apostila

o pneu seja trocado. De quantos
quilo\u2c6metros deve ser este prazo, para que somente 1% dos pneus sejam trocados?
Figura 4.6:
x : P (X \u2264 x) = 0, 01
z : P (Z \u2264 z) = 0, 01 = \u22122, 33
z = x\u2212µ
\u3c3
\u21d2 \u22122, 33 = x\u221260000
10000
\u21d2 x = 36700km
93
4.4.3 Distribuic¸a\u2dco Exponencial
Em um processo de Poison, com para\u2c6metro \u3bb (isto e´, tal que o nu´mero de
sucessos em um determinado intervalo t segue uma distribuic¸a\u2dco de Poison com me´dia
µ = \u3bbt), como por exemplo contar o nu´mero de carros que passam por um determinado
ponto de uma estrada, num certo per´\u131odo de tempo. A distribuic¸a\u2dco da varia´vel T , que
representa o intervalo decorrido entre dois sucessos consecutivos, e´ conhecida como Dis-
tribuic¸a\u2dco Exponencial. Cuja func¸a\u2dco densidade probabilidade e´ dada por:
f(t) = \u3bbe\u2212\u3bbt, t \u2265 0 (4.26)
Figura 4.7: Distribuic¸a\u2dco exponencial.
Prova:
Por definic¸a\u2dco a varia´vel T representa o tempo decorrido entre dois sucessos
em um processo de Poison. Enta\u2dco para que T seja maior que um t qualquer e´ preciso que
o pro´ximo sucesso demore mais do que t para ocorrer. Assim,
P (t > t) = P (0 sucessos em t) = e\u2212\u3bbt
a func¸a\u2dco partic¸a\u2dco no ponto t sera´:
94
F (t) = P (T \u2264 t) = 1\u2212 e\u2212\u3bbt
Derivando-se a func¸a\u2dco partic¸a\u2dco em relac¸a\u2dco a t, obte´m-se a func¸a\u2dco densidade
probabilidade:
f(t) =
dF (t)
dt
= \u3bbe\u2212\u3bbt para t \u2265 0
= 0 para t < 0
Para\u2c6metros caracter´\u131sticos:
Me´dia:
E(t) =
1
\u3bb
(4.27)
Varia\u2c6ncia
V (t) =
1
\u3bb2
(4.28)
Prova:
E(t) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
tf(t)dt =
\u222b \u221e
0
t\u3bbe\u2212\u3bbtdt
=
1
\u3bb
Exemplo:
Certo tipo de fus´\u131vel tem durac¸a\u2dco de vida que segue uma distribuic¸a\u2dco expo-
nencial com vida me´dia de 100 horas. Cada fus´\u131vel tem um custo de R$10,00, e se durar
menos de 200 horas, existe um custo adicional de R$8,00. a) Qual a probabilidade de um
fus´\u131vel, aleatoriamente escolhido, dura mais de 150 horas?
l=? Me´dia :m(t)=
b) Qual o custo esperado dos fus´\u131veis custo=
P(T ¡ 200) = 1 - E(custo) = 10.0,1353 + 18.0,8647 = R$ 16,92
95
4.4.4 Distribuic¸a\u2dco Qui-Quadrado
A distribuic¸a\u2dco de \u3c72 (le\u2c6-se qui-quadrado) e´ um caso particular da distribuic¸a\u2dco
gama, sendo muito empregada em estat´\u131stica na\u2dco parame´trica, uma vez que a estat´\u131stica
\u3c72, utilizada para verificac¸a\u2dco od ajuste de modelos probabil´\u131sticos teo´ricos a um conjunto
de dados observados segue tal distribuic¸a\u2dco.
A func¸a\u2dco densidade de probabilidade e´ dada por:
f(x) =
1
2(
v
2
)\u393(v
2
)
x(
v
2
\u22121)e\u2212(
x
2
) (4.29)
em que:
v sa\u2dco os graus de liberdade;
\u393(n) e´ a func¸a\u2dco gama. Para n inteiro positivo, \u393(n) = (n\u2212 1)!
Figura 4.8: Distribuic¸o\u2dces Qui-Quadrado com 1, 5 e 10 graus de liberdade
Esperanc¸a:
E(\u3c7v) = v;
Varia\u2c6ncia:
V (\u3c7v) = 2v
96
4.4.5 Distribuic¸a\u2dco t de Student
Viu-se que a varia´vel z = x\u2212µ
\u3c3
\u223c N(0, 1). De modo semelhante, pode-se
demonstrar que:
Z =
x¯\u2212 µ
\u3c3\u221a
n
\u223c N(0, 1) (4.30)
Suponha-se que o para\u2c6metro \u3c3 em 4.30 seja substitu´\u131do por seu estimador
na\u2dco tendencioso
s2 =
\u2211
(xi \u2212 x¯)
n\u2212 1 .
Assim a eq.4.30 ficara´:
t =
x¯\u2212 µ
s\u221a
n
(4.31)
Pode-se demonstrar que que a varia´vel t, 4.31 segue uma distribuic¸a\u2dco t de
student com v = n\u2212 1 graus de liberdade, cuja func¸a\u2dco densidade probabilidade e´:
f(x) =
\u393
(
v+1
2
)
\u393(v
2
)
\u221a
piv
(
1 +
x2
v
)\u2212 v+1
2
(4.32)
em que:
v sa\u2dco os graus de liberdade;
\u393() e´ a func¸a\u2dco Gama.
Esperanc¸a:
E(t) = 0;
Varia\u2c6ncia:
V (t) = v
v+2
Caracter´\u131sticas:
i. e´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto x = 0 (me´dia)
ii. se v tende para infinito, t tende para z, como pode ser observado na figura 4.9
lim
v\u2192inf
f(t) = z
97
Figura 4.9: Distribuic¸o\u2dces t de student com 5 e 30 graus de liberdade e distribuic¸a\u2dco normal
padronizada.
4.4.6 Distribuic¸a\u2dco F de Snedcor
f(x) =
\u393(v1+2
2
)
\u393(v1
2
)\u393(v2
2
)
(
v1
v2
)( v1
2
)
x(
v1\u22122
2
)[
1 + (v1
v2
)y
]( v1+v2
2
)
(4.33)
Esperanc¸a:
E(F ) = v2
v2\u22122 ;
Varia\u2c6ncia:
V (F ) = 2v2
2(v1+v2\u22122)
v1(v2\u22124)(v22)
4.4.7 Aproximac¸a\u2dco da Distribuic¸a\u2dco Binomial a` Normal
Os problemas relacionados com a distribuic¸a\u2dco Binomial sa\u2dco fa´ceis de serem
resolvidos desde que o nu´mero de repetic¸o\u2dces (n) na\u2dco seja grande, pois, quando n for grande,
tais ca´lculos tornam-se demorados e tedioso e uma boa aproximac¸a\u2dco torna-se u´til. Quando
se utiliza a aproximac¸a\u2dco da distribuic¸a\u2dco Binomial a` Normal, o erro cometido sera´ tanto
menor quanto maior for n e mais pro´ximo de 1
2
for p (probabilidade de sucesso). Alguns
autores afirmam que a aproximac¸a\u2dco e´ considerada boa quando np 5. Como a Distribuic¸a\u2dco
98
Figura 4.10: Distribuic¸a\u2dco F, com 10 graus de liberdade para o numerador e 20 para o
denominador.
Binomial e´ discreta, e a Normal cont´\u131nua , ao realizar-se a aproximac¸a\u2dco deve-se fazer
uma correc¸a\u2dco, chamada correc¸a\u2dco para descontinuidade da curva, que consiste em supor
distribu´\u131da entre xi + 0, 5 e xi \u2212 0, 5 a probabilidade concentrada em xi. Assim,
P (X = xi) pela Binomial e´ aproximada para P (x\u2212 i\u2212 0, 5 \u2264 X \u2264 xi+0, 5)
na Distribuic¸a\u2dco Normal
Exemplo.
Em um determinado processo de produc¸a\u2dco de chips para computador, 5%
dos chips produzidos sa\u2dco considerados defeituosos. Sabendo-se que a produc¸a\u2dco dia´ria
da fa´brica em questa\u2dco e´ de 1000 chips, qual a probabilidade de que em um dia sejam
produzidos:
a) 50 chips defeituosos?
X B(1000, 0, 05)
Me´dia =E(X) = n.p = (1000)(0, 05) = 50 chips
Varia\u2c6ncia =V (X) = npq = (1000)(0, 05)(0, 95) = 47, 5 chip2
P (X = 50) ' P (49, 5 \u2264 X \u2264 50, 5) = P (\u22120, 07 \u2264 z \u2264 0, 07) = 0, 0558
b) menos que 50 chips defeituosos
99
P (X \u2264 50) ' P (X \u2264 50, 5) = P (z \u2264 0, 07) = 0, 5279
Cap´\u131tulo 5
Amostragem
5.1 Introduc¸a\u2dco.
5.1.1 Definic¸o\u2dces
i. Populac¸a\u2dco: conjunto de indiv´\u131duos com pelo menos uma caracter´\u131stica observa´vel
em comum.
ii. Amostra: porc¸a\u2dco ou frac¸a\u2dco da populac¸a\u2dco, retirada segundo algumas te´cnicas es-
pec´\u131ficas, que matem as mesmas caracter´\u131sticas de interesse da populac¸a\u2dco.
iii. Para\u2c6metro: e´ uma medida associada a` uma caracter´\u131stica populacional Ex: Me´dia
(µ), varia\u2c6ncia (\u3c32), etc.
iv. Estat´\u131stica: e´ uma medida associada a` uma caracter´\u131stica amostral. Ex: Me´dia (x¯),
varia\u2c6ncia (s2).
Um dos principais problemas apresentados na estat´\u131stica e´ o de se fazer
afirmac¸o\u2dces sobre os para\u2c6metros populacionais (geralmente desconhecidos), como por exem-
plo saber qual o tempo necessa´rio para o organismo humano degradar certo composto
qu´\u131mico, qual a produc¸a\u2dco total de gra\u2dcos de um pa´\u131s num determinado ano, qual a altura
me´dia da populac¸a\u2dco brasileira, afirmar se um novo composto e´ carcinioge\u2c6nico ou na\u2dco. E
para respondermos a estas questo\u2dces, muitas das vezes, temos que lanc¸ar ma\u2dco do processo
100
101
de amostragem, que consiste em estudar apenas uma frac¸a\u2dco da populac¸a\u2dco (a amostra) e a
partir desta fazer infere\u2c6ncias sobre a populac¸a\u2dco. Esquematicamente tem-se:
Figura 5.1: Representac¸a\u2dco esquema´tica do processo de amostragem e infere\u2c6ncia.
Para que o processo anteriormente descrito seja confia´vel, e´ necessa´rio que
a amostra utilizada seja representativa da populac¸a\u2dco, e para isso, ela deve ser retirada
segundo determinadas te´cnicas de amostragem. De posse de uma amostra, representativa
da populac¸a\u2dco, para fazermos a infere\u2c6ncia sobre os para\u2c6metros populacionais, a partir desta
amostra, e´ necessa´rio o conhecimento das relac¸o\u2dces existentes entre as estimativas obtidas
e os valores dos para\u2c6metros populacionais, ou seja, e´ necessa´rio conhecer a distribuic¸a\u2dco
amostral do estimador utilizado, para que se possa fazer uma infere\u2c6ncia segura sobre um
para\u2c6metro qualquer.
5.1.2 Importa\u2c6ncia do uso de amostras.
i.