Sumário e Cap. 1

Prova 5 — 10/12/2010 — Maluhy&Co. — página (local 3, global #17)i
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Regimes de Capitalização 3
dificuldade diz respeito ao número de dias contidos em um ano. Normalmente, a taxa de
juros é expressa ou cotada ao ano. A convenção mais utilizada considera um ano fictício
de 360 dias, significando 12 meses de 30 dias. Nesse caso, o juro é dito comercial ou
ordinário. No entanto, certas aplicações financeiras consideram o ano com 365 dias. Nesse
caso, o juro é dito exato. Portanto, quando se anuncia a taxa de juros anual, deve-se
investigar qual a convenção utilizada.
Nota 1.1
Apesar da existência de diferentes convenções, é sempre possível estabelecer a
equivalência entre elas.
Outra dificuldade diz respeito ao tipo de dia a ser considerado na cotação da taxa de
juros, que sempre se refere a dias corridos, pois é um prêmio por se adiar o consumo
presente de bens. A cada momento do tempo, estamos substituindo consumo presente por
consumo futuro, seja em dias úteis, feriados ou finais de semana. Não tem sentido, portanto,
considerar uma taxa de juros apenas por dia útil. No Brasil, há certas aplicações financeiras
que só recebem remuneração por dia útil. De fato, neste país, ao se considerar uma taxa por
dia útil, convenciona-se o ano com 252 dias, ou seja, 12 meses de 21 dias úteis. De novo,
como se trata de uma simples convenção, é sempre possível estabelecer a equivalência com
a taxa de juros por dias corridos. Por sua vez, nos demais países, a taxa de juros é sempre
cotada com referência aos dias corridos.
Nota 1.2
Por facilidade de exposição, até o Capítulo 6, sempre será considerada uma taxa de
juros por dias corridos, considerando-se o ano com 360 dias. No Capítulo 7, serão
estudadas outras convenções e a equivalência entre elas.
Como visto, a taxa de juros mede a disposição das pessoas em adiar o consumo presente
de bens. Se a taxa de juros estiver baixa, é provável que grande parte dos indivíduos prefira
não adiar o consumo presente. Por sua vez, uma taxa de juros mais elevada deve estimular
a poupança. Para determinada taxa de juros, as pessoas poderão poupar ou gastar sua renda
em função de suas preferências intertemporais. Portanto, deve existir uma taxa de juros
que torne as pessoas indiferentes entre consumo e poupança, isto é, que faça a equivalência
entre consumo presente e futuro. Dessa forma, pode-se dizer que a taxa de juros estabelece
a equivalência entre diferentes quantias de dinheiro em diferentes instantes do tempo. Em
nosso exemplo, consumir $ 100.00 hoje é equivalente a consumir $ 120.00 daqui a um ano.
Consequentemente, o dinheiro possui diferentes valores no tempo e, como decorrência,
não podemos somar quantias de dinheiro de diferentes datas sem os ajustes devidos.
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4 Matemática Financeira Moderna
Exemplo 1.1
Um capital de $ 1000.00 é aplicado durante um ano a uma taxa de juros anual de 50%.
Obter o montante e os juros recebidos ao final desse período.
P = 1000; iaa = 50%; S =?; J =?
Aplicando a fórmula do valor futuro:
S = 1000(1 + 0.5) = 1500.
Quanto aos juros:
J = 0.5 × 1000 = 500 ou J = 1500 − 1000 = 500.
Exemplo 1.2
Um capital de $ 10000.00 rendeu, após um ano de aplicação, o montante de $ 25000.00.
Qual a taxa de juros anual recebida nessa aplicação?
S = 25000; P = 10000; i =?
Aplicando a fórmula do montante:
25000 = 10000(1 + i).
E, isolando a taxa de juros, obtemos:
i =
S
P
− 1 = 25000
10000
− 1 = 1.5 ou 150%.
Exemplo 1.3
Uma aplicação rendeu, após um ano, o montante de $ 600000.00, a uma taxa de juros de
50%. Calcular o valor aplicado.
S = 600000; i = 50%; P =?
Aplicando a fórmula do montante:
600000 = P(1 + 0.5).
E, isolando o valor do principal, obtemos:
P =
S
(1 + i)
=
600000
(1 + 0.5)
= 400000.
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Regimes de Capitalização 5
1.2 Capitalização periódica a juros simples e compostos
Não é incomum que o capital emprestado seja pago antes da data (futura) inicialmente
acordada. Se isso acontecer, é preciso calcular o valor a ser pago, considerando que nessa
situação os juros devidos são menores, ante o encurtamento do prazo de pagamento. Daí
surge a necessidade da capitalização periódica dos juros.
Há dois tipos usuais de convenções acerca da remuneração do dinheiro: juros simples e
juros compostos. No primeiro caso, a taxa de juros incide sobre o valor do principal. No
segundo, os juros são incorporados ao principal sobre o qual incide novamente a taxa de
juros. Portanto, os juros devidos também rendem juros, ou seja, os juros são capitalizados.³
No mundo dos negócios, a capitalização dos juros, isto é, sua incorporação ao principal,
é feita sempre de forma periódica. Os juros só são devidos e incorporados ao principal no
final do período de capitalização, ou período de pagamento de juros, que pode ser de um
ano, de um mês, de um dia. Em alguns casos práticos, pode ser conveniente considerar,
também, a situação em que os juros são incorporados ao principal de forma instantânea, ou
seja, pagam-se juros compostos num período de capitalização que é um infinitésimo de
tempo.⁴ Nesse caso, juros compostos capitalizados de forma instantânea recebem o nome
de juros contínuos.
1.2.1 Capitalizac¸a˜o perio´dica a juros simples
Na capitalização simples, a taxa de juros incide somente sobre o principal. Portanto, os
juros devidos por período são sempre iguais a iP, e o montante aumenta sempre sobre essa
mesma quantia a cada período. Como decorrência, o montante cresce linearmente com o
tempo, como em uma progressão aritmética.
Considere um capital aplicado durante n períodos de capitalização, sendo i a taxa de
juros simples por período de capitalização. Por definição, o montante acumulado ao final
de n períodos de capitalização é igual ao capital aplicado mais o total de juros recebidos Jn.
Logo, podemos escrever:
S = P + Jn. (1.4)
Os juros devidos por período incidem somente sobre o principal, J = iP, de modo que,
ao final de n períodos de capitalização, os juros acumulados serão iguais a:
Jn = iP + iP + · · · + iP︸ ︷︷ ︸
n vezes
= n × i × P. (1.5)
Nota 1.3
Observe que somamos juros recebidos em diferentes datas sem incorporar um prêmio.
Essa operação só pode ser feita quando se tratar de juros simples, pois não há incidência
de juros sobre juros.
3. A incidência de juros sobre juros é também denominada anatocismo, em linguagem jurídica.
4. A capitalização contínua é muito utilizada na matemática de mercados futuros e de opções.
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6 Matemática Financeira Moderna
Substituindo (1.5) em (1.4), obtemos a fórmula da capitalização a juros simples, sendo
o termo entre parênteses denominado fator acumulação de capital:
S = P + i × n × P = P(1 + i × n).
Na capitalização periódica, o montante permanece constante, e os juros só são incor-
porados ao principal no final de cada período de capitalização ou de pagamento de juros.
Nota 1.4
Se o principal for sacado antes do vencimento do período de capitalização, o deposi-
tante não terá direito aos juros daquele período, ou seja, os juros só são incorporados
ao principal na data de aniversário da aplicação.
A fórmula do montante é suficiente para se resolver qualquer problema de juros simples,
bastando, para tanto, lançar mão de operações algébricas muito simples. Se quisermos, por
exemplo, determinar o valor presente, tendo como dados o valor futuro (em geral esperado),
o prazo total⁵ e a taxa de juros, basta isolar o valor do principal na fórmula do montante,
obtendo-se:
P =
S
(1 + i × n) ·
De forma semelhante, pode-se derivar uma fórmula para a taxa de juros e para o prazo
da aplicação, lembrando que não se trata de uma nova expressão. De fato, é desneces-
sário derivar múltiplas versões da mesma fórmula.