Hidrodinamica_3_Movimento_Fluido_Real

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HIDRODINÂMICA 
 
5. EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO DE UM FLUÍDO 
 
 Pode ser estudada de diferentes formas, segundo proposições de 
diversos autores. Todas as formas de estudos levam às principais conclusões 
sobre as leis que regem o movimento dos fluidos. 
 
5.1. MOVIMENTO DE UM FLUIDO IDEAL NO ESPAÇO 
 
 Seja um paralelepípedo de volume dVol, escolhido no interior de um 
fluido de massa específica ρ, que se encontra em escoamento, num dado 
instante, t. Suponhamos, inicialmente, que o escoamento seja de um fluido 
ideal. A figura seguinte mostra o volume de fluido escolhido para estudo, de 
faces paralelas aos planos coordenados de um referencial cartesiano tri-
ortogonal, xOy, yOx e xOz, cujas arestas valem, respectivamente, dx, dy e dz. 
Admite-se que o eixo Oz seja vertical. 
 
Fig. xx – Volume elementar de um fluido em escomento. 
• Elemento de volume: dVol = dx.dy.dz 
• Elemento de massa: dm =ρ.dVol 
• Elemento de peso: dP =dm.g = ρ.g.dVol 
 
25 
 
 
Forças de campo e forças de contato 
 
 Forças de campo: kFjFiFF zyxc
rrrr
++= 
 por unidade de massa: kZjYiX
m
Fc rrr
r
++= � aceleração 
 
Forças de superfície: reaApFs
rr
.= � devidas à pressão 
 0. == reaAFcis
rr
τ � devidas à tensão cisalhante. 
 
As forças de superfície na direção de cada um dos eixos coordenados são: 
 Em Ox: dxdydz
x
pdydzdx
x
ppp
∂
∂
−=











∂
∂
+− 
 Em Oy: dxdydz
y
pdxdzdy
y
ppp
∂
∂
−=











∂
∂
+− 
 Em Oz: dxdydz
z
pdydxdz
z
ppp
∂
∂
−=











∂
∂
+− 
 
A segunda lei de Newton permite dizer que: F = ma: 
 Forças segundo o eixo Ox � dxdydz
x
pdmXdmax ∂
∂
−=
 ou 
 dxdydz
x
pXdVoladVol x ∂
∂
−= .. ρρ 
 logo 
x
pXax ∂
∂
−= ρρ ou 
x
pXax ∂
∂
−=
ρ
1
 
 
Nas outras direções, o raciocínio é análogo, de maneira que: 
 
y
pYa y ∂
∂
−=
ρ
1
 
 
z
pZa z ∂
∂
−=
ρ
1
 
Assim, as equações: / 
x
pX
dt
xd
∂
∂
−=
ρ
1
2
2
 
do movimento <| 
y
pY
dt
yd
∂
∂
−=
ρ
1
2
2
 
de um fluido perfeito: \ 
z
pZ
dt
zd
∂
∂
−=
ρ
1
2
2
 
Substituindo as componentes da aceleração, temos as equações de Euler de 
um fluido ideal: 
 
 
26 
 






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
uX
x
p
ρ
1
 






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
uY
y
p
ρ
1
 






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
uZ
z
p
ρ
1
 
 As três equações acima, são denominadas de equações de Euler para o 
escoamento de um fluido real. 
 
 Acrescentando as forças viscosas, para contemplar o escoamento de um 
fluido real, tem-se as equações de Navier-Stokes. 
 
 
5.2. CASO DO MOVIMENTO PERMANENTE E FLUIDO IDEAL 
 
 Se o escoamento é permanente: 
t
w
t
v
t
u
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
 
Logo: 
dt
duX
x
p
−=
∂
∂
ρ
1
 
dt
dvY
y
p
−=
∂
∂
ρ
1
 
dz
dwZ
z
p
−=
∂
∂
ρ
1
 
 
Multiplicando cada uma das equações acima por dx, dy e dz, respectivamente 
e somando membro a membro, tem-se: 
dz
dt
dwdy
dt
dvdx
dt
duZdzYdyXdxdz
z
pdy
y
pdx
x
p
−−−++=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
1
 
Como dz
z
pdy
y
pdx
x
pdp
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
 e p = f(x,y,z), escreve-se: 
wdwvdvuduZdzYdyXdxdp −−−++=
ρ
1
 
Mas ( )22ududu = , ( )22vdvdv = e ( )22wdwdw = , logo 






++−++=
222
1 222 wvudZdzYdyXdxdp
ρ . 
Como wvuV ++= 222 , finalmente pode-se escrever que: 
 
27 
 






−++=
2
1 2VdZdzYdyXdxdp
ρ 
A equação acima é denominada de equação de Euler para escoamento 
permanente de um fluido ideal. 
 
 Quando o escoamento de um fluido se dá ao longo de uma linha de 
corrente, sendo um escoamento permanente de um fluido ideal, a equação 
acima fica simplificada. A figura seguinte mostra o esquema de tal 
escoamento. 
 
Fig. xx – Trajetória de uma partícula do fluido em movimento. 
 
Supondo que o eixo Oz seja vertical, as equações anteriores reduzem-se a: 
kgjgigkZjYiX
m
F
zyx
c
rrrrrr
r
++=++= 
Sendo X = Y = 0 e Z = -g 
Logo: 
0
2
1 2
=





++
Vdgdzdp
ρ 
 O conteúdo acima é denominado de equação de Euler em uma direção. 
 
Observação 1: Teorema de Bernoulli: 
 Se o escoamento além de ocorrer ao longo de uma direção, for de fluido 
ideal, incompressível e ocorrer no regime permanente, deduz-se a equação de 
Bernoulli para fluido ideal. 
 
28 
 
 
Assim, sendo ρ e g constantes, a equação de Euler fica sendo: 
0
2
)(
2
=





++




 Vdgzdpd
ρ 
Dividindo ambos os membros por g: 
0
2
2
=





+





+
g
Vd
g
pddz
ρ ou 
0
2
2
=





++
g
V
g
p
zd
ρ 
Se a diferencial de uma função é nula, então a função é constante. Assim, 
teC
g
Vp
z =++
2
2
γ 
A equação acima é conhecida como equação de Bernoulli para o escoamento 
de um fluido ideal, incompressível, em regime permanente, sendo z é a cota 
do ponto, p a pressão, V a velocidade, γ o peso específico do fluido e g a 
aceleração da gravidade. 
 
Observação 2: Equação fundamental da Hidrostática 
 Quando o fluido estiver em repouso (V=0), a equação deve fornecer a 
equação fundamental da hidrostática, vista anteriormente. 
 ZdzYdyXdxdp ++=
ρ
1
 
 Se Oz é vertical X = 0, Y = 0 e Z = -g, logo: 
gdzdp ρ−=
 
 � equação fundamental da hidrostática. 
 
 
29 
 
 
 
 
6. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO DE UM FLUIDO REAL 
 
 Seja uma massa de fluido, dm, que ocupa um volume elementar, 
deslocando-se no espaço, sujeito a ação de forças de campo, com uma 
velocidade V, no instante t, nas proximidades da superfície terrestre, onde a 
aceleração da gravidade vale g, conforme mostra a figura. Consideremos o 
volume elementar de fluido, dVol, como um paralelepípedo retangular com o 
centro de gravidade coincidente com o ponto P. A área da base do 
paralelepípedo é dA e sua altura ds. Na figura seguinte foram traçadas a 
tangente, (t), à trajetória s, e a normal, (n), no ponto P. As direções (t) e (n) 
são ortogonais. 
 O elemento de fluido considerado fica sujeito às forças decorrentes da 
pressão e do atrito (de contato) e à força gravitacional (de campo). Na 
ausência de processos termodinâmicos e desconsiderando eventuais variações 
de energia em decorrência da realização de trabalho (presença de bombas ou 
turbinas), a equação do movimento pode ser estabelecida à partir da aplicação 
da segunda lei de Newton para a massa fluida dm, que, num instante genérico, 
t, ocupa uma dada posição P no espaço, possuindo uma velocidade V. 
 Considere uma massa, dm, em torno de um ponto P, contida em um 
volume elementar, dVol nas proximidades da superfície terrestre, conforme 
esquema mostrado na figura seguinte. 
 
 
30 
 
 
Fig. xx – Volume elementar de um fluido em escoamento 
 
 Seja s a trajetória descrita pela massa fluida, C o centro de curvatura da 
trajetória, r o raio de curvatura e z a cota do ponto P, centro de gravidade do 
volume elementar de fluido considerado. 
Com tais considerações, no ponto P a cota é z, a massa específica é ρ, 
pressão p, velocidade na direção da tangente é V e tensão cisalhante τ. 
 As direções horizontal, tangente à linha de corrente e a vertical, formam 
um triângulo retângulo com o ângulo α entre a tangente e a horizontal e o 
ângulo θ entre a tangente e a vertical, conforme ilustrado na figura. Assim 
também, fica definido outro triângulo formado pelas direções horizontal, 
vertical e da normal à linha de corrente, semelhante ao primeiro triângulo. 
 
Fig. Xx – Elementos geométricos envolvidos no escoamento. 
 
Dos dois triângulos da figura anterior, é possível obter as seguintes 
relações trigonométricas: 
 
31 
 
ds
dz
=θcos
 e dn
dz
=αcos
 
 
 A massa de fluido contida no volume dVol, num intervalo de tempo, dt, 
será: 
dm = ρ.dVol, onde dVol = dA.ds = dA*.dn. 
 
 A figura seguinte mostra, com maiores detalhes, o volume dVol que 
contém uma massa dm, centrado no ponto P e os demais elementos 
infinitesimais envolvidosno problema. Ao lado da representação das forças 
que atuam sobre o volume elementar colocou-se a pressão ou a tensão 
cisalhante que as originaram. 
 
 
 
Fig. xx – Paralelepípedo elementar de fluido com as forças que estão agindo 
sobre a massa nele contida. 
 
 A equação do movimento do fluido será estabelecida considerando-se 
que a resultante de todas as forças que agem sobre a massa dm é igual ao 
 
32 
 
produto dessa massa pela aceleração (segunda Lei de Newton). Nesse caso 
serão consideradas apenas as forças contidas no plano definido pela tangente 
à trajetória e a normal a ela, traçadas pelo ponto P. Essas forças serão 
denominadas de forças segundo a direção da tangente e forças segundo a 
direção da normal ao escoamento. 
 
Componentes das forças segundo a tangente à trajetória: 
Considere-se as forças segundo a direção da tangente à trajetória do 
movimento, (t). 
 Forças de pressão: 
 
dsdA
s
pdAds
s
pppdA
∂
∂
−=





∂
∂
+−
 .............1 
 Forças cisalhantes: 
 
*** dndA
n
dAdn
n
dA
∂
∂
=





∂
∂
−−
ττ
ττ
 .........2 
 Força peso (de campo): 
 
s
zgdVolgdVoldPs ∂
∂
−=−= ρθρ cos
 ...........3 
 
 Supondo que o vetor velocidade tangencial seja uma função de s e de t: 






∂
∂
+
∂
∂
==⇒= dt
t
Vds
s
V
dtdt
Vd
atsVV
rrr
rrr 1),(
 ou 
t
V
s
VV
dt
dt
t
V
dt
ds
s
V
dt
Vd
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
rrrrr
 
No segundo membro da equação acima, a primeira parcela é a 
aceleração convectiva e a segunda a aceleração local. O vetor velocidade tem 
a direção da tangente à linha de corrente, logo: 
t
V
s
VV
dt
dV
∂
∂
+
∂
∂
=
 
 
33 
 
Como a segunda Lei de Newton afirma que, na direção da tangente ao 
escoamento dFt = dm.at, a substituição das forças encontradas nessa equação 
permite escrever: 




∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
t
V
dt
ds
s
VdVol
s
zgdVoldndA
n
dsdA
s
p ρρτ *
 ou 




∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
t
V
s
VVdVoldVol
s
zg
ns
p ρρτ
 
 A equação acima relaciona as forças que atuam sobre a massa contida 
no volume dVol com a força de inércia. Lembrando que ( )22VssVV ∂∂=∂∂ e 
substituindo na equação acima, após dividir ambos os membros por ρdVol, 
tem-se uma equação que expressa o equilíbrio entre as forças por unidade de 
massa que atuam no volume considerado e a força de inércia por unidade de 
massa: 
t
VV
ss
zg
ns
p
∂
∂
+





∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
2
11 2τ
ρρ 
Essa é a equação diferencial do movimento da massa dm, num instante 
genérico, t, simplesmente denominada de equação diferencial do movimento 
do fluido. Notar que cada parcela da equação anterior representa força por 
unidade de massa ou simplesmente aceleração devida às forças de pressão, 
cisalhantes, gravitacional e de inércia. 
 
Observações: 
1. Se o escoamento for de um fluido ideal e incompressível, a equação 
pode ser simplificada já que as forças devidas à tensão cisalhantes são 
nulas, de forma que: 
t
VV
ss
gzp
s ∂
∂
−=





∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
2
)( 2
ρ ou 
 
34 
 
t
VVpgz
s
p
∂
∂
−=





++
∂
∂
2
2
ρ 
 
2. Se o escoamento for de um fluido ideal, incompressível e em regime 
permanente, a equação diferencial do movimento pode ser, ainda, mais 
simples: 
0
2
)( 2
=





∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂ V
ss
gzp
s ρ , 
o que pode ser escrito como: 
0
2
2
=





++
∂
∂ Vpgz
s ρ . 
 A equação anterior é denominada de equação de Euler, para os 
escoamentos unidimensionais. 
 
3. Se o escoamento for de um fluido ideal, incompressível, permanente e 
ocorrer ao longo da trajetória descrita pela partícula, entre dois pontos 
P1 e P2, a integração da equação anterior dará: 
∫ ∫∫∫ =





∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
∴=





++
∂
∂ 2
1
2
1
22
1
2
1
2
0
2
)(0
2
P
P
P
P
P
P
P
P
dsV
s
dsp
s
ds
s
gzdsVpgz
s ρρ
 
Logo: 
0
22
2
1
2
212
12 =−+−+−
VVppgzgz
ρρ ou 
teCVpgzVpgz =++=++
22
2
22
2
2
11
1 ρρ 
 Dividindo-se ambos os membros da equação acima por g, encontra-se o 
clássico resultado que expressa a equação de Bernoulli para o escoamento de 
um fluido ideal, incompressível, em regime permanente e que ocorre entre 
 
35 
 
dois pontos P1 e P2 de uma linha de corrente, no interior de um escoamento. A 
nova constante obtida, Cte/g agora é chamada de H, constante de Bernoulli ou 
carga total do escoamento. Assim, tem-se: 
H
g
Vp
z
g
Vp
z =++=++
22
2
22
2
2
11
1 γγ 
 Na equação acima cada parcela significa energia por unidade de peso 
do fluido, assim como H que significa a energia total por unidade de peso de 
fluido. 
 
Componentes das forças segundo a normal à trajetória: 
 Considere-se, agora, as forças segundo a direção da normal à trajetória 
do movimento, (n). 
 Forças de pressão: 
 
*** dndA
n
pdAdn
n
pppdA
∂
∂
−=





∂
∂
+−
 .............1 
 Forças cisalhantes: São forças apenas na direção da tangente, portanto 
naturalmente têm componente segundo a normal igual a zero. 
 Força peso (de campo): 
 
n
zgdVolgdVoldPn ∂
∂
−=−= ραρ cos
 ...........2 
Como a segunda Lei de Newton afirma que, na direção da normal ao 
escoamento dFn = dm.an, e que a aceleração normal vale an = ρ.V2/r, onde r é 
o raio de curvatura no ponto P, escreve-se: 
r
VdVol
n
zdVolgdnsdA
n
p 2*
.....0 ρρ −=
∂
∂
−+
∂
∂
−
. 
Dividindo-se ambos os membros por dVol, vem: 
r
V
n
zg
n
p 2
... ρρ =
∂
∂
+
∂
∂
 
 
36 
 
A equação acima é denominada de equação diferencial da distribuição 
da pressão ao longo da direção normal a um escoamento. Ela expressa a 
distribuição de pressões nos escoamentos em que a trajetória não é retilínea, 
desde que se conheça a velocidade e o raio de curvatura da curva descrita pela 
massa no seu movimento. 
 
Observação: se a trajetória for retilínea, o raio de curvatura é infinito, de 
maneira que: 
( ) 0.. =+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ gzp
nn
zg
n
p ρρ
 
Logo, 
dzgdp ..ρ−=
 
O resultado obtido acima é a equação fundamental da hidrostática, já 
demonstrada quando se estudou a hidrostática e que levou ao estabelecimento 
da equação de Stevin para a variação da pressão nos fluidos. 
 
 
 
6.1. EQUAÇÃO INTEGRAL DO ESCOAMENTO SEGUNDO 
UMA LINHA DE CORRENTE 
 
 Supondo que o escoamento ocorre segundo linhas de corrente e que 
para a linha de corrente mostrada na figura seguinte tenha-se dois pontos, P1 e 
P2, em um mesmo instante, t, a equação diferencial do movimento vista 
anteriormente pode ser escrita como: 
t
V
ns
zgV
ss
p
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
−





∂
∂
−
∂
∂
−
τ
ρρ
1
2
1 2
 
 
37 
 
 
Fig. xx – Coordenadas de pontos em um escoamento segundo uma linha de 
corrente. 
 
Dividindo a equação acima, membro a membro, por g e desprezando-se 
as variações de ρ e g, resulta que: 
t
V
ggns
z
g
V
sg
p
s ∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
−





∂
∂
−





∂
∂
−
1
2
2
ρ
τ
ρ 
Como a soma das derivadas é igual à derivada da soma das parcelas, pode-se 
escrever a equação acima na forma: 
t
V
gng
Vp
z
s ∂
∂
=





∂
∂
+





++
∂
∂
−
1
2
2
γ
τ
γ 
Nas duas equações anteriores deve ser observado que cada parcela tem 
o significado de força por unidade de peso de fluido, sendo, portanto, 
grandezas adimensionais. Agora, multiplicando a última equação por ds, tem-
se: 
ds
t
V
g
ds
n
ds
g
Vp
z
s ∂
∂
=





∂
∂
+





++
∂
∂
−
1
2
2
γ
τ
γ 
 
38 
 
 Nesse caso, os produtos que representam o trabalho que cada uma das 
forças envolvidas desenvolveu ao longo da linha de corrente, por unidade de 
peso de fluido, para efetuar um deslocamento infinitesimal de comprimento 
ds. 
 Para somar todos os trabalhos realizados para que o ponto P percorra a 
linha de corrente desde P1 até P2, basta realizar a integração em ambos os 
membros da equação anterior, o que fica sendo: 
∫∫∫ ∂
∂
−=





∂
∂
−




++
∂
∂ 2
1
2
1
2
1
2 1
2
ds
t
V
g
ds
n
ds
g
Vp
z
s γ
τ
γ 
 Calculando cada uma das integrais que forma a equação anterior: 
g
Vp
z
g
Vp
z
g
Vp
zds
g
Vp
z
s 2222
2
11
1
2
22
2
2
1
22
1
2
−−−++=





++=





++
∂
∂
∫ γγγγ 
 
phds
n
=





∂
∂
− ∫
2
1 γ
τ
 
 A integral acima deve ser calculada caso a caso. Ela representa o 
trabalho devido às forças cisalhantes, por unidade de peso de fluido, para que 
o ponto seja deslocado desde P1 até P2, através da linha (s). Ela corresponde à 
energia perdida por atrito, por unidade de peso e, de agora em diante, será 
denominada perda de carga entre os pontos P1 e P2. 
 A integral presente no segundo membro da equação será: 
( ) ( ) s
t
V
g
ss
t
V
g
s
t
V
g
ds
t
V
g
ds
t
V
g
∆
∂
∂
−=−
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
− ∫∫
11111
12
2
1
2
1
2
1 
Nessa equação, g não varia com s, assim como a aceleração local não 
varia com s, pois estamos calculando a integral em um instante t. ∆s é o 
espaço desde o ponto P1 até o ponto P2, medido sobre a linha de corrente. 
Substituindo os valores calculados de cada parcela na equação original, tem-
se: 
 
39 
 
t
V
g
sh
g
Vp
z
g
Vp
z p ∂
∂∆
−=+−−−++
22
2
11
1
2
22
2 γγ 
 
Reordenando os termos convenientemente, finalmente, tem-se a 
equação da energia, em termos finitos, para o escoamento de um fluido real 
que acontece segundo uma linha de corrente. 
t
V
g
sh
g
Vp
z
g
Vp
z p ∂
∂∆
++++=++
22
2
22
2
2
11
1 γγ 
 
Se o escoamento, além das características discutidas nesse item for 
permanente, a equação terá a forma que será discutida no próximo item. 
 
 
6.2. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA O ESCOAMENTO 
DE FLUIDO REAL 
 
Quando se tratar de escoamento permanente, de um fluido real e 
incompressível, que acontece segundo uma linha de corrente, a última parcela 
da equação mostrada no item anterior torna-se nula (não existe aceleração 
local), de maneira que a equação pode ser escrita da seguinte forma: 
 
phg
Vp
z
g
Vp
z +++=++
22
2
22
2
2
11
1 γγ 
 
 A equação anterior expressa o conteúdo da equação de Bernoulli, 
quando aplicada para o escoamento de um fluido real, incompressível e em 
regime permanente, que se dá ao longo de uma linha de corrente. 
 
 
40 
 
Observações: 
1. Quando se tratar de escoamento de fluido ideal, isto é, de fluidos em 
que a viscosidade é desprezível, a equação anterior pode ser 
simplificada para: HCg
Vp
z
g
Vp
z te ==++=++
22
2
22
2
2
11
1 γγ 
A equação acima é denominada de equação de Bernoulli para o 
escoamento de um fluido ideal, incompressível, unidimensional, em 
regime permanente, ao longo de uma linha de corrente. A constante, H, 
é denominada de constante de Bernoulli e as três parcelas somadas são 
denominadas de energia mecânica do escoamento por unidade de peso 
de fluido, que devem permanecer constante no escoamento. 
2. Na equação de Bernoulli, cada parcela tem um significado físico 
próprio, conforme relacionado a seguir: 
 
z = cota ou carga de posição, denotando a energia potencial gravitacional 
(dm.g.z) por unidade de peso de fluido. É medida em m, N.m/N ou J/N. 
 
p/γ = carga de pressão, carga efetiva ou carga piezométrica, significando a 
energia de pressão por unidade de peso de fluido. É medida em N.m/N = 
m. 
 
=
g
V
2
2
 carga de velocidade, carga cinética ou taquicarga, significando a 
energia cinética (m.V2/2) por unidade de peso do fluido. É medida em 
N.m/N = m. 
hp = energia perdida por unidade de peso de fluido ou simplesmente perda de 
carga. È medida em N.m/N = m. 
 
 
41 
 
z + p/γ = cota piezométrica ou altura piezométrica. Esse valor define o lugar 
geométrico dos pontos do espaço denominado de linha piezométrica ou 
linha de carga efetiva. 
 
g
Vp
z
2
2
++
γ = é denominada de carga total, H, representando toda a energia 
mecânica por unidade de peso de fluido que o escoamento possui em uma 
dada posição. Esse valor, quando computado para todos os pontos da linha 
de corrente, define uma linha denominada de linha de energia ou linha do 
gradiente hidráulico. 
 
3. Denomina-se de plano de carga efetivo (PCE), ao plano horizontal 
traçado a partir da energia total correspondente ao ponto de maior 
energia no domínio do fluido m estudo. 
 
4. As parcelas presentes na equação de Bernoulli podem, também, ser 
entendidas geometricamente como alturas, conforme esquematizado na 
figura seguinte. 
 
42 
 
 
Fig. xx – Parcelas da equação de Bernoulli, entendidos como alturas em um 
escoamento permanente, de fluido incompressível, ao longo de uma linha de 
corrente. 
 
 No desenho esquematizado na figura anterior os elementos têm o 
seguinte significado: 
(s) = linha de corrente do escoamento 
LP = linha piezométrica 
LE � linha de energia do escoamento 
PCE � plano de carga efetivo 
PHR � plano horizontal de referência 
 
5. Quando se usa as pressões relativas, a LP pode estar acima, abaixo ou 
coincidir com a linha de corrente. Nos dois primeiros casos, têm-se os 
escoamentos em condutos forçados. No terceiro caso têm-se os 
escoamentos livres ou em canais. 
6. Nos fluidos reais, devido a existência da perda de energia por atrito 
(causada pela viscosidade), a linha de energia sempre decresce no 
 
43 
 
sentido do escoamento, há menos que em algum ponto do escoamento 
haja uma introdução ou retirada de energia, como é o caso dos 
escoamentos que possuem bombas ou turbinas. No caso de se ter 
escoamentos em tubos, admitindo que a velocidade em cada seção 
transversal ao escoamento seja constante (velocidade média na seção 
transversal), facilmente pode-se estender os conceitos envolvidos na 
equação de Bernoulli para escoamento de fluido real, conforme 
esquematizado na figura seguinte, mostrando uma tubulação de seção 
transversal decrescente. 
 
 
Fig. xx – Escoamento de um fluido em um tubo de corrente. 
 
7. No caso da velocidade ser constante ao longo de todo o escoamento, a 
linha de energia é sempre paralela à linha piezométrica. A figura 
seguinte ilustra essa característica, para as tubulações de seção 
transversal constante. 
 
 
44 
 
 
Fig, xx – Escoamento em uma tubulação de diâmetro constante, com a linha 
de energia paralela à linha piezométrica. 
 
 Na prática, a linha piezométrica pode ser visualizada com a 
instalação de piezômetros abertos para a atmosfera. O líquido irá subir 
no piezômetro até que a coluna piezométrica se equilibre com a pressão 
no ponto, conforme mostrado nos casos dos pontos 1 e 2 na figura 
anterior, comumente denominada de pressão estática. O resultado 
obtido com a instalação de piezômetros em todos os pontos do eixo do 
escoamento é uma linha contínua passando pela extremidade da coluna 
de líquido formada, denominada de linha piezométrica. Ressalta-se que 
no caso de pressões negativas no eixo da tubulação, haverá um 
abaixamento da coluna piezométrica, de uma altura correspondente à 
pressão negativa reinante. Nesse caso instala-se um tubo em U abaixo 
do eixo do escoamento. 
 Quando se instala um tubo de pequeno diâmetro, com a 
extremidade inicial alinhada com a direção do escoamento e, logo em 
 
45 
 
seguida, tendo a direção da vertical, o líquido subirá no tubo até que a 
nova coluna piezométrica se iguale com a nova pressão, agora é dita 
pressão dinâmica ou pressão total. A pressão total é maior que a pressão 
estática do escoamento em decorrência da velocidade ter se tornada 
nula bem próximo à boca do tubo, em decorrência da formação de um 
ponto de estagnação. O resultado é que a coluna piezométrica é maior 
que no caso da pressão estática. A extremidade superior da coluna, 
quando estendida para tosos os pontos ao longo do eixo do escoamento, 
materializará a linha de energia do escoamento. Nos casos em que a 
pressão for negativa, observar-se-á um abaixamento da coluna 
piezométrica da altura correspondente. 
 
8. No caso de escoamentos de fluido ideal, a linha de energia é sempre 
horizontal.6.3. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE 
BERNOULLI 
 
EXEMPLO 1: 
Seja um escoamento de água através de uma seqüência de três 
tubulações de diâmetros diferentes, partindo de um reservatório de nível 
constante, conforme lustrado na figura seguinte. Nessa figura, o escoamento 
inicia-se em uma tubulação 1, de um dado diâmetro, unida a uma outra 
tubulação 2, de menor diâmetro. Esta segunda tubulação está unida a uma 
terceira tubulação 3, de diâmetro superior ao da primeira tubulação. Na figura 
não está mostrado o final da terceira tubulação, que se estende além do 
domínio da figura. Também não se discutirá o caráter da união, nesse 
momento. 
 
46 
 
 
 
Fig. xx – Escoamento de água através de três tubulações unidas 
seqüencialmente, partindo de um reservatório de nível constante. 
 
 O traçado da linha de energia pode ser feito de duas maneiras distintas. 
A primeira maneira de se traçar a linha de energia é computar a soma das três 
parcelas correspondentes aas energias de posição, de pressão e cinética, para 
os pontos chaves do escoamento. A partir do PHR, marcar alturas obtidas e 
unir os pontos, traçando a linha de energia (LE). Uma segunda maneira de se 
traçar a LE é através do conhecimento do PCE, que no caso coincide com a 
superfície livre da água no reservatório de nível constante. Nos pontos 
característicos do escoamento, calcular a perda de carga, hp, subtraindo essa 
parcela do PCE. Em qualquer dos casos resulta a linha marcada como LE na 
figura anterior. Na entrada da tubulação 1, a linha coincide, 
aproximadamente, com a superfície livre da água no reservatório. À partir daí, 
ela será decrescente, linearmente, com uma certa declividade, até atingir a 
 
47 
 
união das tubulações 1 e 2. No trecho correspondente à tubulação 2, a linha de 
energia continuará decrescente, agora com uma declividade maior, já que a 
velocidade na tubulação 2 é maior que na tubulação 1, até atingir a união com 
a tubulação 3. À partir daí a LE continua decrescente, agora com uma 
declividade muito menor, menor até que a declividade na tubulação 1, visto 
ser o diâmetro da tubulação 3 o maior deles. 
O traçado da linha piezométrica será feito calculando-se as pressões em 
certos pontos de interesse e computando a soma da cota com a carga 
piezométrica (z + p/γ). Outra maneira de construir a LP, quando se conhece a 
LE, é marcar uma linha paralela à LE, abaixo da mesma, com altura 
correspondente à parcela da energia cinética por unidade de peso de fluido, 
nos trechos de diâmetro constante. No caso em questão, a LP coincide com a 
superfície livre da água no reservatório de nível constante. A seguir ela cai 
bruscamente, para entrar na tubulação 1, ficando, então, abaixo da LE, a uma 
distância correspondente a V2/(2g), paralela a esta, até a união com a 
tubulação 2. No início da tubulação 2, a LP cai bruscamente, para se adequar 
ao novo nível de velocidade maior que na tubulação 1. Após a queda, ela 
continua decrescente, com mesma inclinação da LE, até atingir a união com a 
tubulação 3. No início da tubulação 3, a LP se eleva, bruscamente, para ficar 
novamente paralela à LE, agora a uma distância bem menor, já que a 
velocidade na tubulação 3 é a menor de todas. Assim a LP segue paralela à 
LE até que nova variação de velocidade imponha uma nova posição. É 
comum dizer que na tubulação 3 houve uma recuperação da pressão, visto que 
essa pressão se elevou em decorrência da baixa velocidade nessa tubulação. 
A perda de carga, correspondente à energia perdida por atrito devida à 
tensão cisalhante presente nos escoamentos de fluido real, impõe a condição 
de que a LE será sempre decrescente no sentido do escoamento. Ela 
corresponderá à diferença entre o PCE e a LE. Mais à frente será discutido 
 
48 
 
com profundidade as diversas perdas de carga, bem como as diferentes 
maneiras de se calcular as mesmas. 
 
 
EXEMPLO 2: 
 Em um escoamento de água, em uma tubulação de diâmetro constante, 
D, instalou-se um piezômetro e um tubo de pequeno diâmetro, d, em formato 
de L, com uma das partes retas alinhadas com a direção do escoamento, 
conforme mostra a figura seguinte. Esse dispositivo é conhecido como tubo 
de Pitot, sendo utilizado para medir a velocidade dos escoamentos. No 
presente caso ele está ligado a um manômetro diferencial de tubo em U, que 
será usado para a obtenção da diferença de pressão entre a pressão total 
(dinâmica) e a pressão estática. Esse arranjo, sem o medidor de pressão 
diferencial, é denominado apenas de tubo de Pitot, para diferenciar de um 
modelo mais aperfeiçoado denominado de tubo de Prandtl ou tubo de Pitot 
estático. 
 
Fig. xx – Esquema de um escoamento com um tubo de Pitot. 
 
SOLUÇÃO 
 
49 
 
 A introdução do tubo de Pitot no escoamento, dever ser feita de modo a 
produzir a menor perturbação possível. Para tanto, o diâmetro do tubo de Pitot 
deve ser bem menor que o diâmetro do tubo onde está confinado o 
escoamento. No ponto 1 a velocidade é V1 = V e a pressão é p1. No ponto 2 a 
velocidade V2 é nula e a pressão é p2. Bem na extremidade do tubo de Pitot, 
na condição de equilíbrio, forma-se um ponto de estagnação com a água 
parada. Ela não mais entrará no tubo já o fluido dentro do tubo de Pitot não 
permite. Pode até haver um escoamento momentâneo (transiente) até que haja 
equilíbrio das diversas forças envolvidas. Após esse equilíbrio tem-se a 
situação mostrada na figura anterior. Assim podemos dizer que: 
 No ponto 1: z = z1, p = p1 e V1 = V 
 No ponto 2 (estagnação): z = z2; p = p2 e V2 = 0. 
 Se o ponto 1 for próximo do ponto 2, podemos admitir que p1 = pest, 
p2 = pdin. e hp = 0. 
A aplicação da equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 permite escrever: 
00
222
2
2
2
1
1
2
22
2
2
11
1 +++=++∴++=++ γγγγ
p
z
g
Vp
z
g
Vp
z
g
Vp
z
 
Admitindo que = z1 = z2, tem-se: 
γγγ
12212
2
2
2
ppgVpp
g
V −
=∴−=
 
Sendo γ = ρ.g e ∆p = p2 – p1: 
ρ
pV ∆= 2
 
A expressão acima é utilizada universalmente para determinar a 
velocidade de um escoamento de um fluido de massa específica ρ, 
conhecendo-se a diferença entre a pressão dinâmica no tubo de Pitot e a 
estática no escoamento. 
 
50 
 
 No caso ilustrado, a diferença de pressão pode ser obtida com o 
manômetro diferencial de tubo em U acoplado ao tubo de Pitot. Assim, 
segundo a lei de Stevin: 
)(21 yhgpgyghp m ++=++ ρρρ , sendo y a distância vertical entre o topo 
da coluna do líquido manométrico e o eixo do tubo de Pitot. Dessa equação, 
podemos calcular: 
ghpgyghgyghpp mm )(12 ρρρρρρ −=∆∴−−+=− 
 No caso específico a velocidade do escoamento seria: 
ρ
ρρ ghV m )(2 −=
 ou ghV m 





−= 12
ρ
ρ
 
Para fins de se ter uma idéia prática dos números envolvidos, suponha 
que se deseje calcular a velocidade de um escoamento de água(ρ = 998,2 
kg/m3), que o líquido manométrico seja o mercúrio (ρm = 13.545,8 kg/m3) em 
um local onde g = 9,8 m/s2 e que h seja igual a 60 mm. Nesse caso: 
m
s
mV 060,08,91
2,998
8,545.132 2





−=
. Logo V = 3,845 m/s. 
 
Observação: O tubo de Prandtl, também denominado de tubo de Pitot 
estático, é uma variação do tubo de Pitot em que se toma a pressão dinâmica e 
a pressão estática aproximadamente na mesma posição, com o uso de dois 
tubos concêntricos dobrados em forma de L, conforme mostra a figura 
seguinte. 
 
51 
 
 
EXEMPLO 3: 
O escoamento de um fluido de massa específica ρ ocorre em uma 
tubulação de diâmetro D, com uma vazão Q, conforme ilustra a figura 
seguinte. Num dado ponto do escoamento é feita uma redução brusca de área, 
de forma que o diâmetro passa a ser d. Logo após a redução de área, o 
escoamento volta a acontecer numa tubulação cujo diâmetro é o inicial. 
Assim, a velocidade que antes do estrangulamento era V, aumenta 
bruscamente até passar pelo estrangulamento, num movimento acelerado. 
Após passar pelo estrangulamento, a velocidade vai sendo reduzida 
gradualmente até que seja novamente igual a velocidade do escoamento não 
perturbado. Determinar a vazãodo escoamento suposto permanente, de fluido 
incompressível, através da diferença de pressão antes do estrangulamento e no 
estrangulamento. Tal dispositivo constitui um medidor de vazão muito útil, 
denominado de medidor de vazão de placa de orifício. 
 
52 
 
 
Fig. xx – Esquema de medidor de vazão tipo placa de orifício com manômetro 
diferencial. 
 
SOLUÇÃO 
Adotar-se-á dois pontos no escoamento. Um ponto1, antes da placa de 
orifício, onde a pressão seja p1 e a velocidade seja V1 = V. O outro ponto 2 
após a placa de orifício, onde a pressão é p2 e a velocidade é V2. 
Como o fluido é a água, considerada incompressível, a vazão na 
tubulação será constante e igual a Q. Nesse caso, a equação da conservação da 
massa (equação da continuidade) poderá ser escrita assim: 
2211 VAVAQ == ou 221 VAVAQ == , onde 4
2
1
DA pi=
 e 4
2
2
dA pi=
 
Logo, 12
2
21
2
1
2 Vd
DVV
A
AV =∴=
. 
Como A1 > A2, conclui-se que V2 > V1, daí o escoamento ser acelerado entre 
os pontos 1 e 2. 
Podemos aplicar a equação de Bernoulli para o escoamento permanente e 
incompressível que ocorre entre os prontos 1 e 2, de forma que: 
 
53 
 
phg
Vp
z
g
Vp
z +++=++
22
2
22
2
2
11
1 γγ 
Como V1 = V: 
phg
Vp
z
g
Vp
z +++=++
22
2
22
2
2
1
1 γγ 
Mas 
2
2 A
QV =
 e 
1A
QV =
 
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1 22 gA
Q
gA
Qhpzpz p −=−−−+ γγ 






−





+−+=− ph
p
z
p
zg
A
Q
A
Q
γγ
2
2
1
12
1
2
2
2
2
2
 






−





+−+=





− ph
p
z
p
zgQ
AA γγ
2
2
1
1
2
2
1
2
2
211
 






−






−





+−+
=
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
.
2
AA
AA
hpzpzg
Q
pγγ






−






−





+−+
=
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
A
AA
hpzpzg
AQ
pγγ
 






−






−





+−+
=
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
A
A
hpzpzg
AQ
pγγ
 
Chamando de m a relação de áreas, tem-se: 
1
2
A
A
m =
 
( )2
2
2
1
1
2
1
22
1
2
m
hpzpzg
AmQ
p
−






−





+−+
=
γγ
 
 
54 
 
( )2
2
2
1
1
1 1
2
m
hpzpzg
mAQ
p
−






−





+−+
=
γγ






−





+−+
−
= ph
p
z
p
zg
m
mAQ
γγ
2
2
1
12
1 2
1
 
Denominando de E o fator: 21
1
m
E
−
=
 e supondo que o medidor esteja na 
horizontal (z1 = z2): 






−−= ph
ppgEmAQ
γγ
21
1 2 
Devido à dificuldade de se calcular hp no momento, suporemos esta 
parcela desprezível. Nesse caso observe a equação resultante superestima a 
vazão, razão pela qual vamos denominá-la de vazão teórica, Qt. Logo: 






−=
γγ
21
1 2
ppgEmAQt e, se ∆p = p1 – p2 e γ = ρg temos: 
g
pgEmAQt ρ
∆
= 21 . 
Finalmente, 
ρ
pEmAQt
∆
=
2
1 . 
A equação acima permite calcular a vazão teórica do escoamento de um 
fluido incompressível, em regime permanente, através de um medidor de 
vazão tipo placa de orifício. 
Para o caso de escoamentos em tubulações de seção circular e 
considerando que a relação de diâmetros será β = d / D, teremos: 
 
55 
 
2
2
2
1
2
4
4 





=∴=∴=
D
d
m
D
d
m
A
A
m
pi
pi
 ou 
2β=m , o que permite escrever: 
ρ
β pAEQt ∆= 212 
Na realidade, pelo fato de se ter desprezado a perda de carga ocorrida 
entre os pontos envolvidos, a vazão real, Q, será menor que a vazão teórica, 
Qt, de maneira que denomina-se coeficiente de descarga ou coeficiente de 
vazão ao valor.
t
d Q
QC =
 Nesse caso tem-se que a vazão real através de uma 
tubulação de área A será: 
ρ
β pAECQ d ∆= 22 
 
Como exemplo numérico, calcular a vazão de um escoamento de água 
(ρ = 998,2 kg/m3) que escoa através de uma tubulação de PVC de 26 mm de 
diâmetro, sabendo que medidor de vazão tem β = 0,800 e que a diferença de 
pressão observada corresponde a 0,60 metros de coluna de mercúrio (ρ = 
13.545,2 kg/m3), obtida com o manômetro diferencial instalado nos pontos 1 e 
2 indicados na figura anterior. Considerar o coeficiente de descarga do 
medidor igual a 0,650. 
Cálculo da área: 23
222
10.124,2
4
026,0
.142,3
4
m
mDA −=== pi
 
Diferença de pressão: 
Pamsmmkgghp m 829.7360,0./807,9./)2,9982,545.13()( 23 =−=−=∆ ρρ 
 
56 
 
Como 
ρ
β pAECQ d ∆= 22 �
2,998
73829*210.124,2800,0.
800,01
1
.650,0 32
4
−
−
=Q
 
Logo Q = 13,986.10-3 m3/s ou Q = 13,986 l/s 
 
 
EXEMPLO 4: 
O escoamento de um fluido de massa específica ρ ocorre em uma tubulação 
de diâmetro D, com uma vazão Q, conforme ilustra a figura seguinte. Num 
dado ponto do escoamento é feita uma redução gradual da área, de forma que 
o diâmetro passa a ser d, durante um pequeno comprimento. Logo após a 
redução de área, a tubulação é ampliada gradualmente, até que o diâmetro 
retorne ao seu valor inicial, D. Neste dispositivo, a velocidade que antes da 
contração era V, aumenta gradualmente até atingir a região de diâmetro d, 
onde o seu valor é V2, num movimento acelerado. Após passar pelo 
estrangulamento, a velocidade vai sendo reduzida gradualmente até atingir o 
seu valor original, V, do escoamento não perturbado. Determinar a vazão do 
escoamento suposto permanente, de fluido incompressível, através da 
diferença de pressão antes da redução e na redução. Tal dispositivo foi 
idealizado por Venturi, sendo denominado de medidor de vazão de Venturi ou 
simplesmente de tubo de Venturi. Na figura seguinte, pode-se ver que foi 
instalado um manômetro diferencial de mercúrio entre a seção transversal de 
diâmetro D e a região de diâmetro d, denominada de garganta, observando-se 
uma deflexão h na coluna de mercúrio do tubo U. 
 
57 
 
 
Fig. xx – Esquema de tubo de Venturi com manômetro diferencial. 
 
SOLUÇÃO 
Adotar-se-á dois pontos no escoamento: um ponto1, antes da placa de 
orifício, onde a pressão seja p1 e a velocidade seja V1 = V e o outro ponto 2 
após a placa de orifício, onde a pressão é p2 e a velocidade é V2. 
Como o fluido é a água, considerada incompressível, a vazão na 
tubulação será constante e igual a Q. Nesse caso, as mesmas equações válidas 
para o medidor de vazão tipo placa de orifício valem para o tubo de Venturi, 
já que se trata de uma contração no escoamento. A diferença está justamente 
no coeficiente de descarga, Cd. O coeficiente de descarga é maior para o tubo 
de Venturi, vez que as mudanças de direção do escoamento são mais suaves 
levando a uma menor perda de carga e fazendo com que a equação da vazão 
teórica forneça um valor mais próximo da vazão real. 
Nesse caso a equação da continuidade continua sendo: 
2211 VAVAQ == ou 221 VAVAQ == , onde 4
2
1
DA pi=
 e 4
2
2
dA pi= , 
 
58 
 
com 12
2
21
2
1
2 Vd
DVV
A
AV =∴=
. 
A equação de Bernoulli resultante é: 
phg
Vp
z
g
Vp
z +++=++
22
2
22
2
2
11
1 γγ , o que resulta: 
ρ
β pAEQt ∆= 212 
Como
t
d Q
QC = , a vazão real através de uma tubulação de área A será: 
ρ
β pAECQ d ∆= 22 
Como exemplo, calcular a vazão de um escoamento de água (ρ = 998,2 
kg/m3) que escoa através de uma tubulação de PVC de 26 mm de diâmetro, 
sabendo que medidor de vazão tem β = 0,800 e que a diferença de pressão 
observada corresponde a 0,60 metros de coluna de mercúrio (ρ = 13.545,2 
kg/m3), obtida com o manômetro diferencial instalado conforme ilustrado na 
figura anterior. Considerar o coeficiente de descarga do tubo de Venturi igual 
a 0,920. 
Cálculo da área: 23
222
10.124,2
4
026,0
.142,3
4
m
mDA −=== pi
 
Diferença de pressão: 
Pamsmmkgghp m 829.7360,0./807,9./)2,9982,545.13()( 23 =−=−=∆ ρρ 
Como ρ
β pAECQ d ∆= 22 
� 2,998
829.73*210.124,2.800,0.
800,01
1
.920,0 32
4
−
−
=Q
 
Logo Q = 19,796.10-3 m3/s ou Q = 19,796 l/s 
 
59 
 
 
 
EXEMPLO 5: 
 Um escoamento de água, de massa específica (ρ = 1.00,0 kg/m3), 
permanente, ocorre em um redutor conforme ilustrado na figura seguinte. 
 Na seção 1, a cota é 100,0 m, a área é 100 cm2 e a pressão é 0,50 
kgf/cm2. Na seção 2, a cota é 70,0 m, a 
área é 50 cm2 e a pressão é 3,38 
kgf/cm2. Calcular a vazão que escoa no 
redutor. Considerando a águacomo um 
fluido ideal 
 
SOLUÇÃO 
 
Adotar-se-á dois pontos no 
escoamento. Um ponto1, no centro da 
seção 1, onde a pressão seja p1 e a 
velocidade seja V1. O outro ponto 2 será 
o centro da seção 2, onde a pressão é p2 
e a velocidade é V2. 
Como o fluido é a água, 
considerada incompressível, a vazão na tubulação será constante e igual a Q. 
Nesse caso, a equação da conservação da massa (equação da continuidade) 
poderá ser escrita assim: 
2211 VAVAQ == ou 221 VAVAQ == , tal que 
1
1 A
QV =
 e 
2
2 A
QV =
 
Como A1 > A2, conclui-se que V2 > V1, daí o escoamento ser acelerado entre 
os pontos 1 e 2. 
 
60 
 
Podemos aplicar a equação de Bernoulli para o escoamento permanente e 
incompressível que ocorre entre os prontos 1 e 2, de forma que: 
phg
Vp
z
g
Vp
z +++=++
22
2
22
2
2
11
1 γγ 
Como o fluido é ideal, consideraremos hp = 0: 
g
Vp
z
g
Vp
z
22
2
22
2
2
11
1 ++=++ γγ 
Substituindo as velocidades na equação acima, tem-se: 
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1 22 gA
Q
gA
Qp
z
p
z −=−−+
γγ � 




−+−=−
γγ
21
212
1
2
2
2
2
2 ppzzg
A
Q
A
Q
 





 −
+−=





−
γ
21
21
2
2
1
2
2
211 ppzzgQ
AA 
Fazendo ∆p = p1 – p2: 





 ∆
+−=





−
γ
p
zzgQ
AA
AA
21
2
2
2
2
1
2
2
2
1 2
.
 






−





 ∆
+−
=
2
2
2
1
2
2
2
1
21
2
.
2
AA
AA
p
zzg
Q γ
 






−





 ∆
+−
=
2
1
2
2
21
2
2
2
1
2
A
A
p
zzg
AQ γ
 
Chamando de m a relação de áreas, com: 
1
2
A
A
m =
 
( )2
21
2
1
22
1
2
m
p
zzg
AmQ
−





 ∆
+−
=
γ
 
 
61 
 





 ∆
+−
−
=
γ
p
zzg
m
mAQ 212
1 2
1
 
Fazendo 21
1
m
E
−
= , tem-se, finalmente a equação que permite calcular a 
vazão de fluido ideal no redutor: 





 ∆
+−=
γ
p
zzgEmAQ 211 2 
Observar que se trata de uma equação muito parecida com o 
escoamento nos orifícios e no tubo de Venturi. A principal diferença está na 
diferença de cotas existente no caso atual. 
 Realizando uma mudança de unidades para o Sistema Internacional de 
Unidades e substituindo os valores numéricos , tem-se: 
p1 = 0,50 kgf/cm2 = 0,50*9,80665 N/cm2 = 0,50*9,80665.104 N/m2 =49.033 Pa 
p2 = 3,38 kgf/cm2 = 3,38*9,80665 N/cm2 = 3,38*9,80665.104 N/m2 =331.465 Pa 
A1 = 100 cm2 =100.10-4 m2 e A2 = 50 cm2 = 50. 10-4 m2. 
m = A2/A1 = 50/100 = 0,50 
1547,1
50,01
1
1
1
22
=
−
=
−
=
m
E
 





 −
+−=
807,9*1000
465.331033.490,700,100807,9*201,0*50,0*1547,1 2 PaPammmQ
[ ] smQ /0280,0799,280,30614,19005,0*1547,1 3=−=
 
Assim, Q = 28,0 l/s. 
 
 
EXEMPLO 6: 
 A água escoa a partir de um reservatório de grandes dimensões através 
de uma tubulação de 250 mm de diâmetro que é reduzida para 125 mm de 
diâmetro, descarregando-se livremente na atmosfera, conforme mostra a 
 
62 
 
figura seguinte. Sendo o reservatório de grandes dimensões, considerar o 
nível, H, constante. Para uma vazão de 105,0 l/s e considerando-se o 
escoamento de fluido ideal, calcular o nível H, as velocidades da água em 
cada tubulação e a pressão na entrada da primeira tubulação. 
 
 
 
SOLUÇÃO 
Cálculo das velocidades e das cargas cinéticas: 
Tubulação 1: tal que 22
1
1
4
4/ D
Q
D
Q
A
QV
pipi
===
 
 � smV /139,2250,0
105,0*4
21 == pi
 e mg
V 233,0
807,9*2
139,2
2
22
1
==
 
Tubulação 2: 22
2
2
4
4/ d
Q
d
Q
A
QV
pipi
===
 
 � smV /556,8125,0*
105,0*4
22 == pi
 e mg
V 732,3
807,9*2
556,8
2
22
2
==
 
 
63 
 
 
 Aplicando a equação de Bernoulli ao escoamento entre um ponto 0 na 
superfície livre do reservatório e o ponto 2, tem-se: 
phg
Vp
z
g
Vp
z +++=++
22
2
22
2
2
00
0 γγ 
Como o fluido é ideal, consideraremos hp = 0. Na superfície livre de 
reservatórios de grandes dimensões é comum considerar V0 = 0,0 m/s. Como, 
na escala relativa p0 = patm = 0, assim como p2 = patm = 0, a equação de 
Bernoulli acima reduz-se a: 
g
V
zz
2
000
2
2
20 ++=++ � Hzzg
V
=−= 20
2
2
2 
Então: mg
VH 732,3
807,9*2
556,8
2
22
2
===
 
 
 Para calcular a pressão no ponto 1, entrada da tubulação 1, basta aplicar 
a equação de Bernoulli para o escoamento que ocorre entre o ponto 0 (na 
superfície livre do reservatório e o ponto 1, de maneira que: 
phg
Vp
z
g
Vp
z +++=++
22
2
11
1
2
00
0 γγ 
Como o fluido é ideal, consideraremos hp = 0. Como visto anteriormente, V0 
= 0,0 m/s e p0 = patm = 0, assim a equação de Bernoulli acima reduz-se a: 
g
Vp
zz
2
00
2
11
10 ++=++ γ � g
V
zz
p
2
2
1
10
1
−−=
γ 
Mas z0 – z1 = H =3,732 m e a carga cinética no ponto 1 é 0,233 m. A equação 
anterior fica sendo: 
m
p 699,3233,0732,31 =−=
γ 
Como γ = ρ.g, a pressão no ponto 1 será: 
 
64 
 
699,3*807,9*1000699,3**699,3*1 === mgmp ργ 
Logo Pap 276.361 = . 
Observar que ela é inferior ao valor de H, pois o ponto foi considerado 
numa posição para a qual parte da energia potencial por unidade de peso de 
fluido já foi transformada em energia cinética por unidade de peso de fluido. 
 
 
EXEMPLO 6: 
 A água escoa através de um canal, descendo um desnível y, conforme 
ilustrado na figura seguinte. Na seção 1 a velocidade medida é V1 = 2,40 m/s 
e na seção 2 é V2 = 12,00 m/s. Considerando um escoamento permanente de 
fluido ideal, pede-se o valor do desnível, y, sabendo-se as profundidades da 
água na seção 1 e na seção 2, respectivamente iguais a 1,20 m e 0,60 m. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
Considerando o escoamento entre as seções 1 e 2 como permanente, 
incompressível e de fluido ideal, a equação de Bernoulli pode ser aplicada ao 
escoamento entre um ponto 1 na superfície da água na seção 1 e um ponto 2 
na superfície da água na seção 2. A equação será: 
 
65 
 
g
Vp
z
g
Vp
z
22
2
22
2
2
11
1' ++=++ γγ 
As pressões nas seções 1 e 2 correspondem à pressão atmosférica, que 
na escala relativa será nula: p1 = p2 = patm = 0. Adotando um plano horizontal 
de referência passando pelo fundo do canal na seção 2, as cotas serão: 
z1 = y + 1,20 e z2 = 0,60 m. 
807,9*2
00,12060,0
807,9*2
40,2020,1
22
++=+++y
 
342,760,0294,020,1 +=++y
 
Logo, y = 6,448 m. 
 
 
Exercício 1: 
 Em uma instalação de bombeamento verificou-se que a vazão deveria 
ser de 450 m3/h. Se a velocidade econômica na linha for definida como 1,05 
m/s, qual deveria ser o diâmetro utilizado? Lembre-se que os diâmetros 
comerciais existentes no mercado são 350 mm, 400 mm e 500 mm, dentre 
outros. 
 
SOLUÇÃO 
Q = A.V, onde A = pi.D2/4 
Logo 
Q = pi.D2/4.V 
Assim: 
450/3600 m3/s = 3,142*D2/4*1,05m/s � D2 = 0,151576 m2. 
� D = 0,3893 m. 
 
66 
 
 Em decorrência dos diâmetros comerciais existentes, o diâmetro 
indicado será 400 mm, visto que a adoção de um diâmetro menor (350 mm) 
tornaria a velocidade acima do limite dado. 
 
 
Exercício 2: 
 Em um edifício de 12 pavimentos a vazão máxima na coluna de 
distribuição é de 7,5 l/s. Se a coluna de distribuição tiver diâmetro de 60 mm, 
qual a velocidade de escoamento da água? Observação: a ABNT recomenda 
2,5 m/s par colunas de 75 mm. 
SOLUÇÃO 
Q = A.V, onde A = pi.D2/4 
Logo 
Q = pi.D2/4.V 
Assim: 
7,5/1000 m3/s = 3,142*0,0602/4m2*V. 
� V = 2,653 m/s. 
Esse valor é superior ao recomendado pela ABNT, mesmo para uma coluna 
de 60 mm de diâmetro.