apostilha de matematica

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Unidade 1
Capitalização 
Simples e 
Composta
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Matemática 
Financeira
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Diretora Editorial 
ANDRÉA CÉSAR PEDROSA
Projeto Gráfico 
MANUELA CÉSAR ARRUDA
Autora 
RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO
Desenvolvedor 
CAIO BENTO GOMES DOS SANTOS
 Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Olá. Meu nome é Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro. Licenciada em 
Matemática e Especialista em Metodologia do Ensino de Matemática com 
ampla experiência docente nas esferas do ensino fundamental, médio e 
superior. Sou apaixonada pelo que faço, pela matemática e adoro lecionar 
e transmitir sobre essa disciplina fascinante. Por isso fui convidada pela 
Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes. Estou 
muito feliz em poder ajudar você nesta fase de muito estudo e trabalho. 
Conte comigo!
A AUTORA
Olá. Meu nome é Manuela César de Arruda. Sou a responsável pelo 
projeto gráfico de seu material. Esses ícones irão aparecer em sua trilha 
de aprendizagem toda vez que:
ICONOGRÁFICOS
INTRODUÇÃO: 
para o início do 
desenvolvimento de 
uma nova com-
petência;
DEFINIÇÃO: 
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA: 
quando forem 
necessários obser-
vações ou comple-
mentações para o 
seu conhecimento;
IMPORTANTE: 
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA? 
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundamen-
to do seu conheci-
mento;
REFLITA: 
se houver a neces-
sidade de chamar a 
atenção sobre algo 
a ser refletido ou 
discutido sobre;
ACESSE: 
se for preciso aces-
sar um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO: 
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das 
últimas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de au-
toaprendizagem for 
aplicada;
TESTANDO: 
quando o desen-
volvimento de uma 
competência for 
concluído e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Capitalização Simples ............................................................................ 11
Juros e Montante Simples ................................................................................................... 11
Juros exatos, ordinários e bancários. ........................................................................... 22
Capitalização Composta ....................................................................... 24
Juros e Montante Composto ............................................................................................. 24
Diferença entre os Regimes de Capitalização ...................................................... 31
Homogeneidade entre taxa e tempo .......................................................................... 34
Taxas .............................................................................................................. 37
Taxa Proporcional e Equivalente ..................................................................................... 37
Taxa Nominal e Efetiva ........................................................................................................... 44
Fluxo de Caixa e Equivalência Financeira ..................................... 55
Fluxo de Caixa ..............................................................................................................................55
Equivalência Financeira .........................................................................................................56
Matemática Financeira8
UNIDADE
01
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA
Matemática Financeira 9
Caro(a) aluno(a) se imagine em uma reunião empresarial, aonde 
serão discutidos diversos assuntos pertinentes a realidade empresarial. 
Por isso, deve-se adotar uma linguagem financeira especifica para 
tal situação. Bem, neste cenário, torna-se necessário a sua efetiva 
compreensão acerca dos diversos termos e conceitos que são triviais no 
universo empresarial, como juros, taxa de juros, capitalização simples e 
composta, fluxo de caixa, são alguns termos que necessitam de um claro 
entendimento e interpretação no contexto empresarial. E a partir desta 
necessidade, essa primeira unidade se apresenta como uma base sólida 
para compreender o mundo em que se situa a matemática financeira. 
Os principais fundamentos da matemática financeira, que subsidiarão o 
desenvolvimento de conceitos mais complexos, serão abordados nessa 
unidade inicial de modo a facilitar e viabilizar o desenvolvimento deste 
curso de Matemática Financeira.
Bons Estudos!
INTRODUÇÃO
Matemática Financeira10
Olá. Seja muito bem-vindo à Capitalização Simples e Composta. 
Nosso propósito é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes 
objetivos de aprendizagem até o término desta etapa de estudos:
1. Compreender o regime de capitalização simples e os elementos 
que o constitui;
2. Definir o regime de capitalização composto e os itens que o 
elabora, diferenciando-o da capitalização simples;
3. Entender e diferenciar os tipos de taxas mais utilizadas no 
mercado financeiro; 
4. Definir equivalência financeira e fluxo de caixa apresentando suas 
aplicações.
Então? Preparado para uma viagem sem volta rumo ao 
conhecimento? Ao trabalho! 
OBJETIVOS
Matemática Financeira 11
Capitalização Simples
INTRODUÇÃO:
Ao término deste estudo, você será capaz de compreender 
os conceitos relacionados a capitalização simples e aos seus 
componentes: capital, montante, taxa de juros e período; além 
disso seremos apresentados às definições de juros exatos, 
ordinários e bancários. Então vamos lá. Avante!
Juros e Montante Simples
Com certeza em algum momento de vida acadêmica ou social já se 
deparou com notícias do tipo:
“Adquira seu carro com pequena entrada e parcele o restante de 
sua compra sem juros”
“Juros menor possibilita aumento na compra de imóveis.”
“Juros fecham em queda, com alívio do cambio e melhora na 
percepção geopolítica.” 
“Juros do cartão de crédito e cheque especial sobem no mês de 
novembro.”
“Cheque especial agora com juros limitados.”
Provavelmente sua resposta será sim! Mais comum que 
imaginamos, reconhecemos que as situações relacionadas a juros estão 
intimamente conectadas às diversas situações que permeiam a dinâmica 
de nosso cotidiano, uma vez que essa representação matemática é muito 
recorrente para indicar diferentes operações financeiras.
 Para iniciarmos nossa jornada definiremos juro, que conforme 
Castanheira e Macedo (2013) pode ser descrito como:
Matemática Financeira12
Juro é a remuneração do capital.
O conceito de juro mais trivial é o descrito anteriormente, mas, 
ainda conforme os mesmos autores, outras proposições mais populares 
também caracterizam juros: 
 • quantia paga pelo uso do dinheiro emprestado, isto é, 
custo do capital de terceiros colocados a nossa disposição;
 • recompensa do capital agregado em atividades produtivas;
 • remuneração paga pelas instituições financeiras a partir 
do capital nelas aplicado; e
 • remuneração do capital emprestado, ou seja, aluguel 
pago pela utilização do dinheiro.
VOCÊ SABIA?
A ideia de juros é antiga em nossa sociedade, os primeiros 
registros são identificados quando os juros eram remunerados 
por sementes entre os agricultores e pagos após a colheita; 
era comum essa prática de remunerar por emprestar 
determinados produtos e/ou serviços entre suas transações 
comerciais.
A maneira na qual os juros são incorporados permitem sua 
categorização, desta maneira, ele pode ser classificado como simples ou 
composto. O juro simples caracteriza-se como uma modalidade na qual 
os juros incidem sobre o capital inicial. 
Mas e a capitalização simples? O que é? Onde este conceito se 
atrela ao de juros? Essencialmente, capitalizar associa-se à ideiade 
juntar, agregar, acumular e na matemática financeira, essa concepção se 
mantém agregada a outros conceitos da matemática financeira, assim a 
capitalização simples é definida por Castanheira e Macedo (2013) como: 
Regime de capitalização em que se utilizam os juros simples.
Matemática Financeira 13
Logo, na capitalização simples, para cada período temos a mesma 
taxa de juros calculada sob o mesmo capital, desta maneira é possível ter 
uma previsão de seu total multiplicando o total de juros por intervalo pelo 
total de intervalos.
Destaca-se que na determinação dos juros simples, a curva do 
capital é linear, ou seja, é gerado uma função linear na qual cada adicional 
de juros é associada diretamente ao valor que inicialmente é investido.
Ainda, Castanheira e Macedo (2013) enfatizam que o juro é sempre 
obtido intermediado por uma taxa de juros que é incidida sobre o capital. 
Essa medida se relaciona a uma unidade de tempo, que pode ser diária, 
mensal, semestral ou anual. As taxas mais comuns no universo financeiro 
são:
 • a.d. = ao dia
 • a.m. = ao mês
 • a.b = ao bimestre
 • a.t. = ao trimestre
 • a.q. = ao quadrimestre
 • a.s = ao semestre
 • a.n. = ao ano
Como exemplo de utilização dessas taxas, admita uma taxa de 134% 
a.s., na prática qual seu significado? Ora, basicamente essa taxa produzirá 
juros de 134% a cada semestre, isto é, seis meses. E uma taxa de 0,14% 
a.d.? Essa indica que a remuneração do capital emprestado é diária, por 
isso os juros são obtidos diariamente gerenciados por uma taxa de 0,14%.
Os juros são regidos por taxas em porcentagem, que geralmente 
são prefixados por índices determinados pelo governo ou interligados 
a políticas financeiras; tais operações permitem o reajuste de preços 
de diversos produtos de maneira geral e/ou aplicações financeiras 
(NETO,2012). Daí a tamanha importância destes índices.
Matemática Financeira14
REFLITA:
Constantemente associamos juros a uma ideia pejorativa, 
mas por quê? Existem duas facetas deste conceito, afinal os 
juros podem agregar ou depreciar nossa vida financeira, uma 
vez que essa operação pode acelerar o crescimento de uma 
renda ou bem, assim como atrapalhar, a partir do momento 
em que se adquire.
Mas porque a prática de juros? Qual a necessidade da admissão 
deste quantitativo nas operações financeiras? Basicamente, de acordo 
com Neto (2012), as taxas de juros são eficientes de maneira a remunerar:
 • o risco inerente a operação (empréstimo ou aplicação), 
indicado pela incerteza em relação ao futuro;
 • diminuição de compra do capital impulsionada pela 
inflação, uma vez que este fator corrói o capital, diminuindo 
a capacidade de compra de posse do mesmo montante;
 • o capital aplicado e/ou emprestado, os juros devem 
agregar lucro ao proprietário do capital de maneira a 
compensar a privação do uso capital emprestado durante 
certo período de tempo.
SAIBA MAIS:
Existe uma legislação que orienta a utilização dos juros em 
operações financeiras, a Lei n. 8.078 de 1990 do Código 
de Defesa do Consumidor. Esta institui a maneira na qual a 
aplicação dos juros deve ser definida em um contrato entre as 
partes envolvidas.
Matemática Financeira 15
Para aprofundarmos nos cálculos e relações neste contexto de 
matemática financeira definiremos alguns termos comumente utilizados, 
vamos lá?!
O capital é indicado por C e possui outros significados, como: valor 
presente ou valor atual e conforme Castanheira e Macedo (2013) pode ser 
descrito como:
 • Capital se refere a qualquer valor expresso na moeda 
corrente de uma nação e disponível para operações 
financeiras. Este quantitativo é muito importante no 
contexto financeiro, uma vez que fundamentado nele a 
proporção de lucro ou prejuízo será calculado.
Outro componente importante nos cálculos financeiros é o 
montante que é caracterizado por:
 • Montante é o resultado entre o somatório entre o capital 
e o juros, correspondendo a um quantitativo capitalizado 
após determinado período de tempo. 
Como já aprendemos os juros são calculados por taxas que são 
descritas conforme a seguir. 
 • Taxa de Juros é um percentual que se aplica sobre o 
capital durante certo período.
Outro fator importante na relação com o dinheiro é o tempo, 
pois é baseado nele que é possível estabelecer relações financeiras, 
basicamente ele é definido como:
 • Período é o tempo que o quantitativo financeiro estará 
submetido a determinada taxa de juros.
A partir de agora, embasados em todos esses conceitos, será 
possível determinar uma relação que permite o cálculo dos juros simples; 
que basicamente depende de três fatores, como apresentado na Figura 
1 seguir:
Matemática Financeira16
Figura 1 –Composição dos Juros.
Figura 1 –Composição dos Juros.
Assim, a fórmula que possibilita o cálculo dos juros simples é dada 
por:
Ainda neste contexto de juros simples, existem relações específicas 
para a determinação do montante e do capital envolvido em diversas 
operações financeiras.
Perceba que as fórmulas são equações polinomiais do 1º grau, 
que graficamente, são representadas por retas que possuem como 
característica a permanência do mesmo coeficiente angular ou a 
inclinação da reta tangente; este fato demonstra que a cada período, os 
juros são os mesmos e sempre acrescentados ao capital inicial aplicado 
a certo investimento.
É de suma importância enfatizar que todas as fórmulas apresentadas 
anteriormente podem ser reescritas substituindo o capital pelo termo 
Valor presente (PV = present value) e o montante por Valor Futuro (FV = 
future value), estes termos são muito utilizados na linguagem financeira 
e suas abreviações PV e FV representam teclas contidas na calculadora 
financeira HP – 12C.
Então as fórmulas serão reescritas da seguinte forma:
Matemática Financeira 17
Grande parte dos cálculos inerentes ao mercado financeiro podem 
ser feitos auxiliados por uma calculadora financeira; a mais utilizada é a 
HP – 12C, na qual o valor futuro é representado pela tecla FV (future value), 
pois representam as iniciais das expressões em inglês. É necessário 
enfatizar que a dinâmica de entrada de valores na calculadora HP -12C é 
diferente das calculadoras tradicionais, por isso sugiro a você aluno (a) a 
leitura de alguns manuais para facilitar seu uso.
ACESSE:
No site da fabricante HP há disponível um manual de utilização 
da calculadora HP- 12C que pode ser acessado pelo link: 
https://bit.ly/2DmXbX7 .
Vamos agora exercitar estas relações que embasam os cálculos 
dos juros simples? Lembrando que as fórmulas se diferenciam devido 
aos elementos que a compõe, logo a escolha de utilização dependerá 
do contexto do problema a ser solucionado. Em toda resolução será 
apresentado à versão algébrica e outra com base na calculadora HP-12C. 
Vamos lá!
EXEMPLO: Patrícia emprestou durante um semestre a quantia de 
R$10.000, a uma taxa de 2,5% a.m. (ao mês). De quanto serão os juros 
obtidos neste período?
Sempre iniciaremos a resolução de um exercício destacando as 
informações contidas no enunciado, logo:
Matemática Financeira18
Observe que o período foi definido como seis em referência a um 
semestre, porque a taxa de juros é mensal. A taxa de juros sempre deve 
ser transformada para sua forma decimal, isto é, deve-se encontrar seu 
número decimal correspondente e para isso basta dividir o valor informado 
por 100.
Como foi solicitado o cálculo dos juros neste período, basta 
substituirmos as informações recolhidas anteriormente e aplicá-las na 
relação:
Solução na Calculadora HP-12C
10000 CHS PV
2,5 i
6 n
FV 
Matemática Financeira 19
Assim, o valor acumulado após seis meses equivale a R$11.500,00; 
agora, deste basta retirar o capital inicial, ou seja, o PV, logo será 
R$11.500,00 – R$10.000,00 = R$1.500,00
Para elucidar com mais propriedade a resolução deste exercício, é 
possível elaborar uma planilha eletrônica ou tabelapara a determinação 
deste juro mensal até a conclusão de seu total semestral. Observe a 
tabela 1 com os valores respectivos a este exercício.
Tabela 1: Capitalização Simples
Fonte: A autora
Período Capital Juros Total Parcial Montante
1 10.000 10.000 10.250
2 10.000 10.250 10.500
3 10.000 10.500 10.750
4 10.000 10.750 11.000
5 10.000 11.000 11.250
6 10.000 11.250 11.500
Observe que o total parcial se refere ao início do período, enquanto 
o total é obtido ao final do período e atente-se ao fato de que o valor 
encontrado de juros, nessa modalidade é sempre o mesmo, pois a base 
de referência para o cálculo não se modifica no decorrer do tempo. 
Observe essa característica na representação gráfica (veja o Gráfico 1) 
indicada a seguir correspondendo a mesma situação problema.
Matemática Financeira20
Gráfico 1: Capitalização Simples.
Fonte: a autora.
VOCÊ SABIA?
Na matemática financeira existe o ano cível e o ano 
comercial, que se diferenciam quanto à quantidade de dias 
contabilizados; o ano cível é constituído por 365 dias ou 366 
dias e o ano comercial é formado por 360 dias.
EXEMPLO: A quantia de R$12.000,00 foi gerada a partir de um 
capital de R$ 3.000,00 aplicado a juros simples de 5% ao mês. Qual foi o 
período desta operação financeira?
Informações do problema:
Matemática Financeira 21
EXEMPLO: Uma empresa aplicou R$10.000 e recebeu após 7 anos 
um montante de R$28.500,00. Qual foi a taxa de juros simples incidida 
nessa transação?
Informações do problema:
Matemática Financeira22
Assim, a taxa anual aplicada nesta operação corresponde a 21,43% 
a.a.
Solução na Calculadora HP-12C
10000 CHS PV
28500 FV
7 n
i
Juros exatos, ordinários e bancários.
Os Juros, como já aprendemos correspondem, resumidamente, 
a um “aluguel” pago pela utilização de certa quantia. Esse valor pode 
ser adicionado ou retirado da quantidade inicial, variando conforme a 
modalidade adotada. No entanto, a base de cálculo referente ao período 
estabelecido o diferencia, pois se calculado em 40 dias será obtido 
um valor, já alterado para 41 dias será outro. Em decorrência dessa 
diferenciação, assim conheceremos com mais detalhes sobre os juros 
exatos, ordinários e bancários.
Conforme destaca Assaf Neto (2012), os juros exatos são descritos 
por:
 • Modalidade de juros em que se adota a quantidade exata 
de dias que compõe um ano civil, pode variar entre 365 
dias e 366 dias, caso O ano seja bissexto.
Matemática Financeira 23
Castanheira e Macedo (2013) caracterizam juros ordinários como:
 • é o juro que utiliza como referência o ano comercial, isto 
é, considera que todos os meses são compostos por 30 
dias e por consequência, o ano que é constituído por doze 
destes, possua 360 dias.
Já os juros bancários como elucida Assaf Neto (2012):
 • juros que utiliza como referência a quantidade exata que 
compõe cada mês, ou seja, 28,29, 30 ou 31 dias; assim o 
ano possui 360 assim como o comercial.
VOCÊ SABIA?
Que o comitê de Política Monetária (COPOM) órgão 
coordenado por diretores e presidente do Banco Central 
determinam o valor da taxa Selic (Sistema Especial de 
Liquidação e Custodia), este indicativo é que possibilita analisar 
a inflação, uma vez que quanto maior for a taxa Selic, menor 
é a inflação, em contra partida se ela diminuir, a inflação sobe.
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você realmente 
entendeu o tema de estudo deste capítulo, vamos resumir 
tudo o que vimos. Você deve ter aprendido sobre o regime de 
capitalização simples, que utiliza os juros simples e recebe o 
nome de capitalização simples. Nesta dinâmica, é necessário 
estabelecer uma taxa de juros, um período, assim como o 
capital e o montante que também podem ser chamados de 
valor presente e valor futuro, respectivamente. É necessário 
destacar que o cálculo da taxa, na modalidade simples é um 
valor constante, por isso não se altera no período estabelecido. 
Também aprendemos sobre juros que podem ser exatos, 
ordinários, ou bancários, sendo o período que compõem um 
ano, 360 ou 365, a diferença básica entre cada categoria.
Matemática Financeira24
Capitalização Composta
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, você será capaz de conhecer sobre 
a capitalização composta, identificando a maneira na qual os 
juros são capitalizados e, por fim, será possível diferenciar o 
regime de capitalização composta do regime de capitalização 
simples. 
Juros e Montante Composto
Uma vez que o regime de capitalização não é simples, ele se torna 
composto e sua característica mais marcante está no fato da reincidência 
de juros sob o capital, assim, quando determinado valor já está interligado 
a uma parcela de juros é incidindo mais uma vez essa taxa de juros, porém, 
agora sobre esse total acumulado.
Assaf Neto (2012) define que:
Capitalização composta é um regime que adota a taxa de juros 
composta, isto é, o juro produzido em determinado tempo será acrescido 
ao valor produzido pelo capital, passando ambos, juro e capital a render 
juro no próximo período. Nesta dinâmica financeira, a cada intervalo em 
que o juro é agregado ao valor que o gerou é chamado de período de 
capitalização.
Ao realizar um empréstimo, uma compra a prazo, financiamento 
de imóvel ou automóvel em certa instituição financeira, sempre estamos 
pagando por juros, e na grande maioria das vezes esse juro é composto.
Na capitalização composta os juros detêm da mesma concepção 
que na capitalização simples, o que basicamente diferencia os juros 
simples é o capital, que a cada período é alterado, pois a cada término de 
Matemática Financeira 25
Vale lembrar que, como destacado na figura 2, na linguagem 
financeira utilizamos as seguintes denominações:
Figura 2 -Termos utilizados na matemática financeira.
Fonte: a autora.
Ter conhecimento desta linguagem facilita manipular calculadoras 
financeiras, assim como interpretar os resultados obtidos.
Vamos praticar? Resolveremos juntos alguns exercícios e será 
apresentada a resolução algebricamente intermediada por cálculos 
matemáticos e na linguagem para utilizar a calculadora HP-12C.
EXEMPLO: Qual o montante produzido por um capital de R$10.000, 
a uma taxa de 2,5% a.m. durante seis meses?
Retirando as informações do enunciado:
um período de capitalização é obtido um montante ou valor futuro (FV) 
parcial, assim, as relações que permitem a utilização do juros simples são 
dadas por: 
Matemática Financeira26
Assim substituindo as informações nas relações apresentadas, 
encontramos:
Solução na Calculadora HP-12C
10000 CHS PV
2,5 i
6 n
FV = 11.596,93
Para você, caro(a) aluno(a), compreender melhor a dinâmica da 
capitalização composta foi elaborada a Tabela 2, de maneira a acompanhar 
como os juros compostos funcionam.
Matemática Financeira 27
Tabela 2: Capitalização Composta
Fonte: A autora.
Período Capital Juros Montante
1 10.000 10.250
2 10.250 10.506,25
3 10.506,25 10.768,91
4 10.768,91 11.038,13
5 11.038,13 11.314,08
6 11.314,08 11.596,93
Chamo sua atenção aluno (a) para observar que o capital no qual 
incide a taxa de juros a cada período é sempre alterado, por isso essa 
modalidade é reconhecida como “juros sob juros”.
EXPLICANDO MELHOR:
Utilizaremos em nossos cálculos sempre duas casas 
decimais nos cálculos necessários em virtude do Sistema 
Monetário Brasileiro, assim é necessário relembrar as regras 
de arredondamento que instituem que para arredondar a 
segunda casa após a virgula é necessário observar o número 
que ocupa a terceira casa decimal, se este valor for igual ou 
menor que cinco, este último algarismo será mantido, caso 
contrário, acrescenta-se uma unidade ao algarismo que 
ocupa a segunda casa após a virgula.
Matemática Financeira28
Gráfico 2: Capitalização Composta.
Fonte: a autora
EXEMPLO: Uma poupança foi criada com a entrada de R$ 21.000,00 
e ficou capitalizandoem um período de 12 anos. Após esse tempo, foi 
comunicado ao cliente detentor dessa conta que o valor presente era 
de R$32.000,00. Logo, qual a taxa de juros compostos aplicado a esse 
capital?
As informações do enunciado são:
Matemática Financeira 29
Assim, substituindo as informações nas relações apresentadas, 
encontramos:
Solução na Calculadora HP-12C
21000 CHS PV
32000 FV
12 n
i 
EXEMPLO: Uma poupança foi aberta com um saldo de R$23.400,00 
e após determinado período sob uma taxa de juros composto de R$ 1,2% 
ao mês foi obtido um montante de R$29.150,00. Determine o período.
As informações do enunciado são:
Matemática Financeira30
Assim, alterando as informações nas fórmulas apresentadas, 
encontramos:
Matemática Financeira 31
Solução na Calculadora HP-12C
23400 CHS PV
28150 FV
1,2 i
n
Compare que o cálculo realizado na calculadora financeira HP – 12C 
é bem mais rápido e não demanda de manipulações algébricas como no 
cálculo tradicional, no entanto é necessário conhecimento prévio de sua 
dinâmica de funcionamento.
Diferença entre os Regimes de 
Capitalização
A capitalização é o espaço de tempo em que a aplicação gera os 
juros contratados. Desta maneira, um período de três anos e os juros 
capitalizados semestralmente, produz seis períodos de capitalização, no 
entanto, a maneira na qual o valor presente é determinado, adicionado ao 
juros obtido ou não, é que permite categorizá-lo em simples ou composto 
(NETO,2012).
O regime de capitalização simples e o composto se diferenciam 
quanto a modalidade que cada um adota ao capitalizar os juros, assim 
a capitalização simples se enquadra em um modelo linear, pois a cada 
período acrescenta a mesma parcela de juros,enquanto a capitalização 
composta obedece a um estereótipo exponencial, caracterizado por 
acrescentar sempre ao valor presente uma parcela corrigida a partir do 
montante anterior.
Graficamente a distinção entre essas duas modalidades de 
capitalização pode ser observada através do Gráfico 3 a seguir, que 
apresenta ambos em um mesmo plano cartesiano.
Matemática Financeira32
Gráfico 3: Comportamento da capitalização Simples e Composta
Fonte: Adaptado pelo autor
Observe no Gráfico que a inclinação da curva da capitalização 
composta é bem mais inclinada em relação à capitalização simples; essa 
diferença reflete diretamente no juro obtido nas relações financeiras.
EXEMPLO: Suponha que você tenha R$ 100.000,00 e o aplique em 
determinado investimento regido por uma taxa de juros de 0,75% a.m. 
durante um ano, qual o montante gerado conforme:
As informações do problema são:
Matemática Financeira 33
a. Capitalização simples:
Solução na Calculadora HP-12C
100000 CHS PV
12 n
0,75 i
FV = 109.000,00
A calculadora HP-12C calcula juros simples com base em um 
período que pode ser de 360 ou 365 dias. Além disso, com o juro 
acumulado no visor, a quantia total pode ser calculada (principal somado 
ao juro acumulado) pressionando +. Assim, para calcular os juros em um 
período de 360 ou 365 dias é necessário:
 • Digite ou calcule o número de dias e pressione n.
 • Digite a taxa de juros anual e pressione i.
 • Digite a quantia do principal e pressione CHS PV
Pressione:
 • f INT para calcular e exibir o juro acumulado em 360 dias.
 • f INT para calcular e exibir o juro 
acumulado em 365 dias.
Matemática Financeira34
Pressione + para calcular o total do principal e o juro acumulado 
agora no visor.
Lembrando que os valores de n, i e PV podem ser inseridos em 
qualquer ordem.
b. Capitalização composta:
Solução na Calculadora HP-12C
100000 CHS PV
12 n
0,75 i
FV = 109.938,69 
Se atente ao fato de que no período de um ano houve uma diferença 
de= R$938,69 (R$109.938,69 – R$109.000,00 = R$938,69), muita, não é 
mesmo?! Agora imagine esse incremento em transações realizadas em 
10, 20, 30 anos? Aumenta ainda mais, não é mesmo? Por isso, o juro 
composto é muito utilizado nas transações mais comuns no mercado 
financeiro.
Homogeneidade entre taxa e tempo
Em transações financeiras, sempre o período (n) deve estar 
condizente com a unidade de tempo (dias, meses e anos) em que foi 
estabelecida a taxa de juros. Lembrando que: 
Matemática Financeira 35
 • O ano civil equivale a 365 dias;
 • O ano comercial é igual a 360 dias;
 • O mês comercial compreende 30 dias.
É comum estar incidido em um empréstimo, por exemplo, uma taxa 
de juros capitalizada anualmente, mas um cliente quer contratá-lo em um 
período de meses, por isso a importância de realizar a transformação de 
uma taxa para outra.
Vamos lá? Entender na prática como ocorre esse processo de 
transformação? Avante caro aluno(a)!
EXEMPLO: Determine a equivalência de uma taxa de juros de 16% 
anual para:
a. Taxa diária;
b. Taxa mensal;
c. Taxa bimestral;
d. Taxa semestral.
Para obter tais transformações, basta realizar a divisão da taxa anual 
indicada pelo período em que se almeja a transformação, logo:
a. Taxa diária =
b. Taxa bimestral =
c. Taxa semestral =
d. Taxa mensal =
Matemática Financeira36
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe foi apresentado nesta unidade? 
Aprendeu mesmo tudo sobre este conteúdo? Agora, só 
para termos certeza de que você realmente entendeu o 
tema de estudo deste capítulo, vamos resumir tudo o que 
vimos! Vamos lá? Você conheceu com mais propriedade 
sobre a dinâmica da capitalização composta, isto é, sobre 
os juros compostos, modalidade na qual a taxa de juros é 
calculada sobre o montante obtido anteriormente; observe 
que em ambas as modalidades de capitalização é necessário 
estabelecer uma taxa de juros, um período, assim como o 
capital e o montante. A principal diferença entre o juro simples 
e composto consiste no valor no qual se incide o cálculo da 
taxa, na modalidade simples esse valor é constante, já na 
modalidade composta esse número sempre aumenta e é 
variável. Também aprendemos que em várias transações 
financeiras é necessário que o período seja igual à unidade de 
tempo (dias, meses e anos) em que se é capitalizada a taxa de 
juros, representando a homogeneidade entre taxa e tempo.
Matemática Financeira 37
Taxas
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo é esperado que você, estimado(a) 
aluno(a) compreenda sobre taxas de juros e as operações 
possíveis de serem executadas com a mesma, identificando 
o tipo de manipulação mais condizente com o regime 
de capitalização estabelecido.Já estudamos o conceito e 
aplicação as taxas neste contexto financeiro, agora será 
necessário conhecer um pouco mais sobre esse índice 
assim como diferenciá-las, assim iniciaremos este conteúdo 
apresentando as técnicas para conversão de taxas quanto 
ao seu período de capitalização: taxa proporcional e taxa 
equivalente.
Taxa Proporcional e Equivalente
Taxa proporcional e equivalente possuem a mesma função que 
basicamente consiste em transformar uma taxa que capitaliza os juros 
perante certo período para outro, a grande diferença entre ambas consiste 
na categoria de juros; assim, a taxa proporcional é aplicada aos juros 
simples, enquanto a taxa equivalente se relaciona aos juros compostos. 
Veja na figura 3 a seguir essa distinção.
Figura 4– Organograma sobre a classificação de taxas conforme o tipo de juros.
Fonte: a autora 
Matemática Financeira38
 Denominam-se as duas taxas como proporcionais quando 
promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao término 
de determinado período, isto é, a razão entre elas é igual a razão entre os 
respectivos períodos (ASSAF NETO, 2012).
Matematicamente isso corresponde à definição que será 
apresentada a seguir. 
Através da propriedade fundamental da proporção, o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:
Uma vez considerando:
EXEMPLO: Admitindo uma taxa anual igual a 45%, determine esse 
índice proporcional a:
a. Mensal;
b. Quadrimestral;c. Semestral;
d. Diária.
Para solucionar esse exercício, inicialmente basta substituir as 
informações na relação apresentada anteriormente:
a. Mensal: 
Como a taxa de juros de 45% informada é anual e este período é 
constituído por 12 meses, logo:
Matemática Financeira 39
b. Trimestral:
Como a taxa de juros de 45% informada é anual e este período é 
constituído por 4 trimestres, logo:
c. Semestral:
Como a taxa de juros de 45% informada é anual e este período é 
constituído por 2 semestres, logo:
Matemática Financeira40
Agora de volta ao contexto da capitalização composta, 
conheceremos mais sobre as taxas equivalentes assim como as técnicas 
admissíveis de serem utilizadas. Vamos lá?!
Netto (2012) declara que as taxas equivalentes são descritas 
conforme a seguir. 
Duas taxas são denominadas equivalentes se quando aplicadas 
a juros compostos e considerando um mesmo capital produzem um 
mesmo valor de montante (NETO,2012).
Existe uma relação matemática especifica que possibilita determinar 
essa equivalência, dada por:
Onde:’
Mas em quais situações devo utilizar de tais relações? É o que 
veremos na prática nos exemplos a seguir!
EXEMPLO: Qual a taxa bimestral, semestral e anual equivalente a 
taxa mensal de 3%?
Para solucionar tal situação utilizaremos como referência um 
bimestre como 2 meses ou 60 dias, um semestre com 6 meses ou 180 
dias e um ano como 12 meses ou 360 dias.
Matemática Financeira 41
 • Bimestral:
Logo, uma taxa de juros compostos de 3% mensal, equivale a uma 
taxa bimestral de 6,1%.
Matemática Financeira42
c. Semestral:
Logo, uma taxa de juros compostos de 3% mensal, equivale a uma 
taxa bimestral de 6,1%.
Matemática Financeira 43
d. Anual:
Logo, uma taxa de juros compostos de 3% mensal, equivale a uma 
taxa anual de 43,58%.
Basicamente as fórmulas que permitem realizar as conversões mais 
comuns são apresentadas na tabela a seguir, na qual:
Matemática Financeira44
Tabela 3 - Fórmulas para equivalência entre taxas.
Fonte: A autora
Período Relação
Anual para diário (a.a. 
para a.d.)
Mensal para diário 
(a.a. para a.d.)
Anual para mensal 
(a.a. para a.d.)
Diário para anual (a.a. 
para a.d.)
Diário para mensal 
(a.a. para a.d.)
Mensal para anual 
(a.a. para a.d.)
Taxa Nominal e Efetiva
Ao realizar um empréstimo, é comum questionarmos sobre o 
valor referente à taxa incidida na operação e como resposta somos 
informados que a taxa anual praticada é de 38%; porém, o prazo referente 
à constituição do juro, assim como sua agregação ao capital que o gera 
costumeiramente é mensal. 
Matemática Financeira 45
Na maioria das vezes, o mercado financeiro institui para uma mesma 
operação, expressões distintas de juros para sua forma de capitalização; 
um exemplo prático é ser comum nos juros do cheque especial utilizar 
tanto a taxa efetiva, quanto a taxa nominal. Assim, para comparar o custo 
para se realizar tal transação é essencial conhecer a fundamentação 
teórica de cada modalidade de taxa. A partir de situações como esta 
surge à necessidade de identificar, assim como diferenciar, a taxa nominal 
da efetiva e posteriormente efetuar a transformação entre ambas.
Castanheira e Macedo (2013) reiteram que a taxa nominal:
Uma taxa é chamada de nominal quando o intervalo de tempo ao 
qual se refere a taxa não se equipara com o período de capitalização.
Tendo como exemplo uma taxa de 16% semestral, a capitalização 
trimestral é tida como uma taxa nominal, pois a taxa se refere ao semestre, 
no entanto a capitalização dos juros ocorre trimestralmente,isto é,existem 
quatro períodos de capitalização em um ano.
Vamos, portanto, caro aluno(a), considerar, para tornar mais claro 
essa definição, a resolução do exemplo a seguir.
EXEMPLO: Determine o valor futuro de um capital de R$7.000,00 
aplicado a taxa nominal de 32% ao ano, durante dois anos sob regime de 
capitalização:
a. Bimestral;
b. Semestral;
Chamo sua atenção aluno(a), para o fato de que o período variará 
conforme a modalidade de capitalização. Logo, será necessário mudar 
o número correspondente ao tempo percorrido, lembrando que sempre 
será considerado nessas operações o juro composto, caso seja os juros 
simples, será especificado no comando da questão. 
a. Bimestral: como um bimestre compreende dois meses, 
para determinar o período basta calcular a razão:
Matemática Financeira46
assim como a taxa deve também ser modificada para
assim como a taxa deve também ser modificada para
b. Semestral: como um semestre compreende seis meses, 
para determinar o período basta calcular a razão:
Solução pela calculadora HP-12C
7000 CHS PV
5 i
6 n
FV
Matemática Financeira 47
Tabela 4: Transformação de taxa com período maior ao período de capitalização.
Solução pela calculadora HP-12C
7000 CHS PV
16 i
2 n
FV
É comum surgirem dúvidas quanto à maneira de converter 
períodos, conforme a periodicidade de conversão. Assim, para facilitar sua 
compreensão, basta identificar na tabela a seguir a alteração necessária a 
ser realizada no exercício proposto.
Quando o período da taxa é maior que o período de capitalização, 
a transformação ocorre dividindo valores. Observe a Tabela 4, a seguir:
Capitalização Operação
semestral ÷ 2
trimestral ÷4
bimestral ÷6
mensal ÷12
diária ÷360
Taxas
Anual
Matemática Financeira48
trimestral ÷2
bimestral ÷ 3
mensal ÷6
diária ÷180
bimestra ÷1,5
mensal ÷ 3
diária ÷90
mensal ÷2
diária ÷ 60
Mensal ÷30
Semestral
Trimestral
Bimestral
Mensal
Fonte: A autora
Em contrapartida, quando o período da taxa é menor que o período 
de capitalização, a transformação ocorre multiplicando valores; agora 
observe a próxima tabela.
Matemática Financeira 49
anual x12
semestral x6
trimestral x3
bimestral x2
anual x6
semestral x3
trimestral x2,5
Mensal
Bimestral
Tabela 5: Transformação de taxa com período menor ao período de capitalização.
Capitalização Operação
anual x360
semestral x180
trimestral x90
bimestral x60
mensal x30
Taxas
Diária
Matemática Financeira50
anual x4
semestral x2
anual x2
Trimestral
Semestral
Fonte: A autora
Fonte: A autora
Figura 6: Comparação entre taxa nominal e efetiva.
Agora que finalizamos as definições relacionadas à taxa nominal, 
conheceremos outra modalidade de taxa, a efetiva, que de acordo com 
Castanheira e Macedo (2013) é:
 • quando o prazo referente a uma taxa coincide com o 
período de formação e incorporação do juro ao capital 
que o produziu existe uma taxa efetiva.
Na dinâmica taxa efetiva não importa o prazo no qual o capital 
será acrescentado de juros, pois o resultado, isto é, o montante será 
sempre o mesmo, porque o juro é capitalizado uma única vez no período 
correspondente a taxa (ASSAF NETO, 2012).
Inicialmente podem parecer confusas as definições da taxa nominal 
e da taxa efetiva, no entanto a maneira mais fácil de entender essas 
definições é a partir das distinções entre ambas; mas como? Observe 
atentamente as informações a seguir e compreenderá esse comando.
Matemática Financeira 51
É importante destacar que a taxa nominal não é usada nos cálculos 
financeiros e sim a taxa efetiva e por convenção a transformação da taxa 
nominal para a taxa efetiva é realizada proporcionalmente.
Agora vamos praticar?
EXEMPLO: Determine o montante e a taxa efetiva incidido sobre 
um empréstimo de R$5.000,00 a ser pago em parcela única em um ano? 
Considere uma taxa nominal de 11% anual com capitalização mensal.
Retirando as informações do exercício, encontramos:
é necessário realizar a conversão para taxa nominal, logo 
proporcionalmente uma taxa anual para mensal:
Agora substituindo na fórmula de juros compostos:
Solução pela calculadora HP-12C
5000 CHS PV
Matemática Financeira52
16 i
0,92 n
FV = 5.580.81
Logo, o montante é igual a R$5.580,81; já para determinar a taxa 
efetiva pertencente a essa operação é necessário retornarmos com os 
valoresdo montante encontrado e do capital; em contra partida o período 
será modificado para um, pois encontraremos a taxa efetiva anual. Veja:
Solução pela calculadora HP-12C
1 n
i 
Outra maneira de se determinar a taxa efetiva é através da relação:
Em que:
taxa efetiva;
número de períodos de capitalização de juros;
Matemática Financeira 53
Assim resolvendo o exemplo anterior já direto na fórmula, 
encontramos:
EXEMPLO: Uma instituição financeira possui dentre sua cartela de 
produtos uma aplicação financeira que paga 40% ao ano; um cliente, após 
um mês de prazo, solicitou a rentabilidade efetiva considerando os juros 
de 40% a.a. como:
a. Taxa Efetiva;
b. Taxa Nominal.
Hora de praticar caro(a) aluno(a)! Vamos lá?
a. Taxa Efetiva: a rentabilidade mensal corresponde a taxa 
equivalente composta de 40% a.a.; logo:
Matemática Financeira54
b. Taxa Nominal: a rentabilidade mensal de 40%a.a. é 
encontrada pela taxa proporcional, assim:
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos neste capítulo? 
Aprendeu mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza 
de que você realmente entendeu o tema de estudo deste 
capítulo, vamos resumir tudo o que vimos nesta terceira 
unidade. Você deve ter aprendido sobre a classificação das 
taxas de juros e suas respectivas peculiaridades; inicialmente 
estas podem ser calculadas proporcionalmente quando 
manejando os juros da modalidade simples e encontradas 
equivalentemente no trabalho com os juros compostos; 
também você deve ter conhecido sobre as taxas efetivas e 
nominais; estas se diferenciam e se classificam quanto ao 
período que ocorre a capitalização e o período de incidência 
e cálculo da taxa de juros, basicamente quando estes 
indicativos são iguais, estas taxas recebem a denominação de 
taxas efetivas e se o período de capitalização e o período de 
cálculo da taxa são distintos, ou seja, diferentes no período, 
então estas são chamadas de taxas nominais. 
Matemática Financeira 55
Fluxo de Caixa e Equivalência Financeira
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo é esperado que você, estimado(a) 
aluno(a), compreenda sobre um dispositivo gráfico muito útil 
na administração, denominado fluxo de caixa, assim como, 
entenda sobre o conceito de equivalência financeira que 
relaciona a igualdade de capitais, conforme determinado 
período.
Fluxo de Caixa
Fluxo de caixa e equivalência financeira são conceitos 
imprescindíveis em uma administração consciente dos recursos 
financeiros de uma empresa e devido a tal importância, detalharemos a 
seguir sobre os mesmos.
A matemática financeira estuda a relação do dinheiro conforme 
o tempo e o fluxo de caixa e é muito importante nas operações de 
matemática financeira, uma vez que possibilita a visualização da variação 
do capital.
Assaf Neto (2012) define fluxo de caixa como:
Representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas em 
uma linha do tempo.
O fluxo de caixa não será o mesmo sempre, pois os valores e 
quantidade de entradas e saídas variarão, no entanto, há um estereótipo 
definido para essa representação que é identificado pela figura 5, a seguir.
Matemática Financeira56
Figura 7: Fluxo de Caixa.
Fonte: Adaptado pelo autor
Para construir essa representação é necessário seguir algumas 
regras, são elas:
 • A linha horizontal indica uma escala de tempo, isto é, o 
horizonte financeiro da operação;
 • O ponto zero indica o período inicial e os demais pontos às 
datas com registro financeiro;
 • Setas acima da linha do tempo indicam recebimentos ou 
entradas;
 • Setas para abaixo da linha do tempo sinalizam aplicações 
ou saídas de dinheiro. 
 • PV ou valor presente simboliza o capital no momento atual.
 • FV ou valor futuro que simboliza o montante obtido após 
o investimento de certo capital em determinado período.
 • PMT indica o valor de uma parcela que pode ser adicionada 
ou subtraída do montante a cada período.
Equivalência Financeira
Imagine a seguinte situação, na qual você vai ao banco e um 
atendente te afirma que R$ 1000,00 reais hoje equivale a R$1200,00 daqui 
a um ano. E essa situação te intriga, afinal, será verdadeira tal afirmação? 
Sim, é! No âmbito da matemática financeira um valor hoje, pode sim, 
Matemática Financeira 57
ser equivalente a outro, em determinado futuro, pois ambos capitais 
produzem, numa determinada data e submetido à determinada taxa, 
resultados semelhantes.
A equivalência financeira se refere diretamente a equivalência entre 
capitais, esse conceito é muito útil em ocasiões em que se desejam 
postergar ou antecipar o vencimento de diferentes títulos.
Teoricamente, Assaf Neto (2012) descreve equivalência financeira 
como:
Dois ou mais capitais são ditos equivalentes quando, a um a certa 
taxa de juros produz resultados iguais numa data em comum e a data 
para o qual os capitais são transferidos recebe o nome de data focal.
Quando relacionados ao fluxo de caixa, estes são equivalentes se 
seus valores presentes quando submetidos a mesma taxa de juros forem 
idênticos. 
É importante enfatizar que para a capitalização simples a 
equivalência entre capitais depende da escolha da data focal escolhida e 
por isso, na prática não é muito utilizada.
Já na capitalização composta, a data focal pode ser qualquer uma, 
porque se dois ou mais capitais são equivalentes em determinada data, 
logo, o serão em qualquer data.
Assim, considerando que os capitais
com vencimentos para datas
 são equivalentes, se mantém a seguinte proporção:
Matemática Financeira58
Mas na prática? Como algebricamente conseguimos comprovar 
a equivalência entre dois ou mais capitais? Existem diferentes relações 
para quando os vencimentos são anteriores a data focal ou posteriores a 
ela; assim como o regime de capitalização simples ou composta também 
altera as relações.
Vamos lá! Resolver mais um exemplo? Avante!!!
EXEMPLO: Considere dois títulos nos valores de R$12.453,89 e 
R$ 14,768,98 com vencimentos de 3 e 7 meses, respectivamente e 
submetidos a uma taxa de 1,4% ao mês. Verifique a equivalência destes 
capitais.
Para identificar a equivalência ou não destes capitais, inicialmente 
retiraremos as informações do enunciado, que é:
Agora, basta substituir estes valores na relação apresentada 
anteriormente e verificar se obtemos valores coincidentes.
Matemática Financeira 59
 Logo, é possível concluir que os capitais são equivalentes.
Solução pela calculadora HP-12C
15208,18 CHS PV
4 i
3 n
FV
E depois conferir com o outro cálculo:
17107,13 CHS PV
4 i
3 n
FV
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você realmente 
entendeu o tema de estudo deste capítulo, vamos resumir tudo 
o que vimos. Você deve ter aprendido sobre um dispositivo 
gráfico que apresenta diversas operações financeiras 
pertinentes a uma empresa e que recebe o nome de fluxo de 
caixa, e, através desta representação, é possível visualizar as 
movimentações com o caixa da empresa, conforme o período. 
Por fim, conhecemos o conceito de equivalência financeira, 
que simplesmente se refere à igualdade entre os mesmos 
valores de capitais quando regidos nas diferentes técnicas 
de capitalização: simples ou composta. Este conceito é muito 
utilizado em instituições financeiras na pratica de liquidação 
de débitos, assim, é possível identificar o valor a ser pago por 
uma antecipação de saldos.
Matemática Financeira60
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações. 
12ª. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira fundamental. São Paulo: 
Atlas, 2003.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática 
Financeira Aplicada. Curitiba: Intersaberes, 2013. 275 p.
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira - Uma Abordagem Moderna. 
2ª.ed. Rio de Janeiro:Ltc LTC,1994.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática Financeira.São Paulo: Editora Atlas, 1996. 
Matemática Financeira 61
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Matemática Financeira
Unidade 2
Descontos 
e Séries de 
Pagamentos
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Matemática 
Financeira
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Diretora Editorial 
ANDRÉA CÉSAR PEDROSA
Projeto Gráfico 
MANUELA CÉSAR ARRUDA
Autora 
RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO
Desenvolvedor 
CAIO BENTO GOMES DOS SANTOS
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Olá. Meu nome é Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro. Licenciada em 
Matemática e Especialista em Metodologia do Ensino de Matemática; 
com ampla experiência docente nas esferas do ensino fundamental, 
médio e superior. Sou apaixonada pelo que faço e pela matemática e 
adoro lecionar e transmitir sobre essa disciplina fascinante. Por isso fui 
convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores 
independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de 
muito estudo e trabalho. Conte comigo!
A AUTORA
Olá. Meu nome é Manuela César de Arruda. Sou a responsável pelo 
projeto gráfico de seu material. Esses ícones irão aparecer em sua trilha 
de aprendizagem toda vez que:
ICONOGRÁFICOS
INTRODUÇÃO: 
para o início do 
desenvolvimento de 
uma nova com-
petência;
DEFINIÇÃO: 
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA: 
quando forem 
necessários obser-
vações ou comple-
mentações para o 
seu conhecimento;
IMPORTANTE: 
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA? 
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundamen-
to do seu conheci-
mento;
REFLITA: 
se houver a neces-
sidade de chamar a 
atenção sobre algo 
a ser refletido ou 
discutido sobre;
ACESSE: 
se for preciso aces-
sar um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO: 
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das 
últimas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de au-
toaprendizagem for 
aplicada;
TESTANDO: 
quando o desen-
volvimento de uma 
competência for 
concluído e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Conhecendo o Desconto Simples ....................................................... 11
Desconto Simples .........................................................................................................................11
Desconto Simples Comercial ...............................................................................................12
Desconto Simples Racional ...................................................................................................15
Aplicando o Desconto Composto ........................................................ 18
Desconto Simples .........................................................................................................................18
Desconto Composto Comercial ou Bancário ...........................................................19
Desconto Composto Racional .............................................................................................22
Compreendendo sobre as Séries de Pagamentos (1ªparte) .... 26
 Séries de Pagamentos .............................................................................................................26
Classificação ....................................................................................................................................27
Séries Postecipadas ....................................................................................................................29
Compreendendo sobre as Series de Pagamentos (2ªparte) ... 40
Pagamentos antecipados .......................................................................................................40
Séries Diferidas ...............................................................................................................................45
Matemática Financeira8
UNIDADE
02
DESCONTOS E SÉRIES DE PAGAMENTOS
Matemática Financeira 9
Caro (a) aluno(a), você sabia que a ideia de desconto se associa 
ao abatimento de dado valor monetário, pois bem, quem nunca pediu 
um desconto? Ou foi direcionado a conceder desconto de acordo com 
certa situação? Com certeza sua é resposta é sim, para um ou os dois 
questionamentos. Na matemática financeira seremos apresentados aos 
descontos simples, que é interligado a metodologia da capitalização 
simples e o desconto composto que é inerente a capitalização composta. 
Dando sequência aos nossos estudos, seremos apresentados aos 
conceitos relacionados às series de pagamentos, como sua definição, 
classificação, séries potenciadas, séries antecipadas e diferidas, assim 
como seu modelo geral e seus modelos variáveis. Ao longo deste estudo, 
vamos mergulhar juntos neste universo!
INTRODUÇÃO
Matemática Financeira10
Olá. Seja muito bem-vindo à Descontos e Séries de Pagamentos. 
Nosso objetivo é auxiliar você no atingimento dos seguintes objetivos de 
aprendizagem até o término desta etapa de estudos:
1. Definir e solucionar problemas relacionados ao Desconto Simples;
2. Conceituar e resolver situações problemas de Desconto 
Composto;
3. Compreender sobre as Séries de Pagamentos Postecipados; e
4. Compreender sobre as Séries de Pagamentos Antecipados e 
Diferidos.
Então? Preparado para adquirir conhecimento sobre um assunto 
fascinante e inovador como esse? Vamos lá
OBJETIVOS
Matemática Financeira 11
Conhecendo o Desconto Simples
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo você será capaz de entender 
como funciona a dinâmica do desconto simples. Aprenderá 
sobre os diferentes tipos de desconto simples, assim como 
aprenderá a identificá-los e diferenciá-los. E então? Motivado 
para desenvolver esta competência? Então vamos lá. Avante!
Desconto Simples
A prática de aplicar desconto é um ato inerente as relações 
comerciais. Costumeiramente solicitamos desconto ou somos atraídos 
por propagandas que ofertem algum tipo de desconto. De regra, a prática 
de desconto é realizada quando temos ciência do montante ou valor 
nominal de um título de crédito e se almeja encontrar o valor atual desse 
título.
VOCÊ SABIA?
Existem dois tipos de título de crédito: a nota promissória e a 
duplicata. A primeira se caracteriza por ser um comprovante 
de aplicação de um capital com vencimento predeterminado; 
já a segunda se caracteriza por ser um título criado por uma 
pessoa jurídica contra o seu cliente, que pode ser uma pessoa 
física ou jurídica.
Matematicamente Castanheira e Macedo (2013, p.39) discorrem 
que:
 • “Desconto é o abatimento concedido sobre um título de 
crédito em virtude de seu resgate antecipado”.
Para calcular o desconto, é necessário conhecer a taxa de 
desconto, assim como o período, que corresponde ao tempo faltante 
para o vencimento do título ou dívida, uma vez que representa a retirada 
do juro calculado pelo banco nas operações de capitalização simples, 
Matemática Financeira12
proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento. (CASTANHEIRA; 
MACEDO, 2013).
Na modalidade de desconto simples aprenderemos juntos as duas 
categorias pertinentes a essa modalidade, observe a apresentação destas 
na Figura 1 a seguir.
Figura 1 - Classificação de Desconto Simples.
Fonte: A autora
Agora vamos juntos desvendar cada categoria desta de desconto 
simples, conhecendo sua definição e resolvendo vários exercícios 
relacionados a este assunto. Vamos lá?
Desconto Simples Comercial
O desconto simples comercial ou desconto “por fora”, que será 
representado Dc Dc e utilizado a partir da incidência de uma taxa de 
desconto da dívida no dia do seu vencimento; a relação matemática que 
permite esse cálculo é dado por:
Onde:
Dc = Desconto comercial simples
i = taxa de juros
n = tempo que falta para vencer a dívida
Se determinado o desconto,é possível calcularmos o valor atual 
(Vc) (Vc)para a data de resgate do título, pois o valor atual é o resultado da 
diferença entre o montante e o desconto simples, isto é: 
Matemática Financeira 13
Assim, a fórmula que possibilita a determinação do valor atual é:
Chamo sua atenção, estimado (a) aluno(a), para o fato que nestas 
relações não há ocorrência de uma taxa administrativa bancária, que é 
uma prática comum no mercado financeiro; e neste contexto surge o 
desconto comercial bancário, que será indicado por (Db) (Db) e pode ser 
calculado pela fórmula:
Onde h, representa a taxa de despesa administrativa.
Para compreendermos como funciona a aplicação destes conceitos 
vamos resolver alguns exemplos, acompanhe a resolução detalhada a 
seguir!
EXEMPLO: Determinado título de R$ 8.600,00 foi descontado 
dois meses antes de seu vencimento. Sabe-se que a taxa corrente em 
desconto comercial é de 23% ao ano. Determine o desconto comercial e o 
valor que o dono do título recebeu.
Retirando as informações do enunciado, obtemos:
Matemática Financeira14
Assim, o desconto comercial é encontrado da seguinte forma:
Já para determinar o valor do título recebido, basta substituir na 
fórmula de valor atual:
Logo, o desconto comercial foi de R$329,67 e o valor recebido pelo 
dono do título foi de R$ 8.270,33.
Cálculo pela calculadora HP-12C
8600 CHS PV
23 i (taxa ao ano)
2 ENTER
30 x n (perdido em dias)
f INT (desconto comercial = 329,67)
RCL PV
+ (valor atual = 8.270,33)
Matemática Financeira 15
Desconto Simples Racional
O desconto racional simples, indicado por é encontrado a partir da 
aplicação da taxa de desconto sobre o valor atual do título de crédito, 
determinado por:
Onde n representa o tempo faltante para o vencimento da dívida.
Já o valor atual (Vr) (Vr) pode ser encontrado por duas relações:
Simples, não é mesmo? Vamos partir para a prática agora caro (a) 
aluno(a). Avante!
EXEMPLO: Encontre o valor do desconto racional simples e o valor 
a ser resgatado de um título R$ 25.700,00, vencível em 3 meses e 10 dias, 
descontado a uma taxa de juros de 27% ao ano.
Retirando as informações do enunciado, obtemos:
Matemática Financeira16
Para descobrir o desconto racional é necessário determinar 
inicialmente o valor racional, que será determinado da seguinte forma:
Já para determinar o valor do título recebido, basta substituir na 
fórmula de valor atual:
Cálculo pela calculadora HP-12C
25700 CHS PV
27 i (taxa ao ano)
2 ENTER
30 x n 
f INT 
RCL PV
+ 
Matemática Financeira 17
RESUMINDO:
Prezado (a) aluno(a) gostou do conteúdo desta nossa unidade? 
Aprendeu tudinho? Para refrescar sua memória vamos 
relembrar juntos sobre os principais pontos essenciais para seu 
sucesso neste conteúdo. Nesta unidade, aprendemos sobre 
um conceito muito utilizado no nosso dia a dia, o desconto, 
mas agora sob uma concepção mais formal, fundamentado 
em fórmulas matemáticas adequadas. Aprendemos que o 
desconto comercial simples é calculado sob o valor total 
da dívida no dia do seu vencimento, já o desconto racional 
simples é incidido sobre o valor atual do título de crédito; essa 
é a diferença fundamental entre essas duas modalidades de 
desconto simples.
Matemática Financeira18
Aplicando o Desconto Composto
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo objetivamos que você, estimado 
(a) aluno (a), seja capaz de conhecer sobre a prática de 
desconto simples, compreendendo sua definição, assim 
como as relações que fundamental essa dinâmica. Através de 
exemplos resolvidos passo a passo você conseguirá entender 
essa nova definição.
Desconto Simples
Para reafirmar a definição de desconto, Castanheira e Macedo 
(2008, p.65) afirmam que desconto consiste num abatimento concedido 
sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipado.
Mas qual a distinção existente na modalidade de desconto? 
Basicamente o desconto composto se assemelha muito ao desconto 
simples, a diferença pontual consiste na modalidade em que se incide a 
taxa de desconto, que neste caso é a capitalização composta.
O desconto composto também se subdivide em duas categorias: 
o desconto composto comercial, popularmente chamado de desconto 
bancário e o desconto composto racional, como apresenta a seguir a 
ilustração da Figura 2.
Figura 2 -Classificação de Desconto Composto.
Fonte: A autora
Matemática Financeira 19
A partir de agora vamos desvendar juntos cada categoria relacionada 
aos descontos compostos. Vamos lá?
Desconto Composto Comercial ou 
Bancário
Conforme Castanheira e Macedo (2013, p.80) elucidam, que “o 
desconto composto comercial é calculado sobre o valor da dívida no dia 
do seu vencimento”. Denotaremos novamente por Dc Dc a denotação 
pelo desconto comercial, este será encontrado mediante a aplicação de 
uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de crédito.
A relação matemática que possibilita o cálculo do Dc Dc é 
encontrada a partir da associação de desconto relacionada à capitalização 
composta e é dado por:
Onde o valor comercial (Vc Vc) é encontrado pela igualdade:
Unindo a fórmula direcionada ao desconto comercial e o valor 
comercial é possível encontrar uma relação que orienta o cálculo do 
desconto comercial a partir do montante (M), da taxa de juros (i) e do 
período (n), que é obtida por:
EXEMPLO: Encontre o valor do desconto composto comercial de 
um título de R$ 14.000,00, descontado seis meses antes do vencimento, 
submetido a uma taxa de desconto de 1,5% a.m.?
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
Matemática Financeira20
Já sabemos que o desconto comercial é encontrado pela relação:
Para determinar o valor do título recebido, basta substituir na 
fórmula de valor atual:
Assim, concluímos que o desconto composto comercial foi de 
R$1213,68 e o valor recebido foi de R$ 12.786,32.
Cálculo pela calculadora HP-12C
14000 CHS PV
1,5 CHS i (taxa de desconto)
6 n
Matemática Financeira 21
Sabemos que a fórmula para o cálculo do valor a ser recebido é:
FV (valor de resgate do título)
RCL PV (recupera o valor de PV)
+
Exemplo]] Determine a taxa de desconto composto comercial 
concedida a um título de R$ 32.674,00 descontado nove meses antes do 
vencimento, uma vez que o valor líquido recebido foi de R$ 28.434,00.
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
Matemática Financeira22
Logo, a taxa de desconto equivale a 1,54%.
Cálculo pela calculadora HP-12C
32674 CHS PV
28434 FV
9 n
i
Desconto Composto Racional
Semelhante ao desconto simples racional, o desconto composto 
racional é calculado sobre o valor do título (Vr), dependendo do montante 
em questão e sua relação algébrica é descrita por:
Uma vez que o valor atual do título é encontrado por:
Onde: Dr= Dr= Desconto composto racional
i=i Taxa de juros
n= n= Tempo que falta para vencer a dívida
M= M= valor nominal do título
De maneira a facilitar e agilizar nossos cálculos, vamos unir a 
fórmula relacionada ao desconto racional com o do valor do título atual, 
assim obtemos a seguinte relação:
Matemática Financeira 23
Vamos partir para a prática? Avante caro(a) aluno(a)!!!
Para encontrar o desconto racional, partiremos da determinação do 
valor atual do título, assim:
De posse deste valor, encontramos o desconto composto racional:
Logo, o desconto composto racional será de R$ 5.239,16 e valor a 
ser pago é de R$ 39.869,34.
Cálculo pela calculadora HP-12C
45108,5 CHS FV
5 n
Matemática Financeira24
2,5 i
PV (valor recebido = 39.869,34)
RCL FV
+ (desconto racional com sinal negativo = -5.239,16)
CHS (trocar o sinal)
EXEMPLO: Um título de R$ 10.000,00 foi resgatado antes de seu 
vencimento, sob umataxa de desconto composto racional de 2,03% ao 
mês. Uma vez que o resgate foi efetuado por R$8.678,65, determine 
quanto tempo antes do vencimento esse título foi pago.
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
Para encontrar o tempo decorrido, utilizamos a relação:
Matemática Financeira 25
Logo, o título foi quitado 21 meses antes do previsto.
Cálculo pela calculadora HP-12C
10.000 CHS PV
8.678,65 FV
2,03 i
n
RESUMINDO:
Estimado aluno(a), gostou dessa nossa segunda unidade? 
Interessou-se por essa temática? Para instigar mais seu 
interesse, vamos juntos revisar o que aprendemos neste 
conteúdo de matemática financeira. O desconto composto 
não utiliza das mesmas fórmulas do desconto simples pelo 
fato da taxa de juro ser calculada ao modo “juros sob juros”, 
isto é, sob capitalização composta. Neste contexto, somos 
apresentados às modalidades de desconto composto: o 
comercial e o racional. O desconto composto comercial se 
caracteriza por também poder ser chamado de desconto 
bancário e é determinado sobre o valor da dívida no seu dia 
de vencimento; já o desconto composto racional é calculado 
sobre o valor atual do título; diferença esta que pode parecer 
inicialmente como irrelevante ou simples, mas que altera e 
muito nos resultados obtidos, após aplicação das taxas de 
juros compostos.
Matemática Financeira26
Compreendendo sobre as Séries de 
Pagamentos (1ªparte)
INTRODUÇÃO:
Objetivamos com o estudo deste tópico, que você caro 
(a) aluno (a), compreenda a definição referente a series de 
pagamentos, suas possíveis classificações, assim como 
conhecer sobre a modalidade de séries postecipadas.
 Séries de Pagamentos
É bem provável que você, estimado (a) aluno (a), já tenha se 
deparado com alguma situação referente às operações financeiras que 
envolvam pagamentos ou recebimentos parcelados, não é mesmo? Com 
toda certeza sua resposta a este questionamento deve ter sido SIM! Neste 
contexto, iniciamos este tópico com a definição de Séries de Pagamentos, 
que conforme Assaf Neto (2012, p.198) é:
 • “Uma série de pagamentos ou anuidades representam 
as operações financeiras em um dado período, sobre um 
investimento ou dívida”.
Geralmente as séries de pagamentos estão sujeitas a uma taxa 
de juros, previamente especificada e fixada; ressalta-se que pode haver 
mudança na taxa de juros, conforme a série. Situações como aquisição 
de bens e empréstimos são situações que exemplificam bem as séries 
de pagamentos.
A representação gráfica referente a uma série de pagamentos é 
exibida por intermédio da Figura 3, a seguir:
Matemática Financeira 27
Figura 3 - Representação de uma série de pagamentos.
Figura 4-Classificação das Series de Pagamentos.
Fonte: a autora
Fonte: Adaptado pela autora
Classificação 
As séries de pagamentos podem ser classificadas mediante cinco 
critérios, que estabelecem diferenças entre vários aspectos de uma série 
de pagamentos e estes são apresentados na Figura 4 a seguir.
Matemática Financeira28
Dando continuidade ao estudo desta temática, agora com mais 
detalhes sobre a classificação das séries de pagamentos, vamos discutir 
cada critério separadamente.
Com relação ao tempo, que remete a característica da quantidade 
de pagamentos existem duas categorias:
 • Temporária: quando existe um número limitado de 
pagamentos;
 • Infinita: quando a quantidade de pagamentos é ilimitada.
Quanto à periodicidade, característica que indica a frequência dos 
pagamentos há duas divisões:
 • Periódicos: pagamentos ocorrem em intervalos de tempo 
iguais;
 • Não–periódicos: pagamentos ocorrem em intervalos de 
tempo variáveis.
Em relação ao valor dos pagamentos, que são descritos pelo valor 
de cada parcela, os subgrupos são:
 • Fixos ou uniformes: os valores dos pagamentos são iguais;
 • Variáveis: os valores dos pagamentos são diferentes.
Em relação ao vencimento da primeira prestação, também existem 
duas possibilidades:
 • Imediata: o pagamento ocorre no primeiro período da 
série;
 • Diferida: o pagamento ocorre em períodos subsequentes 
ao primeiro.
E por fim, quanto ao momento dos pagamentos, existem duas 
divisões:
Antecipada: o primeiro pagamento ocorre no “ato” do negócio;
Postecipada: o primeiro pagamento ocorre um período após o “ato” 
do negócio.
Matemática Financeira 29
Séries Postecipadas
Caro(a) aluno(a), uma série recebe o nome de postecipada quando 
os pagamentos ou recebimentos são realizados ao final de cada intervalo 
de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. Abaixo, o fluxo de 
caixa desse tipo de operação está representado pela figura 5.
O valor presente , isto é, o PV dessa série, é calculado um periodo 
antes do primeiro termo e submetido a uma determinada taxa de juros 
compostos i, é dado por:
Onde consideraremos:
Matemática Financeira30
SAIBA MAIS:
PMT origina da abreviação da expressão inglesa “Periodic 
Payment Amount” e se refere a pagamentos de um mesmo 
valor. Na calculadora financeira HP-12 c encontramos uma 
sigla já referente a esta operação com a simbologia PMT.
Estudaremos juntos o exemplo a seguir:
EXEMPLO: Determine o valor referente a um capital que se aplicado 
a um determinado investimento para a retirada de R$ 1.000,00 ao final 
de cada mês, durante os próximos nove meses com uma taxa de juros 
mensal de 3%.
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos:
Substituindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Matemática Financeira 31
Onde será adotado
Assim, de modo a realizar retiradas no valor de R$1.000,00, é 
necessário um valor presente de R$7.786,11.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
g BEG
9 n
3 i
1000 CHS PMT
PV
Aninda no contexto das séries postecipadas, há uma fórmula 
específica também para o valor futuro, ou seja, o VF, calculado na data do 
último termo é dada por:
Matemática Financeira32
VOCÊ SABIA?
Existem funções financeiras do Excel, como a função 
financeira PGTO, para o cálculo do valor da prestação. É 
necessário escolher o Tipo:“0” (ou não especificado) para o 
valor presente PV da série, um período anterior ao primeiro 
termo e o valor futuro FV na data do último termo;e “1” para o 
valor presente PV da série na data do primeiro termo e o valor 
futuro FV um período em seguida ao último termo.
Iremos ver na prática a utilização deste conceito, intermediado pelo 
exemplo a seguir:
EXEMPLO: Camila almeja criar uma reserva para possíveis 
imprevistos financeiros e estipulou que no presente momento pode 
guardar a quantia de R$ 250,00 mensalmente pelo período de um ano. 
Neste contexto, determine o total arrecadado por Camila após este 
período.
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos:
Substituindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Matemática Financeira 33
Assim, ao final de um ano Camila acumularia um total de R$3.400,55.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
g BEG
12 n
2,25 i
250 CHS PMT
FV
Ainda nas seríes postecipadas, utilizaremos de relações específicas 
para a determinação do valor exato das prestações, ou seja, o PMT; elas 
se diferenciam quanto a informação que for disponibilizada no exercício, 
isto é, há uma fórmula para quando é informado o valor do valor presente 
(PV) e outra para quando conhecemos o valor futuro (FV); observe: 
Matemática Financeira34
Onde será adotado
Vamos lá? Partiremos para dois exemplos, que juntos resolveremos. 
O primeiro será informado o valor presente no enunciado, já no segundo 
exemplo a informação se destinará ao valor futuro.
EXEMPLO: Na venda de seu automóvel usado, Arthur recebeu 
R$8.100,00; este valor será utilizado para a compra de outro, cujo valor à 
vista equivale a R$ 20.100,00. O saldo faltante para a compra do veículo 
será quitado em 15 prestações mensais, postecipadas. Considerando uma 
taxa de juros compostos de 2,3% ao mês, determine o valor referente a 
cada prestação. 
Identificando as informaçõesdo enunciado, encontramos:
Matemática Financeira 35
Substituindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Logo, o valor referente as prestações será de R$954,99.
Calculo pela calculadora financeira HP-12C
g END
15 n
2,3 i
PMT
EXEMPLO :Uma família sairá de férias e deseja se planejar 
financeiramente por alguns meses; o total da viagem equivale a 
R$10.000,00. Qual o valor a ser economizado mensalmente, uma vez que 
o dinheiro será aplicado a uma taxa de 0,45% ao mês nos próximos oito 
meses?
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos
Matemática Financeira36
Substituindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Logo para alcançar um total de R$10.000,00 ao final de oito meses 
serão necessários parcelas correspondentes a R$1230,45.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
10000 CHS FV
8 n
0,45 i
PMT
Matemática Financeira 37
Ainda é possível encontrar uma taxa aproximada de juros referente 
a um contrato que parcelas em sua composição; basta conhecermos o 
valor de cada prestação, o valor presente e a quantidade de parcelas; 
essa determinação é encontrada através da seguinte fórmula.
EXEMPLO: Determine a taxa de juros mensal efetiva, considerando 
a obtenção de um empréstimo no valor de R$50.000,00, que será 
parcelado em 24 prestações mensais de R$2.900,00, considerando 
prestações postecipadas.
Identificando as informações do enunciado, encontramos:
Matemática Financeira38
Substituindo estes dados na relação adequada:
Assim, é possível afirmar que a taxa de juros acometida nesta 
operação foi de 2,81%.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
50.000 CHS PV
2900 PMT
 24 n
 i
EXPLICANDO MELHOR:
Na calculadora HP - 12C ao ativar a função azul END (g END), 
o valor presente PV da série está localizado um período antes 
do primeiro termo e o valor futuro FV na data do último termo; 
já acionando a função azul BEG (g BEG), o valor presente PV 
da série está localizado na data do primeiro termo e o valor 
futuro FV um período após o último termo.
Matemática Financeira 39
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você realmente 
entendeu o tema de estudo deste capítulo, vamos resumir 
tudo o que vimos. Você deve ter aprendido que as séries de 
pagamentos ou anuidades indicam operações financeiras em 
um dado período, sobre um investimento ou dívida; estas estão 
sujeitas a uma pré-fixada taxa de juros. Também vimos que 
as séries de pagamentos podem ser classificadas mediante 
cinco critérios: o tempo, a periodicidade, o momento em que 
se realizam os pagamentos, a data de vencimento da primeira 
parcela e quanto ao valor direcionado aos pagamentos. Por 
fim, aprofundando mais o conteúdo de séries de pagamentos, 
conhecemos mais sobre as séries postecipadas, que são 
descritas pelo fato de o primeiro pagamento ocorrer um 
período após o “ato” do negócio, isto é, não é imediato.
Matemática Financeira40
Compreendendo sobre as Series de 
Pagamentos (2ªparte)
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, dando continuidade ao anterior, 
agora você será capaz de compreender as séries antecipadas, 
outra categoria pertencente as séries de pagamentos. 
Também compreenderá a definição de séries diferidas, assim 
como seu modelo geral e as variáveis.
Pagamentos antecipados
Os pagamentos antecipados as parcelas são pagas no início de 
cada período, isto é, no ato do contrato, já se deve quitar a primeira 
parcela, imediatamente.
Assim como nas séries de pagamentos postecipados, existem 
relações específicas para a determinação do valor presente, valor futuro e 
do valor referido a parcela.
Encontrar o valor presente a ser arrecadado dado um valor 
específico de prestação, um período pré-estabelecido e a identificação 
de uma taxa de juros são determinados por:
Matemática Financeira 41
Vamos agora resolver juntos o exercício a seguir:
EXEMPLO: Determine qual o capital deve ser aplicado com objetivo 
de realizar retiradas de R$ 750,00 mensalmente pelos próximos doze 
meses, sob uma taxa de juros de 1,65%.
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos:
Substituindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Matemática Financeira42
Com o objetivo de realizar retiradas no valor de R$750,00,durante 
um ano é necessário um valor presente de R$8.898,46.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
g END
12 n
1,75 i
750 CHS PMT
PV
Encontrar um valor futuro (VF) de uma série de pagamentos 
antecipda é viabilizada a partir da seguinte relação;
EXEMPLO: Um fundo de reserva deseja ser criado guardando a 
quantia mensal de R$ 650,00, num período de quatorze meses, seguindo 
uma série de pagamentos antecipados sob uma taxa de juros mensal de 
1,83%. Determine o total arrecadado.
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos:
Matemática Financeira 43
O total acumulado é de R$10.453,68.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
g END
14 n
1,83 i
650 CHS PMT
FV
Para a determinação do valor da parcela de uma série de pagamentos 
antecipados, existem na matemática financeira, duas fórmulas; em que 
uma depende do valor presente (PV) e a outra do valor futuro (FV).
Seguindo nossa metodologia, a seguir apresentaremos exemplos 
para ilustrarem a aplicação das igualdades acima.
EXEMPLO: um imóvel de R$ 400.000,00 será obtido após uma 
entrada imediata de R$ 50.000,00; o restante será financiado sob uma 
taxa de juros de 3,74% em 60 parcelas. Determine o valor de cada parcela, 
sabendo que a séries de pagamentos é antecipada.
Identificando as informações do enunciado, encontramos:
Matemática Financeira44
Substituindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Assim, a prestação será equivalente a R$12.670,43.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
g END
350000 CHS PV
60 n
3,74 i
PMT
EXEMPLO: Com o objetivo de poupar um valor equivalente a 
R$100.00,00, Paulo quer guardar durante dez meses certa quantia; 
sabendo que a taxa de juros equivale a 0,5%, qual o valor a ser arrecadado 
mediante uma série de pagamentos antecipados.
Identificando as informações do enunciado, encontramos
Matemática Financeira 45
Substituindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Assim para alcançar um total de R$ 100.00,00 ao final de dez meses, 
serão necessários parcelas de aproximadamente R$9.728,41.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
10000 CHS FV
10 n
0,5 i
PMT
Séries Diferidas
Caro (a) aluno(a), você já deve ter visto a palavra diferimento, não é 
mesmo? Pois bem, o significado dessa palavra se refere a ação de diferir, 
ou seja, adiar, transferir para um outro momento ou data. Na matemática 
financeira, especificadamente no conteúdo de séries de pagamentos o 
Matemática Financeira46
diferimento se refere a um período de carência, ou seja, o período que 
separa o começo da operação até o início do pagamento da primeira 
parcela. 
As séries diferidas são caracterizadas pelo fato de o período de 
carência ser formado por um prazo em que separa o início da operação do 
período de pagamento da primeira parcela. Basicamente esta categoria 
de séries se diferencia das demais pela integração de um período de 
carência previamente estabelecido.
Neste tipo de série existe uma sequência de capitais de valores que 
são iguais e uniformes, com exceção do primeiro, que recebe o nome de 
carência. Estas características são apresentadas na Figura 5 a seguir.
Figura 5 - Composição de séries diferidas.
Fonte: a autora.
A fórmula que possibilita trazer para o presente um valor mediante 
determinada carência é dado por:
Matemática Financeira 47
Vamos juntos, estimado (a) aluno (a), partir para a prática deste novo 
conceito. Avante!
EXEMPLO: Um automóvel no valor de R$ 25.000,00 foi financiado 
em vinte prestações mensais iguais, sendo a primeira prestação paga 
após dois meses, sob