apostila

(n \u2264 N). A varia´vel aleato´ria X = nu´mero de elementos com a referida caracter´\u131stica,
que estara\u2dco entre os n retirados, segue uma distribuic¸a\u2dco hipergeome´trica, cuja func¸a\u2dco de
probabilidade e´ derivada diretamente da definic¸a\u2dco cla´ssica de probabilidade.
Func¸a\u2dco de probabilidade:
P (X = x) =
CxrC
n\u2212x
N\u2212r
CnN
(4.18)
Para\u2c6metros caracter´\u131sticos:
Fazendo r
N
= p e N\u2212r
N
= q tem-se:
E(X) = np (4.19)
V (X) = npq
N \u2212 n
N \u2212 1 (4.20)
86
Exemplo:
No ficha´rio de um hospital, esta\u2dco arquivados os prontua´rios dos de 20 pa-
cientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema card´\u131aco. Destes 5 sofr-
eram infarto. Retirando-se uma amostra ao acaso de 3 destes prontua´rios, qual a proba-
bilidade de que dois deles sejam de pacientes que sofreram infarto?
P (X = 2) =
C25C
3\u22122
20\u22125
C203
=
C25C
1
15
C203
=
(10)(15)
1140
= 0, 1315
4.3.8 Distribuic¸a\u2dco Multinomial
Considere um experimento com as seguintes caracter´\u131ticas:
i. Sa\u2dco realizadas n provas independentes;
ii. Cada prova admite um u´nico resultado entre r poss´\u131veis;
iii. As probabilidades pi de ocorrer um determinado resultado sa\u2dco constantes para todas
as repetic¸o\u2dces do experimento.
Associando a este experimento r varia´veis aleato´rias (X1, X2, . . . , Xr) cada
uma indicando o nu´mero de vezes que ocorreu o resultado nas n repetic¸o\u2dces. Enta\u2dco, a
distribuic¸a\u2dco da varia´vel multi dimensional (X1, X2, . . . , Xr) e´ chamada distribuic¸a\u2dco multi-
nomial.
Func¸a\u2dco de probabilidade
P (X1 = x1;X2 = x2; . . . ;Xr = xr) =
n!
x1!x2! . . . xn!
px11 p
x2
2 . . . p
xn
n (4.21)
Exemplo:
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Em um determinado cruzamento entre duas plantas de milho, a probabili-
dade de se obter uma planta com geno´tipo MM e´ igual a 0, 25, com geno´tipo Mm, 0, 50
e com geno´tipo mm 0, 25. De 10 descendentes deste cruzamento, qual a probabilidade de
que se obtenham respectivamente 2, 5 e 3 indiv´\u131duos com geno´tipos MM , Mm e mm?
P (MM = 2;Mm = 5;mm = 3) =
10!
2!5!3
(0, 25)2(0, 50)5(0, 25)3
= 0, 0769
4.4 Distribuic¸o\u2dces de varia´veis aleato´rias cont´\u131nuas
4.4.1 Distribuic¸a\u2dco Uniforme
A func¸a\u2dco densidade probabilidade da distribuic¸a\u2dco uniforme cont´\u131nua e´ dada
por:
f(x) =
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
1
b\u2212a para a \u2264 x \u2264 b
0 para outos valores de x (pov)
(4.22)
E´ fa´cil verificar que que a equac¸a\u2dco 4.22 e uma func¸a\u2dco densidade probabilidade
pois: \u222b \u221e
\u2212\u221e
f(x)dx =
\u222b a
\u2212\u221e
0dx+
\u222b b
a
1
b\u2212 adx+
\u222b \u221e
b
0dx
= 0 +
1
b\u2212 ax
\u2223\u2223\u2223b
a
+ 0
=
1
b\u2212 a(b\u2212 a) = 1
Para\u2c6metros caracter´\u131sticos
E(X) =
a+ b
2
(4.23)
V (X) =
(b\u2212 a)2
12
(4.24)
88
Prova:
E(X) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
xf(x)dx
=
\u222b a
\u2212\u221e
x0dx+
\u222b b
a
x
1
b\u2212 adx+
\u222b \u221e
b
x0dx
= 0 +
1
b\u2212 a
x2
2
\u2223\u2223\u2223b
a
+ 0
=
b2 \u2212 a2
2(b\u2212 a) =
(b\u2212 a)(b+ a)
2(b\u2212 a)
=
b+ a
2
E(X2) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
x2f(x)dx
=
\u222b a
\u2212\u221e
x20dx+
\u222b b
a
x2
1
b\u2212 adx+
\u222b \u221e
b
x20dx
= 0 +
1
b\u2212 a
x3
3
\u2223\u2223\u2223b
a
+ 0
=
b3 \u2212 a3
3(b\u2212 a)
V (X) = E(X2)\u2212 [E(X)]2
=
b3 \u2212 a3
3(b\u2212 a) \u2212
[
b+ a
2
]2
=
b3 \u2212 a3
3(b\u2212 a) \u2212
(b+ a)2
4
=
4(b3 \u2212 a3)\u2212 3(b+ a)2
12(b\u2212 a)
=
b3 \u2212 3ab2 + 3a2b\u2212 a3
12(b\u2212 a) =
(b\u2212 a)3
12(b\u2212 a)
=
(b\u2212 a)2
12
4.4.2 Distribuic¸a\u2dco Normal
E´ a mais importante das distribuic¸o\u2dces de probabilidades cont´\u131nuas, tendo
grande aplicac¸a\u2dco em pesquisas cient´\u131ficas e tecnolo´gicas. Pois, a maioria das varia´vies
89
cont´\u131nuas de interesse pratico, seguem esta distribuic¸a\u2dco, aliado ao fato da facilidade e boa
precisa\u2dco que e´ obtida na aproximac¸a\u2dco de outras distribuic¸o\u2dces, como a Binomial, para esta,
e o Teorema do Limite Central (TLC) que e´ a base das estimativas e testes de hipo´teses,
realizados sobre a me´dia de uma populac¸a\u2dco qualquer, que garante que a distribuic¸a\u2dco
amostral das me´dias segue uma distribuic¸a\u2dco normal, independentemente da distribuic¸a\u2dco
da varia´vel em estudo, como sera´ visto mais adiante.
Func¸a\u2dco Densidade Probabilidade
A func¸a\u2dco densidade probabilidade normal e´ dada por:
f(x) =
1\u221a
2pi\u3c3
e\u2212
1
2(
x\u2212µ
\u3c3 )
2
(4.25)
em que:
µ e \u3c3 sa\u2dco os para\u2c6metros me´dia e desvio padra\u2dco respectivamente,
pi e e sa\u2dco as constantes 3,1415 e 2,7182 respectivamente.
Gra´fico.
O gra´fico da func¸a\u2dco normal e´ dado por:
Figura 4.2: Distribuic¸a\u2dco normal.
Propriedades.
i. E´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto x = µ;
90
ii. Tem forma campanular (sino);
iii. As tre\u2c6s medidas de posic¸a\u2dco, me´dia, mediana e moda se confundem no ponto de ma´ximo
da curva (x = µ);
iv. Fica perfeitamente definida conhecendo-se a me´dia e o desvio padra\u2dco;
v. Tem dois pontos de inflexa\u2dco em x = µ± \u3c3;
vi. E´ assinto´tica em relac¸a\u2dco ao eixo das abicissas.
Sendo a func¸a\u2dco 4.25 uma func¸a\u2dco densidade de probabilidade (fdp), a´rea
compreendida entre a curva e eixo x e´ igual a 1, ou seja
\u222b\u221e
\u2212\u221e f(x)dx = 1.
Portanto, a a´rea sob a curva entre os pontos a e b, em que a ¡ b, dada por\u222b b
a
f(x)dx = 1 representa a probabilidade da varia´vel X assumir um valor entre a e b.
Deste modo, e´ imediato verificar que probabilidade de um ponto qualquer e´
nula, pois
\u222b a
a
f(x)dx = 0.
Notac¸a\u2dco
X \u223c N(µ, \u3c32)
4.4.2.1 Distribuic¸a\u2dco Normal Reduzida ou Padronizada.
Como pode-se notar, o ca´lculo de probabilidades via distribuic¸a\u2dco normal
envolve a soluc¸a\u2dco de integrais que na\u2dco sa\u2dco nada triviais. Em virtude da grande aplicac¸a\u2dco
da distribuic¸a\u2dco normal, procurou-se tabelar os valores de probabilidade, que seriam obti-
dos por meio da integrac¸a\u2dco da func¸a\u2dco densidade probabilidade normal num determinado
intervalo. A dificuldade para se processar esse tabelamento se prendeu na infinidade de
valores que µ e \u3c3 poderiam assumir. Nestas condic¸o\u2dces teria que se dispor de uma tabela
para cada uma das infinitas combinac¸o\u2dces de µ e \u3c3. Procurou-se, por isso, obter uma
nova forma para a distribuic¸a\u2dco normal, que na\u2dco sofresse a influencia destes para\u2c6metros (µ
e \u3c3). O problema foi solucionado mediante o emprego de uma nova varia´vel,z definida
por:z = x\u2212µ
\u3c3
, que transforma todas as distribuic¸o\u2dces normais, em uma distribuic¸a\u2dco nor-
mal reduzida, ou padronizada, de me´dia zero e desvio padra\u2dco um, z \u223c N(0, 1). Assim,
91
utilizamos apenas uma tabela para o ca´lculo de probabilidades, para qualquer que seja a
curva correspondente a uma distribuic¸a\u2dco normal. Desta forma, para um valor de x = µ
numa distribuic¸a\u2dco normal qualquer, corresponde o valor:z = 0, na distribuic¸a\u2dco normal
reduzida. Para x = µ+ \u3c3 tem-se z = 1, e assim por diante.
Exemplo:
1. A durac¸a\u2dco de um certo tipo de pneu, em quilo\u2c6metros rodados, e´ uma varia´vel normal
com durac¸a\u2dco me´dia 60000Km e desvio padra\u2dco 10000Km.
a) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar mais de
75000Km?
Sabe-se que X \u223c N(60000; 100002) e deseja-se obter: P (X \u2265 75000) =?
Figura 4.3:
Utilizando-se a transformac¸a\u2dco:
z =
x\u2212 µ
\u3c3
tem-se:
que o valor x = 75000 equivale a z = 75000\u221260000
10000
= 15000
10000
= 1, 5,
portanto,
P (X \u2265 75000) = P (z \u2265 1, 5) = 0, 5\u2212 0, 4332 = 0, 0668
b) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar entre 50000km
e 70000km? P (50000 \u2264 X \u2264 70000) =?
P (50000 \u2264 X \u2264 70000) = P (\u22121 \u2264 z \u2264 1) = 0, 3413 + 0, 3413 = 0, 6826
92
Figura 4.4:
Figura 4.5:
c) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar entre 63000km
e 70000km?
P (63000 \u2265 X \u2265 70000) = P (0, 30 \u2265 z \u2265 1) = 0, 3413 + 0, 1179 = 0, 2234
d) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar exatamente
70000km?
P (X = 70000) = P (z = 0) = 0
e) O fabricante deseja fixar prazo de garantia, em quilo\u2c6metros, de tal modo que,
se a durac¸a\u2dco do pneu for inferior a` garantia,