integrais de linha

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a) JJJz dxdydz, onde 
w 
W = {(x, y, z) E JR3 I x2+ y2 + z2 :S 1, z 2: 0, x 2+ y:.! 2: ~}. 
b) JJJdXd~dz , onde W e 0 solido limitado pelas superficies z = 
W 
vix2+ y2, Z = J1- x2 - y2 e z = vi4 - x2 - y2. 
c) JJJz dxdydz, onde W e 0 solido limitado pelas superficies z = 
W 
vlx2+ y2, Z = vl3(x2+ y2) e x2+ y2 + z2 = 4. 
d) JJJxyz dxdydz, onde
 
w
 
x2 y2 z2 
W = {(x,y,z) E JR312 + b2 + 2" :S 1,x 2: O,y 2: O,Z 2: O}.a c 
e) JJJ(x2 + y2 + z2)~dxdydz, onde W ea regiao dada por: 
w
 
i) W = {(x,y, z) E JR3 I x2+ y2 + z2 :S a2}.
 
ii) W = {(x, y, z) E JR3 I x2 + y2 + z2 :s x}. 
f) 2 dXd;dz '), onde W e 0 solido definido porJJJ 
x +y +z 
w 
W = {(x, y, z) E JR3 I x2+ y2 + z2 :s 2y, z :s vix2+ y2, Y 2: x e x 2: O}. 
g) JJJxdxdydz ,onde 
w 
W = {(x,y,z) E JR314:S x2 + (y -1)2 +z2 :s 9,x 2: O,Z 2: o}. 
5. Sabendo que a densidade em cada ponto de urn solido W e dada por 
j(x, y, z) = 2 \ '), determine a massa de W quando 
x +y +z 
W = {(x,y,z) E JR3 1x2 + y2 + z 2 :s 9 e x2+ y2 + z2 2: 2y} . 
... 
,.
,:' 
INTEGRAlS DE LINHA 
A integral l bj(x)dx de uma func;ao real de uma variavel real podl HI' 
p;eneralizada de varios modos (urn deles ja visto no capItulo 5). Vma Ilntr... 
lizac;ao que possui diversas aplicac;6es importantes, inclusive na Ffllc&, • & 
Integral de linha, a qual descreveremos a seguir. 
§6.1 Integral de linha de fun~ao escalar 
Sejam j : JR3 ---t JR uma func;ao real e C uma curva em JR3, deflnld.. pili 
func;ao 
u : I = [a, b] ~ JR3 
t ~ u(t) = (x(t), y(t), z(t)). 
Para motivar a definic;iio de integral de linha de j ao longo de 0, VImOI 
supor que C representa urn arame e j(x, y, z) a densidade (massa por unldldl 
de comprimento) em cada ponto (x,y,z) E C. Queremos calcular & mlll& 
total M do arame. 
Para isto, dividamos 0 intervalo I = [a, b] por meio da partictlo rtlUl. 
de ordem n a = to < tl < ... < ti < ti+l ... < tn = b, obtendo wlm Umi 
decomposic;iio de Cern curvas Ci definidas em [ti, ti+l], i = 0, ... , n - 1, como 
na figura 6.1. 
(T(t) 
-?-'-.: y• 
Figura 6.1 
IT--­
b 
:L f(U(Ui)) II U'(Ui) II b..ti. 
f(u(t)) II u'(t) Il dt. 
Consideremos uma curva e em lR3 , parametrizada por 
= (x(t),y(t),z(t)), t E [a,b], onde u e de classe e l , e f(x,y,z) uma 
A soma Sn e uma soma de Riemann da func;ao f (u (t)) II u' (t) II no interval, 
[a, b]. Logo, se considerarmos f(x, y~ z) continua em e, entao 
1 
II u'(t) II dt. 
Pelo teorema do valor medio para integrais, existe Ui E [ti, ti+1] tal q' 
ti) =11 U'(Ui) II b..ti, onde b..ti = ti+l - ti. Quando 
e grande, b..si e pequeno e f(x, y, z) pode ser considerada constante em Ct 
igual a f(U(Ui))' Portanto, a massa total M e aproximada por 
Supondo que u(t) e de classe el, e denotando por b..si 0 comprimento 
,91A:> real continua em O. DeftnlmOi a Integral de llnha de J ao loap 
it!­
C por 
fc fds = fc f(x, y, z)ds = l bf(u(t)) II u'(t) II dt. (8.1) 
a = to f, t 2 t l t l + 1 In = Esta formula ainda e valida se u e e1 por partes ou f 0 u e conUnu.. 
pur partes. Neste caso, a integral fc f(x, y, z)ds e calculada dividindo-u 0 
Int.crvalo [a, b] em urn numero finito de intervalos fechados onde 
1((T(t)) II u'(t) II e continua. 
No caso particular em que f(x,y,z) = 1 se (x,y,z) E 0, obtemolS, pel.. 
f(mnula (6.1), 
bfa ds = l II u'(t) II dt = comprimento da curva e. 
curva ei, tem-se 
b..si = 1;ti+ 
Exemplo 6.1: Calcule L(x2 + y2 + z2)ds, onde e e a helice definida por 
= (cos t, sen t, t), 0 :S t :S 21r.b..si =11 U'(Ui) II (ti+l ~ 
Solu~ao: u'(t) = (x'(t),y'(t),z'(t)) = (-sent,cost,1). Portanto, rJ ~ de 
dasse e l em [0,21r] e II u'(t) 11= vsen2 t + cos2 t + 1 = V2. Como f l§ 
n-l continua, entao de (6.1) segue que 
Sn = 
i=O [ fW 2 2 [kic(x2+ y2 + z2)ds = io (cos2 t + sen t + t )v'2dt = v'2 io (1 +t~)dt • 
t3] 2w 2V21r 
= V2 t+"3 0 = -3-(3 + 41r ).[
2 
M = lb Se pensarmos na helice como urn arame e f (x, y, z) = x2 + y2 + z~ como I 
densidade de massa no arame, entao a massa total do arame e 2V;1r (3 +4fl'8) ,Defini~ao 6.1: 
u(t) 
II a'(t) II 
(~ 
10Iu';80: 
JlOIl!'O 
Vis!.o que a'(t) 
l'IlI~SC 
no plano xy defini 
Se para pint 
qu 
do clastl8 
'f.",	 
,;
.:­
Urn caso particular da integral de llnha dC!lf!nlc!& tm (0.1) ()(~orre A ba~c da cerca no prinwil'o (' s(~gundo quadmntos ea porc;ic de" tfI 
a curva C e uma curva no plano xy definidn por llum fllll~lio c1lu]u, por a(t) ;:::: (30cos3t, 30sen3t), 0 ::::: t ::::: 7T, e a altura da corea em cada 
a(t) = (x( t), y( t)), a ::::: t ::::: b, e f(x, y) euma fun<;ao real continua definida (x, y) e f(x, y) ;:::: 1 + ~ (figura 6.3). 
C.	 = (x'(t),y'(t)) ;:::: (-90cos2tsent,90sen2 tcost), entiio (1 ~ d. 
Neste caso, a integral de linha de f ao longo de C e C 1 e 
b ;:::: J(x'(t))2 + (y'(t))2 = J(90)2cos4tsen2t+ (90)2sen4-tcoH~t,.fc fds = fc f(x, y)ds = l f(x(t), y(t)) II a'(t) II dt. 
Quando f(x, y) .:2: 0 em C, af6rmula (6.2) tern como interpreta<;ao geom = J(90)2 sen2 t cos2 t ;:::: 90 I sen t cos t I . 
a "area de uma cerea" que tern como base a curva C e altura f(x, y) em C z 
flll,Y)'1 • Y (x, y) E C (figura 6.2). Deixamos a justificativa desta interpreta<;ao par 
~3
leitor. 
z 
(fit) =130COs3 t,30sen3 U 
y 
f(ICCtl.yfU) 
) 
y 
Figura 6.3 
Como f econtinua, a f6rmula (6.2) garante que a area da metade da cercaFigura 6.2 
Exemplo 6.2: A base de uma cerca e uma curva C fc (1 +~) ds = 90 fa1r (1 + 10 sen3 t) Isen t cos t Idt ;:::: 
por x(t) = 30,C083 t, y(t) = 30sen3 t, 0 :S t ::::: 27l', e a altura em cada pan' 
[r/
2	 r . ]4 
(x, y) E C edada pur f(x, y) ;:::: 1 + I ~ I (x e y em metros). =90 io (sent+l0sen4 t)costdt- Irr/}sent+lOsen t)costdt ­
cada m2 urn pintor cobra p reais, quanto 0 pintar cobrani para pintar a cere 2 . ] 1r/2. • sen t	 1 
;:::: 180 -2- + 2 sen 5t 0 ;:::: 180 (2 + 2) = 450. 
[ 
___sd 
2 2A area total da cerca e2 x 450 m = 900 m
econtinuo em D se as fun<;oes F i : Dc JRn 
Se CT' e continua em [a, b] 
~ 
b 
F(CT(ti))' b..si ~ 
'--
b..si ~ 
F : D C JRn -> JRn 
X= (Xl,"',X n ) f-> F(x) 
( 
n-l
W = lim 
n--++oo L 
i=O 
I, ,'+'D 
Supondo que CT'(t) existe para todo t 
*Um campo vetorial 
derivada, temos que 
Assim, 0 
ao longo de C e 
Portanto, 0 
CT(ti+l) e aproximadamente 
pequeno, 0 deslocamento. da 
= CT(ti+l) - CT(ti)' 
e, portanto, 0 pintor cob:, 
(F1(x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z)) 
= (x(t), yet), z(t)) 
ponto A ao ponto B e F ~ 
trabalho realizado por F ao deslocar uma 
= [a, b] 
= 
= (X(ti),y(ti),Z(ti)), 
'# 
900p reais. 
§6.2 Integral de linha de campo vetorial 
(T'(t 11611 
Sejam , 
F :]R3 ----t]R3
 
(x, y, z) t------t F (x, y, z) =
 
urn campo vetorial e C.uma curva em ]R3, definida por CT(t) 
t E [a,b]. Figura 6.4 
Para motivar a definic;ao de integral de linha de F ao longo de C, supo­
E [a, bl, entao, pela deftni~lo d' 
nhamos que F representa urn campo de forc;as e calculemos 0 trabalho realizado 
pela forc;a F ao deslocar uma partfcula ao longo de C. 
CT'(ti)b..(ti). 
Quando C e urn segmento de reta ligando 0 
trabalho realizado para deslocar uma particula de C1(t~) It' 
uma forc;a constante, sabemos que 0 
particula ao longo de C e dado por 
(F(CT(ti))' CT'(ti))b..ti 
W = F . AB = (forc;a na direc;ao do deslocamento ) x (deslocamento). 
trabalho W realizado pela forc;a F para deslocar uma p&1'ttClul& 
Quando C nao e urn segmento de reta, podemos aproxima-Ia por uma linha 
poligonal com vertices em C do seguinte modo: dividimos 0 intervalo I 
)
"(F(CT(ti))' CT'(ti))b..ti . por nieio de uma partic;ao regular de ordem n, a = to < ... < ti < . . . < tn 
b, obtendo assim uma linha poligonal de vertices CT(ti) e F(x, y, z) e continuo· em C, 0 limite aclma 
i = 0, ... ,n - 1 (figura 6.4). 
Como, para n grande, b..ti = ti+l - ti e 
particula de O'(ti) ate CT(ti+l) e aproximado pelo vetor b..si = (H(x),···,Fn(x)) 
e F pode ser considerada constante e igual a F(O'(ti)) no intervalo [ti, ti+l]. -> JR'siio contfnuas em D, i = 1," 'In, 
I 
existe e e igual a 
(Ii
W = la (F(u(t)) . u'(t))d1" 
Definic;ao 6.2: Consideremosuma curva C em lR3 parametrizada 
II,) 
h)
c 
(x(t), y(t)), 
por O'(t) 
(x(t), y(t), z(t)), t E [a, b], onde u e de classe c1, e F(x, y, z) = (F1 (x, y, z), 
F2(x, y, z), F3 (x, y, z)) urn campo vetorial continuo definido em C. Defini 
a integral de linha de F ao longo de C pOl' 
fc F· dr = i\F(U(t)). u'(t))dt 
(no integrando acima F(a(t)) . u'(t) denota 0 produto escalar de F(u(t)) p 
u'(t)). 
Se a curva C e fechada, isto e, se u(b) = u(a), a integral de linha e denotad 
pOl' f~ F· dr. 
Como no caso da integral de linha de uma fun<;ao escalar, a formula (6.3 
ainda e valida se F(a(t)) . u'(t) e continua pOl' partes em [a, bJ. 
Se usarmos as componentes de F e de a, a equa<;ao (6.3) se escreve 
bfc F· dr = i F1 (a(t))x'(t)dt + F2 (u(t))y'(t)dt + F3(U(t))z'(t)dt. 
POl' esta raziio, e usual denotar-se a integral de linha pOl' 
{ F· dr = (. F1dx + F2dy + F3dz.lc lc 
Quando C e uma curva no plano xy parametrizada pOl' a(t) = 
t E [a, bJ, a integral de linha de F(x, y) = (Fl(X, V), F2(X, V)) ao longo de Ce 
dada pOl' 
bfc F· dr = fc F1dx + F2dy = i H (u(t))x'(t)dt + F2(U(t))y'(t)dt. 
, 
£ 
... l~ 
xemplo 6.3: Calcule rF I dr, Ondtl 1"(x, V, z) = (x, Y, z) C C ~ a curva.Ic 
plLrumetrizada POl' u(t) = (/:len t, COH t, 1;), 0 ~ t ~ 271". '" 
loluc;ao: Como F e continua em JR3 e a'(t) = (cost, - sen t, 1) econUnua 
11m [0,271"], usando (6.3) temos 
27rfc F . dr = 1 (sen t, cos t, t) . (cos t, - sen t, l)dt = 
27r 27rr r= lo (sentcost- sentcost+t)dt= lo tdt=271"2. 
Exemplo 6.4: Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) • 
(x2 - 2xy, x3 + y) de (0,0) a (1,1) ao longo das seguintes curvas: 
0 segmento de reta C1 de equa<;oes parametricas x = t, Y = t, 0 ~ t ~ 1. 
2 3A curva C2 de equa<;6es parametricas x = t , Y = t , 0 ~ t ~ 1. 
Soluc;ao: Para a), temos u(t) = (t, t). Entiio u'(t) = (1,1) e 
F(u(t)) = (-tz,t3 +t). Portanto, pOl' (6.4), 
3 4 2
1 [-t t t ]1 5r F. dr = r (_t2+t3 + t)dt = - + - + - =-,
lCI lo 3 4 2 0 12 
Para b), temos u(t) = (t2, t3). Entiio u'(t) = (2t,3t2) e F(a(t)) = (t4 - 2t8, 
t6 + t 3 ). Logo, pOl' (6.4), 
1 [5t6 4t7 t9] 1 2&
F· dr = (2t5 - 4t6 + 3t8 + 3t5 )dt = - - - + ~ =-, 
C2 0 6 7 3 0 42 
Este exemplo mostra que a integral de linha de urn campo vetoriaJ d. um 
ponto a outro depende, em geral, da curva que liga os dois pontos. 
1 1
Vamos agora calcular 0 item b) mais uma vez, usando uma representa;1o 
parametrica diferente para a curva C2 . A curva C2 pode ser descrlta pl1& 
fun<;iio 
(3(t) = (t, t3/2) O~t~1. 
_ rid 
Como (3' (t) = (1, ~t1!2) e F({3( t)) ~ (t 2 - 2t&/~, t3 +tala" obt,ClmOH, par ( 
1	 1r	 r ( 2 3;j )Jo F({3(t)) . {3'(t)dt = J t - 2t5!2 + 2t7 !2 + 2t2 dt = 
o
 
5t3 _ 4t7!2 + t9!2] 1 = 25.
 
[ 6 7 3 0 42 
Acabamos de observar no exemplo acima que 0 valor da integral r F·
JC2 
eo mesmo para as duas pararnetriza<;6es da curva C2 . Esta e uma propried 
importante das integrais de linha que provaremos a seguir. 
Lembremos que (ver Cap.1, p.25) se CT(t) (a :S: t :S: b) e (3(t) (c :S: t ~ 
sao duas parametriza<;6es equivalentes da curva C, entao existe uma fun~ 
h : [e, d] -+ [a, b]'	 bijetora e de classe C1, tal que f3(t) = CT(h(t)). 
Se h e crescente, dizemos que h preserva a orienta<;ao, isto e, uma partfcul, 
que percorre C com a parametriza<;ao f3(t) se move no mesmo sentido que 
particula que percorre C segundo a parametriza<;ao CT(t). 
dizemos que h inverte a orienta<;ao. 
Teorema 6.1: Sejam CT(t) (a :S: t :S: b) e f3(t) (c:S: t:S: d) parametrizar;oes 
C1 por paries e equivalentes. 
Se h preserva a orientar;ao, entao 
r F. dr = r	 F· dr 
JCfi Jc" 
Se h inverie a orientar;ao, entao 
r F. dr = - r	 F· dr. 
JCfJ Jc" 
(C(3 e CO' denotam a curva C parametrizada por (3(t) e CT(t), respectiva­
mente). 
- £ 
.~,Demonstreu;lol t ~Uiliii,' PI'OYM.r 0 LtlOf()ma para O'(t) e ~(t) de cl"'l 
.:>J 
Cd. SuponhamoH qUlI "'" Jll\fltlllnt,rizft~()m; (1(t) e ('J(t) C!:ltao rcbtdanadu pl1& 
. C1QUfl,<;ao (3(t) = CT(h(t)), /. f le, el]. Entao, 
rd	 d 
l
I' F. dr = F({3(t)) . (3'(t)dt = r F(CT(h(t)))· CT'(h(t))h'(t)dt.
 
.fCE Jc lc
 
Fa,zendo a substitui<;ao u = h(t), du = h'(t)dt, obtemos
 
h(d) ,
 
F· dr = F(CT(U))' CT'(u)du = 
CE h(c)' 
= {.1: F(a(u))· 
1 
a'(u)du = leo F· dr, se h preserva a orienta<;io, 
r F(CT(U))' CT'(u)du = - r F· dr, se h inverte a orientaA;Bo. 
lb	 lCa 
Como caso particular deste teorema temos que
 
r F. dr = - r F· dr,
lc- lc
 
onde C- e a curva C com orienta<;ao oposta, isto e, h(t) = -t.
 
No ~aso de fun<;ao escalar temos que 
r fds = r fds,
lCfi lCa
 
se f3(t) e CT(t) sao parametriza<;6es c1 por partes e equivalentes da curv& 0,
 
Podemos ainda destacar as seguintes propriedades da integral de Unhll 
(i)	 Linearidade.
 
fc (aF + bG) . dr = a LF . dr + b fc G . dr,
 
onde a e b sao constantes reais. 
(ii) Aditividade. Se C admite uma decomposi<;ao num numero finito dl 
curvas
 
C1 ,"', Cn, isto e, C = C1 u··· U Cn, entao
 
1p. dr' =:= t l. F . dr. 
c 'i=I' (., 
A prova destas propriedades segue imediatamente da definic;OO de integri 
de linha, e a deixamos como exercicio para 0 leitor. 
Exemplo 6.5: Considere C a fronteira do quadrado no plano xy de vertic 
(0,0), (1,0), (1,1). e (0,1), orientada no sentido anti-honirio (figura 6.5). 
Calcule a integral de linha Ie x2dx + xydy. 
y 
10,1!" 
c, 
III eC1,1I 
C4 • c~ 
10,01 c, 11,0) 
x 
Figura 6.5 
SoluC$ao: A curva C edetomposta emquatro segmentos de reta que podem, 
ser parametrizados do seguinte modo: 
Ch: O"I(t) = (t,O), °OS; t OS; 1. 
C2: O'2(t) = (1, t), oos;.t OS; 1. 
C3 : (T3(t) = (-t, 1), -1 OS; t OS; O. 
C4 : (T4(t) = (0, -t), -1 OS; t OS; O. 
...
 
..._-~-------------. 
,~ 
t J , 1I :r2dx + :r;ydy = 10 t'2df; = 3'lCI 
f x2dx + xydy = 
1 
tdt = -
1 
lcz 1o 2' 
O
f x2dx + xydy = f - t'2dt = _!.
lC3 1-1 3 
0
f x2dx + xydy = 1Odt= O. 
-1lC4 
Logo, 
2 1 1 1 1'1 x dx + xydy = - + - - - + °= -. c 323 2 
Em geral, a integral de linha de urn campo vetorial F ao longo d. uml 
(~urva C que liga os pontos A e B depende da curva C (veja 0 exemplo 6,4), Nc 
cmtanto, para alguns campos vetoriais, a integral depende apenas do. ponto 
A e B e nOO da curva que os liga. Neste caso, dizemos que a integral de llnhl 
independe do caminho que liga A a B. 
Que campos vetoriais tern integrais de linha que independem do ca.mlnbo' 
o teorema a seguir, que e uma extensOO do teorema fundamental do 0'10'110 
responde a esta pergunta. 
Teorema 6.2: Beja F um campo vetorial continuo definido nUTn subconjlln· 
5
to aberto U C JR3 pam a qual existe uma funf;iio real f tal que V f • F .m 
U. Be C euma curva em U com pontos inicial e final A e B, 
respectivamente, pammetrizada por uma funf;iio (T (t), C 1 par partes, en", 
fc F . dr = fc V f . dr = f(B) - f(A). 
. ........
 
~aD Cdlculo diferencicl • Jute,qrai" d. 
..---,-~.-
221-----_._.-.._---..._-----
DlmOnlJtralWBo: lIlldc' 11(11, z) (, tim", " r ,17/.If/"/,1//'" dl' 'in/.cgm<;lIo" a scr determinada. Analoga­
b 11Il'IlLe, oc intop;ml'lllUH ((Ui) em relac;ao aye (6.7) em relac;ao a z, obtemosl F. dr = r
.Ie Ja 
= \7f (a (t)) . 0-' (t). 
de uma fun~ao potencial usando integrais indefinidu 
= f(a(b)) - f(a(a)) = f(B) - f(A). 
\7 f(a(t)) . a'(t)dt . 
Se n, IJ E IR sao tais que a(c) • A • /J(b) - B, ent80 
f(a(t)), a S; t S; b, temos, pela regra da cadeia, 
(Fl, F2, F3) eurn campo vetorial gradiente de uma fun<;ao potene: 
do teorema 6.2 e chamado campo 
= Fl, 
= F2, 
= F3. 
UMtmdo integrai/:l indefinidas e integrando (6.5) 1m rlllQio a x (mantel'll 
(6.9)f(x, y, z) = JF2 (x, y, z)dy + B(x, z)
PUlido fI(i.) = 
g' (t) 
I' 
(6.10 ) f(x, y, z) = JF3(X, y, z)dz + C(x, y), 
Pllrt,lLllto, pdo teorema fundamental do ca1culo, 
ollde B(x, z) e C(x, y) sao func;oes a serem determinadas. Para encontrar f 
dc,ycmos determinar A(y, z), B(x, z) e C(x, y) de modo que as equac;oes (6.8),I. F· dr = .lb g'(t)dt = g(b) - g(a) 
(11.9) e (6.10) tenham 0 mesmo lade direito. 
o l:mnpo vetorial F
 
I'Jxemplo 6.6: Considere 0 campo gradiente F(x, y) = (e-Y - 2x,
aampo conservativo e a fun<;ao f, uma fun~ao potencial. 
:rc-Y - sen y). Calcule fc F . dr, onde C e qualquer curva Cl por partesnlra••ltrlu. e suficiente para que urn campo vetorial seja urn campo grad!
 
tip A = (7f,0) ate B = (0,7f) .
•,trt\ vlHtU. nos teoremas 6.4 e 7.4.
 
H()lu~ao: Pelo teorema 6.2, £F· dr = f(O, 7f) - f(7f, 0), onde f euma
 
(J()Il.tru~iio I'IIf1c;aO potencial de F em ]R2, que sera determinada usando integrais 
Illdefinidas. Aqui, temos 
HI' F =
 
f 1111111 ILbcrto U c IR3, entao
 
8f af ax (x, y) = e-Y - 2x (6.11)8x 
8f 
8y C' 
~~ (x, y) = -xe-Y - sen y. (6.12) 
8f 
8z Integrando (6.11) em rela<;ao a x e (6.12) em rela<;ao a y, obtemos 
/(x, J)) = xc-Y - [1';2 + A(y) (6.13) . 11 C1 : l~onHt,ltn1jOl.l), obtomoH 
I' 
I(m, ~,.) • f F1(fI, (6.14) 
Ricardo Freire
Sticky Note
ou
Ricardo Freire
Sticky Note
F1(x,y,z)dx+A(y,z)
Ricardo Freire
Sticky Note
f(x,y)=xe^-y+cosy+b(x)
.~, 
I 
Por inspe<;ao, resulta que A(y) = c081J e B(m) = -:1;2 verificam IU'l oqua~& 
(6-.13) e (6.14). Portanto, uma fun<;ao potencial e f(x, y) = :re-- lI + cos y - a: 
Logo, 
2fc F· dr = -1 - (1r + 1 - 7r2 ) = 1r - 1r - 2. 
§6.3 Exerclcios 
1. Calcule fc f ds, onde 
a) f(x, y) = x + y e C e a fronteira do triangulo de vertices (0,0), (1,0) e 
(0,1). 
b) f(x, y) = x 2 - y2 e C e a circunferemcia x2+ y2 = 4. 
c) f(x, y) = y2 e C tern equa<;6es parametricas x = t - sen t, y = 1- cos t, 
a~ t ~ 27r. 
d) f(X, y, z) = eft e C e definida por (T(t) = (1,2, t2), a~ t ~ 1. 
e) f(x, y, z) = yz e Ceo segmento de reta de extremidades (0,0,0) e 
(1,3,2). 
f) f(x, y, z) = x + y e C e a curva obtida como interse<;ao do semiplano 
x = y, y 2: 0, com 0 paraboloide z = x 2+ y2, Z ~ 2. 
2. Urn arame tern a forma da curva obtida como interse<;ao da por<;ao da 
esfera x2 + y2 + Z2 = 4, y 2: 0, com 0 plano x + z = 2. Sabendo-se que a" 
densidade em cada ponto do arame e dada por f (x, y, z) = xy, calcule a massa 
total do arame. 
3. Deseja-se construir uma pe<;a de zinco que tern a forma da superflcie do 
cilindro x 2 + y2 = 4, compreendida entre os pIanos z = a e x + y + z = 2, 
: :> O. Se 0 motro qmLdrado do zinco cu~ta M reals, calcule 0 1'1'100. 
}lpc;a. 
~. Calcule fc F . dr, onde 
a) F(x, y) = (x2 - 2xy, y2 - 2xy) e C e a parabola'll =XII de (-2,4) 
(1,1). 
X Y
b) F(x, y) = (J 2 , J 2 2) e C e a circunfer~ncl.. d' ctn\re 
x +y2 x + y
 
origem e raio a, percorrida no sentido anti-horario.
 
c) F(x, y) = (y + 3x, 2y - x) e C e a elipse 4x2 + y2 = 4, percorrld..
 
sentido anti-horario.
 
d) F(x,y) = (x2 + y2,x2 - y2) e C e a curva de equa«;8.0 'II. 1-11­
de (0,0) a (2,0).
 
e) F(x, y, z) = (x, y, xz - y) e Ceo segmento de reta de (0,0,0) .. (1,
 
f) F(x, y, z) = (yz, xz, x(y + 1)) e C e a fronteira do triAniUlo dl "'
 
(0,0,0), (1,1,1) e (-1,1, -1), percorrida nest,a ordem.
 
g) F(x, y, z) = (x2 - y2, z2 - x2, y2 - z2) e C e a curva de lntlNlfkl
 
esfera x2+y2+z2 = 4 com 0 plano y = 1, percorrida no sentldo an'looM
 
quando vista da origem.
 
h) F(x, y, z) = (xy,x2 + Z, y2 - x) e C e a curva obtida como lA,.
 
do cone x2 + y2 = z2, Z 2: 0, com 0 cilindro x = y2 de (0,0,0) .. (1111~
 
5. Calcule 0 trabalho realizado p.elo campo de for<;as F(x, 'II) • (tlJl - wi! 
ao mover uma partfcula ao longo da fronteira do quadrado limitad.o pI. 
coordenados e pelas retas x = a e y = a (a > 0) no sentido anti· horUio 
-----
- ~~.. •,nt.,,,rtl.!unp6.,-d. vttf'1tH VI 
6. Cwculo 0 1il'l'.d.>ulho r(1tlll~u(lo llC1!o (~ampo de fOr~tUi F(.T., y, z) =(yll,.a, 
lUI lcmp;o cIa (~urvu. obtida como intersec;ao dn e.sfom x2 + 7/'2 + z'2 = a2 co.
 
1'l1llHlro :r'.! + y'2 = 0,.7:, onde z 2 a e a > O.
 
1\.IILI-IIIJrll.rio quando vista do plano xv.
 
7, [)l't"J'lllinc uma func;ao potencial para cada campo gradiente F dado. 
ll.) F(.r, 7/) = (eXseny,eXcosy). 
II) F(.7:, y) = (2 xy2 - y3, 2x2 y - 3xy2 + 2). 
l') F(.?:, y) = (3x2 + 2y - y2 ex, 2x - 2yeX). 
II) F(.r,y,z) = (y+z,x+z,x+y). 
(I) F(.'E, y, z) = (e y+2z , xey+2z , 2xey+2z).
 
I') F(x, y, z) = (y sen z, x sen z, xy cos z).
 
§f),4 Teorema de Green 
() toorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva 
f"I'lJndn C no plano xy com uma integral dupla sobre a regiao limitada POI' C. 
/';HLp L(~oroma sera generalizado para curvas e superficies noJR3 , no capitulo 7. 
Ante.s de enunciar e provar 0 teorema de Green, faz-se necessario introduzir 
1114 H'~gllintes definic;oes. 
. nefllli~ao 6.3: Dizemos que uma regiao fechada c limitada D do plano xy e 
.tmples se D pode ser dcscrita como uma regiao de tipo I e de tipo II, 
Hillllllt.a.ncamente. 
-----.-..- --~- _. -----~-------
Deftnlc;io 6.4: Dizemo.s quo a frontcira UD de uma regiao limitada D do 
(JlI-UlO xy csta oi"ientada positivamente, se a regiao D fica a esquerda, ao 
percorrermos a fronteira aD (figura 6.6). 
...,..­
/ ./ ..... 
I ...../ Ii ,SD
 
« sa ') ' \
 
\ ..... ,.I~'/, D" 
..... __ ~.~ ,. 'ti' / .,. 
:~--,.'" "" /
"-"?o::.-..: -::--.- _-: - ,., ,., 
Figura 6.6 
Teorema 6.3 (Teorema de Green): Seja Duma regiiio fechada e limitada 
do plano xy, cuja fronteim aD est6. orientada positivamente e epammetrizada 
par uma junrJio C1 par partes, de modo que aD seja percorrida apenas uma 
vez. Se F(x,y) = (H(x,y),F2(x,y)) e um campo vetorial de classe Ch num 
subconjunto aberto que contem D, entiio 
F1dx + F2 dy"= JJ(aF---a F1) dxdy.IeaD 2 ayax 
D 
Demonstra.;ao: Vamos considerar Duma regiao simples, ou seja, vamos 
supaI' que D pode ser descrita simultaneamente par 
D = {(x,y) E JR2 a 'S x 'S b, U1 (x) 'S Y'S U2(X)} (6.15)1 
*Seja U C IR" aberto. Dizemos que F': U c JR." -t JR." e urn campo vetorial de 
classe C l se tudas as derivadas parciais ~:; das fun<;oes coordenadas de F sao contfnuas 
emU. 
e
 
D = {(x, y) E JR2/ V1 (y) ~ x ::; V2(Y), c s y ~ d},
 
como mostra a figura 6.7.
 
Y=U 2,,1 
cI 
x x 
a b 
Y-U.lll 
Figura 6.7
 
Como
 
OF2 OFl) oF1JJ oF2 JJJJ (ox - oy dxdy = ox &xdy + - 8;dxdy , 
D D D 
podernos calcular cada integral do segundo membro desta equ~ao separada.­
mente. 
Usando (6.15), obternos 
OFI b ly=u2(X) oF1-TdxdyJJ = - ­ dydx=lD y a Y=Ul(X) By
 
b
 
= l [F1(x, Ul (x)) - --Fi(x, u2(x))]dx = 
= l b F1(x, ul(x))dx -lb F1(x, u2(x))dx = 
nalogamente, usando (6.16), mostramOH que --~ 
JJ~2 dxdy = faD F2 dy. 
D 
Se D nao e simples, a decompomos como uniao finita de regioes sim~I,., 
dip;amos D = Dl U ... U Dn , onde cada regiao simples Dk tern fronteira 8D" 
(,'1 par partes (k = 1,"" n), e aplicamos a teorema de Green a carla relllD 
f)~:, obtendo 
JJ(
OF2 OFl) fa
- - -. dxdy = F1dx + F2dy. ox 8y aD k 
Dk 
Conseqiientemente, 
JJ(~2 - ?~l )dxdy = 
D 
OF2 OPr) JJ(OF2 OF1)= ox - oy dxdy + ... + 8x - oy dxdy :=IIJJ(
Dl D n 
= 1 Prdx + F2dy + ... + 1 Fldx + F2dy. 
laDl laDn 
A fronteira de D eformada par partes das curvas 8Dk. As partes de 8DIa qu, 
nao constituem a fronte~ de D agem como fronteira comum a duas reg 
simples. Este fato esta ilustrado na figura 6.8. 
Uma parte 8 de ODk que e fronteira comum a duas regi6es simples sera 
percorrida duas vezes em sentidos opostos. Mas, pelo tearema 6.1, 
JF1dx + F2dy + JF1dx + F2dy = O. 
8 8 
= 1 F1dx. 
lEW 
--
229 228 
y 
x 
Figura 6.8 
Portanto, enquanto as partes das curvas ODk que formam a fronteira de D 
contribuern para 1 F1dx + F2dy, as outras partes se cancelam, fornecendo 
laD 
assirn 
I I (OF2 1OF1)ax - oy dxdy = laD F1 dx + F2dy. 
D
 
Isto prova 0 teorema.
 
1 x2 - y2 (x2 )
Exemplo 6.7: Calcule Ie 2 dx + 2 + y4 dy, onde C e a fronteira 
da regiao D definida por D = {(x, y) E ]R2 11 ::; x2 + y2 ::; 4, x 2': 0, y 2': O}, 
orientada no sentido anti-horario. 
Solu~ao: A(x~U~V~2C xera ind)icada na figura 6.9. Sendo 
F(x, y) = 2'"2 + y4 urn campo vetorial de classe C 1 em JR2, 
podernos aplicar 0 teorerna de Green e obter 
2
1 x2 y2 (x )Ie ; dx + 2 + y4 dy
 
2 2 y2
i~'~/, 11[0 (x ) a (x _ )] = I I (x + y)dxdy.l" ~ ax - 2D 2 + y' ay dxdy 
D 
3 51 
Utltl,ndo mudanc;a polar, vern 
r/2 f2 2I I (x + y)dxdy = Jo J1 r (cosO + sen O)drdO= 
D 
r/2 [r3 
= Jo (cosO + sen 0) 3 ] 2 1 dO= 
7 [ 1r/2 14 
= 3" sen 0 - cosOlo = 3' 
y 
JC 
2 
Figura 6.9 
Exemplo 6.8: Calcule LeX sen ydx + (eX cosy + x)dy, onde Ceo arco da 
circunfer€mcia x2 + y2 = 1, no Nimeiro quadrante, orientado no sentido 
anti-horario. 
Solu~ao: 0 campo vetorial F(x, y) = (eX sen y, eX cos y + x) ede classe C1 
em JR2. Podernos aplicar 0 teorerna de Green it regiao lirnitada por C, 11 e 
12, esbo<;ada na figura 6.10. 
oA o~
Coro ax (x, y) = eX cosy + 1 e oy (x, y) = eX cosy, segue do teorerna de 
Green que .~ = area D = I I Idxdy e 
. D 
-~~--- ~ 
___... J 
230 Cdloulo d~erenc~tJl e ~n' d. ~d"a, ~a" 
!! 1dxdy = f F1dx + F2dy +1F1dx + F2dy + I Fld:r. + F2dy.ic "11 .I"YJ 
D 
As curvas 1'1 e 1'2 sao parametrizadas por O"l(t) = (0, -t), -1 :S t :S 0, e 
0"2(t) = (t, 0), °:S t :S 1, respectivamente. Portanto, 
l F1dx +F2dy = fa - costdt = [- sen t]~l = - sen 1
 
i'Yl -1
 
e 
1F1dx + F2dy = f1 Ddt =, D. "12 io 
Assim, 
f F1dx + F2dy = ~ + sen I.ic 4 
y 
(O.II~ 
"'1', 
x 
11,0) 
"1'2 
Figura 6.10 
Exemplo 6.9: Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = 
2_y x ) x y2
= 2 2' 2 2 + 2x ao longo da curva C de equa<;iio -4 + - = 1,( x +y x +y 9 
orientada no sentido anti-honifio. 
) 
rr(f,) 
~ aP2 
Como -a(x,y)
x 
Green nos da 
Logo, 
~, '.' . . . 2S1 
"7. 
loluc;io: Como 0 oampo Vltorlal F ntl.O esta definido em (x, y) = (0,0), 0 
teorema de Green nii.o tiC apllea. ii, rogiiio I.imitada por C, e a integral de linha 
dll F ao longo de C tambem niio e simples de ser calculada diretamente. No 
IltItanto, podemos aplicar 0 teorema de Green a regiiio D limitada pela curva 
(] e a circunfer€mcia I' de raio 1 e centro na origem, parametrizada por 
= (cos t, sen t), °:S t :S 27r (figura 6.11). 
y 
x 
c 
Figura 6.11 
_ _x2 + y2 aF1 _x2 + y2 
- (2 "'" + 2 e ay (x, y) = (x2 + y2)2' 0 teorema de x +y 
~ 
!CLYr- F1dx + F2dy = JJ2dxdy = 2 x area de D = Hm. 
D 
f~ Fldx + F2dy = 1071" + f, Fldx + F2dy. 
Esta Ultima integral ecalculada diretamente do seguinte modo: 
.f	 « 
~ ..... ~ r232 Cdlculo dt/srenctal l!J inte, , II tI, tJd,;c, tI 
2rrJF1dx + F2dy = 1 [(- sen t)( - sen t) + (cos t + 2 cos t) cos t]dt = 
[sen 2t] 2rr 
= Jo
r2rr 
(1 + 2 cos2 t)dt = 2t+-2- 0 =4n. 
Assim, 
£F1dx + F2dy = IOn + 4n = 14n. 
Interpretac;ao vetorial do teorema de Green 
Suponhamos que D e uma regiiio feehada e limitada do plano xy eu 
fronteira aD e uma eurva orientada no sentido anti-honirio. Se aD tern u 
parametriza<;ao 
<T(t) = (x(t), y(t)) (a ~ t ~ b) de classe 0 1 , eujo vetor tangente enao nulo e 
cada ponto de aD, entao denotamos os vetores tangente e normal unitario po 
<T'(t) (X'(t) y'(t)) 
T(t) = Ilo-'(t)11 = 11<T'(t)II' 11<T'(t)1I 
e 
y' (t) x' (t) ) 
n(t) = ( II<T'(t) II' -Ilo-'(t) II ' 
respeetivamente. 
Se F = (Fl, F2 ) e urn campo vetorial de classe 0 1 definido num subeon 
junto aberto que contem D, entao a integral de linha de F ao longo de a 
pode ser eserita em termos do vetor T(t) do seguinte modo: 
b 
1	 F1dx + F2dy = r F(o-(t)) . o-'(t)dt = laD	 Ja 
b 
= l (F(o-(t)). 11::~;~II) 11<T'(t)I/dt = 
b 
=	 r (F(<T(t)) . T(t))llo-'(t)lldt = 1 (F· T)ds.Ja	 laD 
1 
Neste euo, 0 t~ma de Green 8BBume a forma 
' (aF2 - 8Fl) dxdy = 1 (F. T)ds.JJ 8x 8y laD 
D 
Este resultado e urn caso particular do teorema de Stokes, que veremos 
Agora, usando 0 vetor normal unitario n(t), a integral de linha do campo 
votorial G = (-F2 , Fl) ao longo de 8D edada por 
b
1 -F2dx + F1dy = r G(<T(t)) . o-'(t)dt = 
laD	 Ja 
b 
= l (F(<T(t)). n(t))llo-'(t)lldt = 
=	 1 (F.n)ds.
laD 
Aplicando 0 teorema de Green ao campo G, obtemos 
aF2) 1Jf (aH ax + ay dxdy = laD (F· n)ds. 
D 
Este resultado e a versao em duas dimens6es do teorema de Gauss, que 
vcremos posteriormente. 
\§6.5 Exercicios 
\ 
1. Caleule as seguintes integrais, ao longo das curvas 0, orientadas positiva­
mente. 
a) £y2dx + x2dy; 0 e a ITonteira do qUadrado D = [-1,1] x [-1,1]. 
/	 b) £(3x2+ y)dx + 4y2dy; 0 e a fronteira do triangulo de vertices (0,0), 
(1,0) e (0,2). 
294 
c) fc(e X - 3y)dx + (eY - 6x)dy; C' f.. tt ollpstl d(ll ClClII/U;ilo :r:.! + 41;2 ­
d) fc x-1eYdx + (eYlnx + 2x)dy; C' e a fronteira da rcgiOO limitada p 
x = y4 + 1 e x = 2. 
e) i (2xy - x 2 )dx + (x - yZ)dy; Ceo. fronteira do. regiao limitada po 
c .
Zy = x e yZ = x.
 
f) fc (x + y)dx + (y - x)dy; Ceo. circunferencia XZ+ yZ - 2ax = 0.
 
g) fc (2x - y3)dx - xydy; Ceo. fronteira do. regiao limitada pelas cur 
x2 + yZ = 4 e x 2 + yZ = 9. 
h) fc(2X - y)dx + (x + 3y)dy; Ceo. fronteira do pentagono de vertice," 
(0,0), (0,2), (1,3), (2,2) e (2,0) .. 
2. Seja C uma curva fechada, orientada positivamente, limitando uma regi 
do plano xv, de area A. Verifique que, se a1,aZ,a3,b1,bz e b3 sOO constant 
reais, entao 
fc(a1x ~ azy + a3)dx + (b1x + b2 y + b3)dy = (b1 - az)A. 
3. Determine 1 (XZ+ y + 2xy3)dx + (5x + 3xZy2 + y)dy, onde Ceo. uniao d k . 
curvasC1,CZ eC3 dadaspor c1:xz+y2=1, y2:0; Cz:x+y+l=O, -1 
x ~ 0; C3: x - y - 1 = 0, °~ x ~ 1. Especifique a orienta<;ao escolhida. 
4. a) Mostre que a area de uma regiOO fechada e limitada D do plano xy pod) 
ser obtida atraves da seguinte integral de linha: 
area (D) = 1 xdy.
laD 
b) {11m tl.) para calcular a area do. rcgiiio limitada pelo eixo y, pelas retas 
11 r- 1, y = 3, e pela curva x = yZ. 
Hf·,jll. F = (F1, F2 ) urn campo vetorial de classe C'1 no /Rz, exceto em (0,0), 
OF2 of}
I qlll' ··a;--(x,y) = -,-(x,y) + 4 para todo (x,y) =I- (0,0). Sabendo que
:z: ay 
/. 'I d:z: + F2 dy = 67f, onde "f e a circunfer€mcia XZ + yZ = 1, orientada no 
'l 
IlUdo anti-honirio, calcule 1 F1dx + Fzdy, onde C' eo. elipse :Z + '#.~ = 1,
Jc 25 
rh~lltada no sentido anti-honirio. 
, !'kja F(x, y) = ( z-y z' Z X 2 + 3X) urn campo vetorial em lRz. Calcule 
x +y x +y 
A Int.egral de linha do campo F ao longo das curvas C1 e Cz, orientadas no 
,"'nLida anti-horario, onde: 
a) C1 eo. circunfer€mcia de equa<;OO x 2 + yZ = 4. 
b) C2 eo. fronteira do retangulo R = {(x,y) E /Rz/-1r ~ X ~ 7(, -3 ~ 
y ~ 3}. 
Campos vetoriais conservativos no plano 
Vimos no teorema 6.2 que, se F = \71, a integral de linha de F ao longo 
ell' uma curva C depende apenas dos\ pontos inicial e final. Caracterizaremos 
/l,~ora os campos vetoriais do plano que sOO campos gradientes. 
Teorema 6.4: Seja F = (H, Fz) um campo vetorial de classe C 1 definido 
1L'Um dominio simplesmente conexo* U c lRz . As seguintes condilfoes sao 
'Urn subconjunto aberto U C JR? e dito uni dominio se dois pontas quaisquer de U 
podem ser ligados por uma poligonal totalmente contida em U. 
.urn 5ubconjunto aberto U C R 2 e dito simplesmente conexo se, para toda CUlVd. 
/ 
fechada C em U, a regiiio lirnitada por C esta totalrnente contida em U. Intuitivamente, urn 
Il.berto U esirnplesrnente conexo Be nao tern "buracos". 
Ricardo Freire
Sticky Note
<=
2se 
equivalentes: 
(i) 1 F· dr = 0, qualquer que seja a curva fechada C, C1 par partea, 
~	 . 
contida em U. 
(ii) A integral de linha de F do ponto A ate 0 ponto B independe da CUI 
C1 por partes, contida em U, que liga A a B. 
(iii)	 F eum campo gradiente de alguma funr;ao potencial f em U. 
. aF2 aFI 
(w) ax = ay em U. 
Demonstraf;ao: Vamos provar que 
(i) ===? (ii) ===? (iii) ===? (iv) ===? (i), 
o que estabelecera 0 teorema. 
Primeiramente, mostraremos que (i) ===? (ii). Sejam C1 e C2 duas cur 
C 1 por partes contidas em U, ligando 0 ponto A ao ponto B (figura 6.12). 
Figura 6.12
 
Como a curva C = Cl UCi efechada e C1 por partes, entao, por (i), seg
 
que 
°= 1 F. dr = { F· dr - { F· dr,Ic lCI lC2 
Provaremos agora quo (ii) =} (iii). Fixemos (xo, YO) em U e, para cada 
X, Y) E U, definamos 
(X,y)
 
f(X, Y) = Hdx + F2dy.
;;
(xo,Yo) 
Etlta fun~ao esta bern definida pois a integral independe do caminho que liga 
(a:o, YO) a (X, Y). Para ~x suficientemente pequeno temos que 
(X+AX,Y) ;;(X,Y) 
J(X + ~x, Y) - f(X, Y) = ;; F1dx + F2dy - Fldx + F2dy = 
(XO,Yo) (xo,Yo) 
(X+AX,Y) 
= ;; F1dx + F2dy. 
(X,Y) 
Como esta ultimaintegral independe do caminho entre (X, Y) e (X + 
A:r, Y), podemos toma-lo como sendo 0 segmento de reta que liga estes pontos 
(figura 6.13). 
y 
(X,V) (x. Ax. VI 
\
 
,	 . 
lC 
Figura 6.13) 
Neste segmento y e constante e, portanto, dy == 0. Assim, 
"'~- _ Oiitiii6 IiJiMididi • :1'" 
l 
(X+~X,Y) l(x+AIIl,y) 
. Fldx + F2dy = Fldx. 
(X,Y) (X,Y) 
Usando 0 teorema do valor medio para integrais, obtemos 
l
 
(X+~X'Y)
 
Ftdx = ~xFt(X + t~x, Y),
(X,Y) 
para algum 0 ::; t ::; 1. 
Logo, 
f(X + ~x, Y) - f(X, Y) = Al r(x+~x,y) Fldx + F2dy = Ft(X + t~x, 
, 
Y) 
X ux J(X,Y) 
Tomando 0 limite quando ~x tende a zero, temos 
of 
ox (X, Y) = FI(X, Y). 
of 
Analogamente, prova~se que oy = F2. 
Mostremos que (iii) =====* (iv). Se F = V"f em U, entao 
of = FI e of = F2. 
ox oy 
Como F ede classe C 1 , entao f e de classe C 2 e, considerando suas derivad 
parciais de segunda ordem 
o2f OFI 02f OF2 
e 
oyox = oy oxoy = ox' 
obtemos a igualdade 
oFt OF2 
oy = ox . 
Finalmente, provaremos que (iv) =====* (i). Se C e uma curva fechada em U, 
entao a regiao D limitada por C esta contida em U, visto que U esimplesmente 
conexo. Aplicando 0 teorema de G~..n, obtemos 
1 II (lJF2 OFI )Jo Fl da: +F'Jdll =.. ox - oy dxdy == O. 
D 
Ademonstr~ao do teorema esta concluida. 
Observe que a hipotese de User simplesmente conexo so e necessaria para 
provar que (iv) =====* (i). 
A demonstra«;ao da implica«;ao (ii) =====* (iii) deste teorema fornece outro 
metodo para se calcular uma fun«;ao potencial f de urn campo gradiente F. 
Constru~ao de uma fun~ao potencial usando integrais definidas 
Como vimos anteriormente, a fun«;ao 
l
(X,y) 
f(X, Y) = Fldx + F2dy (6.17) 
(XO,yo) 
(onde (xo, YO) e urn ponto fixado de U) define uma fun«;ao potencial. A integral 
n.cima pode ser calculada do seguinte modo: primeiramente, integra-se de 
(,co, YO) a (X, Yo) ao longo do segmento horizontal GI, e depois de (X, yo) a 
(X, Y) aD longo do segmento vertical G2 (figura 6.14). 
y 
Ix",Y) (X, Y).------..---­
I " 
I 
I 
+I 
I 
I 
(Xo.lloI (X.Y.) 
x 
) 
Figura 6.14 
Parametrizando 01 por 0"1 (t) = (t, yO), :nO ~ t ~ X, II 011 
sen
cos 
(Xpm (12(t) = ndl1 .r 11 urna fun910 potincla1.
 
Yo :s: t :s: Y, obtemos
 ( )01IlO 
'X t=Yf(X, Y) = [x F1(t, yo)dt + [Y F2(X, t)dt. f(X, Y) = 21.rll. + lr'I" _X 2 sen tdt = X 2 + [X2costl_ = X 2 cosY
 
, 0 . 0 t-DIrJxo JyO 
Pode-se tambem calcular a integral da equa<;ao (6.17) ao longo do cami ,I, lll11a fun<;ao potencial, entao 
1
(e.l)pontilhado na figura 6.14. Neste caso, obtem-se 
F . dr = e2cos 1 - 1. 
(1.0) 
f(X, Y) = [Y F2(xo, t)dt + [x Fl(t, Y)dt. 
~o ~o 
1
Exemplo 6.10: Considere a curva C parametrizada por a(t) = (et - ,
 
2
sen T). 1 :s: t:s: 2. Calcule fc F· dr, onde F(x, y) = (2x cosy, -x sen y). 
SoIUf;ao: Como F e de classe C1 em JR2 e 
a a2
 ax (_x sen y) = -2x sen y = ay (2x cosy), 
o teorema 6.4 garante que a integral fc F . dr independe do caminho que Ii 
0-(1) = (1,0) a 0-(2) = (e, 1). 
(e, I) 
(e,o)(1,0) 
y 
Figura 6.15
 
Usando 0 caminho poligonalligando os pontos (1,0), (e,O) e (e,l), confor
 
a figura 6.15, temos Exemplo 6.11: Considere 0 campo vetorial F(x, y) = ( 2-y 2' 2 X 2)'
 
~ x +y x +y 
1
(2.1)
 
a) Calcule F . dr ao longo da parabola y = (x - 1)2.
(e,1) (e,0) 1(e,1)2 2 (1,0)P·dr = 2x cos ydx - x sen ydy + 2x cos ydx - x 
(1,0) 1 (1,0) (e,O) 
b) Calcule Ie F . dr, onde C e uma curva fechada de classe C 1 que envolve 1
 
2 2 2
= le 2tdt +1 _e sen tdt = e - 1 + e2(cos 1 - 1) = e
a origem, orientada no sentido anti-horario. 
Alternativamente, pelo teorema 6.4, tambem temos que F e urn camp 
SoIUf;ao: A integral [ F· dr ind~pende do caminho em qualquer dominio gradiente. Portanto, pelo teorema 6.2, 
I
 Jc 
srmplesmente conexo que nao contenha a origem, pois F(x, y) e de classe C 1 (e,1) 
P . dr = f(e, 1) - f(l, 0),1 p(1ra (x, y) 'I (0,0), e(1,0) 
1
Ricardo Freire
Sticky Note
senydy

cos1 -1
28Ft 8F2 y2 - x
8y (x, y) = 8x (x, y) = (x2 + y2)2 
1
se_(x,y) 1= (0,0).
 
(2,1) .
 
a) Podemos calcular F· dr ao longo da poligonal que liga os pontol
 
. (1,0) 
(1,0), (2,0) e (2,1), conforme a figura 6.16. 
y 
12,11 
x 
11,01 12,01 
Figura 6.16 
Assim, 
(2,1) 
1 2l2 1 [ (t)]t=lF . dr = Odt + -42 dt = arctg (~) .2" t=o = arctg1 1 °(1,0) + t 
b) Como todo dominio simplesmente.,conexo que contem C tambem contem, 
origem, 0 teorema 6.4 nao pode ser aplicado. No entanto, podemos aplicar 
teorema de Green it regiao limitada por C e pela circunferencia 'Y de equacf 
2x 2 + y'2- = a , orientada no sentido anti-horario (figura 6.17), obtendo 
i F. dr = j F . dr {21r (-a sen 0 aCOSO) = Jo a2 (-asene)+~(acose) dO= U J, 
f21r 
= Jo de = 27f, 
/Ide 'Y esta pararnetrizada por 0"(0) = (a cos e, a sen 0), 0 ::; 0 ::; 27f. 
'( 
x 
Figura 6.17 
Exercicios 
1. Considere a integral de linha fc (y2 - xy)~+ k(x2 - 4xy)dy. 
a) Determine a constante k para que esta integral seja independente do 
carninho. 
b) Calcule 0 valor da integral de A = (0,0) a B = (1,1) para 0 valor de k 
encontrado em a). 
). ff (OF2 8Ft ) 2/Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus F·dr= --- dxdy=O.1cu·,,- ox oy
D . valores. 
1
j ,(3,4) yda: - xdy	 (x - 2)' -I- "I _I, (II -I- 2)' + 'II'.J III: 9 , x
2 + '1/2 = 25 e x2 + '11 2 = 1,
a) --2
(1,-2) x respectivamente, orientad8B no sentido anti-horario. Sabendo que 
(1,3) 3x2 x 3
 
b) -dx- -dy.
(0,2) Y y2 
(XO,YO)
c) r 2xydx + (x2 - y2)dy.
 
J(l,l)
 
l
(XO,Yo) 
d) sen ydx + x cos ydy.
 
(0,0)
 
3.	 a) Caso exista, encontre uma fun<;ao potencial para V(x, y) = 
= (2xy3 - y2 cos x, 1 - 2y sen x + 3x2y2). 
2b)	 Calcule fc (2xy3 - y2 cos x )dx + (1 - 2y sen x + 3x y2)dy, onde C e 
arco da parabola 2x = 7fy2, de PI = (0,0) a P2 = (%,1). 
1 yx2dx - x 3 dy x 2 . ( 
4. Calcule lc (x2 + y2)2 ' onde C ea curva dada pela equa<;iio "4 + y­
1, percorrida no sentido anti-horario. 
, . 1(x+y)dx+(y-x)dy
5. Encontre todos os posslvels valores de 2 " , onde c x +y 
euma curva fechada qualquer que niio passa pela origem. 
6. Mostre que as integrais fa H(x, y)dx + F2(x, y)dy sao nulas, quaisquer 
sejam os contornos fechados C contidos no dominio das fun<;6es Fl e F2 , on 
a) Fl(x, y) = sen x + 4xy e F2(x, y) = 2x2 - cos y. 
Y	 -x e C nb) Fl(x,y) = -2- ­ e F2 (x, y) = x 2 + y') , x	 +y 
envolve a origem. 
7.	 Sejam F l e F2 func;6es com derivadas parciais contlnuas no plano xy t 
8F2 8Fl que ax = 8y em JR2 , exceto nos pontos (4,0), (0,0) e (-4,0).
 
Cl, C2 , C3 e C4 as circunferencias de equac;6es:
 
1	 Fldx + F2dy = 11, 1 Fldx + F2dy = 9 e 1 Fldx + F2dy = 13,ICI IC2	 ICa 
calcule 1 Fldx + F2dy.IC4 
8. Sejam Fl(x,y) e F2(x,y) func;6es reais de classe C l em U = IR2 - {A,B} 
. 8Fl 8F2
(A e B como na figura 6.18), tRIS que 8y = 8x em U. Sendo C1, C2, C3 as 
Cllrvas dadas na figura 6.18, calcule 1 Fldx + F2dy, supondo que ICa 
1	 Fldx + F2dy = 12 e 1 Fldx + F2dy = 15.ICI	 IC2 
y 
• 
Figura 6.18 , 
~ 
Seja D a regiiio do plano xy limitada pelas circunfer€mcias Cl e C2 de 
I1quac;6es x 2 + y2 = 1 e x2 + '112 = 25,respectivarnente.Se F l (x, 'II) e F2(X, y) 
- d I C l D 8F2 8Fl D' , . al d"tID e c asse em e 8x = 8y em ,qUaIS as pOSSlvelS v ores a 
Integral fa Fldx + F2dy, onde C equalquer curva fechada contida em D, C1 
por-partes, sabendo-se que i Fl dx + F2dy = 1 Fl dx + F2dy = 271", quando 
CI IC2 
Cl e C2 estiio orientadas no sentido anti-horario. Justifique sua resposta. 
Ricardo Freire
Sticky Note
(y-1/3)^2

onde C
248 
-y x 
2 dx + 2 2 dy, onde C ea curva definida per
x+y 
~ 2, orientada no sentido decrescente de y. 
10. Calcule 2 
cx+yi 
2(x + 2), -2 ~ x 
CAPITULO 7
 
INTEGRAlS DE SUPERFicIE
 
No capitulo anterior estudamos integrais de fun<;6es escalares e vetoriais 
/10 longo de curvas. Neste capitulo veremos integrais destas fun<;oes sobre 
Huperffcies. 
§7.1 Representa~ao parametrica de uma superficie 
Antes de definirmos as integrais de superficie propriamente ditas; devemos 
nbordar as varias maneiras de se descrever uma superffcie.Ja vimos anteriormente duas maneiras de se descrever uma superffcie em 
JR3 por formulas matematicas. Vma delas e a representac;ao impHcita na 
qual descrevemos uma superffcie como 0 conjunto dos pontos (x,y,z) satis­
fazendo a uma equa<;ao da forma F(x, y, z) = O. Algumas vezes podemos 
resolver esta equa<;ao para uma das variaveis em termos das outras duas, 
por exemplo, z em termos de x e y. Quando isto e possivel obtemos uma 
representac;ao expHcita da superffcie dada por uma ou mais equa<;6es da 
forma z = f(x, y). Por exemplo, a esfera Cle raio 1 centrada na origem tern 
represent~ao implicita x2 + y2 + z2 - 1 = O. Quando esta equa<;iio e re­
solvida para z em termos de x e y, obtemos duas solur;oes z = V1 - x 2 - y2 e 
z = - VI - x 2 - y2. A primeira da uma representa<;ao explfcita do hemisferio 
superior da esfera e a segunda, uma represent~ao explicita do hemisferio in­
ferior. 
o terceiro modo de se descrever uma superficie, litH no estudodas integrais 
de superffcie, e a representac;ao parametrica, onde as coordenadas x, y e z 
dos pontos da superficie sao expressas em termos de dois parametros. 
Ricardo Freire
Sticky Note
y^2=
=- ....... lOJ·rWTIU1C11 • tn••,. ....,,1'•• •• a.»Di- LillY) 9
 
Definic;ao 7.1: Consideremos uma funl$ao cp : D C JR2 
2 ~~ (uo, vo) e urn vetor tangente a esta curva no pontosubconjunto D c m . A imagem de D por cp, cp(D) , e dita uma superffci 
parametrizada, e sua represental$ao parametrica e 
= Vo, podemos considerar a curva definida peln 
Io(U,V) = (x,y,z) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 
cp(u, vo) (chamada curva u) na 8uperficie. Se 0 vetorA funl$ao 10 ediferenciaveI (resp. de cJasse C 1 )
 
sao func;6es diferenciaveis (resp. de cJasse C1) (figura 7.1). (OX oy oz )
= ou (uo, vo) , ou (uo, vo) , 0)uo, vo) 
e nao nulo, entao ele etangente a esta curva em cp(uo, vo). 
= ~: (uo, vo) x ~~ (uo, vo) enao nulo, temos que N(uo, vo) 
ot.p ot.p
e normal ao plano gerado pelos vetores -0 (Uo, vo) e -0 (Uo, vo). 
u __ 
..... 
6 nao nulo, entao 
ip(uo, vo). 
Analogamente, fixado v 
fUlll;ao 
U ---t 
Oil' 
ou (uo, vo) 
Quando N(uo, vo) 
, 
'Se S e regular em '1'(Uo, vo), usando 0 
mostrar que S e0 
ponto '1'(uo, VI). 
ot.p
Suponhamos que OU 
= ~:(uo,vo) 
S. Neste caso, definimos* 0 
---t JR3 definida nu 
e (u, v) ED. 
se x(u, v), y(u, v) e z(u, v) 
(u,v) E D, 
uo, obtemos uma func;ao 
vetor 
)	 
u v· 
• 
x=a:(u,.W'J
 
YcYlu,V)
 
1::::IIlfu.v)
 
If! 
Figura 7.1 
Suponhamos que uma superficie Scorn representa<.;ao parametrica 
cp(u, v) = (X(u,v),y(u, v),z(u, v)) , 
Figura 7.2 
seja diferenciavel em (uo, vo) E D. Fixando u = 
Definic;ao 7.2: Seja S	 uma superficie parametrizada por t.p : D C JR2 ---t JR3. 
ocp. ,I C JR ----+ JR3 e ov seJam contmuas em (uo, vo) ED. Se N(uo, vo) = 
x ~~(uo,vo)enaonulo,diZemOSqueSeregUlaremcp(uo,vo) E
V f---> cp(uo,v) 
plano tangente a S em cp(uo, vo) = (xo, Yo, zo)
que define uma curva (chamada curva v) na superficie (figura 7.2). Se 0 
teorema da fun<;ao implicita (Apendice) e possivel 
oil' (OX oy oz grMico de uma funl;iio diferenciavel de duas variaveis numa vizinhan<;a do ov (uo, vo) = ov (uo, vo) , ov (uo, vo) , ov (uo, vo) 
2&0
 
N(uo,vo)' (x - Xo,y - Yo,Z - zo) = 0. 
( 
of of )- ox (xo, yo) , - oy (xo, Yo) ,1 . (x - xc, y ­ Yo, z ­ zo) = 0. 
(x, y) E JR?, 
(B, t) E [0,27T"] x [a, b]. 
(X,Y.Z) 
<p(x,y) = (x, y, #+yz) 
<p(8, t) = (x(t) cosB , x(t) sen B , z(t)) 
Figura 7.3 
igual a x(t) para algum t, a :S t :S b, cuja distancia 800 plano xy e z(t). 0 
parametro B representa 0 angulo das coordenadas polares da projec;ao de P 
no plano xy, conforme ilustrado na figura 7.3. 
Os parametros t e B podem ser interpretados do seguinte modo: se P = 
(x, y, z) E 5, entao P pertence a uma circunferencia de centro no eixo z e raio 
it flUperf!cie de rlvoluolD S Ullm KoradlL tom uma representa<;ao panlmetrica 
cla.da par 
Exemplo 7.3: Considere a superficie 5 do cone z = f(x, y) = Jx2 + y2 
(figura 7.4). Esta superffcie pode ser representada parametricamente por 
como no exemplo 7.l. 
Com esta representac;iio parametrica, 5 nao e regular em (0,0,0) pais f(x, y) 
mao possui derivadas parciais em (x, y) = (0,0). 
(x,y) ED. 
a:S t:S b e x(t) 2 °paratodo t E [a, b], 
<p(x,y) = (x,y,f(x,y)) 
z = z(t) 
i j k 
o 0 I of ( ) I (Of of )o:(x,y) x o~(x,y) = 1 ° ox x,y = - ox(x,y) , -- Oy(x,y) , 1 
of 
01 Oy(x,y) 
x = x(t) 
Exemplo 7.2: Superficies de revolut;ao 
Considere a superficie 5 obtida giranda-se a curva C, no plano xz, 
torno do eixo z. Se C tern equac;oes parametricas 
e nao nulo para todo (x, y) ED. 
o plano tangente a S em (xo, Yo, zo) = (xo, Yo, f(xo, YO)) e dado por 
como sendo a plano gcrado pc10H votorcH ~~ (no, va) (1 ~)'P (no, '110), ell,] a. oqua9 
v'I/, ( '/I 
e dada par 
Vma superficie 5 = <p(D) e regular se e regular em todos as pontos. 
tivamente, uma superficie regular nao tern "bicos". 
Exemplo 7.1: Superficies com representat;ao explicita z = f(x, y) 
Vma superficie 5 com representa<;ao explicita z = f(x, y), (x, y) ED, pod .. 
ser parametrizada de modo natural usanda-se x e y como parametros, au seja, 
tomando-se como representac;ao parametrica de 5 
Se f(x, y) e de classe c1, entao 5 e regular pois 
A superficie 8 tamMm pode !':leI' pl1rl1metrizada como no oxcmplo 7,2, vii 
que 8 pode ser obtida girando-se a semi-reta z = :J:, x ~ 0, em tome do el 
z.	 Assim 8 tern representa<;ao parametrica 
cp(e, t) = (t cos e, t sen e , t) eE [0, 27f].t ~ ° 
Nesta parametriza<;;ao, 8 tambem nao e regular em (0,0,0) pois 
i j k 
8cp 8cp 
= (t cosB, t sen e, -t)8e (e, t) x at (B, t) = --t sen B t cos e ° 
cose sen B 1 
e nulo em t = O,apesar de as funyoes x(B, t), y(B, t) e z(e, t) serem de classe Cl, 
t possivel encontrar uma parametriza<;ao na qual 8 seja regular em (O,O,O)? 
(veja exercicio 3, §7.2). 
Figura	 7.4 
§7.2	 Exercicios 
1.	 Seja 8 uma superficie parametrizada pOl' 
cp(u, v) = (v cos u, v sen u, 1 - v2); 0 :S u :S 27f v ~ 0. 
11) Idtmtlftqu••It... MIJ{Wrf!{'\o, Bsta, 8upcrficic 6 regular?
 
b) Trace lll'l ('urVlts na ouperficie 8, definidas pOl' cp(uo, v) e 'P(u,vo), onde:
 
7f 
i)uo = ° ii)uo = 2" iii)vo = ° iv)vo = 1. 
c) Encontre urn vetor tangente acurva, definida pOl' 'P(O, v), no ponto 
cp(O,l).
 
d) Encontre urn vetor tangente a curva, definida pOl' 'P(U, 1), no ponto
 
cp(O,l).
 
e) Encontre uma equa<;ii,o da reta normal e a equa<;ao do plano tangente a
 
8 em cp(O, 1).
 
2. a)	 Encontre uma parametriza<;ao para a superficie obtida girando-se 0 
2circulo (x - a)2 + z2 = r , °< r < a, em tomo do eixo z. Esta superficie e 
chamada toro. 
b) Encontre urn vetor normal a esta superficie. 
c) Esta superficie e regular? 
3. Considere as superficies 8 1 e 8 2 parametrizadas pOl' 
'P1(U,V) = (u,v,O) e CP2(U,v) = (u3 ,v3 ,0) (u, v) E JR?, 
respectivamente. 
a) Mostre que 81 e 82 sao 0 plano xy. 
""-b) Mostre que 8 1 e regular e que 82 nao 0 e. Conclua que a regularidade 
de uma superficie 8 depende da existencia de pelo menos uma parametriza<;iio 
na qual 8 seja regular. 
c) t possivel encontrar uma parametriza<;;ao na qual 0 cone da figura 7.4 
: 4 4 ue_ 
seja regular em (0,0,0)'1 
4. Dada a esfera de raio 2, centrada na origem, encontre a equa<;ao do pl 
tangente a ela no ponto (1,1,J2), considerando a esfera como: 
a) Uma superficie parametrizada por 
I.p( ¢, B) = (2 sen ¢ cos e , 2 sen ¢ sen e , 2 cos ¢) , 0 $. ¢ $. 7r , 0 $. e $. 27T', 
b) Uma superficie de nivel de F(x, y, z) = x2+ y2 + z2.
 
c) a gnifico de g(x, y) = /4 - x--r- y2.
 
5. a) Encontre uma parametriza<;ao para 0 hiperboloide x2 + y2 - z2 = 1. 
b) Encontre urn vetor normal a esta superficie. 
c) Encontre a equa<;ao do plano tangente asuperficie em (xo, yo, 0). 
6. Considere a superficie parametrizada por 
I.p(r,e) = (rcose, rsene, B) O$.r$.l °$. e$. 47r. 
a) Esboce esta superficie.
 
b) Encontre uma expressao para urn vetor normal a superficie.
 
c) Esta superficie e regular?
 
No restante deste capitulo consideraremos apenas superficiesque sao imagens de func;oes I.p : D C JR2 -+ JR3 tais que: 
(i) D e urn subconjunto limitado e fechado do plano. 
(ii) I.p e injetora, exceto possivelmente na fronteira de D. 
(iii) A superficie e regular, exceto possivelmente num nume­
ro finito de pontos. 
IWIlf' I 
eflnic;ao 7.3: Seja S unm superficie parametrizada por I.p(u, v), (u, v) ED. 
Dl1finimos a area* A(S) de S pela formula 
Area de Iuplrt'tcles
 
(7.1)A(S) = f f II ~~ (u, v) x~~ (u, v)11 dudv, 
D 
01.p ol.p II ' Ol.p Ol.punde OU (u, v) x ov (u, v) e a norma do vetor N = OU (u, v) x ov (u, v). 
11 
Se S e decomposta como uniao finita de superficies Si, sua area e a soma 
rias areas das Si. 
Quando S e definida explicitamente pela equa<;ao z = f(x, y), (x, y) ED, 0 
(Jxemplo 7.1 garante que S pode ser parametrizada por I.p(x, y) = (x, y, f(x, y)), 
. 1101.p Ol.pll (9f)2 (Of)2(x, y) E D, e liN II = ox x oy = ox + oy + 1. Logo, a formula 
(7.1) e escrita na forma 
A(S) = f JV(~~(X,y)r +(~~(X,y)r +1 dxdy. (7.2) 
D 
Podemos justificar a defini<;ao 7.3 analisand~a integral 
JJII~~(u,v) x ~~(u,v)111 dudv em termos de somas de Riemann. Por 
D 
simplicidade, suponhamos que D e urn retangulo. Consideremos uma parti<;ao 
regular de ordem n de D, e seja Rj 0 ij-esimo retangulo da parti<;ao com 
vertices (Ui,Vj), (Ui+l,Vj), (Ui,Vj+I) e (Ui+l,Vj+I), i,j E {0,···,n-1}. De-
Ol.p Ol.p
notemos os vetores ~ e ~ em (Ui, vJ·) por I.pu, e I.pv·· as vetores b..Ul.pu,uU uV J 
e b..Vl.pv. sao tangentes a superficie em I.p(Ui,Vj) = (Xij,Yij,Zij), onde b..u = 
J • 
Ui+l - Ui e b..v = Vj+! - Vj' Estes vetores formam urn paralelogramo Pij 
"Quando discutirrnos integrais de superficie, rnostrarernos (teorerna 7.2) que, sob certas 
condi,>oes gerais, a area independe da representa<;ao pararnetrica de S. 
situado no plano tangentc it superffcic em (Xij, Ylj, 'Ij) (flp;um 7.5). Para 
suficientemente grande, a area de Pij aproxima a fuca de I{) (Ri)). Como a ar 
de urn paralelogramo d.eterminado par dois vetores VI e Vz e Ilvl x vzll, tern 
que 
A(Pij ) = Ilflul{)Tu, X flvl{)vJ = II'Puj x I{)vJfluflv. 
v 
6. 
IUj,Vjl Rli I j 6v 
fllij,)'ij.Zii' 
Vi 
-
I' .. .----:. ., 
Figura 1.5 
Portanto, a area da superffcie e aproximada por 
n-ln-l n-ln-l 
An = L L A(~j) = L L Ill{)u, I{)vi II fluflv.X 
i=O j=O i=O j=O 
Quando n ----t +00, a seqUencia (An) converge rara a integral 
Jill ~~ (u, v) x ~~ (u, v)11 dudv. 
D 
Intuitivamente, quanto maior 0 n mais An se aproxima da area de 5. Logo, e 
razoavel definir a area de 5 pela formula (7.1). 
Exemplo 1.4: Calcule a area da pon;iio do cilindro xZ+yZ = aZcompreendida 
entre os pIanos z = 2x e z = 4x. 
loluc;iol 0 c1l1nclfo ,- + 'U1 • a~ 6 a l:Iuperffcie de revoluc;ao obtida girando­
110 a reta x = a (a, > 0) no plano XZ, em torno do eixo z. Assim, uma 
ropresentac;iio pararnetrica do cilindro e dada por 
I{)((}, v) = (acos(} , a sen (} , v) , 0:::::: (} :::::: 211" , v E JR. 
Heja 5 a pon;iio do cilindro compreendida entre os pIanos z = 2x e z = 4x 
(figura 7.6). Devido a simetria de S temos que 
A(S) = 2A(Sl), 
onde SI e a pon;iio de S acima do plano xy. 51 tern representac;iio parametrica 
11" 11" 
I{) ((}, v) = (a cos (} , a sen (} , v), - 2" :::::: (} :::::: 2" e 2a cos (} :::::: v :::::: 4a cos (} . 
Como 
i j k 
81{) 81{)
8(} ((}, v) x 8v ((}, v) = -a sen (} acos(} 0 = (a cos (}, a sen (}, 0), 
o o 1 
entiio 
2 2II ~~ ((}, v) x ~~ ((}, v)11 = Jaz cos (} + a sen 2(} = a # o. 
Conseqiientemente, a superficie Sl e regular em todos os pontos. Por (7.1), 
temos 
j 7r/2 ~4acOBIl j1 2 2A(SI) = advd(} = a 2acos(}d(} = 2a2 [ sen (}]:J7r / 2 = 4a • 
-7r/2 2acosO -1 
Logo, 
A(S) = 8a2 • 
Ricardo Freire
Sticky Note
Para n
I 
_---1---- ... 
/' 
y 
:JI . I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I I1-----------1 
.... _--------"" 
Figura 7.7 
7f 
cp(¢, e) = (a sen ¢cose , a sen ¢ sen e, acos¢) , 0 $: ¢ $: '2 ' 0 $: e :s 27f. 
, I"rr /'" ~C'II 1/ (/"'. , Ic'n [ ]r=a sen e _/\(5 1) = J ,j---' (J,-,.de = a -y0.2 - r2 -
,() ,(J (/~ - .,.'2 , 0 r=O 
z 
A(S) = 2a2 (7f - 2). 
-------­
da esfera dada por 
Observe que, para calcularmos a area de todo 0 hemisferio superior 8 da 
esfera x 2 + y2+ z2 = 0.2 , nao podemos usar a representa<;ao expllcita de 8, 
visto que, nesta representa<;ao, S nao e regular em todos os pontos do cfrculo 
x 2 + y2 = 0.2 . Neste caso, e conveniente usarmos a representa<;ao parametrica 
~ afo' (-al W"OI + a)dO ~ a' (fo'l-caso + 1) dO + ;;(0080 + 1)diJ) ~ 
2 r 2 e-n/2 2 
= 20. }0 (- cos e+ 1) de = 20. [- sen e+ e] e:o = a (7f - 2); 
Logo, 
(x,y) ED,z = !(x,y) = Vo.2 - x2 _ y2 
A(81 ) = ff J 2 0. 2 " dxdy.a -x -y
D 
Usando mudan<;a polar na integral dupla, obtemos 
I 
I 
I I "I I _ 
I~-l~-- -'I 
l I / 
,~,-------,---
~=Q 
Figura 7.6 
Exemplo 7.5: Calcule a area da pOr<;ao da esfera x2 + y2 + z2 = 0.2 situad 
no interior do dEndra x2 + y2 = o.y, a > O. 
Solu~ao: A por<;ao da esfera situada no interior do dlindra e constitufda df 
duas partes de areas iguais, uma no hemisferio superior e outra no hemisferi 
inferior (figura 7.7). 
Chamemos de 8 1 a por<;ao do hemisferio superior da esfera situada n 
interior do dEndra, cuja representa<;ao explfcita e dada por 
ondeD={(x,y)EIR2 1 x2 +y2$:ay}. 
A fun<;ao z = vi0.2 - x 2 - y2 possui derivadas parciais contfnuas em D ­
{(O, an. Portanto, 8 1 nao e regular apenas no ponto (0,0.,0). Como IIN(x, y)11 
a
vi 2 2 2' por (7.2) temos 
a -x -y 
~·eo--
Assim, b) A area da porQIo d. S Clomprtltludldtt ontro OH dlindroH x'2 + y'2 = 1 e 
.r.'2 + y'2 = 4. 
ocp ocp
o¢(¢, 0) x 00 (¢, 0) 
i 
acos¢cosO 
j 
a cos ¢ sen 0 
k 
- a sen ¢ = 
-a sen ¢ sen 0 a sen ¢cosO 0 
= (a2 sen 2¢cosO,a2 sen 2¢ sen O,a2 sen ¢cos¢), 
que se anula apenas quando ¢ = O. Logo, nesta parametriza~ao, S nao 
regular apenas no ponto (O,O,a). Como 
ocp ocp II 2o¢ (¢, 0) x 00 (¢, 0) = a sen ¢, 
Il 
por (7.1) temos que 
[27r r /2 2 2 -7r 2 2A(S) = 10 10 a sen ¢d¢dO = 27ra [-cos¢1:=/ = 27ra . 
§7.4 Exercicios 
1. Considere 'Y 0 arco da parabola z = 3 - y2 no plano yz compreendido 
entre as semi-retas z = 2y e z = 11y, com y ~ O. Seja S a superficie obtida 
2 
girando-se 'Y em torno do eixo z. Pede-se: 
a) Uma parametrizac;ao para S. 
b) A area de S. 
2. Considerando que a superficie S e obtida girando a curva z = x2 , 0 S x S 4, 
em torno do eixo z, pede-se: 
a) Uma parametrizac;ao para S. 
Deseja-se construir uma pec;a de zinco que tem a forma da superficie de 
11quac;ao z = 1 - x2 , compreendida entre os planas y = 0, z = 0, e a cilindra 
Z = 1- y2, Y ~ O. Se 0 metro quadrado do zinco custa A reais, calcule 0 prec;o 
t,otal da pec;a. 
1. Calcule a area das seguintes superficies. 
a) Superficie do cilindra x2 + y2 = 2x limitada pelo plano z = 0 e 0 cone 
z = VX2 + y2. 
b) Superficie do cone z2 = x2+y2 situada entre os pIanos z = 0 e x+2z = 3. 
c) Superficie do solido limitado pelo cone z2 = x 2 + y2 e a parte superior 
da esfera x2 + y2 + z2 = 1. 
d) Superficie da esfera x2 + y2 + z2 = 12 que nao se encontra no interior 
do paraboloide z = x2 + y2. 
e) Parte superior da esfera x 2 + y2 + z2 = 1 situada no interior do cilindro 
(x2 + y2)2 = x2 _ y2. 
2x 
f) Superficie do paraboloide z = 5 - 2 - y2 que se encontra no interior 
do cilindra x 2 + 4y2 = 4. 
g) Superficie da esfera de raio a centrada na origem limitada par dois 
paralelos e dois meridianos, sabendo-se que 0 angulo entre os meridianos e 
aea distancia entre os pIanos que contem os paralelos eh. 
Ricardo Freire
Sticky Note
é
282 
§7.5 Integral de superffcie de func;io escalar 
A defini<;ao de integral de superficie de uma func;ao escalar tern u 
estreita analogia com a de integral de linha, apesar de a situa~iio geometrica II 
diferente. 
Defini~ao 7.4: Sej am S uma superficie parametrizada por <p(u, v), (u, v) E 
e f(x, y, z) uma func;ao real continua definida em S. Definimos a integral 
superficie de f sobre S por 
JJfds= JJf(x,y,z)ds= JJf(r.p(u, v)) II~: x ~~jl dudv, * 
5 5 D 
onde ~: e ~: sao definidos como na sec;ao 7.l. 
SeS e decomposta como uniao finita de superficies Si, i = 1,' . " n, ent 
JJf ds = t JJf ds. 
5 t=l 5/ 
Quando S e definida explicitamente pela equac;ao z = g(x, y), (x, y) E D, 
urn raciocfnio alllilogo aquele feito apos a definic;ao 7.3 fornece 
g )2 (Og )2JJfds= JJf(x,y,g(x,y)) 1 + (a + ay (x, y) ax (x, y) dxdy. 
5 D 
(7.4) 
/ / ela. ff"~~(u,v)X ~:(u,V)11 dudv=areaS. 
S D 
Por esta raz.ao, 0 simbolo ds pode ser interpretado como urn "elemento de 
drea de superjicie", e a integral de superficie J/ f ds echamada a integral, 
5 
de f com respeito ao elemento de area ds, estendida sobre a superficie S. 
Exemplo 7.6: Considere a superficie S do paraboloide z = x 2 + y2, com 
~2 + y2 ~ 4. Se a densidade (massa por unidade de area) em cada ponto 
(x, y, z) ESe igual ao quadrado da distancia do ponto ao eixo de simetria de 
!5, calcule a massa total de S. 
801u~ao: Como 0 eixo de simetria de S e 0 eixo z, a densidade em cada ponto 
(x, y, z) E S pode ser representada pela func;ao f(x, y, z) = x2+ y2. Portanto, 
It massa total M de S edada por 
2M = JJf(x, y, z) ds = JJ(x + y2) ds = 
5 5 
= JJ (x2 + y2)J1 + 4x2 + 4y2 dxdy. 
x 2+y2:O=;4 
Usando mudanc;a polar para resolver a integral dupla, obtemos 
2JJ (x2 + y2)J1 + 4x2 + 4y2 dxdy = fa27r 10 r3 J1 + 4r2 drdO = 
x 2+y2:O=;4 
271" [(1 + 4r2)5/2 (1 + 4r2)3/2] r=2 71" = - - = -(1 + 391M).
16 5 3 r=O 60 
Se f(x, y, z) = 1 sobre S, a equac;ao (7.3) se reduz a 
Exemplo 7.7: Calcule JJz ds, onde Sea superficie do solido limitado pelo 
*Mostranimos atraves do teorema (7.2) que a equ~ao (7.3) independe da represent~ao, 
5 
parametrica de S. cilindro x 2 + y2 = 1 e os pIanos z = 1 ex + z = 4. 
. 
= 
Exercicios 
JJ 
x 2 +y2 :S1 
1. Calcule as seguintes integrais de superffcie: 
8 
§7.6 
././ z d.~ 
81 
I~ntao 
Como S3 eo grafico da fUIll;ao z 
por (7.4),
y 
(0, v) E D, 
, 
5~ 
5. 
/ '')(:
/ ' 
/ 
/ 
// 
// 
~'GUI"'" GI1tf'IftM4f .Dlliii1liT n Wi·ili··...,. -:ttl = 
= 1. 
JJz ds + JJz ds + JJz ds. 
~ ~ 
I 0 ::; B ::; 2Jr e 1 ::; v ::; 4 ­ cos B}. Do exemplo 7 
f:iuporficicH 81, 82 (~ 8:1, ondo s: 
X, 82 6 0 plaIlo Z == J COlli :r:.! + lIa 
2+ y2 ::; 1 (figura 7.8). 
·"'ow 
Soluc;ao: A superficie Sea uniao dtL~ 
cilindro x 2 + y2 = 1 com 1 ::; z ::; 4 - ,I' ~'21r j'4-COSB J21r [v2] v=4-cosB vdvdB = vdvdB = - dO = 
I . 0 1 0 2 1 e 83 eo plano x + z = 4 com x D v=
 
1121r 31Jr
 _ (15 - 8cosO + cos2 B) dO = -. 
2 0 2 
/ 
/ 
/
/ 
/ 
J J z ds = J J ds = area S2 = Jr. 
/ /
 
/ /
 
/ /
 52 82 
/ / /
< /
X , / ,,.'"-" ", = f(x,y) = 4 - x, entao IINII = (!2. Assim, " ",
",, ,,- JJZds=JJ h(4-x)dxdy.'/ 
8:3 x', +y2 :S 1 
Figura 7.8 Usando mudan<;a polar para resolver a integral dupla, obtemos 
Portanto, 
h(4- x )dxdy =J2j~21r fa\4-rcosO)rdrdO=
JJz ds = 
s ~ r21r ( cos 0)= V2Jo 2 - -3- dB = 4V2rr. 
A superficie 81 eparametrizada por 
<p (0, v) = (cos 0, sen 0, v) 
JJz ds = 3l7r + 11' +4)211' = ~(33 + 8)2).,2 2 
onde D = HB, v) E JR2 s 
temos que 
II~~ x ~~I\ 22a) Jj(x2 + y2) ds, onde Sea esfera x + y2 + z2 = a , 
Logo, por (7.3), 
Ricardo Freire
Sticky Note
<=1,
, 
b) JJxyzds, onde 8 e0 triangulo de v~rtl0. (1,0,0), (0,1,0) e (0,0' 
5 
c) JJ(y2 + z2) ds, onde 8 e a superficie do solido limitado pela part 
5 
superior da esfera x2 + y2 + z2 = 1 e 0 cone z = Jx 2+ y2. 
2. Seja 8 a superficie obtida girando-se a curva plana z = 1 - x 2 , 0 :s x 
em torno do eixo z. Calcule JJx~~1 2 ds, onde 81 e a por~ao de 8 qU" 
51 Y ., 
encontra no interior do cilindro x2+ y2 = y. 
3. Seja 8 urna su:perficie fechada tal que 8 = 81 U 82, onde 8 1 e 82 sao, 
superficies de revolu~ao obtidas pela rot~ao em torno do eixo z das cu 
C1 : z = 1 - x, O:s x :s 1 e C2 : z = 0, 0 :s x :s 1, respectivamente. 
p(x, y, z) = Jx 2 + y2 ea fun~ao que fomece a densidade (massa por unid 
de area) em cada ponto (x, y, z) E 8, calcule a massa de S. 
4. Sabendo-se que 0 centro de massa (xc, Yc, zc) de uma superficie S edefini, 
por 
JJxf(x, y, z) ds JJyf(x, y, z) ds JJ z!(x,y, z) ds 
5 5 5
Xc = ---=----- , Yc = --=---M-::-::--- e zc= MM 
onde Mea massa total de 8 e ! (x, y, z) ea densidade em cada ponto (x, y, z) 
8, calcule 0 centro de massa das seguintes superficies com densidade constante' 
a) 8 tem represent~aoparametrica cp(u, v) = (u, v, u2+ v2) , u2+ v2 < 1. 
b) 8 e a parte da superficie conica z2 = x 2 + y2 compreendida entre os 
pIanos z = 1 e z = 2. 
. -IrVT' 
Integral d. lupcrffde de fun<;ao vetorial 
Cl.ln. S uma supcrfkip jJltmmetrizada por 'P(u, v), (u, v) ED. A esta superficie 
too associados dois campoS continuos de vetores normais unitarios, a saber: 
_. ~(u,v) x ~(u,v) 
( ( ))nl rp u, v - II a a III~(u,v) x ~(u,v) 
n2(rp(u,V)) = -nl('P(u,V)). 
Dizemos que S esta orientada se fixarmos sobre S urn tal campo de ve-
Se F : S C IR3 -t IR3 e urn campo vetorial continuo e n urn ddscampos 
nl ou n2 definidos anteriormente, denotamos par Fn = F . n a fun<;80 escalar 
que a cada ponto de S associa a componente do campo F na dire<;ao do vetor 
Seja F urn campo vetorial continuo definido numa superficie 
orientada S parametrizada par rp(u, v), (u, v) ED. Definimos a integral de 
8uperficie* de F sobre S par 
J J F· ds = J J (F . n) ds = J JFn ds. 
s s s 
Segue da defini<;80 de integral de superficie que 
.J \1 o'P orp II = [F(rp(u,v)).n('P(u,v))] I!au(u,v) x ov(u,v)! dudv=JJ(F. n) ds J
S 
= J 
D
J[F(rp(U,V))'(~~(U,V)X~~(U,V))J dudv, 
D (7.5) 
'Veremos atravcs do teorema 7.2 que, sob certas condicsoes gerais, a integral de superflcie 
de urn campo vetorial sobre uma superficie orientada independe da parametrizacsao escolhida. 
Ricardo Freire
Sticky Note
<=1,

que se
_____ 
I 
~u.6.v 
, 
se 11, = 11,]. 
D, temos 
Neste caso, 
converge para 0 
que 0 
De fato, se S e plana e F e urn campo constante, entao 0 volume de fluidl 
na unidade de tempo e (F· n) area(S) 
fluxo rP e dado por 
f f [F(x, y, f (x, y)) . ( - ~~ (x, y), - %(x, y), 1)] 
D 
rP = (F . 11,) area (S). 
(-g~,-u,1) 
11,1 = -r=~====~~== 
j 2 
(~) 
senta urn campo de velocidade associado ao escoamento de urn fluido em c 
2
+(U) +1 
Quando S e definida explicitamente pela equaC;ao z 
Observe que esta integral muda de sinal sc considerarmos n = 11,2. 
-----~- -- .... ' ..-._-._- - --w-=r"-"'---'---W--- -- ---
Exemplo 7.8: Uma interpretac;ao fisica da integral de superficie 
Suponhamos que urn campo vetorial continuo F : W C JR3 ---+ JR3 rep. 
0 fluxo ou taxa de escoamento por unidade de tem 
./ 
atraves de uma superficie S contida em W e dado pela integral de superfic 
//~-f f (F . n) ds = 
S 
Figura 7.9 
se n = n1. 
Se S e uma superficie (nao plana) contida em W, a decompomos mediante 
eurvas coordenadas da forma U =constante, v =constante, e supomos que 
urn campo vetorial. F e constante em cada parte Sk de S assim formada. Aproximando Spar 
paralelogramos tangentes determinados pelos vetores ~~ ~u e ~~ ~v, obtemol 
fluxo atraves de uma parte Sk de S e aproximadamente 
ponto da regiao W. rPk ~ (F(rp(lLkl Vk)) . nk) area (Sk) ~ 
8rp 8rp )
~ F(rp(Uk,Vk))' 8u (Uk,Vk) x 8v (Uk,Vk) ~u~v,de F sobre S. ( 
como ilustrado na figura 7.10. 
,. que passa atraves de S Quando n ---+ +00, a sequencia das somas 
Portanto, 0 
~ (8rp 8rp )6(F(rp(lLk,'Uk))' 8u (lLk' Vk) x 8v (Uk, Vk) 
fluxo total de F atraves de S. Logo 0 fluxo <p 
rP = JJF(rp(u,v))· (~~ x ~~) dudv = J/ F· Ii,. 
D S 
---
---
y 
Au
". ~--,-- ~"11
 
I 
I 
I, 
I 
u. 
.-rv... 
Figura 7.10 
Exemplo 7.9: Calcule JJ(F· n) ds, onde F(x, y, z) = (x, y, x2z) e S, 
s 
superficie do cilindro (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 entre os pIanos z = 0 e z 
com vetor normal apontando para fora de S. 
Soluc;ao: 0 cilindro S (figura 7.11) tern representac;iio parametrica 
Ip(B, u) = (1 + cos 0, 1 + sen 0, u) o S; 0 S; 27f, 0 S; U S; 4. 
Urn campo de vetores norrnais que aponta para fora de S em cada pont 
dado por 
Olp Olp
00 (fJ, u) x ou (B, u) = -
i 
sen 0 
j 
cosO 
k 
0 I = (cos e, sen 0, 0). 
o o 1 
Logo, por (7.5), 
/./ (F ' n) d.~ = 
8 
2 ( cos B, sen B, 0)]j'Jl=, (l+cosB,l+senB,(l+cosO)u)· 1 ds= 
,i /21r r· 
= io i (cosB + sen B+ 1) dOdu = io 27fdu = 87f.o 
'\
 
Figura 7.11 
Exemplo 7.10: Calcule 0 fluxo do campo vetorial F(x,y,z) = (x,y,-2z) 
atraves da superficie S do parabol6ide z = x2 + y2, 0 S; Z S; 1, com vetor 
normal apontando para fora de S. 
Soluc;ao: A superficie S e definida por z = f(x,y) = x2+ y2, (x,y) E D, 
onde D = {(x, y) E ]R2 I x2 + y2 S; I}. Urn campo de vetores normais que 
aponta para fora de S em cada ponto e dado por 
of of )
N = ( ox (x, v), oy (x, v), -1 = (2x, 2y - 1). 
Logo, por (7.6), 
= 11 r(x -2x2 - 2 2). (2x,2y, -1) ] ds =(F· n) ds¢ = 11 L ,y, Y J1 + 4x2 + 4y2 
S S 
= 1J4(x2+ y2) dxdy. 
D 
Ricardo Freire
Sticky Note
é a 

z=4
----
"",uplrflclCl a partir da orlentac;;ti.(,) d(1 ctltda 
Usando mudanc;a polar para rosolver tl integml dupia, obtomolll 
·211" IJJ4(x2 + y2) dxdy = 1 1. 4r :l drd() = 2n. 
D 
Exemplo 7.11: Caleule JJ(F· n) ds, onde F(x, y, z) = (x, -x, -1) e S 
8 
porc;ao do plano x + y + z = 0 situada no interior da esfera x 2 + y2 + z2 • 
Especifique a orientac;ao escolhida. 
Solu~ao: 5 e definida por z = f(x, y) = -x - y, (x, y) ED, onde 
D = {(x, y) E JR.2 12x2 + 2y2 + 2xy :s: I}. 
Escolhendo 0 campo de vetores normais a 8 dado por 
N=(l,l,l), 
obtemos 
JJ(F . n) ds = JJ[( x, - x, -1) . (1~1)] ds = JJ-~ ds = 
S 8 S 
1 , 7r 
= -- area (8) =-­
yI3 yI3' 
visto que 5 e urn disco que contem 0 centro da esfera, possuindo entao 0: 
mesmo raio da esfera. 
Com 0 intuito de caleular a integral de linha de urn campo vetorial ao 
longo de uma curva C 1 por partes, e natural orientar as partes de classe C 1 
da curva de modo que 0 ponto final de cada parte coincida com 0 ponto inicial. 
daquela que a segue. Para integrar urn campo vetorial sobre uma superficie 
que e a uniao finita de superficies coladas pelos bordos* comuns, precisamos 
. Seja S uma ~uperficie parametrizada par ~(u, v), (u, v) ED. 0 bordo as de'S e a 
curva de S corre~pondente por ~ a fronteira de D. 
nw. de BUl:!8 partes. 
Deftnic;ao 7.6: Se 8 e UIllB, Huporflcic orientada por urn campo de vetore::> 
lIormais unitarios n, dizemos que 0 bordo 88 de 8 esta orientado positiva­
mente se a superficie 8 esta a esquerda de uma pessoa que caminha ao longo 
de a8 com 0 vetor n representando sua posic;ao vertical, como na figura 7.12. 
:;AIJI/IJJ
10 
y 
11 
Figura 7.12 
Uma superficie 8 que e unHio finita de superficies 8i coladas pelos bordos 
comuns esta orientada, se e possivel orientar cada parte 8 i , de modo que, 
quando os bordos de suas partes estao orientados positivamente, tenhamos 
bordos comuns a duas partes sendo percorridos em sentido contnirio. A figura 
7.13 mostra uma superficie cilindrica orientada fechada**. Neste caso, se F e 
urn campo vetorial continuo sobre cada Si, entao 
f f (F . n) ds = ~ JJ(F . n) ds. (7.7) 
8 8, 
o 
* * Urna superflcie Sedita fechada se Sea fronteira de uma regiao lirnitada do lR . 
r1 
_-'0-":"""""---­
,/' 
I 
l 
I~ 
+n 
Figura 7.13 
Quando nao for possivel orientar cada parte 8i de modo que isto ocorra' 
dizemos que a superficie 8 nao e uma superficie orientavel. 
Um exemplo canonico de uma superflcie nao orientavel ea faixa de Mobius 
obtida pela jun<;ao de duas faixas retangulares, uma delas com uma ton.;oo< 
(figura 7.14). 
n 
5. ,,_I__ ~ 
~ 
111'- ,~, 
Figura 7.14 
Illxomplo T.11. ~~n)d" ando F(x.v.'} • (x.v,2.). s, I.t 
lluiiio dOB planot! 'Y _ I _ 0, () -; :/: < 1, °~ z 5 1, e y + z = 0, 0 ~ :z: ~ 1, 
()~z~l. 
801uc;ao: 8 e a uniao das superficies 81 e 82, onde 81 e a por<;ao do plano 
z = y cuja proje<;ao no plano xy e0 quadrado D1 = [0,1] x [0, 1], e 82 ea por~1D 
do plano z = -y cuja proje<;ao no plano xy e0 quadrado D2 = [0,1] x [-1,0]. 
Se considerarmos 81 e 82 com os campos de vetores normais
 
1 1) (1 1) .
Ttl = 0, y'2' - ../2 e n2 = 0, - )2' - y'2 ,respectlVamente, 8 estare. art­
( 
entada (figura 7.15). Portanto, par (7.7), 
(F ' n) ds = (F . n) dsJJ JJ(F . n) ds + JJ = 
8 81 8'2 
= j j(x,y,2Y)' (o,~,_~) ds+ j j(x,y,-2Y)' (0,- ~,- ~) d. 
~ ~ 
= f1 f1 -ydxdy + fO f1 ydxdy = -~ + (-~) = -1. 
Jo Jo -1 Jo 2 2 
z 
Figura 7.15 
.... 
v 
Examinarcmos agora 0 comportarnento da!!l Integra!1il de t4Uporfrcle qu, 
mudamos a parametrizac;ao da superffcie S. 
Sejam 'Pl(U,V), (u,v) E D1, e 'P2(S,t), (s,t) E D2, duas pararnetriz 
de uma superficie orientada S. Dizemos que 'PI e 'P2 sao equivalentel 
existc uma func;ao 
G : D2 C lR2 ----t D 1 C lR2 
(s,t) f---t G(s,t) = (u,v) = (u(s,t),v(s,t)), 
G bijetora e de classe C\ tal que 'Pl(G(D2)) = 'P2(D2) = S, isto e, 
'P2(S,t) = 'Pl(U(S,t),v(s,t)) (s, t) E D2 
(figura 7.16). 
'1 ,," " 
~ 
S:Ill, (0, I :Ill,(D.I ~y • I 
, D'I 
s 
G ~ 
u 
' 
Figura 7.16 
Teorema 7.1: Se 'PI (u, v) e 'P2(S, t) sao parametriza,;oes equivalentes de uma 
superficie regular orientada, entao 
8(u,v) 
N'P2 = N'PI 8(s, t) , 
t,~~~ 
, :'f..~ 
Qnde ;'* 
n~1 U~J a'P2 D'P2 
Nip I = -11- x -!~ c N'P2 = -8 x -a. 
uti uV s t 
Demonstrac;ao: As derivadas parciais a':s2 e a~2 sao obtidas derivando-n 
11, equaC;ao (7.8) pela regra da cadeia, ou seja, 
8'P2 8'Pl au a'Pl av-=--+-­
as au as av as 
p 
a'P2 aipl au a'Pl av 
at = au at + av at 
, aipl a'Pl _
onde au e av sao calculadas em (u(s, t), v(s, t)), logo 
a'P2 a'P2 
=-x­N'Pl as at 
= (a'Pl 8u + aipl av) x (a'Pl au + aipl aV) = 
au 8s av as au at av at 
= (a'P1 x O'Pl) (au av _ avaU) = 
au av as at as at 
= (a'Pl x a'Pl) a(u, v) =
 
au av a(s, t)
 
_ N a(u,v) 
- 'PI a(s, t) . 
Teorema 7.2: Sejam'Pl(u,V), (u,v) E D 1 , e'P2(s,t), (s,t) E D2,parametrUtJ~" 
equivalentes de uma superficie regular orientada S. 
i) Se f e uma funfaO escalar continua definida em S, entaD 
11 f ds =11 f ds. 
'Pl(Dl) 'P2(Dz)
 
ii) Se F eum campo vetorial continuo definido em 5, entao
 
11 (F·n)ds= 11 (F·n)ds, 
'Pl(Dl) 'P2(D2) 
se os vetores normais N'PI e N'P2 (definidos no teorema 
{~entido em cada ponto de 5, e 
11 (F· n) ds = - 11 (F· n) ds, 
'Pl(Dl) 'P2(Dz) 
1 
.'Ie os vetores normais N'Pl e N'Pz tem sentidos opostos em cada ponto de 5. 
Demonstraf,;3.o: 
i) Pela defini<;iio de integral de superffcie, temos 
11 f ds =11f(~I(U, v)) II ~ (u, v) x 8a:1 (u,v)11 dudv. 
'Pl(Dl) Dl 
Utilizando a fun<;iio G proveniente da equivalencia das parametriza<;6es <f'1 
e ~2 para transformar esta integral dupla numa integral dupla sobre a regi- . 
Dz do plano st, obtemos 
11f(~I(U,V)) II~I (u,v) x8a:1 (u,v)11 dudv = 
Dl 
a~1 8~11118(u,v)1= f(~1 (u(s, t), v(s, t))) a:;; x 8v 8(s, t) dsdt,11 Il 
D2 
onde as derivadas parciais a~1 e 8;2- na integral do lade direito sao calculadas .. 
em (u(s,t),v(s,t)). 
Pelo teorema 7.1, a integral dupla sobre Dz eigual a 
11f(~z(s,t)) 118~z(s,t) x 8~2(s,t)11 dsdt. 
D2 
letta integraJ, POl' ri.~~I, , tI. rlnftnl<;ii,o da integral de superficie / / f ds. 
'P2 (D2) 
ii) Por (7.5), 
( 8~1 8~1)(F.n)ds= F(~I(U,V))' 8u(U'V)X a---;(U,v) dudv.11 JJ 
'Pl (Dl) Dl 
Utilizando a mesma mudan<;a de variaveis do caso anterior, obternos que 
H integral dupla do lado direito e igual a 
( 8~1 8~1) 
8(U,V) I . 
F(~I(U(S, t), v(s, t))) , -8u x 8v 
1 
8(s, t) dsdt,11 
Dz 
8~1 8~1 - ,,--;- (onde 8u e 8v sao calculadas em (u(s, t;, v s, t)).
 
~ 'd" I 7 8(u, v)
e 'Pl e 'PZ tern 0 mesmo sentI 0, entao, pe 0 teorema .1, 8(s, t) > O.S N N
 
Portanto, a integral dupla sobre Dz e igual a
 
( 8~2 8~2)JJ
F(~z(s, t))· as (s, t) x m(s, t) dsdt,
 
Dz 
que e a defini<;iio da integral de superficie 1J (F· n) ds. 
<.p(Dz) 
Se N'Pl e N<.p2 tern sentidos opostos, entiio a integral dupla sobre Dz eigual 
a 
( 8~2 8~z)JJ
-F(~2(S, t)) . 8s (s, t) x m(S' t) dsdt.
 
D2 
§7.8 Exercicios 
Calcule JJ(F· n) ds nos exercicios abaixo:
 
s
 
1. F(x, y, z) = (x, y, -2z) e 5 ea esfera x2+y2 +zz = 4, com vetor normal 
n exterior. 
2. P(:r:, y, z) = (:r:, y, z) (1 S " 0 tri{tngulo dCI v6rticelJl (1,0,0), (0,1,0) • 
(0,0,1), onde 0 vetor normal n tem componcntc z nao negativa. 
3. P(x, y, z) = (y, z, xz) e Sea superficie do solido W, onde 
W = {(x,y, z) E IRs / x2 + y2 ::; z ::; I}, com vetor normal n exterior. 
4. F(x,y,z) = (x,y,z) e Sea superficie do solido W, onde 
W = {(x, y, z) E IRs I x2 + y2 ::; 1 e x2 + y2 + z2 ::; 4}, com vetor nor 
n exterior. 
5. F(x,y,z) = (z2 - x, -xy,3z) e Sea superffcie do solido limitado p 
z = 4 - y2, X = 0, x = 3 e 0 plano xy, com vetor normal n exterior. 
6. F(x, y, z) = (-3xyz2, x+2yz-2xz4 , yzS_z2) e Sea uniao da superf!1 
x
2 
+ y2 = 1, 0::; z ::; 1, com z = 0, x 2+ y2 ::; 1, indicando a orient~ao 
escolhida para S. 
7. F(x, y, z) = (yz, xz, x 2 + y2) e Sea superffcie de revolw;;ao obtida 
girando-se 0 segmento de reta que liga os pontos (1,0,1) e (0,0,3) em tor 
do eixo z, onde 0 vetor normal n tern componente z nao negativa. 
8. F(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)-S/2(x, y, z) e Sea esfera x 2 + y2 + z2 = a 
com vetor normal n exterior. 
§7.9 Teorema de Stokes 
Uma extensao importante do teorema de Green e 0 teorema de Stokes, qu 
relaciona a integral de linha de urn campo vetorial ao longo de uma curva
i 
fechada C no IRs com a integral sobre uma superffeie S da qual Ceo bordo. 
Antes de provar 0 teorema de Stokes, faz-se necessario introduzir alguns con­
ceitos. 
Defl.niremoll inicialmente 0 campo vetorial rotacional. Para isto, considere­
011 F = (Fr, F2, F3) urn campo vetorial com derivadas parciais definidas num 
ubconjunto aberto do JRs. 0 campo vetorial rotacional de F, denotado 
rot F = (OF3 _ oF2 oFI _ oF3 oF2 _ OH) (7.9)
oy OZ 'oz ox ' ox oy' 
A equ~ao (7.9) pode ser lembrada mais facilmente se a reescrevermos 
u!lando a nota.<;ao de "operador". Introduzamos formalmente 0 simbolo "V" 
V = (:x' :y,1) 
para denotar 0 operador que aplicado a uma funl;iao real w = I (x, y, z) nos da 
o gradiente de I, isto e, 
VI = (al 01 ( 1 )
ox' oy' oz . 
Denotemos por "V' x " 0 operador que aplicado a um campo vetorial F = 
(FI , F2, Fs ) nos da 0 produto vetorial formal de V' por F, ou seja, 
i j k
 
0 0 0
 (oFs 8F2 8FI oF3 oF2_ 8 FI)
V' x F = I ox ay oz = oy - az ' 8z - ox '8x oy' 
H F2 F3 
Portanto, V' x F e0 campo vetorial que ja denotamos por rot F. 
Teorema 7.3 (Teorema de Stokes): 
Sejam S uma 8uperficie orientada, parametrizada por <p(u, v), (u, v) E D, 
onde D e uma regiiio lechada do plano uv,limitada por uma curva Cl por 
Para completar a demonstnu;ao basta verificar que 
onde 0 integrando desta integral dupla ecalculado em 'P(u, v). 
r li~ fty ... !Il. '~~~~ ~~~L'__ z). + tJF2 o(x, 'II ] ,,~
.1m., .. OZ 8('/1" v) 8x 8(u, 'U 
f) 
r Fldx = 
Jas 
If l:u (Fl('P(U,V»~:(U,v») - :v (Fl(<P(U,V»)~:(u,v))] dudv. 
D . 
r F3 dz = f j'l8F3 8(y, z) _ 8F3 8(z, x)] dudu ' 
Jas 8y 8(u, v) 8x 8(u, v) I 
D 
las Fl dx = 1b [Fl ('P(h(t») :t (X(h(t»)] dt = 
=1b [Fl('P(h(t») (~: (h(t)u'(t) + ~: (h(t»V'(t»)] dt = 
r (OX 8x )= laD Fl('P(U, v») au (u, v) du + 8v (u, v) dv = 
1 
8x 8x 
= Fl (<p(u'V»)-8 (u,v)du+Fl(<p(u'V»-a (u,v)dv.aD u v 
Como 'P e de classe C2 , podemos aplicar 0 teorema de Green a esta ultima 
integral, obtendo 
Suponhamos que h(t) = (u(t), v(t), a :::; t :::; b, euma parametrll, .' 
fronteira de D, orientada de modo que l.p(h(t») seja uma parametrl..... du 
bordo 8S de S, orientado positivamente. Assim, 
pois somando estas tres equa<;oes obtemos a equa<;ao (7.10) do 
Stokes. Como as tres equa<;6es sao anaJogas, provaremos apenas (T.l 
(u,V)ED, 
I I (rot F . n) ds = 
S 
[( 
8F3 _ 8F2 ) 8(y,z) + (8Fl _ 8F3 ) ?(~x) + 
8y oz o(u, v) 8z 8x 8(u, v) 
+ (8F2 __ 8Fl_) 8(x, y)] dudv 
8x 8y 8(u, v) , 
'P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v» 
=11 
D 
r Fldx = II [8Fl 8(z, x) _ 8Fl O(x,y)] dudv 
las oz 8(u,v) 8y 8(u,v) , 
8'P x Q'!!­ = (!!(y,z) 8(z,x) 8(X,y») 
8u 8v 8(u,v)'8(u,v)'8(u,v)' 
Por (7.5) temos que 
I l(rotF.n)ds= ~sF.dr. 
s 
!!!£x!!!£ 
e orientada com campo de vetores normais n = II ~ x ~ II' onde 
au av I 
Demonstrac;ao: Consideremos S parametrizada por 
partes, e 'P uma funr;.fio de classe C2 num 8·ubcondu.nto abcT1.o dr. Dt~ conti 
D. Se F = (1;1, F2 , F3) eurn campo vdorial de clas8e CJ dcfinido TI.'II.1t/. Hub 
junto aberto de IR3 que contern S cujo bordo 8S e$t6, orientado lJOsitivams' 
entao 
D 
-
Mas, 
8 ( 8X) 8 ( 8X)- (FIoep)- - - (FIoep)- = 
8u 8v 8v 8u
 
8 8x 82x 8 8x 82x
 = --(FlO ep)- + (FlO ep)-- - -(FlO ep)- - (FlO ep) __ 
8u ov ou8v 8v 8u 8v8u
 
8 8x 8 8x
-(FlO ep)- - -(Ft 0 ep)- = 
8u ov OV OU 
= ( 8F
I 8x + 8FI 8y + 8FI 8Z) 8x _ (OFI ox + oFI 8y + 8F
.. 
Sejam
uma bola 
I OZ) 81
 
8x 8u 8y 8u 8z 8u OV ox OV oy 8v 8z 8v
 
_ 8FI (8X 8y _ 8x 8y ) + 8FI (8X 8z _ 8x 82) =
 
8y 8u8v 8v8u OZ 8v8u OUOV
 
8FI 8(x,y) 8FI .8(z,x)- -- +- .
8y 8(u, v) 8z 8(u,v) 
Logo, 
f FI dx = / / [8FI 8(z, x) _ oFI 8(x, y)] dudv 
Jas 8z 8(u, v) By 8(u, v) ,
D 
o que prova (7.11). 
Observa~ao 7.1: No caso particular em que S e uma regiao no plano xy e
 
n = (0,0,1), a formula (7.10) fornece
 
!'SF1d:c+F2dy = !'sFdr= j jerotF.n)dS= j j (~2 _%,) dxdy. 
s s 
Isto prova que 0 teorema de Stokes euma extensiio do teorema de Green. 
Usando 0 teorema de Stokes, podemos deduzir uma interpretaf;80 para 0 
campo vetorial rot F que da alguma informaf;ao acerca do proprio F. 
Po urn ponto de urn conjunto aberto no qual F ede classe C I e B 
r 
fechada de raio r e centro em Po situada no plano perpendicular a no,. como 
indicado na figura 7.17. 
,itt 
Figura 7.17 
Aplicando 0 teorema de Stokes a F sobre Br e seu bordo 'Yr, obtemos 
ir F . dr = JJ(rot F . n) ds. 
B r 
a valor da integral de linha edenominado circulac;ao de F ao longo de "Ir 
e mede a intensidade do campo tangencial a 'Yr. Assim, para r pequeno, a 
circulac;ao ao longo de "Ir mede a intensidade com que 0 campo F perto de Po 
gira em tomo do eixo determinado por no. Por outro lado, a integral de su­
perffcie e, para r suficientemente pequeno, aproximadamente igual ao produto 
escalar rot F(Po) . no multiplicado pela area de Br . Segue que a circul~80 
ao longo de "Ir tendera a ser maior se no tiver 0 mesmo sentido de rot F(Po). 
Portant0 , podemos interpretar rot F(Po) como sendo 0 determinador do eixo 
em tome do qua] a circula<;ao de F ea maior possivel perto de Po. 
Exemplo 7:13: Calcule fc F· dr, onde F(x, y, z) = (yz+x3 , 2xz+3y2,xy+4) 
e C e a curva obtida como interse<;iio do cilindro x 2 + y2 = 1 com 0 plano 
x + y +z = 1, orientada no sentido anti-honhio. 
Figura 7.18 
1 e z = 0, 
y 
~:rZ.y2.1 
j J(rot F . n) ds 
s 
fc F· dr = 'Ir. 
Verifique este resultado calculando a integral de linha diretamente. 
1) Y dx ­ x dy = j J -2 dxdy = - 2'1r.Jx 2+y -=1 
x2+y2~1 
z t 
Exemplo 7.14: Considere S a superficieorientadada figura 7.1ge F(x, y, z) = 
(y, -x, e:CZ). Calcule j / (rot F· n) ds. 
s 
Figura 7.19 
Soluc;;ao: 0 bordo 8S de Sea curva definida por x 2 + y2 
orientada no sentido anti-honirio. Por (7.10), temos 
= 1 F· dr = 
Jas 
= 1 y dx ­ x dy + eXZ dz = 
Jas 
= 1 ydx-xdy. 
!:c2+ y 2=1 
Usando 0 teorema de Green para calcular esta ultima integral, obtemos 
y 
r21r r1 = Jo Jo (1- 2rcosO ­ rsenO)rdrdO = 
1
21r (I 2 I)--= -­ - - cosO ­ - sen 0 dO = 'Ir. 
o 2 3 3 . 
j j (I - 2x ­ y) dxdy 
D 
!cF.dr= j j(rotF.n)dS. 
s 
na 
Soluc;;ao: A curva Ceo bordo da I;uperffcle S deflnida par z • 1- x _ ~ 
(x, y) E D, onde D = {(x, y) E 1R? I x2 + y2 :'S I} (figura 7.18). 
Ocampo vetorial rotF edado por rotF(x,y,z) = (-x,O,z). Tomando 
d .. ,. Sdd (111)campo e vetores normaIS umtanos a a 0 por n = Y3' Y3' Y3 ' tem 
por (7.10), que 
Por (7.6), 
j j(rotF.n)ds= j j(-X,O,I-x-y).(I,I,I)dXdy=j j(1-2X-Y)dXd~ 
s D D' 
Usando mUdanc;a polar para resolver esta integral dupla, obtemos 
Portanto, 
Ricardo Freire
Sticky Note
para
-,.....--.--
Exernplo 7.15: Ca1cule j~F.d'r, ond(~ F(:t,y,z) = (z2,xz,2:1;7J) 0 0 
CUrva obtida como interse<;ao da superficie z = 1 - y'2, Z ~ 0, com 0 p 
2x + 3z = 6, orientada no sentido anti-honirio. 
Solu~ao: A integral LF . dr nao pode ser ca1culada com 0 auxilio do teore. 
de Stokes. No entanto, se considerarmos a curva fechada , = C U C (fig
1 
7.20), onde C1 e a curva parametrizada por x(t) = 3, y(t) = t e z(t)