AD1-gabarito

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Lógica e Teoria dos Conjuntos
2023.1
AD1
A avaliação tem uma pontuação total de 10 pontos.
Os exercícios 1 e 2 valem 3 pontos cada, enquanto o exercício 3 vale 4 pontos.
Exercício 1
Construa a tabela da verdade para a seguinte proposição: E = (p ∨ (∼ p ∨ q))∧ ∼ (q∧ ∼ r).
Exercício 2
Use as Leis da Lógica para simplificar a proposição: (p ∧ (∼ (∼ p ∨ q))) ∨ (p ∧ q)
Exercício 3
O famoso detetive Percule Hoirot foi chamado para resolver um assassinato misterioso. Ele determinou os
seguintes fatos:
1. Lord Charles, o homem assassinado, foi morto com uma pancada na cabeça com um castiçal;
2. Ou Lady Camila ou a empregada Sara estavam na sala de jantar no momento do assassinato;
3. Se o cozinheiro estava na cozinha no momento do assassinato, então o açougueiro matou Lord Charles
com uma dose fatal de arsênico;
4. Se Lady Camila estava na sala de jantar no momento do assassinato, então o motorista matou Lord
Charles;
5. Se o cozinheiro não estava na cozinha no momento do assassinato, então Sara não estava na sala de jantar
quando o assassinato ocorreu;
6. Se Sara estava na sala de jantar no momento do assassinato, então o ajudante pessoal de Lord Charles o
matou.
É possível para o detetive Percule Hoirot deduzir quem matou Lorde Charles? Se sim, quem é o assassino?
Solução do Exercício 1
Para construir a tabela da verdade para a proposição E, precisamos listar todas as possíveis combinações de
verdadeiro (V) e falso (F) para as proposições p, q e r e, em seguida, calcular o valor de verdade de cada
subexpressão da proposição, e finalmente o valor de verdade da proposição como um todo.
p q r p ∨ (∼ p ∨ q) ∼ (q∧ ∼ r) E
V V V V V V
V V F V F F
V F V V V V
V F F V V V
F V V V V V
F V F V F F
F F V V V V
F F F V V V
Solução do Exercício 2
(p ∧ (∼ (∼ p ∨ q))) ∨ (p ∧ q) De Morgan sobre (∼ (∼ p ∨ q)
(p ∧ (p∧ ∼ q)) ∨ (p ∧ q) Associatividade sobre (p ∧ (p∧ ∼ q))
((p ∧ p)∧ ∼ q) ∨ (p ∧ q) Idempotência sobre p ∧ p
(p∧ ∼ q) ∨ (p ∧ q) Distributividade
p ∧ (∼ q ∨ q) Identidade com a tautologia ∼ q ∨ q
p
Solução do Exercício 3
• P : "Lord Charles foi morto com uma pancada na cabeça com um castiçal."
• Q: "Lady Camila estava na sala de jantar no momento do assassinato."
• R: "A empregada Sara estava na sala de jantar no momento do assassinato."
• S: "O cozinheiro estava na cozinha no momento do assassinato."
• T : "O açougueiro matou Lord Charles com uma dose fatal de arsênico."
• U : "O motorista matou Lord Charles."
• V : "O ajudante pessoal de Lord Charles o matou."
Podemos representar as seis afirmações do problema utilizando essas variáveis proposicionais e os conectivos
lógicos apropriados:
(i) P
(ii) Q ∨R
(iii) S → T
(iv) Q → U
(v) ∼ S →∼ R
(vi) R → V
A partir dessas afirmações, podemos deduzir que, se S for verdadeira, então vale T (usando (iii)). Mas T diz
que Lord Charles morreu com uma dose fatal de arsênico o que é contraditório com P (Lord Charles foi morto
com uma pancada na cabeça). Portanto, concluimos que ∼ S é a afirmação que é verdadeira. Então ∼ R
(usando (v)), o que implica que Q (usando (ii)). Em seguida, usando (iv), deduzimos que U é verdadeiro.
Portanto, o assassino de Lord Charles é o motorista.
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