Aula 10 Aplicação da Lei de Gauss em simetrias

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Note	que,	se	tivéssemos	usado	um	cubo	gaussiano,	em	vez	de	respeitar	a	simetria	esférica	do	problema	usando	uma	esfera
gaussiana,	o	módulo	e	o	ângulo	do	campo	elétrico	seriam	diferentes	em	cada	ponto	da	superfície	do	cubo	e	o	cálculo	da	integral
se	tornaria	extremamente	difícil.
Exemplo	23.04			Uso	da	lei	de	Gauss	para	determinar	uma	carga	elétrica
Qual	é	a	carga	elétrica	envolvida	pelo	cubo	gaussiano	do	Exemplo	23.02?
IDEIA-CHAVE
A	 carga	 envolvida	 por	 uma	 superfície	 fechada	 (real	 ou	 imaginária)	 está	 relacionada	 ao	 fluxo	 elétrico	 total	 que	 atravessa	 a
superfície	pela	lei	de	Gauss,	dada	pela	Eq.	23-6	(ε0Φ	=	qenv).
Fluxo: 	Para	usar	a	Eq.	23-6,	precisamos	conhecer	o	fluxo	que	atravessa	as	seis	faces	do	cubo.	Já	conhecemos	o	fluxo	que
atravessa	a	face	direita	(Φd	=	36	N	·	m2/C),	o	fluxo	que	atravessa	a	face	esquerda	(Φe	=	–12	N	·	m2/C)	e	o	fluxo	que	atravessa	a	face
de	cima	(Φc	=	16	N	·	m2/C).
O	cálculo	do	fluxo	que	atravessa	a	face	de	baixo	é	igual	ao	cálculo	do	fluxo	que	atravessa	a	face	de	cima,	exceto	pelo	fato	de
que,	agora,	o	vetor	área	d 	aponta	para	baixo,	no	sentido	negativo	do	eixo	y	(lembre-se	de	que	o	vetor	área	sempre	aponta	para
fora	da	superfície	de	Gauss).	Nesse	caso,	d 	=	–	dAĵ	e
Φb	=	16	N	·	m2/C.
No	caso	da	face	dianteira,	d 	=	dA ,	e	no	caso	da	fase	traseira,	d 	=	–dA .	Quando	calculamos	o	produto	escalar	do	campo
elétrico	 	=	3,0xî	+	4,0ĵ	por	esses	vetores	área,	o	resultado	é	zero	e,	portanto,	o	fluxo	elétrico	através	das	duas	faces	é	nulo.	O
fluxo	total	através	das	seis	faces	é,	portanto,
Φ = (36	–	12	+	16	–	16	+	0	+	0)	N	·	m2/C
	 = 24	N	·	m2/C.
Carga	envolvida: 	Finalmente,	usamos	a	lei	de	Gauss	para	calcular	a	carga	qenv	envolvida	pelo	cubo:
Assim,	o	cubo	envolve	uma	carga	total	positiva.
23-3	UM	CONDUTOR	CARREGADO
Objetivos	do	Aprendizado
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Máquina de escrever
AULA 10
Depois	de	ler	este	módulo,	você	será	capaz	de	...
23.14	Usar	a	relação	entre	a	densidade	superficial	de	carga	σ	e	a	área	da	superfície	para	calcular	a	carga	de	um	condutor.
23.15	 Saber	 que,	 se	 uma	 carga	 em	 excesso	 (positiva	 ou	 negativa)	 for	 introduzida	 em	 um	 condutor	 isolado,	 a	 carga	 se
acumulará	na	superfície;	o	interior	do	condutor	permanecerá	neutro.
23.16	Conhecer	o	valor	do	campo	elétrico	no	interior	de	um	condutor	isolado.
23.17	 No	 caso	 de	 um	 condutor	 com	 uma	 cavidade	 que	 contém	 um	 objeto	 carregado,	 determinar	 a	 carga	 na	 superfície	 da
cavidade	e	na	superfície	externa	do	condutor.
23.18	 Explicar	 de	 que	 forma	 a	 lei	 de	Gauss	 é	 usada	 para	 determinar	 o	módulo	E	 do	 campo	 elétrico	 nas	 proximidades	 da
superfície	de	um	condutor	com	uma	densidade	superficial	de	carga	uniforme	σ.
23.19	No	caso	de	uma	superfície	uniformemente	carregada	de	um	condutor,	conhecer	a	relação	entre	a	densidade	superficial	de
carga	σ	e	o	módulo	E	do	campo	elétrico	nas	vizinhanças	do	condutor	e	a	 relação	entre	o	sinal	da	carga	e	o	sentido	do
campo	elétrico.
Ideias-Chave
•	Todas	as	cargas	em	excesso	de	um	condutor	isolado	se	concentram	na	superfície	externa	do	condutor.
•	O	campo	no	 interior	do	um	condutor	carregado	é	zero	e	o	campo	elétrico	nas	proximidades	do	condutor	é	perpendicular	à
superfície	e	tem	um	módulo	proporcional	à	densidade	superficial	de	carga:
Um	Condutor	Carregado
A	lei	de	Gauss	permite	demonstrar	um	teorema	importante	a	respeito	dos	condutores:
Se	 uma	 carga	 em	 excesso	 é	 introduzida	 em	 um	 condutor,	 a	 carga	 se	 concentra	 na	 superfície	 do	 condutor;	 o	 interior	 do	 condutor
permanece	neutro.
Esse	comportamento	dos	condutores	é	razoável,	já	que	cargas	do	mesmo	sinal	se	repelem.	A	ideia	é	que,
ao	se	acumularem	na	superfície,	as	cargas	em	excesso	se	mantêm	afastadas	o	máximo	possível	umas	das
outras.	Podemos	usar	a	lei	de	Gauss	para	demonstrar	matematicamente	essa	afirmação.
A	Fig.	23-11a	mostra	uma	vista	em	corte	de	um	pedaço	de	cobre,	pendurado	por	um	fio	 isolante,
com	 uma	 carga	 em	 excesso	 q.	 Colocamos	 uma	 superfície	 gaussiana	 logo	 abaixo	 da	 superfície	 do
condutor.
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
Figura	23-11 	(a)	Um	pedaço	de	cobre,	com	uma	carga	q,	pendurado	por	um	fio	isolante.	Uma	superfície	gaussiana	é	colocada	logo	abaixo
da	superfície	do	condutor.	(b)	O	pedaço	de	cobre	agora	possui	uma	cavidade.	Uma	superfície	gaussiana	é	colocada	no	interior	do	condutor,
perto	da	superfície	da	cavidade.
O	campo	elétrico	no	interior	do	condutor	deve	ser	nulo;	se	não	fosse	assim,	o	campo	exerceria	uma
força	sobre	os	elétrons	de	condução	(elétrons	livres),	que	estão	sempre	presentes	em	um	condutor,	e	isso
produziria	uma	corrente	elétrica.	 (Em	outras	palavras,	haveria	um	movimento	de	cargas	no	 interior	do
condutor.)	Como	não	pode	haver	uma	corrente	perpétua	em	um	condutor	que	não	faz	parte	de	um	circuito
elétrico,	o	campo	elétrico	deve	ser	nulo.
(Um	campo	elétrico	interno	existe	durante	certo	tempo,	enquanto	o	condutor	está	sendo	carregado.
Entretanto,	 a	carga	adicional	 logo	se	distribui	de	 tal	 forma	que	o	campo	elétrico	 interno	se	anula	e	as
cargas	 param	 de	 se	 mover.	 Quando	 isso	 acontece,	 dizemos	 que	 as	 cargas	 estão	 em	 equilíbrio
eletrostático.)
Se	 	é	zero	em	todos	os	pontos	do	interior	do	pedaço	de	cobre,	deve	ser	zero	em	todos	os	pontos	da
superfície	gaussiana,	já	que	a	superfície	escolhida,	embora	esteja	próxima	da	superfície,	fica	no	interior
do	pedaço	de	cobre.	Isso	significa	que	o	fluxo	que	atravessa	a	superfície	gaussiana	também	é	zero.	De
acordo	 com	 a	 lei	 de	Gauss,	 portanto,	 a	 carga	 total	 envolvida	 pela	 superfície	 de	Gauss	 deve	 ser	 nula.
Como	o	 excesso	de	 carga	 não	 está	 no	 interior	 da	 superfície	 de	Gauss,	 só	 pode	 estar	 na	 superfície	 do
condutor.
Um	Condutor	Carregado	com	uma	Cavidade	Interna
A	Fig.	23-11b	mostra	o	mesmo	condutor,	agora	com	uma	cavidade	interna.	É	talvez	razoável	supor	que,
ao	removermos	o	material	eletricamente	neutro	para	formar	a	cavidade,	não	mudamos	a	distribuição	de
carga	nem	a	configuração	dos	campos	elétricos,	que	continuam	sendo	as	mesmas	da	Fig.	23-11a.	Vamos
usar	a	lei	de	Gauss	para	demonstrar	matematicamente	essa	conjectura.
Colocamos	uma	superfície	gaussiana	envolvendo	a	cavidade,	próximo	da	superfície,	no	interior	do
condutor.	Como	 	=	0	no	interior	do	condutor,	o	fluxo	através	dessa	superfície	também	é	nulo.	Assim,	a
superfície	 não	 pode	 envolver	 nenhuma	 carga.	 A	 conclusão	 é	 que	 não	 existe	 carga	 em	 excesso	 na
superfície	da	cavidade;	toda	a	carga	em	excesso	permanece	na	superfície	externa	do	condutor,	como	na
Fig.	23-11a.
Remoção	do	Condutor
Suponha	que,	por	um	passe	de	mágica,	fosse	possível	“congelar”	as	cargas	em	excesso	na	superfície	do
condutor,	talvez	revestindo-as	com	uma	fina	camada	de	plástico,	e	que	o	condutor	pudesse	ser	removido
totalmente.	Isso	seria	equivalente	a	aumentar	a	cavidade	da	Fig.	23-11b	até	que	ocupasse	todo	o	condutor.
O	campo	elétrico	não	sofreria	nenhuma	alteração;	continuaria	a	ser	nulo	no	 interior	da	fina	camada	de
carga	e	permaneceria	o	mesmo	em	todos	os	pontos	do	exterior.	Isso	mostra	que	o	campo	elétrico	é	criado
pelas	 cargas	 e	 não	 pelo	 condutor;	 este	 constitui	 apenas	 um	 veículo	 para	 que	 as	 cargas	 assumam	 suas
posições	de	equilíbrio.
O	Campo	Elétrico	Externo
Vimos	 que	 as	 cargas	 em	 excesso	 de	 um	 condutor	 isolado	 se	 concentram	na	 superfície	 do	 condutor.	A
menos	que	o	condutor	seja	esférico,	porém,	essas	cargas	não	se	distribuem	de	modo	uniforme.	Em	outras
palavras,	no	caso	de	condutores	não	esféricos,	a	densidade	superficial	de	carga	σ	(carga	por	unidade	de
área)	 varia	 ao	 longo	 da	 superfície.	 Em	 geral,	 essa	 variação	 torna	 muito	 difícil	 determinar	 o	 campo
elétrico	 criado	 por	 cargas	 superficiais,	 a	 não	 ser	 nas	 proximidades	 da	 superfície,	 pois,	 nesse	 caso,	 o
campo	elétrico	pode	ser	determinado	com	facilidade	usando	a	lei	de	Gauss.	Para	isso,	consideramos	uma
região	 da	 superfície	 suficientemente	 pequena	 para	 que	 possamos	 desprezar	 a	 curvaturae	 usamos	 um
plano	para	 representar	a	 região.	Em	seguida,	 imaginamos	um	pequeno	cilindro	gaussiano	engastado	na
superfície,	como	na	Fig.	23-12:	Uma	das	bases	está	do	lado	de	dentro	do	condutor,	a	outra	base	está	do
lado	de	fora,	e	o	eixo	do	cilindro	é	perpendicular	à	superfície	do	condutor.
Figura	23-12 	 (a)	Vista	 em	 perspectiva	 e	 (b)	 vista	 lateral	 de	 uma	 pequena	 parte	 de	 um	 condutor	 de	 grande	 extensão	 com	 uma	 carga
positiva	na	 superfície.	Uma	superfície	gaussiana	cilíndrica,	 engastada	perpendicularmente	no	condutor,	 envolve	parte	das	cargas.	Linhas	de
campo	elétrico	atravessam	a	base	do	cilindro	que	está	do	lado	de	fora	do	condutor,	mas	não	a	base	que	está	do	lado	de	dentro.	A	base	que
está	do	lado	de	fora	tem	área	A	e	o	vetor	área	é	 .
O	campo	elétrico	 	na	superfície	e	logo	acima	da	superfície	também	é	perpendicular	à	superfície.
Se	não	fosse,	ele	teria	uma	componente	paralela	à	superfície	do	condutor	que	exerceria	forças	sobre	as
cargas	 superficiais,	 fazendo	 com	 que	 elas	 se	 movessem.	 Esse	 movimento,	 porém,	 violaria	 nossa
suposição	 implícita	 de	 que	 estamos	 lidando	 com	 um	 corpo	 em	 equilíbrio	 eletrostático.	 Assim,	 	 é
perpendicular	à	superfície	do	condutor.
Vamos	agora	calcular	o	fluxo	através	da	superfície	gaussiana.	Não	há	fluxo	através	da	base	que	se
encontra	dentro	do	condutor,	já	que,	nessa	região,	o	campo	elétrico	é	nulo.	Também	não	há	fluxo	através
da	superfície	lateral	do	cilindro,	pois	do	lado	de	dentro	do	condutor	o	campo	é	nulo	e	do	lado	de	fora	o
campo	elétrico	é	paralelo	à	superfície	lateral	do	cilindro.	Assim,	o	único	fluxo	que	atravessa	a	superfície
gaussiana	é	o	que	atravessa	a	base	que	se	encontra	fora	do	condutor,	em	que	 	é	perpendicular	ao	plano
da	base.	Supomos	que	a	área	da	base,	A,	é	suficientemente	pequena	para	que	o	módulo	E	do	campo	seja
constante	em	toda	a	base.	Nesse	caso,	o	fluxo	através	da	base	do	cilindro	é	EA	e	esse	é	o	fluxo	total	Φ
que	atravessa	a	superfície	gaussiana.
A	carga	qenv	envolvida	pela	superfície	gaussiana	está	na	superfície	do	condutor	e	ocupa	uma	área	A.
Se	σ	é	a	carga	por	unidade	de	área,	qenv	é	igual	a	σA.	Quando	substituímos	qenv	por	σA	e	Φ	por	EA,	a	lei	de
Gauss	(Eq.	23-6)	se	torna
ε0EA	=	σA,
e,	portanto,
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
Assim,	o	módulo	do	campo	elétrico	logo	acima	da	superfície	de	um	condutor	é	proporcional	à	densidade
superficial	de	carga	do	condutor.	Se	a	carga	do	condutor	é	positiva,	o	campo	elétrico	aponta	para	fora	do
condutor,	como	na	Fig.	23-12;	se	é	negativa,	o	campo	elétrico	aponta	para	dentro	do	condutor.
As	linhas	de	campo	da	Fig.	23-12	devem	terminar	em	cargas	negativas	externas	ao	condutor.	Quando
aproximamos	 essas	 cargas	 do	 condutor,	 a	 densidade	 de	 carga	 local	 na	 superfície	 do	 condutor	 é
modificada,	o	que	também	acontece	com	o	módulo	do	campo	elétrico,	mas	a	relação	entre	σ	e	E	continua
a	ser	dada	pela	Eq.	23-11.
	Exemplo	23.05			Casca	metálica	esférica,	campo	elétrico	e	carga
A	Fig.	23-13a	mostra	uma	seção	reta	de	uma	casca	metálica	esférica	de	raio	interno	R.	Uma	partícula	com	uma	carga	de	–5,0	μC
está	 situada	 com	 o	 centro	 a	 uma	 distância	 R/2	 do	 centro	 da	 casca.	 Se	 a	 casca	 é	 eletricamente	 neutra,	 quais	 são	 as	 cargas
(induzidas)	na	superfície	interna	e	na	superfície	externa?	Essas	cargas	estão	distribuídas	uniformemente?	Qual	é	a	configuração	do
campo	elétrico	do	lado	de	dentro	e	do	lado	de	fora	da	casca?
IDEIAS-CHAVE
A	Fig.	23-13b	mostra	uma	seção	reta	de	uma	superfície	gaussiana	esférica	no	 interior	do	metal,	perto	da	superfície	 interna	da
casca.	O	 campo	elétrico	 é	 zero	no	 interior	 do	metal	 (e,	 portanto,	 na	 superfície	gaussiana,	 que	está	no	 interior	 do	metal).	 Isso
significa	que	o	fluxo	elétrico	através	da	superfície	gaussiana	também	é	zero.	De	acordo	com	a	lei	de	Gauss,	portanto,	a	carga	total
envolvida	pela	superfície	gaussiana	é	zero.
Raciocínio: 	Como	existe	uma	carga	de	–5,0	μC	no	interior	da	casca,	deve	haver	uma	carga	de	+5,0	μC	na	superfície	interna
da	casca	para	que	a	carga	envolvida	seja	zero.	Se	a	partícula	estivesse	no	centro	de	curvatura	da	casca,	as	cargas	positivas	estariam
distribuídas	uniformemente	ao	longo	da	superfície	interna	da	casca.	Como,	porém,	a	partícula	está	fora	do	centro,	a	distribuição
de	carga	positiva	é	assimétrica,	 como	mostra	a	Fig.	23-13b;	 as	 cargas	positivas	 tendem	a	 se	 concentrar	na	parte	da	 superfície
interna	que	está	mais	próxima	da	partícula	(já	que	a	carga	da	partícula	é	negativa).
Como	a	casca	é	eletricamente	neutra,	para	que	a	superfície	interna	tenha	uma	carga	de	+5,0	μC	é	preciso	que	elétrons,	com
uma	carga	total	de	–5,0	μC,	sejam	transferidos	da	superfície	interna	para	a	superfície	externa,	onde	se	distribuem	uniformemente,
como	mostra	 a	 Fig.	 23-13b.	 A	 distribuição	 de	 carga	 negativa	 é	 uniforme	 porque	 a	 casca	 é	 esférica	 e	 porque	 a	 distribuição
assimétrica	 de	 carga	 positiva	 na	 superfície	 interna	 não	 pode	 produzir	 um	 campo	 elétrico	 no	 interior	 do	 metal	 para	 afetar	 a
distribuição	de	carga	na	superfície	externa.
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
Figura	 23-13 	 (a)	 Uma	 partícula	 com	 carga	 negativa	 está	 situada	 no	 interior	 de	 uma	 casca
metálica	 esférica	 eletricamente	 neutra.	 (b)	 Em	 consequência,	 cargas	 positivas	 se	 distribuem	 de
modo	 assimétrico	 na	 superfície	 interna	 da	 casca,	 e	 uma	 quantidade	 igual	 de	 carga	 negativa	 se
distribui	uniformemente	na	superfície	externa.
A	Fig.	23-13b	mostra	também	as	linhas	de	campo	do	lado	de	dentro	e	do	lado	de	fora	da	casca.	Todas	as	linhas	de	campo
interceptam	perpendicularmente	as	superfícies	da	casca	e	a	superfície	da	partícula.	Do	lado	de	dentro	da	casca,	a	configuração	de
linhas	de	campo	é	assimétrica	por	causa	da	assimetria	da	distribuição	de	carga	positiva.	Do	lado	de	fora,	o	padrão	é	o	mesmo	que
se	 a	 carga	 pontual	 estivesse	 no	 centro	 de	 curvatura	 e	 a	 casca	 não	 existisse.	 Na	 verdade,	 a	 configuração	 seria	 a	mesma	 para
qualquer	posição	da	carga	pontual	no	interior	da	casca.
23-4	APLICAÇÕES	DA	LEI	DE	GAUSS:	SIMETRIA	CILÍNDRICA
Objetivos	do	Aprendizado
Depois	de	ler	este	módulo,	você	será	capaz	de	...
23.20	Explicar	como	a	lei	de	Gauss	pode	ser	usada	para	calcular	o	módulo	do	campo	elétrico	do	lado	de	fora	de	uma	linha	de
carga	ou	do	lado	de	fora	da	superfície	de	um	cilindro	de	material	isolante	(uma	barra	de	plástico,	por	exemplo)	com	uma
densidade	linear	de	carga	uniforme	λ.
23.21	Conhecer	a	relação	entre	a	densidade	linear	de	carga	λ	em	uma	superfície	cilíndrica	e	o	módulo	E	do	campo	elétrico	a
uma	distância	r	do	eixo	central	da	superfície	cilíndrica.
23.22	 Explicar	 como	a	 lei	 de	Gauss	 pode	 ser	 usada	 para	 calcular	 o	módulo	E	 do	 campo	elétrico	no	 interior	 de	 um	 cilindro
isolante	(uma	barra	de	plástico,	por	exemplo)	com	uma	densidade	volumétrica	de	carga	uniforme	ρ.
Ideia-Chave
•	O	campo	elétrico	em	um	ponto	nas	proximidades	de	uma	linha	de	carga	(ou	barra	cilíndrica),	de	comprimento	infinito,	com	uma
densidade	linear	de	carga	uniforme	λ	é	perpendicular	à	linha,	e	o	módulo	do	campo	é	dado	por
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Retângulo
em	que	r	é	a	distância	entre	o	ponto	e	a	linha.
Aplicações	da	Lei	de	Gauss:	Simetria	Cilíndrica
A	Fig.	23-14	mostra	uma	parte	de	uma	barra	de	plástico	cilíndrica,	de	comprimento	 infinito,	com	uma
densidade	 linear	 uniforme	 de	 carga	 positiva	 λ.	 Vamos	 obter	 uma	 expressão	 para	 o	módulo	 do	 campo
elétrico	 	a	uma	distância	r	do	eixo	da	barra.	Poderíamos	fazer	 isso	usando	o	método	do	Capítulo	22
(usar	uma	carga	elementar	dq,	que	produziria	um	campo	elementar	d ,	etc.).	Entretanto,	a	lei	de	Gauss
permite	resolver	o	problema	deuma	forma	muito	mais	simples	(e	mais	elegante).
Figura	23-14 	Uma	superfície	gaussiana	cilíndrica	envolvendo	parte	de	uma	barra	de	plástico	cilíndrica,	de	comprimento	infinito,	com	uma
densidade	linear	uniforme	de	carga	positiva.
A	distribuição	de	carga	e	a	configuração	do	campo	elétrico	têm	simetria	cilíndrica.	Para	calcular	o
campo	a	uma	distância	r,	envolvemos	um	trecho	da	barra	com	um	cilindro	gaussiano	concêntrico,	de	raio
r	e	altura	h.	(Para	determinar	o	campo	elétrico	em	um	ponto,	devemos	fazer	a	superfície	gaussiana	passar
por	esse	ponto.)	Em	seguida,	usamos	a	lei	de	Gauss	para	relacionar	a	carga	envolvida	pelo	cilindro	ao
fluxo	total	do	campo	elétrico	através	da	superfície	do	cilindro.
Para	começar,	observe	que,	por	causa	da	simetria,	o	campo	elétrico	em	qualquer	ponto	do	espaço
aponta	radialmente	para	longe	da	barra	(porque	a	carga	da	barra	é	positiva;	se	a	carga	fosse	negativa,	o
campo	elétrico	apontaria	radialmente	para	o	eixo	da	barra).	Isso	significa	que,	nas	bases	do	cilindro,	o
campo	elétrico	é	paralelo	à	superfície	e,	portanto,	o	fluxo	através	das	bases	do	cilindro	é	zero.
Para	calcular	o	fluxo	através	da	superfície	lateral	do	cilindro,	note	que,	em	todos	os	elementos	de
área	 da	 superfície	 lateral,	 o	 vetor	 área	 d 	 aponta	 radialmente	 para	 longe	 do	 cilindro	 (para	 fora	 da
superfície	 gaussiana),	 ou	 seja,	 na	mesma	direção	 e	 no	mesmo	 sentido	que	o	 campo	 elétrico.	Assim,	 o
produto	escalar	que	aparece	na	 lei	de	Gauss	é	simplesmente	E	dA	cos	0o	=	E	dA,	e	podemos	passar	E
A. Heilmann
Retângulo
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Retângulo
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Linha
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Retângulo
A. Heilmann
Seta
para	 fora	da	 integral.	A	 integral	 restante	 é	 simplesmente	uma	 receita	 para	 somar	 as	 áreas	de	 todos	os
elementos	de	área	da	superfície	lateral	do	cilindro,	mas	já	sabemos	que	o	resultado	é	o	produto	da	altura
h	do	cilindro	pela	circunferência	da	base,	2πr.	O	fluxo	total	através	do	cilindro	é,	portanto,
Φ	=	EA	cos	θ	=	E(2	πrh)	cos	0	=	E(2	πrh).
Do	outro	lado	da	lei	de	Gauss,	temos	a	carga	qenv	envolvida	pelo	cilindro.	Como	a	densidade	linear
de	carga	(carga	por	unidade	de	comprimento)	é	uniforme,	a	carga	envolvida	é	λh.	Assim,	a	lei	de	Gauss,
ε0Φ	=	qenv,
ε0E(2	πrh)	=	λh,
nos	dá
Esse	é	o	campo	elétrico	produzido	por	uma	linha	de	carga	infinitamente	longa	em	um	ponto	situado	a	uma
distância	r	da	linha.	O	campo	 	aponta	radialmente	para	longe	da	linha	de	carga,	se	a	carga	for	positiva,
e	radialmente	na	direção	da	linha	de	carga,	se	a	carga	for	negativa.	A	Eq.	23-12	também	fornece	o	valor
aproximado	 do	 campo	 produzido	 por	 uma	 linha	 de	 carga	 finita	 em	 pontos	 não	 muito	 próximos	 das
extremidades	da	linha	(em	comparação	com	a	distância	da	linha).
Se	 a	 barra	 possui	 uma	 densidade	 volumétrica	 de	 carga	 ρ	 uniforme,	 podemos	 usar	 um	 método
semelhante	para	calcular	o	módulo	do	campo	elétrico	no	interior	da	barra.	Para	isso,	basta	reduzir	o	raio
do	cilindro	gaussiano	da	Fig.	23-14	até	que	a	superfície	 lateral	do	cilindro	esteja	no	 interior	da	barra.
Nesse	 caso,	 como	 a	 densidade	 de	 carga	 é	 uniforme,	 a	 carga	 qenv	 envolvida	 pelo	 cilindro	 será
proporcional	ao	volume	do	cilindro.
	Exemplo	23.06			A	lei	de	Gauss	e	uma	descarga	para	cima	em	uma	tempestade	elétrica
A	mulher	 da	 Fig.	 23-15	 estava	 em	 uma	 plataforma	 de	 observação	 do	 Sequoia	 National	 Park	 quando	 uma	 grande	 nuvem	 de
tempestade	passou	no	céu.	Muitos	elétrons	de	condução	do	corpo	da	mulher	foram	repelidos	para	a	terra	pela	base	da	nuvem,
negativamente	carregada	(Fig.	23-16a),	o	que	deixou	o	corpo	da	mulher	positivamente	carregado.	Observando	a	fotografia	da
Fig.	 23-15,	 é	 possível	 concluir	 que	 o	 corpo	 da	mulher	 está	 carregado,	 já	 que	 os	 fios	 de	 cabelo	 se	 repelem	mutuamente	 e	 se
projetam	para	cima	ao	longo	das	linhas	de	campo	elétrico	produzidas	pela	carga	do	corpo.
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
Courtesea	da	NOAA
Figura	23-15 	Uma	nuvem	de	tempestade	deixou	esta	mulher	positivamente	carregada.
A	mulher	não	foi	atingida	por	um	relâmpago,	mas	estava	correndo	um	sério	risco,	pois	o	campo	elétrico	estava	a	ponto	de
causar	 uma	 ruptura	 dielétrica	 no	 ar	 à	 sua	 volta.	 Essa	 ruptura	 teria	 ocorrido	 ao	 longo	 de	 uma	 trajetória	 ascendente,	 o	 que	 é
chamado	de	descarga	para	cima.	Uma	descarga	para	cima	é	perigosa	porque	a	ionização	que	produz	nas	moléculas	do	ar	libera
um	grande	número	de	elétrons.	Se	a	mulher	da	Fig.	23-15	 tivesse	provocado	uma	descarga	para	cima,	os	elétrons	 livres	do	ar
teriam	sido	atraídos	para	o	seu	corpo	(Fig.	23-16b),	produzindo	um	choque	possivelmente	fatal.	Um	choque	elétrico	é	perigoso
porque,	dependendo	da	intensidade,	pode	interromper	a	respiração	ou	os	batimentos	cardíacos,	além	de	causar	queimaduras.
Vamos	modelar	o	corpo	da	mulher	como	um	cilindro	vertical	estreito,	de	altura	L	=	1,8	m	e	raio	R	=	0,10	m	(Fig.	23-16c).
Suponha	que	a	carga	Q	esteja	uniformemente	distribuída	ao	longo	do	cilindro	e	que	a	ruptura	dielétrica	ocorra	quando	o	módulo
do	campo	elétrico	excede	o	valor	crítico	Ec	=	2,4	MN/C.	Para	qual	valor	de	Q	o	ar	em	volta	da	mulher	está	a	ponto	de	sofrer	uma
ruptura	dielétrica?			
IDEIAS-CHAVE
Como	R	<<	L,	podemos	aproximar	a	distribuição	de	carga	por	uma	linha	comprida	de	carga.	Além	disso,	como	estamos	supondo
que	a	distribuição	de	carga	é	uniforme,	o	módulo	do	campo	elétrico	é	dado	aproximadamente	pela	Eq.	23-12	(E	=	λ/2πε0r).
Cálculos: 	Substituindo	o	campo	elétrico	E	pelo	valor	crítico	Ec,	a	distância	radial	r	pelo	raio	do	cilindro	R,	e	a	densidade
linear	de	carga	λ	pela	razão	Q/L,	temos
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
ou
Substituindo	as	constantes	por	valores	numéricos,	temos
Figura	23-16 	(a)	Muitos	elétrons	de	condução	do	corpo	da	mulher	foram	repelidos	para	a	terra
pela	base	da	nuvem,	negativamente	carregada,	o	que	deixou	o	corpo	positivamente	carregado.	(b)
Em	 uma	 descarga	 para	 cima,	 o	 ar	 sofre	 uma	 ruptura	 dielétrica,	 permitindo	 que	 elétrons	 livres
criados	no	ar	sejam	atraídos	para	o	corpo	da	mulher.	(c)	O	corpo	da	mulher	pode	ser	representado
por	um	cilindro.
23-5	APLICAÇÕES	DA	LEI	DE	GAUSS:	SIMETRIA	PLANAR
Objetivos	do	Aprendizado
Depois	de	ler	este	módulo,	você	será	capaz	de	...
23.23	Usar	a	lei	de	Gauss	para	calcular	o	módulo	E	do	campo	elétrico	nas	proximidades	de	uma	superfície	plana,	isolante,	de
grandes	dimensões,	com	uma	densidade	superficial	de	carga	uniforme	σ.
23.24	No	 caso	de	pontos	nas	proximidades	de	uma	superfície	 plana,	 isolante,	 de	 grandes	 dimensões,	 com	 uma	 densidade
superficial	de	carga	uniforme	σ,	conhecer	a	relação	entre	a	densidade	de	carga	e	o	módulo	E	do	campo	elétrico	e	a	relação
entre	o	sinal	da	carga	e	o	sentido	do	campo	elétrico.
23.25	 No	 caso	 de	 pontos	 nas	 proximidades	 de	 duas	 superfícies	 planas,	 condutoras,	 de	 grandes	 dimensões,	 com	 uma
densidade	superficial	de	carga	σ,	 conhecer	 a	 relação	entre	a	densidade	de	 carga	e	o	módulo	E	 do	 campo	elétrico	 e	 a
relação	entre	o	sinal	das	cargas	e	o	sentido	do	campo	elétrico.
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
Ideias-Chave
•	O	campo	elétrico	produzido	por	uma	placa	isolante	infinita	com	uma	densidade	superficial	de	carga	σ	é	perpendicular	ao	plano
da	placa	e	tem	um	módulo	proporcional	à	densidade	superficial	de	carga	da	placa:
•	O	campo	elétrico	entre	duas	placas	condutoras	carregadas	é	perpendicular	ao	plano	das	placas	e	tem	um	módulo	proporcional
à	densidade	superficial	de	carga	das	placas:
Aplicações	da	Lei	de	Gauss:	Simetria	Planar
Placa	Isolante
A	Fig.	23-17	mostra	uma	parte	de	uma	placa	 fina,infinita,	 isolante,	com	uma	densidade	superficial	de
carga	positiva	σ.	Uma	folha	de	plástico,	com	uma	das	superfícies	uniformemente	carregada,	pode	ser	um
bom	modelo.	Vamos	calcular	o	campo	elétrico	 	a	uma	distância	r	da	placa.
Uma	 superfície	 gaussiana	 adequada	 para	 esse	 tipo	 de	 problema	 é	 um	 cilindro	 com	 o	 eixo
perpendicular	à	placa	e	com	uma	base	de	cada	lado	da	placa,	como	mostra	a	figura.	Por	simetria,	 	é
perpendicular	à	placa	e,	portanto,	às	bases	do	cilindro.	Além	disso,	como	a	carga	é	positiva,	 	aponta
para	 longe	da	placa,	e,	portanto,	as	 linhas	de	campo	elétrico	atravessam	as	duas	bases	do	cilindro	no
sentido	de	dentro	para	 fora.	Como	as	 linhas	de	campo	são	paralelas	à	superfície	 lateral	do	cilindro,	o
produto .	d 	 é	 nulo	 nessa	 parte	 da	 superfície	 gaussiana.	Assim,	 .	d 	 é	 igual	 a	E	 dA	 nas	 bases	 do
cilindro	e	é	igual	a	zero	na	superfície	lateral.	Nesse	caso,	a	lei	de	Gauss,
nos	dá
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Seta
Figura	23-17 	(a)	Vista	em	perspectiva	e	(b)	vista	lateral	de	uma	pequena	parte	de	uma	placa	de	grande	extensão	com	uma	carga	positiva
na	 superfície.	Uma	 superfície	gaussiana	 cilíndrica,	 com	o	eixo	perpendicular	 à	placa	 e	uma	base	de	 cada	 lado	da	placa,	 envolve	parte	das
cargas.
em	que	σA	é	a	carga	envolvida	pela	superfície	gaussiana.	Explicitando	E,	obtemos
Como	estamos	considerando	uma	placa	infinita	com	uma	densidade	de	carga	uniforme,	esse	resultado	é
válido	para	qualquer	ponto	que	esteja	a	uma	distância	finita	da	placa.	A	Eq.	23-13	é	igual	à	Eq.	22-27,
que	foi	obtida	por	integração	das	componentes	do	campo	elétrico	produzido	por	elementos	de	carga.
Duas	Placas	Condutoras
A	Fig.	23-18a	mostra	uma	vista	de	perfil	de	uma	placa	condutora	fina,	infinita,	com	um	excesso	de	carga
positiva.	Como	vimos	no	Módulo	23-3,	a	carga	em	excesso	está	na	superfície	da	placa.	Como	a	placa	é
fina	 e	 muito	 extensa,	 podemos	 supor	 que	 praticamente	 toda	 a	 carga	 em	 excesso	 está	 nas	 duas	 faces
maiores	da	placa.
Se	não	existe	um	campo	elétrico	externo	para	forçar	as	cargas	positivas	a	assumirem	determinada
distribuição,	 as	 cargas	 se	 distribuem	uniformemente	 nas	 duas	 faces	 com	uma	densidade	 superficial	 de
carga	σ1.	De	 acordo	com	a	Eq.	23-11,	 essas	 cargas	 criam,	 nas	 proximidades	 da	 superfície,	 um	campo
elétrico	de	módulo	E	=	σ1/ε0.	Como	a	carga	em	excesso	é	positiva,	o	campo	aponta	para	longe	da	placa.
A	Fig.	23-18b	mostra	uma	placa	do	mesmo	tipo	com	um	excesso	de	carga	negativa	e	uma	densidade
superficial	de	carga	com	o	mesmo	valor	absoluto	σ1.	A	única	diferença	é	que,	agora,	o	campo	aponta	na
direção	da	placa.
Suponha	que	as	placas	das	Figs.	23-18a	e	23-18b	sejam	colocadas	lado	a	lado	(Fig.	23-18c).	Como
as	placas	são	condutoras,	quando	as	aproximamos,	as	cargas	em	excesso	de	uma	placa	atraem	as	cargas
em	excesso	da	outra,	e	todas	as	cargas	em	excesso	se	concentram	na	superfície	interna	das	placas,	como
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Linha
A. Heilmann
Linha
mostra	 a	 Fig.	 23-18c.	 Como	 existe	 agora	 uma	 quantidade	 de	 carga	 duas	 vezes	 maior	 nas	 superfícies
internas,	a	nova	densidade	superficial	de	carga	(que	vamos	chamar	de	σ)	nas	faces	internas	é	2σ1.	Assim,
o	módulo	do	campo	elétrico	em	qualquer	ponto	entre	as	placas	é	dado	por
Esse	campo	aponta	para	longe	da	placa	positiva	e	na	direção	da	placa	negativa.	Como	não	existe	excesso
de	carga	nas	faces	externas,	o	campo	elétrico	do	lado	de	fora	das	placas	é	zero.
Como	as	cargas	das	placas	se	moveram	quando	as	placas	foram	aproximadas,	a	Fig.	23-18c	não	é	a
superposição	das	Figs.	23-18a	e	23-18b;	em	outras	palavras,	a	distribuição	de	carga	no	sistema	de	duas
placas	não	é	simplesmente	a	soma	das	distribuições	de	carga	das	placas	isoladas.
A	razão	pela	qual	nos	damos	ao	trabalho	de	discutir	situações	tão	pouco	realistas	como	os	campos
produzidos	por	uma	placa	infinita	carregada	e	um	par	de	placas	infinitas	carregadas	é	que	a	análise	de
situações	 “infinitas”	 permite	 obter	 boas	 aproximações	 para	 problemas	 reais.	Assim,	 a	Eq.	 23-13	 vale
também	para	uma	placa	isolante	finita,	contanto	que	estejamos	lidando	com	pontos	próximos	da	placa	e
razoavelmente	distantes	das	bordas.	A	Eq.	23-14	se	aplica	a	um	par	de	placas	condutoras	finitas,	contanto
que	não	estejamos	lidando	com	pontos	muito	próximos	das	bordas.	O	problema	das	bordas	de	uma	placa,
e	o	motivo	pelo	qual	procuramos,	na	medida	do	possível,	nos	manter	afastados	delas,	é	que,	perto	de	uma
borda,	não	podemos	usar	a	simetria	planar	para	determinar	as	expressões	dos	campos.	Perto	da	borda,	as
linhas	de	campo	são	curvas	(é	o	chamado	efeito	de	borda)	e	os	campos	elétricos	são	muito	difíceis	de
expressar	matematicamente.
Figura	23-18 	(a)	Uma	placa	condutora	fina,	infinita,	com	um	excesso	de	carga	positiva.	(b)	Uma	placa	do	mesmo	tipo	com	um	excesso	de
carga	negativa.	(c)	As	duas	placas	colocadas	lado	a	lado.
Exemplo	23.07			Campo	elétrico	nas	proximidades	de	duas	placas	isolantes	carregadas	paralelas
A	Fig.	23-19a	mostra	partes	de	duas	placas	de	grande	extensão,	isolantes,	paralelas,	com	uma	carga	uniforme	do	lado	esquerdo.
Os	valores	das	densidades	superficiais	de	carga	são	σ(+)	=	6,8	μC/m2	para	a	placa	positivamente	carregada	e	σ(–)	=	4,3	μC/m2	para
a	placa	negativamente	carregada.
Determine	o	campo	elétrico	 	(a)	à	esquerda	das	placas,	(b)	entre	as	placas	e	(c)	à	direita	das	placas.
IDEIA-CHAVE
Como	as	cargas	estão	fixas	(as	placas	são	isolantes),	podemos	determinar	os	campos	elétricos	produzidos	pelas	placas	da	Fig.	23-
19a	 (1)	calculando	o	campo	de	cada	placa	como	se	a	outra	não	existisse	e	(2)	somando	algebricamente	os	resultados.	(Não	há
necessidade	de	usar	uma	soma	vetorial	porque	os	campos	são	paralelos.)
Cálculos: 	Em	qualquer	ponto,	o	campo	elétrico	 	(+)	produzido	pela	placa	positiva	aponta	para	longe	da	placa	e,	de	acordo
com	a	Eq.	23-13,	tem	o	módulo	dado	por
Em	qualquer	ponto,	o	campo	elétrico	 	(–)	produzido	pela	placa	negativa	aponta	na	direção	da	placa	e	tem	um	módulo	dado	por
A	Fig.	23-19b	mostra	os	campos	criados	pelas	placas	à	esquerda	das	placas	(E),	entre	as	placas	(C)	e	à	direita	das	placas	(D).
Os	campos	resultantes	nas	três	regiões	podem	ser	obtidos	usando	o	princípio	de	superposição.	À	esquerda,	o	módulo	do
campo	é
Figura	23-19 	(a)	Duas	placas	de	grande	extensão,	isolantes,	paralelas,	com	uma	carga	uniforme
do	 lado	esquerdo.	 (b)	Campos	elétricos	criados	pelas	duas	placas.	 (c)	Campo	 total	 criado	pelas
duas	placas,	obtido	por	superposição.
Como	E(+)	é	maior	que	E(–),	o	campo	elétrico	total	 E	nessa	região	aponta	para	a	esquerda,	como	mostra	a	Fig.	23-19c.	À	direita
das	placas,	o	campo	elétrico	 D	tem	o	mesmo	módulo,	mas	aponta	para	a	direita,	como	mostra	a	Fig.	23-19c.
Entre	as	placas,	os	dois	campos	se	somam	e	temos
O	campo	elétrico	 C	aponta	para	a	direita.
23-6	APLICAÇÕES	DA	LEI	DE	GAUSS:	SIMETRIA	ESFÉRICA
Objetivos	do	Aprendizado
Depois	de	ler	este	módulo,	você	será	capaz	de	...
23.26	Saber	que	uma	casca	esférica	com	uma	distribuição	uniforme	de	carga	atrai	ou	repele	uma	partícula	carregada	situada	do
lado	de	fora	da	casca	como	se	toda	a	carga	da	casca	estivesse	concentrada	no	centro	da	casca.
23.27	Saber	que	uma	casca	esférica	com	uma	distribuição	uniforme	de	carga	não	exerce	nenhuma	força	eletrostática	sobre
uma	partícula	carregada	situada	no	interior	da	casca.
23.28	No	caso	de	um	ponto	situado	do	lado	de	fora	de	uma	casca	esférica	com	uma	distribuição	uniforme	de	carga,	conhecer	a
relação	entre	o	módulo	E	do	campo	elétrico,	a	carga	q	da	casca	e	a	distância	r	entre	o	ponto	e	o	centro	da	casca.
23.29	No	caso	de	um	ponto	situado	no	interior	de	uma	casca	esférica	com	uma	distribuição	uniforme	de	carga,	conhecer	o	valor
do	módulo	E	do	campo	elétrico.
23.30	No	caso	de	uma	esfera	com	uma	distribuição	uniforme	de	carga,	determinar	o	módulo	e	a	orientação	do	campo	elétrico
em	pontos	no	interior	da	esfera	e	do	lado	de	fora	da	esfera.
Ideias-Chave
•	Em	um	ponto	do	lado	de	forade	uma	casca	esférica	com	uma	carga	q	distribuída	uniformemente,	o	campo	elétrico	produzido
pela	casca	é	radial	(orientado	para	fora	da	casca	ou	na	direção	do	centro	da	casca,	dependendo	do	sinal	da	carga),	e	o	módulo
do	campo	é	dado	pela	equação
em	que	r	é	a	distância	entre	o	ponto	e	o	centro	da	casca.	O	campo	seria	o	mesmo	se	toda	a	carga	estivesse	concentrada	no
centro	da	casca.
•	Em	todos	os	pontos	do	interior	de	uma	casca	esférica	com	uma	distribuição	uniforme	de	carga,	o	campo	elétrico	criado	pela
casca	é	zero.
•	Em	um	ponto	do	 interior	de	uma	esfera	com	uma	distribuição	uniforme	de	carga,	o	campo	elétrico	é	 radial	e	o	módulo	do
A. Heilmann
Retângulo
campo	é	dado	pela	equação
em	que	q	é	a	carga	da	esfera,	R	é	o	raio	da	esfera	e	r	é	a	distância	entre	o	ponto	e	o	centro	da	esfera.
Aplicações	da	Lei	de	Gauss:	Simetria	Esférica
Vamos	agora	usar	a	lei	de	Gauss	para	demonstrar	os	dois	teoremas	das	cascas	que	foram	apresentados	no
Módulo	21-1.	O	primeiro	diz	o	seguinte:
Uma	partícula	carregada	situada	do	lado	de	fora	de	uma	casca	esférica	com	uma	distribuição	uniforme	de	carga	é	atraída	ou	repelida
como	se	toda	a	carga	estivesse	situada	no	centro	da	casca.
A	Fig.	23-20	mostra	uma	casca	esférica	carregada,	de	raio	R,	com	uma	carga	total	q	e	duas	superfícies
gaussianas	concêntricas,	S1	e	S2.	Quando	usamos	o	método	do	Módulo	23-2	e	aplicamos	a	lei	de	Gauss	à
superfície	S2,	para	a	qual	r	≥	R,	o	resultado	é	o	seguinte:
Figura	23-20 	 Vista	 em	 seção	 reta	 de	 uma	 casca	 esférica	 fina,	 uniformemente	 carregada,	 com	 uma	 carga	 total	 q.	 Duas	 superfícies
gaussianas,	S1	e	S2,	também	são	mostradas.	A	superfície	S2	envolve	a	casca,	e	a	superfície	S1	envolve	apenas	a	cavidade	vazia	que	existe	no
interior	da	casca.
Esse	campo	é	igual	ao	que	seria	criado	por	uma	carga	pontual	q	localizada	no	centro	da	casca.	Assim,	a
força	que	uma	casca	de	carga	q	exerce	sobre	uma	partícula	carregada	situada	do	lado	de	fora	da	casca	é	a
mesma	que	a	força	exercida	por	uma	partícula	pontual	de	carga	q	situada	no	centro	da	casca.	Fica	assim
demonstrado	o	primeiro	teorema	das	cascas.
O	segundo	teorema	das	cascas	diz	o	seguinte:
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
A. Heilmann
Retângulo
Uma	partícula	carregada	situada	no	interior	de	uma	casca	esférica	com	uma	distribuição	uniforme	de	carga	não	é	atraída	nem	repelida
pela	casca.
Aplicando	a	lei	de	Gauss	à	superfície	S1,	para	a	qual	r	<	R,	obtemos
já	que	a	superfície	S1	não	envolve	nenhuma	carga.	Assim,	se	existe	uma	partícula	carregada	no	interior	da
casca,	a	casca	não	exerce	nenhuma	força	sobre	a	partícula.	Fica	assim	demonstrado	o	segundo	teorema
das	cascas.
Toda	 distribuição	 de	 carga	 esfericamente	 simétrica,	 como	 a	 distribuição	 de	 raio	 R	 e	 densidade
volumétrica	 de	 carga	 ρ	 da	 Fig.	 23-21,	 pode	 ser	 substituída	 por	 um	 conjunto	 de	 cascas	 esféricas
concêntricas.	Para	fins	de	aplicação	dos	dois	teoremas	das	cascas,	a	densidade	volumétrica	de	carga	ρ
deve	ter	um	valor	único	para	cada	casca,	mas	não	precisa	ser	a	mesma	para	todas	as	cascas.	Assim,	para
a	distribuição	de	carga	como	um	todo,	ρ	pode	variar,	mas	apenas	em	função	de	r,	 a	distância	 radial	 a
partir	do	centro	de	curvatura.	Podemos,	portanto,	caso	seja	necessário,	examinar	o	efeito	da	distribuição
de	carga	“camada	por	camada”.
Na	Fig.	23-21a,	todas	as	cargas	estão	no	interior	de	uma	superfície	gaussiana	com	r	>	R.	As	cargas
produzem	um	campo	elétrico	na	superfície	gaussiana	como	se	houvesse	apenas	uma	carga	pontual	situada
no	centro,	e	a	Eq.	23-15	pode	ser	aplicada.
A	Fig.	23-21b	mostra	 uma	 superfície	 gaussiana	 com	 r	 <	R.	 Para	 determinar	 o	 campo	 elétrico	 em
pontos	da	superfície	gaussiana,	consideramos	dois	conjuntos	de	cascas	carregadas:	um	conjunto	do	lado
de	dentro	da	superfície	gaussiana	e	outro	conjunto	do	lado	de	fora.	De	acordo	com	a	Eq.	23-16,	as	cargas
do	lado	de	fora	da	superfície	gaussiana	não	criam	um	campo	elétrico	na	superfície	gaussiana.	De	acordo
com	a	Eq.	23-15,	as	cargas	do	 lado	de	dentro	da	superfície	gaussiana	criam	o	mesmo	campo	que	uma
carga	pontual	de	mesmo	valor	situada	no	centro.	Chamando	essa	carga	de	q′,	podemos	escrever	a	Eq.	23-
15	na	forma
Figura	23-21 	Os	pontos	 representam	uma	esfera	 feita	de	material	 isolante	com	uma	distribuição	de	carga	de	simetria	esférica	e	 raio	R,
cuja	densidade	volumétrica	de	carga	ρ	é	função	apenas	da	distância	do	centro.	Uma	superfície	gaussiana	concêntrica	com	r	>	R	é	mostrada
em	(a).	Uma	superfície	gaussiana	semelhante,	com	r	<	R,	é	mostrada	em	(b).
Uma	vez	que	a	distribuição	de	carga	no	interior	da	esfera	de	raio	R	é	uniforme,	podemos	calcular
a	carga	q′	envolvida	por	uma	superfície	esférica	de	raio	r	(Fig.	23-21b)	usando	a	seguinte	relação:
ou
o	que	nos	dá
Substituindo	na	Eq.	23-17,	obtemos
	Teste	4
A	figura	mostra	duas	placas	de	grande	extensão,	paralelas,	 isolantes,	com	densidades	superficiais	de	carga	 iguais,	uniformes	e
positivas,	e	uma	esfera	com	uma	densidade	volumétrica	de	carga	uniforme	e	positiva.	Coloque	em	ordem	decrescente	os	quatro
pontos	numerados,	de	acordo	com	o	módulo	do	campo	elétrico	existente	no	local.
	Revisão	e	Resumo
Lei	de	Gauss 	A	lei	de	Gauss	e	a	lei	de	Coulomb	são	formas	diferentes	de	descrever	a	relação	entre
carga	e	campo	elétrico	em	situações	estáticas.	A	lei	de	Gauss	é	expressa	pela	equação
em	que	qenv	é	a	carga	total	no	interior	de	uma	superfície	imaginária	fechada	(conhecida	como	superfície
gaussiana)	e	Φ	é	o	fluxo	total	do	campo	elétrico	através	da	superfície:
A	lei	de	Coulomb	pode	ser	demonstrada	a	partir	da	lei	de	Gauss.
Aplicações	da	Lei	de	Gauss 	Usando	a	lei	de	Gauss	e,	em	alguns	casos,	princípios	de	simetria,	é
possível	 demonstrar	 várias	 propriedades	 importantes	 de	 sistemas	 eletrostáticos,	 entre	 as	 quais	 as
A. Heilmann
Retângulo
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