Aula 20 - Desconto Composto

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1.	 Descontos Compostos ..................................................................................................................................... 2	
1.1.	 Desconto Racional (por dentro) Composto ...................................................................................................... 3	
1.2.	 Desconto Comercial (por fora) Composto ........................................................................................................ 6	
Lista de Questões de Concursos sem Comentários ................................................................................................. 11	
Gabaritos .............................................................................................................................................................. 20	
Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ............................................................................... 21	
Considerações Finais ............................................................................................................................................. 50	
 
 
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Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre Descontos Compostos? 
 
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1. DESCONTOS COMPOSTOS 
Já estudamos a operação de desconto. Foi visto que desconto é o abatimento que se faz no valor 
de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. 
 
Elemento da operação de desconto Descrição 
Valor Nominal, Valor de Face, 
Valor Futuro (N) 
É o valor que está escrito no título. É o 
valor que deve ser pago na data do 
vencimento. 
Valor Atual, Valor Presente, Valor 
Líquido, Valor Descontado (A) 
O valor líquido é obtido pela diferença 
entre o valor nominal e o desconto. 
 
Desconto (D) 
Desconto é o abatimento que se faz no 
valor de uma dívida quando ela é 
negociada antes da data de vencimento. 
É a diferença entre o valor nominal e o 
valor atual. 
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Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual 
ao valor nominal menos o desconto. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
 
Os elementos da operação de desconto composto são os mesmos dos elementos da operação de 
desconto simples. A única coisa que irá mudar é a natureza da taxa. 
 
O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto racional, também 
chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o desconto “teoricamente” correto. 
Existe também o desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto sem fundamentação 
teórica, mas muito praticado no mercado financeiro. 
 
Desconto composto é aquele obtido pela aplicação do regime de capitalização composta. Pode 
ser, também, de dois tipos (por fora e por dentro). 
 
Nesta aula estudaremos o Desconto Racional Composto e o Desconto Comercial Composto. 
 
Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a modalidade do 
desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou composto). 
 
1.1. DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO 
 
A operação de desconto racional composto, por definição, é equivalente a uma operação de 
juros compostos. 
 
Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar um valor presente para 
o futuro, na operação de desconto racional composto teremos como objetivo projetar o Valor 
Nominal para a data atual. 
O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtido aplicando-se a taxa de 
desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro composto sobre o valor atual 
durante o tempo que falta para o vencimento do título. 
 
Já que o desconto racional composto equivale à operação de juros compostos, podemos fazer um 
desenho comparativo. 
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à O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capital inicial da operação de 
juros compostos. 
à O valor nominal do desconto racional composto corresponde ao montante da operação de 
juros compostos. 
à O desconto da operação de desconto racional composto corresponde ao juro da operação de 
juros compostos. 
 
Correspondência entre os elementos das operações 
 
Juros Compostos Desconto Racional Composto (por dentro) 
Capital Inicial (C) Valor Atual (A) 
Montante (M) Valor Nominal (N) 
Juro (J) Desconto (D) 
 
 
 
 
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Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional composto (por dentro). 
Juros Compostos: 
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖). 
Desconto Racional Composto 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
Basta fazer as substituições dos termos correspondentes entre as operações de juros e de 
desconto. 
Vejamos agora um esquema comparativo entre o regime simples e o regime composto. 
Desconto Racional Simples (por 
dentro) Desconto Racional Composto (por dentro) 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
 
A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simples para o regime 
composto, o n (número de períodos) foi para o expoente. 
 
O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto racional composto 
equivale a uma operação de juros compostos. 
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1.2. DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) COMPOSTO 
 
Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. 
Na operação de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no 
desconto racional composto (que equivale ao juro composto) a taxa incide sobre o valor atual. 
O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no desconto comercial 
composto incide sobre o valor nominal. 
 
Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto. 
Desconto Racional Simples (por 
dentro) Desconto RacionalComposto (por dentro) 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖𝑛) 𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
 
Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” foi para o expoente. 
O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto. 
Desconto Comercial Simples (por 
fora)) Desconto Comercial Composto (por fora) 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖𝑛) 𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖). 
 
Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual 
ao valor nominal menos o desconto. 
 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
 
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(FCC 2010/SEFAZ-SP) 
 
Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto 
racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor 
atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do 
desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de 
R$ 21.780,00 
R$ 21.600,00 
R$ 20.702,00 
R$ 19.804,00 
R$ 19.602,00 
Resolução 
 
Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale à operação de 
juro composto. 
 
Assim, 
𝑁 = 𝐴0 ∙ (1 + 𝑖). 
 
𝑁 = 20.000 ∙ (1 + 0,10)5 = 24.200 
A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto comercial composto 
é a seguinte: 
 
𝐴7 = 𝑁(1 − 𝑖). 
 
𝐴7 = 24.200 ∙ (1 − 0,1)5 = 19.602,00 
 
Gabarito: E 
 
 
 
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(ESAF 2010/SUSEP) 
Um título sofre um desconto racional composto dois meses antes do seu vencimento a uma 
taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo 
do valor nominal do título? 
 
a) R$ 100 000,00. 
b) R$ 107 561,00. 
c) R$ 102 564,00. 
d) R$ 97 561,00. 
e) R$ 110 000,00. 
Resolução 
 
A operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. 
 
N = A ∙ (1 + i)= 
 
N = A ∙ (1 + 0,05)5 
 
N = 1,1025 ∙ A 
 
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
 
𝑁 − 𝐴 = 10.000 
 
1,1025 ∙ A − 𝐴 = 10.000 
 
0,1025 ∙ A = 10.000 
 
A = 97.560,98 
 
N = 97.560,98 + 10.000 = 107.560,98 ≅ 107.561,00 
 
Gabarito: B 
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(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva 𝑖 ao ano. Se 
for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se 
for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor 
nominal deste título é igual a 
a) R$ 40.000,00 
b) R$ 36.000,00 
c) R$ 34.000,00 
d) R$ 32.000,00 
e) R$ 30.000,00 
Resolução 
1º) Desconto Racional Composto 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
 
𝑁 = 25.000 ∙ (1 + 𝑖)5 
 
2º) Desconto Comercial Composto 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖). 
 
𝑁 =
𝐴
(1 − 𝑖). 
 
𝑁 =
23.040
(1 − 𝑖)5 
 
Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos igualar as duas expressões 
obtidas: 
25.000 ∙ (1 + 𝑖)5 =
23.040
(1 − 𝑖)5 
 
(1 − 𝑖)5 ∙ (1 + 𝑖)5 =
23.040
25.000 
 
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C(1 − 𝑖)5 ∙ (1 + 𝑖)5 = D
2.304
2.500 
 
(1 − 𝑖) ∙ (1 + 𝑖) =
48
50 
 
1 − 𝑖5 = 0,96 
 
𝑖5 = 0,04 
 
𝑖 = 0,2 
Sabemos que: 
 
𝑁 = 25.000 ∙ (1 + 𝑖)5 
 
𝑁 = 25.000 ∙ (1 + 0,2)5 = 36.000 
Gabarito: B 
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LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS 
 
1. (FCC 2016/TRF 3ª Região) 
Um título de valor nominal igual a R$ 18.522,00 vencerá daqui a 3 trimestres. Sabe-se que ele será 
resgatado antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de 
juros de 5% ao trimestre. Supondo-se que a primeira opção será resgatar o título 2 trimestres 
antes do vencimento e a segunda opção será resgatar o título 1 trimestre antes do vencimento, o 
valor de resgate do título referente à segunda opção supera o valor de resgate do título referente à 
primeira opção, em R$, em 
 Dados: 1,052 = 1,102500 e 1,053 = 1,157625 
(A) 926,10.
 
(B) 882,00.
 
(C) 900,00.
 
(D) 800,00.
 
(E) 840,00. 
2. (FCC 2016/Prefeitura de Teresina) 
Uma duplicata é descontada 6 meses antes de seu vencimento em um banco que adota uma taxa 
de desconto de 5% ao trimestre para qualquer operação de desconto. Verifica-se que o valor do 
desconto com a utilização do desconto racional composto supera o valor do desconto com a 
utilização do desconto racional simples em R$ 50,00. 
Caso a opção seja pela utilização do desconto comercial simples, o valor do desconto será, então, 
a) R$ 2.425,50. 
b) R$ 2.275,50. 
c) R$ 2.505,75. 
d) R$ 2.250,00. 
e) R$ 2.200,00. 
3. (FCC 2014/TCE-RS) 
Um título foi descontado 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 4% ao mês. Se o desconto 
utilizado foi o desconto composto racional e o valor do desconto foi de R$ 40,80, então, o valor 
nominal desse título era 
a) R$ 550,00 
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b) R$ 525,80 
c) R$ 534,20 
d) R$ 540,80 
e) R$ 520,00 
4. (FCC 2012/ISS-SP) 
Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, foram 
descontados hoje, com desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma de 
seus valores nominais é R$ 5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$ 5.005,00. O 
maior dos valores nominais supera o menor deles em 
a) R$ 1.195,00. 
b) R$ 1.215,50. 
c) R$ 1.417,50. 
d) R$ 1.484,00. 
e) R$ 1.502,50. 
5. (FCC 2011/TCE-PR) 
O valor do desconto de um título de valor nominal igual a R$ 15.961,25, resgatado 2 anos antes de 
seu vencimento e segundo o critério do desconto composto real, é igual a R$ 3.461,25. A taxa 
anual de desconto utilizada foi de 
a) 11%. 
b) 13%. 
c) 14%. 
d) 15%. 
e) 16%. 
 
6. (CESPE 2013/TCU) 
 
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o 
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no 
valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, 
terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha 
concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sidonegociada a 
antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com 
base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. 
 
Se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na 
antecipação das parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela será o mesmo que 
seria obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
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7. (CESPE 2011/PREVIC) 
 
Considere que um terreno seja vendido por R$ 50.000,00 à vista, mas seu proprietário aceite 
dividir o pagamento em duas parcelas, sendo R$ 10.000,00 no ato da compra e R$ 44.000,00 a 
vencer em dois meses. Acerca dessa situação, julgue o seguinte item. 
 
Se o comprador do terreno antecipasse o pagamento da segunda parcela em um mês, o valor a ser 
pago, se calculado pelo método do desconto racional simples, seria igual ao valor calculado pelo 
método do desconto racional composto, desde que a taxa de desconto aplicada nos dois métodos 
fosse a mesma. 
 
8. (CESPE 2013/IBAMA) 
 
Julgue o próximo item a respeito de matemática financeira, considerando 1,08 como valor 
aproximado para 1,024. 
 
Considere que um empréstimo, contratado à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deva ser 
quitado com o pagamento único de R$ 20.000,00, 13 meses após a contratação. Nessa situação, 
com menos de R$ 18.000,00 o tomador do empréstimo poderá quitá-lo 4 meses antes do 
vencimento. 
 
 
9. (CESPE 2012/TCE ES) 
 
Considerando que determinado agente financeiro ofereça empréstimos à taxa de juros compostos 
de 4% ao mês e que 1,17 seja valor aproximado para 1,044, julgue o item a seguir. 
 
Considere que um cliente desse agente tenha contratado um empréstimo de modo que, ao final 
do contrato, pagaria o montante de R$ 28.000,00. Nesse caso, se o empréstimo for saldado cinco 
meses antes do seu vencimento, o montante total pago será inferior a R$ 21.000,00. 
 
10. (CESPE 2010/MPU) 
A respeito de descontos, julgue o item que se segue. 
 
Considere que um título no valor de R$ 1.157.625,00 será descontado (desconto racional 
composto) três meses antes do seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Nessa situação, esse 
desconto será superior a R$ 180.000,00. 
 
11. (CESPE 2010/ANEEL) 
 
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Tendo como referência os conceitos e as aplicações da matemática financeira, julgue o item a 
seguir. 
 
Se um título de R$ 1.050,00, vencível dentro de um mês, for oferecido a R$ 950,00, sendo a taxa de 
juros compostos corrente de 5% a.m, a compra desse título pelo valor oferecido deverá ser 
considerada um mau negócio. 
 
12. (CESPE 2010/ANEEL) 
 
Com relação ao valor do dinheiro no tempo, valor presente e taxa interna de retorno, julgue o item 
seguinte. 
 
Caso uma obrigação no valor de R$ 50 mil tenha de ser paga ao final de um período, à taxa de 
desconto de 10% no mesmo período, então o valor presente dessa obrigação (desprezando-se as 
casas decimais) corresponderá a mais a R$ 45.454,00. 
 
13. (CESPE 2008/SEFAZ ES) 
 
Julgue o próximo item, acerca de matemática financeira. 
 
Se uma dívida a ser saldada em 4 meses, contratada a juros compostos de 1% a.m., foi quitada com 
2 meses de antecipação por R$ 1.020.100,00, então, na data original do vencimento, ela seria 
quitada por mais de R$ 1.050.000,00. 
 
14. (CESPE 2008/BB) 
Julgue o item a seguir, relacionado a empréstimos e financiamentos, considerando, em todas as 
situações apresentadas, que o regime de juros praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 
2%, e tomando 1,3 como valor aproximado para 1,0212. 
 
Se o pagamento de um empréstimo que seria quitado em uma única prestação de R$ 26.000,00 ao 
final do segundo ano for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago será superior a 
R$ 19.800,00. 
 
15. (CESPE 2007/BB) 
 
No item subseqüente, é apresentada uma situação a respeito de matemática financeira, seguida 
de uma assertiva a ser julgada. 
 
Uma dívida, contraída à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deverá ser paga em 12 meses. No 
vencimento, o valor total a ser pago é de R$ 30.000,00, no entanto, o devedor quer quitá-la dois 
meses antes do prazo. Nessa situação, de acordo apenas com as regras de matemática financeira, 
o credor deverá conceder ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00. 
 
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16. (CESPE 2014/MTE) 
 
Fabiana comprou um veículo financiado, sem entrada, em 50 prestações mensais e consecutivas 
de R$ 1.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês, com a primeira prestação vencendo um 
mês após a compra. 
 
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir, considerando 39,5 e 0,37 valores 
aproximados, respectivamente, para 
E0,99F	𝑒	1,02IJK
LM
FNK
. 
 
Se Fabiana quitar o financiamento na data do pagamento da primeira prestação, pagando as 50 
prestações e recebendo, na operação, um desconto comercial composto de 1% ao mês, ela pagará 
menos de R$ 40.000,00. 
 
17. (CESPE 2013/TCU) 
 
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o 
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no 
valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, 
terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha 
concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a 
antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com 
base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. 
 
Se na antecipação for utilizado desconto comercial composto, a uma taxa de 10% ao ano, para 
pagamento das duas últimas parcelas, o valor do desconto obtido com a quarta parcela será igual a 
R$ 25.080,00. 
 
18. (CESPE 2013/ANP) 
Uma loja de roupas está em promoção: pagamento com cheque para noventa dias ou pagamento 
à vista, com 10% de desconto sobre o preço da vitrine. Com base nessas informações e 
considerando 0,899 e 0,902, respectivamente, como valores aproximados de 0,9653 e 1,035-3, 
julgue o item seguinte. 
 
A taxa mensal de desconto comercial composto concedida a quem comprar roupas na loja, com 
pagamento à vista, é inferior a 3,5%. 
 
 
 
 
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19. (CESPE 2013/FUNASA) 
Para pagar uma obra em 20 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 30.000,00, um 
condomínio fixou a taxa extra de R$ 50,00 mensais para cada uma de suas 800 unidades. Com base 
nessas informações, julgue os itens a seguir. 
Considere que, na data do pagamento da sétima parcela da obra, o condomínio tenha adiantado o 
pagamento da última prestação e, para isso, tenha acordado um descontoracional composto de 
4% ao mês. Nessa situação, considerando 5/3 como valor aproximado para 1,0413, pela última 
prestação o condomínio pagou menos de R$ 20.000,00. 
 
20. (CESGRANRIO 2008/CEF) 
Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com 
taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o 
valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
21. (CESGRANRIO 2008/ANP) 
A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A uma duplicata no valor de R$ 
28.800,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Com base 
nos dados acima e considerando o ano comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo 
Banco na conta corrente da empresa, em reais, foi 
 
a) 28 888,08. 
b) 28.808,88. 
c) 27.062,61. 
d) 26.062,12. 
e) 26.026,21. 
22. (CESGRANRIO 2008/BNDES) 
Uma nota promissória cujo valor de face é R$ 12.100,00 foi saldada dois meses antes do seu 
vencimento. A taxa de desconto racional composto utilizada foi de 10% ao mês. Imediatamente 
após receber o pagamento, o credor da nota promissória aplicou todo o dinheiro recebido à taxa 
de juros compostos de 44% ao bimestre com capitalização mensal. Dois meses após a aplicação, o 
montante obtido pelo credor, em reais, corresponde a 
a) 13.800,00 
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b) 13.939,20 
c) 14.400,00 
d) 14.407,71 
e) 14.884,00 
23. (CESGRANRIO 2010/PETROBRAS DISTRIBUIDORA ) 
 
Suponha que o Posto de Gasolina Ribeiro Ltda. tem uma dívida com um banco de R$ 144.000,00 
(cento e quarenta e quatro mil reais),que vence em dois meses. O gerente da conta desse Posto fez 
uma proposta para quitar a dívida à vista. Se a taxa de juros desse financiamento é de 20,0% ao 
mês, quanto o Posto deve pagar à vista, em reais, ao banco, para a quitação dessa dívida? 
 
a) 140.000,00 
b) 120.000,00 
c) 115.200,00 
d) 100.000,00 
e) 86.000,00 
 
24. (CESGRANRIO 2010/ PETROBRAS DISTRIBUIDORA ) 
A Empresa Alfa financia suas vendas com prazo de 30 dias. Um determinado cliente, cuja compra 
foi de R$ 123.000,00, propôs pagar à vista, desde que a Alfa concedesse um desconto pelo 
pagamento antecipado. A Alfa informou que tem inserido no preço juros de 2,5% ao mês. Qual 
seria, então, o valor, em reais, da compra com pagamento à vista? 
a) 100.000,00 
b) 110.000,00 
c) 120.000,00 
d) 130.000,00 
e) 140.000,00 
 
 
25. (CESGRANRIO 2009/ PETROBRAS DISTRIBUIDORA) 
Um título tem o valor de face de R$ 28.090,00 e sofre desconto racional à taxa composta de 6% ao 
bimestre, quatro meses antes do seu vencimento. Qual o valor atual desse título, em reais? 
 
a) 25.000,00 
b) 25.500,00 
c) 26.000,00 
d) 26.500,00 
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e) 27.000,00 
 
 
 
26. (CESGRANRIO 2008/BNDES) 
 
Dois meses antes do seu vencimento, um título de valor nominal N sofrerá desconto. Se o 
desconto for racional composto e a taxa utilizada for de 20% ao mês, o valor do desconto será igual 
a d. Se o desconto for comercial composto, qual deverá ser a taxa mensal de desconto para que o 
valor do desconto seja o mesmo? 
 
a) 16,7% 
b) 20,0% 
c) 42,8% 
d) 69,1% 
e) 83,3% 
 
27. (CESGRANRIO 2015/BB) 
Um microempresário precisa aumentar seu capital de giro e resolve antecipar 5 cheques de 10.000 
reais cada um, todos com data de vencimento para dali a 3 meses. 
 
 
O gerente do banco informa que ele terá exatamente dois custos para realizar a antecipação, 
conforme descritos a seguir. 
 
Custo 1 – Um desconto sobre o valor dos cheques a uma taxa de 4% ao mês. Esse desconto será 
diretamente proporcional ao valor dos cheques, ao tempo de antecipação e à taxa de desconto 
anunciados. 
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Custo 2 – Custos operacionais fixos de 500 reais para antecipações de até 100 mil reais. 
 
Assim, comparando o valor de fato recebido pelo microempresário e o valor a ser pago após 3 
meses (valor total dos cheques), o valor mais próximo da taxa efetiva mensal cobrada pelo banco, 
no regime de juros compostos, é de 
 
a) 5,2% 
b) 4,5% 
c) 4,7% 
d) 5,0% 
e) 4,3% 
 
28. (CESGRANRIO 2015/BB) 
Uma instituição financeira efetua o desconto de um título de valor de face de R$ 25.000,00 dois 
meses antes do vencimento, utilizando taxa de desconto simples bancário (por fora) de 9% ao mês. 
A instituição exige o pagamento de 2% do valor de face do título como taxa de administração no 
momento de desconto do título. 
 
A taxa bimestral de juros realmente cobrada é de 
 
a) 20% 
b) 25% 
c) 11% 
d) 16% 
e) 22,5% 
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GABARITOS 
 
 
01. E 
02. A 
03. D 
04. C 
05. B 
06. C 
07. C 
08. E 
09. E 
10. E 
11. E 
12. C 
13. E 
14. C 
15. E 
16. C 
17. C 
18. C 
19. C 
20. B 
21. E 
22. E 
23. D 
24. C 
25. A 
26. A 
27. C 
28. B 
 
 
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LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
 
1. (FCC 2016/TRF 3ª Região) 
Um título de valor nominal igual a R$ 18.522,00 vencerá daqui a 3 trimestres. Sabe-se que ele será 
resgatado antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de 
juros de 5% ao trimestre. Supondo-se que a primeira opção será resgatar o título 2 trimestres 
antes do vencimento e a segunda opção será resgatar o título 1 trimestre antes do vencimento, o 
valor de resgate do título referente à segunda opção supera o valor de resgate do título referente à 
primeira opção, em R$, em 
 Dados: 1,052 = 1,102500 e 1,053 = 1,157625 
(A) 926,10.
 
(B) 882,00.
 
(C) 900,00.
 
(D) 800,00.
 
(E) 840,00. 
Resolução 
Utilizaremos o desconto racional composto, que equivale a uma operação de juros compostos. 
𝑀 = 𝐶 ⋅ (1 + 𝑖). 
Para facilitar a nossa linguagem, chamaremos o montante de F (valor futuro) e o capital de A (valor 
atual). 
𝐹 = 𝐴 ⋅ (1 + 𝑖). 
O valor futuro, que é o valor nominal, é R$ 18.522,00 e a taxa é de 5% ao trimestre. 
18.522 = 𝐴 ⋅ (1,05). 
𝐴 =
18.522
1,05. 
Na primeira opção, temos que n = 2 e na segunda opção, n = 1. 
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𝐴Q =
18.522
1,055 =
18.522
1,1025 = 16.800	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
𝐴5 =
18.522
1,05Q =
18.522
1,05 = 17.640	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
O valor de resgate do título referente à segunda opção supera o valor de resgate do título 
referente à primeira opção em 17.640 – 16.800 = 840 reais. 
Gabarito: E 
 
2. (FCC 2016/Prefeitura de Teresina) 
Uma duplicata é descontada 6 meses antes de seu vencimento em um banco que adota uma taxa 
de desconto de 5% ao trimestre para qualquer operação de desconto. Verifica-se que o valor do 
desconto com a utilização do desconto racional composto supera o valor do desconto com a 
utilização do desconto racional simples em R$ 50,00. 
Caso a opção seja pela utilização do desconto comercial simples, o valor do desconto será, então, 
a) R$ 2.425,50. 
b) R$ 2.275,50. 
c) R$ 2.505,75. 
d) R$ 2.250,00. 
e) R$ 2.200,00. 
Resolução 
O problema informa que o desconto racional composto (𝐷07) supera o valor do desconto racional 
simples (𝐷0U) em 50 reais. 
𝐷07 − 𝐷0U = 50 
 
Em todos os casos, a taxa é de 5% ao trimestre e o prazo de antecipação é de 6 meses, ou seja, 𝑛 =
2	𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠. 
 
Vamos calcular cada um desses descontos separadamente. Lembre-se que algo que liga os 
variados tipos de desconto é o valor nominal, pois este independe do tipo de desconto (o valor 
nominal é o valor da duplicata). Os valores atuais não são iguais, pois os descontos são diferentes. 
i) Desconto Racional Composto 
Na operação de desconto racional composto, temos a seguinte relação: 
𝑁 = 𝐴07 ∙ (1 + 𝑖). 
Como utilizaremos o valor nominal para ligar os dois tipos de desconto, vamos isolar 𝐴07. 
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𝐴07 =
𝑁
(1 + 𝑖). 
 
𝐴07 =
𝑁
1,055 
 
Assim, o desconto racional composto é igual a: 
𝐷07 = 𝑁 − 𝐴07 
 
𝐷07 = 𝑁 −
𝑁
1,055 
 
ii) Desconto Racional Simples 
A fórmula básica do desconto racional simples é a que segue: 
𝐷0U = 𝐴0U ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
Entretanto, como os valores atuais dos descontos são diferentes, a fórmula acima não vai ajudar 
muito. Há uma fórmula que permite calcular o desconto racional simples em função do valor 
nominal. 
𝐷0U =
𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛
1 + 𝑖𝑛 
 
𝐷0U =
𝑁 ∙ 0,05 ∙ 2
1 + 0,05 ∙ 2 
 
𝐷0U =
0,1𝑁
1,1 
 
𝐷0U =
𝑁
11 
 
Vamos agora utilizar a equação que relaciona os dois descontos. 
𝐷07 − 𝐷0U = 50 
 
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50 
𝑁 −
𝑁
1,055XYYZYY[
\]^
−
𝑁
11_
\]`
= 50 
 
𝑁 −
𝑁
1,1025 −
𝑁
11 = 50 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 1,1025 × 11 para eliminar os denominadores. 
 
𝟏, 𝟏𝟎𝟐𝟓 × 𝟏𝟏 ∙ 𝑁 − 𝟏, 𝟏𝟎𝟐𝟓 × 𝟏𝟏 ∙
𝑁
1,1025 − 𝟏, 𝟏𝟎𝟐𝟓 × 𝟏𝟏 ∙
𝑁
11 = 𝟏, 𝟏𝟎𝟐𝟓 × 𝟏𝟏 ∙ 50 
 
12,1275𝑁 − 11𝑁 − 1,1025𝑁 = 606,375 
 
0,025𝑁 = 606,375 
 
𝑁 =
606,375
0,025 
 
𝑁 =
606.375
25 
 
𝑁 = 24.255 
 
Agora vamos calcular o valor do desconto comercial simples, que é o que a questão pede. 
𝐷7U = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
 
𝐷7U = 24.255 ∙
5
100 ∙ 2 
 
𝐷7U = 2.425,50 
Gabarito: A 
 
 
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3. (FCC 2014/TCE-RS) 
Um título foi descontado 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 4% ao mês. Se o desconto 
utilizado foi o desconto composto racional e o valor do desconto foi de R$ 40,80, então, o valor 
nominal desse título era 
a) R$ 550,00 
b) R$ 525,80 
c) R$ 534,20 
d) R$ 540,80 
e) R$ 520,00 
Resolução 
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
𝑁 − 𝐴 = 40,80 
 
No desconto composto racional, a relação entre 𝑁 e 𝐴 é dada por 𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖).. 
 
𝐴 ∙ (1 + 𝑖). − 𝐴 = 40,80 
 
𝐴 ∙ (1 + 0,04)5 − 𝐴 = 40,80 
 
1,0816𝐴 − 𝐴 = 40,80 
 
Lembre-se que 𝐴 é o mesmo que 1𝐴. 
1,0816𝐴 − 1𝐴 = 40,80 
 
0,0816𝐴 = 40,80 
 
𝐴 =
40,80
0,0816 
 
Como há quatro casas decimais no denominador, vamos colocar 4 casas no numerador e apagar a 
vírgula. 
𝐴 =
40,8000
0,0816 
 
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50 
𝐴 =
408.000
816 = 500 
Vamos agora calcular o valor nominal. 
𝑁 − 𝐴 = 40,80 
 
𝑁 − 500 = 40,80 
 
𝑁 = 540,80 
Gabarito: D 
 
4. (FCC 2012/ISS-SP) 
Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, foram 
descontados hoje, com desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma de 
seus valores nominais é R$ 5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$ 5.005,00. O 
maior dos valores nominais supera o menor deles em 
a) R$ 1.195,00. 
b) R$ 1.215,50. 
c) R$ 1.417,50. 
d) R$ 1.484,00. 
e) R$ 1.502,50. 
Resolução 
A soma dos valores nominais é 𝑅$	5.418,00. 
 
𝑁Q + 𝑁5 = 5.418 
 
No desconto racional composto, a relação entre o valor nominal e o valor líquido é dada por 𝑁 =
𝐴 ∙ (1 + 𝑖).. Assim, a equação anterior por ser reescrita como: 
𝐴Q ∙ (1 + 𝑖).hXYYYZYYY[
ih
+ 𝐴5 ∙ (1 + 𝑖).jXYYYZYYY[
ij
= 5.418 
 
A taxa é de 5% ao mês. Os prazos de antecipação são 𝑛Q = 1	𝑚ê𝑠 e 𝑛5 = 2	𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠. 
𝐴Q ∙ (1 + 0,05)Q + 𝐴5 ∙ (1 + 0,05)5 = 5.418 
 
1,05𝐴Q + 1,1025𝐴5 = 5.418			 → 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜	𝐼 
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Sabemos que a soma dos valores líquidos é 𝑅$	5.005,00. 
𝐴Q + 𝐴5 = 5.005 
 
𝐴Q = 5.005 − 𝐴5 				→ 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜	𝐼𝐼 
 
Vamos substituir a equação II na equação I. 
1,05𝐴Q + 1,1025𝐴5 = 5.418 
 
1,05(5.005 − 𝐴5) + 1,1025𝐴5 = 5.418 
 
5.255,25 − 1,05𝐴5 + 1,1025𝐴5 = 5.418 
 
0,0525𝐴5 = 5.418 − 5.255,25 
 
0,0525𝐴5 = 162,75 
 
𝐴5 =
162,75
0,0525 
 
Para efetuar essa divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais. 
 
𝐴5 =
162,7500
0,0525 
 
𝐴5 =
1.627.500
525 
 
𝐴5 = 3.100 
 
Assim, o outro valor líquido será: 
𝐴Q = 5.005 − 𝐴5 
 
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50 
𝐴Q = 5.005 − 3.100 
 
𝐴Q = 1.905	 
Vamos agora calcular os valores nominais. 
𝑁Q = 𝐴Q ∙ (1 + 𝑖).h 
 
𝑁Q = 1.905 ∙ (1 + 0,05)Q	 
 
𝑁Q = 2.000,25 
 
A soma dos valores nominais é R$ 5.418,00. 
𝑁Q + 𝑁5 = 5.418 
 
2.000,25 + 𝑁5 = 5.418 
 
𝑁5 = 3.417,75 
 
Finalmente, vamos calcular a diferença entre os valores nominais. 
𝑁5 − 𝑁Q = 
 
= 3.417,75 − 2.000,25 
 
= 1.417,50 
Gabarito: C 
 
5. (FCC 2011/TCE-PR) 
O valor do desconto de um título de valor nominal igual a R$15.961,25, resgatado 2 anos antes de 
seu vencimento e segundo o critério do desconto composto real, é igual a R$ 3.461,25. A taxa 
anual de desconto utilizada foi de 
a) 11%. 
b) 13%. 
c) 14%. 
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d) 15%. 
e) 16%. 
Resolução 
Desconto composto “real” é um sinônimo para desconto composto racional. 
O valor nominal do título é 𝑁 = 15.961,25 e o valor do desconto é 𝐷 = 3.461,25. Vamos calcular 
o valor atual. 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
 
𝐴 = 15.961,25 − 3.461,25 
 
𝐴 = 12.500 
 
Vamos aplicar a fórmula que relaciona o valor nominal e o valor atual na operação de desconto 
racional composto. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
 
15.961,25 = 12.500 ∙ (1 + 𝑖)5 
 
(1 + 𝑖)5 =
15.961,25
12.500 
 
(1 + 𝑖)5 = 1,2769 
Precisamos calcular a raiz quadrada de 1,2769. Como esse número termina em 9, a raiz quadrada 
precisa terminar em 3 ou 7 (lembre-se que 35 = 9	𝑒	75 = 49). Olhando as alternativas, 
percebemos que há apenas uma possibilidade: 𝑖 = 13%. 
Vamos testar para confirmar: 
(1 + 0,13)5 = 1,135 = 1,2769 
Gabarito: B 
 
 
 
 
 
 
 
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6. (CESPE 2013/TCU) 
 
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o 
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no 
valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, 
terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha 
concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a 
antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com 
base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. 
 
Se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na 
antecipação das parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela será o mesmo que 
seria obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
 
Resolução 
O desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. O desconto racional 
simples equivale a uma operação de juros simples. 
Temos então uma operação de juros compostos e uma operação de juros simples em que n = 1. 
Neste caso, os valores dos juros (o valor do desconto) são iguais nos dois regimes de capitalização. 
O item está certo. 
Vamos fazer o cálculo para treinar as fórmulas. 
O valor nominal da dívida é de 𝑁 = 132.000, a taxa é de 10% ao ano e o prazo de antecipação é de 
1 ano. 
Desconto Racional Composto: 
𝑁 = 𝐴7 ∙ (1 + 𝑖). 
132.000 = 𝐴7 ∙ (1 + 0,10)Q 
𝐴7 = 120.000 
Portanto, o valor do desconto racional composto é: 
𝐷07 = 𝑁 − 𝐴 = 132.000 − 120.000 = 12.000 
Desconto Racional Simples: 
𝑁 = 𝐴U ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
132.000 = 𝐴U ∙ (1 + 0,10 ∙ 1) 
𝐴U = 120.000 
Portanto, o valor do desconto racional simples é: 
𝐷0U = 𝑁 − 𝐴U = 132.000 − 120.000 = 12.000 
Os descontos são iguais. 
Gabarito: CERTO 
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7. (CESPE 2011/PREVIC) 
 
Considere que um terreno seja vendido por R$ 50.000,00 à vista, mas seu proprietário aceite 
dividir o pagamento em duas parcelas, sendo R$ 10.000,00 no ato da compra e R$ 44.000,00 a 
vencer em dois meses. Acerca dessa situação, julgue o seguinte item. 
 
Se o comprador do terreno antecipasse o pagamento da segunda parcela em um mês, o valor a ser 
pago, se calculado pelo método do desconto racional simples, seria igual ao valor calculado pelo 
método do desconto racional composto, desde que a taxa de desconto aplicada nos dois métodos 
fosse a mesma. 
 
Resolução 
O desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. O desconto racional 
simples equivale a uma operação de juros simples. 
Temos então uma operação de juros compostos e uma operação de juros simples em que n = 1. 
Neste caso, os valores dos juros (o valor do desconto) são iguais nos dois regimes de capitalização. 
O item está certo. 
Vamos fazer o cálculo para treinar as fórmulas. 
O valor nominal da dívida é de 𝑁 = 44.000, a taxa é 𝑖 e o prazo de antecipação é de 1 mês. 
Desconto Racional Composto: 
𝑁 = 𝐴7 ∙ (1 + 𝑖). 
44.000 = 𝐴7 ∙ (1 + 𝑖)Q 
𝐴7 =
44.000
1 + 𝑖 
Desconto Racional Simples: 
𝑁 = 𝐴U ∙ (1 + 𝑖𝑛) 
44.000 = 𝐴U ∙ (1 + 𝑖 ∙ 1) 
𝐴U =
44.000
1 + 𝑖 
Os valores atuais são iguais e, portanto, os descontos também são iguais. 
Gabarito: CERTO 
 
 
8. (CESPE 2013/IBAMA) 
 
Julgue o próximo item a respeito de matemática financeira, considerando 1,08 como valor 
aproximado para 1,024. 
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Considere que um empréstimo, contratado à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deva ser 
quitado com o pagamento único de R$ 20.000,00, 13 meses após a contratação. Nessa situação, 
com menos de R$ 18.000,00 o tomador do empréstimo poderá quitá-lo 4 meses antes do 
vencimento. 
Resolução 
Temos uma taxa de juros compostos. Deveremos, portanto, utilizar o desconto racional composto, 
que equivale a uma operação de juros compostos. 
O valor nominal da dívida é de 20 mil reais, a taxa é de 2% ao mês e o tempo de antecipação é de 4 
meses. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
 
20.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,02)L 
 
20.000 = 𝐴 ∙ 1,08 
 
𝐴 = 18.518,52 
O tomador do empréstimo pode quitar 4 meses antes do vencimento com mais de 18 mil reais. 
 
Gabarito: ERRADO 
9. (CESPE 2012/TCE ES) 
 
Considerando que determinado agente financeiro ofereça empréstimos à taxa de juros compostos 
de 4% ao mês e que 1,17 seja valor aproximado para 1,044, julgue o item a seguir. 
 
Considere que um cliente desse agente tenha contratado um empréstimo de modo que, ao final 
do contrato, pagaria o montante de R$ 28.000,00. Nesse caso, se o empréstimo for saldado cinco 
meses antes do seu vencimento, o montante total pago será inferior a R$ 21.000,00. 
 
Resolução 
Temos uma taxa de juros compostos. Vamos, portanto, utilizar o desconto racional composto. 
O valor nominal é de 28 mil reais, a taxa é de 4% ao mês e o prazo de antecipação é de 5 meses. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
28.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,04)J 
28.000 = 𝐴 ∙ 1,04J 
O enunciado informou o valor de 1,04L. Vamos desmembrar 1,04J. 
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28.000 = 𝐴 ∙ 1,04L ∙ 1,04 
 
28.000 = 𝐴 ∙ 1,17 ∙ 1,04 
 
𝐴 = 23.011,18 
 
Gabarito: ERRADO 
10. (CESPE 2010/MPU) 
A respeito de descontos, julgue o item que se segue. 
 
Considere que um título no valor de R$ 1.157.625,00 será descontado(desconto racional 
composto) três meses antes do seu vencimento à taxa de 5% ao mês. Nessa situação, esse 
desconto será superior a R$ 180.000,00. 
Resolução 
Vamos utilizar a fórmula da operação de desconto racional composto. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
1.157.625 = 𝐴 ∙ (1 + 0,05)u 
 
𝐴 =
1.157.625
1,157625 = 1.000.000 
O desconto é a diferença entre N e A. 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
𝐷 = 1.157.625 − 1.000.000 
𝐷 = 157.625 
O desconto é menor que 180 mil . 
Gabarito: ERRADO 
 
 
11. (CESPE 2010/ANEEL) 
 
Tendo como referência os conceitos e as aplicações da matemática financeira, julgue o item a 
seguir. 
 
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Se um título de R$ 1.050,00, vencível dentro de um mês, for oferecido a R$ 950,00, sendo a taxa de 
juros compostos corrente de 5% a.m, a compra desse título pelo valor oferecido deverá ser 
considerada um mau negócio. 
Resolução 
Vamos calcular o valor atual do título, ou seja, vamos calcular quanto o título vale hoje. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
1.050 = 𝐴 ∙ (1 + 0,05)Q 
𝐴 = 1.000 
Assim, o título vale 1.000 reais hoje. O título está sendo oferecido por um valor abaixo do seu valor 
atual. É um bom negócio comprá-lo. 
Gabarito: ERRADO 
12. (CESPE 2010/ANEEL) 
 
Com relação ao valor do dinheiro no tempo, valor presente e taxa interna de retorno, julgue o item 
seguinte. 
 
Caso uma obrigação no valor de R$ 50 mil tenha de ser paga ao final de um período, à taxa de 
desconto de 10% no mesmo período, então o valor presente dessa obrigação (desprezando-se as 
casas decimais) corresponderá a mais a R$ 45.454,00. 
Resolução 
Vamos calcular o valor presente utilizando a fórmula da operação de desconto racional composto 
(juros compostos). 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
50.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,10)Q 
𝐴 ≅ 45.454,54 
Gabarito: CERTO 
 
 
 
 
 
13. (CESPE 2008/SEFAZ ES) 
 
Julgue o próximo item, acerca de matemática financeira. 
 
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Se uma dívida a ser saldada em 4 meses, contratada a juros compostos de 1% a.m., foi quitada com 
2 meses de antecipação por R$ 1.020.100,00, então, na data original do vencimento, ela seria 
quitada por mais de R$ 1.050.000,00. 
Resolução 
O valor atual da dívida é de R$ 1.020.100,00. Queremos calcular o valor original da dívida, ou seja, 
o valor nominal. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
𝑁 = 1.020.100 ∙ (1 + 0,01)5 = 1.040.604,01 
Este valor é inferior a R$ 1.050.000,00. 
Gabarito: ERRADO 
14. (CESPE 2008/BB) 
Julgue o item a seguir, relacionado a empréstimos e financiamentos, considerando, em todas as 
situações apresentadas, que o regime de juros praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 
2%, e tomando 1,3 como valor aproximado para 1,0212. 
 
Se o pagamento de um empréstimo que seria quitado em uma única prestação de R$ 26.000,00 ao 
final do segundo ano for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago será superior a 
R$ 19.800,00. 
Resolução 
O tempo de antecipação é de 1 ano. Como a taxa é mensal, vamos utilizar n = 12 meses. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
26.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,02)Q5 
26.000 = 𝐴 ∙ 1,3 
𝐴 = 20.000 
Este valor é superior a R$ 19.800,00. 
Gabarito: CERTO 
 
15. (CESPE 2007/BB) 
 
No item subseqüente, é apresentada uma situação a respeito de matemática financeira, seguida 
de uma assertiva a ser julgada. 
 
Uma dívida, contraída à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deverá ser paga em 12 meses. No 
vencimento, o valor total a ser pago é de R$ 30.000,00, no entanto, o devedor quer quitá-la dois 
meses antes do prazo. Nessa situação, de acordo apenas com as regras de matemática financeira, 
o credor deverá conceder ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00. 
Resolução 
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O tempo de antecipação é de 2 meses. A taxa é de 2% ao mês no regime de juros compostos. O 
valor nominal da dívida é de R$ 30.000,00. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
30.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,02)5 
𝐴 = 28.835,06 
O desconto é a diferença entre N e A. 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
𝐷 = 30.000 − 28.835,06 
𝐷 = 1.164,94 
O desconto é inferior a 2 mil reais. 
Gabarito: ERRADO 
16. (CESPE 2014/MTE) 
 
Fabiana comprou um veículo financiado, sem entrada, em 50 prestações mensais e consecutivas 
de R$ 1.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês, com a primeira prestação vencendo um 
mês após a compra. 
 
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir, considerando 39,5 e 0,37 valores 
aproximados, respectivamente, para 
E0,99F	𝑒	1,02IJK
LM
FNK
. 
 
Se Fabiana quitar o financiamento na data do pagamento da primeira prestação, pagando as 50 
prestações e recebendo, na operação, um desconto comercial composto de 1% ao mês, ela pagará 
menos de R$ 40.000,00. 
 
Resolução 
 
Antes de começarmos a resolução da questão, vamos explicar o significado daquele símbolo 
estranho no enunciado. 
 
E0,99F = 39,5
LM
FNK
 
Este símbolo é a letra grega maiúscula sigma e significa somatório. Em outras palavras, você vai 
realizar uma soma. 
Cada uma das parcelas será um número do tipo 0,99Fe esse número 𝑗 vai variar de 0 a 49. Assim, 
este símbolo é apenas uma maneira simplificada de escrever: 
 
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0,99K + 0,99Q + 0,995 + 0,99u + ⋯+ 0,99Lx + 0,99LM = 39,5 
 
Agora vamos voltar à questão. 
 
Fabiana vai antecipar o pagamento das prestações. Para saber o valor efetivamente pago, 
deveremos calcular o valor descontado de cada parcela, ou seja, o valor atual de cada parcela. 
 
O comando da questão indica que devemos utilizar o desconto comercial composto. Eis a relação 
neste tipo de operação: 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖). 
 
𝐴 = 1.000 ∙ (1 − 0,01). 
 
𝐴 = 1.000 ∙ 0,99. 
 
Fabiana pagará todas as prestações juntas com a primeira prestação. 
 
O valor da primeira prestação na sua data é de R$ 1.000,00. 
 
Vamos agora antecipar todas as prestações para a data 1. 
 
Assim: 
- o valor da segunda prestação na data 1 é 1.000 ∙ 0,99Q (estamos antecipando 1 mês). 
- o valor da terceira prestação na data 1 é 1.000 ∙ 0,995 (estamos antecipando 2 meses). 
- o valor da quarta prestação na data 1 é 1.000 ∙ 0,99u (estamos antecipando 3 meses). 
... 
- o valor da 50ª prestação na data 1 é 1.000 ∙ 0,99LM (estamos antecipando 49 meses). 
 
Assim, o valor total das 50 prestações na data 1 é: 
 
1.000 + 1.000 ∙ 0,99Q + 1.000 ∙ 0,995 + 1.000 ∙ 0,99u + ⋯+ 1.000 ∙ 0,99LM 
 
Vamos colocar 1.000 em evidência. 
 
1.000 ∙ (1 + 0,99Q + 0,995 + 0,99u + ⋯+ 0,99LM) 
 
Observe que 1 = 0,99K. 
 
1.000 ∙ (0,99K + 0,99Q + 0,995 + 0,99u + ⋯+ 0,99LM) 
 
Este valor foi fornecido pelo enunciado. 
 
1.000 ∙ 39,5 = 39.500 
Assim, Fabiana pagará menos de 40 mil reais. 
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Gabarito: Certo 
17. (CESPE 2013/TCU) 
 
Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o 
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no 
valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, 
terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha 
concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a 
antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com 
base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. 
 
Se na antecipação for utilizado desconto comercial composto, a uma taxa de 10% ao ano, para 
pagamento das duas últimas parcelas, o valor do desconto obtido com a quarta parcela será igual a 
R$ 25.080,00. 
 
Resolução 
 
Estamos interessados em calcular apenas o desconto da quarta parcela. Como o pagamento será 
feito no ano 2, o prazo de antecipação será de 2 anos. 
 
A modalidade do desconto é o comercial composto. 
 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖). 
 
𝐴 = 132.000 ∙ (1 − 0,10)5 = 106.920 
 
O desconto é a diferença entre o valor nominal e o atual. 
 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
 
𝐷 = 132.000 − 106.920 = 25.080 
Gabarito: Certo 
 
 
18. (CESPE 2013/ANP) 
Uma loja de roupas está em promoção: pagamento com cheque para noventa dias ou pagamento 
à vista, com 10% de desconto sobre o preço da vitrine. Com base nessas informações e 
considerando 0,899 e 0,902, respectivamente, como valores aproximados de 0,9653 e 1,035-3, 
julgue o item seguinte. 
 
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A taxa mensal de desconto comercial composto concedida a quem comprar roupas na loja, com 
pagamento à vista, é inferior a 3,5%. 
 
Resolução 
 
Vamos supor que o preço da vitrine (valor nominal) seja de R$ 100,00. Desta forma, o valor à vista 
(valor atual) será de R$ 90,00. 
 
O prazo de antecipação é de 3 meses. 
 
Vamos utilizar a fórmula da operação de desconto comercial composto. 
 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖). 
 
90 = 100 ∙ (1 − 𝑖)u 
 
(1 − 𝑖)u = 0,9 
 
Queremos comparar a taxa com 3,5%. Vamos substituir i por 3,5%. 
 
(1 − 0,035)u ≅ 0,8986 
 
Queremos que a potência seja 0,9. Assim, a base da potência 1 − 𝑖 precisa aumentar um 
pouquinho para que o resultado seja 0,9. 
 
Para aumentar 1 − 𝑖, devemos diminuir o valor de 𝑖. Portanto, a taxa mensal é menor que 3,5%. 
 
Gabarito: Certo 
19. (CESPE 2013/FUNASA) 
Para pagar uma obra em 20 prestações iguais, mensais e consecutivas de R$ 30.000,00, um 
condomínio fixou a taxa extra de R$ 50,00 mensais para cada uma de suas 800 unidades. Com base 
nessas informações, julgue os itens a seguir. 
Considere que, na data do pagamento da sétima parcela da obra, o condomínio tenha adiantado o 
pagamento da última prestação e, para isso, tenha acordado um desconto racional composto de 
4% ao mês. Nessa situação, considerando 5/3 como valor aproximado para 1,0413, pela última 
prestação o condomínio pagou menos de R$ 20.000,00. 
 
Resolução 
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São 20 prestações. Queremos antecipar o pagamento da última prestação para ser paga na data da 
sétima parcela. Assim, o prazo de antecipação é de 13 meses. 
O valor nominal da prestação é de 30 mil reais. A taxa é de 4% a.m. e será utilizado o desconto 
racional composto. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
30.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,04)Qu 
30.000 = 𝐴 ∙ 1,04Qu 
30.000 = 𝐴 ∙
5
3 
𝐴 =
30.000
5/3 
𝐴 = 30.000 ×
3
5 = 18.000 
O condomínio pagou menos de 20 mil reais pela última prestação. 
Gabarito: Certo 
 
20. (CESGRANRIO 2008/CEF) 
Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com 
taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o 
valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 
 
Resolução 
 
Dados do problema: 
 
N = 24.200,00 
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n = 2 meses 
i = 10% a.m. = 0,10 a.m. 
 
1º) Desconto comercial composto (D) 
Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto comercial composto: 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖). 
 
𝐴 = 24.200 ∙ (1 − 0,10)5 = 19.602,00 
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor 
nominal e o valor atual, temos que 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
𝐷 = 24.200 − 19.602 = 4.598 
 
 
2º) Desconto racional composto (d) 
 
Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional composto: 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
 
24.200 = 𝐴 ∙ (1 + 0,10)5 
 
24.200 = 𝐴 ∙ 1,21 
 
𝐴 = 20.000,00 
E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor 
nominal e o valor atual, temos que 
𝑑 = 𝑁 − 𝐴 
𝑑 = 24.200 − 20.000 = 4.200 
 
Dessa forma, a diferença é 𝐷 − 𝑑 = 4.598 − 4.200 = 398,00. 
Gabarito: B 
 
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21. (CESGRANRIO 2008/ANP) 
A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A uma duplicata no valor de R$ 
28.800,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Com base 
nos dados acima e considerando o ano comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo 
Banco na conta corrente da empresa, em reais, foi 
 
a) 28 888,08. 
b) 28.808,88. 
c) 27.062,61. 
d) 26.062,12. 
e) 26.026,21. 
Resolução 
O valor nominal da duplicata é de R$ 28.800,00. O prazo de antecipação é de 120 dias. 
Observe que o enunciado fala em ANO COMERCIAL, ou seja, utilizaremos o desconto comercial e 
consideraremos que cada mês possui 30 dias. Assim, o tempo de antecipação é de 4 meses. 
No desconto comercial composto, temos a seguinte relação: 
 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖). 
 
𝐴 = 28.800 ∙ (1 − 0,025)L = 26.026,21 
Gabarito: E 
 
22. (CESGRANRIO 2008/BNDES) 
Uma nota promissória cujo valor de face é R$ 12.100,00 foi saldada dois meses antes do seu 
vencimento. A taxa de desconto racional composto utilizada foi de 10% ao mês. Imediatamente 
após receber o pagamento, o credor da nota promissória aplicou todo o dinheiro recebido à taxa 
de juros compostos de 44% ao bimestre com capitalização mensal. Dois meses após a aplicação, o 
montante obtido pelo credor, em reais, corresponde a 
 
a) 13.800,00 
b) 13.939,20 
c) 14.400,00 
d) 14.407,71 
e) 14.884,00 
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Resolução 
 
Vamos começar com a operação de desconto racional composto. A taxa é de 10% ao mês, o valor 
nominal (valor de face) é de R$ 12.100,00 e o tempo de antecipação é de 2 meses. Vamos calcular 
o valor atual. 
 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
 
12.100 = 𝐴 ∙ (1 + 0,10)5 
 
12.100 = 𝐴 ∙ 1,21 
 
𝐴 = 10.000,00 
 
O credor irá aplicar este valor líquido recebido à taxa de juros compostos de 44% ao bimestre com 
capitalização mensal. 
Como já vimos, esta é uma taxa nominal, pois o período da taxa não coincide com o período de 
capitalização. 
44% ao bimestre com capitalização mensal corresponde a uma TAXA EFETIVA de 22% ao mês. 
Queremos, portanto, aplicar R$ 10.000,00 por dois meses a uma taxa de 22% ao mês. 
Qual o montante? 
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖). 
 
𝑀 = 10.000 ∙ (1 + 0,22)5 = 14.884 
Gabarito: E 
23. (CESGRANRIO 2010/PETROBRAS DISTRIBUIDORA ) 
 
Suponha que o Posto de Gasolina Ribeiro Ltda. tem uma dívida com um banco de R$ 144.000,00 
(cento e quarenta e quatro mil reais),que vence em dois meses. O gerente da conta desse Posto fez 
uma proposta para quitar a dívida à vista. Se a taxa de juros desse financiamento é de 20,0% ao 
mês, quanto o Posto deve pagar à vista, em reais, ao banco, para a quitação dessa dívida? 
a) 140.000,00 
b) 120.000,00 
c) 115.200,00 
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d) 100.000,00 
e) 86.000,00 
Resolução 
O valor futuro (valor nominal) é de 144 mil reais. A taxa de juros é de 20% ao mês. 
A questão não foi clara quanto à modalidade do desconto (racional/comercial e 
simples/composto). 
Como a questão falou em financiamento, a modalidade padrão é o desconto racional composto. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
144.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,20)5 
144.000 = 𝐴 ∙ 1,44 
𝐴 = 100.000 
Gabarito: D 
24. (CESGRANRIO 2010/ PETROBRAS DISTRIBUIDORA ) 
A Empresa Alfa financia suas vendas com prazo de 30 dias. Um determinado cliente, cuja compra 
foi de R$ 123.000,00, propôs pagar à vista, desde que a Alfa concedesse um desconto pelo 
pagamento antecipado. A Alfa informou que tem inserido no preço juros de 2,5% ao mês. Qual 
seria, então, o valor, em reais, da compra com pagamento à vista? 
a) 100.000,00 
b) 110.000,00 
c) 120.000,00 
d) 130.000,00 
e) 140.000,00 
Resolução 
Novamente temos um financiamento em que deverá ser usado o desconto racional composto. 
O valor nominal é de 123 mil reais, o prazo de antecipação é de 1 mês e taxa é de 2,5% ao mês. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
123.000 = 𝐴 ∙ (1 + 0,025)Q 
123.000 = 𝐴 ∙ 1,025 
𝐴 = 120.000 
Gabarito: C 
 
25. (CESGRANRIO 2009/ PETROBRAS DISTRIBUIDORA) 
Um título tem o valor de face de R$ 28.090,00 e sofre desconto racional à taxa composta de 6% ao 
bimestre, quatro meses antes do seu vencimento. Qual o valor atual desse título, em reais? 
 
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a) 25.000,00 
b) 25.500,00 
c) 26.000,00 
d) 26.500,00 
e) 27.000,00 
Resolução 
A taxa é de 6% ao bimestre. Como o tempo de antecipação é de 4 meses, vamos utilizar n = 2 
bimestres. 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
28.090 = 𝐴 ∙ (1 + 0,06)5 
28.090 = 𝐴 ∙ 1,1236 
𝐴 = 25.000 
Gabarito: A 
26. (CESGRANRIO 2008/BNDES) 
 
Dois meses antes do seu vencimento, um título de valor nominal N sofrerá desconto. Se o 
desconto for racional composto e a taxa utilizada for de 20% ao mês, o valor do desconto será igual 
a d. Se o desconto for comercial composto, qual deverá ser a taxa mensal de desconto para que o 
valor do desconto seja o mesmo? 
 
a) 16,7% 
b) 20,0% 
c) 42,8% 
d) 69,1% 
e) 83,3% 
Resolução 
Como o desconto é o mesmo nas duas situações, então os valores atuais também serão iguais. O 
valor nominal é o mesmo também porque é o mesmo título nas duas operações. 
No desconto racional composto, temos a seguinte relação: 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑖). 
𝑁 = 𝐴 ∙ (1 + 0,20)5 
𝑁 = 1,44 ∙ 𝐴 
𝐴 =
𝑁
1,44 
No desconto comercial composto, temos a seguinte relação. 
𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖). 
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𝐴 = 𝑁 ∙ (1 − 𝑖)5 
Como 𝐴 = i
Q,LL
, então: 
𝑁
1,44 = 𝑁 ∙
(1 − 𝑖)5 
1
1,44 =
(1 − 𝑖)5 
1
144/100 =
(1 − 𝑖)5 
 
(1 − 𝑖)5 =
100
144 
 
1 − 𝑖 = D
100
144 
 
1 − 𝑖 =
10
12 
 
𝑖 = 1 −
10
12 
 
𝑖 =
2
12 =
1
6 ≅ 16,667% 
 
Gabarito: A 
 
27. (CESGRANRIO 2015/BB) 
Um microempresário precisa aumentar seu capital de giro e resolve antecipar 5 cheques de 10.000 
reais cada um, todos com data de vencimento para dali a 3 meses. 
 
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O gerente do banco informa que ele terá exatamente dois custos para realizar a antecipação, 
conforme descritos a seguir. 
 
Custo 1 – Um desconto sobre o valor dos cheques a uma taxa de 4% ao mês. Esse desconto será 
diretamente proporcional ao valor dos cheques, ao tempo de antecipação e à taxa de desconto 
anunciados. 
 
Custo 2 – Custos operacionais fixos de 500 reais para antecipações de até 100 mil reais. 
 
Assim, comparando o valor de fato recebido pelo microempresário e o valor a ser pago após 3 
meses (valor total dos cheques), o valor mais próximo da taxa efetiva mensal cobrada pelo banco, 
no regime de juros compostos, é de 
 
a) 5,2% 
b) 4,5% 
c) 4,7% 
d) 5,0% 
e) 4,3% 
 
Resolução 
Sabemos que o desconto é proporcional ao valor dos cheques, ou seja, ao valor nominal dos 
cheques e também diretamente proporcional à taxa de desconto. Esta situação descreve o 
desconto comercial simples, pois a taxa incide sobre o valor nominal. 
𝐷7 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
A taxa é de 4% ao mês e o valor nominal total é de 5 x 10.000 = 50.000 reais. 
O prazo de antecipação é de 3 meses. 
𝐷7 = 50.000 ×
4
100 × 3 = 6.000 
Assim, o valor descontado dos cheques será de: 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 = 50.000 − 6.000 = 44.000	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
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Ademais, haverá um custo adicional de R$ 500,00. Portanto, o valor líquido recebido será: 
44.000 − 500 = 43.500	𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Queremos saber a taxa efetiva no regime de juros compostos. 
Como se calcula a taxa efetiva? Basta realizar uma operação de juros compostos em que o capital é 
o valor atual e o montante é o valor nominal. 
Assim, basta aplicar a fórmula do montante composto em que 𝐶 = 43.500 e 𝑀 = 50.000. 
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖). 
50.000 = 43.500 ∙ (1 + 𝑖)u 
(1 + 𝑖)u = 1,1494 
A tabela informa que 1,047u ≅ 1,148. Portanto, 
1 + 𝑖 ≅ 1,047 
𝑖 ≅ 0,047 
𝑖 ≅ 4,7%	𝑎𝑜	𝑚ê𝑠 
 
Gabarito: C 
28. (CESGRANRIO 2015/BB) 
Uma instituição financeiraefetua o desconto de um título de valor de face de R$ 25.000,00 dois 
meses antes do vencimento, utilizando taxa de desconto simples bancário (por fora) de 9% ao mês. 
A instituição exige o pagamento de 2% do valor de face do título como taxa de administração no 
momento de desconto do título. 
 
A taxa bimestral de juros realmente cobrada é de 
 
a) 20% 
b) 25% 
c) 11% 
d) 16% 
e) 22,5% 
Resolução 
O valor nominal é de R$ 25.000,00, a taxa de desconto comercial simples é de 9% ao mês e o prazo 
de antecipação é de 2 meses. 
𝐷7 = 𝑁 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
𝐷7 = 25.000 ×
9
100 × 2 = 4.500 
Portanto, o valor atual é: 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
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𝐴 = 25.000 − 4.500 
𝐴 = 20.500 
Haverá ainda o pagamento de uma taxa de 2% do valor nominal. 
𝑇𝑎𝑥𝑎 = 2%	𝑑𝑒	25.000 =
2
100 × 25.000 = 500 
Desta forma, o valor líquido recebido será: 
20.500 − 500 = 20.000 
O problema pede a taxa bimestral de juros. Como o tempo é de 2 meses e queremos calcular uma 
taxa bimestral, então vamos usar n = 1 bimestre. Vamos realizar uma operação de juros compostos 
em que C = 20.000 e M = 25.000. Na verdade, como estamos utilizando n = 1, podemos utilizar 
juros simples ou compostos. 
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖). 
25.000 = 20.000 ∙ (1 + 𝑖)Q 
1,25 = 1 + 𝑖 
𝑖 = 0,25 = 25%	𝑎𝑜	𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 
Gabarito: B 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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