apostila

Estat´ıstica
Heyder Diniz Silva
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 7
2 Estat´ıstica descritiva 9
2.1 Organizac¸a˜o e apresentac¸a˜o de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Apresentac¸a˜o tabular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1.1 Distribuic¸o˜es de frequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1.2 Distribuic¸o˜es de frequ¨eˆncias acumuladas . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Apresentac¸a˜o gra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2.1 Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2.2 Pol´ıgonos de frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2.3 Gra´fico de setores (pizza) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2.4 Ogivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Medidas de Posic¸a˜o e dispersa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Medidas de Posic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1.1 Me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1.2 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1.3 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1.4 Separatrizes (Quantis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Medidas de disperssa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2.1 Amplitude Total (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2.2 Variaˆncia e desvio padra˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2.3 Coeficiente de variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2
3
2.2.2.4 Erro padra˜o da me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2.5 Momentos, Assimetria e Curtose . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Probabilidades 54
3.1 Processo aleato´rio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Espac¸o amostral e Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Probabilidade Condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Independeˆncia de eventos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Varia´veis aleato´rias 63
4.1 Varia´veis Aleato´rias Unidimensionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1 Distribuic¸o˜es de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 Func¸a˜o Repartic¸a˜o ou Distribuic¸a˜o Acumulada F(x) . . . . . . . . . 64
4.2 Varia´veis Aleato´rias Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1 Distribuic¸a˜o Conjunta de duas varia´veis aleato´rias . . . . . . . . . . 66
4.2.2 Distribuic¸a˜o Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.3 Varia´veis Aleato´rias Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.4 Esperanc¸a Matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.4.1 Propriedades da Esperanc¸a Matema´tica . . . . . . . . . . 69
4.2.5 Variaˆncia de uma varia´vel aleato´ria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.5.1 Propriedades da variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.6 Covariaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Distribuic¸o˜es de varia´veis aleato´rias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.1 Distribuic¸a˜o Uniforme Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.2 Distribuic¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3.3 Distribuic¸a˜o Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.4 Distribuic¸a˜o de Poison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.4.1 Aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o Binomial a Poisson. . . . . . 80
4
4.3.5 Distribuic¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.6 Distribuic¸a˜o Pascal (Binomial Negativa) . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.7 Distribuic¸a˜o Hipergeome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.8 Distribuic¸a˜o Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Distribuic¸o˜es de varia´veis aleato´rias cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4.1 Distribuic¸a˜o Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4.2 Distribuic¸a˜o Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.2.1 Distribuic¸a˜o Normal Reduzida ou Padronizada. . . . . . . 90
4.4.3 Distribuic¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.4 Distribuic¸a˜o Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.5 Distribuic¸a˜o t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.6 Distribuic¸a˜o F de Snedcor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4.7 Aproximac¸a˜o da Distribuic¸a˜o Binomial a` Normal . . . . . . . . . . 97
5 Amostragem 100
5.1 Introduc¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.2 Importaˆncia do uso de amostras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.3 Vantagens do processo de amostragem em relac¸a˜o ao censo. . . . . 102
5.2 Te´cnicas de amostragem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.1 Principais te´cnicas de amostragem probabil´ısticas. . . . . . . . . . . 104
5.2.1.1 Amostragem Simples ao Acaso . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1.2 Amostragem Sistema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1.3 Amostragem por Conglomerados . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.1.4 Amostragem Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.2 Principais te´cnicas de amostragem na˜o probabil´ısticas. . . . . . . . 106
5.2.2.1 Inacessibilidade a toda populac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.2.2 Amostragem sem norma (a esmo) . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.2.3 Populac¸a˜o formada por material cont´ınuo. . . . . . . . . . 106
5.2.2.4 Intencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5
5.3 Distribuic¸o˜es Amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.1 Distribuic¸a˜o amostral da me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1.1 Amostragem com reposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1.2 Amostragem sem reposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Infereˆncia 112
6.1 Teoria da estimac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.1.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.1.2 Propriedades dos Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.2.1 Na˜o tendenciosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.2.2 Consisteˆncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.2.3 Eficieˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.3 Intervalos de confianc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.3.1 Intervalo de confianc¸a para a me´dia µ . . . . . . . . . . . 116
6.1.3.1.1 Variaˆncia conhecida . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.3.1.2 Variaˆncia desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.3.2 Diferenc¸a entre duas me´dia (µa − µb) . . . . . . . . . . . . 119
6.1.3.2.1 Variancias Conhecidas: . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.1.3.2.2 Variancias Desconhecidas: . . . . . . . . . . . . . 120
6.1.3.3 Intervalo de confianc¸a para proporc¸a˜o . . . . . . . . . . . 121
6.1.3.3.1 Amostras grandes (n > 30) . . . . . . . . . . . . 121
6.1.3.3.2 Amostras pequenas (n ≤ 30) . . . . . . . . . . . . 122
6.1.3.4 Intervalo de confianc¸a para a diferenc¸a entre proporc¸o˜es . 122
6.1.3.4.1 Amostras grandes (n > 30) . . . . . . . . . . .