Cinemática de Galileu-modulo 1

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DEFINIÇÃO
Apresentação de conceitos da Cinemática, como posição, velocidade, aceleração, Movimento
Retilíneo Uniforme (M.R.U.), Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), Movimento
Circular Uniforme (M.C.U.) e Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.).
PROPÓSITO
Compreender como os conceitos da Cinemática podem ser aplicados em situações cotidianas.
PREPARAÇÃO
Para lidar com a Mecânica, ramo da Física que está relacionado ao estudo dos movimentos, será
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necessário ter em mãos uma calculadora científica. Caso não tenha uma, baixe um aplicativo em
seu celular, ou utilize a calculadora do seu computador na opção científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar os conceitos de posição, velocidade, aceleração e tempo à resolução de problemas
MÓDULO 2
Interpretar os gráficos das funções horárias
MÓDULO 3
Identificar os movimentos retilíneos e suas funções horárias
MÓDULO 4
Descrever os movimentos circulares e suas funções horárias
INTRODUÇÃO
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A Mecânica Clássica é o ramo da Física que se dedica ao estudo dos movimentos. Assim, tudo
que se encontra nos mundos macroscópico e microscópico ao nosso redor se movimenta de
acordo com os princípios da Mecânica Clássica, desde um pequeno grão de areia sendo
carregado pelo vento até o movimento de planetas, cometas, asteroides e estrelas. Tudo isso se
movimenta de acordo com os princípios da Cinemática, os quais são facilmente explicados e
demonstrados pelas Leis de Newton.
O estudo da Mecânica Clássica se inicia na Cinemática.
Fonte: Nathapol Kongseang / Shutterstock
É por meio da Cinemática que aprendemos os conceitos básicos de posição, espaço, tempo,
velocidade e aceleração. Veremos que com esses conceitos é possível construir gráficos
simples, mas de grande ajuda na análise do movimento de corpos.
Apresentaremos as Leis de Newton, a fim de compreender o que rege tais movimentos, e suas
análises, para que possamos reconhecer os conceitos envolvidos no movimento de certo corpo ou
partícula. Em seguida, daremos continuidade ao estudo de quantidade de movimento, impulso e
energia mecânica por meio das colisões. Veremos que esses três conceitos são aplicações diretas
das Leis de Newton e, consequentemente, da Cinemática, inicialmente desenvolvida por Galileu
Galilei.
Então, vamos começar?
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GALILEU GALILEI
Galileu Galilei (1564-1642) foi um físico, matemático, astrônomo e filósofo que revolucionou
a Astronomia através das leis matemáticas que descrevem o movimento dos corpos
terrestres.
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O QUE É A CINEMÁTICA?
A Cinemática é o ramo da Física que estuda o movimento de corpos ou partículas, sem referência
à massa ou à atuação de forças, ou seja, a Cinemática não se preocupa com as causas naturais
que induziram tal movimento. Um corpo em movimento é aquele que apresenta velocidade e, em
alguns casos, aceleração.
Mas você sabe o que são velocidade e aceleração?
Para poder responder a essa pergunta, primeiro teremos que apresentar conceitos que
antecedem a velocidade e a aceleração.
POSIÇÃO (S)
POSIÇÃO UNIDIMENSIONAL
Você provavelmente já deve ter ouvido falar que dois ou mais corpos não podem ocupar o mesmo
lugar. A esse local que um corpo ou uma partícula ocupa no espaço damos o nome de posição, a
qual é representada na Física pela letra S.
Para introduzir esse conceito, vamos simplificar o nosso espaço e considerá-lo unidimensional
(que tem apenas uma dimensão ou é considerado sob uma única dimensão). Para tal, vamos
utilizar uma régua, conforme disposto na figura 1. Essa régua é graduada de 0 a 7 e sua unidade
de medida é o metro.
Agora, observe na figura 1 onde se encontram os pontos amarelo, vermelho, roxo e verde.
A partir dessas observações, determinaremos o local ocupado por esses pontos, ou seja, a sua
posição.
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 Figura 1 - Espaço unidimensional com escala em metros.
Toda grandeza na Física possui unidade de medida. No caso da posição, o Sistema
Internacional de Unidades (SI) define que a unidade de medida padrão é o metro (m), assim,
qualquer outra unidade de medida, como centímetro, milímetro, decímetro etc. deve ser convertida
para o metro.
No caso da régua apresentada na figura 1, a unidade de medida já se encontra em metro,
facilitando nossa análise da posição dos pontos amarelo (Samarelo), vermelho (Svermelho), roxo
(Sroxo) e verde (Sverde).
Podemos observar que o ponto amarelo se encontra sobre a coordenada 1 da nossa régua, logo,
dizemos que o ponto amarelo está na posição 1m, ou simplesmente, Samarelo = 1m. De forma
análoga aos outros pontos, temos: Svermelho = 7m, Sroxo = 4m e Sverde = 3m. Podemos descrever
também suas posições utilizando como artifício a tabela 1:
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Corpo Posição (m)
Amarelo 1
Vermelho 7
Roxo 4
Verde 3
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal.
 Tabela 1 - Coordenadas de posição dos corpos da figura 1.
POSIÇÃO BIDIMENSIONAL
Agora, vamos para um plano bidimensional, em que a posição de um corpo é descrita em duas
coordenadas. Estamos lidando com um plano cartesiano de eixos x e y, no qual ambos os eixos
medem a unidade de distância, que é representada pelo metro.
Para entender melhor, imagine que você está observando, de cima, um tabuleiro de batalha naval,
em que a posição é dada por duas coordenadas; na vertical, temos os números de 1 a 10 e, na
horizontal, temos as letras de A a L. No plano cartesiano, vamos observar os pontos: amarelo,
vermelho, roxo e verde, como é mostrado abaixo.
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Observe que para cada ponto existem duas coordenadas, uma em x e a outra em y. Como foi dito
anteriormente, tanto x como y se encontram em metros, assim, a posição desses pontos pode ser
representada de 3 modos:
NOTAÇÃO ESCALAR
Samarelo = (B,2)m; Svermelho = (J,9)m; Sroxo = (L,10)m; Sverde = (E,4)m.Processing math: 6%
Neste modo, temos a notação escalar, na qual a coordenada x sempre antecede a coordenada
em y. Por sua vez, a unidade de medida aparece fora do parêntese.
FORMA VETORIAL
Samarelo = (Bi + 2j)m; Svermelho = (Ji + 9j)m; Sroxo = (Li + 10j)m; Sverde = (Ei + 4j)m
Já aqui, temos a forma vetorial de representação, por meio da qual representamos as
coordenadas em função dos vetores unitários, sendo i o vetor unitário de x e j o vetor unitário de y:
 Figura 3 - Forma de representação de um vetor posição
Bˆi + 2ˆj
Jˆi + 9ˆj
Lˆi + 10ˆj
Eˆi + 4ˆj
TABELA
Corpo x(m) y(m)
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Amarelo B 2
Vermelho J 9
Roxo L 10
Verde E 4
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal.
 Tabela 2 - Tabela de coordenadas da posição de um corpo em um espaço bidimensional.
Neste modo, temos o registro em tabela, assim como fizemos na tabela 1.
POSIÇÃO TRIDIMENSIONAL
Agora, veremos como se descreve a posição de um corpo no espaço tridimensional, em que de
fato vivemos. Aqui, a posição do corpo é descrita em função dos três eixos: x, y, z, ou seja,
trabalharemos com coordenadas referentes à largura, à profundidade e à altura de determinado
espaço. A figura 4 demonstra quatro pontos vistos anteriormente (amarelo, vermelho, roxo e
verde) em coordenadas tridimensionais:
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 Figura 4 - Representação tridimensional do posicionamento de quatro corpos
Na figura 4, os três eixos também possuem unidade de medida em metros, e a representação da
posição em função das coordenadas é semelhante à representação feita no espaço bidimensional.
Portanto, temos:
NOTAÇÃO ESCALAR
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Samarelo = (3,2,1)m; Svermelho = (0,0,0)m; Sroxo = (5,0,0)m; Sverde = (0,0,7)m
FORMA VETORIAL
Samarelo = (3i + 2j + 1k)m; Svermelho = (0i + 0j+ 0k)m; Sroxo = (5i + 0j + 0k)m; Sverde = (0i + 0j +
7k)m
TABELA
Corpo x(m) y(m)
Amarelo 3 2 1
Vermelho 0 0 0
Roxo 5 0 0
Verde 0 0 7
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal.
 Tabela 3 - Tabela de coordenadas da posição de um corpo em um espaço tridimensional.
 ATENÇÃO
O registro em tabela não é utilizado comumente; em geral, as posições são representadas ou por
notação escalar ou pela forma vetorial, preferindo-se a última. Todavia, registrar as coordenadas
em uma tabela facilita muito o trabalho de visualização, análise e exposição dos dados, uma vez
que garante a organização dos elementos. A tabela costuma ser utilizada para organizar dados
coletados em experimentos físicos.
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ESPAÇO (∆)
Na Física Clássica, quando nos referimos a espaço, estamos falando de espaço percorrido. Essa
grandeza aparece quando há o deslocamento de um corpo, ou seja, quando ele se desloca de
uma posição para outra. Chamamos a posição inicial de �0 (lê-se “S com índice zero”, ou
simplesmente “S zero”).
A posição final é definida somente como �. Então, o espaço é definido como a variação da posição
do corpo e é calculado da seguinte maneira:
∆ � = � − �0
1
Assim como a posição, o espaço pode ser determinado tanto de forma escalar quanto de forma
vetorial.
EXEMPLO
Para fixar esse conceito, vamos analisar o movimento de um caramujo, considerando que ele está
posicionado sobre um sistema de coordenadas unidimensional, como aquele apresentado na
figura 1, cuja unidade está em centímetros.
O caramujo é inicialmente visto na posição 17�� e vagarosamente se locomove em direção à
origem (posição 0��) até o ponto 6��. Podemos definir o espaço percorrido por esse caramujo,
considerando a equação (1), como mostra a seguir:
∆ � = � − �0
∆ � = 6 − 17
∆ � = − 11��Processing math: 6%
Fonte: Oleh Markov / Shutterstock
 Figura 5 – Percurso do caramujo
De fato, o espaço entre os pontos 6�� e 17�� é de 11��, e não −11��. Todavia, o sinal negativo
indica que o caramujo se deslocou no sentido negativo do eixo coordenado, ou seja, em direção
ao ponto que marca 0��.
Agora, vamos considerar o mesmo caramujo se locomovendo em um plano bidimensional, de
maneira que sua posição inicial se dá em 7� + 3� e ele se desloca até o ponto −7� − 3�. Qual seria a
distância percorrida pelo caramujo nesse caso?
SOLUÇÃO
O deslocamento é dado pela equação (1), porém não há um deslocamento unidimensional, mas
bidimensional, porque temos o deslocamento no eixo �, como indica o vetor unitário i, e um
deslocamento do eixo �, como indica o vetor unitário j. Ou seja, ao contrário da situação anterior,
dessa vez temos um deslocamento vetorial:
∆ � = − 7� − 3� − 7� + 3� = − 7� − 3� − 7� − 3�
∆ � = −14� − 6��
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Assim, o que calculamos aqui para o caramujo foi o vetor deslocamento. A representação correta,
uma vez que se fala de ver, é:
∆ �
→
= −14� − 6��
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Para determinar o módulo desse deslocamento e descobrir o espaço percorrido, é necessário
realizar o seguinte cálculo:
∆ �
→
= −142 + −62� = 15, 23�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Isso significa que, ao mudar sua posição de �0 = 7� + 3� para � = − 7� − 3�, o caramujo percorreu
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uma distância de 15, 23�.
Portanto, podemos concluir que a distância percorrida é igual ao módulo do vetor deslocamento.
 SAIBA MAIS
O sistema de posicionamento global, conhecido como GPS, utiliza exatamente o vetor
deslocamento para determinar a distância entre dois pontos, porém, em vez de utilizar sistemas
cartesianos, utiliza coordenadas de longitude e latitude.
Fonte: LightAndShare / Shutterstock
Fonte: Min C. Chiu / Shutterstock
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TEMPO (∆ �)
Tempo é uma grandeza física associada a um sequenciamento correto, mediante a ordem de
ocorrência de eventos naturais. O tempo não corresponde a horários e sim à diferença de horários
observados entre o início e o fim de um evento.
Imagine que você saiu da sua casa às 17ℎ para dar uma caminhada e retornou às 17ℎ30. Temos
um horário inicial �0 = 17ℎ e um horário final � = 17ℎ30. O tempo decorrido entre �0 e � é
determinado na equação (2):
∆ � = � − �0
2
∆ � = 17ℎ30−17ℎ = 0ℎ30
Todavia, é muito complexo e nada usual fazer contas com os horários do modo como foram
apresentados, por isso, escrevemos os horários em formas decimais, ou seja:
∆ � = 17, 5 − 17 = 0, 5ℎ
Ambos os resultados se referem a meia hora.
Apesar de o exemplo ter sido solucionado em horas, o SI adota o segundo (s) como unidade de
medida de tempo. Sabemos que uma hora possui um total de 3600 segundos, então, para
converter o tempo de hora para segundos, devemos multiplicar o valor encontrado por 3600.
Retornando ao exemplo citado anteriormente, um tempo de meia hora possui 1800 segundos,
como mostra o cálculo a seguir:
∆ � = 0, 5 × 3600 = 1800�
VELOCIDADE (�)
Define-se a velocidade de um corpo como a razão entre o espaço percorrido e tempo gasto paraProcessing math: 6%
percorrê-lo. Em outras palavras, é a taxa, em relação ao tempo, com a qual um corpo altera a sua
posição.
� = ∆�∆�
3
Apesar de a definição de velocidade ser sempre a razão de espaço por tempo, existem duas
formas de representação da velocidade: a velocidade escalar e a velocidade vetorial.
VELOCIDADE ESCALAR
A velocidade escalar, também chamada de velocidade escalar média ou velocidade média, leva
em consideração somente a posição inicial, o ponto final e o tempo total gasto durante o percurso.
Em geral, é por meio da velocidade média que uma empresa de viagens estima o tempo total de
uma viagem, isso porque diversas coisas podem ocorrer durante o caminho, como uma blitz
policial, um engarrafamento decorrente de algum acidente ou incidente, paradas para ir ao
banheiro etc. Vamos ilustrar, a seguir, como esses acontecimentos podem inferir na velocidade
média.
Fonte: Alf Ribeiro / Shutterstock
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EXEMPLO
Considere um carro que sai do Rio de Janeiro em direção a São Paulo. Após percorrer 35
minutos, o motorista para em um posto de combustíveis para abastecer, por 25 minutos. Em
seguida, ele retoma a viagem, levando mais 6 horas de viagem.
Se a distância entre as duas cidades é de 433��, qual a velocidade média da viagem?
SOLUÇÃO
A velocidade média leva em conta a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto.
Consideramos, inclusive, o tempo em que o carro permaneceu parado, abastecendo:
∆ ������ = 35���+25��� + 6ℎ = 7ℎ
Agora é necessário também determinar a distância total percorrida, que é:
∆ ������ = 433��
Como a velocidade média é a razão desse espaço total pelo tempo total, temos:
�� =
∆������
∆������
4
Ao substituir os valores, obtemos:
�� =
433��
7ℎ = 61, 86
��
ℎ
Esse resultado mostra que, se o carro tivesse percorrido o trajeto Rio de Janeiro – São Paulo à
velocidade de 61, 86��/ℎ sem parar, ele também teria levado 7ℎ para percorrer os 433��.
IMPORTANTE
Apesar de o resultado da velocidade ser estritamente conhecido e utilizado, o SI determina que a
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velocidade deve ser expressa em unidades de metros por segundo (�/�), ou seja, é necessário
fazer uma transformação para que as unidades do SI sejam alcançadas:
 Figura 6 - Conversão de unidade de velocidade de ��/ℎ para �/� e vice-versa.
Para converter um valor de velocidade de ��/ℎ para �/�, divide-se a velocidade pelo fator 3,6.
Para passar de �/� para ��/ℎ, multiplica-se a velocidade pelo fator 3,6.
VELOCIDADE VETORIAL
A velocidade vetorial se calcula, matematicamente, da mesma forma que a velocidade média.
Todavia, em vez de utilizar valores escalares para realizar os cálculos, utilizam-se valores vetoriais
e obtém-se como resposta: direção, móduloe sentido.
Os valores vetoriais são muito utilizados em aviação, navegações e laboratórios para análise de
movimento de partículas. Vamos utilizar o último para ilustrar o cálculo vetorial, considerando o
ponto material livre para se movimentar.
Esse ponto possui um �0 = 7� + 12�� e se locomove até o ponto � = −7� + 11��. Esse trajeto é
percorrido em 10 segundos. Portanto, a sua velocidade vetorial é:
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�→ = ∆ �
→
∆� =
−7�+11�−7�+12�
10
=
−14�− �
10
= −1, 4� − 0, 1��/�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Um gráfico nos ajuda a visualizar melhor esse resultado:
 Figura 7 - Vetor deslocamento.
A figura 5 mostra os pontos �0 e �. A seta preta representa o vetor deslocamento. Note que se
trata de um movimento bidimensional, ou seja, há deslocamento tanto na vertical quanto na
horizontal.
O resultado obtido de �→ = −1, 4� + 0, 1��/� demonstra que o ponto material se locomove no
sentido negativo do eixo � a uma velocidade de 1, 4�/� e no sentido negativo do eixo � com uma
velocidade de 0, 1�/�, ou seja, o ponto material se locomove para a esquerda com velocidade de
1, 4�/� e para baixo com velocidade de 0, 1�/�.
É possível determinar também o módulo vetorial, que é a velocidade com a qual um móvel se
locomove de � para �0:
�→ = −1, 42 + 0, 12� = 1, 40�/�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
ACELERAÇÃO
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( �→)
Define-se aceleração como a variação da velocidade em função do tempo. Assim como na
velocidade, existe a aceleração escalar e a vetorial.
No caso da aceleração escalar, referimo-nos à aceleração escalar média:
�� =
∆�
∆�
5
E no caso da aceleração vetorial, temos:
�→ = ∆ �
→
∆�
6
Em ambos os casos, a aceleração se resume à variação da velocidade, seja em aumento ou em
redução. Assim, se há mudança de velocidade, há aceleração.
Fonte: ktsdesign / Shutterstock
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EXEMPLO
Para fixar, considere um carro se deslocando com velocidade constante de 72��/ℎ, quando o
motorista avista um semáforo com a luz amarela acesa. O motorista sabe que leva 3 segundos
para a luz amarela se apagar e acender a luz vermelha. Diante desse contexto:
Qual é a aceleração que deve ser imposta ao carro para que ele pare quando a luz vermelha
acender?
SOLUÇÃO
Para responder a essa pergunta, vamos analisar os dados que possuímos: sabemos que o carro
se locomove a 72��/ℎ e que ele deve parar no instante em que a luz vermelha acender, ou seja,
o carro tem que passar da velocidade de 72��/ℎ para a velocidade de 0��/ℎ em um intervalo de
tempo de 3 segundos.
Dessa forma: �0 = 72
��
ℎ e � = 0
��
ℎ . Todavia, podemos observar que a velocidade se encontra
em ��/ℎ e o tempo em segundos.
Logo, devemos fazer a conversão de unidades, da velocidade para �/�, ou do tempo para ℎ. É
mais fácil colocar todas as unidades no SI, ou seja, vamos converter a variação da velocidade
para �/�:
∆ � = � − �0 = 0
��
ℎ − 72
��
ℎ = − 72
��
ℎ
Dividindo por 3,6 para converter para �/�, temos:
∆ � = − 72�3,6�
∆ � = − 20�/�
Para calcular a aceleração, podemos utilizar a equação (5):
� = ∆�∆� =
−20�/�
3� = − 6, 67
�
�2
Assim, obtemos um valor de aceleração negativo, o que era de se esperar uma vez que o carro
está diminuindo a sua velocidade, ou seja, a aceleração está sendo aplicada no sentido oposto ao
do deslocamento do carro. Com essa aceleração, o carro consegue passar de uma velocidade de
72��/ℎ para 0��/ℎ em 3 segundos.
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 ATENÇÃO
A unidade internacional de medida da aceleração é o metro por segundo ao quadrado (�/�2).
MÃO NA MASSA
Neste bloco, resolveremos três exercícios de diferentes graus de dificuldade com a ajuda do
nosso especialista (o professor Gabriel Burlandy) e você fará mais três exercícios de acordo com
esses graus. Nosso objetivo é colocar em prática a teoria aprendida neste módulo. Vamos lá?
AGORA É COM VOCÊ!
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UM AUTOMÓVEL ESTÁ SE LOCOMOVENDO EM LINHA RETA. ELE
PERCORRE 40� EM 5�.
SUA VELOCIDADE DE DESLOCAMENTO É IGUAL A:
A) 8�/�
B) 6�/�
C) 4�/�
D) 2�/�
RESPONDER
GABARITO
Um automóvel está se locomovendo em linha reta. Ele percorre 40� em 5�.
Sua velocidade de deslocamento é igual a:
A alternativa "A " está correta.
Determinamos a velocidade de acordo com a equação:
� = ∆�∆�
Temos que ∆ � = 40� e ∆ � = 5, assim:
� = 40
5
= 8�/�
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AGORA É COM VOCÊ!
UMA PEDRA ESTÁ SUSPENSA POR UM FIO QUANDO, DE REPENTE, O FIO
ARREBENTA E ELA CAI DE CERTA ALTURA, ATINGINDO O SOLO COM
VELOCIDADE DE 10�/�.
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SABENDO QUE A ACELERAÇÃO ATUANTE SOBRE A PEDRA É DE 9, 8�/�2,
O TEMPO DE QUEDA É IGUAL A:
A) 0, 96�
B) 0, 98�
C) 1, 00�
D) 1, 02�
RESPONDER
GABARITO
Uma pedra está suspensa por um fio quando, de repente, o fio arrebenta e ela cai de certa
altura, atingindo o solo com velocidade de 10�/�.
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Sabendo que a aceleração atuante sobre a pedra é de 9, 8�/�2, o tempo de queda é igual a:
A alternativa "D " está correta.
Temos que a aceleração é dada por:
� = ∆�∆� =
�−�0
∆�
Substituindo:
9, 8 = 10−0∆� ∴ ∆ � =
10
9,8 = 1, 02�
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AGORA É COM VOCÊ!
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CONSIDERE UMA BOLA SENDO ARREMESSADA PARA CIMA COM
VELOCIDADE INICIAL DE 28�/�. SABE-SE QUE A ÚNICA ACELERAÇÃO
AGINDO SOBRE A BOLA É A ACELERAÇÃO GRAVITACIONAL DE 10�/�2.
NO PONTO MAIS ALTO DO TRAJETO, A BOLA POSSUI VELOCIDADE ZERO.
ASSIM, O TEMPO DE SUBIDA DA BOLA ATÉ O PONTO MAIS ALTO É DE:
A) 2, 8�
B) 3, 3�
C) 4, 0�
D) 4, 5�
RESPONDER
GABARITO
Considere uma bola sendo arremessada para cima com velocidade inicial de 28�/�. Sabe-
se que a única aceleração agindo sobre a bola é a aceleração gravitacional de 10�/�2. No
ponto mais alto do trajeto, a bola possui velocidade zero.Processing math: 6%
Assim, o tempo de subida da bola até o ponto mais alto é de:
A alternativa "A " está correta.
Temos que a aceleração é dada por:
� =
�−�0
��
Substituindo os valores do enunciado, temos:
−10 = 0−28�� ∴ ∆ � =
−28
−10 = 2, 8�
Para entender o resultado, é necessário refletir que a aceleração da gravidade faz as coisas
caírem, logo, aponta para baixo, e o corpo está subindo, ou seja, está em sentido oposto ao da
aceleração da gravidade. Por isso, consideramos a aceleração gravitacional negativa.
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UNIDIMENSIONAL
Posição de um corpo em espaço ou plano unidimensional.
NOTAÇÃO
Essa é a unidade de medida utilizada entre parênteses. Esse tipo de notação facilita o
registro dos dados, uma vez que não é preciso repetir a unidade de medida junto ao número.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA PARTÍCULA É VISTA EM DETERMINADO PONTO COM A SEGUINTE
VELOCIDADE: �0
→ = 2� − 30� + �. ESSA MESMA PARTÍCULA É OBSERVADA 30
� DEPOIS EM OUTRO PONTO DO ESPAÇO COM VELOCIDADE �→ = � − � − �.
CONSIDERANDO AS UNIDADES DE MEDIDA DO SI, A OPÇÃO QUE
REPRESENTA A ACELERAÇÃO VETORIAL E O SEU MÓDULO,
RESPECTIVAMENTE, É:
A) �0, 03� − 0, 97� −0, 07���/�2 e 0, 97�/�
B) � − 0, 03� − 0, 97� −0, 07���/�2 e 0, 97�/�
C) � − 0, 03� − 0, 97� −0, 07���/�2 e 0, 86�/�
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D) �0, 03� − 0, 97� −0, 07���/�2 e 0, 86�/�
2. UM MÓVEL SE DESLOCA DA POSIÇÃO 4� À POSIÇÃO 18� EM 20�. AO
CHEGAR NESSA POSIÇÃO, ELE FICA INERTE POR 2ℎ E, EM SEGUIDA,
RETOMA O SEU MOVIMENTO E SE DESLOCA ATÉ A POSIÇÃO 30� EM 45�.
ASSIM, PODEMOS AFIRMAR QUE A VELOCIDADE MÉDIA DESSE MÓVEL É
DE:
A) 0, 1�/�
B) 0, 4�/�
C) 0, 004�/�
D) 0, 001�/�
GABARITO
1. Uma partícula é vista em determinado ponto com a seguinte velocidade: �0
→
= 2� − 30� + �.
Essa mesma partícula é observada 30� depois em outro ponto do espaço com velocidade �→
= � − � − �. Considerando as unidades de medida do SI, a opção que representa a aceleração
vetorial e o seu módulo, respectivamente, é:
A alternativa "B " está correta.
Para determinar a aceleração vetorial, devemos utilizar a equação (6), logo:
�→ = ∆ �
→
∆ �→
=
�− �−�−2�−30�+�30
=
−�−29�−2�
30
= −0, 03� − 0, 97� − 0, 07� �
�2
Para determinar o módulo da aceleração que atuou no corpo, temos:
�→ = −0, 032 + −0, 972 − 0, 072� = 0, 97 �
�2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um móvel se desloca da posição 4� à posição 18� em 20�. Ao chegar nessa posição, ele
fica inerte por 2ℎ e, em seguida, retoma o seu movimento e se desloca até a posição 30�
Processing math: 6%
em 45�. Assim, podemos afirmar que a velocidade média desse móvel é de:
A alternativa "C " está correta.
A velocidade média é dada pela razão entre o espaço total percorrido pelo tempo total gasto,
assim:
�� =
∆������
∆������
∆ ������ = 18 − 4 + 30 − 18 = 26�
∆ ������ = 20 + 7200 + 45 = 7265�
�� =
26
7265
= 0, 004�/�
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VELOCIDADE
Vamos observar um gráfico de posição por tempo (�� × �), como mostra a figura 8:
Processing math: 6%
 Figura 8 - Gráfico �� × �
Na figura 8, temos a posição como o eixo das ordenadas (eixo � - vertical) e o tempo, como o eixo
das abscissas (eixo � - horizontal).
Nesse gráfico, em que a reta corta o eixo �, definimos a posição inicial �0 e a velocidade é medida
calculando-se a inclinação da reta, ou seja, a velocidade é igual à tangente do ângulo que a reta
faz com a horizontal:
� = ���
7
Para determinar a velocidade em função do gráfico, devemos escolher dois pontos pertencentes à
reta.
Note na figura 8 que temos dois pontos destacados, o primeiro é o �1 = �1, �1 e o segundo é o �2
= �2, �2. Se você observar com atenção, verá que entre esses pontos é possível fechar um
triângulo retângulo, como mostra a figura 9:
Processing math: 6%
 Figura 9 - Determinação da velocidade a partir de um gráfico �� × �
Ao fechar o triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo possui comprimento de �2 − �1 e o
comprimento do cateto adjacente ao ângulo possui comprimento de �2 − �1. Então, para determinar
a tangente do ângulo, fazemos:
��� =
�2−�1
�2−�1
8
Porém, como descrito em (7), � = ���. Logo:
� =
�2−�1
�2−�1
9
Processing math: 6%
 RESUMO
Em resumo, a velocidade é retirada da inclinação da reta existente no gráfico posição por tempo.
Esse gráfico representa a posição de um móvel em um Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.).
ANÁLISE DO MOVIMENTO NA PRÁTICA
Uma das maneiras de se analisar o movimento de um móvel é montando um gráfico de sua
posição em função do tempo. Assim, é possível determinar como o móvel se comportou durante
todo o trajeto. Vamos observar o gráfico abaixo:
 Figura 10 – Percurso da lebre
Esse gráfico corresponde ao deslocamento de uma lebre. Os observadores registraram que a
lebre saiu de sua toca, no marco zero, e percorreu 100� em 30�, depois ficou parada no mesmo
local por 55�, observando a região ao seu redor.
A seguir, ela percorreu mais 100� em 15� quando algo a assustou, fazendo-a retornar para a toca
em 15�. Por meio desse gráfico é possível determinar a velocidade média de deslocamento da
lebre da sua toca até o ponto 200� e a velocidade média de seu retorno da seguinte maneira:
Processing math: 6%
Fonte: Oleh Markov / Shutterstock
SAÍDA DA TOCA
A lebre percorre 200� em 100�, como mostra o gráfico, então, a sua velocidade média é de:
�� =
∆�
∆� =
200
100
= 2, 00�/�
O tempo que a lebre ficou parada foi considerado, isso porque a velocidade média considera o
espaço total percorrido e o tempo total gasto.
 Figura 11 - Percurso da lebre (saída)
RETORNO PARA A TOCA
A lebre percorre 200� em 15�, assim:
�� =
∆�
∆� =
200
15
= 13, 33�/�
 Figura 12 - Percurso da lebre (toca)
ACELERAÇÃO
A aceleração pode ser obtida determinando-se a inclinação da curva de um gráfico de velocidade
por tempo (�� × �), como mostra a figura 13:
Processing math: 6%
 Figura 13 - Determinação da aceleração em um gráfico �� × �
De forma análoga ao cálculo da velocidade no gráfico �� × �, o cálculo da aceleração segue os
mesmos passos, assim, definimos a aceleração como:
� =
�2−�1
�2−�1
10
Observe que, onde a reta toca o eixo �, definimos a velocidade inicial �0.
MÃO NA MASSA
Neste bloco, resolveremos três exercícios de diferentes graus de dificuldade com a ajuda do
nosso especialista (o professor Gabriel Burlandy) e você fará mais três exercícios de acordo com
esses graus. Nosso objetivo é colocar em prática a teoria aprendida neste módulo. Vamos lá?
Processing math: 6%
AGORA É COM VOCÊ!
É CORRETO AFIRMAR QUE O COEFICIENTE ANGULAR DO GRÁFICO � × �
DE UM MÓVEL COM VELOCIDADE CONSTANTE NOS PERMITE
DESCOBRIR:
A) A velocidade.
B) A aceleração.
C) O ponto de retorno.
D) O instante do ponto de retorno.
RESPONDER
Processing math: 6%
GABARITO
É correto afirmar que o coeficiente angular do gráfico � × � de um móvel com velocidade
constante nos permite descobrir:
A alternativa "A " está correta.
Vimos que a velocidade é o coeficiente angular da reta gerada pelo gráfico � × � de um móvel que
se locomove com velocidade constante.
AGORA É COM VOCÊ!
CONSIDERE O GRÁFICO:
Processing math: 6%
CONSIDERANDO A ACELERAÇÃO DO MÓVEL COMO −16�/�2 E QUE OS
EIXOS ESTÃO NO SI, SUA VELOCIDADE INICIAL TEM MÓDULO IGUAL A:
A) 128�/�
B) 125�/�
C) 230�/�
D) 110�/�
RESPONDER
GABARITO
Considere o gráfico:
Processing math: 6%
Considerando a aceleração do móvel como −16�/�2 e que os eixos estão no SI, sua
velocidade inicial tem módulo igual a:
A alternativa "A " está correta.
Determinamos a aceleração como:
� =
�−�0
�−�0
A semirreta tem fim no ponto (8,0), ou seja, velocidade 0�/� e tempo 8�, assim:
−16 =
0−�0
8−0 ∴ �0 = 128�/�
Processing math: 6%
AGORA É COM VOCÊ!
A POSIÇÃO DE UM MÓVEL EM MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME É DADA
PELA FUNÇÃO �� = 4 − 3 · �. QUAL GRÁFICO REPRESENTA ESSA FUNÇÃO?
Processing math: 6%
Processing math: 6%
RESPONDER
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. O GRÁFICO A SEGUIR DEMONSTRA A VARIAÇÃO DE VELOCIDADE DE
UMA PARTÍCULA EM FUNÇÃO DO TEMPO. CONSIDERANDO ESTE
GRÁFICO, RESPONDA:
Processing math: 6%
O MÓDULO DA ACELERAÇÃO É:
A) 13
15
�/�2
B) 15
13
�/�2²
C) 12
13
�/�2
D) 11
14
�/�2
2. AINDA CONSIDERANDO O GRÁFICO ANTERIOR, DETERMINE A
EQUAÇÃO QUE DESCREVE A VARIAÇÃO DA VELOCIDADE:
A) �� = 13� + 13
15
B) �� = 13� − 13
15
C) �� = 13
15
� + 13
D) �� = 13
15
� − 13
Processing math: 6%
GABARITO
1. O gráfico a seguir demonstra a variação de velocidade de uma partícula em função do
tempo. Considerando este gráfico, responda:
O módulo da aceleração é:
A alternativa "A " está correta.
Temos os seguintes pontos: 15, 0 e 0, − 13. Então, a aceleração é:
� = 0−−13
15−0
= 13
15
�/�2
2. Ainda considerando o gráfico anterior, determine a equação que descreve a variação da
velocidade:
A alternativa "D " está correta.
O gráfico descreve uma reta, logo, temos uma função afim, que é uma função do tipo: �� = �� + �.
Porém, como estamos falando de velocidade e tempo, vamos escrever essa função da seguinte
maneira:
Processing math: 6%
�� = �� + �0
A aceleração vale 13
15
�/�2, que é a inclinação da reta e foi calculada no item anterior, e o �0, que é
a velocidade inicial correspondente ao ponto em que a reta toca o eixo y, que nesse caso é o eixo
v, assim:
�� = 13
15
� − 13
CINEMÁTICA À VELOCIDADE CONSTANTE
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
Como já diz o nome, o movimento retilíneo uniforme (M.R.U.) ocorre com o corpo se locomovendo
em linha reta, à velocidade constante, por isso o termo: uniforme.
Pode ser representado por meio de uma função afim:
�� = �0 + � · �
11
Processing math: 6%
Essa função também é conhecida como função horária do M.R.U. Nela temos o � como variável e
a posição final do móvel como objeto de estudo. Ela é utilizada para prever a posição de um
móvel, ao decorrer do tempo, quando esse se locomove com uma velocidade constante.
Essa função pode ser utilizada, por exemplo, para determinar a posição de um veículo viajando
em uma rodovia, quando ele possui uma velocidade constante.
EXEMPLO
Vamos considerarque um caminhão foi visto em uma rodovia no quilômetro 38, trafegando a uma
velocidade constante de 90��/ℎ. Então, vamos determinar quais serão suas posições nos
instantes:
a) 25min
b) 1h e 10min
c) 2h e 55min
d) 6h
Antes de atentar aos intervalos de tempo pedidos, temos que montar a nossa função horária. Note
que o caminhão é primeiramente visto no quilômetro 38, então temos como posição inicial: �0 = 38
�� e como velocidade: � = 90��/ℎ. Assim, temos a função horária do caminhão e a velocidade
constante como:
Processing math: 6%
�� = 38 + 90�
Onde as unidades de medida são: �� e ℎ.
Agora, como o espaço está em quilômetros e o tempo em horas e, por sua vez, a velocidade em �
�/ℎ, temos que passar todos os tempos expostos das alternativas de (a) a (d) para horas.
Conversão do tempo para horas:
A) 25MIN
1ℎ _______ 60���
�ℎ _______ 25���
� = 1
4
ℎ
Podemos dizer que: ∆ �1 =
1
4
ℎ
B) 1H E 10 MIN
Em (b) temos parte do horário em horas, e a outra parte em minutos. Podemos escrever o tempo
da seguinte maneira: 1ℎ + 10���
Como se trata de uma soma, nos preocupamos em converter apenas a parte do tempo que está
em minutos para horas e somamos 1ℎ. Vamos observar como isso ocorre na prática:
1ℎ _______ 60���
�ℎ _______ 10���
� = 1
6
ℎ
Somando 1ℎ, temos:
1ℎ + 1
6
ℎ = 7
6
ℎ
Então, podemos dizer que: ∆ �2 =
7
6
ℎ
C) 2H E 55MIN
Seguiremos a mesma lógica de conversão utilizada em (b), assim:
1ℎ _______ 60���
�ℎ _______ 55���
� = 11
12
ℎ
Processing math: 6%
2ℎ + 11
12
ℎ = 35
12
ℎ
Logo, podemos dizer que: ∆ �3 =
35
12
ℎ
D) 6H
Não precisamos fazer conversão alguma, uma vez que o tempo já está em horas.
Então: ∆ �4 = 6ℎ
Vamos agora ao encontro das posições do caminhão na rodovia, utilizando a função horária que
definimos no início:
�� = 38 + 90�
a) ∆ �1 =
1
4
ℎ
� 1
4
= 38 + 90 1
4
= 60, 5��
b) ∆ �2 =
7
6
ℎ
� 7
6
= 38 + 90 7
6
= 143��
c) ∆ �3 =
35
12
ℎ
� 35
12
= 38 + 90 35
12
= 300, 5��
d) ∆ �4 = 6ℎ
�6 = 38 + 906
= 578��
 SAIBA MAIS
A função horária também é muito utilizada para estimativas do tempo entre uma posição e outra.
Vamos olhar para o mundo de observação laboratorial da Física e considerar um elétron, que se
move à velocidade constante em um campo elétrico sob a função horária �� = 40 − 30�, em
Processing math: 6%
relação a um eixo coordenado que identifica a sua posição para um observador e, então,
determinar o tempo que leva para que esse elétron passe pela origem do eixo coordenado, ou
seja, pela posição �� = 0. Substituindo 0 no lugar de �� da função horária, temos:
0 = 40 − 30�
30� = 40
� = 40
30
� = 4
3
�
IMPORTANTE
Muitas vezes, na Ciência e na Engenharia, trabalharemos com números não inteiros, portanto, é
ideal utilizar os números em forma de frações, não em sua forma decimal. Isso porque, ao realizar
as divisões propostas pelas frações, podemos ter números irracionais ou até mesmo dízimas
periódicas, o que demandará sucessivos arredondamentos a cada cálculo feito e aumentará a
imprecisão do cálculo. Dessa maneira, trabalhe com os números em forma de fração até o fim do
cálculo e só no fim realize a divisão proposta pela fração.
Apesar de compreender os cálculos feitos até aqui, você deve estar se perguntando:
Como é possível garantir que um carro, uma moto, um caminhão ou até mesmo uma partícula
mantenha a velocidade constante para que possamos aplicar a equação horária do M.R.U.?
A resposta a essa pergunta é que, se o sistema observado não for feito em laboratório sob um
controle rigoroso, fatalmente o corpo que se desloca não manterá a velocidade constante.
Então, para que serve essa teoria?
Você se lembra do conceito de velocidade média? Essa teoria pode ser aplicada para encontrar a
posição de um móvel, por meio do conhecimento da sua velocidade média e, com isso, você
consegue descrever toda a sua trajetória em função do tempo.
Processing math: 6%
CINEMÁTICA À VELOCIDADE VARIÁVEL
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE
VARIADO (M.R.U.V)
O M.R.U.V. é o movimento, em linha reta, que apresenta mudança de velocidade, ou seja, existe
aceleração. Porém, a aceleração é constante. Diante disso, a equação horária que descreve o
movimento é:
�� = �0 + �0 · � + �
�2
2
12
Observe que a função do M.R.U.V. apresenta a posição em função do tempo, considerando a
velocidade inicial do móvel, e isso ocorre porque essa velocidade irá variar para mais ou para
menos, o que dependerá da aceleração imposta ao corpo.
Uma vez que existe aceleração, é possível também expressar a velocidade de um móvel em
M.R.U.V. em função do tempo:
�� = �0 + ��
13
A função apresentada em (13) demonstra que a velocidade muda de maneira diretamente
proporcional com o passar do tempo quando o movimento é acelerado.
É possível que, em uma observação de deslocamento, você tenha a informação de espaço,
velocidade ou aceleração, embora não possua a informação do tempo.
Processing math: 6%
Então, o que fazer?
Devemos utilizar a equação descoberta por Evangelista Torricelli que relaciona as velocidades
final (�) e inicial (�0) de um móvel, com a aceleração (�) e o espaço por ele percorrido (∆ �), sem
que haja a informação do tempo. Veja:
�2 = �0
2 + 2 · � · ∆ �
14
EXEMPLO
Considere que um automóvel parte do repouso (� = 0) do quilômetro 10 de uma rodovia e chega
ao quilômetro 13 com uma velocidade de 120��/ℎ. Sabendo que o carro está em constante
aceleração, em quanto tempo esse automóvel irá do quilômetro 10 até o quilômetro 13?
Para encontrar a resposta, é necessário primeiro determinar a função horária que descreve o
movimento. Porém, não temos a informação da aceleração e para solucionar esse problema
utilizaremos a equação de Torricelli.
Como o corpo parte do repouso, sua velocidade inicial é �0 = 0 e a sua velocidade final é � = 120�
�/ℎ. Podemos determinar o espaço percorrido, calculando a diferença entre as posições final e
Processing math: 6%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
inicial: ∆ � = 13�� − 10�� = 3��.
1. AJUSTAR A EQUAÇÃO DE TORRICELLI
Como o corpo parte do repouso, sua velocidade inicial é �0 = 0 e a sua velocidade final é � = 120�
�/ℎ. Podemos determinar o espaço percorrido, calculando a diferença entre as posições final e
inicial: ∆ � = 13�� − 10�� = 3��. Finalmente podemos substituir todas essas informações na
equação de Torricelli:
�2 = �0
2 + 2�∆ �
1202 = 02 + 2� · 3
� = 2400 ��
ℎ2
2. DESCREVER A FUNÇÃO HORÁRIA DO MOVIMENTO
Agora que identificamos o valor da aceleração, podemos descrever a função horária do
movimento:
�� = 10 + 0� + 2400�
2
2
�� = 10 + 1200�2
3. DETERMINAR O TEMPO DE DESLOCAMENTO
Para determinar o tempo de deslocamento do automóvel, do quilômetro 10 até o quilômetro 13,
devemos substituir a informação de 13�� no lugar de ��, que é a posição final do automóvel,
assim:
13 = 10 + 1200�2
� = 0, 05ℎ
GRÁFICOS DO M.R.U. E DO M.R.U.V. E AS
SUAS CLASSIFICAÇÕES
Tanto o M.R.U. como o M.R.U.V apresentam gráficos e classificam seus movimentos de acordo
com eles. Vamos conhecer tais classificações?
Processing math: 6%
GRÁFICOS DO M.R.U.
MOVIMENTO PROGRESSIVO E MOVIMENTO
RETRÓGRADO
O M.R.U. descreve a trajetória de um móvel, quando esse se move com velocidade constante,
podendo a velocidade atribuída ao móvel ser positiva ou negativa.
Quando um corpo se move em velocidade constante positiva, dizemos que está em movimento
progressivo
Quando um corpo se move em velocidade constante negativa, dizemos que está em movimento
retrógrado
A figura 14 demonstra o comportamento gráfico de ambos os tipos de movimento:
(a)
Processing math: 6%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
(b)
 Figura 14 - Demonstração do comportamento dos movimentos:(a) progressivo, quando a
velocidade é positiva e (b) retrógrado, quando a velocidade é negativa.
GRÁFICOS DO M.R.U.V.
MOVIMENTO ACELERADO E MOVIMENTO RETARDADO
No M.R.U.V., temos a presença da aceleração, o que gera a variação da velocidade.
Processing math: 6%
 Figura 15 – Movimento acelerado
Quando a aceleração de um móvel é positiva, chamamos o movimento de acelerado.
 Figura 16 – Movimento retardado
Quando a aceleração é negativa, chamamos o movimento de retardado.
O gráfico da posição do móvel em um M.R.U.V. é descrito por uma parábola, uma vez que a
posição �� é descrita por uma função do segundo grau, como mostra a função (12). A seguir, na
figura 17, estão dispostos os gráficos de movimento acelerado e movimento retardado:
Processing math: 6%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
(a)
(b)
 Figura 17 - Gráfico da posição em função do tempo (�� × �) do M.R.U.V., onde: (a) movimento
acelerado e (b) movimento retardado.
Ambos os gráficos demonstram as raízes da função quadrática, obtidas quando a posição �� = 0.
Processing math: 6%
Os pontos de vértice dessa função são chamados de ponto de retorno. Nesse ponto, a velocidade
do móvel é zero, assim, o móvel para e muda o sentido de seu movimento.
Para verificar, de modo rápido e eficaz, se um movimento é acelerado ou retardado, usamos o
gráfico de velocidade por tempo (�� × �). A figura 18 ilustra os dois gráficos:
(a)
Processing math: 6%
(b)
 Figura 18 - Gráfico �� × �, onde: (a) apresenta um movimento acelerado e (b) um movimento
retardado.
 ATENÇÃO
Em nenhum dos gráficos feitos até o momento, tanto de �� quanto de ��, existe menção ao lado
negativo de �. Isso porque não existe tempo negativo. Por isso, resultados de tempo negativo
devem ser prontamente descartados.
M.R.U. E M.R.U.V.
REVISITAÇÃO ATRAVÉS DO CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL
Vimos até aqui como calcular a velocidade por meio da variação da posição em relação ao tempo
e como calcular a aceleração mediante a variação da velocidade em relação ao tempo.
O que fazer quando a variação de posição ou velocidade for tão pequena que a faz tender a zero?
Qual a relação do Cálculo Diferencial Integral com a Cinemática?
Vamos descobrir isso juntos:
1. DEFINIR A DERIVADA
No caso em que a variação de posição é muito pequena, teremos:
� = lim
�→0
∆�
∆�
Processing math: 6%
15
Essa é a definição de derivada. Chegamos à conclusão de que a velocidade é a derivada da
posição em função do tempo, logo, escrevemos da seguinte forma:
� = lim
�→0
∆�
∆� =
��
��
16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
2. VERIFICAR A VERACIDADE DESSA INFORMAÇÃO
Agora precisamos verificar a veracidade dessa informação. Lembra-se das funções horárias do
M.R.U.V. descritas em (12) e (13)? Ao derivar (12), devemos obter (13). Vamos tentar?
�� = �0 + �0� +
��2
2
Derivando, temos:
���
�� =
��0
�� +
�
�� �0� +
�
�� ��
2
17
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
3. REESCREVER A DERIVADA
No lado direito de (17), temos primeiramente a derivada da posição inicial, que por ser uma
constante, é zero. A derivada de ��� �0� = �0
��
�� = �0 e a derivada de 
�
�� ��
2 = � ��� �
2 = 2��. Assim,
reescrevemos (17) como:
�� = �0 + ��
Processing math: 6%
18
Da mesma forma como está descrita em (13).
4. ENCONTRAR A ACELERAÇÃO
Para encontrar a aceleração, basta derivar em função do tempo as funções (13) ou (18), já que
elas são idênticas. Você encontrará que � = �.
Agora vamos ver o caminho inverso. Vamos partir da aceleração e chegar na equação da posição.
5. EQUAÇÃO DA POSIÇÃO
Considere que seu corpo de início em repouso é submetido a uma aceleração constante �, e você
quer a equação que descreva o seu movimento. Para isso, vamos integrar o corpo, de um ponto
inicial a um ponto final, como demonstrado abaixo:
�� = �
Integrando em relação ao tempo, temos:
∫�0
� ��
�� �� = ∫0
� ���
19
Ao realizar a integração, temos:
∆ � = ��
20
Reescrevendo (20), temos:
�� = �0 + ��
Processing math: 6%
21
A função encontrada em (21) é idêntica à função encontrada em (18). Para achar a posição,
devemos integrar (21) também de um tempo �0 = 0 a um tempo �, assim:
∫�0
� ��
�� �� = ∫0
� �0 + ����
22
∆ � = �0� +
��2
2
23
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo:
�� = �0 + �0� +
��2
2
24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Com simples passos de integração foi possível, por meio da constante da aceleração, descrever a
função horária do M.R.U.V.
Você deve estar se perguntando por que o tempo inicial foi considerado como zero, e não como �0
. Só começamos a contar o tempo a partir do momento em que você observa o início do fenômeno
físico. Antes de o fenômeno ocorrer, você não está marcando o tempo; por isso, tudo começa do
zero.
Processing math: 6%
EXEMPLO
Imagine que você será o marcador do tempo de um corredor de 100� rasos que quer bater o
recorde mundial. Você só irá disparar o cronômetro quando for dado o sinal para ele começar a
correr. Então, qual é o tempo inicial do cronômetro? Veja a resposta.
 ATENÇÃO
A função horária do M.R.U. é uma particularidade da função horária do M.R.U.V. Se
considerarmos a aceleração igual a zero em (24), obrigatoriamente teremos a função descrita em
(11).
MÃO NA MASSA
Neste bloco, resolveremos três exercícios de diferentes graus de dificuldade com a ajuda do
nosso especialista (o professor Gabriel Burlandy) e você fará mais três exercícios de acordo com
esses graus. Nosso objetivo é colocar em prática a teoria aprendida neste módulo. Vamos lá?
Processing math: 6%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
AGORA É COM VOCÊ!
Processing math: 6%
AGORA É COM VOCÊ!
AGORA É COM VOCÊ!
EVANGELISTA TORRICELLI
Evangelista Torricelli (1608-1647) foi um físico e matemático italiano, mais conhecido pela
invenção do barômetro e por descobertas na área de óptica.
Processing math: 6%
MOVIMENTO PROGRESSIVO
O movimento progressivo é aquele em que o móvel caminha no mesmo sentido da orientação da
trajetória. Os espaços crescem no decorrer do tempo e sua velocidade escalar é positiva (v > 0).
MOVIMENTO RETRÓGRADO
O movimento é chamado retrógrado quando o móvel caminha contra a orientação da trajetória. Os
espaços decrescem no decorrer do tempo e sua velocidade escalar é negativa (v < 0).
Observação: Na prática, não existe velocidade negativa. O sinal da velocidade serve apenas para
indicar o sentido do movimento e apontar se ele é progressivo ou retrógrado.
FUNÇÃO 12
Processing math: 6%
�� = �0 + �0 · � + �
�2
2
ENTÃO, QUAL É O TEMPO INICIAL DO
CRONÔMETRO?
A resposta é: zero.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
Um M.C.U. ocorre, como o próprio nome já indica, quando a trajetória de um móvel descreve uma
circunferência e mantém o módulo de sua velocidade constante.
Processing math: 6%
Em nosso cotidiano, observamos diversos exemplos de movimentos circulares uniformes, como o
girar das hélices de ventiladores e a locomoção do ponteiro dos segundos de um relógio, por
exemplo.
No movimento retilíneo, a velocidade era definida como a variação do espaço percorrido em
função do tempo. No M.C.U. a lógica continua sendo a mesma, porém, agora nos referiremos à
posição angular.
A velocidade será calculada a partir da variação dessa posição angular em função do tempo, por
isso, a chamamos de velocidade angular.
Processing math: 6%
 Figura 19 - Representação de um movimento circular, de um móvel partindo do ponto � em
direção ao ponto �.
 COMENTÁRIO
Ao observar a última figura, podemos perceber que o trajeto percorrido pelo móvel está disposto
em vermelho. Trata-se de um caso em que um móvel está se deslocando de � para � em
trajetória curvilínea. Essa curva possui um centro, e a distância da curva até ocentro é dada pelo
raio.
No caso de um movimento circular, utilizamos como espaço a variação angular medida, tendo
como referencial o centro da circunferência. A posição angular é expressa pela letra � e a
velocidade, expressa pela letra �. A figura 20 ilustra essa situação.
A unidade de medida no SI da posição angular é o radiano (���) e a unidade de medida no SI da
velocidade angular é o radiano por segundo (���/�).
Processing math: 6%
 Figura 20 - Movimento circular
Portanto, analogamente ao M.R.U., temos:
� =
�−�0
�−�0
25
Como se trata de um movimento uniforme, analogamente à equação horária do M.R.U., a
equação horária do M.C.U. é:
�� = �0 + ��
26
Assim como no M.R.U., o gráfico de sua função é descrito por uma reta, crescente ou
decrescente.
Existe também outra relação para a determinação da velocidade angular, que é dada pela razão
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entre a velocidade linear do móvel e o raio da trajetória:
� = ��
27
 COMENTÁRIO
Apesar de ser outra maneira de encontrar a velocidade angular, a unidade de medida também é o
���/�.
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
VARIADO (M.C.U.V.)
De forma análoga ao M.R.U.V., o M.C.U.V. é o movimento curvilíneo que apresenta aceleração
angular (�). Portanto, temos a posição angular e a velocidade angular expressas da seguinte
forma:
�� = �0 + �0� +
��2
2
28
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
�� = �0 + ��
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29
Os gráficos gerados por ambas as funções descritas em (28) e (29) são idênticos aos gerados
pelas equações do M.R.U.V.
A aceleração angular pode ser determinada das seguintes formas:
� =
�−�0
�−�0
30
e
� = ��
31
A unidade da aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (���/�2).
Como todas as equações até agora têm sido análogas às equações do movimento retilíneo, a
equação de Torricelli também se aplica ao movimento circular:
�2 = �0
2 + 2�∆�
32
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EXEMPLO
Um automóvel se locomove com velocidade de 144��/ℎ quando entra em uma curva de raio igual
a 12��. Verificando que não conseguiria fazer a curva, o condutor do automóvel aciona o freio,
com uma aceleração de −0, 72�/�2.
Responda:
Qual a velocidade com a qual o automóvel entra na curva?
Qual a aceleração angular imposta ao veículo?
Se o deslocamento angular foi de 90°, qual a função horária do movimento?
SOLUÇÃO
Para determinar a velocidade ao final da curva, temos que primeiro encontrar a velocidade angular
inicial e também a aceleração angular:
�0 =
144��
ℎ =
40�
�
� = 12�� = 12000�
�0 =
�0
� =
40
12000
= 10
−2
3
���/�
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Vamos agora encontrar a aceleração angular:
� = �� = −
0,72
1200
= − 6×10
−4���
�2
Para descrever a função horária, temos que transformar o deslocamento angular de graus para
radianos, assim:
π ��� _______ −180°
� _______ −90°
Multiplicando cruzado, temos:
� = π
2
���
Assim, a função horária é:
�� = �0 + �0� +
��2
2
�� = π
2
+ 10
−2
3
�−3 × 10−4�2
MÃO NA MASSA
Neste bloco, resolveremos três exercícios de diferentes graus de dificuldade com a ajuda do
nosso especialista (o professor Gabriel Burlandy) e você fará mais três exercícios de acordo com
esses graus. Nosso objetivo é colocar em prática a teoria aprendida neste módulo. Vamos lá?
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AGORA É COM VOCÊ!
AGORA É COM VOCÊ!
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AGORA É COM VOCÊ!
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, apresentamos os conceitos da Cinemática, tanto para um movimento retilíneo quanto
para um movimento curvilíneo, e conhecemos todas as equações que regem o movimento
mecânico, verificando suas relações. Dentre elas, verificamos que o M.R.U. é um caso particular
do M.R.U.V. e que o M.C.U. é um caso particular do M.C.U.V.Processing math: 6%
Vimos também que é possível utilizar o cálculo diferencial e o integral para determinar a
velocidade e a aceleração de um corpo em determinado instante de tempo. Esses conceitos
apresentados são de suma importância e você perceberá que eles o acompanharão, não só ao
decorrer de todo o curso, mas também por toda a sua vida como profissional.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
FREIRE, W. H. C. et al. Lançamento oblíquo com resistência do ar: uma análise qualitativa. In:
Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 38, n. 1, p. 1-5, mar. 2016. FapUNIFESP (SciELO).
CUTNELL, J. D.; JOHNSON, K. W. FÍSICA. 9 ed., v. 1, Rio de Janeiro: LTC, 2016.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 10. ed., v. 1. Rio de Janeiro:
LTC, 2016.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. v. 1, 6. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2014.
EXPLORE +
Existem diversas aplicações das teorias cinemáticas, entre elas: queda livre, lançamento vertical,
lançamento horizontal e lançamento oblíquo. Uma boa fonte de informação sobre a aplicação das
equações da Cinemática se encontra no artigo científico Lançamento oblíquo com resistência do
ar: uma análise qualitativa, publicado por Freire et al. em 2016.Processing math: 6%
Os conceitos da Cinemática são essenciais para o entendimento do mundo ao nosso redor.
Podemos notar esses conceitos até mesmo nos esportes. Para compreender melhor, explore mais
sobre esse conceito, lendo o artigo científico A utilização do futebol americano como instrumento
auxiliar no ensino de Cinemática, escrito por Rodrigo Dias Pereira e Lucas Amaral Fantecele.
CONTEUDISTA
Gabriel Burlandy Mota de Melo
 CURRÍCULO LATTES
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