Exercícios de Estatística - USP

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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
Curso de Verão Estatística
Prof. Dr. Ricardo Avelino
Monitor: Fernando Santos
1o Semestre de 2009
Lista de Exercícios 2 - Data de Entrega 12/02/2009
Questão 1
Seja X uma variável aleatória com densidade
f (x) =
1
(1 + x)
2 I(0,∞) (x)
Seja Y = max {X, c} , c uma constante positiva. Encontre a função de dis-
tribuição de Y.
Questão 2
Seja An uma matriz (lxk) e bn um vetor (kx1). Mostre que se An = op(1) e
bn = Op(1), então Anbn = op(1).
Questão 3
Mostre que, para J finito, se Xnj = op(1), j = 1, ..., J, então
PJ
j=1Xnj =
op(1). Agora, supondo que Jn −→∞, é verdade que
PJn
j=1Xnj = op(1) quando
n −→ ∞? Em caso afirmativo, prove. Caso contrário, forneça um contra-
exemplo.
Questão 4
Seja {Xn}∞n=1 uma sequência de vetores aleatórios (kx1) e suponha que, para
todo vetor real λ tal que λ´ λ = 1, λ´ Xn
d−→ λ´ X, onde X é um vetor aleatório
(kx1) com função de distribuição F (x) = F (x1, ...xk). Mostre que a distribuição
limite de Xn existe e é igual a F (x).
Questão 5
Sejam X1,X2, ... variáveis aleatórias independentes com distribuição comum
Poisson (λ) . Encontre o limite em probabilidade da sequência
Yk =
X21 + ...+X
2
k
k
1
quando k →∞.
Questão 6
Demonstre que se X1,X2, ... são variáveis aleatórias independentes e identi-
camente distribuídas, com E (X1) = V ar (X1) = 1, entãoXn
i=1
Xiq
n
Xn
i=1
X2i
a.s.→ 1√
2
Questão 7
SejamX1,X2, ... variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuí-
das tais que Xn ∼ U [0, θ] , θ > 0. Demonstre que
Yn =
√
n
£
log
¡
2X¯n
¢
− log θ
¤ d.→ N µ0, 1
3
¶
Questão 8
SejamX1,X2, ... variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuí-
das tais que E (X1) = 0 e V ar (X1) = σ2, 0 < σ2 < ∞. Adicionalmente,
suponha que Y1, Y2, ... sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas e que E (Y1) = µ, µ ∈ R. Prove que
Y¯n +
√
nX¯n
d→ N
¡
µ, σ2
¢
para
Y¯n =
Y1 + ...+ Yn
n
e
X¯n =
X1 + ...+Xn
n
Questão 9
SejamX1, ...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuí-
das com distribuição de Cauchy.
a) Mostre, utilizando funções características, que
X¯n =
X1 + ...+Xn
n
também tem uma distribuição de Cauchy.
2
b) Por que a lei fraca dos grandes números não é válida nesse caso?
Questão 10
A variância amostral de n observações X1, ...,Xn é definida como
S2 = n−1
nX
i=1
(Xi − X¯)2
para X¯ = n−1
Pn
i=1Xi. Suponha que S
2 seja baseada em uma amostra de
uma distribuição cujos quatro primeiros momentos, α1, α2, α3, α4, sejam finitos.
Derive a distribuição limite conjunta de S2 e da estatística t = X¯S .
Questão 11
Considere o seguinte estimador do excesso de curtose:
kn = n
−1
Xn
i=1
¡
Xi − X¯
¢4
S4
− 3
Derive sua distribuição assintótica.
3