Matemática Financeira na Calculadora HP 12C

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Matemática Financeira na 
Calculadora HP 12C 
A HP-12C é considerada a ferramenta ideal para 
quem precisa fazer cálculos financeiros de forma 
simples e eficaz. 
Características do seu sistema é programável, 
apresenta vários tipos de memorias e utiliza o 
RPN Reserv Polish notation -notação polonesa 
reversa, pilha operacional ambos viabilizados em 
conjunto proporciona a realização de operações 
completas. 
CÁLCULOS ENCADEADOS 
Inserir os dados de tudo de uma vez ao invés de 
realizar por etapas, por isso os elementos devem 
ser inseridos antes da colocação do cálculo, ou 
seja, colocamos primeiros os dados e depois o 
sinal da operação. 
 
 
A maioria das Teclas daa HP12C pode realizar 
mais de uma função. 
Para a ultilização das 
funções em branco que 
são as principais/ 
primarias e só utilizar as 
teclas correspondentes. 
 
Para utilizar a função 
secundaria em amarelo 
pressione a tecla F e em 
seguida as funções 
desejada. 
 
Para as funçoes em azul 
pressione a tecla G e em 
sseguida a função 
desejada. 
PILHA OPERACIONAL 
A pilha operacional é um artigo macro formado 
por 4 sub-arquivos X, Y, Z e T, esses arquivos são 
responsaveis pelo armazenamento dos dados das 
operações. 
O que é visto no visor é o sub-arquivo X,com esses 
sub-arquivos possibilita a realização de calculos 
maiores. 
Os calculos são processados entre X e Y 
Além disso a HP 12C trabalha com memoria 
constante ou seja não apaga os dados 
armazenados mesmo quando o aparelho é 
desligado. 
20 Memorias estão disponiveis em resistradores 
que vão de 0 a 9 e .0 a .9 
Para registrar 40 no registrador 3 digite 40 a tecla 
sto e a tecla 3 para registrar 89 no registrador 1 
digite o valor sto 1 e para recuperar os dados RCL 
3/RCL 1. 
Na calculadora hp cada tecla da calculadora 
pode ter mais de uma função: 
 
 
 
 
CÁLCULOS EM DÓLAR OU REAL 
A separação de dígitos é programada inicialmente 
para cálculos em dólar (US$). . 
 
Para adaptá-la à nossa moeda local (R$), desligue 
a calculadora, aperte [.] e, mantendo a tecla 
pressionada, ligue novamente a HP12-C 
teclando [on]. 
TABULAÇÃO DE CASAS DECIMAIS 
Para fixar uma quantidade de casas decimais, de 
0 a 9, é só pressionar a tecla [f] e o botão do 
número correspondente à quantidade desejada 
de casas. 
LIMPEZA DE REGISTROS 
Para limpar o número que está no visor, pressione 
a tecla [CLX]. Se você quiser limpar todos os 
registros, digite [f] e [CLX]. 
INVERSÃO ENTRE VALORES 
Para passar valores da memória X para a Y, ou 
vice-versa, basta pressionar [x<>y]. . 
 
Essa função é importante porque a HP-12C tem 
quatro memórias para a mesma conta e só é 
possível acionar a tecla [ENTER] três vezes em 
sequência. 
 
Ou seja, nem sempre é possível armazenar os 
números para, depois, fazer as operações. 
MEMORIA PARA USO POSTERIOR 
Além das quatro memórias para uso imediato (X, 
Y, Z e T), acionadas com a tecla [ENTER], a HP-12C 
tem mais 20 memórias, cuja finalidade é 
armazenar números para uso posterior. 
 
Estamos falando das memórias [STO], que vão de 
0 a 9 e de [.] 0 a [.] 9. . 
 
Para armazenar um valor, digite-o, pressione a 
tecla [STO] e o número da memória que será 
usada. Caso queira recuperar a memória, 
aperte [RCL] e o número dela. 
ADAPTAÇÃO AOS JUROS COMPOSTOS 
Em uma operação, quando o prazo não for um 
número inteiro, a HP-12C deve estar ajustada 
para convenção exponencial (juros compostos). 
Do contrário, trabalha-se na convenção linear 
(juros simples). . 
 
Para garantir o funcionamento correto nesses 
casos, basta verificar se a letra C aparece no visor. 
Se não constar, pressione [STO] [EEX]. 
 
 
 
POR DENTRO DA PORCENTAGEM 
Porcentagem é uma medida de razão com base 
100. Sendo assim expressa uma proporção entre 
dois valores – um inteiro 100% e uma parte do 
inteiro. 
Na HP- 12C, existem três fórmulas básicas: 
PORCENTAGEM SIMPLES 
Saber 14% de 300 = 42 
 
VARIAÇÃO PERCENTUAL 
Foi realizado um investimento de R$ 12.000 que 
agora vale R$ 14.400. Qual a Variação Percentual? 
Resultado 20 % 
 
PORCENTAGEM DO TOTAL 
O rendimento de R$ 2.400 equivale a quantos 
por cento do investimento inicial de R$ 12.000? 
Resultado 20% 
 
CALCULO DATAS 
Com a HP-12C é possível calcular datas futuras e 
passadas, descobrir em qual dia da semana caiu 
ou cairá determinada data, além de saber quantos 
dias há entre duas datas. 
Fórmulas: 
 
 
Importante 
Antes de realizar essas operações de 
calendário deve se pressionar as teclas [g] 
[4] que ativam o formato calendário 
brasileiro, caso preferir o americano aperte 
[g] [5]. 
 
Os dias da semana são representados em 
números de forma sequencial: Segunda (1); 
Terça (2); Quarta (3); Quinta (4); Sexta (5); 
Sábado (6); Domingo (7). 
 
DATA FUTURA 
Você emprestou dinheiro para sua sogra no dia 
16/12/2013. Como o trato era ela pagar em 45 
dias, descubra como calcular a data de 
vencimento? 
 
 
 
 
DATA PASSADA 
Utilizando o exemplo anterior, se o prazo para o 
pagamento da dívida feita em 30/01/2014 foi de 
45 dias, como calcular a data do empréstimo. 
 
 
 
DIA DA SEMANA 
É utilizado para saber se determinado dia cai 
numa segunda, sábado, domingo... 
Para descobrir que dia da semana caiu 
06/01/2014 
 
VARIAÇÃO DE DIAS ENTRE DATAS 
É utilizado quando queremos calcular um período 
entre duas datas. 
Considere 01/06/2013 como início e 
30/12/2013 como data final. 
 
 
 
 
 
 
Calcule a data e o dia da semana em que 
vence uma aplicação financeira efetuada em 
25/ 10/ 2013 e que tem prazo de 140 dias? 
 
 
 
 
 
 
Joaozinho comprou um cachorro no dia 
05/08/2009 e após 48 dias, teve que leva-
lo ao veterinário. Qual a data da consulta? 
 
 
 
 
 
 
 
Maria retornou às aulas de inglês em 
17/09/2013 e terminou o primeiro módulo 
no dia 16/12/2013. Quantos dias durou 
essa etapa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
POTENCIAÇÃO OU EXPONENCIAÇÃO 
Na Potência o número subscrito à direita do outro 
indica a quantidade de vezes que a base deve ser 
multiplicada por ela mesma. 
Na HP- 12 C, a formula é: 
 
POTENCIA NORMAL 
Para saber 4⁵= 1.024 
 
POTÊNCIA E FRAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular o inverso de um numero, 
basta pressionar a tecla [1/x] 
JUROS 
As taxas de juros são consideradas em dois 
regimes de capitalização: simples ou composto. 
TAXA E VALOR DOS JUROS 
Os Juros são recebidos ou pagos no fim de um 
determinado período. Essa unidade de tempo 
(dia, mês, ano ...) é o que determina a chamada 
taxa de juros. 
Para calcular utiliza se a seguinte fórmula: 
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 – 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 = 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
 
A taxa de juros é geralmente representada na 
forma Percentual (i) e para saber seu valor em 
dinheiro (j) usa a expressão 
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑛 
𝑱 = 𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 
𝑪 = 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 
𝒊 = 𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝑱𝒖𝒓𝒐𝒔 
𝒏 = 𝑷𝒓𝒂𝒛𝒐 
 
TAXA DE JUROS 
Foi realizado um empréstimo de R$ 120 a ser 
resgatado por R$ 134,40 no fim do ano, qual 
a taxa de juros cobrada? 
Resposta: 
Capital Inicial = R$ 120,00 
Capital Final = R$ 134,40 
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 – 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 
134,40 − 120,00 = 14,40 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 = 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
 
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 = 
14,40 
120,00 
= 0,12 
Para converter em percentual, multiplica por 
100 = 12% 
DECIMAL OU PERCENTUAL 
5% DE R$ 3.500 
 
 
DESCOBRIR O JUROS 
Uma aplicação de R$ 420 a uma taxa de 1,5% ao 
mês, considerando o prazo de 3 meses o valor dos 
juros seria: 
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 420 × 0,015 × 3 
𝐽 = 18,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você resolveu aplicar R$5.000 durante 3 meses. 
Quanto receberá de juros sabendo que a taxa é de 
1% a.m? 
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 5.000 × 0,01 × 3 
𝐽 = 150 
 
Você aplicou R$ 3.800 a uma taxa de 0,98% a. m 
durante três meses. Quanto recebeu de juros? 
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑛 
𝐽 = 3.800 × 0,0098 × 3 
𝐽 = 111,72 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES OU LINEAR 
Na capitalização simples, a taxa de juros incide 
sobre o capital inicial, ou sejam no valor que você 
paga ou aplica. 
Nesse regime, a taxa varia linearmente com o 
tempo, por isso, prazo e taxa devem ter a mesma 
unidade de tempo. O cálculo de conversão da taxa 
de um período para outo é simples. 
 
CONVERTA A TAXA MENSAL EM ANUAL 
 É só multiplicar por 12 
Por exemplo: Taxa mensal 2% a.m, para taxa 
anual é : 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑨𝒏𝒖𝒂𝒍 = 2 × 𝟏𝟐 = 24% 
CONVERTA A TAXA MENSAL EM DIÁRIA 
Basta dividir por 30 
Por exemplo: Taxa mensal 6% a.m, para taxa 
diária é: 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑫𝒊𝒂𝒓𝒊𝒂 = 6 ÷ 𝟑𝟎 = 0,20 % 𝑎. 𝑑 
AJUSTE O PRAZO 
Para deixar o prazo na mesma unidade de tempo 
da taxa, divida-o pelo número equivalente ao 
período desejado. 
Taxa = 6% a.m 
Prazo = 60 dias 
Prazo para meses 
𝑷𝒓𝒂𝒛𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 = 60 ÷ 𝟑𝟎(𝑑𝑖𝑎𝑠) 
= 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
AJUSTE A TAXA 
Para deixar a taxa na mesma unidade de tempo do 
prazo, multiplique- a pelo número equivalente ao 
período desejado 
Taxa = 6% a.m 
Prazo = 60 dias 
Taxa para Dias 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑎𝑜 𝒅𝒊𝒂 = 6 ÷ 𝟑𝟎(𝑑𝑖𝑎𝑠) = 0,20% 𝑎. 𝑑 
CÁLCULO DO CAPITAL 
 
A fórmula de cálculo do valor de juros (J), 
também é usada para calcular o capital (C). 
 
𝐶 =
𝐽
𝑖 × 𝑛
 
𝐽 = 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 
𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 
𝑛 = 𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 
VALOR DA APLICAÇÃO 
Para receber R$ 18,90 de juros em 3 meses, 
considerando uma taxa de 1,5 % a.m quanto você 
precisa aplicar hoje? 
𝐶 =
𝐽
𝑖 × 𝑛
 
𝐶 =
18,90
0,015 × 3
= 420 
 
Para obter R$ 200 mensais, quanto você 
precisa aplicar a uma taxa de 1% a.a? 
𝐶 =
𝐽
𝑖 × 𝑛
 
𝐶 =
200
0,01 × 1
= 20.000 
Quanto você deve aplicar hoje à taxa de 
1,20% a.m para comprar, daqui a 4 meses, 
uma batedeira de R$ 210 somente com 
valor dos juros? 
𝐶 =
𝐽
𝑖 × 𝑛
 
𝐶 =
210
0,0120 × 4
= 4.375 
 
 
 
 
 
Para receber R$ 200,00 mensais somente de 
juros, quanto você precisa aplicar à taxa de 
0,5% a.m? 
𝐶 =
𝐽
𝑖 × 𝑛
 
𝐶 =
200
0,005 × 1
= 40.000 
 
CÁLCULO DA TAXA 
O calculo da Taxa utiliza os mesmos elementos da 
formula de juros, alterando apenas a sua ordem e 
a operação aritmética. 
𝒊 =
𝑱
𝑪 × 𝒏
 
Aplicar R$ 420 por 3 meses e teve um rendimento 
de R$ 18,90. Qual a taxa de juros mensal ? 
𝒊 =
𝑱
𝑪 × 𝒏
 
𝒊 =
𝟏𝟖, 𝟗𝟎
𝟒𝟐𝟎 × 𝟑
= 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 
𝒊 = 𝟏, 𝟓 % 𝒂. 𝒎 
Pagou uma maquina de lavar roupa em 284 
dias, o que gerou R$ 467,36 de juros. Se o 
preço à vista era R$ 800, qual a taxa de 
juros cobrada ao mês? 
𝒊 =
𝑱
𝑪 × 𝒏
 
𝒊 =
𝟒𝟔𝟕, 𝟑𝟔
𝟖𝟎𝟎 × 𝟗, 𝟒𝟕
 
𝒊 =
𝟒𝟔𝟕, 𝟑𝟔
𝟖𝟎𝟎 × 𝟗, 𝟒𝟕
 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟏𝟕 
𝒊 = 𝟔, 𝟏𝟕% 
 
Você comprou uma geladeira a frase cujo 
prazo, cujo o preço à vista era R$1.136. Se 
o prazo de pagamento foi de 284 dias e os 
juros ficaram em R$ 437,36, qual a taxa 
cobrada ao mês? 
𝒊 =
𝑱
𝑪 × 𝒏
 
𝒊 =
𝟒𝟔𝟕, 𝟑𝟔
𝟏. 𝟏𝟑𝟔 × 𝟗. 𝟒𝟔𝟔𝟕
 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟑𝟓 
𝒊 = 𝟒, 𝟑𝟓% 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DO PRAZO 
Da mesma forma que você calcula a taxa de juros 
(i), você descobre o prazo (n). Para isso, é só 
inverter alguns elementos da fórmula: 
 
𝒏 = 
𝑱
𝑪 × 𝒊
 
Imagine que você aplicou R$ 420 à taxa de 
1,5% a.m, que rendeu R$ 18,90. Qual o 
prazo dessa aplicação? 
𝒏 = 
𝑱
𝑪 × 𝒊
 
𝒏 = 
𝟏𝟖, 𝟗𝟎
𝟒𝟐𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟏𝟓
 
𝒏 = 𝟑 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
 
Quanto tempo você levaria para aplicar R$ 
32.000 à taxa de 3,90% ao trimestre para 
receber R$ 2.080 de juros? 
𝑛 = 
𝐽
𝐶 × 𝑖
 
𝑛 = 
2.080
32.000 × 0,0130
 
𝑛 = 5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em quantos meses você receberia R$ 1.600 
de juros, se aplicasse R$ 20.000 à taxa de 
3% ao trimestre? 
𝑛 = 
𝐽
𝐶 × 𝑖
 
𝑛 = 
1.600
20.000 × 0,010
 
𝑛 = 8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MONTANTE 
O montante (M), também conhecido por valor 
futuro (FV), é a soma do capital inicial (C) mais os 
juros (J) do período, ou seja, trata-se do valor final 
de uma aplicação. 
Há duas formas de calculá-lo: uma quando se 
conhece o valor em dinheiro dos juros e, a outra, 
nos casos em que se sabe apenas a taxa. Para isso, 
use as fórmulas: 
Cálculo com o valor dos Juros 
𝑴 = 𝑪 + 𝑱 
Calculo com a taxa de Juros 
𝑴 = 𝑪 ( 𝟏 + 𝒊 × 𝒏) 
Na hp-12c, considere o M como FV (valor 
futuro) e o C como PV (valor presente). Com 
as letras alteradas, a fórmula fica um pouco 
diferente: 
FV = PV (1 + i X n). 
 
VALOR DO MONTANTE 
Você fez uma aplicação durante 3 meses de R$ 
420 à taxa de juros de 1,5% a.m. Qual é o valor 
final do seu investimento? 
Sabendo o valor dos Juros: 
C = R$ 420 
n = 3 meses 
i = 1,5% a.m 
J = 18,50 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
𝑀 = 420 + 18,50 
𝑀 = 438,90 
 
Sabendo apenas a taxa: 
C = R$ 420 
n = 3 meses 
i = 1,5% a.m 
𝑴 = 𝑪 ( 𝟏 + 𝒊 × 𝒏) 
𝑴 = 𝟒𝟐𝟎 ( 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 × 𝟑) 
𝑴 = 𝟒𝟑𝟖, 𝟗𝟎 
Lorena aplicou R$500 por 5 meses à taxa de 
juros de 1,80%a.m. Qual é o valor do 
montante que ela recebeu? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ( 1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝐹𝑉 = 500( 1 + 0,018 × 5) 
𝐹𝑉 = 545 
Qual é o montante (FV) da aplicação de 
R$1.800 (PV) realizado por 8 meses a taxa 
de 2% a.m? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ( 1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝐹𝑉 = 1.800 ( 1 + 0,02 × 8) 
𝐹𝑉 = 2.088 
 
 
 
 
 
 
Qual é o valor resgatado do investimento de 
R$2.127 aplicado por 92 dias a taxa de 
1,50% a.m? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ( 1 + 𝑖 × 𝑛) 
𝐹𝑉 = 2.127 ( 1 + 0,0005 × 92) 
𝐹𝑉 = 2.224,8420 
 
VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE 
O valor atual ou valor presente (PV) nada mais é 
do que o capital inicial (C) que gera um montante 
(FV) quando aplicado a uma taxa (i). 
Se quiser saber o valor necessário para uma 
aplicação, por exemplo, basta usar esta fórmula: 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖 × 𝑛)
 
 
VALOR ATUAL DA APLICAÇÃO 
Quando José precisa aplicar hoje à taxa de 1,80% 
a.m par resgatar R$545 daqui a 5 meses? 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖 × 𝑛)
 
𝑃𝑉 =
545
(1 + 0,018 × 5)
 
𝑃𝑉 = 500 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descubra o valor de um título, aplicado hoje à taxa 
de 1,25% a.m, rende R$3.520 daqui a 90 dias? 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖 × 𝑛)
 
𝑃𝑉 =
3.520
(1 + 0,0125 × 3)
 
𝑃𝑉 = 3.392,77 
Qual é o valor presente de um financiamento que 
aplicado por 45 dias à taxa de 3,50% ao bimestre 
tem como resgatar o valor de R$14.230? 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖 × 𝑛)
 
𝑃𝑉 =
14.230
(1 + 0,0350 × 0,75)
 
𝑃𝑉 = 13.866,02 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA OU 
EXPONENCIAL 
Diferentemente do que você já aprendeu até aqui 
com a capitalização simples, no regime de 
capitalização composta ou exponencial a taxa de 
juros incide sempre sobre o capital inicial (C), 
acrescido dos juros acumulados até o período 
anterior. 
 
Pois bem, como os juros são capitalizados sobre 
os juros formados anteriormente, recebem o 
nome de juros compostos. 
MONTANTE DE UM CAPITAL 
Na capitalização composta, o cálculo do montante 
é resultado de um raciocínio que considera, a 
partir da capitalização simples, o cálculo mês a 
mês. 
 
A partir disso, chegamos à fórmula genérica em 
que (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de 
capital (FAC) ou fator de capitalização para 
pagamento único. 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑁 
Nos juros compostos não é possível dividir 
ou multiplicar a taxa, portanto, para igualar 
prazo e taxa é preciso alterar o prazo. 
 
O VALOR DO MONTANTE 
Se você fizesse uma aplicação de R$ 1.000 durante 
3 meses à taxa de 5%, o valor do montante seria 
de: 
Entenda como é a lógica deste cálculo feito mês a 
mês a partir da capitalização simples FV = PV (1 
+ i x n): 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑁 
𝐹𝑉 = 1.000 (1 + 0,05)3 
𝐹𝑉 = 1.157,63 
 
 
 
 
 
1) Você precisa de R$1.000 para comprar varas 
de pesca e coletes salva-vidas para as próximas 
férias. Se você aplicar R$ 950 à taxa de 2,23% a.m., 
terá o valor suficiente para a compra daqui a 3 
meses? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑁 
𝐹𝑉 = 950 (1 + 0,0223)3 
𝐹𝑉 = 1.014,98 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um amigo pediu para você calcular quanto ele 
precisa para quitar uma dívida de R$ 2.050, 
contraída há 60 dias à taxa de 5,50% a.m. Que 
valor você disse a ele? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑁 
𝐹𝑉 = 2.050 (1 + 0,0550)2 
𝐹𝑉 = 2.281,70 
 
CÁLCULO DO VALOR ATUAL 
Aqui você calcula o valor inicial da aplicação, ou 
seja, quanto precisa investir hoje para resgatar 
determinado valor no futuro. 
Chamado também de valor presente (PV), essa 
quantia corresponde ao valor do investimento em 
uma data inferior à do vencimento, ou seja, em 
qualquer dia, não necessariamente na data zero. 
𝑃𝑉 = 
𝐹𝑉
(1 + 𝑖 )𝑛
 
QUAL É O VALOR ATUAL 
Quanto o Sr. Márcio precisa aplicar hoje à taxa de 
5% a.m. para obter R$ 1.157,63 daqui a 3 meses? 
𝑃𝑉 = 
𝐹𝑉
(1 + 𝑖 )𝑛
 
𝑃𝑉 = 
1.157,63
(1 + 0,05)3
 
𝑃𝑉 = 1.000,00 
1) Um amigo deseja obter R$ 4.680 daqui a 6 
meses. Quanto ele precisa aplicar hoje à taxa de 
2,197 % ao trimestre? 
𝑃𝑉 = 
𝐹𝑉
(1 + 𝑖 )𝑛
 
𝑃𝑉 = 
4.680
(1 + 0,02197)2
 
𝑃𝑉 = 4.480,94 
2) Para comemorar sua formação daqui a 2 
semestres, você pretende dar uma festa a 
parentes e amigos. Como ela custa R$ 10.520, 
quanto você precisa aplicar hoje à taxa de 1,2% 
a.m. para pagá-la? 
𝑃𝑉 = 
𝐹𝑉
(1 + 𝑖 )𝑛
 
𝑃𝑉 = 
10.520
(1 + 0,012 )12
 
𝑃𝑉 = 9.116,95 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES FINANCEIRAS 
Com as funções financeiras da sua HP-12C é 
possível resolver, no regime de capitalização 
composta, qualquer problema que implique em 
um ou mais pagamentos iguais. 
Os valores inseridos na calculadora devem estar 
de acordo com a convenção de sinais 
estabelecidos para fluxos de caixa, ou seja, [+] 
para entradas e [-] para saídas. 
 
Prazo e taxa devem estar sempre na mesma 
unidade de tempo. Se esquecer de trocar o 
sinal do PV, o resultado do FV fica negativo. 
Para corrigir, basta trocar o sinal do 
resultado. 
Agora, se você quiser calcular a taxa (i) ou 
o prazo (n), um dos valores inseridos na 
calculadora deve ser negativo. Caso 
contrário, não é possível calcular. 
 
 
Use sua HP-12C Quanto é possível resgatar (FV) 
se você aplicar R$ 1.000 (PV) à taxa de 5% a.m. 
durante 3 meses? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑁 
𝐹𝑉 = 1.000(1 + 0,05)3 
𝐹𝑉 = 1.157,63 
 
 
 
 
DESCUBRA O VALOR ATUAL 
Quanto você precisa aplicar hoje à taxa de 5% a.m. 
para resgatar R$ 1.157,63 daqui a 3 meses? 
𝑃𝑉 = 
𝐹𝑉
(1 + 𝑖 )𝑛
 
𝑃𝑉 = 
1.157,63
(1 + 0,05 )3
 
𝑃𝑉 = 1.000,00 
 
 
 
1) Se você aplicar R$ 1.000 durante 3 meses, qual 
é a taxa de juros necessária para conseguir 
resgatar R$ 1.157,63? 
 
𝑴 = 𝑪 + 𝑱 
𝟏. 𝟏𝟓𝟕, 𝟔𝟑 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 + 𝑱 
𝑱 = 𝟏𝟓𝟕, 𝟔𝟑 
𝒊 =
𝑱
𝑪 × 𝒏
 
𝒊 =
𝟏𝟓𝟕, 𝟔𝟑
𝟏. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟑
 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝒐𝒖 𝟓% 
 
 
2) Quanto tempo você levaria para resgatar R$ 
1.157,63, se você aplicasse R$ 1.000 à taxa de 5% 
a.m.? 
𝑴 = 𝑪 + 𝑱 
𝟏. 𝟏𝟓𝟕, 𝟔𝟑 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 + 𝑱 
𝑱 = 𝟏𝟓𝟕, 𝟔𝟑 
 
𝒏 = 
𝑱
𝑪 × 𝒊
 
𝒏 = 
𝟏𝟓𝟕, 𝟔𝟑
𝟏. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟓
 
𝒏 = 3,15 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
DIFERENTES, MAS COM RESULTADOS 
IGUAIS 
São chamadas de equivalentes as taxas que, 
considerado o mesmo período e capital inicial, 
rendem o mesmo valor no final da aplicação. 
Se você quer saber a taxa equivalente de um 
investimento, por exemplo, não é necessário ter o 
valor do capital inicial. Para isso, basta aplicar a 
fórmula genérica e calculá-la para qualquer 
número de dias: 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑜 
𝑖𝑡 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑜 
𝑞 = 𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑜 
𝑡 = 𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛ℎ𝑜 
Por ser uma fórmula algébrica, você deve 
trabalhar a taxa em sua forma decimal, ou 
seja, dividida por 100. 
 
 
 
 
 
O MONTANTE 
Se você tem um capital de R$ 100 para aplicar por 
12 meses, você pode escolher tanto 5,5% a.m. 
quanto 90,12% a.a. como taxa para resgatar o 
mesmo valor final. 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑁 
𝐹𝑉 = 100 (1 + 0,055)12 
𝐹𝑉 =190,12 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑁 
𝐹𝑉 = 100 (1 + 0,9012)1 
𝐹𝑉 =190,12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com um capital inicial de R$ 200 aplicado por 1 
ano à taxa de 2% a.m. ou 26,8242% a.a. é possível 
ter o mesmo rendimento de R$ 253,65. 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑁 
𝐹𝑉 = 200 (1 + 0,02)12 
𝐹𝑉 = 253,65 
 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑁 
𝐹𝑉 = 200(1 + 0,268242)1 
𝐹𝑉 =253,65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANUAL EQUIVALENTE A DIAS 
 
Descubra como calcular a taxa anual de 2% a.m. 
para 360 dias 
 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 0,02)
360
30 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 26,82 
ANUAL EQUIVALENTE A MESES 
Agora, vamos calcular a taxa anual de 2% a.m. 
para 12 meses. Para isso, basta elevar a 12 na 
fórmula sem considerar a fração, pois o 
resultado de 12 ÷ 1 é 12. 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 0,02)
12
1 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 26,82% 
MENSAL EQUIVALENTE A DIAS 
Acompanhe o quanto é fácil calcular a taxa 
mensal partindo de 26,8242% a.a. (360 dias): 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 0,268242)
30
360 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 2% 𝑎. 𝑚 
 
Como o período de 35 dias não corresponde 
a um mês cheio, você deve trabalhar com a 
quantidade de dias. 
 
1) Descubra a taxa equivalente a 2% a.m. para 35 
dias. 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 0,02)
35
30 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 2,3372 
2) Dada a taxa de 2,48% a.m., calcule a taxa 
equivalente anual. 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 0,0248)
360
30 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 34,1743 % 
 
 
3) Calcule a taxa equivalente mensal de 60% a.a. 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 0,60)
30
360 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 3,99% 𝑎. 𝑚 
4) Descubra a taxa equivalente trimestral de 
20% a.a. 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 0,20)
90
360 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 4,66% 𝑎. 𝑡. 
 
 
 
 
5) Você recebeu uma mala-direta do concorrente 
informando que a rentabilidade anual de uma 
aplicação é de 18,5% a.a. No Bradesco, uma 
aplicação similar oferece rentabilidade de 1,5% 
a.m. Qual é a melhor opção? 
 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 0,185)
30
360 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 1,4246% 𝑎. 𝑚 
 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = [ ( 1 + 0,015)
360
30 − 1] × 100 
𝑖𝑞 = 19,5618 a.a 
 
 
PRESTAÇÕES OU RENDAS 
Tratam-se de uma sucessão de pagamentos ou 
recebimentos com vencimentos periódicos e 
constantes. 
Os vencimentos são periódicos quando têm 
períodos iguais e constantes nos casos em que os 
valores são iguais. 
 
PRESTAÇÕES POSTECIPADAS 
São aquelas em que o pagamento é feito no final 
do primeiro período. É o caso, por exemplo, de 
você tomar a decisão de começar uma poupança 
hoje, mas para fazer o primeiro depósito daqui a 
30 dias. 
 
Caso esteja pagando prestações postecipadas e 
queira calcular o valor do montante de uma renda 
(FV), use estas fórmulas: 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒎ê𝒔 𝒂 𝒎ê𝒔 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑛 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒄𝒐𝒎 𝑷𝒂𝒓𝒄𝒆𝒍𝒂𝒔 𝑰𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 {
[ ( 1 + 𝑖 )𝑛 − 1 ]
𝑖
} 
 
COMO É O CÁLCULO MÊS A MÊS 
Imagine que daqui a 4 meses você tem uma 
viagem de férias para o Caribe. Para juntar um 
bom dinheiro até lá, você se propõe a aplicar R$ 
1.000 mensais a uma taxa de juros de 1% a.m., 
considerando o primeiro depósito para o fim do 
mês. Descubra quanto pode gastar na viagem. 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑛 
 𝐹𝑉 = 1.000 (1 + 0,01)1 
𝐹𝑉 = 1.010,00 
𝐹𝑉 = 2.010 (1 + 0,01)1 
𝐹𝑉 = 2.030,10 
𝐹𝑉 = 3.030 (1 + 0,01)1 
𝐹𝑉 = 2.010 (1 + 0,01)1 
𝐹𝑉 = 3.060,30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MONTANTE DE UMA SÉRIE DE PARCELAS 
IGUAIS 
O cálculo anterior foi feito mês a mês para ficarmais fácil de entender como tudo funciona. Esse 
mesmo exemplo, no entanto, tem uma fórmula 
específica para chegar ao resultado final (FV), 
pois a aplicação sugerida tem valores iguais: R$ 
1.000 por mês durante 4 meses. 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 {
[ ( 1 + 𝑖 )𝑛 − 1 ]
𝑖
} 
𝐹𝑉 = 1.000 {
[ ( 1 + 0,01 )4 − 1 ]
0,01
} 
𝐹𝑉 = 4.060,40 
 
1) Quanto você precisa aplicar hoje na poupança 
à taxa real de juros 0,5% a.m. para sacar R$ 150 
mensalmente durante 10 anos? 
10 anos para meses = multiplica por 12 = 120 
meses 
 
2) Você decidiu fazer um planejamento da sua 
aposentadoria e aplicou R$ 200. Como deseja 
continuar esse investimento mensal por 20 anos 
à taxa real de juros de 0,7%a.m., qual o valor do 
montante? 
 
20 anos para meses = 12 = 240 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 {
[ ( 1 + 𝑖 )𝑛 − 1 ]
𝑖
} 
𝐹𝑉 = 200 {
[ ( 1 + 0,007 )240 − 1 ]
0,007
} 
𝐹𝑉 = 123.835,56 
 
 
 
3) Em vez de comprar uma televisão agora, você 
resolveu guardar o dinheiro e comprá-la à vista 
daqui a 5 meses. Se o valor de R$ 800 não for 
alterado, quanto precisa aplicar mensalmente à 
taxa de 1% a.m.? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 {
[ ( 1 + 𝑖 )𝑛 − 1 ]
𝑖
} 
800 = 𝑃𝑀𝑇 {
[ ( 1 + 0,01 )5 − 1 ]
0,01
} 
800 = 𝑃𝑀𝑇 {5,10} 
800/5,10 = 𝑃𝑀𝑇 
𝑃𝑀𝑇 = 156,83 
VALOR PRESENTE DE UMA RENDA 
É a extração da taxa de juros embutida no valor de 
cada parcela. Quando o cálculo é feito para 
prestações, não podemos esquecer que cada uma 
vence em um período diferente, portanto os juros 
embutidos são diferentes em cada período. 
Para descobrir o valor presente de uma renda 
(PV), aplique esta fórmula para cada parcela: 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
O CÁLCULO DO PV PELA ÁLGEBRA 
Imagine que você ganhou uma viagem ao redor do 
mundo por 4 meses. Durante sua ausência, deseja 
que seu filho saque R$ 1.000 a cada mês para seus 
gastos pessoais. Quanto é preciso aplicar hoje 
(valor presente) à taxa de 1% a.m. para que isso 
aconteça? 
 
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
(1 + 𝑖)𝑛
 
𝑃𝑉 =
1.000
(1 + 0,01)1
+
1.000
(1 + 0,01)2
+
1.000
(1 + 0,01)3
1.000
(1 + 0,01)4
 
𝑃𝑉 = 990,10 + 980,30+ 970,59 + 960,98 
𝑃𝑉 = 3.901,97 
OUTRA FORMA DE CALCULAR 
Você também consegue saber o valor presente ao 
aplicar esta fórmula: 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 {
[ 1 − ( 1 + 𝑖 )−𝑛]
𝑖
} 
𝑃𝑉 = 1.000 {
[ 1 − ( 1 + 0,01 )−4]
0,01
} 
𝑃𝑉 = 3.901,97 
 
 
1. Um semestre do seu curso de inglês custa R$ 
900 à vista e você tem a opção de pagá-lo em 5 
vezes de R$ 200. Qual a taxa mensal de juros? 
 
 
 
 
 
 
VALOR DE UMA PRESTAÇÃO OU RENDA 
Para saber o valor de uma parcela com os juros, 
aplique esta fórmula: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 {
𝑖
[1 − (1 + 𝑖)−𝑛]
} 
 
PARCELA DE UM EMPRÉSTIMO 
Calcule o valor de cada parcela de um empréstimo 
correspondente a R$ 3.901,97, a ser pago em 4 
vezes a taxa de juros de 1%a.m. 
𝑃𝑀𝑇 = 3.901,97 {
0,01
[1 − (1 + 0,01)−4]
} 
𝑃𝑀𝑇 = 1.000,00 
 
 
1) Você quer financiar um apartamento que custa 
R$ 250.000 à vista. Como o prazo de pagamento é 
de 15 anos e a taxa de juros da construtora é de 
0,9489% a.m., qual é o valor das prestações? 
𝑃𝑀𝑇 = 250.000 {
0,009489
[1 − (1 + 0,009489)−180]
} 
𝑃𝑀𝑇 = 2.902,51 
 
PRESTAÇÕES ANTECIPADAS 
Quando se compra ou financia um bem, muitas 
vezes é preciso dar uma entrada, além de parcelar 
o valor restante. Essa parcela inicial é chamada de 
antecipada. 
Para calculá-la, você usa a seguinte fórmula: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 {
𝑖
( 1 + 𝑖) × [ 1 − (1 + 𝑖)−𝑛]
} 
 
Você fez um financiamento de R$ 3.000 para 
comprar um computador. Para isso, deu uma 
entrada e parcelou o restante em 11 vezes à taxa 
de juros de 1,5% a.m. Aprenda a calcular o valor 
de cada parcela: 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 {
𝑖
( 1 + 𝑖) × [ 1 − (1 + 𝑖)−𝑛]
} 
𝑃𝑀𝑇
= 3.000 {
0,015
( 1 + 0,015) × [ 1 − (1 + 0,015)−12]
} 
𝑃𝑀𝑇 = 3.000 {
0,015
(1,015) × [ 1 − (1,015)−12]
} 
𝑃𝑀𝑇 = 3.000 {
0,015
(1,015) × [ 0,163613]
} 
𝑃𝑀𝑇 = 3.000 {
0,015
0,166067
} 
𝑃𝑀𝑇 = 270,98 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma calculadora HP-12C custa R$ 145,45 à vista 
e pode ser paga em 3 vezes de R$ 54,07. 
Considerando que o primeiro pagamento 
aconteceu no ato da compra, qual a taxa de juros 
mensal incidida nas demais parcelas? 
 
 
 
 
 
 
 
1) Você resolveu comprar uma bicicleta 
ergométrica e, entre as opções pesquisadas, 
encontrou uma por R$ 530 à vista ou uma entrada 
mais sete prestações de R$ 77,37. Qual a taxa de 
juros cobrada pela loja? 
 
Atenção: a tecla G BEG, tem a função de 
antecipar a primeira parcela, dispensando, 
neste caso, a subtração do valor de entrada. 
Lembrando que só vale quando o valor da 
entrada é igual ao valor das parcelas. 
 
2) Você quer comprar uma televisão que custa R$ 
800 à vista. Como achou caro, o vendedor 
ofereceu o pagamento em cinco parcelas iguais, 
considerando uma entrada de R$ 180. Qual a taxa 
mensal de juros? 
 
TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
É aquela que equaliza o valor presente de um ou 
mais pagamentos com o valor presente de um ou 
mais recebimentos. 
Ela é muito usada na avaliação e viabilidade de 
projetos e quando não é possível usar as funções 
financeiras normais (PV, PMT, FV, i e n), face os 
valores das parcelas e/ou o prazo entre cada 
parcela forem desiguais. 
Como você pode ter um fluxo de caixa inicial que 
representa o valor do investimento, empréstimo 
ou financiamento, e diversos fluxos futuros que 
representam as receitas, aplique a fórmula: 
𝐹𝑐𝑜 = 
𝐹𝑐1
( 1 + 𝑖 )
+
𝐹𝑐2
( 1 + 𝑖 )2
+ ⋯ +
𝐹𝑐𝑛
( 1 + 𝑖 )𝑛
 
IMPORTANTE 
O fluxo de caixa deve ser respeitado, ou 
seja, você deve trocar o sinal das entradas 
ou das saídas. 
 
Uma transportadora analisa a compra de um 
caminhão no valor de R$ 103.000, já prevendo as 
receitas líquidas dos próximos 5 anos estimadas 
em R$ 30.000, R$ 35.000, R$ 32.000, R$ 28.000, e 
R$ 20.000. No final, espera vender o caminhão por 
R$ 17.000. Qual a taxa interna de retorno? 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tecla cfo para informar o cash flow zero, 
ou valor inicial. Quando o valor inicial é 
zero, deve-se inserir o "zero" e pressionar 
a tecla cfo. Daí em diante, utiliza-se sempre 
a tecla cfj para informar o fluxo de caixa . 
 
TAXA TRIMESTRAL 
Se você fizer um empréstimo de R$ 20.000 a ser 
pago em 4 trimestres, qual a taxa de juros deste 
fluxo irregular? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como pode perceber, neste exemplo há 
duas parcelas iguais e sucessivas. Sendo 
assim, você pode informar normalmente no 
[PMT] ou repetir por duas vezes usando o 
[FV] 
 
 
 
 
TAXA MENSAL 
Para descobrir a taxa mensal do mesmo 
empréstimo de R$ 20.000, você deve informar as 
entradas e saídas mensais. Caso alguns períodos 
não tenham valores, insira o zero. 
 
Existem fluxos com períodos irregulares, 
ou seja, não são trimestrais e nem mensais. 
Quando não é possível igualar os períodos, 
informe os valores a cada dia, e não 
existindo entrada ou saída, informe zero. 
 
1) Imagine um financiamento em que o preço à 
vista do bem é de R$ 15.000. Calcule a taxa de 
juros mensal considerando a forma de pagamento 
a seguir: R$ 1.500 no 1º mês, R$ 4.500 no 3º mês, 
R$ 9.000 no 4º mês e R$ 6.000 no 6º e último mês. 
 
A IRR é a taxa descontada aplicada a todos 
os futuros fluxos de caixa que resultam em 
NPV = 0 
 
 
 
COEFICIENTES 
Os vendedores de algumas lojas usam uma tabela 
com índices pré-estabelecidos para calcular as 
prestações de produtos? Tratam-se de 
coeficientes que facilitam a realização de cálculos. 
Com eles, você faz uma simples multiplicação e já 
descobre o valor da parcela ou o valor final de um 
empréstimo ou financiamento. 
Neste módulo, você descobre como esse cálculo é 
feito para diferentes tipos de pagamento. 
CÁLCULO EM PAGAMENTO ÚNICO 
Se você fizer uma compra e o pagamento for 
realizado de uma vez, ou seja, em apenas uma 
prestação, independentemente do prazo, use a 
fórmula de capitalização composta para saber o 
valor final. 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑛O coeficiente é o resultado de(1 + 𝑖)𝑛. 
 
PAGAMENTO EM 30 DIAS 
Aprenda a calcular o valor de uma compra a ser 
paga depois de 30 dias. Seu valor à vista é de R$ 
650,00 e a taxa de juros de 5,5% a.m. 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 650 (1 + 0,055)1 
𝐹𝑉 = 685,75 
 
Por ser uma fórmula algébrica, você deve 
trabalhar a taxa em sua forma decimal, ou 
seja, dividida por 100. 
 
CÁLCULO DO COEFICIENTE 
Para calcular o coeficiente de uma compra para a 
qual você não sabe o valor presente (PV), na 
calculadora basta inserir o número 1 em seu 
lugar. Acompanhe o exemplo com uma taxa de 
juros de 5,5% a.m. 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 (1 + 𝑖)𝑛 
𝐹𝑉 = 1 (1 + 𝑖)1 
 
CÁLCULO EM PAGAMENTO PARCELADO 
Agora que você já sabe calcular o coeficiente para 
um pagamento único, aprenda a calcular quando 
houver várias parcelas. 
É simples: multiplique o coeficiente 
correspondente ao número de prestações pelo 
valor à vista. Caso não saiba o valor da compra, 
apenas o número de parcelas e os juros, use sua 
HP-12C para descobrir o coeficiente. Na 
calculadora, basta inserir o número 1 no lugar do 
valor. 
 
Qual o valor das parcelas (três vezes sem entrada) 
de uma impressora cujo valor à vista seria R$ 650, 
com taxa de 5,5% a.m? 
Primeiro devemos descobrir o coeficiente: 
Agora é só multiplicar o valor à vista pelo 
coeficiente: 
650 × 0,370654 = 240,93 
Importante 
Como este cálculo é para saber o valor das 
prestações, você deve usar a tecla PMT. 
Lembre-se de que o valor presente (PV) é 
sempre 1 quando não souber o valor. 
 
Qual é o cálculo se a mesma impressora de R$ 650 
for paga em 5 parcelas, com uma entrada de R$ 
144,28 e a taxa de juros de 5,5% a.m.? 
Primeiro vamos descobrir o coeficiente: 
 
As teclas G BEG foram ativadas, pois a 
primeira parcela é no ato 
Agora é só multiplicar o valor à vista pelo 
coeficiente: 
650 × 0,221968 = 144,28 
 
 
 
 
 
1) Qual o coeficiente usado pelos vendedores 
para uma compra parcelada em 6 vezes sem 
entrada à taxa de 7% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
2) Qual o coeficiente utilizado por uma loja para o 
parcelamento em 10 vezes com entrada à taxa de 
7% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
3) Qual coeficiente utilizado por uma loja para 
pagamento em cheque de 45 dias à taxa de 3,5% 
a.m.? 
 
4) Se você tiver um coeficiente de 0,531716 para 
pagamento em 2 parcelas sem entrada, qual a taxa 
de juros mensal? 
 
DESCONTO 
A operação de desconto é bastante simples: trata-
se da diferença entre o valor presente (PV) e 
futuro (FV) de um título, ou seja, o valor 
descontado de uma quantia. 
Assim como no caso dos juros, o valor do desconto 
também está associado a uma taxa e a um 
determinado período de tempo, no qual: 
n = prazo d = taxa de desconto i = taxa de 
juros. 
Para cada cálculo, você aplica uma fórmula: 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝑫𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒐 
𝑫 = 𝑭𝑽 × 𝒅 × 𝒏 
 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐 
𝑷𝑽 = 𝑭𝑽 − 𝑫 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒋𝒖𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒑𝒆𝒓Í𝒐𝒅𝒐 
𝒊 = [
𝑭𝑽
𝑷𝑽
 − 𝟏 ] × 𝟏𝟎𝟎 
𝒊 = 
𝑫
𝑷𝑽
 × 𝟏𝟎𝟎 
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒋𝒖𝒓𝒐𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 
𝒊𝒒 = [( 𝟏 + 𝒊𝒕
𝒒
𝒕 − 𝟏 ] × 𝟏𝟎𝟎 
 
Nestes tipos de operações, a taxa de 
desconto do período incide sobre o valor 
futuro (FV) e a taxa de juros incide sobre o 
valor descontado. 
VALOR DO DESCONTO 
Uma duplicata no valor de R$ 2.000 foi 
descontada 21 dias antes do seu vencimento, e a 
taxa de desconto cobrada pelo banco foi de 4% 
a.m. Aprenda a calcular o valor do desconto: 
𝑫 = 𝑭𝑽 × 𝒅 × 𝒏 
𝑫 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 ×
𝟎, 𝟎𝟒
𝟑𝟎
 × 𝟐𝟏 
𝑫 = 𝟓𝟔 
VALOR DESCONTADO 
Considerando a mesma duplicata do exemplo 
anterior, saiba como calcular o valor descontado: 
𝑷𝑽 = 𝑭𝑽 − 𝑫 
𝑷𝑽 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟔 
𝑷𝑽 = 𝟏. 𝟗𝟒𝟒, 𝟎𝟎 
TAXA DE JUROS DO PERÍODO 
Agora, descubra como calcular a taxa de juros do 
período da mesma duplicata de R$ 2.000, que foi 
descontada 21 dias antes do seu vencimento à 
taxa de desconto de 4% a.m. 
𝒊 = [
𝑭𝑽
𝑷𝑽
 − 𝟏 ] × 𝟏𝟎𝟎 
𝑖 = [
2.000
1.994
 − 1 ] × 100 
𝑖 = 2,8807% 
Outra forma de calcular: 
𝑖 = 
𝐷
𝑃𝑉
 × 100 
𝑖 = 
56
1.944
 × 100 
𝑖 = 2,8807% 
TAXA DE JUROS MENSAL 
Seguindo o mesmo exemplo da duplicata de R$ 
2.000, aprenda a calcular a taxa de juros mensal: 
𝑖𝑞 = [( 1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 − 1 ] × 100 
𝑖30 = [( 1 + 0,028807) 
30
21 − 1 ] × 100 
𝑖30 = 4,1405 
Se você souber apenas o valor do desconto, a taxa 
de desconto pode ser descoberta desta forma: 
𝑑 = 
𝐷
𝐹𝑉
 × 100 
𝑑 = 
56
2.000
 × 100 
𝑑 = 2,80 % no período 
2,80 ÷ 21 × 30 = 4% 𝑎. 𝑚 
1) Um aparelho de DVD custa R$ 260 à vista e R$ 
280 para pagamento em 30 dias. Sabendo que o 
valor do desconto é de R$ 20 (280 - 260 = 20), 
calcule a taxa de juros (i). 
𝑑 = 
𝐷
𝐹𝑉
 × 100 
𝑑 = 
20
260
 × 100 
𝑑 = 7, 69 
2) Considerando a compra do mesmo aparelho de 
DVD do exercício anterior, calcule a taxa de 
desconto (d). 
𝑑 = 
𝐷
𝐹𝑉
 × 100 
𝑑 = 
20
280
 × 100 
𝑑 = 7,14 
 
3) Um cliente foi ao banco descontar uma 
duplicata de R$ 500. Como o título vence daqui a 
45 dias e a taxa de desconto é de 5% a.m., qual é a 
taxa de juros (i)? 
𝐷 = 𝐹𝑉 × 𝑑 × 𝑛 
𝐷 = 500 ×
0,05
30
 × 45 
𝐷 = 37,50 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 − 𝐷 
𝑃𝑉 = 500 − 37,50 
𝑃𝑉 = 462,50 
 
𝑖 = [
𝐹𝑉
𝑃𝑉
 − 1 ] × 100 
𝑖 = [
500
462,50
 − 1 ] × 100 
𝑖 = 8,11 ao período de 45 dias 
𝑖 = 
𝐷
𝑃𝑉
 × 100 
𝑖 = 
37,50
462,50
 × 100 
𝑖 = 8,11 % 
4) Uma duplicata no valor de R$ 700, com 
vencimento para 60 dias, foi descontada à taxa de 
3% a.m. Calcule sua taxa de juros (i). 
𝐷 = 𝐹𝑉 × 𝑑 × 𝑛 
𝐷 = 700 ×
0,03 
30
× 60 
𝐷 = 42 
 
𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 − 𝐷 
𝑃𝑉 = 700 − 42 
𝑃𝑉 = 658 
 
𝑖 = 
𝐷
𝑃𝑉
 × 100 
𝑖 = 
42
658
 × 100 
𝑖 = 6,38% 𝑎𝑜 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 
5) Sabendo que um título de R$ 1.250 foi 
descontado e que R$ 45 correspondem ao valor 
do desconto, calcule a taxa de desconto. 
𝑑 = 
𝐷
𝐹𝑉
 × 100 
𝑑 = 
45
1.250
 × 100 
𝑑 = 3,60 % 𝑎𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 
 
 
CONCEITO DE TAXAS DE JUROS 
Investimentos e empréstimos financeiros estão 
sempre relacionados a taxas de juros, por isso, seu 
estudo é essencial na matemática financeira. 
Conheça os conceitos trabalhados: 
TAXA EFETIVA 
É aquela paga ou recebida em função do valor 
colocado à disposição do banco ou do cliente na 
data da operação. 
TAXA NOMINAL 
Pode coincidir com a taxa efetiva em alguns casos 
e tem duas aplicações básicas: 
1. É aquela em que a unidade de referência de 
tempo não coincide com a do período de 
capitalização. Exemplo: 6% a.a com capitalização 
mensal, pois 6 dividido por 12 = 0,5 a.m. 
2. É aquela calculada com base no valor nominal 
de uma aplicação ou empréstimo, ou seja, com 
base no valor do título ou do contrato. 
Para descobri-la, basta usar esta fórmula: 
𝑖𝑁 = [( 1 + 𝑖𝑅) × ( 1 + 𝐼𝑁𝐹𝐿 ) − 1 ] × 100 
TAXA REAL 
É aquela calculada com base no valor 
efetivamente aplicado ou emprestado, ou seja, 
não considera o efeito inflacionário. Para isso, 
aplique a fórmula a seguir: 
𝑖𝑅 [
1 + 𝑖𝑁
1 + 𝐼𝑛𝑓𝑙
− 1 ] × 100 
 
Imagine que, há um ano, você fez uma aplicação 
de R$ 1.000. Hoje, o saldo desse investimento é de 
R$ 1.180. Saiba como é calculada a taxa efetiva ou 
nominal, pois neste caso elas coincidem. 
 
Considerando o mesmo exemplo anterior, agora 
você descobre como é feito o cálculo da taxa real. 
Para isso, vamos supor que a inflação durante o 
ano foi de 8% e que: 
iN = taxa nominal = 18% 
infl = taxa de inflação = 8% 
iR = taxa real = ? 
𝑖𝑅 [
1 + 𝑖𝑁
1 + 𝐼𝑛𝑓𝑙
− 1 ] × 100 
𝑖𝑅 [
1 + 0,18
1 + 0,08
− 1 ] × 100 
𝑖𝑅 = 9,26% 
 
 
 
 
Ainda considerando uma aplicação de R$ 1.000 e 
um saldo de R$ 1.180 após um ano, e tendo em 
mãos os resultados da taxa nominal e a taxa real 
do exemplo anterior, aprenda a calcular a taxa de 
inflação: 
 𝑰𝒏𝒇𝒍 [
𝟏 + 𝒊𝑵
𝟏 + 𝒊𝑹
− 𝟏 ] × 𝟏𝟎𝟎 
𝑰𝒏𝒇𝒍 [
𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟖
𝟏+ 𝟎, 𝟎𝟗𝟐𝟔
− 𝟏 ] × 𝟏𝟎𝟎 
𝑰𝒏𝒇𝒍 = 𝟖, % 
Para este exemplo, considere que você tem 
informações apenas da taxa de inflação e da taxa 
real. Calcule a taxa nominal. 
𝑖𝑁 = [( 1 + 𝑖𝑅) × ( 1 + 𝐼𝑁𝐹𝐿 ) − 1 ] × 100 
𝑖𝑁 = [( 1 + 0,0926) × ( 1 + 0,08 ) − 1 ] × 100 
𝑖𝑁 = 18% 
1) Considere que a aplicação na poupança está 
com uma taxa de juros real de 0,5% a.m. e que a 
TR de janeiro de 2014 é de 0,2350%. Agora, 
calcule a taxa nominal. 
𝒊𝑵 = [( 𝟏 + 𝒊𝑹) × ( 𝟏 + 𝑰𝑵𝑭𝑳 ) − 𝟏 ] × 𝟏𝟎𝟎 
𝒊𝑵 = [( 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓) × ( 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟑𝟓𝟎 ) − 𝟏 ] 
× 𝟏𝟎𝟎 
𝒊𝑵 = 𝟎, 𝟕𝟑𝟔𝟐% 
2) Você quer comprar uma geladeira em uma loja 
que cobra uma taxa de juros nominal de 4% a.m. 
em seus financiamentos. Caso a taxa de inflação 
seja de 1% a.m., qual a taxa de juros real? 
𝑖𝑅 [
1 + 𝑖𝑁
1 + 𝐼𝑛𝑓𝑙
− 1 ] × 100 
𝑖𝑅 [
1 + 0,04
1 + 0,01
− 1 ] × 100 
𝑖𝑅 = 2,9703%