exercicios cal vet geom analit

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Calculo .vetorial .geom..analitica 
		Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
	
	
	
	0 e 1/2
	
	
	1 e 2/3
	
	
	2/3 e -2
	
	
	-1 e 0
	
	
	-1 e 1/2
	
Explicação:
2 + m = 2
3 + 2n = 4
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando.
	
	
	
	V,V,F,F.
	
	
	V,F,V,V.
	
	
	V,V,V,V.
	
	
	F,V,F,F.
	
	
	V,F,V,F.
	
Explicação:
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗.
	
	
	
	(-11, -145/3)
	
	
	(-11, 145/3)
	
	
	(-9, 145/3)
	
	
	(9, 145/3)
	
	
	(-11, 154/3)
	
Explicação:
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗
AD = D - A = (-1, -1) -> 5AD = (-5,-5)
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3)
DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55)
5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ = (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗.
	
	
	
	(134/3, 119/3)
	
	
	(104/3, 119/3)
	
	
	(126/3, 104/3)
	
	
	(126/3, 96/3)
	
	
	(134/3, 96/3)
	
Explicação:
= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,-4), determine 1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗.
	
	
	
	(-2/3, 59/2)
	
	
	(-3/2, 59/2)
	
	
	(1/2, 59/2)
	
	
	(2/3, 59/2)
	
	
	(-1/2, 59/2)
	
Explicação:
1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗ = 1/2(-1, 5) - 5(2, -3) - 3(-3, -4) = (-1/2 -10 + 9, 5/2 + 15 + 12) = (-3/2, 59/2)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
	
	
	
	3/2
	
	
	-8/3
	
	
	8/3
	
	
	2/5
	
	
	-3/2
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é:
	
	
	
	-2j+k
	
	
	3i -2j
	
	
	3i -2j-k
	
	
	i -2j+k
	
	
	3i -2j+k
	
Explicação:
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ?
	
	
	
	(0,0)
	
	
	(1,1)
	
	
	(0,1)
	
	
	(2,2)
	
	
	(1,0)
		
	
	
	
	(-5, 30)
	
	
	(5, -30)
	
	
	(0, 30)
	
	
	(-5, -30)
	
	
	(5, 30)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sobre os vetores i = (1,0) e j = (0,1), podemos afirmar:
	
	
	
	São unitários, mas não são ortogonais
	
	
	Formam um ângulo de 60º
	
	
	São ortogonais, mas não são unitários
	
	
	São ortogonais e unitários
	
	
	Não são nem ortogonais e nem unitários
	
Explicação:
i . j = 0, logo i e j são ortogonais
|i| = |j| = 1, logo são unitários
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Os valores de a e de b, de modo que (3a - 4, 2b - 8) = (11, -10), são respectivamente:
	
	
	
	10 e 6
	
	
	-1 e -12
	
	
	12 e 1
	
	
	18 e 6
	
	
	5 e -1
	
Explicação:
Devemos ter: 3a-4=11 => 3a=15 => a=5  e  2b-8=-10 => 2b=-2 => b=-1
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 1/2 (AB) ⃗+3(CD) ⃗-6(AC) ⃗.
	
	
	
	(25/2, -191/2)
	
	
	(-25/2, -181/2)
	
	
	(35/2, 181/2)
	
	
	(25/2, 181/2)
	
	
	(25/2, -181/2)
	
Explicação:
Observe que:
AB=B-A=(-5,5)  ;  CD=D-C=(1,-11)  e  AC=C-A=(-2,10)
Logo: 1/2AB+3CD-6AC = 1/2(-5,5)+3(1,-11)-6(-2,10) = (-5/2+3+12 , 5/2-33-60) = (25/2 , -181/2).
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante aos pontos A(3, -5, 2) e B(-2, -1, -3).
	
	
	
	13/7
	
	
	10/7
	
	
	10/3
	
	
	12/5
	
	
	12/7
	
Explicação:
P pertence ao eixo das abscissas <-> yp = zp = 0 <-> P = (x,,0,0)
Fazer |PA| = |PB|
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou intensidade, direção e sentido. O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da reta suporte que o contém, e o sentido é para onde ele está apontado. Uma mesma direção possui dois sentidos. Por exemplo, a direção horizontal apresenta o sentido para a direita e o sentido para a esquerda; a direção vertical apresenta o sentido para cima e o sentido para baixo. Sabendo disso, considere os vetores u e v de módulo u = 2 e v = 5, que possuem a mesma origem e formam um ângulo de 60° entre eles. Determine, usando a regra do paralelogramo, o módulo do vetor soma resultante de u e v.
	
	
	
	5 + √13
	
	
	12 - √3
	
	
	√39
	
	
	√28
	
	
	3√19
	
Explicação:
Construido o paralelogramo, temos
|u + v|² = 5² + 2² - 2.5.2cos120
|u + v| = raiz(29 - 20.(-1/2)) = raiz(39)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores:  2(AB)+3(BC) +5(AC) ?
	
	
	
	(7,4)
	
	
	(-7,4)
	
	
	(-7,-4)
	
	
	(7,-4)
	
	
	(0,0)
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores
	
	
	
	 
		
	
		8.
		O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é:
	
	
	
	10
	
	
	5
	
	
	8
	
	
	11
	
	
	9
	
Explicação:
Para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) sejam colineares, devem formar vetores paralelos entre si, ou seja, com suas coordenadas proporcionais, logo
(-2-1)/(x-1) = (4-3)/(0-3) -> (x-1)/3 = 3/1 -> x-1 = 9 -> x = 10
		
	
		1.
		Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço o vetor x = (2, 0, - 4), corresponde ao vetor:
	
	
	
	(A) x = - 2i
	
	
	(E) x = 2i + 0k - 4j
	
	
	(D) x = 2i - 4k
	
	
	(B) x = 2i - 4
	
	
	(C) x = 2i - 4j
	
Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é
	
	
	
	x = -5
	
	
	x = 2
	
	
	x = 1
	
	
	x = 25
	
	
	x = -1
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dados os Vetores u ( 3, 2 ) e v ( 4, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
	
	
	
	4
	
	
	-4
	
	
	6
	
	
	-6
	
	
	0
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dados os vetores  u = i + k e v = 2i + 2j o vetor u + v é
	
	
	
	(3,0,1)
	
	
	(3,2,0)
	
	
	(3,3,1)
	
	
	(3,2,1)
	
	
	(3,2,2)
	
Explicação: Operar cada componente de vetor com seu componente
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dada as seguintes afirmações:
I. Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo.
II. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares.
III. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
IV. O módulo do vetor →uu→=(-3,0,-4) é igual a 5
V. As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →ii→, →jj→ e →kk→, respectivamente.
Marque a alternativa correta:
 
	
	
	
	IV e V estão corretas
	
	
	I, IV e V estão corretas
	
	
	Apenas I está correta
	
	
	I e III estão corretas
	
	
	III e IV estão corretas
	
Explicação:
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	
	 
		
	
		6.
		 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
	
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	-2
	
	
	-3
	
Explicação: O produto escalar dos vetorestem que ser igual a zero
	
	
	
	 
		
	
		7.
		 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
	
	
	
	-3/2
	
	
	2/8
	
	
	-5/8
	
	
	3/8
	
	
	5/8
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um parte de um heliporto A localizado no ponto( 60, 80, 1),o outro parte de um heliporto B localizado em (120, 160,1), com coordenadas em KM. se eles voam em direção a um heliporto localizado no ponto médio do segmento AB.Ache as coordenadas do ponto de encontro dos helicópteros.
	
	
	
	(0, 120, 0 )
	
	
	(0, 0, 0 )
	
	
	(-90, -120, -1)
	
	
	(90, 120, 1)
	
	
	( 120, 0, 0 )
	
Explicação: O ponto médio é a media das coordenadas dos pontos A e B.
		Certo sólido cujo o volume é 12 u.v. é determinado pelos vetores , e. Esses vetores foram colocados no plano R3 tendo como corrdenadas, respectivamente, =(a,-7,-1), =(-1,0,2) e = (0,-1,-1). Nessas condições, encontre um valor para a abscissa do vetor .
	
	
	
	3
	
	
	-10
	
	
	-3
	
	
	10
	
	
	9
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto misto entre vetores.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o ângulo interno do vértice B.
	
	
	
	600
	
	
	300
	
	
	450
	
	
	900
	
	
	750
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcular a área do triângulo cujos os vértices são: A ( -2,3,1) , B( 1,2,3) e C ( 3,-1,2). considere a raiz quadrada de 3 igual a 1,7.
	
	
	
	5.95 u.a
	
	
	9,95 u.a
	
	
	3,5 u.a
	
	
	7,6 u.a
	
	
	6,7 u.a
	
Explicação:
Calcular o módulo do produto vetorial entre AB e AC dividido por 2. Assim temos:
AB=B-A=(3,-1,2)
AC=C-A=(5,-4,1)
                 i      j      k
ABxAC =  3    -1     2   =  -i+10j-12k+5k+8i-3j = 7i+7j-7k = (7,7,-7.
                 5    -4     1
 
Então a área do tiângulo será dada por:  !ABxAC! / 2  =  !(7,7,-7)! / 2  =  V7² + 7² + (-7)²  /  2  = V49+49+49  /  2  = V147 /2 = V3. 7²  /  2  = 7 V3 /2  = 7 x 1,7 / 2 = 11,9 / 2  = 5,95 ua  (unidades de área)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considerando as afirmativas abaixo podemos afirmar que:
1. O módulo de um vetor unitário é sempre 1.
2. Podemos afirmar que o vetor v=(1,1,1) é um vetor unitário.
3. Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto misto entre eles é zero.
4. Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto escalar  entre eles é zero.
5. Vetores ortogonais tem o produto escalar entre eles igual a zero.
6. Vetores colineares tem a mesma direção.
7. Vetores paralelos tem a mesma direção.
	
	
	
	Somente as afirmativas 2 e 4 são falsas.
	
	
	Somente a afirmativa 4 é falsa.
	
	
	Somente as afirmativas  4   e 6 são falsas.
	
	
	Todas asafirmativas são falsas.
	
	
	Todas as afirmativas são corretas.
	
Explicação:
Uma revisão de conceitos básicos sobre vetores.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Qual o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos A=(4,5) e B=(8,12).
	
	
	
	m=-4/7
	
	
	m=7/6
	
	
	m=7/4
	
	
	m=-7/4
	
	
	m=4/7
	
Explicação:
m=7/4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O módulo e o versor do vetor v = (3, 4) é, respectivamente:
	
	
	
	10 e (2/5; 8/5)
	
	
	5 e (3/5; 4/5)
	
	
	5 e (7/25; 4/25)
	
	
	25 e (6/5; 9/5)
	
	
	7 e (3/5; 9/5)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		O volume do Paralelepípedo com um vértice na origem e arestas u= 2i + 2j + 5k,  v= 10i e w= 6i + 10j é:
	
	
	
	550
	
	
	575
	
	
	570
	
	
	500
	
	
	555
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Sendo o módulo do vetor v u = 2 e o módulo do vetor v = 3, e o ângulo entre os vetores u e v igual à 120°, calcular o produto vetorial u.v.
	
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	3
	
	
	-3
	
	
	1
	
Explicação:
u.v = módulo de u . módulo de v . cos 120° = (2).(3).cos 120° = -3.
	
	
		
		Considere a reta que passa pelos pontos A(2, 1, - 3) e B(4, 2, 0). Assinale a opção que mostra um outro ponto que pertence a este plano.
	
	
	
	C(6, 3, 3)
	
	
	G(0, 0, 8)
	
	
	F(0, 0, 14)
	
	
	D(0, 0, 11)
	
	
	E(0, 0, 12)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (4,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (1, 0, 1) 
	
	
	
	x=4+2t y=-2 z=t
	
	
	x=4+t y=-2 z=2t
	
	
	x=4-t y=-2 z=t
	
	
	x=4+t y=-2t z=t
	
	
	x=4+t y=-2 z=t
	
Explicação:
Uma reta que passa pelo ponto A = (xa , ya, za) e tem a direção do vetor B = (xb , yb, zb) terá as seguintes equações paramétricas:
x = xa + txb; y = ya + tyb; z = za + tzb
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0)
	
	
	
	√33
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	5
	
Explicação:
	√3
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determinar o valor de m para que as retas  r:  y=mx-5   e    s: x=-2+t       sejam ortogonais.
                                                                         z=-3x                 y=4-2t
                                                                                                   z=5t
	
	
	
	-15/2
	
	
	7/2
	
	
	-9/2
	
	
	-11/2
	
	
	13/2
	
Explicação:
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente  U=(1,m,-3) e v=(1,-2,5).
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter:  u.v= 0, daí:
(1,m,-3).(1,-2,5)=0 => 1-2m-15=0 => m=-15/2
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (-5,-2, 1 )  que tem a direção do vetor (1, 0, 0)
	
	
	
	x= -5 +t y=-2 z=0
	
	
	x= -5 +t y=0 z=1
	
	
	x= -5 +t y=-2 z=1+t
	
	
	x= -5 +2t y=-2 z=1
	
	
	x= -5 +t y=-2 z=1
	
Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
	
	
	
	X= 2+t y = -2 z = t
	
	
	X= -2+t y = -2 z = -t
	
	
	X= -2+t y = -2 z = t
	
	
	X= -2+t y = 2 z = t
	
	
	X= 2+t y = 2 z = t
	
Explicação:
Os pontos são coeficiente de x é o vetor coeficiente de t.
Temos que:  (x,y,z) = (-2,-2,0) + t(1,0,1) 
Daí as equações paramétricas serão:  x=-2+t , y-2 ,  z=t 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
	
	
	
	X= -1+t y = 2 z = t
	
	
	X= -1-t y = -2 z = t
	
	
	X= -1+t y = -2 z = -t
	
	
	X= -1+t y = -2 z = t
	
	
	X= 1+t y = -2 z = t
	
Explicação:
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t
                                                                    y=-2
                                                                    z=t
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a direção do vetor (2,2, 2 )
	
	
	
	x= 5+2t y=2 z=2+2t
	
	
	x= 5 y=2+2t z=2+2t
	
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2t
	
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2+2t
	
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2
	
Explicação:
Temos :
(x,y,z) = (5,2,0) + t(2,2,2)  => x=5+2t , y=2+2t e z=2t
		Qual deve ser o valor de m para que os vetores a=(m,2,-1), b=(1,-1,3) e c=(0,-2,4) sejam coplanares?
	
	
	
	m=3/4
	
	
	m=3/2
	
	
	m=3
	
	
	m=4
	
	
	m=2
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se o ponto P do eixo das abscissas pertence ao plano determinado pela equação: 2x + 5y - 10z - 20 = 0. Podemos afirmar que:
	
	
	
	P( 0, 0, -2 )
	
	
	P( 10, 0, 0 )
	
	
	P( 5, 0, 0 )
	
	
	P( 0, 4, 0 )
	
	
	P( 0, 0, 2 )
	
Explicação:
Se P pertence eixo das abscissas, P = (x,0,0). Substituindo na equação do plano, 2x-20=0 -> x = 10
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O Módulo do vetor VAB, sendo A = (-1, 3) e B = (1; 3) é:
	
	
	
	2,83
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	3,52
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A equação do plano que contém os pontos A(0,1,2 ) B( 1,-1,4) e C(2,2,2) está na opção
	
	
	
	2x + 8y =2
	
	
	-2x +2y + 5z -12 = 0
	
	
	x + y + 2z - 1 =0
	
	
	2x + 2j + 2k =0
	
	
	3x + 7y - 5z -4 =0
	
Explicação:
produto vetorial de dois vetores quaisquer de um plano determina um vetor normal a esse plano. Depois substituir um dos pontos para achar a variavel independente desse plano.
LEMBRAR: o vetor v = (a,b,c) é ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ?
 
	
	
	
	-x - 2 y - 6 z - 35 = 0
	
	
	-x +2 y - 6 z - 35 = 0
	
	
	-x + 2 y + 6 z - 35 = 0
	
	
	-x - 2 y - 6 z+ 35 = 0
	
	
	-x - 2 y + 6 z - 35 = 0
	
Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (-4) ] = 0 -> -x - 2 y - 6 z - 35 = 0
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual é  a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ?
 
	
	
	
	-x - 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	
	-x - 2 y + 6 z - 13 = 0
	
	
	-x - 2 y - 6 z + 13 = 0
	
	
	-x + 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	
	=x - 2 y - 6 z - 13 = 0
	
Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (3)+ 2 (4) +6 (-4) ] = 0 -x - 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Qual é a equação do plano que contém o ponto A (0, 1, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) 
 
	
	
	
	x - 2 y - 6 z -2 = 0
	
	
	-x - 2 y - 6 z +2 = 0
	
	
	-x - 2 y + 6 z +2 = 0
	
	
	-x - 2 y - 6 z -2 = 0
	
	
	x - 2 y - 6 z +2 = 0
	
Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (0)+ 2 (1) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z+2 = 0
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, 0, 0) e é ortogonal
ao (-1,-2,-6) ?
	
	
	
	-x - 2 y + 6 z - 3 = 0
	
	
	-x - 2 y - 6 z - 3 = 0
	
	
	-x - 2 y - 6 z + 3 = 0
	
	
	x - 2 y - 6 z - 3 = 0
	
	
	x - 2 y - 6 z + 3 = 0
	
Explicação: -1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (0) +6 (0) ] = 0 -x - 2 y - 6 z - 3 = 0
		Na elaboração de um projeto, alunos de engenharia construíram um diagrama de forças que atuam sobre o objeto em análise.                  Os alunos identificaram a atuação de cinco forças distintas, representadas vetorialmente por 𝐹1 = (√2, −√2), 𝐹2  = (−√3, √3), 𝐹3  = (0 , 3), 𝐹4  = (2, −√3) e 𝐹5  = (1, −2). O vetor com maior intensidade é:
	
	
	
	F4
	
	
	F1
	
	
	F3
	
	
	F2
	
	
	F5
	
Explicação:
F3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dados os vetores u = (2x-1 , 3) e v = ( 3, -4) , determine o valor de x para que u e v sejam perpendiculares.
	
	
	
	2,5
	
	
	3,5
	
	
	4,5
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo representa, respectivamente os vetores AB e BC?
	
	
	
	AB = 3i - 2j   e   BC = 4i - 3j
	
	
	AB = 3i - 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i - 1j
	
	
	AB = 3i + 2j   e   BC = 4i + 3j
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Identifique o centro e o raio do círculo representada pela equação geral x² + y² - 8x - 4y + 11 = 0.
	
	
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 3.
	
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 2.
	
	
	o centro é (4, 2) e o raio é 3.
	
	
	o centro é (3, 2) e o raio é 4.
	
	
	o centro é (4, 2) e o raio é 2.
	
Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Identifique o centro e o raio da circunferência representada pela equação geral x² + y² - 2x - 8y + 12 = 0.
	
	
	
	o centro é (5, 4) e o raio é 1.
	
	
	o centro é (5, 1) e o raio é 2.
	
	
	o centro é (4, 1) e o raio é √5.
	
	
	o centro é (1, 5) e o raio é 2.
	
	
	o centro é (1, 4) e o raio é √5.
	
Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
 
 
	
	
	
	AM=2√3AM=23
	
	
	AM=3√2AM=32
	
	
	AM=√2AM=2
	
	
	AM=2√2AM=22
	
	
	AM=2AM=2
	
Explicação:
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
M = ((0 - 2)/ 2, (5 + 3)/ 2) = (-1, 4)
CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dados os vetores u = ( 1,2,3) e v = (m-3, 2,-3), podemos afirmar que
o valor de m para que o produto escalar u.v seja igual a zero , é:
	
	
	
	5
	
	
	6
	
	
	4
	
	
	7
	
	
	8
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 2)?
	
	
	
	(x−3)2+(y−4)2=5(x−3)2+(y−4)2=5
	
	
	(x−3)2+(y−4)2=sqrt5(x−3)2+(y−4)2=sqrt5
	
	
	(x−4)2+(y−3)2=sqrt5(x−4)2+(y−3)2=sqrt5
	
	
	(x−4)2+(y−3)2=5(x−4)2+(y−3)2=5
	
	
	(x + 3)^2 +(y + 4)^2 = 5
	
Explicação:
(x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
	
 
		
	
		1.
		Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) e d: x= -2
	
	
	
	x = y2 / 8
	
	
	x = y2 / 32
	
	
	x = y2 / 16
	
	
	x = y2 / 2
	
	
	x = y2 / 4
	
Explicação:
Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 = 0
	
	
	
	x = 4
	
	
	x = y
	
	
	x = (-y2 + 4y + 3) / 2
	
	
	x = y2 + 3y + 4 
	
	
	x = y2
	
Explicação:
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, temos d(X,F)=d(X,P)
=
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, obtemos:
x2-6x+9+y2-4y+4=x2-8x+16
ou seja, 2x=3-y2+4y de onde x= 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar:
	
	
	
	O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens diferentes.
	
	
	O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗.
	
	
	Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
	
	
	Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário.
	
	
	O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 0).
	
	
	
	(-1, 2, 1)
	
	
	(1, -4, 2)
	
	
	(-1, 3, 1)
	
	
	(1, 3, -1)
	
	
	(-2, 1, 1)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2
	
	
	
	(13, -9)
	
	
	(13/2, -9)
	
	
	(13/2, -8)
	
	
	(13/2, 8)
	
	
	(13,9)
	
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice em .
	
	
	
	y = -x2 / 6
	
	
	y = -x2 / 6 + 4x / 9
	
	
	y = -x2 / 6 - 97 / 54
	
	
	y = 4x²
	
	
	y = -x2 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54
	
Explicação:
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
		Dada a equação de uma Elipse a seguir
25x2 + 16y2 + 288y + 896 = 0
As medidas dos seus eixos Maior e Menor são , respectivamente:
 
	
	
	
	49 e 25
	
	
	25 e 16
	
	
	20 e 16
	
	
	10 e 8
	
	
	20 e 10
	
	
	
	 
		
	
		2.
		(ESPCEX 2013) Sobre a curva9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	A medida do seu eixo menor é 9.
	
	
	Seu centro é (−2,1).
	
	
	Sua excentricidade é 0,8.
	
	
	A distância focal é 4.
	
	
	A medida do seu eixo maior é 25.
	
Explicação:
9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0
9x² - 36x + 25y² + 50y − 164 = 0
9(x² - 4x) + 25(y² + 2y) − 164 = 0
9(x² - 4x + 4) + 25(y² + 2y + 1) − 164 - 9.4 - 25.1= 0
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 164+36+25
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 225
[(x - 2)²] / 25 + [(y + 1)²] / 9 = 1
a² = 25 -> a = 5
b² = 9 -> b = 3
c² = 25 - 9
c = 4
e = c/ a = 4/ 5 = 0,8
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é  24. Determine a distância focal dessa elipse.
	
	
	
	11
	
	
	12/13
	
	
	13/12
	
	
	10
	
	
	22
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Sabe-se que o diâmetro de uma circunferência é 6 e seu centro tem coordenadas C(-2,0), a equação reduzida desta circunferência é:
	
	
	
	(A) (x - 2)^2 = 3
	
	
	(C) (x + 2)^2 + y^2 = 3
	
	
	(E) (x + 2)^2 + y^2 = 36
	
	
	(B) (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
	
	(D) (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 36
	
Explicação:
Sendo o diâmetro 6, então r =3 Tendo-se C(-2, 0) e r = 3, a equação será: (x - (- 2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2 = (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0.
	
	
	
	(3,-1) e 5
	
	
	(-1,3) e 5
	
	
	(3,-2) e 4
	
	
	(3,4) e 6
	
	
	(2,-3) e 4
	
Explicação:
Temos que: -2a=-4 -> a=2
                   -2b=6 -> b=-3   , daí: o centro é O(2,-3)
a²+b²-r²=-3 -> 2²+(-3)² - r²= -3 -> 4+9-r²=-3 ->  -r²=-16 -> r=4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Sabendo que a distância focal de uma elipse é 16 e o eixo menor é igual a 12, qual o comprimento do eixo maior?
	
	
	
	10
	
	
	20
	
	
	18
	
	
	12
	
	
	16
	
Explicação:
a² = b² + c²
a² = 16² + 12²
a = 20
	
	
	
	 
		
	
		7.
		
	
	
	
	45°
	
	
	80°
	
	
	60°
	
	
	30°
	
	
	90°
	
	
	
	 
		
	
		8.
		P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o triângulo PQR seja retângulo em P.
	
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	7
	
	
	3
	
	
 
		
	
		1.
		Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da hipérbole.
	
	
	
	(1,2)
	
	
	(2,1)
	
	
	(2, -1)
	
	
	(-2,1)
	
	
	(-2,-1)
	
Explicação:
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 - 4x + 4 - 4]  - 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)2 / 4 + (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2, - 1)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2).
	
	
	
	-9x-8y+z+7=0
	
	
	-9x-3y+z+=0
	
	
	-9x-3y+z+9=0
	
	
	-5x-3y+z+7=0
	
	
	-9x-3y+z+7=0
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ?
	
	
	
	14 unidades de volume
	
	
	13 unidades de volume
	
	
	16 unidades de volume
	
	
	15 unidades de volume
	
	
	17 unidades de volume
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ?
	
	
	
	Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5
	
	
	Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5
	
	
	Uma circunferência de equação x2+y2 =3
	
	
	Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3
	
	
	Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais.
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados:
	
	
	
	centro e eixo
	
	
	centro e diretriz
	
	
	foco e diretriz
	
	
	vértice e eixo
	
	
	foco e eixo
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4)
	
	
	
	20
	
	
	5x (2)1/2
	
	
	10  x (2) 1/2 
	
	
	10
	
	
	20 x(2)1/2