apostila

` 600 58 0,145
600 ` 700 76 0,190
700 ` 800 68 0,170
800 ` 900 62 0,155
900 ` 1000 48 0,120
1000 ` 1100 22 0,055
1100 ` 1200 6 0,015
TOTAL 400 1,000
x¯ =
(350)(14) + (450)(46) + · · ·+ (1150)(6)
14 + 46 + · · ·+ 6 =
286200
400
= 715, 5horas
Propriedades da Me´dia
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i. A soma dos desvios de um conjunto de dados em relac¸a\u2dco a sua me´dia e´ nula
Ex.: Dados ,1,2,3;
x¯ = 2
(1\u2212 2) + (2\u2212 2) + (3\u2212 2) = 0
Prova:
n\u2211
i=1
[xi \u2212 x¯] =
n\u2211
i=1
xi \u2212 nx¯
=
n\u2211
i=1
xi \u2212 n
\u2211n
i=1 xi
n
=
n\u2211
i=1
xi \u2212
n\u2211
i=1
xi
= 0
ii. A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de dados em relac¸a\u2dco a uma con-
stante k e´ m\u131´nima quando k for a me´dia.
Ex.: Dados 1,2,3, x¯ = 2
k Soma dos quadrados dos desvios
1,0 5,00
1,5 2,75
2,0 2,00
2,5 2,75
3,0 5,00
Prova:
Seja
S =
n\u2211
i=1
[xi \u2212 \u3b8]2 ,
Enta\u2dco o valor de \u3b8 que minimiza S e´ obtido solucionando-se o sistema:
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dS
d\u3b8
= 0
Assim
2
n\u2211
i=1
[xi \u2212 \u3b8] = 0
n\u2211
i=1
xi \u2212 n\u3b8 = 0
\u3b8 =
\u2211n
i=1 x1
n
\u3b8 = x¯
iii. A me´dia de um conjunto de dados acrescidos ou subtra´\u131dos em cada elemento de uma
constante k e´ igual a´ me´dia original somada ou subtra´\u131da desta constante.
Ex.: Dados 1, 2, 3 x¯ = 2
k=2 novos dados: 3, 4, 5 x¯\u2217 = 4 = 2 + 2 = x¯+ k
Prova: x¯ =
\u2211n
i=1 xi
n
fazendo x\u2217i = (xi ±+k)
tem-se:
x¯\u2217 =
\u2211n
i=1 x
\u2217
i
n
=
\u2211n
i=1(xi ± k)
n
=
\u2211n
i=1 xi ± nk
n
=
\u2211n
i=1 xi
n
± k
x¯\u2217 = x¯± k
iv. Multiplicando-se todos os dados por uma constante k, a nova me´dia fica multiplicada
por k.
Ex.: Dados: 1, 2, 3 x¯ = 2
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k=3 novos dados: 3, 6, 9 x¯\u2217 = 6 = (3)(2) = kx¯
Prova: x¯ =
\u2211n
i=1 xi
n
fazendo x\u2217i = (kxi)
tem-se:
x¯\u2217 =
\u2211n
i=1 x
\u2217
i
n
=
\u2211n
i=1(kxi)
n
=
k
\u2211n
i=1 xi
n
x¯\u2217 = kx¯
Caracter´\u131sticas e importa\u2c6ncia:
i. E´ muito influenciada pelos valores extremos da distribuic¸a\u2dco;
ii. Localiza-se, em geral, na classe de maior frequ¨e\u2c6ncia;
iii. Na sua determinac¸a\u2dco sa\u2dco considerados todos os dados da distribuic¸a\u2dco;
iv. A sua precisa\u2dco esta´ na raza\u2dco direta do nu´mero de observac¸o\u2dces com que e´ calculada;
v. E´ u´nica para um conjunto de dados.
vi. Na\u2dco pode ser calculada para dados agrupados que apresentam classes extremas aber-
tas.
Ex.:
Classe Fa
0 a 500 5
mais de 500 6
- Me´dia Ponderada
A`s vezes associa-se a`s observac¸o\u2dces x1, x2, . . . , xn determinadas ponderac¸o\u2dces
ou pesos w1, w2, . . . , wn que dependem da importa\u2c6ncia atribu´\u131da a cada uma das ob-
servac¸o\u2dces, neste caso a me´dia e´ dada por:
33
x¯p =
\u2211n
i=1 xiwi\u2211n
i=1wi
(2.12)
Ex.: Se o exame final de um curso tem peso 3, e as provas correntes peso 1.
Qual a nota me´dia de um aluno que obteve 85 no exame final e 70,90 nas provas correntes?
Aplicando-se a equac¸a\u2dco2.12 tem-se:
x¯p =
(3)(85) + (1)(70) + (1)(90)
3 + 1 + 1
=
415
5
= 85 pontos
- Me´dia Geome´trica
A me´dia geome´trica de um conjunto de n observac¸o\u2dces, x1, x2, · · · , xn, e´ dada
pela raiz de ordem n do produto dessas observac¸o\u2dces, ou seja:
x¯G =
n
\u221a
x1X2 · · · xn = n
\u221a\u221a\u221a\u221a n\u220f
i=1
xi (2.13)
ou ainda:
ln x¯G =
1
n
n\u2211
i=1
ln xi (2.14)
A me´dia geome´trica e´ utilizada para representar varia´veis assime´tricas a
direita, pois, nestes casos, me´dia aritme´tica, por ser muito influenciada pelos valores ex-
tremos, na\u2dco representa bem a varia´vel. Como exemplos de varia´veis, para as quais a me´dia
geome´trica e´ um melhor localizador do que a me´dia aritme´tica pode sitar-se a distribuic¸a\u2dco
de renda da populac¸a\u2dco brasileira, a condutividade hidra´ulica de um solo e o dia\u2c6metro de
torro\u2dces de solo.
- Me´dia Harmo\u2c6nica
A me´dia harmo\u2c6nica de um conjunto de n observac¸o\u2dces, x1, x2, . . . , xn, e´ a
rec´\u131proca da me´dia aritme´tica dos rec´\u131procos das observac¸o\u2dces:
x¯H =
1
1
n
\u2211n
i=1
1
xi
=
n\u2211n
i=1
1
xi
(2.15)
Este tipo de me´dia e´ utilizado para varia´veis que apresentem periodicidade,
ou seja uma variac¸a\u2dco harmo\u2c6nica, como por exemplo ondas de ra´dio, variac¸a\u2dco de prec¸os de
produtos agr´\u131colas no decorrer do ano (safra/entre safra), sinais de TV, etc.
34
2.2.1.2 Mediana
Para um conjunto de dados ordenados (Rol) a mediana e´ o valor que e´
precedido e seguido pelo mesmo nu´mero de dados (observac¸o\u2dces). Isto e´ 50% dos dados sa\u2dco
superiores a` mediana e 50% sa\u2dco inferiores.
Ca´lculo da mediana
i. Quando o nu´mero de dados (n) for \u131´mpar, a mediana e´ dada por:
Md = x(n+12 )
(2.16)
Ex.: 0, 1, 2, 3, 4\u21d2 n = 5 (´impar)
Md = x( 5+12 )
= x(3) = 2
ii. Quando o nu´mero de dados for par, a mediana sera´ dada por:
Md =
x(n2 )
+ x(n+22 )
2
(2.17)
Ex.: 0, 1, 2, 3\u21d2 n = 4 (par)
Md =
x
( 42)
+x
( 4+22 )
2
=
x(2)+x(3)
2
= 1+2
2
= 1, 5
iii. Dados agrupados:
Md = Li +
[ n
2
\u2212 Fa
FMd
+
]
c, (2.18)
em que,
Li = e o limite inferior da classe mediana;
Fa = e´ a frequ¨e\u2c6ncia acumulada das classes anteriores a classe mediana;
FMd e´ a frequ¨e\u2c6ncia da classe mediana; e
c e´ amplitude da classe mediana.
Ex.: Para os dados da Tabela2.11 (Durabilidade das va´lvulas) temos:
35
n = 400 observac¸o\u2dces. o valor da mediana encontra-se entre a posic¸a\u2dco 200 e 201 x n
2
e
xn+2
2
, que pertencem a` 5a classe [700\u2212 800[ Aplicando-se a fo´rmula da mediana vem:
Md = Li +
[ n
2
\u2212 Fa
FMd
+
]
c
= 700 +
[ 400
2
\u2212 194
68
+
]
100
= 708, 82 horas
Interpretac¸a\u2dco: A mediana igual a 708,82 horas indica que 50% das va´lvulas duram
menos que 708,82 horas e 50% duram mais que 708,82 horas.
Propriedades da Mediana:
i. A soma dos mo´dulos dos desvios dos dados em relac¸a\u2dco a` mediana e´ m\u131´nima.
n\u2211
i=1
|xi \u2212Md| = mi´nimo
ii. Somando-se ou subtraindo-se uma constante (k) a todas as observac¸o\u2dces, a mediana
fica somada ou subtra´\u131da desta constante (k).
x\u2217 = X ± k \u21d2Md\u2217 = Md± k
iii. Multiplicando-se todas as observac¸o\u2dces por uma constante (k), a mediana fica multi-
plicada por esta constante (k).
x\u2217 = kx\u21d2Md\u2217 = kMd
Caracter´\u131sticas e Importa\u2c6ncia:
i. Pode ser obtida em distribuic¸o\u2dces de frequ¨e\u2c6ncias que apresentem classes com limites
indefinidos;
ii. E´ muito empregada em pesquisas nas quais os valores extremos te\u2c6m pouca im-
porta\u2c6ncia;
36
iii. Na\u2dco e´ influenciada por valores extremos e sim pelo nu´mero de observac¸o\u2dces;
iv. E´ mais realista do que a me´dia para representar certas varia´veis, como o n´\u131vel salarial
de uma empresa.
2.2.1.3 Moda
A moda de um conjunto de dados e´ o valor que ocorre com maior frequ¨e\u2c6ncia,
isto e´, o valor mais comum. Para um conjunto de dados a moda pode na\u2dco ser u´nica, bem
como pode na\u2dco existir.
Ex.:
2, 3, 4, 5, 7, 7, 7, 8, 9 Mo = 7;
1, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 20 na\u2dco possui moda;
1, 2, 3, 4, 4, 8, 10, 10 13 Mo = 4 e Mo = 10.
Dados Agrupados
Quando os dados esta\u2dco agrupados, na forma de uma distribuic¸a\u2dco de
frequ¨e\u2c6ncias, a moda e´ o ponto do eixo x, correspondente a` ordenada ma´xima da dis-
tribuic¸a\u2dco. O processo para ca´lculo da moda em dados agrupados e´ o geome´trico, a partir
do histograma de frequ¨e\u2c6ncias (Me´todo de Czuber). Este me´todo e´ baseado na influe\u2c6ncia
que as classes adjacentes exercem sobre a moda, deslocando-a no sentido da classe de
maior frequ¨e\u2c6ncia.
No histograma acima, marca-se, na classe modal, os ve´rtices A, B, C e D.
Trac¸a-se as retas AC e BD. No ponto de intersecc¸a\u2dco destas retas (E) trac¸a-se uma perpen-
dicular ao eixo das classes, localizando o ponto Mo, valor da moda. O ponto Mo divide
o intervalo da classe modal (c) em duas partes, cujos comprimentos sa\u2dco proporcionais a
\u22061 e \u22062. Sendo \u22061 a diferenc¸a entre a frequ¨e\u2c6ncia da classe modal e da classe imediata-
mente anterior,e \u22062