FUNDAMENTOS DA UTILIZAÇÃO DE ENERGIA SOLAR

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9.1
9.1.1
FUNDAMENTOS DA UTILIZAÇÃO DE ENERGIA
SOLAR
CLAUDIO ROBERTO DE FREITAS PACHECO
Professor do Curso Energias Alternativas do Programa de Educação Continuada (PECE) da Universidade de São
Paulo (USP)
Consultor industrial e colaborador do Laboratório de Sistemas Energéticos Alternativos da Escola Politécnica da USP
A elaboração deste capítulo, dentro do espaço disponível, envolveu a escolha de conceitos científicos e técnicos
considerados mais significativos para a compreensão da utilização da energia solar no abrangente âmbito deste livro.
Aqui se desenvolve, como primeira abordagem, o tema da avaliação do potencial de energia solar em uma
localidade e os conceitos de troca de calor aplicados a esse tema. Uma complementação e maior abrangência desses
assuntos podem ser encontradas em J. A. Duffie; W. A. Beckman (2006) e P. F. Incropera; D. P. DeWitt (2003).
Este capítulo é constituído dos tópicos abordados na disciplina Fundamentos de Energia Solar, ministrada no
Curso Energias Alternativas e Eficiência Energética do Programa de Educação Continuada em Engenharia (PECE).
Este capítulo permite ao leitor, que procura uma vasta formação no assunto de energias alternativas e eficiência
energética, um conhecimento em pouca extensão de tempo dos principais conceitos que permitirão o entendimento
das tecnologias solares em seus detalhes científicos.
As Seções 9.1 e 9.2 devem ser lidas de forma intercalada, de maneira que a radiação solar seja compreendida a
partir da transmissão de calor por radiação.
Avaliação do potencial de energia solar em uma localidade
Toda instalação para uso da energia solar via térmica ou fotovoltaica passa pela avaliação da demanda de energia
térmica ou energia elétrica a ser atendida, segundo um perfil de consumo, por um sistema de conversão de energia
solar.
A instalação de conversão situa-se em um local da superfície terrestre sujeito a uma irradiância solar que
disponibilizará certa quantidade de energia dentro de um espaço de tempo. A estimativa dessa quantidade de energia
é o que se discutirá a seguir.
O Anexo A apresentado ao final deste capítulo é um formulário de todas as equações apresentadas nesta seção
para facilitar a consulta.
Expressões e de�nições básicas referentes ao posicionamento relativo
Sol-Terra
•
A Figura 9.1 mostra um esquema, muito comum nos livros, sobre esse assunto, do posicionamento da Terra em sua
órbita no início das diferentes estações do ano. Nessa figura, observe o Plano da eclíptica ou Plano da órbita com as
quatro representações do globo terrestre. Cada representação do globo terrestre apresenta uma linha tracejada
perpendicular ao plano da órbita e uma linha cheia representando o eixo polar de rotação terrestre. Aqui se encontra
o primeiro fato significativo para a utilização da energia solar: o eixo polar de rotação terrestre forma um ângulo
constante com a perpendicular ao plano da órbita de 23,45°, e a direção do eixo polar de rotação se mantém
ao longo da órbita.
A linha tracejada perpendicular ao plano da órbita é uma referência à separação de onde é dia e de onde é noite.
Um ponto qualquer sobre a superfície terrestre é caracterizado por sua latitude, longitude e altitude em relação ao
nível médio dos mares. Devido à inclinação do eixo polar de rotação terrestre e à constância de sua direção, a
duração do dia em um ponto qualquer sobre a superfície terrestre varia ao longo do ano.
Figura 9.1 Posicionamento da Terra em sua órbita no início das diferentes estações do ano.
A Figura 9.2 mostra um esquema do globo terrestre em três situações do ano. A figura superior seria uma
imagem de topo, e a inferior uma vista frontal. A direção da órbita terrestre é indicada com uma seta para baixo nas
figuras superiores. Observe que:
Na data 21/6, solstício de verão para Hemisfério Norte e de inverno no Hemisfério Sul, o polo norte e todos os
pontos no interior do círculo polar Ártico estão permanentemente na zona iluminada. A respectiva figura inferior
mostra que a incidência solar se faz diretamente na latitude +23,45°. Todos os pontos dessa latitude, chamada
Trópico de Câncer, têm o Sol ao meio-dia a pino, ou seja, na perpendicular ao plano horizontal naquele ponto.
Meio-dia é o momento em que o disco solar posiciona-se no meridiano da longitude do local, também chamado
passagem meridiana. Para latitudes maiores, o Sol nunca estará a pino em qualquer época do ano.
•
•
•
•
•
Figura 9.2 Posicionamento do eixo de rotação terrestre ao longo do ano.
Na data 21/12, solstício de inverno no Hemisfério Norte e de verão no Hemisfério Sul, o polo norte permanece
na zona escura. Analogamente ao já comentado, a figura inferior a essa data mostra que a incidência solar se faz
diretamente na latitude –23,45°. Todos os pontos dessa latitude, chamada Trópico de Capricórnio, têm o Sol ao
meio-dia a pino. Para latitudes menores (atenção, pois no Hemisfério Sul essas latitudes são negativas) o Sol não
estará a pino em nenhuma época do ano. Todos os pontos do círculo polar Antártico estão iluminados
permanentemente nessa data.
Na data 21/9, equinócio de outono no Hemisfério Norte e de primavera no Hemisfério Sul, a projeção do eixo
polar de rotação no plano da órbita é paralela à trajetória. Embora o plano do Equador permaneça inclinado de
23,45° em relação ao plano da órbita, todos os pontos sobre o Equador têm o Sol ao meio-dia a pino, e a duração
do dia é igual à duração da noite em todas as latitudes. Essa situação é similar à de 21 de março, equinócio de
primavera no Hemisfério Norte e de outono no Hemisfério Sul.
Entre essas datas ocorrem situações intermediárias da posição do Sol em sua passagem meridiana. Para um
observador sobre a superfície da Terra, a passagem meridiana do Sol sofre um movimento cíclico ao longo do ano.
Para obter outros ciclos do movimento terrestre, consulte os ciclos de Milankovitch.
A Figura 9.3 mostra com um ponto cinza a posição de um observador na superfície terrestre com latitude ϕ e
longitude L em certa hora do dia. Nesse momento, o Sol está em sua passagem meridiana indicada por um ponto
hachurado em uma longitude que difere daquela do observador por um ângulo ω denominado ângulo horário do
observador.
A medida do ângulo δ entre a direção do Sol e o plano do Equador é denominada declinação solar daquele dia.
A variação da declinação solar ao longo do ano está entre os limites de –23,45° < δ < +23,45°.
Em resumo, os ângulos mostrados na Figura 9.3 são:
Latitude (ϕ): ângulo de vértice no centro da Terra, formado pela semirreta com direção do ponto considerado e
plano do Equador. Positivo no Hemisfério Norte.
Ângulo horário (ω): ângulo diedro com aresta no eixo de rotação da Terra, formado pelo semiplano que contém
o Sol e o semiplano que contém o meridiano local. Negativo nas manhãs.
Declinação solar (δ): ângulo de vértice no centro da Terra, formado pela semirreta determinada pela direção do
Sol e o plano do Equador. Positivo de 21/3 a 21/9.
Como calcular o ângulo horário ω e a declinação solar δ?
Declinação solar do DIA (1 a 31) do MÊS (1 a 12):
a) Calcule o dia n do ano com a sequência:
Se: Mês ≤ 2 → Cor = Int(Mês/2)
Se: 2 < Mês ≤ 8 → Cor = (Int(Mês/2) – 2)
Se: Mês > 8 → Cor = (Int(Mês/2 + 1/2) – 2)
em que Int é o menor inteiro contido no número obtido.
Figura 9.3 Ângulos de latitude, declinação solar e horário.
Por exemplo para 25 de outubro,
Cor = (Int (10/2) + ½) – 2) = 3; n = 25 + (10 – 1) × 30 + 3 = 298.
b) Calcule a declinação δ: –23,45 ≤ δ ≤ 23,45
Em 25 de outubro, δ = –13,12°.
Ângulo horário na longitude L, na hora legal HL, referente à longitude da hora legal L0.
c) Calcule a hora solar HS dada em hora e fração de hora:
Para a cidade de São Paulo, temos:
Latitude ϕ = –23,57° (S)
Longitude L = 46,73° (W)
d)
e)
f)
9.1.2
Longitude hora legal L0 = 45° (W) (Atenção: quando for horário de verão L0 = 30°.)
A HS correspondendo à HL = 14h30min = 14,5 do dia 25 de outubro (L0 = 45º) seria:
n = 298; B = 214,62; E = 16,21; Corhora = 0,156; HS = 14,5 + 0,156 = 14,66
Calculeo ângulo horário ω, –180 ≤ ω ≤ 180º, manhãs < 0, tardes > 0:
No exemplo ω = (HS – 12) × 15 = (14,66 – 12) × 15 = 39,90º.
Como já comentado, a duração do dia em um local de latitude ϕ varia no decorrer do ano. Podemos calcular:
O ângulo horário do pôr do sol ωS:
O ângulo horário do nascer do Sol é igual em módulo, porém com sinal negativo.
A duração da insolação N:
Portanto, temos no exemplo trabalhado: ωS = 95,83º e N = 12,78 h.
Expressões fundamentais para o cálculo do posicionamento da
incidência da radiação solar referente a um ponto sobre a superfície
terrestre
Nas utilizações da energia solar em certa posição sobre a superfície terrestre, aproximamos a área da aplicação por
um plano horizontal.
A Figura 9.4 mostra o ângulo que descreve a incidência solar sobre um plano horizontal dado pela direção do
Sol com a perpendicular ao plano horizontal, denominado ângulo zenital θZ, 0 ≤ θZ ≤ 90º, que é calculado pela
Equação (9.10).
O ângulo θZ é função de:
O ângulo complementar de θZ é denominado altitude solar:
O ângulo formado pela projeção da direção do Sol no plano horizontal e o meridiano N-S é denominado
Azimute Solar γS e é medido a partir do meridiano local, tendo a direção S o valor γS = 0. Seu valor em módulo pode
ser calculado pela Equação (9.13):
O sinal deverá ser o de ω. A variação é de –180º ≤ γS ≤ +180º. A direção S possui γS = 0º. Se +, medir no sentido
horário a partir de S. Se –, medir no sentido anti-horário a partir de S.
A superfície receptora da radiação solar pode estar inclinada em relação à horizontal. Em muitas utilizações da
energia solar, a superfície receptora está inclinada de um ângulo β com relação à horizontal e, no caso mais geral, a
a)
b)
projeção de sua reta normal com o plano horizontal forma um ângulo γ com o meridiano N-S. Esse ângulo γ é
denominado ângulo azimutal da superfície. Sua variação é de: –180 ≤ γ ≤ 180, sendo medido a partir do S = 0°.
Sentido anti-horário E < 0; sentido horário W > 0.
Figura 9.4 Ângulos para posicionamento da incidência da radiação solar sobre um plano horizontal da superfície terrestre.
O ângulo de incidência solar θ sobre uma superfície de inclinação β com a horizontal e azimute γ é calculado
pela Equação (9.15). O ângulo de incidência θ é função de:
Dois casos importantes devem ser destacados:
Superfície no Hemisfério Sul diretamente voltada para o N, γ = 180º tem ângulo de incidência θ calculado pela
Equação (9.17). Nesse caso:
Superfície no Hemisfério Norte diretamente voltada para o S, γ = 0º tem o ângulo de incidência θ calculado pela
Equação (9.19). Nesse caso:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Qual o significado, em utilizações da energia solar, de se inclinar uma superfície de um ângulo β com relação à
horizontal?
Observe a Figura 9.5 na qual, em um ponto de latitude ϕ, coloca-se uma superfície inclinada de um ângulo β
com relação à horizontal. Pelo ponto O tracemos o raio AO correspondente à latitude ϕ e a reta OB perpendicular à
reta AB, prolongamento do segmento que define a superfície inclinada. Essa reta OB encontra a superfície terrestre
no ponto C e equivale ao raio de uma latitude (ϕ – β). O segmento CD perpendicular à reta OC resulta paralelo ao
segmento AB e, portanto, suas retas normais são paralelas. Desse modo, o ângulo de incidência θ sobre a superfície
horizontal de latitude (ϕ – β) resulta igual ao ângulo de incidência sobre a superfície inclinada de β em uma latitude
ϕ. Ou seja, é como se a superfície inclinada fosse uma superfície horizontal na latitude (ϕ – β).
Figura 9.5 Significado de se inclinar uma superfície em relação à horizontal com respeito à incidência da radiação solar.
Exemplo 9.1
O laboratório de energia solar da University of Wisconsin, Madison, onde atuaram os professores John Duffie e William Beckman, situa-se nas
seguintes coordenadas:
Latitude ϕ = +43° (N)
Longitude L = 89,4° (W)
Longitude hora legal = 90° (W)
Para o dia 13 de fevereiro, às 10h42min, calcule:
o dia do ano n;
a hora solar;
o ângulo horário;
a declinação solar;
o ângulo zenital;
o ângulo horário do pôr do sol;
a duração da insolação.
Resolução:
a)
b)
e)
f)
g)
e)
f)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
g)
9.1.3
n = Dia + (Mês – 1) × 30 + Cor = 13 + (2 – 1) × 30 + 1 = 44.
Mês ≤ 2 → Cor = Int(Mês/2) = Int (2/2) = 1
HS = HL + Corhora = 10,70 – 0,20 = 10,50 h
HL = 10:42 = 10,70 h
B = ((360 / 364) × (n – 81)) = ((360 / 364) × (44 – 81)) = –36,59
E = 9,87 × sen(2B) – 7,53 × cos(B) – 1,5 × sen(B) = 9,87 × sen(2 × (–36,59)) – 7,53 × cos(–36,59) – 1,5 × sen(–36,59) = –14,60
Corhora = (4 × (L0 – L) + E) / 60 = (4 × (90 – 89,4) + (–14,60)) / 60 = –0,2033.
ω = (HS – 12) × 15 = (10,50 – 12) × 15 = –22,50º.
δ = 23,45 × sen(360 / 365 × (284 + n)) = 23,45 × sen(360 / 365 × (284 + 44)) = –13,95º.
cosθz = sen(δ) sen(ϕ) + cos(δ) cos(ϕ) cos(ω) = sen(–13,95) sen(43) + cos(–13,45) cos(43) cos(–22,5)= 0,4927 θZ = 60,48º.
cos(ωS) = –tan(ϕ) tan(δ) = –tan (43) tan (–13,95) = 0,2316 ωS = 76,60º.
N = (2/15) ωS = (2/15) 76,60 = 10,21 h.
n = 44;
HS = 10,5 h;
ω = –22,5°;
δ = –13,9°;
θZ = 60,48°;
ωS = 76,6°;
N = 10,2 h.
Nas mesmas condições do item anterior, qual o ângulo de incidência da radiação direta para uma superfície inclinada com a horizontal com 55°,
voltada para o S, e com um azimute de 10° E?
Resolução:
γ = 10º E = –10°
cos(θ) = sen(δ) sen(ϕ) cos(β) – sen(δ) cos(ϕ) sen(β) cos(γ) + cos(δ) cos(ϕ) cos(β) cos (ω) + cos (δ) sen (ϕ) sen(β) cos(γ) cos(ω) + cos(δ) sen(β)
sen(γ) sen(ω) = sen(–13,95) sen(43) cos(55) – sen(–13,95) cos(43) sen(55) cos(–10) + cos(–13,95) cos(43) cos(55) cos(–22,50) + cos(–13,95)
sen(43) sen(55) cos(–10) cos(–22,50) + cos(–13,95) sen(55) sen(–10) sen(–22,50) = –0,0943 – (–0,1422) + 0,3761 + 0,4933 + 0,0528 =
0,9701; θ = 14,05º.
θ = 14,1° para β = 55° e γ = –10°.
Irradiação solar extraterrestre
A enorme distância da Terra ao Sol e seu pequeno diâmetro quando comparado ao do Sol permitem que se faça a
aproximação de que a irradiação solar seja constituída por um feixe de raios paralelos, conforme o esquema da
Figura 9.6.
Figura 9.6 Aproximação dos raios solares como um feixe paralelo.
A constante solar GSC é a energia proveniente do Sol, por unidade de tempo, recebida por unidade de área em
uma superfície perpendicular à direção de propagação da radiação, na distância média Terra-Sol, fora da atmosfera.
GSC = 1367 W/m2 é um valor recomendado para os cálculos de engenharia.
A irradiância extraterrestre sobre uma superfície horizontal em um ponto da Terra G0 (W/m2) pode ser
calculada pela Equação (9.21), que é função de:
A irradiação extraterrestre integrada diária sobre superfície horizontal H0 (J/m2) pode ser calculada pela
Equação (9.23), que é função de:
em que ωS é medido em graus.
A irradiação extraterrestre integrada horária sobre superfície horizontal I0 (J/m2) pode ser calculada pela
Equação (9.25), que é função de:
em que ω é medido em graus.
Para estimativas da irradiação extraterrestre diária média mensal, H0, usa-se o gráfico da Figura 9.7. Para
esses cálculos, o dia médio do mês é obtido na Tabela 9.1.
Tabela 9.1 Dia médio do mês
Mês Jan Fev Mar Abr Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Dia 17 16 16 15 15 11 17 16 15 15 14 10
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Figura 9.7 Irradiação extraterrestre média mensal H0 = F(ϕ, mês). Latitudes do Brasil.
Exemplo 9.2
O laboratório de energia solar do Instituto de Pesquisas Tecnológicas (IPT), de São Paulo (SP), está situado nas seguintes coordenadas:
Latitude ϕ = –23,57° (S)
Longitude L = 46,73° (W)
Longitude hora legal = 45° (W) (Atenção: no horário de verão corresponde a 30°.)
Para o dia 15 de julho, às 14h30min, calcule:
o dia do ano n;
a hora solar;
o ângulo horário;
a declinação solar;
o ângulo zenital;
o ângulo horário do pôr do sol;
a duração da insolação.
Resolução:
e)
f)
a)
b)
c)
d)
g)
9.1.4
n =196;
HS = 14,3 h;
ω = 34,4°;
δ = 21,5°;
θZ = 56,1°;
ωS = 80,1°;
N = 10,7 h.
Para as mesmas condições do item anterior, qual o ângulo de incidência da radiação direta para uma superfície inclinada com horizontalde
40°, voltada para o N, e com azimute de 10° E (γ = –170°)?
 
Resolução: θ = 39,2° para β = 40° e γ = –170°.
Nas condições do item anterior, qual o ângulo de incidência da radiação direta para uma superfície inclinada com horizontal de 40°, voltada para o
N, e com azimute de 0° (γ = –180°), quais os valores de RB, G0 e H0?
Resolução:
cos(θ) = cos(ϕ + β) cos(δ) cos(ω) + sen(ϕ + β) sen(δ) = cos(–23,57 + 40) cos(21,5) cos(34,4) + sen (–23,57 + 40) sen(21,5) = 0,8400 θ =
32,89º.
cosθz = sen(δ) sen(ϕ) + cos(δ) cos(ϕ) cos(ω) = sen(21,5) sen(–23,57) + cos(21,5) cos(–23,57) cos(34,4) = 0,5571 θZ = 56,14º
RB = cosθ/cosθZ = 0,8400/0,5571 = 1,50.
GO = GSC[1 + 0,033cos(360n/365)]cos θZ = 1353[1 + 0,033cos(360 × 196/365)] × 0,5571= 729,6 W/m
2.
H0 = 2,75 10
4 GSC[1 + 0,033cos(360n/365)] [1,75 10
–2ωS sen(δ) sen(ϕ) + cos(δ) cos(ϕ) sen(ωS)] = 2,75 10
4 × 1309,6 × [1,75 10–2 × 80,1
sen(21,5) sen(–23,57) + cos(21,5) cos(–23,57) sen(80,1)] = 22,85 106 J/m2 = 22,85 MJ/m2.
θ = 32,9° para β = 40° e γ = 180°, RB = 1,50, G0 = 729,6 W/m
2, H0 = 22,8 MJ/m
2.
Irradiação solar sobre a superfície terrestre
A influência da atmosfera em atenuar o espectro de radiação incidente extraterrestre é mostrada de forma
simplificada na Figura 9.8.
Figura 9.8 Influência da atmosfera na radiação solar extraterrestre.
•
•
A atenuação da irradiação solar pela atmosfera terrestre ocorre fundamentalmente por dois mecanismos:
Espalhamento atmosférico pelas moléculas do ar, vapor d’água e poeira. De forma geral, quanto menor for o
comprimento de onda, maior o espalhamento. Na faixa visível é a cor azul que mais se espalha, dando a cor azul
do céu.
Absorção atmosférica por ozônio, vapor de água e gás carbônico.
A faixa de irradiação sobre a superfície terrestre encontra-se essencialmente entre:
0,29 ≤ λ ≤ 2,5 µm
Abaixo desse limite ocorre absorção por O3 e N2, e acima passa muito pouco devido à absorção por CO2 e H2O.
A irradiação solar direta na direção da incidência é representada por GBN (W/m2); a componente no plano
horizontal é representada por GB (W/m2); e a componente em uma superfície inclinada é representada por GBT
(W/m2).
Observe que: GB = GBN cos θZ e GBT = GBN cos θ. Logo, temos:
A irradiância solar total sobre o plano horizontal G (W/m2) é constituída de uma parcela de irradiação direta GB
(W/m2) e por uma parcela de irradiação difusa GD (W/m2). Portanto:
A medida da irradiância solar total G sobre o plano horizontal é feita por um instrumento chamado piranômetro,
cujo esquema é mostrado na Figura 9.9.
A medida da irradiância solar direta na direção da incidência GBN é feita com um instrumento chamado
pireliômetro. A medida da irradiância solar difusa GD sobre o plano horizontal é realizada com um piranômetro
provido de haste de sombreamento.
Com as medições de G e GD, pode-se calcular GB pela diferença:
Figura 9.9 Esquema de piranômetro. (1) Coberturas transparentes; (2) sensor; (3) termopar acoplado ao sensor.
Com os valores de G, GB e GD obtidos ao longo do dia, podemos, por integração de registros, encontrar, para
determinada estação de medição, os valores integrados em certa hora I, IB, ID (J/m2), ou integrados ao longo do dia,
H, HB, HD (J/m2), como também podemos fazer uma média mensal da irradiação diária (J/m2).
A partir dos registros de diferentes estações pelo mundo foram construídos mapas com valores médios da
Distribuição Global da Radiação Solar Incidente Total, média anual, no plano horizontal G exemplificado na Figura
9.10.
9.1.5
Figura 9.10 Irradiação média anual em plano horizontal (kWh/m2 dia) (NASA, http://eosweb.larc.nasa.gov/sse/).
A referência recomendada para projetos no Brasil é o Atlas Solarimétrico do Brasil. A Figura 9.11 foi elaborada
a partir das informações desse atlas e demonstra de maneira esquemática, em MJ/m2 dia, o valor médio diário anual
nas diferentes regiões brasileiras. Os números mostrados no mapa indicam os MJ/m2 de radiação solar média anual
daquela região que está delimitada por linhas tracejadas. Por exemplo, a área, indicada pelo número 16, que
representa boa parte do estado de São Paulo, Minas Gerais e sul da Bahia, demonstra que ocorrem 16 MJ/m2 dia de
radiação solar média nessa região.
Avaliações das frações direta e difusa no plano horizontal a partir da
irradiação total no plano horizontal
Alguns equipamentos que utilizam energia solar captam tanto a radiação direta como a difusa, como, por exemplo,
coletores solares planos térmicos ou fotovoltaicos, enquanto outros captam apenas a radiação direta, por exemplo,
coletores solares concentradores térmicos.
http://eosweb.larc.nasa.gov/sse/
9.1.5.1
9.1.5.2
9.1.5.3
Figura 9.11 Distribuição esquemática da radiação solar média diária anual em MJ/m2 dia no Brasil. Valores mensais disponíveis
no Atlas Solarimétrico Brasileiro. (Disponível em: http://www.cresesb.cepel.br/sundata/index.php.)
Como determinar as frações de radiação solar direta e difusa sobre a superfície horizontal a partir de radiação
total sobre superfície horizontal medida por piranômetros?
Índices de claridade
Razão entre a radiação integrada em certo intervalo de tempo sobre o plano horizontal e seu valor equivalente de
radiação extraterrestre.
Define-se:
Componente difusa da radiação horária
Os resultados dos estudos de Orgill e Hollands (1977) fornecem uma correlação suficientemente precisa da função:
Essa função pode ser representada pelas equações:
Observe-se que este estudo conclui que, por mais que brilhe o Sol, teremos no mínimo 17,7 % da radiação que
chega ao plano horizontal como radiação difusa, e, por mais escuro que esteja o dia, teremos no mínimo 4 % de
radiação direta.
Componentes de radiação direta e difusa média diária
Os resultados dos estudos de Collares Pereira e Rabl (1979) permitem avaliar a fração da radiação difusa no plano
horizontal média diária a partir da radiação total no plano horizontal.
A função para diferentes faixas de KT pode ser expressa pelas equações a seguir:
http://www.cresesb.cepel.br/sundata/index.php
9.1.5.4
9.1.5.5
Componentes de radiação direta e difusa diária média mensal
Os mesmos estudos de Collares Pereira e Rabl (1979) permitem a estimativa da radiação difusa no plano horizontal
média mensal a partir da Equação (9.40) função de KT e ωS.
Estimativa de radiação horária I (MJ/m2) no plano horizontal a partir da radiação diária H
(MJ/m2)
Estudos desenvolvidos por Benjamin Liu e Richard Jordan (1960), Whillier (1956, 1965) e Hottel-Whillier (1958)
permitem a estimativa da radiação total horária e da radiação difusa horária no plano horizontal a partir da radiação
total diária e da radiação difusa horária no plano horizontal.
A razão
pode ser expressa por:
em que:
pode ser expressa por:
9.1.6
Nessas equações ω é expresso em graus.
Radiação total horária sobre superfícies inclinadas
Os dispositivos de captação da energia solar apresentam com frequência a superfície de captação com certa
inclinação em relação ao plano horizontal.
Como estimar a disponibilidade de energia solar em um plano inclinado a partir de informações no plano
horizontal é o que se verá a seguir.
Definem-se os subscritos: b (beam), radiação direta; d, radiação difusa; e T (tilt), sobre superfície inclinada.
Definem-se os índices R das razões entre a radiação no plano inclinado e no plano horizontal como:
Radiação direta:
com
Radiação difusa:
Radiação total:
Observe-se que:
Como: , em que kT é o índice de claridade de horário definido como 
, tem-se que:
Ou seja, se em intervalo de uma hora, definido pelo ângulo horário médio , dispusermos do
valor I a partir de um piranômetro, poderemos avaliar kT calculando I0 no referido intervalo de tempo pela Equação
(9.25) e, por conseguinte, f(kT) pelas Equações (9.33) a (9.35). Como o valor de Rb pode ser calculado pela Equação
(9.48), o valor pendente para finalizar o cálculo de IT é Rd.
9.1.7
a)
b)
Três modelos para a radiação difusa horária
Como o índice para a radiação direta é dependente apenas dos ângulos de incidênciae zenital, a questão é remetida
para a avaliação da fração da radiação difusa.
Três modelos de avaliação foram propostos pelos pesquisadores:
Primeiro modelo
Para um dia muito claro, pode-se supor que a maior parte da radiação difusa viria de uma região do céu circunsolar,
isto é, a maioria da radiação vem da direção do Sol. Dessa forma, a radiação na superfície inclinada é tratada como
se fosse toda radiação direta, com
Esse modelo superestima a radiação sobre a superfície inclinada, pois supõe que f(kT) = 0, enquanto os estudos
apontam para essa função um valor mínimo de 0,177. Esse valor serve apenas como ordem de grandeza da radiação
incidente em um plano inclinado em dia claro.
Exemplo 9.3
Estime o valor de R em uma superfície inclinada de β = 30°, voltada para o Equador, na latitude 35° S às 9h30min da manhã (hora solar), em 15 de
agosto, supondo que a radiação difusa esteja concentrada na região circunsolar.
Resolução:
Neste caso, pode-se assumir R = Rb
Rb = cosθ/cosθZ
Ângulo de incidência para a face SUL γ = 180°
cos(θ) = cos(ϕ + β) cos(δ) cos(ω) + sen(ϕ + β) sen(δ)
cosθz = sen(δ) sen(ϕ) + cos(δ) cos(ϕ) cos(ω)
δ = 23,45 × sen(360 / 365 × (284 + n))
n = Dia + (Mês – 1) × 30 + Cor
Se 2 < Mês ≤ 8 → Cor = (Int(Mês/2) – 2)
ω = (HS – 12) × 15
Cálculos:
ω = (9,5 – 12) × 15 = –37,5°
Cor = (Int(8/2) – 2)= 2
n = 15 + (8 – 1) × 30 + 2 = 227
δ = 23,45 × sen(360 / 365 × (284 + 227)) = 13,78°
cosθZ = sen(13,78) sen(–35) + cos(13,78) cos(–35) cos(–37,5) = –0,1366 + 0,6312 = 0,4945 (θZ = 60,36°)
cos(θ) = cos(–35 + 30) cos(13,78) cos (–37,5) + sen(–35 + 30) sen(13,78) = 0,7676 + (–0,0208) = 0,7468; (θ = 41,68°)
Rb = cosθ/cosθZ = 0,7468/0,4945 = 1,51.
Segundo modelo
A radiação difusa sobre o plano inclinado é igual à do plano horizontal. Nessa condição,
c)
9.1.8
Esse modelo não considera a radiação refletida pelo solo. Pode ser usado em dias de névoa uniforme para
avaliação da ordem de grandeza sobre o plano inclinado.
Exemplo 9.4
Com os dados do Exemplo 9.3, estime R, supondo que 0,35 da radiação solar total seja direta, e que 0,65 seja difusa (kT = 0,49), em dia de
nebulosidade uniforme.
Resolução:
Nessa situação, podemos supor que (radiação difusa isotrópica).
Terceiro modelo
Liu e Jordan (1962) consideraram a hipótese de que a radiação total sobre uma superfície inclinada se compusesse
da radiação direta mais a radiação solar difusa isotrópica e mais a radiação solar refletida difusamente pelo solo,
com refletividade ρ. Portanto:
Esse modelo considera a radiação difusa do céu como isotrópica, com intensidade igual, qualquer que seja a
direção, e que as diferentes superfícies que “olham” para a superfície inclinada tenham uma refletividade média ρ.
Nesse modelo, temos , sendo Rds a razão entre a radiação difusa
proveniente do solo e a radiação total incidente no plano horizontal.
Exemplo 9.5
Com os dados do Exemplo 9.4, estime o valor de R, supondo que a re�etividade do solo seja 0,2 (vegetação) ou 0,7 (neve ou gelo).
Resolução:
R = 0,35 × 1,51 + 0,65 × [(1 + cos 30)/2] + 0,2 × [(1 – cos 30)/2] = 0,5285 + 0,6065 + 0,0134 = 1,1484 = 1,15
R = 0,35 × 1,51 + 0,65 × [(1+cos 30)/2] + 0,7 × [(1 – cos 30)/2] = 0,5285 + 0,6065 + 0,0469 = 1,18.
Radiação média diária mensal sobre uma superfície inclinada �xa. Liu e
Jordan (1962), modi�cado por Klein (1977)
A maioria dos métodos para dimensionamento de sistemas de aquecimento através de energia solar utiliza como
base de cálculo da energia disponível o fator R, razão entre a radiação diária média mensal sobre uma superfície
inclinada HT, e a radiação diária média mensal sobre uma superfície horizontal H.
Benjamin Y. H. Liu e Richard C. Jordan (1962) propuseram as seguintes equações, aprimoradas por S. A. Klein
(1977).
Se as superfícies estão voltadas para o Equador e as radiações difusa e refletida puderem ser consideradas
isotrópicas, tem-se que:
A razão Hd/H é função de KT, conforme a Equação (9.40). Liu e Jordan (1962) assumiram também que a razão Rb =
Hbt/Hb fosse estimada pelo seu valor sem a atmosfera, ou seja,
Para superfícies no Hemisfério Norte, inclinadas diretamente para o Equador (γ = 0°), temos:
Nessa expressão, o símbolo (ω*S) representa o ângulo horário do pôr do sol para a superfície inclinada no dia médio
do mês, conforme Tabela 9.2, que pode ser calculado por:
Para superfícies no Hemisfério Sul, inclinadas diretamente para o Equador (γ = 180°), temos:
e
Exemplo 9.6
Planeja-se instalar um sistema de coletores solares planos na região da cidade de São Paulo, latitude ϕ = –23,6°, voltados diretamente para o
Equador γ = 180°, com inclinação de β = 30° em relação à horizontal. Para o mês de agosto, a radiação diária média mensal na superfície horizontal
é estimada em H = 10,3 MJ/(m2 dia). A re�etividade do solo é estimada em ρ = 0,2. Calcule o valor da radiação diária média mensal na superfície
inclinada.
Resolução:
Dados ϕ = –23,6°, β = 30°, H = 10,3 MJ/(m2 dia), ρ = 0,2.
Vamos necessitar dos seguintes valores: δ, (ω′S), (ωS), KT, Rd/H, H0.
Para o mês de agosto, temos, pela Tabela 9.1, que o dia médio é 16, n = 228 e δ = 13,5°.
Portanto, ω′s = mínimo – entre – [arccos(–tanϕtanδ)] – e –[arccos(–tan(ϕ + β)tanδ)]
(ω′S = mínimo entre.
Arccos (–tan (–23,6) tan (13,5)) = 84,0°; e
Arccos (–tan 6,5 tan 13,5) = 91,6°
Valor mínimo (ω′S) = 84,0°
Valor de (ωS) = 84,0°,
Para facilidades de cálculo, coloquemos que:
Rb = A/B
A = cos 6,4 × cos 13,5 × sen 84,0 + (π/180) × 84,0 × sen 6,4 sen 13,5= 0,9610 + 0,0382 = 0,9992
B = cos(–23,6) × cos 13,5 × sen 84 + (π/180) × 84 × sen(–23,6) sen 13,5 = 0,8862 – 0,1370 = 0,7492
Rb = 09992/0,7492 = 1,3337.
A radiação extraterrestre pode ser interpolada pela Figura 9.7.
ϕ ° H0 MJ/(m
2 dia)
–20 28,8
–23,6 27,3
–25 26,7
Hd/H = 0,775 + 0,00653(84,0 – 90) – [0,505 + 0,00455(84 – 90)] × cos [115 (0,38) – 103] =
Hd/H = 0,775 – 0,0392 – [0,505 – 0,0273] × cos[–59,30] =
Hd/H 0,775 – 0,0392 – [0,4777] × [0,5105] =
Hd/H 0,775 – 0,0392 – 0,2439 = 0,49
ou
Hd/H = 0,50 pelo grá�co
R = (1 – 0,49) × 1,3337 + 0,49 × [(1 + cos30)/2] + 0,2 × [(1 – cos30)/2]=
R = 0,6802 + 0,4572 + 0,0134 = 1,1508 = 1,15
•
•
•
9.2
9.2.1
HT = RH = 1,15 × 10,3 = 11,8 MJ/(m
2 dia).
Ou seja, o fato de inclinarmos o coletor de β = 30° em relação à horizontal permite um aumento de 15 % da coleta da radiação solar em relação ao
plano horizontal, de H = 10,3 MJ/(m2 dia) para = HT = RH 11,8 MJ/(m
2 dia) = 3,28 kWh/m2 dia. A energia coletada como radiação direta é de 0,51
× 1,3337 × 10,3 = 7,0 MJ/(m2 dia) = 1,94 kWh/m2 dia.
A Figura 9.12 mostra o resultado da influência do ângulo β de inclinação de uma superfície plana com relação à
horizontal na radiação média mensal coletada. A superfície apresenta um azimute 0º e está localizada na latitude
+45º. É importante ressaltar que se tem a hipótese de que o índice de claridade médio mensal é igual a 0,50 para
todos os meses.
Figura 9.12 Variação da radiação média diária mensal para superfícies com várias inclinações em função da época do ano na
latitude 45º N, KT = 0,5 constante para todos os meses, voltada diretamente para o S.
Observa-se que a inclinação da superfície “suaviza” a variação da energia coletada ao longo do ano.
Como regra prática, pode-se dizer que, considerando-se uma localidade com KT constante ao longo do ano:
para a máxima captação anual de energia, a inclinação da superfície igual à latitude é melhor;
para a máxima captação de energia no verão, a inclinação da superfície deve ser de 10º a 15º menor do que a
latitude;
para a máxima captação de energia no inverno, a inclinação da superfície deve ser de 10º a 15º maior do que a
latitude.
Desvios no ângulo do azimute da superfície de 10º a 20º com relação ao N (Hemisfério Sul) ou ao S (Hemisfério
Norte) têm pequeno efeito sobre a energia coletada.
Para a situação geral em que KT varia mês a mês, a busca pela condição desejada precisa ser estimada pelos
métodos descritos.
Modelo da analogia elétrica para a transferência de calor
Introdução
O fluxo de radiação solardeve ser coletado em dispositivos denominados coletores solares térmicos ou coletores
solares fotovoltaicos. Os primeiros, em geral, transferem essa energia para um fluido de trabalho que tem sua
energia interna aumentada, e os segundos transferem essa energia para elétrons, movendo-os da banda de valência
para a banda de condução.
9.2.2
9.2.3
Em qualquer dos casos ocorrem fluxos de calor por esses dispositivos, que determinam sua eficiência. Esse é o
motivo pelo qual a literatura que aborda a utilização de energia solar dedica fração significativa do texto à
transferência de calor. Neste capítulo desenvolveremos os conceitos básicos de transferência de calor para que o
leitor possa acessar a literatura sem maiores dificuldades. Para um resumo mais completo da transferência de calor
aplicada à energia solar, ver Duffie e Beckman (2006) e, para um estudo mais aprofundado desse assunto, ver Frank
Incropera (2003).
Coletor solar plano
Instalações de aquecimento de água para uso residencial são muito comuns, e há fotos facilmente disponíveis.
Nessas fotos se destaca o coletor solar plano amplamente utilizado em todo o mundo.
A Figura 9.13 mostra o corte transversal de um coletor solar plano.
Nessa figura se observa uma caixa no interior da qual há uma placa absorvedora unida a tubos que conduzem o
fluido, no caso água. Na parte superior, a caixa é fechada com uma ou duas coberturas de um material transparente à
luz solar, como vidro, por exemplo, e, na parte inferior, uma camada de material isolante térmico colocada entre a
placa absorvedora e o fundo da caixa.
Parte da radiação solar incidente atravessa o vidro e é absorvida pela placa absorvedora que, por sua vez,
transfere parte da radiação absorvida para o fluido de trabalho, e parte é perdida para o ambiente.
Apesar de ser um dispositivo simples, a engenharia térmica a ele associada é bastante complexa. O
desconhecimento dessa engenharia é o que explica um número significativo de coletores de baixo desempenho no
mercado.
No Brasil, os coletores comercializados devem ter o selo do Inmetro. Entre as características fornecidas pelo
órgão encontram-se os parâmetros FR(τα) e FRUL. A compreensão do que eles significam e pelo que são
influenciados é a base para a correta análise de avaliação desses equipamentos.
Rendimento térmico de um coletor solar plano
O coletor solar plano instalado no topo de uma residência opera em regime transitório, como qualquer outro sistema
de utilização de energia solar. A radiação incidente GT (W/m2) sobre sua área de abertura, a velocidade do vento no
local vW (m/s), a temperatura da água Tfi (ºC) que entra no coletor variam continuamente no decorrer do tempo de
sua operação, fazendo com que a temperatura da água na saída do coletor Tfo (ºC) também varie continuamente.
Apesar desse fato, é muito útil observar o comportamento do coletor em regime permanente, em que as grandezas
GT, Tfi, vW, entre outras, são mantidas com valores constantes, conforme a prescrição das normas de ensaio.
A Figura 9.14 mostra um esquema para um coletor solar plano operando em regime permanente em uma
bancada de ensaio.
A taxa de energia transferida ao fluido de trabalho, ou taxa de energia útil QU (W), pode ser obtida pela Equação
(9.65),
em que:
ρ = densidade da água ou do fluido de trabalho, em kg/m3;
V = vazão volumétrica do fluido de trabalho através do coletor solar, em m3/s;
cP = calor específico da água ou fluido de trabalho, em J/kg ºC.
Figura 9.13 Corte de um coletor solar plano com uma cobertura de vidro.
Figura 9.14 Esquema de um coletor solar plano operando em regime permanente em bancada de ensaio.
A taxa de radiação incidente na área de abertura A (m2) do coletor solar é dada pelo produto GTA (W) e,
portanto, o rendimento térmico do coletor pode ser dado pela Equação (9.66):
Observe que as medidas de vazão volumétrica, temperaturas e radiação no plano do coletor são feitas por
instrumentos de medida e, por isso, o rendimento térmico pode ser avaliado. As normas de ensaio descrevem
meticulosamente o procedimento desses ensaios.
Quando se pensa em esmiuçar os aspectos construtivos de um coletor solar, é possível elaborar um modelo
aproximado, tomando-se como referência a placa absorvedora do coletor solar que estaria a uma temperatura média
TP (ºC). Essa temperatura média da placa absorvedora é um parâmetro físico simplificado para se fazer uma análise,
pois o perfil de temperaturas na placa varia tanto transversalmente entre os tubos como longitudinalmente ao longo
da direção dos tubos.
Nessa condição, poderíamos fazer um balanço térmico simplificado em regime permanente, utilizando a placa
como referência, conforme a Equação (9.67).
A taxa de radiação absorvida pela placa absorvedora pode ser aproximada pelo produto de (GT A), que é a taxa de
radiação incidente no plano do coletor solar multiplicada (τ) pela fração que o vidro transmite, supondo-se uma
única cobertura, multiplicada (α) pela fração que a placa absorve, ou (GTA) (τα).
A taxa de calor perdida para o ambiente à temperatura Ta (ºC) pode ser expressa em termos de um coeficiente
global de troca de calor UL (W/m2 ºC) entre a placa absorvedora na temperatura TP (ºC) e o ambiente, pelo produto
ULA (TP – Ta).
Desse modo, a Equação (9.67) poderá ser reescrita na forma da Equação (9.68):
Isolando-se, na Equação (9.68), o valor de QU, e substituindo na Equação (9.66), obtém-se a Equação (9.69) para
o rendimento térmico do coletor (η):
A Equação (9.69) revela que o rendimento térmico de um coletor solar operando em regime permanente
depende das propriedades ópticas do vidro (τ), da superfície absorvedora (α), das suas trocas de calor com o
ambiente UL, do fluxo de radiação incidente GT e das temperaturas TP e Ta. O índice (N) no produto (τα)N indica
estar esse valor sendo medido para um ângulo de incidência da radiação igual a zero, e a norma de ensaio indica as
condições em que essa restrição é considerada como atendida.
A avaliação do rendimento térmico do coletor com a Equação (9.69) apresenta uma dificuldade relativa à
temperatura média de placa (TP), de trabalhosa avaliação. Para superar essa dificuldade e obter uma expressão com
valores facilmente mensuráveis, é definido o fator de remoção de calor (heat removal factor) FR pela Equação
(9.70):
Isolando o valor de QU na Equação (9.70) e substituindo na Equação (9.66), temos a Equação (9.71) para o
rendimento térmico:
Os coletores solares comercializados no Brasil possuem um selo do Inmetro, e suas características obtidas em
teste normatizado são apresentadas no site: http://www.inmetro.gov.br/consumidor/tabelas.asp.
A Tabela 9.2 mostra exemplos de valores copiados da página do Inmetro referente a sistemas e equipamentos
para aquecimento solar de água — coletores solares.
Tabela 9.2 Exemplos de características de coletores solares planos
Fabricante FR (τα)N FR UL (W/m2 ºC) A (m2)
X 0,636 3,782 2,01
Y 0,740 6,235 1,51
Z 0,780 14,726 2,36
A Figura 9.15 mostra graficamente a variação do rendimento térmico dos coletores solares exemplificados em
função do parâmetro (Tfi – Ta)/GT, em m2 ºC/W.
Admita-se, para o coletor X, que a transmitância do vidro seja de τ = 0,95, e que a absortividade de sua placa
seja de α = 0,9, condições essas que resultariam em τα = 0,855. Como, para o coletor X, o dado de ensaio revela ser
o valor de produto FR (τα)N = 0,636, segue-se que FR = 0,744. Por outro lado, FRUL = 3,782, de onde se estima que
UL = 5,08 (W/m2 ºC).
A Figura 9.16 apresenta a variação do rendimento térmico do coletor X para diferentes condições de radiação
solar GT (W/m2) e temperaturas da água Tfi (ºC) em sua alimentação, mantendo constante a temperatura do ar
ambiente, Ta = 20 ºC. Observe-se então o cuidado que se deve ter quando se menciona rendimento térmico de
coletor solar, pois é preciso ter em mente a questão de o dado valer para uma condição de regime de operação
permanente e variar com os parâmetros mencionados.
http://www.inmetro.gov.br/consumidor/tabelas.asp
9.2.4
Figura9.15 Exemplos de curva de rendimento térmico de coletores solares planos.
Figura 9.16 Variação do rendimento térmico do coletor solar X com diferentes níveis da radiação solar GT, temperaturas de
alimentação de água Tfi e temperatura do ar ambiente constante To = 20 ºC.
Representação de um coletor solar plano pelo modelo de resistências
térmicas
Como se mostrou, o rendimento térmico de um coletor solar plano depende de parâmetros ópticos, como o produto
da transmitância do vidro pela absortividade da placa (τα)N e o coeficiente global de troca de calor, UL.
A análise do coletor solar para entender seu rendimento em função dos fundamentos da transmissão de calor se
apoia na analogia elétrica com o conceito de resistência térmica.
A Figura 9.17 mostra o conceito da resistência térmica análoga a um resistor elétrico, e a expressão térmica
análoga à Lei de Ohm, conforme a Equação (9.72):
em que:
q = fluxo de calor que circula pela resistência térmica Rt devido à diferença de temperatura ΔT entre seus extremos,
em W/m2;
Q = taxa de troca de calor através da área de troca de calor A, em W;
A = área através da qual ocorre a troca de calor, em m2;
ΔT = diferença de temperatura entre os extremos da resistência térmica, em ºC;
Rt = resistência térmica, em ºC m2/W.
Figura 9.17 Conceito de resistência térmica análoga.
A Figura 9.18 mostra as expressões a serem usadas para o cálculo de resistências térmicas equivalentes em
associações em série e em paralelo.
Figura 9.18 Resistências térmicas equivalentes para associações em série e em paralelo.
A Tabela 9.3 mostra a notação que será usada para identificar a resistência térmica com a natureza do
mecanismo de troca de calor.
Com esses conceitos, pode-se construir o circuito térmico equivalente de um coletor solar plano para avaliar o
valor do coeficiente global de troca de calor UL, conforme mostrado na Figura 9.18.
Na Figura 9.19 podemos observar as temperaturas médias da placa TP, do vidro TV do fundo da caixa TB e do ar
Ta. Também são indicadas as taxas de calor componentes da perda.
A resolução desse circuito permitirá que se chegue ao circuito equivalente mostrado na Figura 9.19, na parte
inferior.
Tabela 9.3 Notação para as resistências térmicas segundo diferentes mecanismos de transferência de calor
Resistências térmicas Rt para os diferentes mecanismos de troca de calor (m2 K/W)
Radiação Convecção Condução
1/hR = Rtr 1/hC =Rtc e/k = Rtk
hR (W/m2 K) coe�ciente de troca de calor por
radiação
hC (W/m2 K) coe�ciente de troca de calor por
convecção
k (W/m K) condutibilidade térmica do material
9.2.5
9.2.5.1
e (m) espessura da parede através da qual
ocorre a transmissão de calor por condução
A partir da Figura 9.19, podem-se escrever as seguintes equações:
Dessa forma, para que a análise seja feita, é necessário que se calcule cada uma das resistências térmicas
mencionadas e, com isso, se explique o motivo por que os coletores solares X,Y,Z apresentam diferentes curvas de
rendimento.
Transferência de calor por radiação térmica
Mecanismos: onda eletromagnética e fótons
A natureza da luz ainda é um fato controvertido na ciência. Todavia, as explicações dos fenômenos físicos
observados na luz podem ser bem descritos pelos assim chamados: modelo ondulatório e modelo de partícula
quântica.
a)
Figura 9.19 Circuito térmico para coletor solar plano.
Modelo ondulatório – onda eletromagnética
Atribui-se ao matemático holandês Christiaan Huygens (1629-1695) a argumentação de que a luz teria um
comportamento explicável pelo conceito de ondas, hoje denominado Princípio Huygens-Fresnel. Posteriormente, o
matemático e físico escocês, James Clerk Maxwell (1831-1879), formulou a teoria eletromagnética clássica que
demonstra que os campos elétrico e magnético se deslocavam pelo espaço como ondas a uma velocidade constante e
igual à da luz. Clerk Maxwell propôs que a luz é uma ondulação de natureza eletromagnética.
A partir desse modelo, construiu-se toda a tecnologia que pode ser representada pelo espectro eletromagnético
mostrado na Figura 9.20.
A relação entre a frequência da onda ν (s–1), seu comprimento de onda λ (m) e a velocidade da luz C (m/s) é
dada pela Equação (9.77):
b)
a)
f)
g)
b)
c)
d)
e)
Modelo de fótons – objeto quântico
O físico alemão Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947), um dos fundadores da teoria quântica, pela qual
recebeu o Prêmio Nobel de Física em 1918, descreveu a luz como um objeto quântico, denominado fóton. O fóton é
uma partícula quântica elementar do grupo gauge boson, estável, com interação eletromagnética de massa e carga
elétrica zero.
Figura 9.20 Espectro eletromagnético.
A energia transportada por um mol de fótons de frequência ν (s–1) é dada pela Equação (9.78):
em que:
E = energia de um mol de fótons de frequência ν, em J/mol;
NA = número de Avogadro = 6,02 1023, em mol–1;
h = constante de Planck = 6,6256 10–34, em Js.
Exemplo 9.7
Quanta energia é transportada por um mol (J/mol) nas seguintes radiações?
ultravioleta ν = 5,5 1015 s–1;
amarela λ = 600 nm;
infravermelho próximo λ = 780 nm;
rádio FM 99,5 MHz;
rádio AM 115 kHz;
fonte de raios X λ = 3,44 10–9 m;
fonte de forno de micro-ondas λ = 6,71 10–2 m.
Resolução:
Quando a radiação for de�nida por sua frequência ν, podemos escrever:
Quando a radiação for de�nida pelo seu comprimento de onda λ, temos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
9.2.5.2
Respostas em J/mol:
ultravioleta ν = 5,5 1015 s–1 ....................................2,19 106
amarela λ = 600 nm..............................................0,20 106
infravermelho próximo λ = 780 nm.......................0,15 106
rádio FM 99,5 MHz.............................................3,97 10–2
rádio AM 115 kHz...............................................4,59 10–5
fonte de raios X λ = 3,44 10–9 m............................34,9 106
fonte de forno micro-ondas λ = 6,71 10–2 m.............1,79.
Observe que a energia transportada por um mol de uma fonte de raios X é dez vezes maior que a de um mol de radiação ultravioleta, e que um
mol de fótons de luz amarela transporta 100 mil vezes a energia de um mol de fótons gerado por um forno de micro-ondas.
No caso do efeito fotovoltaico em células de silício, apenas fótons associados a comprimentos de onda menores do que 1,2 µm possuem
energia su�ciente para transferir elétrons da banda de valência para a banda de condução. Esse é o primeiro fator a colocar um limite superior para
a e�ciência de conversão elétrica de uma célula fotovoltaica.
Fenômenos resultantes da incidência de radiação sobre uma superfície
A Figura 9.21 mostra que um feixe de radiação incidente sobre uma superfície gera um feixe refletido, outro feixe
absorvido e um terceiro transmitido.
Para a superfície em questão, definem-se as seguintes propriedades:
α = fração do fluxo de energia incidente que é absorvido;
ρ = fração do fluxo de energia incidente que é refletido;
τ = fração do fluxo de energia incidente que é transmitido.
Evidentemente, entre essas propriedades existe a relação:
Cada uma dessas propriedades, de maneira geral, é função do comprimento de onda λ, da radiação incidente e do
ângulo de incidência θ.
A maioria dos materiais tem a fração absorvida α em sua primeira camada superficial inferior a 1,5 mm.
Chama-se corpo opaco a um conceito ideal, no qual a fração da radiação transmitida seria zero. Assim, para um
corpo opaco vale a relação:
9.2.5.3
Figura 9.21 Fenômenos resultantes da incidência de radiação sobre uma superfície.
Certos materiais são praticamente opacos para determinados comprimentos de onda de radiação incidente.
É através da medida da refletividade ρ de um corpo opaco que se avalia a sua absortividade.
Conceito de corpo negro
O conceito de corpo negro, conforme introduzido pelo físico alemão Gustav Kirchhoff (1824-1887), é o fundamento
sobre o qual se construiu a teoria da troca de calor por radiação.
A Figura 9.22 mostra o esquema de uma região hipotética no espaço, em vácuo, isolada do meio, isto é,a
radiação de qualquer natureza não pode atravessá-la. Dentro dessa região denominada cavidade, imaginam-se dois
pequenos corpos opacos, 1 e 2.
Figura 9.22 Interações no interior de uma cavidade.
Suponhamos, inicialmente, que a superfície interna da cavidade e os corpos 1 e 2 estejam em temperaturas
diferentes. Após algum tempo, a cavidade e os dois corpos 1 e 2 estarão em equilíbrio térmico, situação indicada
pela igualdade de suas temperaturas.
Nessa situação, para qualquer ponto no interior da cavidade em qualquer direção haverá uma irradiação
uniforme G (W/m2).
Para cada um dos corpos 1 e 2 a energia radiante absorvida deverá ser igual à energia emitida, pois assim não
haverá alteração em sua temperatura, uma vez que se encontram em equilíbrio térmico. Podemos escrever, sendo A
(m2) área superficial, E (W/m2) potência emissiva e α, absortividade.
9.2.5.4
a)
Concluímos, portanto, que no equilíbrio térmico:
Ora, o maior valor possível para a absortividade α é 1. Por isso, se o corpo 1 tivesse α1 = 1, poderíamos escrever E1
= E2/α2. Como α2 < 1, segue que E1 > E2. Ou seja, para determinada temperatura há um limite máximo para a
potência emissiva E (W/m2) de um corpo. O corpo ideal que, em determinada temperatura, apresenta a potência
emissiva máxima possível para aquela temperatura, é denominado corpo negro. Sua potência emissiva só depende
da temperatura do corpo.
Chamando por Eb (T), em W/m2, potência emissiva do corpo negro em certa temperatura T, podemos escrever:
Por outro lado, a potência emissiva E1 (W/m2) de um corpo em certa temperatura T poderia ser apresentada na forma
de uma fração ε1 chamada emissividade do corpo 1 na temperatura T, ou seja E1 = ε1 Eb(T).
Assim, podemos escrever:
ou
Desse modo, em determinada temperatura, a absortividade de um corpo é igual à sua emissividade (Segunda Lei de
Kirchhoff).
Para uma descrição mais abrangente, ver Kirchhoff’s law of thermal radiation, na Wikipedia.
Potência emissiva total de um corpo negro. Equação de Stefan-Boltzmann
A partir dos conceitos de corpo negro, absortividade e emissividade é possível tratar os problemas de transmissão de
calor por radiação. Para tanto, é necessário que se calcule a potência emissiva de um corpo negro a certa
temperatura.
O físico austríaco, Josef Stefan (1835-1893) deduziu em 1879 a expressão da potência emissiva de um corpo
negro em certa temperatura a partir dos experimentos do físico irlandês John Tyndal (1829-1893). Em 1884, a
expressão foi deduzida a partir da Termodinâmica, por seu aluno, o físico austríaco Ludwig Eduard Boltzmann
(1844-1906).
A expressão conhecida como Lei de Stefan-Boltzmann é dada pela Equação (9.87):
Exemplo 9.8
Estime o valor do �uxo de calor radiante entre dois planos paralelos no vácuo, que poderiam ser aproximados por corpos negros, mantidos a
temperaturas constantes nos seguintes casos:
T1 = 50 °C, T2 = 30 °C;
b)
c)
a)
b)
c)
9.2.5.5
T1 = 35 °C, T2 = 30 °C;
T1 = 500 °C, T2 = 30 °C.
Resolução:
Sendo dois corpos negros, temos que a troca de calor entre eles será dada por:
em que:
Q1–2 = taxa de troca de calor por radiação do corpo 1 (referência) com o corpo 2, em W;
F1–2 = fator de forma do corpo 1 para o corpo 2;
F2–1 = fator de forma do corpo 2 para o corpo 1. O fator de forma é geométrico e mostra como um corpo “enxerga” o outro.
A chamada regra da reciprocidade estabelece que:
Portanto,
No caso de dois planos paralelos nos quais a extensão é maior que a distância entre eles, tem-se que: F1–2 = 1.
Por isso, q1–2 = Q1–2/A1 pode ser calculado por:
–139,2 W/m2ΔT = 20 °C T1 = 50 ºC T2 = 30 ºC;
–32,3 W/m2ΔT = 5 °C T1 = 35 ºC T2 = 30 ºC;
–19,8 103 W/m2ΔT = 470 °C T1 = 500 ºC T2 = 30 ºC.
O valor (–) da troca líquida de calor entre o corpo 1 (referência) e o corpo 2 mostra que 1 está fornecendo energia para 2. Evidentemente,
Q2→1 = –Q1→2. Observe o efeito da quarta potência da temperatura no �uxo de calor trocado.
Potência emissiva monocromática de corpo negro. Equação de Planck e potência
emissiva monocromática máxima. Lei de Wien
A conciliação entre a potência emissiva de um corpo negro em determinada temperatura com a distribuição de
fótons que a transporta foi feita por Max Planck.
A chamada Equação de Planck para a radiação permite o cálculo da potência emissiva monocromática para um
corpo negro Eλb, em (W/m2)/m, em uma temperatura T.
A Figura 9.23, de Frank Incropera e David DeWitt (2003), mostra a distribuição da potência emissiva
monocromática para diversas temperaturas.
Figura 9.23 Distribuição da potência emissiva monocromática e a Lei de Wien, conforme Incropera e DeWitt (2003).
Observe-se que, para certa temperatura T, o comprimento de onda λ, no qual ocorre a potência emissiva máxima,
é dado pela Lei do Deslocamento de Wien, proposta pelo físico alemão Wilhelm Carl Otto Fritz Franz Wien (1864-
1928), Prêmio Nobel de Física em 1911 por seu trabalho sobre troca de calor por radiação. A expressão é dada por:
Exemplo 9.9
Aproxime a superfície do Sol por um corpo negro na temperatura T = 5762 K. Considere a região do ultravioleta entre 0,33 e 0,38 μm, do visível
entre 0,38 e 0,78 μm e o infravermelho próximo entre 0,78 e 2,22 μm. Estime o percentual de energia emitido em cada uma destas regiões.
Resolução:
9.2.5.6
1.
2.
3.
4.
μm 0,33 (ultraviol) 0,38 (visível) 0,78 (infraverm) 2,22 %
5 5 46 39 5
Os percentuais solicitados são dados pela expressão:
A função
está tabelada no Anexo B ao �nal deste capítulo.
λ λT f(0 – λT) Δ × 100
μm μm K   %
0,33 1901 0,0521 5,2
0,38 2190 0,0991 4,7
0,78 4494 0,5633 46,4
2,22 12.792 0,9529 39,0
Portanto, 90 % da radiação emitida por um corpo negro a 5762 K, temperatura super�cial do Sol, é emitida no intervalo de comprimento de
onda 0,38 < λ < 2,22. Desse modo, é importante observar o comportamento ótico dos materiais (ρ, α, ε) nessa faixa de comprimento de onda.
Modelo simpli�cado para transferência de calor por radiação entre duas superfícies
cinzentas
Hipóteses:
As superfícies são cinza, ou seja, a fração da radiação de corpo negro emitida por essas superfícies em qualquer
comprimento de onda é constante, e sua potência emissiva é fornecida pela expressão:
em que ε consiste na emissividade da superfície.
As superfícies são especularmente difusas, ou seja, a intensidade de radiação é a mesma qualquer que seja a
direção.
As temperaturas são uniformes sobre as superfícies.
A energia radiante incidente sobre cada superfície é uniforme (independentemente da direção).
Sob essas condições, a troca líquida de calor entre elas pode ser avaliada pela expressão:
a)
sendo:
Q12 = taxa de energia radiante líquida trocada pela superfície 1 na temperatura T1 com a superfície 2 na temperatura
T2, em W;
Q21 = taxa de energia radiante líquida trocada pela superfície 2 na temperatura T2 com a superfície 1 na temperatura
T1, em W;
ε1 e ε2 = emissividades das superfícies 1 e 2, respectivamente, nas temperaturas T1 e T2;
A1 e A2 = área das superfícies 1 e 2;
F1-2 = fator de forma da superfície 1 para a superfície 2. (Nota: A1 F1-2 = A2 F2-1.)
Observe-se que se T2 > T1 Q12 > 0 indica que o corpo 1 recebe energia radiante nesse balanço, em caso contrário,
T2 < T1 Q12 < 0 indica que o corpo 1 cede energia nesse balanço.
Como exemplo de cálculo de fator de forma, a Figura 9.24 fornece a avaliação do Fator de Forma para dois
retângulos paralelos de dimensões idênticas, de acordo com Incropera e DeWitt (2003). Para as mais diferentes
geometrias, essa referência apresenta expressões matemáticas e ábacos que facilitam as estimativas.
Figura 9.24 Fator de forma para retângulos paralelos, conforme Incropera e DeWitt (2003).
Casos particulares importantes:
Dois retângulos paralelos muito próximos, como no caso de coletores solares planos nos quais se deseja avaliar
a troca de calor entre o vidro (superfície 1) e a placa absorvedora (superfície 2): A1 = A2 e F1-2 = 1, temos:
b)
9.2.5.7
a)
b)
b)
a)
a)
Quando a superfície 2 (céu) envolve completamente uma pequena superfície 1 (coletorsolar), sendo A1/A2 ~ 0 e
F1-2 = 1, temos:
Observe-se que o fato de a temperatura do céu T2 ser mais baixa que a da superfície do coletor T1, Q1 < 0 indica
que essa superfície está perdendo calor por radiação para o céu.
Resistência equivalente na radiação
Das expressões anteriores, podemos avaliar Rtr, a resistência térmica de radiação usada nos modelos de troca de
calor com diferentes componentes. De:
Podemos escrever, comparando com a expressão anterior, e deduzir
Da qual se pode obter, respectivamente, as expressões para os dois casos particulares citados.
Dois retângulos paralelos muito próximos A1 = A2 e F1-2 = 1:
Quando a superfície 2 (céu) envolve completamente uma pequena superfície 1 (coletor solar), sendo A1/A2 ~ 0 e
F1-2 = 1, temos:
Para outras geometrias, consultar Incropera e DeWitt (2003), ou o VDI Heat Atlas (2010) para estimar o valor do
fator de forma.
Exemplo 9.10
Estime a resistência térmica e o �uxo de troca de calor por radiação entre duas placas planas, paralelas, a inferior estando a T1 = 100 °C, e a superior
a T2 = 50 °C. As placas são muito extensas quando comparadas com o seu espaçamento e se comportam:
como corpos negros;
a inferior com emissividade ε1 = 0,2 e a superior com emissividade ε2 = 0,8.
Resolução:
Se os corpos forem negros, temos que: ε1 = ε2 =1. Aproximando o fator de forma F1-2 = 1, temos:
b)
9.2.5.8
T2 = 273 + 50 = 323 K; T1 = 100 + 273 = 373 K
hR = 5,6697 10
–8 (3232 + 3732) (323 + 373) = 9,6 W/(m2K)
Rtr = 1/hR = 0,10 (m
2K)/W
qR12 = hR (T2 – T1) = 9,6 (323 – 373) = –480 W/m
2.
No caso de não serem negros com emissividades ε1 = 0,2; ε2 = 0,8; e F1-2 = 1, teremos:
hR = 1,83 W/(m
2K)
Rtr = 1/hR = 0,55 (m
2K)/W
qR = hR (T2 – T1) = 1,83 (323 –373) = –91,5 W/m
2.
Observe-se que as propriedades óticas in�uenciam sobremaneira a troca de calor por radiação. Nesse exemplo, a resistência térmica é 5,5 vezes
superior à de corpos negros, e, consequentemente, o �uxo térmico seria trocado em apenas 19 % se os corpos fossem negros.
Radiação do céu. Temperatura equivalente do céu
O céu pode ser aproximado por um corpo negro na temperatura Tsky.
A troca de calor entre uma superfície 1 à temperatura T1, com área A1 de emissividade ε1 e o céu (S) é dada por:
A atmosfera é transparente na faixa de comprimento de onda entre 8 e 14 µm, onde se concentra a emissão de
radiação da superfície terrestre e de objetos em temperatura ambiente.
A estimativa da temperatura do céu isento de nuvens Tsky pode ser feita por expressões, conforme Duffie e
Beckman (2006), nas quais todas as temperaturas devem estar em K:
sendo Tar a temperatura do ar e Tdp, a temperatura de orvalho do ar.
A presença de nuvens tende a elevar a temperatura Tsky.
Exemplo 9.11
9.2.6
9.2.6.1
Estime a temperatura do céu isento de nuvens, em São Paulo, em um dia, com o ar a 15 °C e umidade relativa de 60 %.
Resolução:
São Paulo T = 15 °C, WR = 60 %. Da carta psicrométrica para São Paulo, temos: temperatura de orvalho Tdp = 7,8 °C = 280,8 K.
Usando as equações
Esses valores explicam o fato de os sistemas de coletores solares para aquecimento de água possuírem dispositivos para evitar o congelamento
da mesma em seu interior, através de drenagem, ou quando a inserção de anticongelantes for aplicável.
Transferência de calor por condução e convecção
Enquanto na transferência de calor por radiação, as superfícies envolvidas não necessitam de um meio material entre
si, a transferência de calor por convecção ocorre por uma combinação de fenômenos que envolvem o contato da
superfície com o meio fluido e as condições de escoamento do mesmo.
Fenômenos de transporte molecular
Transporte de massa molecular (Lei de Fick)
A Figura 9.25 mostra um frasco aberto na parte superior com um líquido A no fundo e o restante preenchido com
um gás B.
Na camada de gás imediatamente acima da superfície do líquido, o gás apresenta vapor do líquido no estado
saturado, com uma concentração C0 (mols/cm3) em X0. Sobre a boca do frasco, o gás escoa com uma concentração
do vapor de líquido de C∞ (mols/cm3) em X∞.
Figura 9.25 Esquema de difusão molecular de massa.
Observe a região do frasco compreendida pelas duas linhas tracejadas. Essa região possui uma concentração C,
da espécie A. Na linha tracejada inferior, as moléculas de A cruzam-se nos dois sentidos; contudo, estatisticamente,
o número de moléculas que cruzam no sentido ascendente é maior que o número de moléculas no sentido
descendente, uma vez que a concentração C é inferior à concentração abaixo daquela linha. Na linha tracejada
superior, o número de moléculas que cruzam no sentido ascendente é maior do que o número de moléculas que
cruzam no sentido descendente, pois a concentração C é maior que a concentração de A acima daquela linha. Desse
modo, a despeito do movimento errático das moléculas de A no gás B, existe um fluxo molecular ascendente que
resulta dos fatos mencionados. Esse fluxo molecular ascendente NAX , indicado na figura pela seta, não é
mensurável diretamente.
O fisiologista alemão Adolf Eugen Fick (1829-1901) propôs uma correlação entre essa grandeza microscópica
não mensurável e grandezas mensuráveis, conhecida como Lei de Fick,
em que:
NAX = fluxo molar do componente A na direção X, em mol/(m2 s);
CA = concentração do componente A, em mol/m3;
ΔCA = CA∞ – CA0;
ΔX = X∞ – X0, em m;
DAB = difusividade do componente A no meio B, em m2/s.
O fluxo molar do componente A na direção X é proporcional ao gradiente da concentração molar de A na direção
X e, no sentido contrário, do gradiente de concentração.
Transporte de energia térmica (Lei de Fourier)
A Figura 9.26 mostra um sólido de espessura e, no qual as temperaturas superficiais são, respectivamente, T1 e T2
com T1 > T2. Por esse fato, haverá um fluxo de calor q (W/m2) entre as superfícies, indicado pela seta.
O matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) desenvolveu a matemática para a
solução das questões de transferência de calor em sólidos e vibrações mecânicas, sendo atribuída a ele a descoberta
do efeito estufa.
O fluxo de calor na geometria da Figura 9.25 é dado pela chamada Lei de Fourier.
sendo:
q = fluxo de calor por condução, em W/m2;
k = condutibilidade térmica do sólido, em W/m ºC;
ΔT = T2 – T1, em ºC;
ΔX = X2 – X1 = e, em m.
Figura 9.26 Fluxo de calor por condução em um sólido.
Observe que o fluxo de calor pode ser escrito da seguinte forma:
em que:
qX (W/m2) = fluxo de energia, em J/(sm2);
ρcPT (kg/m3) (J/(kg K)) K = concentração de energia, em J/m3; α = difusividade térmica, em m2/s.
O fluxo de energia na direção X é proporcional ao gradiente da concentração de energia na direção X, no sentido
contrário do gradiente.
Observe a analogia entre a difusividade térmica e a difusividade do componente A no meio B, ambos medidos
em m2/s.
Transporte de quantidade de movimento molecular (Lei de Newton)
A Figura 9.27 mostra o escoamento de um fluido em contato com uma superfície sólida. A superfície sólida
coincide com o eixo X. O perfil de velocidades muito próximo da superfície está sendo aproximado como linear e,
em cada cota y, temos um valor da componente x da velocidade uX(y). Próximo à parede, uX(0) = 0.
Figura 9.27 Perfil de velocidades de escoamento em contato com superfície sólida.
Entre camadas de fluido com diferentes velocidades há, na direção Y, mistura molecular. Moléculas de uma
camada que vão para uma camada superior de velocidade de escoamento maior diminuem a componente X da
quantidade de movimento dessa camada, ou seja, existe um transporte, na direção Y, de quantidade de movimento
da componente X. O inverso se dá com moléculas de uma camada que vão para uma camada inferior, que aumentam
a componente X da quantidade de movimento dessa camada.
O fluxo de quantidade de movimento da componente X na direção Y é representado por τXY (kg m/s)/(m2 s) e
indicado pela seta da Figura 9.26. Essa grandeza originada da mistura molecular é avaliada por grandezas
mensuráveis pela expressão conhecida como Leide Newton da viscosidade:
em que:
τXY = fluxo de quantidade de movimento componente X transferida na direção Y, em N/m2 = kg (m/s2)/m2 = (kg
m/s)/(m2 s);
µ = viscosidade dinâmica do fluido, em kg/m s;
ΔuX = uX(y1) – uX(y2);
Δy = y1 – y2.
Podemos escrever a expressão da Lei de Newton da viscosidade na forma:
Observe-se que ρuX = concentração de quantidade de movimento, em (kg/m3) (m/s) = (kg m/s)/m3, e ν =
viscosidade cinemática, em m2/s. Ou seja, o fluxo de quantidade de movimento da componente X transferida na
direção Y é proporcional ao gradiente da concentração da quantidade de movimento na direção X, e no sentido
contrário desse gradiente.
Observe-se também que a viscosidade cinemática, a difusividade térmica e a difusividade do componente A no
gás B são medidas em m2/s.
9.2.6.2
a)
Analogia entre os transportes moleculares de massa, energia e quantidade de movimento.
Do exposto pode-se observar que os três fenômenos de transporte podem ser expressos na forma:
[Fluxo de massa ou energia ou quantidade de movimento] = – [propriedade de difusividade de massa ou térmica, ou
viscosidade cinemática] × [gradiente de concentração de massa ou energia ou quantidade de movimento].
Note-se também que as propriedades de difusividade de massa, térmica e a viscosidade cinemática são medidas
nas mesmas unidades.
Esse fato mostra uma analogia entre os três fenômenos de transporte que possibilita um equacionamento
matemático similar. O desenvolvimento aprofundado pode ser encontrado em Bird et al. (1960).
Expressões de troca de calor na forma adimensional
As expressões para cálculo dos coeficientes de troca de calor por convecção hC são apresentadas na forma de
adimensionais construídos a partir das características dos escoamentos combinados com os aspectos da difusão
térmica e quantidade de movimento no contato entre fluido e superfície sólida. Um maior desenvolvimento desse
assunto é encontrado em Incropera (2003) e Bird (1960).
Convecção natural
A troca de calor por convecção natural ocorre quando o campo de velocidades do escoamento se estabelece devido à
diferença de densidades no meio fluido.
O fenômeno
A Figura 9.28 apresenta um esquema simplificado para explicar os fundamentos da transferência de calor entre duas
placas planas e paralelas, por convecção natural, estando a inferior na temperatura T1 e a superior a T2, com T1 > T2,
sendo o espaço entre elas preenchido por um fluido.
Como T1 > T2, haverá um fluxo de calor da placa inferior para a placa superior, fluxo composto por uma parcela
de radiação e por outra de convecção natural.
A parte inferior esquerda dessa figura mostra uma macropartícula de fluido em contato com a placa inferior. Por
condução de calor intensificada pela difusão molecular, essa partícula recebe energia térmica, com isso sua
temperatura aumenta e a partícula se expande, ficando com uma densidade menor que o fluido em seu entorno.
Nessa situação, a força de flutuabilidade FB tem sentido para cima e faz a partícula fluida se deslocar. Opõe-se a
esse movimento a força viscosa de sentido contrário à velocidade da partícula fluida. Desse modo, essa partícula
fluida sobe com velocidade V até encontrar a placa superior que está na temperatura T2, menor que a dela. Nessas
condições, a partícula fluida troca calor com a placa superior por condução intensificada pela difusão molecular.
Com isso, a partícula fluida tem a temperatura diminuída e se contrai pelo aumento de sua densidade, que aumenta
em relação às das partículas em seu entorno. Nesse caso, a força de flutuabilidade FB tem sentido para baixo e a
partícula fluida desce. A força viscosa que se opõe ao sentido da velocidade agora se encontra voltada para cima. A
partícula encontra a placa inferior e o ciclo recomeça. Na figura, uma linha tracejada representa essa circulação de
fluido que se estabelece em função das diferenças de densidade entre as duas placas.
b)
Figura 9.28 Esquema simplificado de transferência de calor entre duas placas paralelas por convecção natural.
O número de Grashof (Gr)
O campo de velocidades desse fenômeno é estabelecido pelo balanço entre forças de flutuabilidade e viscosidade.
A força de flutuabilidade (buoyancy force) resulta da diferença entre a força de empuxo sobre a partícula e seu
peso, e pode ser dada pela Equação (9.111):
Utilizando-se a definição do coeficiente de expansão volumétrica β′ do fluido:
temos:
Desse modo, pode-se exprimir a força de flutuabilidade FB como:
Por sua vez, a força viscosa FV pode ser expressa como:
De forma geral, podemos expressar dimensionalmente qualquer força, como:
Portanto, tem-se:
c)
d)
e)
ou seja, dimensionalmente se tem:
e, por isso:
O campo de velocidades na convecção natural se estabelece pelo balanço entre a força de flutuabilidade e a
força viscosa. A razão entre as duas é denominada número de Grashof, em homenagem a Franz Grashof (1826-
1893), engenheiro alemão do Technishe Hochschule Karlsruhe, um dos precursores dos estudos de transferência de
calor por convecção.
Tem-se:
O número de Prandtl (Pr)
Por sua vez, a intensificação da transferência de calor por condução pela difusão molecular envolve a difusão
viscosa e a difusão térmica. A razão desses dois coeficientes é denominada número de Prandtl (Pr) em homenagem
a Ludwig Prandtl (1875-1953), cientista alemão pioneiro no desenvolvimento matemático da aerodinâmica com o
conceito de camada limite.
O número de Rayleigh (Ra)
A convecção natural, nas correlações adimensionais, é expressa então por uma combinação dos números de Gr e Pr,
sendo o produto desses números denominado número de Rayleigh. Esse nome é homenagem a John Willian Strud,
Terceiro Barão de Rayleigh (1842-1919), físico inglês, Prêmio Nobel de Física em 1904. Assim:
O número de Nusselt (Nu)
A resistência térmica por convecção Rtc possui o valor do inverso do coeficiente de convecção hc. Na forma
adimensional, o coeficiente de convecção é dado pelo número de Nusselt. Ernst Kraft Wilhelm Nusselt (1882-1957)
foi um engenheiro alemão que colaborou no desenvolvimento da análise dimensional aplicada à transferência de
calor.
O número de Nu foi definido em função da intensificação da condução pura, consistindo na razão entre o
coeficiente de convecção (hC) e o coeficiente de condução (k/e)
f)
a)
b)
c)
d)
Dessa forma:
Todos os experimentos visando à determinação de correlações de troca de calor por convecção natural para
diferentes geometrias são expressos na forma:
na qual L e L′ são dimensões que caracterizam a geometria, podendo também ser um ângulo.
Convecção natural entre duas placas paralelas inclinadas
A convecção natural entre duas placas paralelas e inclinadas com um fluido em seu interior foi estudada e publicada
por K. G. T. Hollands, E. Unny, G. D. Raithby e L. Konicek, em Transactions of the American Society of
Mechanical Engineers, Free Convection Heat Transfer Across Inclined Air Layers, Journal of Heat Transfer, 98,
189-193, 1976.
A correlação a que chegaram é dada por:
em que:
+ usar o valor se o número no colchete for positivo, e usar zero se negativo;
ΔT = diferença de temperatura entre as placas;
Avaliar propriedades ν, α e β′ na temperatura média das placas;
L = distância entre as placas.
Para gás perfeito (com em Kelvin):
Exemplo 9.12
Estime o �uxo de troca de calor entre duas placas planas paralelas, a inferior estando a T1 = 100 °C e a superior a T2 = 50 °C, nas seguintes
condições:
Posição horizontal, espaçamento e = 20 mm;
Posição horizontal, espaçamento e = 50 mm;
Posição inclinada a 45°, espaçamento e = 20 mm;
Inclua uma comparação com troca de calor por condução e radiação.
Hipóteses:
a)
As placas são muito extensas quando comparadas com o seu espaçamento e se comportam como corpos negros. O espaço entre as placas é ocupado
por ar a 1 atm. Propriedades do ar a 75 °C: k = 30,0 10–3 W/(mK); = 1/348 = 2,874 10–3 K–1; ν = 20,92 10–6 m2/s; α = 29,9 10–6
m2/s.
Resolução:
A Figura 9.29 mostra um esquema no qual a placa inferior está a T1 = 100 ºC, e aplaca superior a T2 = 50 ºC. Haverá um �uxo de calor q (W/m
2) da
placa inferior para a placa superior, por meio dos mecanismos de convecção natural e radiação, de modo que:
q = qC + qR
Avaliação de qC = hC (T1 – T2) = (T1 – T2)/RTC
A temperatura na qual as propriedades do ar deverão ser avaliadas será TM = (T1 + T2)/2 = 75 ºC. Temos para o ar: k = 30,0 10
–3 W/(mK); 
 = 1/348 = 2,874 10–3 K–1; ν = 20,92 10–6 m2/s; α = 29,9 10–6 m2/s.
Figura 9.29 Esquema para troca de calor entre duas placas paralelas. O fluxo por condução é hipotético.
Cálculo do número de Ra:
Ra1, espaçamento e = 20 mm, ou seja, L
3 = (20 10–3)3 = 8 10–6 m3 e ΔT = 50 K.
Ra1 = (9,8 × 8 10
–6 × 2,874 10–3 × 50)/(20,92 10–6 × 29,9 10–6) = 1,80 104.
Ra2, espaçamento e = 50 mm, ou seja, L
3 = (50 10–3)3 = 1,25 10–4 m3 e ΔT = 50 K.
Ra2 = (9,8 × 1,25 10
–4 × 2,874 10–3 × 50)/(20,92 10–6 × 29,9 10–6) = 28,14 104.
O número Pr = ν/α = (20,92 10–6 / 29,9 10–6) = 0,70.
Podemos também calcular Gr = Ra/Pr:
Gr1 = 2,576 10
4 e Gr2 = 40,26 10
4
A Tabela 9.4 apresenta o valor de Nu calculado pela expressão de Hollands e os valores de hC e RTC para cada uma das condições solicitadas.
É apresentado o resultado para RTR, calculado pelas expressões de radiação e Rtk da condução hipotética.
O valor da resistência térmica equivalente a Rt foi calculado pela condição de resistências térmicas em paralelo:
•
•
 ou Rt = 0,0708 m
2 K/W, valor numérico do caso (a). De maneira
semelhante, foram calculados os casos (b) e (c).
Os �uxos de calor foram calculados, respectivamente, pelas expressões:
qC = (T1 –T2)/RTC
qR = (T1 – T2)/RTR
q(soma) = qC + qR
q = (T1 – T2)/RT
Tabela 9.4 Resultados para as diferentes condições
  T1 T2 e β Tm Tm β′103 k 103 ΔT v106 α106
  °C °C mm ° °C K K–1 W/(mK) K m2/s m2/s
a 100 50 20 0 75 348 2,874 30,0 50 20,92 29,9
b 100 50 50 0 75 348 2,874 30,0 50 20,92 29,9
c 100 50 20 45 75 348 2,874 30,0 50 20,92 29,9
  Pr Gr 10–4 Ra 10–4 Nu hC Rtc =
1/hC
Rtr =
1/hR
Rt =
1/U
Rtk =
e/k
   
          W/m2K m2K/W m2K/W m2K/W m2K/W    
a 0,70 2,576 1,80 2,75 4,12 0,243 0,10 0,0708 0,67    
b 0,70 40,26 28,14 5,06 3,04 0,329 0,10 0,0767 1,67    
c 0,70 2,576 1,80 2,38 3,57 0,280 0,10 0,0737 0,67    
  qC qR q (soma) q qC/q qR/q qK qC/qK qi/qa
  W/m2 W/m2 W/m2 W/m2 % % W/m2 % %
a 206 500 706 706 29 71 74,6 276 100
b 1 52 500 652 652 23 77 29,9 508 92,3
c 178 500 678 678 26 74 74,6 238 96,0
Nota: na última coluna qi, i = a, b, c; qa = 706 W/m
2.
Observe-se que, nesse exemplo, quando se comparam as situações:
a inclinação 0º com c inclinação 45º, o �uxo por convecção diminui de 206 W/m2 para 178 W/m2.
a espaçamento 20 mm com b 50 mm, o �uxo por convecção diminui de 206 W/m2 para 152 W/m2.
9.2.6.3
a)
Percebe-se também a importância das propriedades óticas dos materiais, pois, se as placas se comportarem como corpos negros, a radiação
será responsável por mais de 70 % do calor trocado, como mostra a coluna qR/q.
Apesar de o ar ser um bom isolante térmico, observe-se o erro de não considerar a convecção natural, supondo que a troca se dê por condução.
O �uxo de calor por convecção é 2 a 5 vezes maior do que se fosse apenas por condução, como mostra a coluna qC/qk.
Transferência de calor por convecção forçada
A troca de calor entre um fluido e uma superfície sólida é chamada de convecção forçada quando o campo de
velocidades do fluido é imposto por um agente externo ao escoamento, por exemplo, quando o escoamento de água
no interior de um tubo é imposto pela ação de uma bomba.
Conceito de convecção forçada
A Figura 9.30 mostra uma superfície sólida, por exemplo, a parede de um tubo de seção transversal circular, na
temperatura TS. O fluido escoa em seu interior, por exemplo, pela ação de uma bomba, com um perfil radial de
velocidades na direção axial, onde se distinguem três regiões: núcleo turbulento, zona de amortecimento e
subcamada laminar. A espessura dessas regiões está representada de maneira didática, sendo as espessuras da zona
de amortecimento e a da subcamada laminar muito pequenas.
Figura 9.30 Conceito de convecção forçada.
No centro do tubo, a velocidade do escoamento é u∞ e decresce radialmente até zero junto à parede. No núcleo
turbulento ocorre mistura intensa de macropartículas de fluido, na zona de amortecimento ocorre uma mistura
moderada de macropartículas de fluido, e na subcamada laminar há apenas mistura de fluido no nível molecular.
Se no centro do tubo a temperatura for T∞, maior que a temperatura TS da superfície do tubo, haverá um fluxo de
calor q (W/m2) do fluido para a parede do tubo. Esse fluxo de calor q é expresso por:
no qual hc (W/(m2 ºC)) é o coeficiente de troca de calor por convecção forçada entre o fluido e a parede sólida, e seu
valor é o inverso do valor da resistência térmica por convecção forçada Rtc = 1/hc ((m2 ºC)/W).
Tanto no núcleo turbulento como na zona de amortecimento, a energia é transportada por mistura de
macropartículas de fluido, porém, na subcamada laminar, a energia é transportada pelo mecanismo de condução de
b)
c)
calor intensificado pela difusão molecular. Esse último mecanismo é o que oferece maior resistência ao fluxo de
calor, sendo aquele que controla sua intensidade. Disso se depreende a importância da subcamada laminar na troca
de calor por convecção forçada.
Número de Reynolds (Re)
Osborne Reynolds (1842-1912) foi um estudioso da mecânica dos fluidos e troca de calor. Um de seus estudos mais
conhecidos foi a transição do escoamento laminar para o escoamento turbulento.
Um campo de velocidades imposto por um agente externo resulta da ação entre forças inerciais que podem ser
representadas por L2ΔP e forças viscosas. A razão entre essas forças foi denominada número de Reynolds (Re).
Para um tubo circular de diâmetro D:
Para escoamento no interior de tubos, os estudos de Reynolds estabeleceram o seguinte critério:
Regime laminar Re < 2200, no qual há apenas difusão molecular.
Regime turbulento Re > 4000 (turbulência plena Re ~ 10000), no qual há mistura de macropartículas de fluido.
A Figura 9.31 ilustra a diferença entre os perfis de velocidade para o escoamento turbulento e o escoamento
laminar no interior de um tubo de seção transversal circular.
Troca de calor entre um fluido e a parede de um tubo
Como comentado anteriormente, a maior resistência ao fluxo de calor é oferecida pela subcamada laminar, na qual o
transporte de energia se faz por condução intensificada pela difusão molecular. Dessa maneira, exprime-se o
coeficiente de troca de calor por convecção forçada na forma:
Figura 9.31 Exemplo de perfis de velocidade laminar e turbulento.
O número de Nusselt (Nu), por sua vez, é função da razão entre as taxas de difusão viscosa e térmica dadas pelo
número de Prandtl (Pr), e do campo de velocidades imposto por agente externo dado pelo número de Reynolds (Re).
Portanto, Nu é expresso na forma:
Em regime turbulento, uma expressão recomendada pelos experimentos de Petukov (1970), válida para 0,5 ≤ Pr
≤ 2000 e 104 ≤ Re ≤ 5 106 e propriedades do fluido avaliadas na temperatura TM = 0,5 (T∞ + TS) que faz estimativas
com erros da ordem de 10 %, é dada pela Equação (9.134).
em que f, fator de atrito, é dado por:
Para tubos não circulares é possível usar o conceito de diâmetro hidráulico:
Uma correção deverá ser introduzida no caso de tubos curtos, L/DH < 50
Muito cuidado deve ser tomado em associações de coletores solares para que o escoamento no interior dos tubos do
coletor não fique com Re < 2200, uma vez que, nesse caso, o coeficiente de troca de calor por convecção forçada
diminui muito, prejudicando o rendimento térmico do sistema.
O coeficiente de convecção entre um fluido e a parede de um tubo de seção circular em regime laminar Re <
2200 pode ser estimado pelas expressões seguintes:
Temperatura constante de parede Nu = 3,7
Fluxo de calor constante Nu = 4,4
Exemplo 9.13
Foi-lhe enviado um relato de que um coletor solar plano para piscina possui tubos de cobre cobertos com uma placa muito