Apostila Matemática Financeira Aplicada Ao Mercado de Capitais E Financeiro

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MBA EM ADMINISTRAÇÃO DE FINANÇAS E BANKING 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA 
AO MERCADO DE CAPITAIS E FINANCEIRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Silvio Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOUZA, Silvio 
 
 Matemática Financeira Aplicada ao Mercado de Capitais e 
Financeiro (livro-texto) / Silvio Souza – São Paulo: Pós-
Graduação Lato Sensu UNIP, 2018. 
 
48 p. 
 
 1. Capitalização. 2. Anuidades. 3. Amortização. I. SOUZA, 
Silvio. II. Pós-Graduação Lato Sensu UNIP. III. Título. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4 
UNIDADE I .................................................................................................................. 5 
1. SISTEMA DE JUROS SIMPLES .......................................................................... 5 
2. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ................................................................................. 6 
2.1 Para praticar ..................................................................................................... 10 
3. SISTEMA DE JUROS COMPOSTOS ................................................................. 11 
3.1 Para praticar ..................................................................................................... 13 
4. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ............................................................................... 14 
4.1 Para praticar ..................................................................................................... 19 
5. DESCONTO ....................................................................................................... 21 
5.1 Para praticar ..................................................................................................... 24 
UNIDADE II ............................................................................................................... 25 
6. ANUIDADES E EMPRÉSTIMOS ........................................................................ 25 
6.1 Para praticar ..................................................................................................... 31 
7. AMORTIZAÇÃO ................................................................................................. 32 
7.1 Para praticar ..................................................................................................... 34 
8. ÍNDICE DE PREÇOS.......................................................................................... 35 
9. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................. 39 
9.1 Capitalização simples ....................................................................................... 39 
9.2 Capitalização composta .................................................................................... 40 
9.3 Equivalência de taxas ....................................................................................... 41 
9.4 Desconto ........................................................................................................... 42 
9.5 Anuidades e empréstimos ................................................................................ 44 
9.6 Amortização ...................................................................................................... 45 
BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................... 48 
 
4 
 
INTRODUÇÃO 
 
A matemática financeira se mostra presente no dia a dia de toda a sociedade. 
Para o cidadão comum, para o governo e principalmente para as empresas. 
Todas as vezes que uma pessoa decide comprar alguma coisa em parcelas, 
seja, uma geladeira, um carro, uma casa, estarão presentes os conceitos da 
matemática financeira, os quais trabalharemos nesse trabalho. 
Embora seja um tema complexo, a metodologia utilizada neste livro-texto 
objetiva apresentar os tópicos de forma gradual, procurando fazer com que a 
compreensão ocorra de modo simples. Lembrando que simples não quer dizer fácil. 
Assim, se houver atenção à exposição dos conceitos e no passo a passo da prática, 
a aprendizagem dar-se-á de forma tranquila. 
Cada capítulo foi estruturado apresentando o conceito e em seguida a 
aplicação prática às operações do mercado financeiro. Essa preocupação com o 
aprendizado na prática fez com que fossem inseridos exercícios resolvidos para que 
se possa dimensionar a amplitude da utilização da matemática financeira. 
 
 
5 
 
UNIDADE I 
 
1. SISTEMA DE JUROS SIMPLES 
 
Juro pode ser compreendido como a remuneração do capital. Vamos entender 
melhor: a sociedade em que vivemos é tida como uma sociedade de consumo. Ocorre 
que nem todas as pessoas têm dinheiro para consumir tudo o que desejam. Por outro 
lado, há também pessoas que possuem recursos financeiros e estão dispostas a 
possibilitar àquelas pessoas que não possuem dinheiro comprarem o que desejam. 
No entanto, as pessoas que emprestam pedem uma remuneração pelo dinheiro que 
emprestam. Essa remuneração é o juro. 
Vamos aos conceitos básicos. 
Juro: é um valor recebido, por alguém que empresta, ou pago, por alguém que 
toma emprestado determinado capital. Na matemática financeira é identificado pela 
letra “j”. 
Capital ou Principal: é o valor inicialmente emprestado, aplicado. Alguns 
autores utilizam a expressão Capital, e outros utilizam a expressão Principal. Neste 
trabalho, para que haja a plena compreensão de que são sinônimos, ora utilizaremos 
a expressão Capital, ora a expressão Principal. Nas expressões matemáticas, serão 
identificadas pelas letras “C”, ou “P”. 
Taxa de juro: é o percentual a ser aplicado sobre o capital emprestado ou 
aplicado. Para realização dos cálculos, é identificada pela letra “i”. 
Quando se sabe o valor que se ganhou de juro, e o capital que foi investido, é 
possível também calcular a taxa. Neste caso, obter-se-ia a taxa com a seguinte 
expressão: 
𝑖 =
𝐽
𝑃
 
 
Montante: é o valor resultante da aplicação ou do empréstimo. Ou seja, é o 
resultado da soma entre o capital aplicado e o juro ganho. Na literatura da matemática 
financeira, é identificado por diversas letras diferentes, ora como “S”, ora como “N”, e 
tantas outras letras. Neste livro-texto, utilizaremos a letra “M” para identificar o 
montante. A expressão para demonstrá-lo: M = C + J. 
 
 
6 
 
 
2. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
A capitalização simples é caracterizada pela aplicação da taxa de juro sempre 
sobre o valor do capital que foi investido. Uma forma de melhor compreender que a 
taxa sempre incidirá sobre o principal, é observar a tabela abaixo. Nesta tabela, vamos 
considerar que alguém tenha aplicado a quantia de $ 1.000,00, pelo prazo de 4 meses, 
a uma taxa de 10% ao mês. Qual será o montante obtido ao final do tempo da 
aplicação? 
 
Período 
Valor 
investido 
Juro ganho 
(P x i) 
Montante 
M = P + J 
0 1.000,00 
1 1.000,00 100,00 1.100,00 
2 1.000,00 100,00 1.200,00 
3 1.000,00 100,00 1.300,00 
4 1.000,00 100,00 1.400,00 
 
Observa-se que a taxa de 10% sempre é aplicada sobre o valor inicialmente 
aplicado. Esse é o ponto fundamental a ser compreendido sobre a capitalização 
simples. A taxa incidirá sempre sobre o capital investido. 
 
Compreendendo as fórmulas utilizadas na capitalização simples 
 
Observando a tabela acima, percebemos que o juro (J) é obtido pela expressão: 
j = P x i, ou seja, j = 1.000,00 x 0,10 = 100,00, para o primeiro período. 
O cálculo do Montante, que já foi dito ser a soma do capital com o juro, pode 
ser demonstrado com a seguinte expressão: 
M = C + j, ou seja, M = 1.000,00 + 100; 
 
Podemos escrever a expressão de outra maneira: 
M = C + C x i, pois acima compreendemos que j = C x i. 
 
 
7 
 
Se formos demonstrar a tabela acima com a expressão que acabamosde 
escrever, ficaria assim: 
M1 = C + C x i = 1.000,00 + (1.000,00 x 0,10) = 1.000,00 + 100,00 = 1.100,00 
M2 = C + C x i + C x i = 1.000,00 + (1.000,00 x 0,10) + (1.000,00 x 0,10) = 1.200,00 
M3 = C + C x i + C x i + C x i = 1.000,00 + (1.000,00 x 0,10) + (1.000,00 x 0,10) + (1.000,00 x 0,10) = 1.300,00 
M4 = C + C x i + C x i + C x i + C x i = 1.000,00+(1.000,00 x 0,10)+(1.000,00 x 0,10)+(1.000,00 x 0,10)+(1.000,00 x 0,10) = 1.400,00 
 
Podemos observar, que repetimos a expressão do juro, C x i, quatro vezes, ou 
seja, pelo tempo da aplicação, que no exemplo da tabela foi de quatro meses. Se 
considerarmos o período como sendo a letra “ n “, podemos escrever a expressão 
para calcular o montante da seguinte forma: 
 
M = C + C x i x n, veja como ficaria: 
M = 1.000,00 + 1.000,00 x 0,10 x 4, logo, 
M = 1.000,00 + 400,00 = 1.400,00 
 
Podemos ainda, colocar o capital em evidência e alcançar a expressão 
seguinte: 
M = C x (1 + i x n) 
M = 1.000,00 x (1 + 0,10 x 4) 
M = 1.000,00 x (1 + 0,4) 
M = 1.000,00 x 1,4 = 1.400,00 
 
IMPORTANTE 
Um ponto importantíssimo para as resoluções dos problemas de matemática 
financeira é fixar que, sempre, a taxa e o período deverão estar na mesma unidade 
de tempo. Por exemplo, se a taxa for dada em mês, o período também deverá estar 
em meses. Se a taxa for dada em bimestre, o período também deverá estar em 
bimestre. Acaso o período seja dado noutra unidade de tempo, deverá ser convertido 
para a unidade de tempo da taxa. 
 
 
8 
 
Uma vez compreendida a fórmula do montante, podemos derivar para várias 
outras fórmulas, que nos permitirão calcular taxa, período, principal e montante. 
Vamos fixar: 
 
 
9 
 
M = C + J, ou M = C + C x i x n, ou, ainda, M = C x (1 + i x n) 
C = M – J, ou ainda 𝐶 = 
𝑀
(1+𝑖 𝑥 𝑛)
 
J = C x i x n; e, a partir dessa fórmula, podemos calcular a taxa e o período. 
 
𝑖 = 
𝐽
𝐶 𝑥 𝑛
 ou n= 
𝐽
𝐶 𝑥 𝑖
 
 
Vamos praticar? 
 
Exemplos: 
 
1. Um investidor aplica a quantia de $ 1.000,00 pelo período de 5 meses à taxa de 
5% ao mês. Qual o montante obtido? 
M = ?; C = 1.000,00; i = 5% a.m.; n = 5 meses (observe que taxa e período estão na 
mesma unidade de tempo) 
 
M = 1.000,00 x (1 + 0,05 x 5) = 1.250,00 
 
2. Um empréstimo foi obtido por uma pessoa no valor de $ 2.000,00 a uma taxa de 
4% a. m. pelo período de 83 dias. Qual o valor dos juros e do montante pagos? 
 
M = ?; J = ?; C = 2.000,00; i = 4% a.m.; n = 83 dias (observe que a taxa não está na 
mesma unidade de tempo do período) 
 
𝐽 = 𝐶 𝑥 𝑖 𝑥 𝑛 = 2.000,00 𝑥 0,04 𝑥
83
30
 (deve-se converter o período na mesma unidade de 
tempo da taxa, que é mês.) 
 
J = 221,33 
M = C + J = 2.000,00 + 221,33 
 
 
10 
 
3. Uma aplicação de $ 900,00 por 175 dias rendeu o valor de $ 105,00. Qual a taxa 
de juro mensal? 
 
i = ?; J = 105,00; C = 900,00; n = 175 dias (observe que novamente o período está em 
dias e o problema pede a taxa ao mês) 
 
 
𝐽 = 𝐶 𝑥 𝑖 𝑥 𝑛, logo, 𝑖 = 
105,00
900,00 𝑥 
175
30
 𝑖 = 
105,00
5.250,00
= 0,02 ou 2% a.m. 
 
2.1 Para praticar1 
 
1. Foi feito um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 a uma taxa de 5% a. m., 
pelo prazo de 3 meses. Calcule o valor dos juros e do montante. 
2. Foi aplicado o valor de $ 5.000,00 pelo prazo de 85 dias. A taxa é de 4% a. 
m. Calcule o valor dos juros e do montante. 
3. Uma aplicação de $ 7.000,00 rendeu o valor de $ 5.500,00. O prazo da 
aplicação foi de 175 dias. Calcule a taxa de juros mensal e anual. 
4. Qual o valor do capital a ser investido para se obter um montante de $ 
80.000,00, decorridos 6 meses do momento da aplicação, se a taxa for de 8% a. m.? 
5. Qual o tempo necessário para um capital dobrar se a taxa for de 9% a. m.? 
 
 
1 Confira as respostas ao final do livro-texto. 
 
11 
 
3. SISTEMA DE JUROS COMPOSTOS 
 
A característica principal do sistema de capitalização composta é que nesta a 
taxa de juros incidirá sobre o capital, mas também sobre o valor dos juros já ganhos. 
É por isso que nesse regime de capitalização diz-se que o ganho é juro sobre juro. 
Para fixarmos o sistema de capitalização composta e percebermos a diferença 
com o regime de capitalização simples, vamos utilizar o mesmo exemplo. Portanto, 
vamos pegar a mesma tabela. 
Vamos relembrar a situação: alguém aplica a quantia de $ 1.000,00, pelo prazo 
de 4 meses, a uma taxa de 10% ao mês. Qual será o montante obtido ao final do 
tempo da aplicação? 
 
Período 
Valor 
investido 
Juro ganho 
(P x i) 
Montante 
M = P + J 
0 1.000,00 
1 1.000,00 100,00 1.100,00 
2 1.100,00 110,00 1.210,00 
3 1.210,00 121,00 1.331,00 
4 1.331,00 133,10 1.464,10 
 
Observe que a taxa de juro incide sobre o capital mais o juro ganho no período 
anterior. Veja que no período 2, a taxa de 10% incidiu sobre o valor de $ 1.100,00, 
que são $ 1.000,00 do capital mais $ 100,00 de juros ganhos no período 1. No período 
3, incidiu sobre o capital de $ 1.000,00 e sobre os juros de $ 210,00. Por isso é que 
se disse tratar-se de juros sobre juros. 
Vamos nos familiarizar com as fórmulas utilizadas na capitalização composta. 
O montante continua a ser entendido como a soma entre o capital e os juros. Portanto: 
M = C + J. 
No entanto, como observado na tabela acima, a taxa incide sobre o capital 
acrescido dos juros ganhos no período anterior. Podemos perceber que o montante 
passa a ser calculado da forma seguinte: 
 
 
 
12 
 
M1 = C + J; J = C x i; Portanto, M1 = C + C x i = C x (1 + i) 
M2 = M1 + J = M1 x i; e juro pode ser entendido ainda como: J = C x (1 + i) x i 
M2 = C x (1 + i) + C x (1+i) x i = C x (1+i) x (1+i) = C x (1+i)2 
 
O mesmo raciocínio se aplicará ao M3 e ao M4. Podemos generalizar a fórmula 
para a expressão seguinte: M = C x (1+i)n. Deriva-se essa fórmula para calcular as 
outras variáveis, quais sejam, capital, taxa e período no regime de capitalização 
composta. Para calcular o capital: 
𝐶 = 
𝑀
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
Para calcular a taxa de juro: 
M = C x (1+i)n, logo, (1+i)n = 
𝑀
𝐶
 
 
Para se extrair a taxa que é a incógnita de dentro dos parênteses, faz-se a 
operação inversa da potenciação, qual seja, radiciação. Assim, a raiz nésima de 
ambos os membros da igualdade não a altera. O resultado final será: 
𝑖 = (
𝑀
𝐶
)
1
𝑛
− 1 
 
Para o cálculo do período, novamente parte-se da fórmula do montante: 
M = C x (1 + i)n 
 
Como a incógnita é o expoente, tomando o logaritmo de ambos os membros 
da igualdade, não a alteramos. A expressão final ficará no modo seguinte: 
𝑛 =
𝑙𝑛 (
𝑚
𝑃 )
ln(1 + 𝑖)
 
 
Vamos praticar. Exemplos: 
 
1. É aplicada a quantia de $ 1.500,00 pelo prazo de 5 trimestres com a taxa de 8% 
ao trimestre. Qual o montante? 
 
 
 
13 
 
C = 1.500,00; i = 8% a.t.; n = 5 trimestres; M = ? 
M = C x (1+i)n = 1.500,00 x (1 + 0,08)5 = 1.914,42 
 
2. Numa aplicação de $ 10.000,00, foram recebidos $ 5.000,00 de juros. Sabendo-
se que a taxa foi de 7% a. m., qual foi o prazo da aplicação? 
 
C = 10.000,00; J = 5.000,00; i = 7% a.m. n = ? 
n = ln(15.000,00/10.000,00) = ln (1,5)_ = 0,4055 = 5,9928 ou 6 meses 
 ln (1 + 0,07) ln (1,07) 0,0677 
 
3. Deseja-se dobrar uma aplicação de $ 5.000,00 no prazo de 12 meses. Qual taxa 
permite que o objetivo seja alcançado? 
 
C = 5.000,00; M = 10.000,00; n = 12 meses; i = ? 
i = (10.000,00/5.000,00)1/12 – 1 = 0,0595 ou 5,95% a.m. 
 
3.1 Para praticar2 
 
1. Uma duplicata vencerá no prazo de 5 meses. O valor do título é de $ 7.000,00. O 
cliente deseja pagá-la hoje. Se o banco cobra uma taxa de 5% ao bimestre, qual valor 
exigirá do cliente para antecipar a duplicata? 
2. Em que prazo um financiamento de $ 35.000,00 pode ser quitado em pagamento 
único no valor de $ 50.000,00, sabendo-se que o banco cobra a taxa de 9% ao 
trimestre? 
3. Um investidor aplica o valor de $ 8.000,00 pelo prazo de 8 meses.A taxa é de 4% 
ao quadrimestre. Qual o montante a ser retirado? 
4. Qual o valor de juros a ser pagos por um empréstimo de $ 9.000,00 pelo prazo de 
6 meses com taxa de 5,5% ao mês? 
5. Um título deverá ser resgatado por $ 8.500,00 de hoje a 8 meses. Sabendo que a 
taxa é de 6% a. m., qual valor pode ser pago hoje? 
 
 
2 Confira as respostas ao final do livro-texto. 
 
14 
 
4. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS 
 
No mundo das finanças, há inúmeras nomenclaturas para taxas. Por isso, 
torna-se importante conhecer as definições das taxas existentes. 
O primeiro ponto que se deve fixar é que as definições estão atreladas ao 
sistema de capitalização. Dessa forma, teremos algumas taxas que se referirão ao 
sistema de capitalização simples e outras que se referirão ao sistema de capitalização 
composta. 
 
Taxa simples ou linear 
 
Perceba que, em sua identificação, já consta a palavra simples. Logo, refere-
se ao sistema de capitalização simples. Dessa forma, incidirá sempre e somente sobre 
o capital. A tabela utilizada para explicar o sistema de capitalização simples ilustra 
bem o conceito de taxa simples. 
 
Taxa composta ou exponencial 
 
A palavra “composta” já sinaliza que essa taxa está associada ao regime de 
capitalização composta e, assim, indica que sua aplicação dar-se-á sobre o capital e 
também sobre o valor dos juros. A tabela utilizada para demonstrar o sistema de 
capitalização composta permite perceber claramente como ocorre sua aplicação. 
 
Taxa nominal 
 
Taxa nominal é muito utilizada em contratos bancários. É caracterizada pelo 
fato de ser dada numa referência de tempo, mas ser aplicada noutra. Por exemplo, 
uma taxa nominal de 12% a. a., capitalizada mensalmente. Ou seja, a taxa está ao 
ano, mas sua capitalização ocorrerá todo mês. Está também associada ao regime de 
capitalização composta. 
 
 
 
15 
 
Taxa efetiva 
 
 A taxa efetiva é aquela em que sua unidade de referência de tempo será a 
mesma da capitalização. Por exemplo, uma taxa de 2% ao mês, será capitalizada 
exatamente neste percentual todos os meses, pelo período da aplicação. Também 
está associada ao regime de capitalização composta. 
 
Taxas proporcionais 
 
Essas taxas estão associadas ao sistema de capitalização simples. Diz-se que 
duas ou mais taxas são proporcionais quando forem aplicadas sobre o mesmo capital 
pelo mesmo período e produzirem o mesmo montante. O exemplo a seguir permite 
uma melhor compreensão: 
Considere as identificações seguintes: 
ia.a. = taxa ao ano; ia.s. = taxa ao semestre; ia.t. = taxa ao trimestre; ia.b. taxa ao 
bimestre; ia.m. = taxa ao mês. 
 
Se as taxas são proporcionais, podemos escrevê-las com a seguinte igualdade: 
ia.a. para calcular o montante, a expressão será: M = C x (1 + ia.a.) 
ia.s. para o mesmo resultado da ia.a.: M = C x (1 + 2 x ia.s.) 
ia.t. para o mesmo resultado da ia.a.: M = C x (1 + 4 x ia.t.) 
ia.b. para o mesmo resultado da ia.a.: M = C x (1 + 6 x ia.b) 
ia.m. para o mesmo resultado da ia.a.: M = C x (1 + 12 x ia.m.) 
 
Taxas equivalentes 
 
Taxas equivalentes estão associadas ao regime de capitalização composta. 
Diz-se que duas ou mais taxas são equivalentes se, quando aplicadas sobre o mesmo 
capital pelo mesmo período, produzirem o mesmo montante. Considere as 
identificações seguintes: 
ia.a. = taxa ao ano; 
ia.s. = taxa ao semestre; 
ia.t. = taxa ao trimestre; 
ia.b. taxa ao bimestre; 
 
16 
 
ia.m. = taxa ao mês. 
 
Se as taxas são equivalentes, podemos escrevê-las com a seguinte igualdade: 
ia.a. para calcular o montante, a expressão será: M = C x (1 + ia.a.)1 
ia.s. para o mesmo resultado da ia.a.: M = C x (1 + ia.s.)2 
ia.t. para o mesmo resultado da ia.a: M = C x (1 + ia.t.)4 
ia.b. para o mesmo resultado da ia.a.: M = C x (1 + ia.b)6 
ia.m. para o mesmo resultado da ia.a.: M = C x (1 + ia.m.)12 
 
Como está associada ao regime de capitalização composta, é importante 
considerarmos o exemplo seguinte: 
 
Determinar a taxa mensal equivalente a uma taxa de 18% a.a.: 
(1 + ia.a.) = (1 + ia.m.)12 
(1 + ia.a)1/12 = ( 1 + ia.m.) 
ia.m. = (1 + ia.a.)1/12 – 1 
ia.m. = (1 + 0,18)1/12 – 1 
ia.m. = 0,0139 ou 1,39% ao mês 
 
O exemplo acima nos permite generalizar a fórmula. Considere os pontos 
seguintes: a taxa de 18% a. a. era conhecida; a taxa ao mês é a taxa que se queria 
determinar. O período de um ano era conhecido. O período de um mês é o que se 
queria determinar. Vamos considerar os dados com as seguintes identificações: 
 
ic = taxa conhecida; 
id = taxa a determinar; 
nc = período conhecido; 
nd = período a determinar. 
 
A partir do exemplo acima, vamos colocar os dados na seguinte fórmula: 
id = (1 + ic)nd/nc – 1, onde: 
id = a taxa ao mês; 
ic = a taxa dada ao ano; 
nd = o período que quero saber é o de um mês; 
 
17 
 
nc = o período que conheço é o de 12 meses, uma vez que a taxa dada está 
ao ano. 
 
Dessa forma, todas as vezes que se deparar com uma taxa em determinado 
período e desejar saber a taxa equivalente em outra unidade de tempo, utilize a 
fórmula: id = (1 + ic)nd/nc – 1. 
 
Vejamos uma demonstração prática. 
Considere que um banco esteja oferecendo uma taxa de 37% a. a., para 
determinada aplicação de 32 dias. Qual a taxa do período? 
Considerando a fórmula dada anteriormente, temos: 
ic = 37% a.a.; 
nc = 360 dias (porque a aplicação está para 32 dias); 
nd = 32 dias; 
id = ? 
id = ( 1 + 0,37)32/360 – 1 = id = 2,84% para 32 dias. 
 
Taxa de rendimento total 
 
Na atualidade, as pessoas e as empresas procuram diversificar suas 
aplicações. E as aplicações proporcionam rendimentos diferentes. Assim, é 
importante para o aplicador saber quanto efetivamente ganhou no mês. Para isso, 
deverá valer-se da fórmula do rendimento total: 
Irt = (1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) … (1 + ik) – 1, onde i1 seria a taxa atribuída à 
aplicação 1; i2, a taxa para a aplicação 2; i3 a taxa para a aplicação 3, e assim pelo 
número de aplicações que existam. 
Apurada a irt (taxa de rendimento total), calcula-se a taxa efetiva com a fórmula 
da taxa a determinar, qual seja: id = (1 + ic) nd/nc – 1. 
Vejamos um exemplo prático: determinada pessoa possui as seguintes 
aplicações: 
Poupança que, no período de 33 dias, rendeu o percentual de 0,7%; 
Fundo de ações que, no período de 97 dias, rendeu 45%; 
Fundo de renda fixa que, no período de 120 dias, rendeu 54%. 
Determinar a taxa de rendimento total e a equivalente mensal. 
 
18 
 
 
Primeiro, calcula-se a taxa de rendimento total: 
irt = (1 + 0,007) x (1 + 0,45) x (1 + 0,54) – 1 = 124,86% para 250 dias (soma-se 
todo o período: 33 + 97 + 120) 
 
A taxa mensal equivalente será: 
id = (1 + 1,2486)30/250 – 1 = 0,1021 ou 10,21% a.m. 
 
Taxa real 
 
Essa taxa é a que demonstra o ganho efetivo descontadas as perdas oriundas 
de correção monetária. De outra forma, é apurar se houve ganho acima da inflação. 
Já sabemos que a taxa do rendimento total é identificada por irt. Vamos fixar 
que a taxa da correção monetária seja identificada por icm e que a taxa real seja 
identificada por irr. 
A apuração da taxa de ganho real (irr) é possível com a fórmula seguinte: 
𝑖𝑟𝑟 = 
(1 + 𝑖𝑟𝑡)
(1 + 𝑖𝑐𝑚)
− 1 
 
Veja o exemplo: 
Uma pessoa investiu $ 10.000,00 e recebeu $ 13.500,00 ao final de 67 dias. 
Neste mesmo período houve uma inflação de 4,5%. Qual foi a taxa de juro real obtida? 
M = 13.500,00; C = 10.000,00; n = 67 dias; i = ? 
 
Relembrando a fórmula para se calcular taxa, temos que: 
i = (M/C)1/n – 1 
 
Portanto, i = (13.500,00/10.000,00)1 – 1. Neste caso eleva-se a 1 pois se deseja 
saber a taxa para todo o período. 
i = 35% para 67 dias. 
 
𝑖𝑟𝑟 = 
(1+𝑖𝑟𝑡)
(1+𝑖𝑐𝑚)
− 1 = 0,2919 ou 29,19% para o período de 67 dias. 
 
 
 
19 
 
Vamos praticar? 
 
Exemplos: 
 
1. Uma pessoa se depara com três possibilidades para aplicar: 
Fundo de ações,que rende 5,5% a.m.; fundo de renda fixa, que rende 12,5% 
a.t.; CDB, que rende 21% a.a. 
 
Contudo, somente tem recursos para uma das aplicações. Qual deverá 
escolher? 
O que se deve fazer é trazer todas as aplicações para a mesma unidade de 
tempo. Vamos trazer a aplicação trimestral e a anual para o rendimento ao mês: 
id = (1 + ic)nd/nc – 1 
id = ( 1 + 0,125)30/90 – 1 = 0,04 ou 4% a.m. 
id = (1 + 0,21)1/12 – 1 = 0,16 ou 1,6% ao mês. 
 
Logo, deve-se escolher o fundo de ações que rende 5,5 a. m. 
 
2. Quanto terá, ao final de três anos, uma pessoa que aplicou $ 1.500,00 a uma 
taxa de 15% a. a., capitalizados mensalmente? 
Observe que a taxa foi dada em uma unidade de tempo (ano) e capitalizada 
noutra unidade de tempo (mensal). Portanto, estamos diante de uma taxa nominal. 
Primeiro, dividem-se 15% por 12 meses = 1,25% a.m. 
M = C x (1 + i)n 
M = 1.500,00 x (1 + 0,0125)36 = 2.345,91 
 
4.1 Para praticar3 
 
1. Qual a taxa efetiva quadrimestral equivalente à taxa nominal de 20% a.a. 
capitalizados mensalmente? 
2. Uma pessoa investiu $ 7.600,00 em títulos do governo, que oferece a taxa 
de 21% a. a. Considerando uma operação de 109 dias, que montante obterá? 
 
3 Confira as respostas ao final do livro-texto. 
 
20 
 
3. Dada a taxa efetiva anual de 36%: 
a) Calcule a taxa bimestral equivalente; 
b) Obtenha a taxa nominal ao ano, proporcional à taxa bimestral. 
 
4. Um investidor se depara com três opções das quais somente poderá 
escolher uma. Qual deverá escolher? 
a) 3,5% para 42 dias; 
b) 13,5% para 155 dias; 
c) 54% para 335 dias. 
 
5. Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa de 22,5% a. a. 
 
 
21 
 
5. DESCONTO 
 
Desconto pode ser entendido como o valor que se está disposto a perder para 
antecipar o recebimento de determinado título, que pode ser cheque pré-datado, uma 
nota promissória, uma duplicata, dentre outros. Logo, a fórmula do desconto será: 
 
D = M – C 
 
Na literatura acadêmica, há vários tipos de desconto. No entanto, no mercado 
financeiro, a operação de desconto é realizada sempre no curto prazo e a modalidade 
mais praticada é o desconto simples “por fora”, também chamado de desconto 
bancário ou ainda desconto comercial. Como nosso estudo é voltado para a 
praticidade, vamos nos ater a esse desconto. 
 
Desconto “por fora” 
 
O valor do desconto será obtido multiplicando-se o valor do título com 
vencimento futuro pela taxa de desconto e pelo prazo pelo qual o pagamento está 
sendo antecipado. Vamos demonstrar com a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = M x i x n ou D = M – C 
 
Tendo o valor do desconto e o valor do título, pode-se calcular o valor do capital 
ou principal. 
 
 
C 
D 
M 
 
22 
 
C = M – D 
 
Podemos escrever, então, que: 
C = M – M x i x n ou C = M x (1 – i x n) 
 
Vamos praticar? 
 
Exemplos: 
 
1. Qual o valor do desconto de um título no valor de $ 5.800,00, descontado 
no banco 85 dias antes de seu vencimento, sabendo que a taxa é de 7% a. m.? 
M = 5.800,00; n = 85 dias; i = 7% a.m. 
Deve-se recordar que a taxa e o período devem estar na mesma unidade de 
tempo. 
D = M x i x n = 5.800,00 x 0,07 x 85/30 = 1.150,33 
 
2. Qual a taxa mensal de desconto praticada pelo banco que, numa duplicata 
de $ 4.500,00, pagou ao cliente o valor de $ 3.100,00, para uma antecipação de 75 
dias? 
M = 4.500,00; C = 3.100,00; n = 75 dias; i = ? 
 
Sabe-se que D = M – C ou, ainda, que D = M x i x n 
 
Vamos nos valer às duas fórmulas, porque o solicitado é a taxa e, para calculá-
la, temos de ter o valor do desconto, o que não foi fornecido nos dados do problema. 
Primeiro, calculamos o valor do desconto a partir dos valores do montante e do capital: 
D = 4.500,00 – 3.100,00 = 1.400,00 
1.400,00 = 4.500,00 x i x 75/30 
i = ___1.400,00____ = 0,1244 ou 12,44% a.m. 
 4.500,00 x 75/30 
 
3. A empresa, precisando de dinheiro no caixa, vai ao banco e pede que seja 
descontada uma duplicada no valor de $ 7.800,00. O banco creditou em sua conta o 
 
23 
 
valor de $ 5.850,00. A taxa da operação foi de 6% a. m. Determine o prazo para o 
vencimento da duplicata. 
M = 7.800,00; C = 5.850,00; i = 6% a.m. n = ? 
A resolução obedecerá ao mesmo raciocínio do exercício anterior: 
D = M – C e D = M x i x n 
D = 7.800,00 – 5.850,00 = 1.950,00 
n = __1.950,00____ = 4,1667 meses ou 125 dias 
 7.800,00 x 0,06 
 
Taxa média e prazo médio para operações de desconto bancário 
 
Na prática do mercado financeiro, as empresas levam aos bancos diversas 
duplicatas e nem todas possuem o mesmo prazo de vencimento. Da mesma forma, 
na análise da ficha creditícia das duplicatas que são apresentadas no banco, nem 
todas apresentam o mesmo risco. Por isso, o banco cobra taxas diferentes para o 
desconto de duplicatas. Esses são os fatores que levam ao cálculo da taxa média. 
A taxa média de desconto é obtida do resultado da somatória dos valores dos 
títulos multiplicados pelas diferentes taxas e períodos, dividida pela somatória dos 
valores dos títulos multiplicados pelos períodos. Vejamos a fórmula: 
∑ 𝑀𝑥𝑖𝑥𝑛
𝑚
𝑗=1
 
∑ 𝑀𝑥𝑛
𝑚
𝑗=1
 
 
Vamos a um exemplo para fixar o conceito: 
Uma empresa apresenta ao banco três títulos: $5.000,00, $8.000,00 e 
$9.500,00. Prazos respectivos de 5, 3, e 2 meses. O banco oferece as seguintes taxas 
respectivas: 4%, 6% e 7,5% ao mês. Determine a taxa média. 
 
 
Taxa média = i = 
 
24 
 
Taxa média (i) 
i = 5.000,00 x 0,04 x 5 + 8.000,00 x 0,06 x 3 + 9.500,00 x 0,075 x 2 
 5.000,00 x 5 + 8.000,00 x 3 + 9.500,00 x 2 
i = 0,0568 ou 5,68% a.m. 
 
Para o cálculo do prazo médio, praticamente a fórmula será a mesma. A única 
diferença é que no denominador se fará a somatória do montante multiplicado pela 
taxa. Usando os mesmos dados, a resolução para cálculo do prazo médio será: 
 
Prazo médio (n) 
n = 5.000,00 x 0,04 x 5 + 8.000,00 x 0,06 x 3 + 9.500,00 x 0,075 x 2 
 5.000,00 x 0,04 + 8.000,00 x 0,06 + 9.500,00 x 0,075 
n = 2,7756 meses 
 
5.1 Para praticar4 
 
1. Uma empresa desconta um título de $ 15.000,00, antecipando o prazo de 
vencimento em 81 dias. A taxa praticada foi de 7,5% a. m. Qual o valor do desconto? 
2. Um título é apresentado ao banco no valor de $ 10.000,00. O banco credita 
para a empresa o valor de $ 7.200,00. Se o prazo de antecipação foi de 63 dias, qual 
a taxa praticada pelo banco? 
3. Uma instituição financeira creditou ao seu cliente o valor de $ 180.000,00 
por uma operação de desconto. O prazo da operação foi de 64 dias. Taxa de 9% a. 
m. Qual o total do título? 
4. Uma empresa apresentou ao banco três títulos para serem descontados. 
Cada título tinha o valor de $ 6.000,00, com vencimentos para 15, 30 e 45 dias. A taxa 
cobrada pelo banco foi de 6,5% a. m. Calcule o valor do desconto total e o valor líquido 
que foi creditado à empresa. 
5. Quatro títulos foram apresentados ao banco para desconto: $15.000,00; 
$18.000,00; $25.000,00; $28.000,00, com prazos de 85 dias, 65 dias, 45 dias e 25 
dias, respectivamente. Descontados, respectivamente, às taxas de 7% a.m., 6,5% 
a.m., 9% a.m. e 8% a.m., calcule a taxa média e o prazo médio. 
 
4 Confira as respostas ao final do livro-texto. 
 
25 
 
UNIDADE II 
 
6. ANUIDADES E EMPRÉSTIMOS 
 
No mercado financeiro, há aplicações que podem ser pagas ou recebidas de 
uma só vez, ao final de um determinado período, ou através de uma sucessão de 
pagamentos e recebimentos. 
Esses pagamentos e recebimentos podem ainda ser iguais ou variáveis e 
ocorrerem no começo de cada período (antecipado) ou no final do período 
(postecipado). 
Para melhor compreendermos, vamos observar a figura abaixo, que demonstra 
um fluxo de pagamento ou recebimento de valor igual e postecipado: 
 
 
 
Observe: o “R” representa os pagamentosou recebimentos que ocorrem ao 
longo dos períodos, os quais ocorrem em valores iguais. Diz-se postecipados porque 
começaram a ser realizados no período 1. 
Há também fluxo de pagamentos ou recebimentos iguais que ocorrem ao longo 
de períodos, mas são antecipados, ou seja, iniciam no momento zero: 
 
 
 
Há situações em que o fluxo de pagamentos ou recebimentos ocorrerá de 
forma variável. Ou seja, com valores diferentes ao longo dos períodos. Poderá 
também ocorrer na forma antecipada, isto é, começando no momento zero, ou 
postecipada, ou seja, a partir do período 1. 
 
26 
 
 
 
27 
 
A figura abaixo ilustra um fluxo de pagamentos ou recebimentos variáveis 
postecipado, porque se inicia no período 1: 
 
 
 
A figura a seguir demonstra um fluxo variável de pagamentos ou recebimentos 
antecipados: 
 
 
 
A partir da compreensão dos fluxos de pagamentos ou recebimentos, pode-se 
voltar para a dedução das fórmulas que permitirão calcular as parcelas, o montante e 
o valor principal. 
 
Fórmula para apuração de montante de uma série postecipada de pagamentos 
ou recebimentos iguais ao final de determinado período e determinada taxa pelo 
sistema da capitalização composta (as parcelas serão identificadas pela letra “R”): 
 
𝑀 = 
𝑅
𝑖
𝑥[(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 
 
Se tiver o montante que deseja obter ao final de determinado período e 
determinada taxa, é possível calcular o valor das parcelas iguais a serem pagas. 
Nesse caso, a partir da fórmula anterior, obtém-se a fórmula seguinte: 
 
28 
 
 
𝑅 = 
𝑀𝑥𝑖
[(1 = 𝑖)𝑛 − 1]
 
 
Fórmula para apuração do valor atual de uma série postecipada de pagamentos 
ou recebimentos iguais ao final de determinado período e determinada taxa pelo 
sistema da capitalização composta: 
 
𝑃 = 
𝑅
𝑖
𝑥 [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛
] 
 
A partir da fórmula acima, é possível calcular o valor das parcelas a serem 
pagas ou recebidas uma vez que se tenha o valor do principal, da taxa e o período. 
 
𝑅 = 
𝑃 𝑥 𝑖 𝑥(1 + 𝑖)𝑛
[(1 + 𝑖)𝑛 − 1]
 
 
Um exemplo prático permitirá uma melhor compreensão: 
 
Uma pessoa pretende obter a quantia de $ 500.000,00 em 3 anos. Conhece 
uma aplicação que lhe remunera à taxa de 8% a. m. Quanto deverá aplicar todos os 
meses? 
M = 500.000,00; i = 8% a.m.; n = 36 meses R = ? 
 
R = __S x i__ = 500.000,00 x 0,08 = 2.672,33 
 [(1+ i)n – 1] [(1 + 0,08)36 – 1] 
 
Portanto, se a pessoa aplicar o valor de $ 2.672,33 por trinta e seis meses 
nessa aplicação que lhe remunera 8% a. m., ao final dos 3 anos terá o montante de 
$500.000,00. 
 
Outro exemplo, mas, agora, a pessoa sabe quanto poderá aplicar, sabe a taxa 
e o período e deseja saber quanto terá ao final do período. 
 
29 
 
A pessoa consegue aplicar $ 1.500,00 mensalmente pelo período de 24 meses 
e a aplicação lhe proporciona a taxa de 6% a. m. Qual montante terá ao final dos 2 
anos? 
R = 1.500,00; i = 6% a.m.; n = 24 meses M = ? 
 
M = 1.500,00 x [(1 + 0,06)24 – 1] = 76.223,36 
 0,06 
 
No exemplo a seguir, poderemos perceber a apuração do valor atual, a partir 
do valor das parcelas, do conhecimento da taxa e do prazo: 
 
Uma pessoa comprou parcelado um freezer. Foram 12 parcelas de $ 450,00. 
Qual o valor à vista, se a taxa cobrada foi de 7% a. m.? 
R = 450,00; i = 7%a.m.; n = 12 meses; P = ? 
 
𝑃 = 
𝑅
𝑖
𝑥 [
(1 + 𝑖)𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
− 1] =
450,00
0,07
𝑥 [
(1 + 0,07)12
(1 + 0,07)12
− 1] = 3.574,20 
 
Fórmula para apuração de montante de uma série antecipada de pagamentos 
ou recebimentos iguais ao final de determinado período e determinada taxa pelo 
sistema da capitalização composta: 
 
𝑀 = 
𝑅
𝑖
 𝑥 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑥 (1 + 𝑖) 
 
Quando se compara a fórmula acima com a fórmula para cálculo do montante 
de uma série postecipada, percebe-se que a diferença é que nesta se acrescentou a 
multiplicação dos parênteses de (1 + i). O mesmo ocorrerá quando se desejar obter a 
parcela. Observe: 
 
𝑅 = 
𝑀 𝑥 𝑖
[(1 = 𝑖)𝑛 − 1] 𝑥 (1 + 𝑖)
 
 
 
30 
 
Fórmula para apuração do valor atual de uma série antecipada de pagamentos 
ou recebimentos iguais ao final de determinado período e determinada taxa pelo 
sistema da capitalização composta: 
 
𝑃 = 
𝑅
𝑖
𝑥 [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛
] 𝑥 (1 + 𝑖) 
 
Da mesma forma para o cálculo do valor das parcelas. Somente deverá se 
acrescer os parênteses de (1 + i): 
 
𝑅 = 
𝑃 𝑥 𝑖 𝑥 (1 + 𝑖)𝑛
[(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑥 (1 + 𝑖) 
 
 
Vamos a um exemplo para fixar o conceito: 
 
1. Uma pessoa comprou um televisor em 10 parcelas mensais de $ 650,00, 
pagando a primeira no ato da compra. Se a loja cobra a taxa de 8% a. m., qual o valor 
à vista do televisor? 
R = 650,00; i = 8% a.m.; n = 10 meses; P = ? 
 
𝑃 = 
𝑅
𝑖
𝑥 [
(1+𝑖)𝑛 −1
(1+𝑖)𝑛
] 𝑥 (1 + 𝑖) = 
650,00
0,08
𝑥 [
(1+0,08)10 −1
(1+0,08)10
] 𝑥 (1 + 0,08) 
 
P = 4.710,47 
 
2. Qual o valor da parcela a ser paga no início de cada mês, de um empréstimo 
contraído no valor de $ 10.000,00 para ser pago em 6 vezes a uma taxa de 8,5% a. 
m.? 
C = 10.000,00; i = 8,5% a.m.; n = 6 meses; R = ? 
 
𝑅 = 
𝑃 𝑥 𝑖 𝑥 (1 + 𝑖)𝑛
[(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑥 (1 + 𝑖) 
 
 
𝑅 = 
10.000,00 𝑥 0,085 𝑥 (1 + 0,085)6
[(1 + 0,085)6 − 1] 𝑥 (1 + 0,085) 
= 2.024,02 
 
31 
 
 
6.1 Para praticar5 
 
1. Um magazine está oferecendo um televisor de $ 6.000,00 para ser pago 
em 8 parcelas iguais, a primeira vencendo trinta dias depois da compra. A taxa 
cobrada é de 7% a. m. Qual o valor da parcela? 
2. Uma pessoa investiu o valor de $ 20.000,00 no dia 1º de abril e investirá, 
nos próximos seis meses, a quantia de $ 10.000,00, sempre no 1º dia do mês. Qual 
será o montante obtido nos sete meses de aplicação, sabendo que a taxa é de 7,5% 
a. m.? 
3. Uma pessoa deposita $ 1.500,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está 
ganhando 3% a. m., quanto possuirá em 2 anos? 
4. Um jovem deseja comprar o seu primeiro carro. Pretende ter ao final de 12 
meses a quantia de $ 45.000,00. Qual valor deverá investir mensalmente numa 
aplicação que está rendendo 3% a. m.? 
5. Um carro está sendo vendido por $ 10.000,00 de entrada mais 24 parcelas 
mensais de $ 2.236,51. Como opção, a agência oferece a possibilidade de 36 parcelas 
mensais de $ 1.613,16, mais uma entrada de $ 12.000,00. Qual é a melhor alternativa, 
se a taxa de mercado é de 3% a. m.? 
 
 
 
5 Confira as respostas ao final do livro-texto. 
 
32 
 
7. AMORTIZAÇÃO 
 
Amortização é um processo em que é devolvido o valor emprestado. A forma 
como o valor emprestado será devolvido é que caracteriza os sistemas de 
amortização. 
Um ponto muito importante a ser fixado é que, em qualquer sistema de 
amortização, a taxa de juro sempre recairá sobre o saldo devedor. 
Os sistemas mais praticados no mercado financeiro são três: Sistema 
Americano (SA), Sistema de Amortização Constante (SAC) e Sistema Francês (SF), 
também conhecido como Sistema Price. No Brasil, o mais utilizado é o Sistema 
Francês ou Sistema Price. 
 
Sistema Americano (SA) 
 
O sistema americano de amortização é caracterizado pela devolução de todo o 
valor emprestado numa única vez ao final do período contratado. No espaço de tempo 
entre a contratação e a devolução do valor emprestado, somente paga os juros. 
Por exemplo, uma empresa toma emprestado a quantia de $ 50.000,00 para 
amortizar, ou seja, devolver o valor que lhe foi emprestado em cinco meses, a uma 
taxa de 10% a. m. Por esse sistema, nos quatro primeiros meses somente pagará os 
juros e no quinto mês devolverá todo o valor que lhe foi emprestado mais os juros do 
período. A tabela a seguir permite visualizar o sistema americano de amortização: 
 
Meses Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 50.000,00 - - - 
1 50.000,00 5.000,00 - 5.000,00 
2 50.000,00 5.000,00 - 5.000,00 
3 50.000,00 5.000,00 - 5.000,00 
4 50.000,00 5.000,00 - 5.000,005 5.000,00 50.000,00 55.000,00 
Total 25.000,00 50.000,00 75.000,00 
 
 
 
33 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 
O sistema de amortização constante estabelece que o valor emprestado será 
amortizado, ou seja, devolvido ao credor em valores iguais. Cada parcela deverá 
totalizar o juro do período mais o valor da amortização. Para caracterizar, vamos nos 
valer do mesmo exemplo utilizado para explicar o Sistema Americano de Amortização. 
A empresa toma emprestado a quantia de $ 50.000,00 para amortizar, ou seja, 
devolver o valor que lhe foi emprestado em cinco meses, a uma taxa de 10% a. m. 
Pelo sistema de amortização constante, deverá devolver, isto é, amortizar, nos cinco 
meses, valores iguais, somados a estes o valor do juro do período. A tabela a seguir 
permite visualizar o sistema de amortização constante. 
 
Meses Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 50.000,00 - - - 
1 40.000,00 5.000,00 10.000,00 15.000,00 
2 30.000,00 4.000,00 10.000,00 14.000,00 
3 20.000,00 3.000,00 10.000,00 13.000,00 
4 10.000,00 2.000,00 10.000,00 12.000,00 
5 1.000,00 10.000,00 11.000,00 
Total 15.000,00 50.000,00 65.000,00 
 
Sistema Francês (SF) ou Sistema Price 
 
O sistema francês ou sistema Price permite que o devedor se programe para 
pagar prestações em valor igual. Nele, observa-se que os juros são decrescentes e o 
valor da amortização é crescente. Com o exemplo utilizado nos dois sistemas 
anteriores, Sistema Americano e Sistema de Amortização Constante, será possível 
perceber a característica mencionada de que a amortização cresce a cada período: 
 
 
34 
 
Meses Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 50.000,00 - - - 
1 41.810,12 5.000,00 8.189,87 13.189,87 
2 32.801,26 4.181,01 9.008,86 13.189,87 
3 22.891,52 3.280,13 9.909,74 13.189,87 
4 11.990,79 2.289,15 10.900,72 13.189,87 
5 1.199,07 11.990,79 13.189,87 
Total 15.949,35 50.000,00 65.949,35 
 
Observação: por se tratar de parcelas com centavos, sempre existirá uma 
diferença de um a três centavos, para mais ou para menos, por questão de 
arredondamento. 
 
7.1 Para praticar6 
 
1. Uma financeira faz um empréstimo de $ 50.000,00 a uma empresa, para ser 
amortizado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), em 4 parcelas mensais. A 
taxa cobrada foi de 10% a. m. Elabore a tabela demonstrativa dos pagamentos. 
2. Uma instituição financeira empresta $ 80.000,00 a um supermercado, para 
ser amortizado em 8 parcelas mensais, com taxa de 5% a. m. pelo sistema Americano 
de amortização. Elabore a tabela demonstrativa dos pagamentos. 
3. Determinada pessoa pediu empréstimo no valor de $ 40.000,00, para ser 
pago em 5 meses, a uma taxa de 9% a. m. A amortização dar-se-á pelo sistema Price. 
Elabore a tabela demonstrativa dos pagamentos. 
4. Um imóvel no valor de $ 100.000,00 foi financiado, para ser pago em 5 anos. 
A amortização será realizada pelo sistema de amortização constante. A taxa de juro 
anual é de 20% a. a. Elabore a tabela demonstrativa dos pagamentos. 
5. Uma distribuidora contratou um financiamento de $ 80.000,00, para ser 
amortizado em 6 parcelas mensais pelo sistema de amortização constante. A taxa 
praticada pelo banco foi de 9% a. m. Construa a tabela demonstrativa dos 
pagamentos. 
 
 
 
6 Confira as respostas ao final do livro-texto. 
 
35 
 
8. ÍNDICE DE PREÇOS 
 
Na economia e nas finanças, é muito importante saber se está existindo 
crescimento e ganho real. Como os preços sofrem variação e, na maior parte das 
vezes, aumento, o índice de preços procura medir a mudança ocorrida entre um 
período e outro. 
Dessa forma, estabelece-se um conjunto de bens e/ou de produtos, fixando-se 
o mês em que começará o cálculo, dando-se a esse mês o nome de base zero. Então 
relaciona-se o bem e/ou produto, sua quantidade e o valor necessário para adquiri-lo 
ou produzi-lo. No mês seguinte, valendo-se dos mesmos bens e/ou produtos, e 
mesma quantidade, verifica-se quanto é necessário em valor para adquiri-los. Calcula-
se a variação existente, se para mais ou para menos. 
Há muitos índices de preços, em especial na economia brasileira. Como 
afirmado anteriormente, o objetivo de todos eles é estabelecer a variação ocorrida 
entre um período e outro. 
Se o objetivo é o mesmo, qual a diferença entre um e outro? A diferença é a 
relação de bens e/ou produtos que cada índice está tomando como referência. Por 
exemplo, o IGP-M. Este índice foi criado no final da década de 1940 para medir o 
movimento dos preços de forma geral. Tem o objetivo de ser mais abrangente que 
outros índices do mercado. Para o seu cálculo considera vários outros índices, tais 
como: Índice de Preços do Atacado – Mercado (IPA-M); Índice de Preços do 
Consumidor – Mercado (IPC-M); Índice Nacional de Custo da Construção – Mercado 
(INCC-M). 
O IGP-M é um índice tão relevante que é utilizado como indicador para corrigir 
o valor de vários contratos, como por exemplo, aluguel, tarifas públicas, seguros etc. 
Dessa forma, ele influencia diretamente as finanças, porque está relacionado a gastos 
do dia a dia, como educação (mensalidade de escolas e universidades), imóveis 
(aluguel de imóveis comerciais e residenciais), energia (tarifa de energia elétrica), 
saúde (determinados planos de saúde), dentre vários outros. 
A maneira de se calcular mais utilizada são as propostas por Laspeyres e 
Paasche. 
 
 
 
36 
 
Índice de Laspeyres 
 
O índice de Laspeyres é calculado pela divisão entre o montante de dinheiro a 
preços correntes (multiplicação do preço corrente pela quantidade base) necessário 
para comprar uma cesta de bens cujas quantidades foram fixadas no período 
base (zero) e o montante de dinheiro necessário para a mesma cesta a preços do 
período base (multiplicação do preço-base pela quantidade-base). 
 
 
Onde: 
ILaspeyres = Índice de Laspeyres 
Pt = preço do bem (ou dos bens) no período t (corrente/atual). 
Q0 = quantidade do bem (ou dos bens) no período zero (base). 
Po = preço do bem (ou dos bens) no período zero (base). 
 
Para ilustrar a fórmula acima, vamos considerar de forma muito simplificada 
uma cesta de bem e produto. 
 
Ano um 
Bem ou produto Produção Preço 
Automóvel 3 unidades $250/unid. 
Açúcar 5 toneladas $170/ton. 
 
Ano dois 
Bem ou produto Produção Preço 
Automóvel 4 unidades $280/unid. 
Açúcar 7 toneladas $210/ton. 
 
 
 
 
37 
 
iLaspeyres = soma-se a preço praticado no ano dois, multiplicado pela 
quantidade que era produzido no ano um. Após, divide-se pela somatória do preço 
praticado no ano um, multiplicado pela quantidade produzida no ano um. 
 
iLaspeyres = (280 x 3) + (210 x 5) = 840 + 1.050 = 1,1813 
 (250 x 3) + (170 x 5) 750 + 850 
 
Observe que se mantiveram as quantidades produzidas no ano um, que é o 
que se está considerando como base zero, e somente se considerou a variação de 
preço. Foi observada uma inflação de 18,13%. 
Dessa forma, é possível se estabelecer uma cesta de itens que se deseja 
considerar para efeitos de análise de variação de preços e, utilizando esse método, 
passar a calcular sua própria inflação, que normalmente é diferente daquela divulgada 
pelos índices utilizados pela economia. 
 
Índice de Paasche 
 
No índice de Paasche, a variável que se altera é a quantidade. Assim, é 
calculado pela divisão entre a quantia de dinheiro necessária para se comprar a 
quantidade que se precisa atualmente e a quantidade monetária necessária para 
adquirir a relação de bens no momento do cálculo. Em nosso exemplo, o preço e a 
quantidade demonstrada no ano dois e o montante de dinheiro necessário no ano um 
para comprar a mesma quantidade no ano dois (multiplicação do preço-base pela 
quantidade corrente). 
 
 
 
Onde: 
IPaasch= Índice de Paasche 
Pt = preço do bem (ou dos bens) no período t (corrente/atual). 
Qt = quantidade do bem (ou dos bens) no períodot (corrente/atual). 
Po = preço do bem (ou dos bens) no período zero (base). 
 
 
38 
 
Ano um 
Bem ou produto Produção Preço 
Automóvel 3 unidades $250/unid. 
Açúcar 5 toneladas $170/ton. 
 
Ano dois 
Bem ou produto Produção Preço 
Automóvel 4 unidades $280/unid. 
Açúcar 7 toneladas $210/ton. 
 
iPaasche = (280 x 4) + (210 x 7) = 1,1826 
(250 x 4) + (170 x 7) 
 
Por esse índice, a inflação teria sido de 18,26%. 
 
Como dito anteriormente, o mercado financeiro deve estar atento à análise dos 
índices divulgados pelos institutos que os calculam. No Brasil, a maioria dos cálculos 
de índices de preços é realizada pela Fundação Getúlio Vargas do Rio de Janeiro, 
mas há várias outras instituições que calculam índices, como IBGE, FIPE, DIEESE 
em São Paulo, FUNDAJ no Recife e o IPEAD, calculado pela UFMG em Belo 
Horizonte. 
É muito importante que as famílias, e principalmente as empresas, passem a 
calcular a sua própria inflação, de forma a perceber a real oscilação no seu poder de 
compra. 
 
 
39 
 
9. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
9.1 Capitalização simples 
 
1. Foi feito um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 a uma taxa de 5% a. m., pelo 
prazo de 3 meses. Calcule o valor dos juros e do montante. 
 
C = 10.000,00; i = 5% a.m.; n = 3 meses 
J = C x i n = 10.000,00 x 0,05 x 3 = 1.500,00 
M = C + J = 10.000,00 + 1.500,00 = 11.500,00 
 
2. Foi aplicado o valor de $ 5.000,00 pelo prazo de 85 dias. A taxa é de 4% a. m. 
Calcule o valor dos juros e do montante. 
 
C = 7.000,00; i = 4% a.m.; n = 85 dias; J = ?; M = ? 
J = C x i x n = 7.000,00 x 0,04 x 85/30 = 793,33 
M = C + J = 7.793,33 
 
3. Uma aplicação de $ 7.000,00 rendeu o valor de $ 5.500,00. O prazo da aplicação 
foi de 175 dias. Calcule a taxa de juros mensal e anual. 
 
C = 7.000,00; J = 5.500,00; n = 175 dias; ia.m = ?; ia.a. = ? 
J = C x i x n = ia.m. = __5.500,00_____ = 0,1347 ou 13,47% a.m. 
 7.000,00 x 175/30 
 
ia.a. = ia.m. x 12 = 13,47% a.m. x 12 meses = 161,63% a.a. 
 
4. Qual o valor do capital a ser investido para se obter um montante de $ 80.000,00, 
decorridos 6 meses do momento da aplicação, se a taxa for de 8% a. m.? 
 
C = ?; M = 80.000,00; i = 8% a.m.; n = 6 meses 
M = C x (1 + i x n) = C = __80.000,00__ = 54.054,05 
 (1 + 0,08 x 6) 
 
 
40 
 
5. Qual o tempo necessário para um capital dobrar se a taxa for de 9% a. m.? 
Observação: para a resolução deste exercício, pode ser qualquer valor que se saiba 
qual é o seu dobro. Utilizaremos o valor de $ 1.000,00. 
 
C = 1.000,00; M = 2.000,00; i = 9% a.m.; n = ? 
J = C x i x n = n = __1.000,00____ = 11,11 meses 
 1.000,00 x 0,09 
 
9.2 Capitalização composta 
 
1. Uma duplicata vencerá no prazo de 5 meses. O valor do título é de $ 7.000,00. O 
cliente deseja pagá-la hoje. Se o banco cobra uma taxa de 5% ao bimestre, qual valor 
exigirá do cliente para antecipar a duplicata? 
 
C = ?; M = 7.000,00; i = 5%a.b.; n = 5 meses 
M = C x (1 + i)n = C = __7.000,00__ = 6.196,19 
 (1 + 0,05)5/2 
 
2. Em que prazo um financiamento de $ 35.000,00 pode ser quitado em pagamento 
único no valor de $ 50.000,00, sabendo-se que o banco cobra a taxa de 9% ao 
trimestre? 
 
n = ?; C = 35.000,00; M = 50.000,00; i = 9% a.t. 
n = ln (M/P) = ln(50.000,00/35.000,00) = 4,13 trimestres 
 ln ( 1+ i) ln ( 1 + 0,09) 
 
3. Um investidor aplica o valor de $ 8.000,00 pelo prazo de 8 meses. A taxa é de 4% 
ao quadrimestre. Qual o montante a ser retirado? 
 
C = 8.000,00; i = 4%a.q.; n = 8 meses; M = ? 
M = C x (1 + i)n = 8.000,00 x (1 + 0,04)8/4 = 8.652,80 
 
 
41 
 
4. Qual o valor de juros a ser pagos por um empréstimo de $ 9.000,00 pelo prazo de 
6 meses com taxa de 5,5% ao mês? 
 
J = ?; C = 9.000,00; i = 5,5%a.m.; n = 6 meses 
J = M – C = 12.409,58 – 9.000,00 = 3.409,58 
M = C x (1 + i)n = 9.000,00 x (1 + 0,055)6 = 12.409,58 
 
5. Um título deverá ser resgatado por $ 8.500,00 de hoje a 8 meses. Sabendo que a 
taxa é de 6% a. m., qual valor pode ser pago hoje? 
M = 8.500,00; i = 6%a.m.; n = 8 meses; C = ? 
M = C x (1 + i)n = C = __8.500,00__ = 5.333,00 
 (1 + 0,06)8 
 
9.3 Equivalência de taxas 
 
1. Qual a taxa efetiva quadrimestral equivalente à taxa nominal de 20% a.a. 
capitalizados mensalmente? 
 
ia.q. = ?; i = 20% a.a. 
id = (1 + ic)nd/nc - 1 
20% a.a. / 12 meses = 1,6667% a.m. ia.q.= (1 + 0,016667)4 = 6,84% a.q. 
 
2. Uma pessoa investiu $ 7.600,00 em títulos do governo, que oferece a taxa de 21% 
a. a. Considerando uma operação de 109 dias, que montante obterá? 
 
C = 7.600,00; i = 21% a.a.; n = 109 dias M = ? 
M = C x (1 + i)n = 7.600,00 x (1 + 0,21)109/360 = 8.051,54 
 
3. Dada a taxa efetiva anual de 36%, 
 
a) Calcule a taxa bimestral equivalente: 
id = (1 + ic)nd/nc – 1 = (1 + 0,36) 2/12 – 1 = 5,26% a.b. 
 
b) Obtenha a taxa nominal ao ano, proporcional à taxa bimestral: 
 
 
42 
 
Taxa nominal é aquela em a unidade de referência dada não coincide com a unidade 
de referência da aplicação. Dessa forma, basta pegar a taxa bimestral e multiplicar 
pela quantidade de bimestre que há no ano. 
Taxa nominal ao ano = 5,26% a.b. x 6 bimestres = 31,56% a.a. 
 
4. Um investidor se depara com três opções das quais somente poderá escolher 
uma. Qual deverá escolher? 
 
a) 3,5% para 42 dias; 
b) 13,5% para 155 dias; 
c) 54% para 335 dias. 
 
Para a resolução deste problema, deve-se deixar todas as alternativas na mesma 
unidade de tempo. Optou-se por levar as alternativas “b” e “c” para o mesmo período 
da alternativa “a”. 
 
id = (1 + ic)nd/nc – 1 = alternativa b = (1 + 0,135)42/155 – 1 = 3,49% para 42 dias 
 alternativa c = (1 + 0,54)42/335 – 1 = 5,56% para 42 dias 
 
Deverá escolher a alternativa “c”. 
 
5. Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa de 22,5% a. a. 
 
ia.q. = ?; ia.a =22,5% 
id = (1 + ic)nd/nc – 1 = (1 + 0,225)1/3 – 1 = 7% a.q. 
 
9.4 Desconto 
 
1. Uma empresa desconta um título de $ 15.000,00, antecipando o prazo de 
vencimento em 81 dias. A taxa praticada foi de 7,5% a. m. Qual o valor do desconto? 
 
M = 15.000,00; i = 7,5% a.m.; n = 81 dias; D = ? 
D = M x i x n = 15.000,00 x 0,075 x 81/30 = 3.037,50 
 
2. Um título é apresentado ao banco no valor de $ 10.000,00. O banco credita para 
a empresa o valor de $ 7.200,00. Se o prazo de antecipação foi de 63 dias, qual a taxa 
praticada pelo banco? 
 
 
43 
 
M = 10.000,00; C = 7.200,00; n = 63 dias; i = ? 
D = M – C , e D = M x i x n 
D = 2.800,00 i = ____2.800,00____ = 0,1333 ou 13,33% a.m. 
 10.000,00 x 63/30 
 
3. Uma instituição financeira creditou ao seu cliente o valor de $ 180.000,00 por uma 
operação de desconto. O prazo da operação foi de 64 dias. Taxa de 9% a. m. Qual o 
total do título? 
 
C = 180.000,00; n = 64 dias; i = 9% a.m. M = ? 
C = M x (1 – i x n) logo M = ___C___ = __180.000,00___ = 222.772,27 
(1 – i x n) (1 – 0,09 x 64/30) 
 
4. Uma empresa apresentou ao banco três títulos para serem descontados. Cada 
título tinha o valor de $ 6.000,00, com vencimentos para 15, 30 e 45 dias. A taxa 
cobrada pelo banco foi de 6,5% a. m. Calcule o valor do desconto total e o valor líquido 
que foi creditado à empresa. 
 
D = M x i x n 
D1 = 6.000,00 x 0,065 x 15/30 = 195,00 
D2 = 6.000,00 x 0,065 x 1 = 390,00 
D3 = 6.000,00 x 0,065 x 1,5 = 585,00 
DT = D1 + D2 + D3 = 975,00 = 1.170,00 
 
Valor líquido creditado para a empresa = 18.000,00 – 1.170,00 = 16.830,00 
 
5. Quatro títulos foram apresentados ao banco para desconto: $15.000,00; 
$18.000,00; $25.000,00; $28.000,00, com prazos de 85 dias, 65 dias, 45 dias e 25 
dias, respectivamente. Descontados, respectivamente, às taxas de 7% a.m., 6,5% 
a.m., 9% a.m. e 8% a.m., calcule a taxa média e o prazo médio. 
 
Taxamédia (i) 
 
i = ∑ M x i x n 
 ∑ M x n 
i = (15.000,00 x 0,07 x 85/30) + (18.000,00 x 0,065 x 65/30) + (25.000,00 x 0,09 x 45/30 ) + (28.000,00 x 0,08 x 25/30) 
(15.000,00 x 85/30) + (18.000,00 x 65/30) + (25.000,00 x 45/30) + (28.000,00 x 25/30) 
i = 0,0755 ou 7,55% a.m. 
 
44 
 
Prazo médio (n) 
n = ∑ M x i x n 
 ∑ M x i 
n = (15.000,00 x 0,07 x 85/30) + (18.000,00 x 0,065 x 65/30) + (25.000,00 x 0,09 x 45/30 ) + (28.000,00 x 0,08 x 25/30) 
(15.000,00 x 0,07) + (18.000,00 x 0,065) + (25.000,00 x 0,09) + (28.000,00 x 0,08) 
n = 1,6023 meses ou 48 dias 
 
9.5 Anuidades e empréstimos 
 
1. Um magazine está oferecendo um televisor de $ 6.000,00 para ser pago em 8 
parcelas iguais, a primeira vencendo trinta dias depois da compra. A taxa cobrada é 
de 7% a. m. Qual o valor da parcela? 
 
R = P x i x (1+ i)n = 6.000,00 x 0,07 x (1 + 0,07)8 = 1.004,80 
 [(1 + i)n – 1] [(1 + 0,07)8 – 1] 
 
2. Uma pessoa investiu o valor de $ 20.000,00 no dia 1º de abril e investirá, nos 
próximos seis meses, a quantia de $ 10.000,00, sempre no 1º dia do mês. Qual será 
o montante obtido nos sete meses de aplicação, sabendo que a taxa é de 7,5% a. m.? 
 
M = R x [(1 + i)n -1] x (1 + i) 
 I 
M = 10.000,00 x [(1 + 0,075)6 – 1] x (1 + 0,075) 
 0,075 
M = 77.873,21 + 20.000,00 x (1 + 0,075)7 = 111.054,20 
 
3. Uma pessoa deposita $ 1.500,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está 
ganhando 3% a. m., quanto possuirá em 2 anos? 
 
A resolução é pela mesma fórmula do exercício anterior. 
Resposta: 51.639,70 
 
4. Um jovem deseja comprar o seu primeiro carro. Pretende ter ao final de 12 meses 
a quantia de $ 45.000,00. Qual valor deverá investir mensalmente numa aplicação que 
está rendendo 3% a. m.? 
 
R = ____M x i____ = ___45.000,00 x 0,03__ = 3.170,79 
 [(1 + i)n – 1] [(1 + 0,03)12 – 1] 
 
45 
 
5. Um carro está sendo vendido por $ 10.000,00 de entrada mais 24 parcelas 
mensais de $ 2.236,51. Como opção, a agência oferece a possibilidade de 36 parcelas 
mensais de $ 1.613,16, mais uma entrada de $ 12.000,00. Qual é a melhor alternativa, 
se a taxa de mercado é de 3% a. m.? 
 
Resposta: deve-se trazer as parcelas a valor presente e somar com a entrada. 
No plano de 24 parcelas mais o sinal de 10.000,00, o valor presente é de 47.876,50. 
No plano de 36 parcelas mais o sinal de 12.000,00, o valor presente é de 47.218,91. 
O plano a ser escolhido é o de 36 parcelas com o sinal de 12.000,00. 
 
9.6 Amortização 
 
1. Uma financeira faz um empréstimo de $ 50.000,00 a uma empresa, para ser 
amortizado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), em 4 parcelas mensais. A 
taxa cobrada foi de 10% a. m. Elabore a tabela demonstrativa dos pagamentos. 
 
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 50.000,00 - - - 
1 37.500,00 12.500,00 5.000,00 17.500,00 
2 25.000,00 12.500,00 3.750,00 16.250,00 
3 12.500,00 12.500,00 2.500,00 15.000,00 
4 - 12.500,00 1.250,00 13.750,00 
Total 50.000,00 12.500,00 62,500,00 
 
 
 
46 
 
2. Uma instituição financeira empresta $ 80.000,00 a um supermercado, para ser 
amortizado em 8 parcelas mensais, com taxa de 5% a. m. pelo sistema Americano de 
amortização. Elabore a tabela demonstrativa dos pagamentos. 
 
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 80.000,00 - - - 
1 80.000,00 - 4.000,00 4.000,00 
2 80.000,00 - 4.000,00 4.000,00 
3 80.000,00 - 4.000,00 4.000,00 
4 80.000,00 - 4.000,00 4.000,00 
5 80.000,00 - 4.000,00 4.000,00 
6 80.000,00 - 4.000,00 4.000,00 
7 80.000,00 - 4.000,00 4.000,00 
8 - 80.000,00 4.000,00 84.000,00 
Total 80.000,00 32.000,00 112,000,00 
 
3. Determinada pessoa pediu empréstimo no valor de $ 40.000,00, para ser pago 
em 5 meses, a uma taxa de 9% a. m. A amortização dar-se-á pelo sistema Price. 
Elabore a tabela demonstrativa dos pagamentos. 
 
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 40.000,00 - - - 
1 33.316,31 6.683,69 3.600,00 10.283,69 
2 26.031,08 7.285,22 2.998,46 10.283,69 
3 18.090,19 7.940,89 2.342,79 10.283,69 
4 9.434,62 8.655,57 1.628,11 10.283,69 
5 0,05 9.434,57 849,11 10.283,69 
Total 39.999,94 11.418,49 51.418,45 
 
Observação: Na tabela Price, é comum ficar alguns centavos para ajuste. 
 
 
47 
 
4. Um imóvel no valor de $ 100.000,00 foi financiado, para ser pago em 5 anos. A 
amortização será realizada pelo sistema de amortização constante. A taxa de juro 
anual é de 20% a. a. Elabore a tabela demonstrativa dos pagamentos. 
 
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 - - - 
1 80.000,00 20.000,00 20.000,00 40.000,00 
2 60.000,00 20.000,00 16.000,00 36.000,00 
3 40.000,00 20.000,00 12.000,00 32.000,00 
4 20.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,00 
5 - 20.000,00 4.000,00 24.000,00 
Total 100.000,00 60.000,00 160.000,00 
 
5. Uma distribuidora contratou um financiamento de $ 80.000,00, para ser 
amortizado em 6 parcelas mensais pelo sistema de amortização constante. A taxa 
praticada pelo banco foi de 9% a. m. Construa a tabela demonstrativa dos 
pagamentos. 
 
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 80.000,00 - - - 
1 66.666,67 13.333,33 7.200,00 20.533,33 
2 53.333,34 13.333,33 6.000,00 19.333,33 
3 40.000,00 13.333,33 4.800,00 18.133,33 
4 26.666,68 13.333,33 3.600,00 16.933,33 
5 13.333,35 13.333,33 2.400,00 15.733,33 
6 13.333,35 1.200,00 14.533,35 
Total 80.000,00 25.200,00 105.200,00 
 
 
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BIBLIOGRAFIA 
 
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BONORA JÚNIOR, Dorival. Matemática financeira. 2. ed. São Paulo: Ícone, 2008. 
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