Lógica Proposicional e Conjuntos

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1. [2.0 pontos] Verifique se as proposições compostas K1 e K2 são logicamente equivalentes: 
K1 : (s → (p ∧ ∼ r)) ∧ ((p → (r ∨ q)) ∧ s) 
K2 : (p ∧ q ∧ ∼ r ∧ s) ∨ ∼ (p ∨ s)
R: As proposições compostas K1 e K2, não são equivalentes.
2. [1.0 ponto] O famoso detetive Percule Hoirot foi chamado para resolver um assassinato misterioso. Ele determinou os seguintes fatos: 
(a) Lord Charles, o homem assassinado, foi morto com uma pancada na cabeça com um castiçal. 
(b) Ou Lady Camila ou a empregada Sara estavam na sala de jantar no momento do assassinato. 
(c) Se o cozinheiro estava na cozinha no momento do assassinato, então o açougueiro matou Lord Charles com uma dose fatal de arsênico. 
(d) Se Lady Camila estava na sala de jantar no momento do assassinato, então o motorista matou Lord Charles. 
(e) Se o cozinheiro não estava na cozinha no momento do assassinato, então Sara não estava na sala de jantar quando o assassinato ocorreu. 
(f) Se Sara estava na sala de jantar no momento do assassinato, então o ajudante pessoal de Lord Charles o matou. 
Utilize logica proposicional para dizer se e possível para o detetive Percule Hoirot deduzir quem matou Lorde Charles e se sim, quem e o assassino? 
DICA: Lorde Charles foi morto com uma pancada na cabeça com castiçal podemos então presumir que o anogueiro não matou Lorde Charles com uma dose fatal de arsênico. 
p = Lord Charles foi morto com uma pancada na cabeça com um castiçal.
q = Lady Camila estava na sala de jantar no momento do assassinato.
r = Sara estava na sala de jantar no momento do assassinato.
s = Cozinheiro estava na cozinha no momento do assassinato.
t = Açougueiro matou Lord Charles com uma dose fatal de arsênico.
u = Motorista matou Lord Charles.
v = Ajudante pessoal de Lord Charles o matou.
a) p
b) q∨r
c)s→t
d)q→u
e)¬s→¬r
f)r→v
Temos uma contradição, pois lord Charles não foi morto com arsênico (t), logo a suposição do (s > t) cozinheiro é falsa, logo (~s).
Logo (~s) corresponde a (~r), então Sara não estava na sala de jantar.
Se Sara não estava na sala de jantar (~s), então Lady Camila (q) estava.
(q) é true, então o motorista é o assassino.
 
3. [1.0 ponto] Faca a negação de cada proposição e indique se a proposição ou sua negação é verdadeira.
a) [0.5] Todo numero inteiro primo e ímpar. - Nem todo número inteiro é impar = verdade
b) [0.5] (∃ x) (√ x < 0). - (∄ x) (√ x < 0) = verdade
4. [2.0 pontos] Sejam U = {a, b, c, d}, P = {a, b} e Q = {a, c, d}. Determine os seguintes conjuntos: 
a) {a,b,c,d}
b) {a}
c) {c,d}
d) ∅
5. [2.0 pontos] Sejam A, B, C e D conjuntos tais que A ∪ B = C ∪ D e A ∩ B = C ∩ D = ∅. 
a) [0.5] Utilizando exemplos, mostre que A ∩ C e B ∩ D podem ser vazios.
R: Se AUB = CUD então devemos ter A=C e B=D ou A=D e B=C, Então se A∩B = C∩D = ∅, temos que A=B e C=D, logo, A=B=C=D. Por isso A∩C e B∩D = ∅
b) [1.5] Utilizando lógica, mostrar que se C ⊂ A, então B ⊂ D. 
R: Se todos os conjuntos são iguais, logicamente todos estão contidos uns nos outros.