AULA 5 Ciência dos Materiais

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Ciência dos Materiais
Profa. Antonia Sônia A. Cardoso Diniz
Aula 5 – 2021-1
Sumário da Aula 5 –
Ciência dos Materiais
1 – Direções Cristalográficas
Coordenadas dos Pontos
Ø A posição do ponto P é determinada em termos das coordenadas genéricas q,r,s
Localização de Pontos com Coordenadas Definidas
a=0,48nm; b= 0,46nm; c= 0,40nm
q=1/4; r=1; s=1/2
Origem ponto M
x=qa
Eixo x Eixo y Eixo z
Ponto 1:
origem
9 0 1 1
8 1 1 1
Direção de um Cristal
Ø Direção é definida como uma linha entre dois pontos ou um VETOR, a partir 
da origem do sistema de coordenadas;
Ø Direções definidas por 3 índices direcionais [uvw]
Ø Os comprimentos das projeções do vetor sobre cada um dos eixos são 
determinados: definidos pelas dimensões das células unitárias, dadas pelos 
parâmetros cristalinos a, b e c;
Ø Para cada um dos tres eixos, há valores de coordenadas positivas e 
negativas (antiparalela);
Ø Familias são conjuntos de direções equivalentes <uvw >.
Direções no Sistema Cúbico: 
VETORES representados por [uvw]
Coordenadas dos pontos
1 – Construção de um sistema
de coordenadas x, y, z com 
centro em 0,0,0, vértice da 
célula unitária;
2 – Determinação em função do 
parâmetro cristalino ou aresta
da célula unitária.
z
x
y
a b
c
000
111
y
z
•
2c
•
•
•
b
b
Direções
Cristalográficas
1. Determinar as coordenadas dos dois pontos do 
vetor direção:
- Origem do vetor –(calda) -pt. 1: x1, y1,z1)
- Parte dianteira do vetor –(cabeça)-pt. 2: x2, y2, z2.
2. Os pontos das coordenadas da calda são são
subtraída da cabeça: x2-x1, y2-y1, z2-z1;
3. Normalizar as diferenças das coordenadas em
termos do parâmetro cristalino a, b, and c:
4. Ajustar para o menor valor inteiro
5. Os valores finais são colocados entre colchetes, e 
sem vírgulas [uvw]
ex: 
pt. 1 x1 = 0, y1 = 0, z1 = 0
=> 1, 0, 1/2 => [ 201 ]
z
x
y
x2 − x1
a
 
y2 − y1
b
 
z2 − z1
c
a−0
a
 0−0
b
 c 2−0
c
=> 2, 0, 1
pt. 2 
head pt. 1: tail
pt. 2 x2 = a, y2 = 0, z2 = c/2
Direções Cristalográficas
-4, 1, 2
Familia de direções <uvw>
z
x
[ 412 ]=>
y
Exemplo 2: 
pt. 1 x1 = a, y1 = b/2, z1 = 0
pt. 2 x2 = -a, y2 = b, z2 = c
=> -2, 1/2, 1
−a− a
a
 b − b 2
b
 c −0
c
pt. 2 
head
pt. 1: 
tail
Multiplica por 2 ________________
Direções
Cristalográficas
1. Determinar as coordenadas dos dois pontos do 
vetor direção:
- Parte traseira do vetor –calda -pt. 1: x1, y1,z1)
- Parte dianteira do vetor –cabeça-pt. 2: x2, y2, z2.
2. Os pontos das coordenadas da calda são são
subtraída da cabeça: x2-x1, y2-y1, z2-z1;
3. Normalizar as diferenças das coordenadas em
termos do parametron cristalino a, b, and c:
4. Ajustar para o menor valor inteiro
5. Os valores finais são colocados entre colchetes, e 
sem vírgulas [uvw]
ex: 
pt. 1 x1 = 0, y1 = 0, z1 = 0
=> 1, 0, 1/2 => [ 201 ]
z
x
y
x2 − x1
a
 
y2 − y1
b
 
z2 − z1
c
a−0
a
 0−0
b
 c 2−0
c
=> 2, 0, 1
pt. 2 
head pt. 1: tail
pt. 2 x2 = a, y2 = 0, z2 = c/2
Direções Cristalográficas
• SE TEMOS OS PONTOS os tres índices u, v, w podem ser
determinados usando as seguintes equações:
• SE TEMOS A DIREÇÃO, e considerando o vetor partindo da 
ORIGEM:
X2 = ua + x1
y2 = vb + y1
z2 = wc + z1
Para caber dentro de uma célula unitária, muda a
origem, e divide todos os índices pelo maior número na
série.
u = n[(x2 - x1)/ a]
v = n[(y2 - y1)/ b] 
w = n[(z2 - z1)/ c] 
•Construa a direção cristalográfica [-1-11]
X2 = ua + x1=-1a
y2 = vb + y1=-1b
z2 = wc + z1 = 1c
Construa a direção cristalográfica
[1-10]
Direções cristalográficas HCP
1. Remover os colchetes;
2. Dividir pelo maior inteiro de todos os
valores, de forma que todos sejam ≤ 1;
3. Multiplicar os termos pelas dimensões da 
célula unitária a (para os eixos a1, a2, e a3 ) 
ou c (para o eixo z) para produzir as 
projecões;
4. Construir o vetor colocando o início na
origem e fazendo a projeção para localizar a 
ponta do mesmo.
Algoritmo - coordenadas Miller-Bravais: [uvtw]
Adapted from Figure 3.10, 
Callister & Rethwisch 9e.
Plano basal: a1, a2, a3
Eixo z
Posicionar o vetor com direção [uvtw]
Direções cristalográficas HCP
• Desenhe a direção na célula unitária hexagonal.
• u v t w
[1213]
4. Construir o Vetor
1. Remover colchetes -1 -2 1 3
Algoritmo a1 a2 a3 z
2. Dividir por 3
 
€ 
−
1
3
 −
2
3
 
1
3
 1
3. Multiplicar os termos
pelas dimensões da 
célula unitária a,c
−
a
3
 − 2a
3
 a
3
 c
- Proceda –a/3 units ao longo do eixo a1 até ponto p,
–2a/3 unidades paralelas ao eixo a2 até ponto q, 
a/3 unidades paralelas ao eixo a3 até ponto r
c unidades paralelas ao eixo z até ponto s
p
qr
s
-Começa na origem (ponto o)
Direção [1213] representada pelo vetor do point o ao ponto s
 
€ 
[1 2 13]
Converte-se as coordenadas em 3 eixos para 
quatro eixos, usando-se os índices de Miller-
Bravais, usando as equações abaixo:
[UVW] PARA [uvtw] 
u = 1/3 (2U-V)
v = 1/3 (2V-U)
t = - (u+v)
w = WAdapted from p. 72, Callister & 
Rethwisch 9e.
Indices de Miller para Miller Bravais
Conversão da direção cristalográfica [UVW] para [uvtw]
4. Direção [110]
1. Origem (Tail) 0 0 0
Ponta - cabeça a a 0c
1 1 0
3. Reduzir 1 1 0
a1 a2 z
II. CONVERTER PARA 4-EIXOS 
 
€ 
u =
1
3
[(2)(1) − (1)] =
1
3
 
€ 
t = −(
1
3
+
1
3
) = −
2
3
 
€ 
w = 0
 
€ 
v =
1
3
[(2)(1) − (1)] =
1
3
1/3, 1/3, -2/3, 0 => 1, 1, -2, 0 => [ 1120 ]
6. Reduz & coloca entre colchetes
Determine os índices para o vetor VERDE
2. Normalizar
I- IDENTIFICA O VETOR EM 3 EIXOS
Densidade Linear
Ø Equivalência direcional Densidade linear
ü Direções equivalente possuem densidades lineares idênticas.
ü Densidade linear (DL): N° átomos/unidade de comprimento, cujos centros 
estão sobre o vetor para uma determinada direção cristalográfica específica:
DL = !° Á$%&%' ()!$*+,%' !% -)$%* ,.*)ÇÃ%
(%&1*.&)!$% ,% -)$%* ,.*)ÇÃ%
Ex: densidade linear para direção [110] – CFC
-átomos dos vértices (x e z) compartilhado com células adjacentes;
-átomo y localizado dentro da cu;
§ DL[110] = 2 átomos/4R = 1/2R(nm-1)
20
ex: densidade linear do Al na
direção [110] 
a = 0.405 nm
Densidade Linear
• Densidade Linear de Atomos º LD =
a
[110]
Adapted from
Fig. 3.1(a),
Callister & 
Rethwisch 9e.
Comp. vetor direçao
Nº de atomos
4# atoms
length
13.5 nm
a2
LD -==