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(n \u2264 N). A varia´vel aleato´ria X = nu´mero de elementos com a referida caracter´\u131stica, que estara\u2dco entre os n retirados, segue uma distribuic¸a\u2dco hipergeome´trica, cuja func¸a\u2dco de probabilidade e´ derivada diretamente da definic¸a\u2dco cla´ssica de probabilidade. Func¸a\u2dco de probabilidade: P (X = x) = CxrC n\u2212x N\u2212r CnN (4.18) Para\u2c6metros caracter´\u131sticos: Fazendo r N = p e N\u2212r N = q tem-se: E(X) = np (4.19) V (X) = npq N \u2212 n N \u2212 1 (4.20) 86 Exemplo: No ficha´rio de um hospital, esta\u2dco arquivados os prontua´rios dos de 20 pa- cientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema card´\u131aco. Destes 5 sofr- eram infarto. Retirando-se uma amostra ao acaso de 3 destes prontua´rios, qual a proba- bilidade de que dois deles sejam de pacientes que sofreram infarto? P (X = 2) = C25C 3\u22122 20\u22125 C203 = C25C 1 15 C203 = (10)(15) 1140 = 0, 1315 4.3.8 Distribuic¸a\u2dco Multinomial Considere um experimento com as seguintes caracter´\u131ticas: i. Sa\u2dco realizadas n provas independentes; ii. Cada prova admite um u´nico resultado entre r poss´\u131veis; iii. As probabilidades pi de ocorrer um determinado resultado sa\u2dco constantes para todas as repetic¸o\u2dces do experimento. Associando a este experimento r varia´veis aleato´rias (X1, X2, . . . , Xr) cada uma indicando o nu´mero de vezes que ocorreu o resultado nas n repetic¸o\u2dces. Enta\u2dco, a distribuic¸a\u2dco da varia´vel multi dimensional (X1, X2, . . . , Xr) e´ chamada distribuic¸a\u2dco multi- nomial. Func¸a\u2dco de probabilidade P (X1 = x1;X2 = x2; . . . ;Xr = xr) = n! x1!x2! . . . xn! px11 p x2 2 . . . p xn n (4.21) Exemplo: 87 Em um determinado cruzamento entre duas plantas de milho, a probabili- dade de se obter uma planta com geno´tipo MM e´ igual a 0, 25, com geno´tipo Mm, 0, 50 e com geno´tipo mm 0, 25. De 10 descendentes deste cruzamento, qual a probabilidade de que se obtenham respectivamente 2, 5 e 3 indiv´\u131duos com geno´tipos MM , Mm e mm? P (MM = 2;Mm = 5;mm = 3) = 10! 2!5!3 (0, 25)2(0, 50)5(0, 25)3 = 0, 0769 4.4 Distribuic¸o\u2dces de varia´veis aleato´rias cont´\u131nuas 4.4.1 Distribuic¸a\u2dco Uniforme A func¸a\u2dco densidade probabilidade da distribuic¸a\u2dco uniforme cont´\u131nua e´ dada por: f(x) = \uf8f1\uf8f2 \uf8f3 1 b\u2212a para a \u2264 x \u2264 b 0 para outos valores de x (pov) (4.22) E´ fa´cil verificar que que a equac¸a\u2dco 4.22 e uma func¸a\u2dco densidade probabilidade pois: \u222b \u221e \u2212\u221e f(x)dx = \u222b a \u2212\u221e 0dx+ \u222b b a 1 b\u2212 adx+ \u222b \u221e b 0dx = 0 + 1 b\u2212 ax \u2223\u2223\u2223b a + 0 = 1 b\u2212 a(b\u2212 a) = 1 Para\u2c6metros caracter´\u131sticos E(X) = a+ b 2 (4.23) V (X) = (b\u2212 a)2 12 (4.24) 88 Prova: E(X) = \u222b \u221e \u2212\u221e xf(x)dx = \u222b a \u2212\u221e x0dx+ \u222b b a x 1 b\u2212 adx+ \u222b \u221e b x0dx = 0 + 1 b\u2212 a x2 2 \u2223\u2223\u2223b a + 0 = b2 \u2212 a2 2(b\u2212 a) = (b\u2212 a)(b+ a) 2(b\u2212 a) = b+ a 2 E(X2) = \u222b \u221e \u2212\u221e x2f(x)dx = \u222b a \u2212\u221e x20dx+ \u222b b a x2 1 b\u2212 adx+ \u222b \u221e b x20dx = 0 + 1 b\u2212 a x3 3 \u2223\u2223\u2223b a + 0 = b3 \u2212 a3 3(b\u2212 a) V (X) = E(X2)\u2212 [E(X)]2 = b3 \u2212 a3 3(b\u2212 a) \u2212 [ b+ a 2 ]2 = b3 \u2212 a3 3(b\u2212 a) \u2212 (b+ a)2 4 = 4(b3 \u2212 a3)\u2212 3(b+ a)2 12(b\u2212 a) = b3 \u2212 3ab2 + 3a2b\u2212 a3 12(b\u2212 a) = (b\u2212 a)3 12(b\u2212 a) = (b\u2212 a)2 12 4.4.2 Distribuic¸a\u2dco Normal E´ a mais importante das distribuic¸o\u2dces de probabilidades cont´\u131nuas, tendo grande aplicac¸a\u2dco em pesquisas cient´\u131ficas e tecnolo´gicas. Pois, a maioria das varia´vies 89 cont´\u131nuas de interesse pratico, seguem esta distribuic¸a\u2dco, aliado ao fato da facilidade e boa precisa\u2dco que e´ obtida na aproximac¸a\u2dco de outras distribuic¸o\u2dces, como a Binomial, para esta, e o Teorema do Limite Central (TLC) que e´ a base das estimativas e testes de hipo´teses, realizados sobre a me´dia de uma populac¸a\u2dco qualquer, que garante que a distribuic¸a\u2dco amostral das me´dias segue uma distribuic¸a\u2dco normal, independentemente da distribuic¸a\u2dco da varia´vel em estudo, como sera´ visto mais adiante. Func¸a\u2dco Densidade Probabilidade A func¸a\u2dco densidade probabilidade normal e´ dada por: f(x) = 1\u221a 2pi\u3c3 e\u2212 1 2( x\u2212µ \u3c3 ) 2 (4.25) em que: µ e \u3c3 sa\u2dco os para\u2c6metros me´dia e desvio padra\u2dco respectivamente, pi e e sa\u2dco as constantes 3,1415 e 2,7182 respectivamente. Gra´fico. O gra´fico da func¸a\u2dco normal e´ dado por: Figura 4.2: Distribuic¸a\u2dco normal. Propriedades. i. E´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto x = µ; 90 ii. Tem forma campanular (sino); iii. As tre\u2c6s medidas de posic¸a\u2dco, me´dia, mediana e moda se confundem no ponto de ma´ximo da curva (x = µ); iv. Fica perfeitamente definida conhecendo-se a me´dia e o desvio padra\u2dco; v. Tem dois pontos de inflexa\u2dco em x = µ± \u3c3; vi. E´ assinto´tica em relac¸a\u2dco ao eixo das abicissas. Sendo a func¸a\u2dco 4.25 uma func¸a\u2dco densidade de probabilidade (fdp), a´rea compreendida entre a curva e eixo x e´ igual a 1, ou seja \u222b\u221e \u2212\u221e f(x)dx = 1. Portanto, a a´rea sob a curva entre os pontos a e b, em que a ¡ b, dada por\u222b b a f(x)dx = 1 representa a probabilidade da varia´vel X assumir um valor entre a e b. Deste modo, e´ imediato verificar que probabilidade de um ponto qualquer e´ nula, pois \u222b a a f(x)dx = 0. Notac¸a\u2dco X \u223c N(µ, \u3c32) 4.4.2.1 Distribuic¸a\u2dco Normal Reduzida ou Padronizada. Como pode-se notar, o ca´lculo de probabilidades via distribuic¸a\u2dco normal envolve a soluc¸a\u2dco de integrais que na\u2dco sa\u2dco nada triviais. Em virtude da grande aplicac¸a\u2dco da distribuic¸a\u2dco normal, procurou-se tabelar os valores de probabilidade, que seriam obti- dos por meio da integrac¸a\u2dco da func¸a\u2dco densidade probabilidade normal num determinado intervalo. A dificuldade para se processar esse tabelamento se prendeu na infinidade de valores que µ e \u3c3 poderiam assumir. Nestas condic¸o\u2dces teria que se dispor de uma tabela para cada uma das infinitas combinac¸o\u2dces de µ e \u3c3. Procurou-se, por isso, obter uma nova forma para a distribuic¸a\u2dco normal, que na\u2dco sofresse a influencia destes para\u2c6metros (µ e \u3c3). O problema foi solucionado mediante o emprego de uma nova varia´vel,z definida por:z = x\u2212µ \u3c3 , que transforma todas as distribuic¸o\u2dces normais, em uma distribuic¸a\u2dco nor- mal reduzida, ou padronizada, de me´dia zero e desvio padra\u2dco um, z \u223c N(0, 1). Assim, 91 utilizamos apenas uma tabela para o ca´lculo de probabilidades, para qualquer que seja a curva correspondente a uma distribuic¸a\u2dco normal. Desta forma, para um valor de x = µ numa distribuic¸a\u2dco normal qualquer, corresponde o valor:z = 0, na distribuic¸a\u2dco normal reduzida. Para x = µ+ \u3c3 tem-se z = 1, e assim por diante. Exemplo: 1. A durac¸a\u2dco de um certo tipo de pneu, em quilo\u2c6metros rodados, e´ uma varia´vel normal com durac¸a\u2dco me´dia 60000Km e desvio padra\u2dco 10000Km. a) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar mais de 75000Km? Sabe-se que X \u223c N(60000; 100002) e deseja-se obter: P (X \u2265 75000) =? Figura 4.3: Utilizando-se a transformac¸a\u2dco: z = x\u2212 µ \u3c3 tem-se: que o valor x = 75000 equivale a z = 75000\u221260000 10000 = 15000 10000 = 1, 5, portanto, P (X \u2265 75000) = P (z \u2265 1, 5) = 0, 5\u2212 0, 4332 = 0, 0668 b) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar entre 50000km e 70000km? P (50000 \u2264 X \u2264 70000) =? P (50000 \u2264 X \u2264 70000) = P (\u22121 \u2264 z \u2264 1) = 0, 3413 + 0, 3413 = 0, 6826 92 Figura 4.4: Figura 4.5: c) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar entre 63000km e 70000km? P (63000 \u2265 X \u2265 70000) = P (0, 30 \u2265 z \u2265 1) = 0, 3413 + 0, 1179 = 0, 2234 d) Qual a probabilidade de um pneu aleatoriamente escolhido durar exatamente 70000km? P (X = 70000) = P (z = 0) = 0 e) O fabricante deseja fixar prazo de garantia, em quilo\u2c6metros, de tal modo que, se a durac¸a\u2dco do pneu for inferior a` garantia,