que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. Agora veremos como 
fica a fórmulada flexão para uma viga com momento interno resultante que aja em qualquer 
direção. 
 
 
22..99.. TTeennssõõeess MMááxxiimmaass nnaa SSeeççããoo TTrraannssvveerrssaall 
 
As tensões máximas de flexão ocorrem nos pontos mais distantes da seção (LN). Denota-se c1 
e c2 a distância da linha neutra para os elementos extremos como mostra a Figura 10. 
σ1 = maior tensão de tração; 
σ2 = maior tensão de compressão; 
C1 = distancia da fibra tracionada mais afastada da L.N. 
C2 = distancia da fibra comprimida mais afastada da L.N. 
 
Tensões Máximas: 
 , 
 
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Característica Geométrica – Módulo de Resistência 
 
, 
 
Para seções de diferentes formas geométricas: 
 
 
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Vantagens: 
 
As vantagens de se expressar as tensões máximas em termos de módulo de seção vêm do 
fato de que cada módulo de seção combina as propriedades relevantes da seção 
transversal da viga em um valor singular. Esse valor pode ser listado em tabelas e 
manuais como uma propriedade da viga, o que é mais conveniente para projetistas. 
 
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33.. TTeennssõõeess eemm VViiggaass IIssoossttááttiiccaass –– FFlleexxããoo NNoorrmmaall 
 
 Uma estrutura sofrendo flexão se deformará e nas suas seções transversais e em cada 
ponto das seções sofrerá: 
• Tensões (pressões) normais de compressão; 
• Tensões (pressões) normais de tração; 
• Tensões (pressões) tangenciais de cisalhamento (deslizamento); 
• E se for o caso, tensões de tração. 
 
O conceito corrente de tensão – força dividida por área – refere-se, na linguagem 
comum, à situações de compressão. Vamos aqui ampliá-lo também para situações de tração e 
cisalhamento. 
Vejamos a viga. 
 
As tensões de tração, de compressão e cisalhamento variam de seção para seção e, em 
uma seção, de ponto a ponto. 
Para facilitar o entendimento, o estudo Serpa dividido em tensões normais (tração e 
compressão) e tangenciais. 
Tensões normais de compressão e tração 
 
 Partindo de um caso simples de uma viga de seção retangular, vamos generalizar para 
outras seções: 
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Exercício 1: 
 Seja uma prancha de aço de seção transversal medindo 10 x 30 cm apoiada sobre duas 
colunas e sujeita a uma carga concentrada de 9,2 tf situada no meio do vão. Por ser pequeno, 
o peso próprio da viga será desprezado. 
 
 Como sempre, onde o diagrama de forças cortantes passe por zero (ponto C) o 
diagrama de momentos fletores alcança um máximo ou mínimo. 
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44.. AA FFlleexxããoo OObblliiqquuaa nnaass VViiggaass 
Vigas com eixos de simetria 
Seja a força F que está aplicada no ponto Z da peça horizontal engastada numa parede. 
A força F causará uma flexão em um plano que não contém um dos eixos de simetria da viga. 
Esse tipo de flexão é chamado de flexão oblíqua. 
 
Pelo princípio da superposição, a flexão oblíqua pode se decompor em duas flexões normais 
mais uma carga centrada. Veja: 
 
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Prof. Willyan Machado Giufrida55.. FFlleexxããoo aassssiimmééttrriiccaa 
 
Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da 
seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também 
que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. É isso o que ocorre nas 
seções em T ou em U, mostradas na Figura 5.1. Porém, essas condições são desnecessárias, e, 
nesta seção, mostraremos que a fórmula da flexão também pode ser aplicada tanto a uma viga 
com área de seção transversal de qualquer formato, como a uma viga com momento interno 
resultante que aja em qualquer direção. 
 
Figura 5.1 
5.1. Momento aplicado ao longo do eixo principal. 
Considere que a seção transversal da viga tem a forma assimétrica mostrada na Figura 5.2a. O 
sistema de coordenadas x, y, z orientado para a direita é definido de modo tal que a origem 
esteja localizada no centroide C da seção transversal e o momento interno resultante M aja ao 
longo do eixo +z. A distribuição de tensão que age sobre toda a área da seção transversal deve 
ter força resultante nula, momento interno resultante em torno do eixo y nulo e momento 
interno resultante em torno do eixo z igual a M. Estas três condições podem ser expressas 
matematicamente considerando-se a força que age sobre o elemento diferencial dA localizado 
em (O, y, z) (Figura 5.2a). 
 
Figura 5.2. 
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Essa força é dF = udA e, portanto, temos: 
 
5.2. Momento aplicado arbitrariamente. 
Às vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento interno 
resultante não aja em torno de um dos eixos principais da seção transversal. Quando isso 
ocorre, em primeiro lugar, o momento deve ser decomposto em componentes dirigidas ao 
longo dos eixos principais. 
 
Figura 5.3 
Então, a fórmula da flexão pode ser usada para determinar a tensão normal provocada 
por cada componente do momento. Por fim, usando o princípio da superposição, a tensão 
normal resultante no ponto pode ser determinada. Para tal, considere que a viga tenha seção 
transversal retangular e está sujeita ao momento M (Figura 5.3a). Aqui, M forma um ângulo θ 
com o eixo principal z. Consideraremos que θ é positivo quando estiver direcionado do eixo + 
z para o eixo + y, como mostra a figura. Decompondo M em componentes ao longo dos eixos 
z e y, temos Mz = Mcosθ e My = Msenθ, respectivamente. Cada uma dessas componentes é 
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mostrada separadamente na seção transversal nas figuras 5.3b e 5.3c. As distribuições de 
tensão normal que produzem M e suas componentes Mz e My são mostradas nas figuras 5.3d, 
5.3e e 5.3f, respectivamente. Aqui, consideramos que (σx)máx > (σx ')máx. Por inspeção, as 
tensões de tração e compressão máximas [(σx)máx + (σx')máx) ocorrem em dois cantos 
opostos da seção transversal (Figura 5.3d). Aplicando a fórmula da flexão a cada componente 
do momento nas figuras 5.3b e 5.3c, podemos expressar a tensão normal resultante em 
qualquer ponto na seção transversal (Figura 5.3d), em termos gerais, como 
 
Onde: 
σ = tensão normal no ponto; 
y, z = coordenadas do ponto medidas em relação aos eixos x, y, z com 
origem no centróide da área da seção transversal e formando um 
sistema de coordenadas orientado para a direita. O eixo x é direcionado 
para fora da seção transversal, e os eixos y e z representam, 
respectivamente, os eixos principais dos momentos de inércia mínimo e 
máximo para a área. 
My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionadas ao 
longo dos eixos principais y e z. São positivos se direcionados ao longo 
dos eixos +y e +z; caso contrário, são negativos. Ou, em outras 
palavras, My = Msenθ e Mz = Mcosθ e, onde e é positivo se medido do 
eixo +z na direção do eixo +y. 
I y, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos y 
e z, respectivamente. 
Como observamos antes, é muito importante que os eixos x, y, z formem um sistema 
orientado para a direita e que sejam designados os sinais algébricos adequados às 
componentes do momento e às coordenadas quando aplicamos essa equação. A tensão 
resultante será de tração se ela for positiva e de compressão se ela for negativa. 
5.3. Orientação do eixo neutro 
 
O ângulo α do eixo neutro na Figura 5.3d pode ser determinado pela abaixo com α = 
0, visto que, por definição, nenhuma tensão normal age no eixo neutro. 
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IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientado pela regra da mão direita. 
Ângulo � – sentido do +z para +y até encontrar o M. 
Ângulo α – sentido do +z para +y até encontrar LN. 
ou seja horário positivo, anti-horário negativo. 
Exemplo 1 
A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um momento 
fletor M = 12 kN.m. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção. 
 
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Solução: 
 
 
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Exemplo 2 
 Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kN.m. Determine a tensão 
normal máxima na viga. 
 
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66.. VViiggaass ccoommppoossttaass 
 
Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas 
compostas. A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo. 
Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seção feita de um único 
material e utilizar a fórmula. 
 
Método da seção transformada 
Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material homogêneo, 
a área total da seção transversal permanecerá plana após a flexão, e por conseqüência, as 
deformações normais variarão linearmente de zero no eixo neutro a máxima no material mais 
afastado desse eixo. 
 
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• A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuição de 
deformações. 
 
1 + rígido; 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído! 
O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que 
compõem a viga. 
“Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo 
fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira” 
Exemplo 1 
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Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua 
parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Se for submetida 
a um momento fletor M = 2 kN.m, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere 
Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa. 
 
 
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77.. VViiggaass ddee ccoonnccrreettoo aarrmmaaddoo 
 
Todas as vigas sujeitas a flexão pura devem resistir a tensões de tração e compressão. 
Porém, o concreto é muito suscetível a fratura quando está sob tração, portanto, por si só, não 
seria adequado para resistir a um momento fletor. A inspeção de seu diagrama tensão-
deformação particular revela que o concreto pode ser 12,5 vezes mais resistente sob 
compressão do que sob tração. Para contornar essa deficiência, os engenheiros colocam hastes 
de reforço de aço no interior das vigas de concreto no local onde o concreto está sob tração 
(Figura 7.1a). 
 
Figura 7.1 
Para maior efetividade, essas hastes são localizadas o mais longe possível do eixo 
neutro da viga, de modo que o momento criado pelas forças desenvolvidas nas hastes sej a 
maior em torno do eixo neutro. Por outro lado, também é necessário cobrir as hastes com 
concreto para protegê-las da corrosão ou da perda de resistência se ocorrer um incêndio. Em 
situações reais de projeto com concreto armado, a capacidade do concreto de suportar 
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qualquer carga de tração é desprezada, visto que a possível fratura do concreto é imprevisível. 
O resultado é que se considera que a distribuição da tensão normal que age na área da seção 
transversal de uma viga de concreto armado é semelhante à mostrada na Figura 7.1b. A 
análise da tensão requer localizar o eixo neutro e determinar a tensão máxima no aço e no 
concreto. Para tal em primeiro lugar, a área de aço Aaço é transformada, aço em uma área 
equivalente de concreto usando o fator de transformação n = Eaço /Econc. Essa razão, que dá n 
> 1, de concreto para substituir o aço. A área transformada é nAaço, e a seção transformada é 
semelhante à mostrada na Figura 7.1c. Aqui, d representa a distância entre a parte superior da 
viga até o aço (transformado), b é a largura da viga e h' é a distância ainda desconhecida entre 
a parte superior da viga e o eixo neutro. Podemos obter h' usando o fato de que o centroide C 
da área da seção transversal da seção transformada se encontra no eixo neutro (7.1c). 
Portanto, com referência ao eixo neutro, o momento das duas áreas, ƩyA, deve ser 
nulo, visto que y = ƩyA/ƩA = O. Assim, 
 
 
Uma vez obtida h' por essa equação quadrática, a solução prossegue da maneira usual 
para obter a tensão na viga. 
 
Exemplo 1 
A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo. 
Se for submetida a um momento fletor M = 60 kN·m, determine a tensão normal em cada 
uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto. Considere Eaço = 
200 GPa e Econc = 25 Gpa. 
 
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RReeffeerrêênncciiaass BBiibblliiooggrrááffiiccaass:: 
 
 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 
1995. 
 
2. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000. 
3. BOTELHO, M.H.C. Resistência dos Materiais: Para entender e gostar. 2º Ed. Blucher, 
2013.