matematica-financeira

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Conteúdo 
 
1 - Conceitos gerais - O conceito do valor do dinheiro no tempo; Capital, juros, taxas de juros; 
Capitalização, regimes de capitalização; Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa; Equivalência 
financeira. 2 - Juros simples - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal e do 
prazo da operação financeira. 3 - Juros compostos - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de 
juros, do principal e do prazo da operação financeira. 4 - Sistemas de amortização - Sistema price; 
Sistema SAC. 
 
 Coletâneas de Exercícios 
 
 
 
 
 
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Conceitos Gerais 
 
Matemática financeira é uma área de aplicação prática da matemática, que consiste em cálculos direcionados 
à melhor organização e ao maior controle do dinheiro. 
 
Mais do que uma ciência, é uma ferramenta bastante útil no dia a dia, tanto para cuidar das contas pessoais 
quanto daquelas que pertencem a uma empresa. 
 
A partir de diferentes fórmulas, é possível ter uma visão integral sobre as finanças, utilizar bem o dinheiro, 
aumentar o seu valor e evitar prejuízos. 
 
Como exemplos dessas operações podemos citar as aplicações financeiras, empréstimos, renegociação de 
dívidas, ou mesmo, tarefas simples, como calcular o valor de desconto num determinado produto. 
 
Conceitos Básicos da Matemática Financeira 
 
Capital (C) 
Representa o valor do dinheiro no momento atual. Este valor pode ser de um investimento, dívida ou 
empréstimo. 
 
Juros (J) 
Representam os valores obtidos pela remuneração de um capital. Os juros representam, por exemplo, o custo 
do dinheiro tomado emprestado. 
Ele pode também ser obtido pelo retorno de uma aplicação ou ainda pela diferença entre o valor à vista e a 
prazo em uma transação comercial. 
 
Montante (M) 
Corresponde ao valor futuro, ou seja, é o capital mais os juros acrescidos ao valor. 
 
Assim, M = C + J. 
 
Taxa de Juros (i) 
É o percentual do custo ou remuneração paga pelo uso do dinheiro. A taxa de juros está sempre associada a 
um certo prazo, que pode ser por exemplo ao dia, ao mês ou ao ano. 
 
Cálculos Básicos da Matemática Financeira 
 
Porcentagem 
A porcentagem (%) significa por cento, ou seja, uma determinada parte de cada 100 partes. Como representa 
uma razão entre números, pode ser escrita na forma de fração ou como número decimal. 
 
Por exemplo: 
 
30 sinal de percentagem igual a 30 sobre 100 igual a 0 vírgula 3 
 
Muitas vezes utilizamos a porcentagem para indicar aumentos e descontos. Para exemplificar, vamos pensar 
que uma roupa que custava 120 reais está, nesse período do ano, com 50% de desconto. 
 
Como já estamos familiarizados com esse conceito, sabemos que esse número corresponde à metade do valor 
inicial. 
 
Então, essa roupa no momento está com custo final de 60 reais. Vejamos assim, como trabalhar a 
porcentagem: 
 
 
 
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50% pode ser escrito 50/100 (ou seja, 50 por cem) 
 
Assim, podemos concluir que 50% equivale a ½ ou 0,5, em número decimal. Mas afinal o que isso significa? 
 
Bem, a roupa está com 50% de desconto e, portanto, ela custa metade (½ ou 0,5) de seu valor inicial. Logo, a 
metade de 120 é 60. 
 
Mas vamos pensar noutro caso, em que ela está com 23% de desconto. Para tanto, temos que calcular quanto 
é 23/100 de 120 reais. Lógico que por aproximação podemos fazer esse cálculo. Mas aqui a ideia não é essa. 
 
Logo, 
 
Transformamos o número percentual em número fracionário e multiplicamos pelo número total que queremos 
identificar o desconto: 
 
23/100 . 120/1 - dividindo o 100 e 120 por 2, temos: 
 
23/50 . 60/1 = 1380/50 = 27,6 reais 
 
Portanto, o desconto de 23% numa roupa que custa 120 reais será de 27,6. Assim, o valor que você irá pagar 
é de 92,4 reais. 
 
Agora vamos pensar no conceito de aumento, ao invés de desconto. No exemplo acima, temos que a comida 
subiu 30%. Para isso, vamos exemplificar que o preço do feijão que custava 8 reais teve um aumento de 30%. 
 
Aqui, temos que saber quanto é 30% de 8 reais. Da mesma forma que fizemos acima, vamos calcular a 
porcentagem e, por fim, agregar o valor no preço final. 
 
30/100 . 8/1 - dividindo o 100 e 8 por 2, temos: 
 
30/50 . 4/1 = 120/50 = 2,4 
 
Assim, podemos concluir que o feijão nesse caso está custando mais 2,40 reais. Ou seja, de 8 reais seu valor 
foi para 10,40 reais. 
 
Variação Percentual 
Outro conceito associado ao de porcentagem é o de variação percentual, ou seja, a variação das taxas 
percentuais de acréscimo ou decréscimo. 
 
Exemplo: 
No início do mês, o preço do quilo da carne era de 25 reais. No final do mês a carne era vendida por 28 reais 
o quilo. 
 
Assim, podemos concluir que houve uma variação percentual relacionada com o aumento desse produto. 
Podemos constatar que o aumento foi de 3 reais. Pela razão dos valores temos: 
 
3/25 = 0,12 = 12% 
 
Sendo assim, podemos concluir que a variação percentual do preço da carne foi de 12%. 
 
Juros 
O cálculo de juros pode ser simples ou composto. No regime de capitalização simples, a correção é feita 
sempre sobre o valor do capital inicial. 
 
Já nos juros compostos, a taxa de juros é aplicada sempre sobre o montante do período anterior. Note que 
esse último é muito utilizado nas transações comerciais e financeiras. 
 
Juros Simples 
 
 
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Os juros simples são calculados levando em consideração um determinado período. Ele é calculado pela 
fórmula: 
 
J = C . i . n 
 
Onde: 
 
C: capital aplicado 
i: taxa de juros 
n: período que corresponde os juros 
 
Logo, o montante dessa aplicação será: 
 
M = C + J 
M = C + C . i . n 
M = C . (1 + i . n) 
 
Juros Compostos 
O sistema de juros compostos é chamado de capitalização acumulada, pois, ao final de cada período os juros 
que incidem sobre o capital inicial são incorporados. 
 
Para calcular o montante em uma capitalização a juros compostos, usamos a seguinte fórmula: 
 
Mn = C (1+i)n 
 
Exercícios para resolver 
Gabarito: no final da Coletânea de exercícios 
 
01. Suponha um título de R$ 500,00, cujo prazo de vencimento se encerra em 45 dias. Se a taxa de 
desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do desconto simples será igual a 
A) R$ 7,00. 
B) R$ 7,50. 
C) R$ 7,52. 
D) R$ 10,00. 
E) R$ 12,50. 
 
02. Um investidor aplicou a quantia de R$ 8.000,00 à taxa de juros compostos de 4% a.m.; o montante 
que esse capital irá gerar em 12 meses pode ser calculado por 
A) M = 8000(1 + 12 x 4) 
B) M = 8000(1 + 0,04)12 
C) M = 8000(1 + 4)12 
D) M = 8000 + 8000(1 + 0,04)12 
E) M = 8000(1 + 12 x 0,04) 
 
03. Um banco cobrou R$ 360,00 por seis meses de atraso em uma dívida de R$ 600,00. Qual a taxa de 
juros mensal cobrada por esse banco, calculada a juros simples? 
A) 8% 
B) 9% 
C) 10% 
D) 15% 
E) 20% 
 
Gabarito 
01) B 02) B 03) C 
 
O conceito do valor do dinheiro no tempo 
 
 
 
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Responda: você prefere receber 50 prestações mensais de R$ 1.000 a partir de hoje ou a quantia de R$ 49.800 
à vista em sua conta bancária? 
 
A maioria das pessoas (senão todas elas) prefere a quantia de R$ 49.800 à vista, apesar de 50 vezes R$ 
1.000,00 resultar num montante maior: R$ 50.000. Mas o que está por detrás dessa decisão? O conceito mais 
importante que existe em finanças: o valor do dinheiro no tempo. 
 
Um real hoje não é igual a um real amanhã. Um real hoje vale mais do que um real amanhã”. Em consequência, 
um real hoje mais um real amanhã não resulta em dois reais nem hoje e nem amanhã! Ficou confuso? 
Pergunto: um dólar mais um real resultam em dois reais? Em dois dólares? Não, né... Da mesma forma, 50 
prestações de R$ 1.000 não resultam em R$ 50 mil hoje (isto é, em dinheiro de hoje). Sim, os exemplos são 
comparáveis: assim como dólar e real são moedas diferentes e um precisa ser convertido no outro para as 
contas ficarem corretas, o real de hoje écomo se fosse uma moeda mais valiosa do que o real de amanhã, de 
forma que precisamos fazer também o devido ajuste. 
 
A Inflação 
A mesma quantia em dinheiro que compra um cacho de bananas hoje muito provavelmente não será suficiente 
para comprar o mesmo cacho daqui a um ano, pois a inflação fará com que o preço da banana aumente. Mas 
o que torna a história ainda mais interessante é que mesmo num país com inflação zero, o dinheiro de hoje 
vale mais do que o dinheiro de amanhã. 
 
Por que então a preferência dos R$ 49.800 hoje em vez das 50 prestações de mil reais? Simplesmente, porque 
os R$ 49.800 valem mais do que os R$ 50 mil divididos em várias prestações! E o motivo é simples: se 
recebendo R$ 49.800 hoje, é possível fazer muitas coisas com esse dinheiro. Por exemplo, pode-se quitar uma 
dívida com o cartão de crédito que está cobrando 10% de juros ao mês! Ou então, pode dar entrada num 
apartamento, comprar um carro à vista (com um belo desconto!) ou mesmo investir comprando algumas ações 
de empresas ou cotas de um bom fundo de investimento. O dinheiro na mão oferece muito mais oportunidades, 
sem falar que ele pode até servir como uma reserva de segurança para qualquer necessidade inesperada. 
Dentro deste contexto, falamos em custo de oportunidade, que na verdade refere-se ao custo da falta do 
dinheiro. 
 
Além da inflação e do custo de oportunidade explicado acima, há ainda um terceiro argumento para, em muitas 
situações, preferirmos menos dinheiro hoje em vez de mais dinheiro no futuro: o risco. Quando recebe o 
dinheiro antes, você dissipa (naquele momento) todo o risco de não o receber. Logo, preferimos receber um 
real hoje a receber um real amanhã porque de hoje para amanhã algo pode acontecer que coloque em risco 
esse um real. 
 
No mundo corporativo, o custo do valor do dinheiro no tempo se resume a uma taxa de juros que serve para a 
empresa tomar decisões financeiras, sejam de investimento ou de financiamento. Os montantes futuros são 
sempre ajustados por esta taxa e comparados ao montante total presente para balizar a melhor decisão. Esta 
taxa de juros que ajusta o valor do dinheiro no tempo, no âmbito corporativo, é conhecida como custo de capital 
e trata-se de uma das mais importantes medidas corporativas. No campo de finanças pessoais, a ideia é muito 
semelhante, mas este custo de capital pessoal varia muito de pessoa para pessoa. Por exemplo, para quem 
está endividado com cartões de crédito e cheque especial, o custo de capital atinge patamares bem superiores 
ao custo de capital de uma pessoa bem organizada financeiramente. 
 
Voltando ao nosso exemplo inicial, suponha o seguinte: por qual quantia depositada hoje, qualquer pessoa, 
abriria mão de 50 prestações mensais de R$ 1.000? 
Cada pessoa tem oportunidades e necessidades distintas, de modo que diferentes pessoas podem ter 
diferentes respostas. Se eu tenho uma dívida na qual pago juro de 10% ao mês, é possível que valha a pena 
trocar as prestações de mil reais pela metade à vista, ou seja, R$ 25 mil. Mas se eu estou organizado 
financeiramente, sem necessidade imediata de dinheiro, meu “desconto” será bem menor. 
 
Exemplo 
Se um consumidor precisa decidir entre comprar uma televisão em lojas diferentes mas em condições de 
pagamentos diferentes, a decisão do melhor preço será feita pela comparação de valores na mesma data. 
 
 
 
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Logo, se o aparelho está sendo vendido em duas parcelas mensais de R$ 500 na loja A e em 6 prestações de 
R$ 180 na loja B, com juros mensais de 3% em ambas as lojas, qual a loja o consumidor deverá adquirir sua 
televisão? 
Para viabilizar a comparação vamos trazer para o valor presente ou o valor à vista os dois planos de 
pagamento. 
 
Na loja A, o preço à vista será de: 
 
VP = VF(1+i) + VF(1+i)n 
 
VP = 500(1,03) + 500(1,03) 2 
 
VPloja A = R$ 956,73 
 
E na loja B, o valor à vista será de: 
 
VP = 180/1,03 + 180/1,032 + 180/1,033 + 180/1,034 + 180/1,035 + 180/1,036 
 
VPloja B = R$ 975,09 
 
Assim, levando –se em consideração os dois conjuntos de prestações para a mesma data, verifica-se que as 
duas ofertas não são equivalentes, logo, na loja A o aparelho sai mais barato. 
 
Esse é o conceito de valor do dinheiro no tempo, importantíssimo e irrefutável. 
 
Capital, juros, taxas de juros 
 
Capital 
É o nome dado a um objeto ou pessoa que tem capacidade de virar um bem ou serviço. Matéria prima, mão 
de obra e outros meios que sirvam para produção de um produto final é um capital. 
 
Também, qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicado em uma 
operação financeira. 
 
Obs.: quando tratamos de capital devemos atribuir a este termo a noção de valor financeiro. 
 
Juros 
Os juros correspondem à remuneração do capital em uma operação de crédito, ou seja, são o valor pago pelo 
tomador de um empréstimo ao credor, para compensá-lo pelo capital cedido por um determinado prazo. 
 
Assim, quando alguém toma dinheiro emprestado, para quitar a dívida contraída, é preciso devolver, na data 
acordada para o pagamento (Prazo), o valor do empréstimo (Capital) acrescido da remuneração do credor 
(Juros). À soma desses dois valores dá-se o nome de Montante. 
 
Taxas de Juros 
Taxa de juro é o preço do dinheiro. Dinheiro é uma mercadoria como outra qualquer. Tomemos o exemplo de 
uma geladeira. O preço varia em função da lei da oferta e da procura. Quanto maior a quantidade de geladeira 
no mercado, menos o consumidor pagará por ele. Com o dinheiro é a mesma coisa. Quanto mais dinheiro os 
bancos têm para oferecer aos seus clientes, menos eles cobram pelo empréstimo. E o preço que os bancos 
cobram é a taxa de juros. Os bancos precisam captar recursos no mercado para poder emprestar. Para atrair 
esse capital eles remuneram os clientes que depositam seu rico dinheirinho. E adivinhe com o se chama essa 
remuneração: taxa de juros. Portanto, por definição, o que o banco lucra é a diferença entre a taxa de juros 
paga ao depositante e a taxa cobrada de quem pega um empréstimo. É o chamado spread. 
 
Spread bancário 
 
 
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O spread bancário (pronuncia-se spréd) é a diferença entre os juros cobrados pelos bancos nos empréstimos 
a pessoas físicas e jurídicas e as taxas pagas pelos bancos aos investidores que colocam seu dinheiro em 
aplicações do banco. 
 
Quanto maior o spread bancário, maior é o lucro que os bancos têm nas operações de crédito. É por conta 
disso que o spread bancário brasileiro, um dos mais altos do mundo, é criticado por economistas 
independentes, líderes sindicais, empresários e pelo governo – o dinheiro que poderia estar movimentando a 
economia é “engolido” pelos bancos. 
 
Taxas 
 
Taxas Equivalentes 
Em linguagem simples, são duas taxas ou mais taxas que, quando aplicadas, em determinado lapso de tempo 
em determinada quantia têm como resultado o mesmo valor. 
 
Complicado? Tá, então digamos assim: você tem uma aplicação que rende 1 % a.m. se você aplicar durante 
6 meses. E você tem outra que rende 12 % a.a. se você aplicar durante um ano. Qual é mais vantajosa? É 
tudo a mesma coisa, ou seja, elas são equivalentes, ou não? Ou será que é melhor pagar antecipadamente 
uma dívida ou aplicar o dinheiro e pagá-la no vencimento previsto? 
 
Exemplo: Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00 
- à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses 
- à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres 
 
Resolução 
No primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00 
No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00 
Como os juros são iguais, podemos dizer que 4% a. m. e 12% a. t., são taxas equivalentes 
 
Taxa Nominal 
É quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital não coincide com aquele a 
que a taxa está referenciada. - Versão português: É quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 
35% ao ano só que a capitalização émensal ou que a aplicação financeira é de 0,85% ao mês só que a 
capitalização é diária, como os FIFs ou FAQs, de capitalização diária, dos bancos. 
Assim, por exemplo, 
35% ao ano, com capitalização mensal; 
16% ao ano, com capitalização semestral; 
36% ao mês, com capitalização diária. 
 
Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é, porém, 
utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho/custo financeiro do negócio. 
Qual é, então, a taxa efetivamente utilizada? É a taxa efetiva 
 
Taxa Efetiva 
É quando o período de formação e o período de incorporação de juros ao Capital coincide com aquele a que 
a taxa está referenciada. - falando português: É quando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 1 % 
ao mensal e capitalização é mensal, como a poupança. 
 
Como se obtém a TAXA EFETIVA? 
O seu valor pode ser determinado através da equivalência: o principal VP aplicado à taxa iaa durante um ano 
deve produzir mesmo montante que quando aplicado à taxa i 
durante m períodos: 
VP( 1 + iaa) = VP( 1 + i)m. 
Portanto, 
iaa = (1 + i)m - 1 = FAC (m,i) - 1 
 
http://www.oragoo.net/o-que-e-spread-bancario/
 
 
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Exemplo 
Sejam R$ 100,00 aplicados a 2% ao mês, capitalizados mensalmente. 
Taxa nominal: iN = 12 x 2% = 24% ao ano. 
Taxa efetiva: iE = (1 + 0,02)
12 - 1 = 1,268 - 1 = 0,268 = 26,8% ao ano 
O montante após um ano será 100(1 + 0,268) = 126,8 e não 100(1 + 0,24) 
= 124 como se poderia supor!!. 
 
A distinção entre taxa efetiva e taxa nominal é de suma importância. Em situações envolvendo empréstimos 
ou financiamentos, por exemplo, a taxa que figura nos contratos é geralmente a taxa nominal, que não pode 
ser tomada como critério de decisão. 
 
Taxa Real 
É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período. Você vai ouvir esse termo adoidado. Pegando o 
exemplo da poupança, quando o Governo diz que a poupança tem um rendimento real de 0,5% ao mês, 
significa que seu dinheiro foi corrigido primeiro pela inflação do período e sobre este montante foi aplicado 
0,5%. 
 
Taxa de Juros Proporcional 
Duas taxas são ditas proporcionais quando os números que indicam as taxas são diretamente proporcionais 
aos respectivos números que indicam os períodos de referência. É um conceito do regime de juros simples. 
Por exemplo: 
15% ao trimestre é proporcional a 5% ao mês. Isto porque: 
15% / 3 meses = 5% / 1 mês 
 
Taxa de Juros Aparente 
É um conceito usado em estudos financeiros em contexto inflacionário. Hoje em dia não é utilizada devido às 
baixas taxas de inflação registradas já há alguns anos no Brasil. 
 
Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa 
 
Fluxo de caixa 
Nas operações do dia a dia de uma empresa, a organização financeira é fundamental. Para isso, o empresário 
conta com um instrumento básico de planejamento e controle financeiro, denominado fluxo de caixa. 
 
O objetivo dessa ferramenta é apurar e projetar o saldo disponível para que exista sempre capital de giro 
acessível tanto para o custeio da operação da empresa (folha de pagamento, impostos, fornecedores, entre 
outros) quanto para o investimentos em melhorias (reforma da fachada, por exemplo). 
 
Na ferramenta de fluxo de caixa, devem ser registrados: 
 
Todos os recebimentos 
Vendas à vista em dinheiro, cheque, cartões; vendas a prazo, recebimento de duplicatas, entre outros. 
 
Todos os pagamentos 
Compras à vista e a prazo, pagamentos de duplicatas, pagamento de despesas e outros pagamentos. 
 
Previstos 
Recebimentos e pagamentos previstos para o futuro, num período de pelo menos três meses. 
 
Benefícios do Fluxo de Caixa 
Ao elaborar o fluxo de caixa, o empresário terá uma visão financeira do presente e do futuro da empresa. 
 
Dessa forma, o empreendedor pode antecipar algumas decisões importantes, como: a redução de despesas 
sem o comprometimento do lucro, o planejamento dos investimentos, a organização de promoções para 
desencalhe de estoque, o planejamento de solicitação de empréstimos, a negociação para dilatar prazos com 
fornecedor, e outras medidas para que dificuldades financeiras possam ser evitadas ou minimizadas. 
 
 
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A estrutura do fluxo de caixa depende da natureza da empresa e das necessidades do empresário. O resultado 
do fluxo de caixa é o saldo disponível (em dinheiro existente no caixa, ou depositado em conta corrente nos 
bancos, etc.) apurado pela diferença entre o total do valor dos recebimentos e pagamentos efetivamente 
realizados em determinada data ou período. 
 
O saldo final do fechamento de caixa deve corresponder ao valor dos recursos disponíveis no caixa da empresa 
ou depositados em contas bancárias. 
 
Veja abaixo um resumo das etapas para uma boa gestão do fluxo de caixa da empresa: 
 
 
 
Saldo do fluxo de caixa e controle operacional 
O saldo de caixa não indica necessariamente que a empresa está tendo lucro ou prejuízo em suas atividades 
operacionais. A existência do saldo final deve ser confirmada preferencialmente a cada dia. 
 
É importante saber que saldos diários elevados, tanto negativos quanto positivos, sugerem a necessidade de 
melhoria da organização financeira. 
 
Caso o saldo apurado seja negativo, deve-se analisar se as despesas estão muito altas e verificar a 
possibilidade de renegociação dos pagamentos aos fornecedores, entre outras providências possíveis. 
 
Já se o saldo apurado for positivo, pode-se investir esse valor de forma que se obtenha algum rendimento até 
que seja necessário fazer algum pagamento. 
 
A análise do fluxo de caixa permite traçar estratégias para o crescimento da empresa 
ou reverter as situações negativas. 
 
Saldos negativos devem ser sempre analisados. A primeira providência é descobrir as causas: atraso nos 
recebimentos, alta taxa de inadimplência, queda repentina nas vendas, etc. 
 
 
 
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Esse problema também ocorre se as diferenças entre os prazos de recebimentos forem muito maiores do que 
os prazos dos pagamentos. Nesse caso, planejar e organizar o capital de giro é fundamental. Para evitar 
problemas no fluxo de caixa é recomendável ter uma reserva de capital de giro. 
 
Vejamos um exemplo para uma loja de roupas. O lojista compra a mercadoria no valor total de R$ 1.000,00 no 
dia cinco de janeiro. O pagamento ao fornecedor será em 30 dias, ou seja, no dia cinco de fevereiro. 
 
A mercadoria foi vendida no dia 25 de janeiro, parcelada em duas vezes. A primeira parcela com 30 dias e a 
segunda com 60 dias. 
 
Nesse caso, o fluxo financeiro ficaria assim: 
 
ATIVIDADE COMPRA 
MERCADORIA 
VENDE A 
MERCADORIA 
PAGA AO 
FORNECEDOR 
RECEBE 
PARCELA 1 
RECEBE 
PARCELA 2 
DATAS 05/01 25/01 05/02 25/02 25/03 
FLUXO DE 
CAIXA 
- - (1.000,00) + 500,00 + 500,00 
SALDO DO 
CAIXA 
- - (1.000,00) (500,00) - 
Observação: os valores entre parênteses representam saídas ou saldos negativos. 
 
Veja que, no exemplo acima, há um descasamento entre a data do pagamento da mercadoria ao fornecedor e 
o dia do recebimento da venda, gerando um saldo negativo de R$ 1.000,00 no dia 5 de fevereiro. 
 
Fazendo o fluxo de caixa, o empresário antecipa que essa situação vai ocorrer e se prepara para guardar 
dinheiro suficiente para fazer esse pagamento, mesmo não tendo ainda recebido do seu cliente. 
 
O controle e a gestão do fluxo de caixa são muito importantes para que o empresário 
tenha subsídios para uma tomada de decisão financeira na gestão do negócio. 
 
Os empréstimos, sejam bancários ou provenientes de sócios, assim como os descontos de duplicatas são 
alternativas viáveis, mas não devem ser as primeiras soluções. Nunca é demais lembrar que essas opções 
devem ser previamente e detalhadamente analisadas, para que o empresário não assuma dívidas além de 
suas possibilidades, enfrentando dificuldades futuras para quitar os compromissos assumidos.Ferramenta para auxiliar com o fluxo 
O fluxo de caixa pode ser elaborado manualmente (o que dá um pouco mais de trabalho), em uma agenda ou 
um caderno. Mas é muito mais fácil, organizado e ágil se for realizado em uma planilha eletrônica ou em um 
programa de gestão. 
 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
 
Um diagrama de fluxo de caixa, é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores 
monetários envolvidos em cada período, considerando-se uma certa taxa de juros i. 
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os valores 
monetários, considerando-se a seguinte convenção: dinheiro recebido  seta para cima dinheiro pago  seta 
para baixo. 
 
Exemplo: 
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir: 
 
 
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O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, 
pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo, 700 no 
quarto e 200 no quinto ano. 
Convenção: 
dinheiro recebido  flecha para cima  valor positivo 
dinheiro pago  flecha para baixo  valor negativo 
 
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais referidos às datas, 
0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV). 
 
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referência. Neste caso, 
vamos trazer todos os capitais para a data zero. Do diagrama de fluxo de caixa visto acima, concluímos que 
o valor presente - PV - do fluxo de caixa será: 
 
 
Esta fórmula pode ser utilizada como critério de escolha de alternativas, como veremos nos 
exercícios a seguir. 
 
1 - Numa loja de veículos usados, são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um carro: 
 
Plano A: dois pagamentos, um de R$ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de R$ 2.000,00 no final do décimo 
segundo mês. 
 
Plano B: três pagamentos iguais de R$ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do segundo mês. 
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento? 
 
Solução: 
Inicialmente, devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes: 
 
PLANO A: 
 
 
 
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_01.gif
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_02.gif
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_03.gif
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_04.gif
 
 
12 
 
PLANO B: 
 
 
 
Teremos para o plano A: 
 
Para o plano B, teremos: 
 
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluímos que este plano A é mais 
atraente do ponto de vista do consumidor. 
 
2 - Um certo equipamento é vendido à vista por R$ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de R$ 17.000,00 mais 
três prestações mensais iguais a R$ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual 
a melhor alternativa para o comprador, se a taxa mínima de atratividade é de 5% a.m.? 
 
Solução: 
Vamos desenhar os fluxos de caixa: 
À vista: 
 
 
À prazo: 
 
 
Vamos calcular o valor atual (ou valor presente PV - Present Value) para esta alternativa: 
 
Como o valor atual da alternativa a prazo é menor, a compra a prazo neste caso, é a melhor alternativa, do 
ponto de vista do consumidor. 
 
3 - Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de R$ 50.000,00 à vista ou, a prazo conforme o seguinte 
plano: 
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_05.gif
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_06.gif
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_07.gif
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_09.gif
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_10.gif
 
 
13 
 
Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em 
quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do mercado, calcule o valor da última 
parcela. 
 
Solução: 
 
Teremos: 
 
Resolvendo a equação acima, obtemos x = 19013,00 
 
Portanto, o valor da prestação é R$19013,00. 
 
Exercícios para resolver 
Gabarito: no final da Coletânea de exercícios 
 
01. A Demonstração de Fluxo de Caixa, além de ser elaborada pelo método direto e evidenciar as 
movimentações havidas no caixa e seus equivalentes, deve abranger os seguintes fluxos: 
A) Receitas, despesas e investimentos. 
B) Operações, investimentos e financiamentos. 
C) Operações de crédito, despesa e investimentos. 
D) Execução orçamentária, movimentação extra orçamentária e patrimônio/capital. 
E) Despesa, receita e financiamentos. 
 
 02. O resultado apurado no período: 
A) gerou um ingresso total de caixa de R$ 16.300,00. 
B) quando ajustado, é negativo em R$ 8.700,00. 
C) contribuiu para ingresso financeiro de R$ 12.800,00. 
D) representa um uso total de disponibilidades de R$ 12.300,00. 
E) indica que a atividade operacional foi positiva em R$ 1.300,00. 
 
03. Na elaboração da Demonstração dos Fluxos de Caixa podemos dizer que: 
A) acréscimos em contas do ativo aumentam caixa. 
B) decréscimos em contas do Patrimônio Líquido diminuem caixa. 
C) acréscimos em contas do passivo diminuem caixa. 
D) decréscimos em contas do Ativo diminuem caixa. 
E) decréscimos em contas do Patrimônio Líquido aumentam caixa. 
 
04. O lucro obtido na Venda de Imobilizado e o Resultado de Equivalência Patrimonial representam, na 
Demonstração dos Fluxos de Caixa (DFC): 
A) ingresso de caixa na atividade de investimento. 
B) aumento de atividades operacionais. 
C) ajustes do resultado na elaboração da DFC. 
D) ingressos por Receita Operacional. 
E) aumento de investimentos. 
 
05. A empresa Inovação S.A. produtora de cabos de energia efetuou as seguintes operações em 2012: 
I. Lançamento da depreciação do ano. 
II. Pagamento de dividendos. 
III. Juros sobre o Capital Próprio Recebidos. 
Pode-se afirmar que estes eventos afetam a Demonstração dos Fluxos de Caixa, respectivamente, como: 
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_11.gif
https://www.algosobre.com.br/images/stories/concurso/matematica/diagramas_de_fluxo_de_caixa_12.gif
 
 
14 
 
A) ajuste das atividades operacionais; saída das atividades de financiamento; entrada das fontes de 
investimento. 
B) entrada das fontes de investimento; saída das fontes de financiamento; entradas das fontes de 
financiamento. 
C) entrada das fontes de financiamento; entrada das fontes de investimento; saída das fontes de financiamento. 
D) entrada das atividades operacionais; saída das atividades de financiamento; saídas das fontes de 
investimento. 
E) saída das atividades operacionais; saídas das atividades operacionais; entrada das atividades operacionais. 
 
06) Uma sociedade empresária foi constituída em 31.12.2010 com capital de R$100.000,00, dos quais 
R$10.000,00 foram integralizados em dinheiro naquela data. Em janeiro de 2011, os sócios entregaram 
mais R$30.000,00 em dinheiro e R$40.000,00 em terrenos. Ainda em janeiro, a sociedade empresária 
adquiriu mercadorias para revenda por R$32.000,00, metade à vista e metade para pagamento em 30 
dias. 
Desconsiderando a incidência de tributos e com base nos dados informados, é CORRETO afirmar que, 
na Demonstração dos Fluxos de Caixa relativa ao mês de janeiro de 2011: 
A) as atividades de financiamento geraram caixa no valor de R$70.000,00. 
B) as atividades de financiamentogeraram caixa no valor de R$80.000,00. 
C) as atividades de investimento consumiram caixa no valor de R$40.000,00. 
D) as atividades operacionais consumiram caixa no valor de R$16.000,00. 
 
07) Se 10% das Despesas do ano de 2000 representarem valores ligados a itens provisionados, pode-
se afirmar que o valor das saídas de caixa decorrentes de pagamento de despesas é: 
A) 3.700.000 
B) 3.920.000 
C) 4.150.000 
D) 4.500.000 
E) 4.720.000 
 
08) A Demonstração de Fluxo de Caixa, além de ser elaborada pelo método direto e evidenciar as 
movimentações havidas no caixa e seus equivalentes, deve abranger os seguintes fluxos: 
A) Receitas, despesas e investimentos. 
B) Operações, investimentos e financiamentos. 
C) Operações de crédito, despesa e investimentos. 
D) Execução orçamentária, movimentação extra orçamentária e patrimônio/capital. 
E) Despesa, receita e financiamentos. 
 
09) O resultado apurado no período: 
A) gerou um ingresso total de caixa de R$ 16.300,00. 
B) quando ajustado, é negativo em R$ 8.700,00. 
C) contribuiu para ingresso financeiro de R$ 12.800,00. 
D) representa um uso total de disponibilidades de R$ 12.300,00. 
E) indica que a atividade operacional foi positiva em R$ 1.300,00. 
 
10) Na elaboração da Demonstração dos Fluxos de Caixa podemos dizer que: 
A) acréscimos em contas do ativo aumentam caixa. 
B) decréscimos em contas do Patrimônio Líquido diminuem caixa. 
C) acréscimos em contas do passivo diminuem caixa. 
D) decréscimos em contas do Ativo diminuem caixa. 
E) decréscimos em contas do Patrimônio Líquido aumentam caixa. 
 
11) O lucro obtido na Venda de Imobilizado e o Resultado de Equivalência Patrimonial representam, na 
Demonstração dos Fluxos de Caixa (DFC): 
A) ingresso de caixa na atividade de investimento. 
B) aumento de atividades operacionais. 
C) ajustes do resultado na elaboração da DFC. 
D) ingressos por Receita Operacional. 
E) aumento de investimentos. 
 
 
 
15 
 
 
12) A empresa Inovação S.A. produtora de cabos de energia efetuou as seguintes operações em 2012: 
I. Lançamento da depreciação do ano. 
II. Pagamento de dividendos. 
III. Juros sobre o Capital Próprio Recebidos. 
Pode-se afirmar que estes eventos afetam a Demonstração dos Fluxos de Caixa, respectivamente, como: 
A) ajuste das atividades operacionais; saída das atividades de financiamento; entrada das fontes de 
investimento. 
B) entrada das fontes de investimento; saída das fontes de financiamento; entradas das fontes de 
financiamento. 
C) entrada das fontes de financiamento; entrada das fontes de investimento; saída das fontes de financiamento. 
D) entrada das atividades operacionais; saída das atividades de financiamento; saídas das fontes de 
investimento. 
E) saída das atividades operacionais; saídas das atividades operacionais; entrada das atividades operacionais. 
 
Gabarito 
 
01 - B 02 - B 03 - B 04 - C 05 - A 06 - D 07 - B 08 - B 09 - B 10 - B 
11 - C 12 - A 
 
Equivalência financeira. 
 
Em finanças é normal se deparar com diversas taxas em períodos distintos, seja elas na forma de capitalização 
ou descontos. Logo, se torna imprescindível que o profissional saiba a equivalência das taxas a serem 
analisadas em distintos períodos, para que ele possa convertê-las em uma mesma unidade temporal: se o 
período de capitalização é em trimestre a taxa deve também deve estar em trimestre. Além disso, é importante 
lembrar que para a transformação de períodos e taxas trabalha-se com meses equivalentes a 30 dias e ano 
comercial de 360 dias. 
 
Taxa Equivalente: A taxa é equivalente quando um valor é calculado por um prazo e, ao calcular o montante 
através de diversas taxas, obtêm-se o mesmo valor. Alicerçado ao conceito de taxa equivalente temos os 
conceitos de Capitalização e Descapitalização: 
 
Capitalização: Quando a unidade temporal varia de menor para maior. Trimestre para ano, por exemplo. 
 
Descapitalização: Quando a unidade temporal varia de maior para menor. Mês para dias, por exemplo. 
 
Pode ser expressa através da Equação a seguir: 
 
Na qual ei representa a taxa equivalente, i é a taxa inicial e t1 e t2 são os períodos de tempo equivalentes. 
 
Exemplo 1: 
Suponha que temos uma taxa de 14% a.a. e queremos saber a equivalência desta taxa para meses. Sabemos 
que um ano possui 12 meses, então temos: 
 
 
A resposta será 1,1% (aproximadamente 1,0979%). 
 
Dessa forma, pode se dizer que 14% ao ano equivale a 1,1% ao mês. São taxas equivalentes. 
 
Exemplo 2: 
Agora supomos que queremos transformar 2,5% a.m. em taxa anual. Então temos: 
 
 
 
16 
 
A resposta será 34,49%. 
 
Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples 
Essa é Fácil: é só pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividi-la) pelo período correspondente ao que deseja 
descobrir. 
Exemplo: você tem uma taxa de 5% a.m. e quer saber quanto é equivalente ao ano. Ora, um ano tem 12 
meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60% a.a. O inverso também é verdadeiro: você tem uma 
taxa de 15% a.m. e quer saber quanto é ao dia. É só dividir 15% por 30 dias e você tem 0,5% a.d. Fácil, não? 
 
Equivalência entre duas taxas no regime de juros composto 
Bom, essa é um pouco mais complicada, mas também não é nenhum bicho-de-sete-cabeças. Se você quer 
passar de uma unidade de tempo "menor" para uma "maior", como de mês para ano, você eleva a taxa de 
juros pelo número de períodos correspondente. Se for o contrário, como por exemplo de ano para mês, você 
eleva ao inverso do período. Complicado? Que nada, isso é matéria de 2º grau mas para os que não se 
lembram ou cochilaram na aula, abaixo uma tabelinha com as conversões necessárias: 
De a.m. para a.a. = ia = (1+im)
12 -1 
De a.d. para a.m. = im = (1+id)
30 -1 
De a.d. para a.a. = ia = (1+id)
360 -1 
De a.a. para a.m. = im = (1+ia)
1/12 -1 
De a.m. para a.d. = ia = (1+im)
1/30 -1 
De a.a. para a.d. = id = (1+ia)
1/360 -1 
 
Exemplo: você tem uma taxa de 24% a.a. e quer saber quanto é equivalente ao mês. Usando a fórmula dá 
aproximadamente 1,81% a.m. Será? Então faça uma prova de confirmação: use as duas taxas sobre um valor 
simples como R$ 1.000,00 e veja se o resultado não é igual. (Na verdade dá uma pequena diferença porque 
eu arredondei o decimal na hora de calcular) 
 
Equivalência entre uma aplicação e um desconto no regime de juros simples 
Há ocasiões em que será necessário verificar se uma taxa de juros aplicada a um capital e uma taxa de juros 
aplicada para fins de desconto são equivalentes. 
Isso é fundamental para decidir se vale a pena pagar antes, aplicar, reinvestir, etc. 
A fórmula para determinar uma taxa equivalente é: 
 
Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a taxa de juros correspondente: 
i / 1- i.n 
 
Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer descobrir a taxa de desconto correspondente: 
i / 1+ i.n 
 
Exemplo: Vamos pegar um capital de R$ 60.000,00 investido a juros simples de 8% a.m. por 3 meses. Qual 
a taxa de desconto simples equivalente? 
Usando a fórmula: i / 1+ i.n = > 0,08 / 1,08*3 = >0,0645 Ou seja 6,45% a.m. de desconto é equivalente a 8% 
a.m. para aplicação, em regime de juros simples, num prazo de 3 meses. 
 
Capitalização, regimes de capitalização 
Do ponto de vista das finanças, CAPITALIZAÇÃO é o processo de aplicação de uma importância a uma 
determinada taxa de juros e de seu crescimento por força da incorporação desses mesmos juros à quantia 
inicialmente aplicada. No sentido particular do termo, CAPITALIZAÇÃO é uma combinação de economia 
programada e sorteio, sendo que o conceito financeiro acima exposto aplica-se apenas ao componente 
"economia programada", cabendo ao componente lotérico o papel de poder antecipar, a qualquer tempo, o 
recebimento da quantia que se pretende economizar ou de um múltiplo dela de conformidade com o plano. 
Para a venda de um título de Capitalização é necessária uma série de formalidades que visam a garantiado 
consumidor. A Sociedade de Capitalização deve submeter o seu plano ao órgão fiscalizador do Sistema 
Nacional de Capitalização - SUSEP. 
 
 
17 
 
Regimes de Capitalização 
 
Capitalização corresponde à operação destinada a calcular o valor futuro de um determinado valor presente, 
considerando uma taxa de juro previamente fixada. 
 
Existem dois tipos de capitalização, simples e composta, conforme o tipo de juro a que se refira: simples 
ou composto. 
 
Conceitos Básicos 
 
• Capital: valor que pode ser aplicado com a finalidade de rendimento de juros. 
• Juros: é a remuneração do fator capital – é o dinheiro pago pelo uso do dinheiro. 
• Montante: soma do capital inicial mais os juros recebidos. 
• Taxa de juros: relação entre juros traduzidos e uma unidade de tempo. 
 
Taxa de Juros 
 
Existem dois tipos de taxas de juros: taxa percentual e taxa unitária. Nas fórmulas a serem utilizadas no 
presente curso, a taxa a ser adotada será a unitária. 
 
• Taxa Percentual: é a utilizada na pratica. Ex: 5% ao mês (o todo é 100). 
• Taxa Unitária: é uma taxa técnica. Ex: 0,05 ao mês (o todo é 1). 
 
A taxa unitária é obtida dividindo-se a taxa percentual por 100. Ex: 5/100 = 0,05. Nesta taxa não se utiliza o 
símbolo da percentagem. 
 
Simbologia: 
 
P = Capital S = Montante J = Valor dos Juros 
i = Taxa de Juros n = Número de períodos de Capitalização. 
 
Capitalização Simples 
 
Nesta modalidade de operação financeira o capital inicial é sempre a base de cálculo, não havendo acumulação 
dos juros. 
 
Fórmulas: 
 
 
Exercícios para resolver 
Gabarito: no final da Coletânea de exercícios 
 
1) O banco “X” empresta ao Sr. Carlos a quantia de R$ 300.000,00, à taxa de 5% ao ano, para ser paga após 
três anos e meio. Calcule o montante dessa operação. 
 
2) A que taxa devemos aplicar um certo capital para que, em 8 meses, ele dobre de valor? 
 
3) Um capital de R$ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano e meio, à taxa de15% a.s. Calcular os 
valores dos juros e do montante obtidos no final deste prazo. 
 
 
 
18 
 
4) Um capital de R$ 900,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 5% a.a., sendo obtidos R$ 15,00 de juros. 
Calcular o prazo de aplicação em meses. 
 
5) A empresa Monitoria S/A aplicou o valor de R$ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m. e pretende sacar o valor após 
12 meses. Qual o montante a ser regatado? 
 
6) Certo cliente adquire um título por R$ 60.000,00 e resgata R$ 119.350,00, após 9 meses Qual a taxa de 
juros dessa operação? 
 
7) Qual o juro recebido por um comerciante que investe R$ 20.000,00, à taxa de 5% a.m., durante 2 meses? 
 
8) Calcular o prazo, em anos, necessário para um capital triplique de valor, caso seja aplicado à taxa de 10% 
a.t. 
 
9) Um capital aplicado por 16 meses gerou R$ 13.440,00 de juros. Sabendo que a taxa de juros mensal foi de 
6%, calcule o valor do capital inicial. 
 
10) Qual será o valor dos juros de um capital de R$ 3.145,00, aplicado a uma taxa de 0,5%a.m., durante 1 ano 
e meio? 
 
11) Um capital de R$ 4.250,00, aplicado a uma taxa de 3% a.m., produziu um montante de R$ 6.162,50. Qual 
foi o período de aplicação? 
 
12) Danilo decidiu investir R$ 1.035,00 em uma instituição financeira que opera com uma taxa de juros simples 
de 1,8% a.m., durante 1 ano. Qual será o montante ao final do período? 
 
13) Um empréstimo de R$ 15.000,00 foi feito para ser pago em 24 meses, foi liquidado, ao final do período, 
por R$ 23.000,00. Qual a taxa de juros utilizada? 
 
14) Em quantos meses um capital de R$ 750,00 renderá juros igual a um terço de seu valor, se aplicado a uma 
taxa de 6,67% a.m.? 
 
15) Gilberto solicitou em seu banco um empréstimo de R$ 6.000,00. O pagamento será feito em 36 meses com 
incidência de juros de 2,7% ao mês. Qual o valor a ser pago para liquidar a dívida? 
 
16) Por um empréstimo de R$ 12.450,00, pagou-se R$ 3.200,00 de juros. Sabendo-se que a taxa de juros 
utilizada foi de 1,79% a.m., qual foi o período dessa operação? 
 
17) Leonardo solicitou um empréstimo de R$ 3.990,00 para pagar em 6 meses. A financeira cobrou juros de 
1,97% a.m. Qual o valor dos juros a pagar? 
 
18) Qual a taxa de juros cobrado por um banco, sabendo que por um empréstimo de R$ 500,00 pagou-se R$ 
115,00 de juros, em 3 meses? 
 
19) Qual o capital que aplicado a juros simples de 12% a.a., durante 5 meses, gerou um montante de R$ 
1.260,00? 
 
20) Ao se aplica a importância de R$ 5.000,00, à taxa de 8% a.a., obtém-se, após certo período, o montante 
de R$ 6.000,00. Qual é o período de aplicação? 
 
Gabarito 
 
1) S = R$ 352.500,00 2) i = 12,5% a.m. 3) J = R$ 3.150,00; S = R$ 10.150,00 
4) n = 4 meses 5) S = R$ 5.900,00 6) i = 10,9% a.m. 
7) R$ 2.000,00 8) n = 5 anos 9) P = R$ 14.000,00 
10) J = R$ 283,05 11) n = 15 meses = 1 ano e 3 meses 12) S = R$ 1.258,56 
13) i = 2,22% a.m. 14) n = 5 meses 15) S = R$ 11.832,00 
16) n = 14 meses e 11 dias 17) J = R$ 471,62 18) i = 7,7% a.m. 
 
 
19 
 
19) P = R$ 1.920,00 20) n = 2,5 meses ****************************** 
 
Capitalização Composta 
 
Nas operações financeiras desta natureza, a cada período de capitalização, os juros são acumulados ao 
capital inicial, formando estes (Capital + juros) o novo capital inicial do período de capitalização subsequente. 
É o chamado "juros sobre juros". 
 
 
 
 
 
Fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios para resolver 
Gabarito: no final da Coletânea de exercícios 
 
01) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros compostos 
de 6% a.m. 
 
02) Quanto deverei aplicar hoje para ter direito a receber a importância de R$ 500.000,00 daqui a 5 anos, se a 
taxa de juro composto adotada for 15% ao ano? 
 
03) Jean conseguiu um vale em sua empresa no valor de R$ 200,00 a serem descontados nos seus próximos 
2 salários. Sabendo que a empresa vai descontar no final o valor de R$ 230,00, qual será a taxa de juros 
compostos cobrada? 
 
04) Em quanto tempo um capital de R$ 1.650,00 produzirá um montante de R$ 1.776,87, se aplicado a uma 
taxa composta de 2,5% a.m.? 
 
05) Qual o valor dos juros produzidos por um capital de R$ 2.500,00, aplicado à taxa de 4%a.m., durante 12 
meses? 
 
06) Rivaldo, desejando viajar no próximo ano, decidiu aplicar R$ 2.200,00 e resgatar daqui a12 meses, fins 
custear a viagem. Sabendo que a instituição financeira paga juros compostos de 1,2% a.m., qual será o 
montante a ser resgatado ao final do período? 
 
07) Um capital de R$ 7.000,00, aplicado durante 6 meses, proporcionou ao aplicador um montante de R$ 
8.117,85. Qual a taxa de juros compostos dessa operação? 
 
 
 
 
20 
 
08) Um investidor investiu R$ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m., durante um ano. Qual será o valor a ser resgatado 
ao final do período? 
 
09) Um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 20% a.m., produzirá um montante de R$ 10.000,00 em 
quanto tempo? 
 
10) Um investidor aplicou R$ 45.000,00 em uma instituição financeira que opera com juros compostos de 3,55% 
a.t., pelo período de 1 ano. Qual o valor dos juros dessa operação? 
 
11) Saul contraiu uma dívida de R$ 2.000,00 para ser quitada após 2 anos e meio. Ao final do prazo contratado, 
Saul quitou a dívida com um único pagamento de R$ 3.400,00. Qual a taxa de juro composta mensal dessa 
operação? 
 
12) Quantos dias são necessários para que um capital de R$ 35.000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m., 
produza juros de R$ 11.585,00? 
 
13) Um determinado título de capitalização, com valor de face de R$ 6.000,00, remunera o aplicadorcom juros 
de 3% ao mês. O prazo de aplicação é de 18 meses. Qual será o valor de resgate desse título ao final do prazo 
contratado? 
 
14) Qual a taxa de juro composta mensal que faz um capital dobra de valor em 6 meses? 
 
15) Uma pessoa tem uma dívida no valor de R$ 900.000,00, a ser saldada daqui a 6 meses. Quanto deverá 
aplicar hoje, à taxa de 7% a.m. para que, ao final de 6 meses, disponha da importância necessária para saldar 
o seu compromisso, considerando o regime de juros compostos? 
 
16) Um capital de R$ 5.000,00 produz juros de R$ 800,00 em um período de 4 meses. Qual a taxa mensal de 
juros compostos? 
 
17) Uma pessoa compra um lote de ações na Bovespa por R$ 1.250,00. Depois de 1 mês resolve vender suas 
ações por R$ 1.500,00. Qual foi a rentabilidade, em termos percentuais, auferida por essas ações? 
 
18) Em quanto tempo um capital pode produzir juros a 70% de seu valor se aplicado a 5.72% ao mês? 
 
19) Bruno pede emprestado a um colega a importância de R$ 1.250,00 para consertar o seu carro. Tal amigo 
o empresta, porém cobra uma taxa de juro composto de 1,5% ao mês. Ao final dos 6 meses, quanto Bruno 
deverá pagar ao seu amigo para liquidar a dívida? 
 
Gabarito 
01) S = R$ 70.925,96 02) P = R$ 248.588,37 03) i = 7,24% a.m. 04) n = 3 meses 
05) J = 1.502,58 06) S = R$ 2.538,57 07) i = 2,5% a.m. 08) S = R$ 5.978,09 
09) n = 3 meses e 24 dias 10) J = R$ 6.738,39 11) i = 1,78% a.m. 12) n = 90 dias 
13) S = R$ 10.214,60 14) i = 12,25% a.m. 15) P = R$ 600.000,00 16) i = 3,78 a.m. 
17) i = 20% a.m. 18) 9 meses e 16 dias 19) S = R$ 1.366,80 ********************** 
 
Regime de Capitalização Contínua 
 
No regime de capitalização contínua, consideramos uma taxa de juros I, dita instantânea, referida a um 
intervalo de tempo infinitesimal, no fim do qual os juros formados se incorporam ao capital. O modelo 
matemático associado ao regime de capitalização contínua considera que os juros - ou acréscimos de capital 
- dpt são diretamente proporcionais ao capital Pt, ao intervalo infinitesimal de tempo dt e à taxa I, suposta 
constante durante a capitalização. 
 
Exemplo: Na bolsa de valores, o preço de fechamento de uma ação X sai do valor de 100 para 105 em três 
pregões consecutivos, considerando o regime de capitalização contínua, determinar a taxa média diária de 
juros do evento. 
F=105 P=100 n=3 dias Sendo: F=P.E^I.N 105=100E^3.i I= 1,6263% A.D. 
 
 
 
21 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a 
uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do 
resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a 
(A) 12 meses. 
(B) 15 meses. 
(C) 18 meses. 
(D) 21 meses. 
(E) 24 meses. 
Temos: 
 
O número de meses (=n) é desconhecido. 
Aplicando a fórmula: 
 
 
 
Aplicando logaritmo dos dois lados da igualdade: 
 
Neste momento, temos que lembrar de uma importante propriedade do logaritmo. Quando aplicamos o 
logaritmo sobre uma potência, ele faz com que o expoente “caia”, “desça”, ou seja, o que antes estava no 
expoente passará a multiplicar 
 
 
O logaritmo neperiano do número e é igual a 1. O logaritmo de 1,8 foi dado pela questão. 
 
 
Gabarito: B 
 
02) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado a uma taxa semestral i, durante 2 anos, com capitalização 
contínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando ln2 = 0,69 
(ln é o logaritmo neperiano), tem-se que i é igual a: 
A) 14,02% 
B) 17,25% 
C) 30% 
D) 34,5% 
E) 69% 
 
Resolução: 
 
O período é de 2 anos, o que corresponde a 4 semestres. 
 
 
 
 
Lembrando que o logaritmo faz “descer” o expoente: 
 
 
 
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22 
 
 
Gabarito: D 
 
Juros Simples 
Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo da operação 
financeira. 
 
Como já vimos acima, Juro é a remuneração paga a um capital. 
 
Ao capital acrescido de juros é comum chamarmos montante. 
 
 
 
 
Assim, observamos que os juros são a variação entre o capital e o montante. 
 
Regime de Juros Simples 
Chamamos de regime de juros simples àquele onde se admite que os juros serão diretamente proporcionais 
ao tempo da operação considerada. 
 
Como os juros são a variação entre o capital e o montante e esta, na prática, ocorre ao longo do tempo, o valor 
dos juros deve sempre ser associado ao período de tempo que foi necessário para gerá-lo. 
 
Exemplo: 
Se dissermos que um empréstimo de R$ 1.000,00 cobra juros de R$ 2,00 isto representará uma variação 
grande ou pequena? Depende. Se ela ocorreu em um ano, podemos dizer que é bem pequena. Mas se ocorreu 
em um dia, já não teremos a mesma opinião. 
 
Taxa de Juros 
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela 
vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se 
refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
 
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem 
o símbolo %: 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
 
 
 
 
 
Taxas Porcentuais e Unitárias 
Conforme vimos no capítulo de Porcentagens, uma taxa porcentual representa uma razão centesimal fazendo 
uso do símbolo %. 
 
Assim, temos: 
 
Entretanto, podemos representar a razão centesimal na forma decimal, obtendo a forma unitária da taxa, ou 
https://exatasparaconcursos.files.wordpress.com/2014/02/clip_image030.png
 
 
23 
 
taxa unitária: 
 
Taxas Proporcionais 
Dizemos que duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção direta com os 
respectivos tempos, considerados numa mesma unidade. 
 
Exemplo: 
As taxas de 72% ao ano e de 6% ao mês são proporcionais, pois: 
 
 
ou seja: 72% está para 12 meses (1 ano) assim como 6% está para 1 mês. 
 
Taxas Equivalentes 
Dizemos que duas taxas são equivalentes quando produzem juros iguais ao serem aplicadas a capitais iguais 
e por períodos de tempo também iguais. 
 
Atenção: No regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais. 
 
Exemplo: 
Aplicar X reais, durante algum tempo, à taxa de juros simples de 2% a.m. nos daria juros iguais àqueles que 
obteríamos se aplicássemos os mesmos X reais, durante o mesmo tempo, mas à taxa de juros simples de6% 
a.t. (ao trimestre). Então dizemos que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 6% a.t. 
 
Notemos que 2% a.m. e 6% a.t. são também taxas proporcionais, pois: 
 
 
Juros Comerciais e Juros Exatos 
Existem situações onde o prazo de uma operação financeira é contado em dias enquanto a taxa de juros é 
indicada em alguma outra unidade de tempo maior (mês, bimestre, quadrimestre, semestre ou ano). 
A contagem do número de dias envolvidos nestas situações será feita, na prática, de acordo com uma das 
duas convenções abaixo. 
 
2) Prazo comercial - consideram-se todos os meses com 30 dias (mês comercial) e o ano com 360 dias (ano 
comercial). Este é o caso mais frequente nos problemas de juros simples e os juros calculados de acordo 
com esta convenção são chamados de juros comerciais ou juros ordinários. 
 
3) Prazo exato - consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas apresentadas. Cada mês 
poderá ter 30 dias (para abril, junho, setembro e novembro), 28 dias (para fevereiro, sendo 29 se o ano 
for bissexto) ou 31 dias (para os demais meses do ano). O ano terá um total de 365 dias (ou 366 dias se 
for bissexto). Os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados juros exatos. 
 
Prazo Médio e Taxa Média 
Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros simples, cada qual com seus próprios valores de 
capital, taxa e prazo, dizemos que prazo médio é um prazo único tal que, substituindo os prazos de cada uma 
das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. 
O prazo médio é sempre a média dos prazos ponderados pelos valores correspondentes das taxas e dos 
capitais a eles associados. 
 
Exemplo: 
Três capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados às taxas simples de 2%, 3% e 4% 
ao mês durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual seria o prazo médio para estas três 
 
 
24 
 
aplicações? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o prazo médio seria de 1 mês e 15 dias. 
Isto significa que, se nós trocássemos os três prazos por 1 mês e 15 dias, o total de juros produzidos pelas 
três aplicações continuaria inalterado. 
 
Taxa média é uma taxa única tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicações dadas, produzirá 
o mesmo total de juros das aplicações originais. 
A taxa média é sempre a média das taxas ponderadas pelos valores correspondentes dos prazos e dos capitais 
a eles associados. 
 
Exemplo: 
Considerando as aplicações do exemplo anterior: R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, às taxas de 2%, 
3% e 4% ao mês, durante 3, 2 e 1 mês, respectivamente. Qual seria a taxa média para estas três aplicações? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a taxa média seria de 3% ao mês. 
 
Isto significa que, se nós trocássemos as três taxas (2%, 3% e 4%) todas para 3% a.m., o total de juros 
produzidos pelas três aplicações continuaria inalterado. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. Um capital de R$ 800,00 foi aplicado pelo prazo de 2 meses, à taxa de 3% ao mês. Qual o valor dos 
juros a receber? 
Resolução: 
Inicialmente, vemos que a taxa é de 3 % ao mês mas o prazo de aplicação é de 2 meses. Logo: 
Observe o raciocínio de regra de três: 
 
Se, em 1 mês pagam 3% de juros, então, em 2 meses pagam 6% de juros. 
 
 
 
 
 
 
Poderíamos determinar quer os juros, quer o montante através de uma simples regra de três. Mas o problema 
pediu o valor dos juros. Logo, faremos: 
 
 
25 
 
 
Se 100% representam 800,00 (capital) então, 6% representam J = ? (juros). 
 
Resolvendo a regra de três, vem: 
 
Portanto, os juros a receber são de R$ 48,00. 
2. Um capital de R$ 23.500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 9% a. a. Determine o montante 
desta aplicação. 
Resolução: 
A taxa é de 9% ao ano mas a aplicação durou 8 meses. 
Se em um ano (12 meses) a aplicação paga 9%, então, em 8 meses a aplicação paga x%. 
Com uma regra de três teremos: 
 
Desse modo, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
Veja que o montante é 106% do capital! 
 
 
Portanto, o montante foi de R$ 24.910,00. 
 
3. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 8 meses resultou num montante de R$ 66.000,00. Qual 
foi a taxa mensal desta aplicação? 
Resolução: 
Lembrando que os juros são a variação (diferença) do capital aplicado para o montante, teremos: 
 
 
 
 
 
 
Pelo esquema vemos que: 
(capital) 50.000 correspondem a 100% 
(juros) 16.000 correspondem a x% (taxa para 8 meses) 
 
Desse modo teremos: 
 
 
 
Como a taxa pedida foi a taxa mensal, faremos: 
 
Se em 8 meses a taxa é de 32%, então em 1 mês a taxa é de y%. 
 
 
 
 
26 
 
Portanto, a taxa é de 4% a.m. (ao mês). 
 
4. De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 2.300,00, aplicado durante 3 meses e 10 dias, 
à taxa de 12% ao mês? 
Resolução: 
O enunciado apresentou um prazo em meses e dias, mas não indicou se o juro deve ser comercial ou exato. 
Presume-se, em casos como este, que o juro seja comercial. 
 
Pela convenção do prazo comercial, 3 meses e 10 dias nos dão: 
 
3 meses + 10 dias = (3 x 30) + 10 dias = 90+ 10 dias = 100 dias 
Agora, calculamos a taxa equivalente para os 100 dias (regra de três) 
 
30 dias ............... pagam ............... 12% 
100 dias ............. pagam ............... X% 
 
 
Finalmente, determinamos o juro pedido: 
 
 
 
Portanto, o juro é de R$ 920,00. 
 
5. Determinar quantos dias, exatamente, durou uma aplicação que teve início em 18 de maio de certo 
ano e término em 10 de setembro do mesmo ano. 
Resolução: 
Quando esta situação ocorre no meio de um problema em provas de concursos, quase sempre somos 
obrigados a resolvê-la sem o auxílio da chamada "tabela para contagem de dias entre datas". Entretanto, é 
possível resolvê-la com o seguinte procedimento: 
 
1° passo: Multiplicar por 30 a diferença entre o mês de término e o mês de início. (obs.: devemos subtrair 2 
dias do resultado se passarmos de fevereiro para março). 
De maio até setembro, são 4 meses: 4 x 30 = 120 dias 
 
2° passo: Acrescentar mais 1 dia para cada dia 31 compreendido entre as datas de início e término. 
 
 
 
 
 
 
3° passo: Adicionar o dia do término e subtrair o dia do início, obtendo o número exato de dias. 
término: dia 10 ......... + 10 dias 
início: dia 18 ............. - 18 dias 
 
Portanto, transcorreram exatamente: 
120 + 3 + 10 – 18 = 115 dias. 
 
6. Um capital de R$ 5.300, 00 foi aplicado no dia 25 de março de um certo ano, à taxa anual de 10%. 
Considerando o critério de juros simples exatos, qual o valor do montante desta aplicação em 6 de 
junho do mesmo ano? 
 
Resolução: 
Devemos, inicialmente, determinar a duração exata da aplicação, em dias. 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
Agora, devemos ajustar a taxa de juros ao prazo de 73 dias da aplicação, pelo critério dos juros exatos, ou 
seja, 1 ano = 365 dias. 
 
Regra de três: 
em 365 dias (1 ano) ........... temos ............10% 
então, em 73 dias .............. teremos .........X% 
 
 
Então, os juros obtidos durante os 73 dias são 2% de R$ 5.300,00. 
 
 
 
Portanto, o montante procurado é igual a R$ 5.406,00, pois: 
 
5.300 + 106 = 5.406 
 
7. Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 
 0.13 / 6 = 0.02167 
 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 
 j = 1.200 x 0.195 = 234 
 
8 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 
dias. 
 Temos: J = P.i.n 
 A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. 
 Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos 
calcular diretamente: 
 J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 
 
9 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? 
 Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) 
 Observe que expressamos a taxa i e operíodo n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. 
Logo, 
 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: 
 P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 
 
10 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um 
capital aplicado através de capitalização simples? 
 Objetivo: M = 2.P 
 Dados: i = 150/100 = 1,5 
 Fórmula: M = P (1 + i.n) 
 
Desenvolvimento: 
2P = P (1 + 1,5 n) 
2 = 1 + 1,5 n 
n = 2/3 ano = 8 meses 
 
Exercícios para resolver 
Gabarito: no final da Coletânea de exercícios 
 
 
 
28 
 
01. Qual o juro obtido na aplicação, durante 3 meses, de um capital de R$ 10.000,00, à taxa de juros simples 
de 10% ao mês? 
 
02. Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de juros simples 
de 60% a.m.? 
 
03. Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 40% a.m. Após um semestre, qual o 
valor do montante obtido? 
 
04. O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a. Após quatro meses, qual é o 
valor do montante? 
 
05. De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.600,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de 15% 
ao ano? 
 
06. Qual o valor do capital que se deve aplicar, à taxa de 8% ao ano, durante 7 meses, para obter juro de R$ 
8.568,00? 
 
07. A que taxa anual o capital de Cz$ 288,00, em 2 meses e 15 dias, renderia Cz$ 6,60 de juros simples? 
 
08. Uma certa importância foi aplicada a juros simples de 48% a.a., durante 60 dias. Findo o prazo, o montante 
apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma taxa de 60% a.a., mantendo-se o mesmo regime de 
capitalização. Admitindo-se que o último montante foi de R$ 207,36, qual foi o capital inicial da primeira 
operação? 
 
09. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital 
de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 
que o primeiro. 
 
10. Obtive uma renda (juros) total de R$ 1.290,00 proveniente das aplicações de dois capitais a juros de 6% 
a.a., durante 4 meses. Se eu aplicasse a diferença entre os dois capitais a 12% a.a., durante o mesmo período, 
obteria um rendimento de R$ 540,00. Quais eram os valores dos capitais aplicados? 
 
11. Um capital de R$ 94.000,00 foi aplicado sendo uma parte a 6% a.m., outra a 8% a.m. e o restante a 10% 
a.m., todas durante 10 meses. Determine o valor da terceira parte sabendo que os juros das três foram iguais. 
 
12. Dividir o capital de R$ 441.000, em duas partes de modo que a primeira, aplicada a 5,5% ao mês e a 
segunda a 60% ao ano, produzam, no fim do mesmo tempo de aplicação, juros de mesmo valor. 
 
13. Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em períodos de tempo iguais, sejam obtidos 
rendimentos iguais para os dois capitais, a taxa de aplicação do menor deles deve superar a do maior em 
quantos por cento? 
 
14. Uma pessoa emprega seu capital nas seguintes condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 
18% ao ano e o restante a 21 % ao ano. Qual a taxa única, a que a mesma poderia empregar todo o capital, a 
fim de obter o mesmo rendimento anual? 
 
15. Certo capital foi dividido em duas partes iguais que, aplicadas à mesma taxa de juros, produziram 
montantes de R$ 1.500,00 e R$ 1.200,00 em 6 meses e 4 meses respectivamente. Qual o valor do capital? 
 
16. Aplicando-se R$ 100.000 durante 90 dias, obteve-se um rendimento de R$ 10.800,00. Qual seria o 
rendimento obtido em um ano se a taxa mensal de juros fosse 0,1% maior (x% + 0,1%)? 
 
17. Certo capital foi dividido em duas partes iguais que, aplicadas, produziram montantes de R$ 4.200,00 e R$ 
3.400,00 em 6 meses e 4 meses respectivamente. Qual era o valor do capital se a taxa de juros da primeira 
aplicação estava para a da segunda assim como 2 está para 1? 
 
 
 
29 
 
18. Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juros em 4 anos, qual é a taxa 
aplicada? 
A) 20% ao ano 
B) 125% ao ano 
C) 12,5% ao ano 
D) 200% ao ano 
E) 10% ao ano 
 
19. Um capital de R$ 14.400 aplicado a 22% ao ano rendeu Cr$ 880 de juros. Durante quanto tempo 
esteve empregado? 
A) 3 meses e 3 dias 
B) 3 meses e 8 dias 
C) 2 meses e 23 dias 
D) 3 meses e 10 dias 
E) 27 dias 
 
20. Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa 
de 6% a.a. Os juros são de: 
A) R$ 700,00 
B) R$1.000,00 
C) R$1.600,00 
D) R$ 600,00 
E) R$ 900,00 
 
21. Um capital no valor de 50, aplicado a juro simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, 
um montante de: 
A) 51 
B) 51,2 
C) 52 
D) 53,6 
E) 68 
 
22. Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa de 6% a.a., reduz-se a 
R$ 8.736,00? 
A) R$ 9.800,00 
B) R$ 9.760,66 
C) R$ 9.600,00 
D) R$ 10.308,48 
E) R$ 9.522,24 
 
23. O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, 
é de: 
A) R$ 1.100,00 
B) R$ 1.000,00 
C) R$ 1.392,00 
D) R$ 1.200,00 
E) R$ 1.399,68 
 
24. Se em 5 meses o capital de R$ 250.000,00 rende Cr$ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao 
mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano? 
A) 6m 
B) 7m 
C) 8m 
D) 9m 
E) 10m 
 
25. Obtendo-se, em 10 meses, R$ 120.000,00 de juros simples pelo empréstimo de um capital de R$ 
200.000,00 à taxa de 6% a.m. Determine o tempo necessário para se ganharem os mesmos juros, caso 
 
 
30 
 
a taxa seja de 60% a.a. 
A) 8 meses 
B) 1 ano e 3 meses 
C) 1 ano 
D) 10 meses 
E) 13 meses 
 
26. Em março de 1990, o governo brasileiro, numa tentativa de acabar com a inflação, reteve o dinheiro 
do povo. Uma pessoa verificou que, ao final de 45 dias, à taxa de 4,2% ao mês obteve, de acordo com 
seu saldo em cruzados novos, juros de R$ 630,00. Qual foi a quantia retida? 
A) R$ 18.000,00 
B) R$ 20.000,00 
C) R$ 36.000,00 
D) R$ 5.000,00 
E) R$ 10.000,00 
 
27. Emprestei 1/4 do meu capital, a 8% ao ano, 2/3 a 9% ao ano, e o restante a 6% ao ano. No fim de um 
ano recebi R$ 102,00 de juros. Determine o capital. 
A) R$ 680,00 
B) R$ 840,00 
C) R$ 1.200,00 
D) R$ 2.530,00 
E) R$ 12.600,00 
 
28. A que taxa mensal deverá a firma "O Dura" aplicar seu capital de R$ 300.000,00, para que, em 2 
anos e 4 meses, renda juros equivalentes a 98% de si mesmo? 
A) 42% a.m. 
B) 3,5% a.m. 
C) 35% a.m. 
D) 4,2% a.m. 
E) 18% a.m. 
 
29. Calcule o capital que se deve empregar à taxa de 6% a.m., a juros simples, para se obter R$ 6.000,00 
de juros em 4 meses. 
A) R$ 10.000,00 
B) R$ 25.000,00 
C) R$ 100.000,00 
D) R$ 180.000,00 
E) R$ 250.000,00 
 
30. Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$ 27.000,00, dispondo de R$ 90.000,00 de capital, 
a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5 meses? 
A) 10% 
B) 5% 
C) 3% 
D) 8% 
E) 5,5% 
 
31. Qual a taxa necessária para que um capital, colocado a juros simples, decuplique de valor em 7 
anos? 
A) 50% a.a. 
B) 128 4/7% a.a. 
C) 142 6/7% a.a. 
D) 12/7% a.m. 
E) 12% a.m. 
 
32. Depositei certa importância em um Banco e, depois de algum tempo, retirei os juros de R$ 
1.600.000,00, que representavam 80% do capital. Calcular o tempo em que o capital esteve empregado, 
se a taxa contratada foi de 16% a.m. 
 
 
31 
 
A) 5 meses e 20 dias 
B) 5 meses 
C) 4 meses e 10 dias 
D) 4 meses 
E) 6 meses e 5 dias 
 
33. O capital de R$ 1.200.000,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. Determinar a taxa de 
juros, considerando que o capital esteve empregado 1 ano e 3 meses. 
A) 6% a.m. 
B) 60% a.a. 
C) 5% a.a. 
D) 66% a.a. 
E) 50% a.a. 
 
34. Um investidor aplicou R$ 2.000.000,00, no dia 6/1/86, a uma taxa de 22,5% ao mês. Esse capital terá 
um montante de R$ 2.195.000,00.A) 5 dias após sua aplicação 
B) após 130 dias de aplicação 
C) aos 15/5/86 
D) aos 19/1/86 
E) após 52 dias de sua aplicação 
 
35. Certo investidor aplicou R$ 870,00 à taxa de 12% ao mês. Qual o montante, no final de 3 anos? 
A) R$ 4.628,40 
B) R$ 35.078,40 
C) R$ 4.800,40 
D) R$ 35.780,40 
E) R$ 4.860,40 
 
36. Um imposto no valor de R$ 488,00 está sendo pago com atraso de 3 meses. Se a Prefeitura cobrar 
juros de 25% ao ano, o contribuinte terá de pagar um acréscimo de: 
A) R$ 30,20 
B) R$ 30,30 
C) R$ 30,40 
D) R$ 30,50 
E) R$ 30,60 
 
37. Certo capital, aplicado durante 9 meses à taxa de 35% ao ano, rendeu R$ 191,63 de juros. O valor 
desse capital era de: 
A) R$ 690,00 
B) R$ 700,00 
C) R$ 710,00 
D) R$ 720,00 
E) R$ 730,00 
 
38. Um fogão é vendido por R$ 600.000,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento 
de R$ 542.880,00, após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operação? 
A) 5% 
B) 12% 
C) 15% 
D) 16% 
E) 20% 
 
39. Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha os mesmos juros simples que os 
produzidos por R$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período? 
A) R$ 420.000,00 
B) R$ 450.000,00 
C) R$ 480.000,00 
D) R$ 520.000,00 
 
 
32 
 
E) R$ 500.000,00 
 
40. Se em 5 meses o capital de R$ 250.000,00 rende R$ 200.000,00 de juros simples à taxa de 16% ao 
mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano? 
A) 6m 
B) 7m 
C) 8m 
D) 9m 
E) 10m 
 
41. Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos; o segundo a 
24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam 
um juro de R$ 27.591,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o 
triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de: 
A) R$ 30.2 10,00 
B) R$ 10.070,00 
C) R$ 15.105,00 
D) R$ 20.140,00 
E) R$ 5.035,00 
 
42. Mário aplicou suas economias, a juros simples comerciais, em um banco, a juros de 15% a.a., 
durante 2 anos. Findo o prazo reaplicou o montante e mais R$ 2.000,00 de suas novas economias, por 
mais 4 anos, à taxa de 20% a.a., sob mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que os juros das 3 
aplicações somaram R$ 18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação era de R$: 
A) 11.200,00 
B) 13.200,00 
C) 13.500,00 
D) 12.700,00 
E) 12.400,00 
 
43. Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o 
restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se 
que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital inicial era de R$: 
A) 4.600,00 
B) 4.400,00 
C) 4.200,00 
D) 4.800,00 
E) 4.900,00 
 
44. O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 100.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de 
entrada no ato e o restante em uma única parcela de R$ 100.160, vencível em 90 dias. Admitindo-se o 
regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo é de: 
A) 98,4% 
B) 99,6% 
C) 100,8% 
D) 102,0% 
E) 103,2% 
 
45. João colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas 
condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que, ao final das aplicações, os montantes eram de 
R$ 117.000 e R$ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de: 
A) R$ 150.000 
B) R$ 160.000 
C) R$ 170.000 
D) R$ 180.000 
E) R$ 200.000 
 
Gabarito 
 
 
33 
 
 
01. R$ 3.000,00 02. R$ 120.000,00 03. R$ 340.000,00 
04. R$ 10.080,00 05. R$ 4.950,00 06. R$ 183.600,00 
07. 11% 08. R$ 160,00 09. 7,5% 
10.R$39.000,00 e R$ 25.500,00 11. R$ 24.000,00 12. R$210.000,00 e R$ 231.000,00 
13. 50% 14. 18,4% a.a 15. R$ 1.200,00 
16. R$ 44.400,00 17. R$ 6.000,00 18. C 
19. D 20. E 21. B 
22. C 23. D 24. A 
25. C 26. E 27. C 
28. B 29. B 30. C 
31. B 32. B 33. B 
34. D 35. A 36. D 
37. E 38. C 39. E 
40. A 41. A 42. E 
43. B 44. C 45. D 
 
 
Juros Compostos 
Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo da operação 
financeira. 
 
Chamamos de regime de juros compostos aquele onde os juros de cada período são calculados sobre o 
montante do período anterior. 
 
Ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam a integrar o valor do capital ou montante que 
serviu de base para o seu cálculo de modo que o total assim conseguido será a base do cálculo dos juros do 
próximo período. 
 
Exemplo: 
Vamos acompanhar os montantes, mês a mês, de uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 10% a.m. por um 
período de 4 meses no regime de juros compostos: 
 
Período juros no fim do período Montante 
1º mês 10% de R$ 1.000,00 = R$ 100,00 R$ 1.100,00 
2° mês 10% de R$ 1.100,00 = R$ 110,00 R$ 1.210,00 
3° mês 10% de R$ 1.210,00 = R$ 121,00 R$ 1.331,00 
4° mês 10% de R$ 1.331,00 = R$ 133,10 R$ 1.464,10 
 
Observe que: 
• os juros e o montante, no fim do 1° mês, são iguais aos que seriam produzidos no regime de juros simples; 
• cada novo montante é obtido calculando-se um aumento de 10% sobre o montante anterior, o que resulta em 
aumentos sucessivos a uma taxa fixa de 10%; 
• os juros vão se tornando maiores a cada mês, de modo que, após o 1° mês, a diferença entre um montante 
calculado no regime de juros compostos ( Mc ) e o correspondente valor no regime de juros simples (MS) vai 
se tornando cada vez maior (ver gráfico abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
Dá-se o nome de capitalização ao processo de incorporação dos juros ao capital ou montante de uma 
operação financeira. Contudo, é comum encontrarmos as expressões regime de capitalização simples e regime 
de capitalização composta no lugar de regime de juros simples e regime de juros compostos, respectivamente. 
 
Frequentemente encontraremos, nos enunciados dos problemas, outras expressões usadas para indicar o 
regime de juros compostos: 
 
• taxa composta de X% a.m. - indicando juros compostos com capitalização mensal; 
• taxa de X% a.a. capitalizados semestralmente - indicando juros compostos e capitalização semestral; 
• capitalização composta, montante composto - indicando o regime de juros compostos. 
 
Montante no Regime de Juros Compostos 
 
Como vimos acima, no regime de juros compostos, o montante ao fim de um determinado período resulta de 
um cálculo de aumentos sucessivos. Então, sejam: 
 
C= Capital aplicado 
M = Montante da aplicação ao fim de n períodos 
i = forma unitária da taxa efetiva da aplicação 
n = número de períodos de capitalizações 
Poderemos expressar o montante (M) em função dos outros três elementos do seguinte modo: 
 
 
 
 
 
 
Na fórmula apresentada acima, o montante está isolado. Mas poderemos calcular qualquer um dos quatro 
elementos nela envolvidos desde que conheçamos os outros três e isolemos convenientemente o elemento a 
ser calculado em cada caso. 
 
Para poupar o trabalho algébrico necessário para isolar cada um dos outros três elementos da fórmula básica 
dada acima, apresentamos a seguir os outros elementos também isolados: 
 
 
 
 
 
Se as duas últimas fórmulas lhe parecem assustadoras, não se desespere, pois felizmente existem as 
chamadas tabelas financeiras que foram desenvolvidas justamente para livrá-lo das contas mais complicadas. 
Assim, nós aprenderemos a consultar estas tabelas e poderemos trocar o trabalho mais pesado por umas 
poucas multiplicações e divisões. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. Um capital de R$ 200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 20% ao mês. 
Calcular o montante desta aplicação após três meses. 
Resolução: 
Resumindo os dados do problema, temos: 
Capital - C = 200 
Taxa - i = 20% = 0,2 
Períodos de Capitalização - n = 3