20 05 21 20 p andersonlemos

Prévia do material em texto

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS: FUNDAMENTOS, PROPRIEDADES E APLICAÇÕES ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO SUPERIOR
Autor: Anderson Lemos
RESUMO: O presente artigo tem como um dos objetivos apresentar os fundamentos e conceitos da progressão geométrica, geralmente lecionados aos alunos do 1º período de Matemática e visto no 1º ano do Ensino Médio, bem como suas aplicações usando a resolução de problemas. Outro objetivo é despertar o interesse sobre o assunto, que se apresenta um tanto complexo para estudantes desse período, e mostrar a importância do assunto em situações-problemas do dia-a-dia. A proposta do artigo, inicialmente é apresentar aos alunos as definições e propriedades das sequências numéricas de números reais e posteriormente os fundamentos e aplicações das progressões geométricas. Uma vez definida progressões geométricas e suas propriedades, utilizamos como meio de aprendizado a resolução de problemas cotidianos permitindo que os alunos dissertem sobre suas facilidades e dificuldades encontradas a respeito do assunto.
Palavras-chave: progressão geométricas, conceitos, fundamentos, propriedades, problemas, aplicações, matemática, ensino superior, resolução de problemas.
1. INTRODUÇÃO
	Há anos vivemos um período de descobertas diárias no ramo da tecnologia a qual está presente diariamente em nossas vidas. Isso tudo faz com que as instituições
de ensino também se atualizem, pois é necessário acompanhar o desenvolvimento a
que os alunos estão expostos. Caso contrário, a escola e as faculdades, como instituição de ensino, tornam-se ultrapassadas, antigas, sésseis para quem as frequenta.
	Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino abordam essa importância quando apontam que: “é importante que a Educação se volte para o desenvolvimento das capacidades de comunicação, de resolver problemas, de tomar decisões, de fazer inferências, de criar, de aperfeiçoar conhecimentos e valores, de trabalhar cooperativamente” (BRASIL, 2000, p.40).
De acordo com as Orientações Curriculares Nacionais para Ensino Médio (Brasil, 2006, pag. 75):
As progressões aritméticas e geométricas podem ser definidas como, respectivamente, funções afim e exponencial, em que o domínio é o conjunto dos números naturais. Não devem ser tratadas como um tópico independente, em que o aluno não as reconhece como funções já estudadas. Devem-se evitar as exaustivas coletâneas de cálculos que fazem simples uso de fórmulas (“determine a soma..., calcule o quinto termo,...”).
Partindo desse pressuposto, o objetivo desse artigo foi de propor ao professor em sala de aula, abordar o conteúdo progressão geométrica de forma diferenciada ao que é feito pela maioria dos docentes, associando-o através da resolução de problemas, como uma estratégia de trabalho para as aulas de matemática, tornando-as mais interessantes e dinâmicas, onde o conhecimento será construído pelo aluno e mediado pelo professor, tendo em vista a construção de uma matemática contextualizada à vida do aluno.
Dessa forma, a matemática, nessa perspectiva, deixa de existir como uma disciplina de símbolos e fórmulas e passa a fazer sentido e parte de suas vidas. O processo de construção do conhecimento matemático torna-se diferenciado, deixando de ser maçante e enfadonho e passa a prevalecer como disciplina experimental e indutiva. Assim, a matemática é aprendida pela prática da crítica e da dúvida vivenciadas no cotidiano.
Nesse sentido, considera-se que a resolução de problemas é um meio e/ou estratégia indicada para trabalhar com o conteúdo proposto, oportunizando aos alunos o desenvolvimento de algumas habilidades.
Há muitos relatos históricos que as progressões foram estudadas desde povos muito antigos, por exemplo, os babilônicos e os egípcios. Inicialmente, procurou-se estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os egípcios de 5000 anos atrás tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente do rio para poderem plantar na época certa e assim garantir seu alimento. 
Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sirius se levantava a leste, um pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios criaram um calendário solar composto de doze meses, de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas, dedicados aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys. Os egípcios dividiram ainda os doze meses em três estações de quatro meses cada uma: período de semear, período de crescimento e período da colheita. Portanto, podemos concluir que havia a necessidade de se conhecer os padrões desse acontecimento.
Além disso, com esse trabalho tem-se, também, a intenção de incentivar o trabalho coletivo a fim de que os alunos compartilhem informações, discutam seus argumentos, buscando resolver o problema proposto. Propiciar aos alunos condições para que eles possam utilizar seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas à resolução dos problemas propostos é de fundamental importância para o desenvolvimento da autonomia do discente o que leva a discutir as diversas produções realizadas pelos alunos, analisando cada uma, com o intuito de chegar a um consenso sobre o resultado.
Sabemos que esse processo não é fácil, muito menos rápido. É um processo lento, e por ser algo novo é visto por muitos docentes com certa resistência. No entanto, essa resistência deve ser deixada de lado para o bem da educação, da sociedade e do desenvolvimento ao qual estamos vivenciando.
Em 1980, nos EUA, um documento mundial importante foi publicado pelo National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) dizendo que a resolução de problemas deveria ser o foco da matemática, pois educadores matemáticos acreditavam no potencial da resolução de problemas e queriam um ensino e aprendizagem com compreensão e significado (ONUCHIC; ALLEVATO, 2011).
Foi a partir do ano 2000 que os educadores matemáticos passaram a pensar no ensino-aprendizagem da matemática através da Resolução de Problemas. Nessa perspectiva, “o problema é visto como ponto de partida para a construção de novos conceitos e novos conteúdos; os alunos sendo co-construtores de seu próprio conhecimento e, os professores, os responsáveis por conduzir esse processo” (ONUCHIC; ALLEVATO, 2011, p. 80).
Algumas experiências que utilizaram a metodologia de Resolução de Problemas sugerem sua aplicabilidade em sala de aula (FERREIRA, ALLEVATO, 2011; ZUFFI, ONUCHIC, 2007).
Zuffi e Onuchic (2007) relataram uma experiência de prática contínua utilizando a metodologia de ensino-aprendizagem de matemática através da Resolução de Problemas, em uma escola pública do Ensino Médio, na cidade de São Carlos. O objetivo geral das autoras era o de promover a melhoria da qualidade de ensino de Ciências e Matemática.
Trabalhando com problemas envolvendo funções, as autoras destacaram que:
Os dados aqui trazidos, tanto para os alunos como para a professora envolvida, mostram que não é uma tarefa simples mudar a tradição dos processos de ensino-aprendizagem de matemática [...]
Mostramos que a implementação da metodologia de ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas, de maneira continuada, nessa escola pública, trouxe fortes indícios de que é possível explorar tal metodologia com êxito, no ambiente natural de sala de aula, com todas as adversidades e facilidades que possamos aí encontrar [...]
Nosso objetivo não era “ensinar sobre a resolução de problemas”, mas através dela [...]
Os alunos melhoraram, gradativamente, a identificação dos objetivos envolvidos nas situações-problemas, ao traduzirem as situações para a linguagem matemática e, por fim, evidenciaram relativa consciência dos processos exigidos durante a resolução [...]
[...] Acreditamos que a continuidade de seu uso e a regularidade com que ela foi trabalhada, em cada aula introdutória de novos assuntos, trouxeram amadurecimento cognitivo para uma parte significativa dos alunos.
[...] As interações entre alunos e professora mudaram, porque os primeiros tiveram que aceitá-la, agora, como mediadora nabusca do saber, e não mais como repositório de informações e respostas prontas, e passaram a explorar mais seus processos de “aprender a aprender” (ZUFFI; ONUCHIC, 2007,p. 94- 95).
Ao trabalharem com a Educação de Jovens e Adultos o conteúdo de funções
 através da Resolução de Problemas, Ferreira e Allevato (2011) constataram que essa estratégia de ensino possibilitou que os alunos explorassem e construíssem conhecimentos de matemática e que desenvolvessem autonomia na busca de soluções aos problemas; a metodologia de ensino empregada também oportunizou para os alunos a investigação, possibilitando a construção do conhecimento sobre funções de um modo natural; e a construção de argumentações e elaboração de estratégias.
	Diante do exposto, e de acordo com Onuchic e Allevato (2011, p.82), tendo
em vista ideias já registradas por outros autores, é possível destacar que:
1. Resolução de problemas coloca o foco da atenção dos alunos sobre as ideias matemáticas e sobre o dar sentido.
2. Resolução de problemas desenvolve poder matemático nos alunos, ou seja, capacidade de pensar matematicamente, utilizar diferentes e convenientes estratégias em diferentes problemas, permitindo aumentar a compreensão dos conteúdos e conceitos matemáticos.
3. Resolução de problemas desenvolve a crença de que os alunos são capazes de fazer matemática e de que a Matemática faz sentido; a confiança e a auto-estima dos estudantes aumentam.
4. Resolução de problemas fornece dados de avaliação contínua, que podem ser usados para a tomada de decisões instrucionais e para ajudar os alunos a obter sucesso com a matemática.
5. Professores que ensinam dessa maneira empolgam e não querem voltar a ensinar na forma dita tradicional. Sentem-se gratificados com a constatação de que os alunos desenvolvam a compreensão por seus próprios raciocínios.
6. A formalização dos conceitos e teorias matemáticas, feita pelo professor, passa a fazer mais sentido para os alunos.
Assim, com base no que foi destacado pode-se considerar a metodologia Resolução de Problemas atual e relevante para o aprendizado da matemática, pois trabalhos aqui apresentados indicam bons resultados, principalmente no que se refere a aprender matemática com compreensão.
2. DESENVOLVIMENTO
Várias pesquisas foram realizadas sobre a Metodologia de Resolução de Problemas no ensino da Matemática, tanto a nível Médio quanto a nível Superior, porém no cotidiano dos professores da área ainda surgem muitas indagações a respeito do assunto.
Segundo os PCN’s de Matemática (BRASIL, 1998), a resolução de problemas possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança.
A atividade de resolver problemas está presente na vida das pessoas, exigindo soluções que muitas vezes requerem estratégias de enfrentamento. O aprendizado de estratégias auxilia o aluno a enfrentar novas situações em outras áreas do conhecimento.
Dante (1998), afirma que embora tão valorizada, a resolução de problemas é um dos tópicos mais difíceis de serem trabalhados na sala de aula. É muito comum os alunos saberem efetuar os algoritmos e não conseguirem resolver um problema que envolva um ou mais desses algoritmos. Isso se deve à maneira com que os problemas matemáticos são trabalhados na sala de aula e apresentados nos livros didáticos, muitas vezes apenas como exercícios de fixação dos conteúdos trabalhados.
Um problema pode envolver muito mais do que a simples resolução das operações. Deve, sim, possibilitar ao aluno desenvolver estratégias, buscar vários caminhos para solucioná-lo à sua maneira, de acordo com sua realidade e raciocínio.
Para Dante (1998), um problema é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos específicos para solucioná-la. O autor ressalta que um bom problema deve: 
· ser desafiador; 
· ser real; 
· ser interessante; 
· ser o elemento de um problema realmente desconhecido; 
· não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas; 
· ter um nível adequado de dificuldade.
Segundo o esquema de Polya (1978 apud DANTE 1998), são quatro as principais etapas para a resolução de um problema: 
1. Compreender o problema; 
- O que se pede no problema? 
- Quais são os dados e as condições do problema? 
- É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama? 
- É possível estimar a resposta? 
2. Elaborar um plano; 
- Qual é o seu plano para resolver o problema? 
- Que estratégia você tentará desenvolver? 
- Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este? 
- Tente organizar os dados em tabelas e gráficos. 
- Tente resolver o problema por partes 
3. Executar o plano; 
- Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo. 
- Efetue todos os cálculos indicado no plano. 
- Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema. 
4. Fazer o retrospecto ou verificação; 
- Examine se a solução obtida está correta.
- Existe outra maneira de resolver o problema?
- É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes?
Diante de um problema, o levantamento de hipóteses, a testagem dessas hipóteses e a análise dos resultados obtidos são procedimentos que devem ser enfatizados com os alunos. Só assim é possível garantir o desenvolvimento da autonomia frente a situações com as quais eles terão de lidar dentro e fora da escola. Para Zuffi & Onuchic (2007), a resolução de problemas pode colaborar para que haja alguma mudança na perspectiva da ação docente. Afinal sua utilização merece atenção por parte de todos os professores. Quando se propõe aplicar a resolução de problemas no ensino da matemática refere-se a problemas não rotineiros e algorítmicos, onde o aluno muitas vezes pergunta “a conta é de mais ou de menos?” Problemas rotineiros não avaliam, por si só, atitudes, procedimentos e a forma como os alunos administram seus conhecimentos. (Soares & Bertoni Pinto, 2001).
Portanto, o professor deve ter em mente os objetivos que deseja alcançar para que possa fazer o uso adequado da resolução de problemas, seja para aplicar alguma técnica ou conceito desenvolvido, trabalhar com problemas abertos nos quais há mais de uma solução possível, suscitando o debate e a argumentação em defesa de cada resolução, trabalhar com problemas gerados a partir de situações de jogo ou da interpretação de dados estatísticos. A seleção do problema deverá ser decorrente dos objetivos a serem alcançados.
Tendo em vista essa perspectiva de trabalho com a matemática, Allevato e
Onuchic (2009, p.7-8) apresentam uma proposta para o desenvolvimento com os alunos. Para isso, sugerem nove etapas:
1. Preparação do problema – Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador [...]
2. Leitura individual – Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura.
3. Leitura em conjunto – Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos [...]
4. Resolução do problema – De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo [...]
5. Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo [...]
6. Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam.
7. Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunospara discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas [...]
8. Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto.
9. Formalização do conteúdo – Nesse momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal” – organizada e estruturada em linguagem matemática – padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto.
A seguir são apresentados exemplos de alguns dos problemas a serem trabalhados e os respectivos assuntos abordados.
Lembrando que as questões aqui abordadas servem apenas de exemplos e que cada professor poderá definir o nível de dificuldade das mesmas mediante seu público alvo e os objetivos a serem alcançados.
Problema 1
Objetivo: Definir e classificar uma Progressão Geométrica.
Observe as sequências numéricas abaixo e identifique uma semelhança e uma diferenças entres as mesmas.
A = (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2.187...) 
B = (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, ...) 
C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) 
D = (-3, 9, -27, 81, -243, 729, –2.187, ...)
Podemos observar que em todas são sequências em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante real. Essa constante é chamada razão da P.G. e é indicada por q. Podemos perceber que na sequência A os termos aumentam a cada valor, por isso dizemos que a PG é crescente, já na sequência B, temos que os valores vão diminuindo e por isso a classificamos como PG descrente e por fim a sequência C não tem seus valores alterado e dizemos que é uma PG constante.
A = (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2.187...) é uma PG de quociente (q) = 3; 
B = (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, ...) é uma PG de quociente (q) = 1/2; 
C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma PG de quociente (q) = 1;
D = (-3, 9, -27, 81, -243, 729, –2.187, ...) é uma PG de quociente (q) = –3.
Há cinco categorias de P.G. Vejamos quais são:
1. Crescente: cada termo é maior que o termo antecedente. Isso ocorre quando:
• a1 > 0 e q > 0
• a1 < 0 e 0 < q < 1
2. Decrescente: cada termo é menor que o termo antecedente. Isso ocorre quando:
• a1 > 0 e 0 < q < 1 ou
• a1 < 0 e q > 1.
3. Constante: cada termo é igual ao termo antecedente. Isso ocorre quando:
• q = 1 ou
• a1 = 0 e q é qualquer número real, como em (0, 0, 0, ...).
4. Alternada ou oscilante: os termos são alternadamente positivos e negativos. Isso ocorre quando q < 0.
5. Estacionária: é uma P.G. constante a partir do segundo termo. Isso ocorre
quando a1 ≠ 0 e q = 0.
Nos exemplos vistos, é possível notar que, se a P.G. não possui termos nulos, sua razão corresponde ao quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente, isto é:
Problema 2
Tópico: Termo geral de um P.G.
Objetivo: Calcular o termo geral de um P.G.
Seja (a1, a2, a3, ..., an) uma P.G.
De acordo com a definição de P.G., podemos escrever:
a2 = a1 ∙ q
a3 = a2 ∙ q → a3 = a1 ∙ q2
a4 = a3 ∙ q → a4 = a1 ∙ q3
a5 = a4 ∙ q → a5 = a1 ∙ q4
De modo geral, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
an = a1 ∙ qn – 1
Essa expressão, conhecida como fórmula do termo geral da P.G., permite-nos conhecer qualquer termo da P.G. em função do 1º termo (a1) e da razão (q).
Questões
1. Calcule o 1º termo de uma PG em que a4 = 375 e q = 5.
Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer da P.G. conhecendo apenas o 1º termo (a1) e a razão (q).
2. Uma indústria produziu 30 000 unidades de certo produto no primeiro trimestre de 2015. Supondo que a produção tenha dobrado a cada trimestre, quantas unidades desse produto foram produzidas no último trimestre de 2015?
3. No estudo de uma nova variedade de bactérias, um cientista estimou que no início das observações havia 500 bactérias. A cada 40 minutos, a quantidade de bactérias parecia triplicar. Supondo corretas as observações do cientista, quantas bactérias haveria após 4 horas de observação?
Problema 3
Tópico: Soma dos primeiro n termos de uma P.G.
Objetivo: Definir e compreender soma de n primeiros termos de uma PG.
Seja (a1, a2, ..., an, ...) uma P.G.
Queremos encontrar uma expressão para a soma de seus n primeiros termos, a saber:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 1 + an (1)
Multiplicando por q (com q ≠ 0) os dois membros da igualdade anterior e lembrando a formação dos elementos de uma P.G., segue que:
 (2)
Subtraindo 1 de 2, temos:
Questões
1. Um indivíduo pediu a um amigo um empréstimo e combinou de pagá-lo em oito prestações, sendo a primeira de R$ 60,00, a segunda de R$ 90,00, a terceira de R$ 135,00, e assim por diante, mantendo o mesmo padrão. Qual é o valor total a ser pago?
2. Certo dia, em uma pequena cidade, 5 pessoas ficam sabendo que um casal do colégio começou a namorar. No dia seguinte, cada uma delas contou essa notícia para outras duas pessoas. Cada uma dessas pessoa repassou, no dia seguinte, essa notícia para outras duas pessoas e assim sucessivamente. Passados oito dias, quantas pessoas já estarão sabendo da notícia? Admita que ninguém fique sabendo da notícia por mais de uma pessoa.
3. Uma empresa produziu 10 000 unidades de certo produto em 2017. A cada ano seguinte produzirá 20% a mais desse produto em relação ao ano anterior. Quantas unidades desse produto a empresa produzirá no período de 2018 a 2022?
Problema 4
Tópico: Soma dos termos de uma P.G. infinita.
Objetivo: Determinar a fórmula dos termos de uma P.G. infinita.
Seja (an) uma sequência dada pelo termo geral: an = (1/10)n, para n N*. Vamos atribuir valores para n (n = 1, 2, 3, ...) para caracterizar essa sequência:
Trata-se da P.G. (0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ...) de razão q = 1/10. É fácil perceber que, à medida que o valor do expoente n aumenta, o valor do termo an fica cada vez mais próximo de zero.
Dizemos, então, que o limite de an = (1/10)n, quando n tende ao infinito (isto é, quando n se torna “arbitrariamente grande”), vale zero e representamos esse fato da seguinte maneira:
Para isso, precisamos analisar o que ocorre com a soma de seus n primeiros termos quando n tende ao infinito, isto é, quando n se torna “arbitrariamente grande”. temos:
Levando em conta as considerações anteriores, temos que:
Assim, segue que:
Questões
1. Considere uma sequência infinita de quadrados (Q1, Q2, Q3, ...), em que, partir de Q2, a medida do lado de cada quadrado é a décima parte da medida do lado do quadrado anterior. Sabendo que o lado de Q1 mede 10 cm, determine:
a) a soma dos perímetros de todos os quadrados da sequência;
b) a soma das áreas de todos os quadrados da sequência.
2. Seja um triângulo equilátero de lado 12 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se outro triângulo equilátero no centro da figura. Unindo-se os pontos médios dos lados desse último triângulo, constrói-se outro triângulo no centro da figura, e assim indefinidamente.
a) Qual é a soma dos perímetros de todos os triângulos assim construídos?
b) Qual é a soma das áreas de todos os triângulos assim construídos?
Problema 5
Tópico: Progressão Geométricas e Função Exponencial
Objetivo: Estabelecer a conexão entre Progressão Geométrica e Função Exponencial.
Seja a P.G. (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...); já vimos que essa sequência é uma função f com domínio em N*, como mostra a figura 1.
Figura 1
A representação gráfica está representa na figura 2:
Figura 2
O termo geral dessa P.G. é:
Desse modo, podemos associar f à função exponencial dada por y = ½ ∙ 2x, restrita aos valores naturais não nulos que a variável x assume.
Veja o gráfico da função exponencial dada por y = ½ ∙ 2x, com domínio em R, e compare com o gráfico da figura 3.
Figura 3
	Questões
	1. Seja f: N* → R uma função definida por f(x) = 4 ∙ (0,5)x.
a) Represente oconjunto imagem de f.
b) Esboce o gráfico de f.
2. O gráfico abaixo representa a função f, de domínio N*, definida por y = 1/6 ∙ 3x + k, sendo k uma constante real.
a) Determine o valor de k.
b) Qual é a progressão geométrica associada à função f ? Obtenha seu termo geral e sua razão.
Sugiro que ao final da implementação da produção didático-pedagógica, o professor, faça uma mesa redonda e cada aluno fale o que achou da maneira de como foi trabalhado o assunto, pois serve feed para o mesmo fazer alterações e adaptações.
3. CONCLUSÃO
Apesar de amplamente difundida e defendida entre vários pesquisadores da Educação Matemática é possível perceber que, a Metodologia da Resolução de Problemas ainda é uma prática pouco presente nas salas de aula. Quando esta acontece, muitas vezes não é de forma adequada, deixando de potencializar as capacidades dos alunos. É notório que muitos professores não conhecem essa Metodologia ou não sabem como trabalhá-la, apesar de reconhecerem sua importância. Portanto, conclui-se que é necessário uma ação conjunta no sentido de difundir e viabilizar esta e outras formas de metodologias em sala de aula: os professores precisam refletir acerca de seu papel, mantendo-se sempre atualizados, buscando novas alternativas de ensino, para que possam garantir ao aluno uma aprendizagem significativa, levando em consideração também a ética profissional, afinal o professor lida com a formação humana e esta requer um comprometimento de sua parte; os gestores da educação devem proporcionar boas condições para o pleno desenvolvimento das práticas docente, investindo em formação e capacitação continuada e salários dignos para os professores; as universidades que oferecem cursos de formação de professores devem trabalhar sempre no intuito de dar uma boa formação àqueles que vão realmente estar à frente do processo de ensino.
Mesmo conhecendo ou já ter ouvido falar, e reconheceram a importância do trabalho com a Metodologia a resolução de problemas, muitos professores não a utilizam, muitos por comodismo, por falta de conhecimento, por medo de inovações, são diversos os fatores, que os levam a achar que apenas propondo o que está no livro já estão trabalhando com a metodologia.
De certa forma, não podemos dizer que o objetivo de lecionar progressão geométrica por meio de resolução de problemas apresentará dificuldades ou barreiras, porém devemos permitir que as dificuldades nos sirvam para avançar e evoluir constantemente, permitindo uma positiva adaptação.
O artigo sugere trabalhar todos os conteúdos dentro da esfera da progressão geométrica, mas antes é necessário que se faça um planejamento organizado para o que se pretende trabalhar e os objetivos que se pretende alcançar.
Não podemos esquecer que o planejamento é uma ferramenta de suma importância quando pretendemos alcançar o certo tendo como obstáculo o incerto, portanto é muito importante planejar para desenvolver cada problema e chegar ao objetivo proposto por cada um deles, seja ele teórico ou experimental.
Devemos destacar que o papel do professor, como mediador, é fundamental para a elaboração dos problemas, de maneira a oportunizar a formalização de conteúdos matemáticos e que a atividade proporcione momentos de troca de informações e de aprendizagem.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula
através da resolução de problemas. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, ano 33, n. 55. Acesso em 18 maio 2021.
BARROSO, J. (Ed.).Conexões com a Matemática. São Paulo: Moderna, 2010. v. 1.
BRASIL, Ministério da Educação e Cultura/Secretaria de Educação Básica.
Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Volume 2. 2016.
BRASIL, Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio: Matemática. Brasília, DF, 2000. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciêncian.pdf>. Acesso em 18 maio 2021.
FERREIRA, R. B.; ALLEVATO, N. S. G. O Ensino de Funções através da Resolução
de Problemas na Educação de Jovens e Adultos. In: II SERP - II Seminário em
Resolução de Problemas, 2011, Rio Claro/SP. Anais do II SERP, Rio Claro, 2011.
IEZZI, G. et al. Matemática: ciência e aplicações. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
v. 1.
LIMA,E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. 3ªed. Rio de Janeiro: SBM, 1998.
v. 1.
ONUCHIC, L. R; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em resolução de Problemas:
caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema, Rio Claro, v. 25, n. 41, dez.
2015.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Diretrizes Curriculares da
Educação Básica Matemática. Curitiba, PR. Acesso em 18 maio 2021
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Caderno de Expectativas
de Aprendizagem. Curitiba, PR, 2012. Disponível
em:<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf>.
Acesso em 20 maio 2021.
ZUFFI, E. M.; ONUCHIC, L. R. O Ensino-aprendizagem de Matemática através da
Resolução de Problemas e os Processos Cognitivos Superiores. Unión – Revista
Iberoamericana de Educación Matemática, San Cristobal de La Laguna, n. 11,
set. 2007.
2
{
{
{
23
4
n
n123n1n
123n1n
aa
a
a
qSq(aaa...aa)
aqaqaq...aqaq
-
-
×=+++++=
×+×+×++×+×
123
nn23n1nn123n1n
nn1
n1
n11
n
n11
n
1
n
qSS(aa...aaaq)(aaa...aa)
S(q1)aqa
S(q1)aqqa
S(q1)aqa
a(q1)
S
q1
--
-
×-=+++++×-+++++
×-=×-
-=×-
×-=-
-
=
-
Î
1
2
3
4
10
10
1
n1a0,1
10
1
n2a0,01
100
1
n3a0,001
1000
1
n4a0,0001
10 000
1
n10a0,0000000001
10
=Þ==
=Þ==
=Þ==
=Þ==
=Þ==
n
n
nn
1
lima0(oulim0)
10
®¥®¥
æö
==
ç÷
èø
n
1
n
nn
a(q1)
limSlim,com1q1
q1
®¥®¥
æö
×-
=-<<
ç÷
-
èø
n
n
limq0
®¥
=
111
n
n
a(01)aa
limS
q1q11q
®¥
×--
===
---
n
n121n
n1nn
1
21
aaqa12a2
22
--
=×Þ=×=Þ=×
p1
3
2
12p
a
a
a
q...
aaa
+
====
4
33
41111
a375
Dados:q5
n4
aaq375a5125a375a3
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
=×Þ=×Þ=Þ=