Livro- Texto - Unidade II

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Unidade II
5 IDENTIFICAÇÃO DE POLIEDRO E SEUS ELEMENTOS
Nesta unidade, serão estudados os poliedros e seus elementos, desde sua formação até suas 
propriedades. Exploraremos algumas das principais superfícies e possíveis decomposições para 
calcularmos suas áres e volumes. Além disso, identificaremos algumas particularidades dessas 
superfícies.
Primeiro efetuaremos o estudo dos diedros. Quando estudamos o diedro, também chamado de 
ângulo diédrico em geometria, é como se estivéssemos fazendo uma expansão do conceito de ângulo, 
porém, a um espaço tridimensional. Diedro ou ângulo diédrico é a reunião dos semiplanos α e β, não 
contidos num mesmo plano com origem numa aresta comum.
α
β
α e β: faces do diedro
r: aresta do diedro
r
Figura 60
Triedro ou ângulo triédrico: é a reunião de três ângulos, desde que tenhamos três semirretas não 
coplanares, com origem em um mesmo ponto.
V
Figura 61
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5.1 Relações entre as faces de um triedro
Em todo triedro, cada face é menor que a soma das outras duas.
V
a c
b
Figura 62
Vamos chamar AVB, BVC e AVC de f1, f2, f3 e ab, bc e ac de faces de medidas. Temos:
ab bc ac
bc ab bc
ac ab bc
〈 +
〈 +
〈 +




, ou seja, 
f f f
f f f
f f f
1 2 3
2 1 3
3 1 2
〈 +
〈
〈 +





+
A soma das medidas das faces de um triedro qualquer é menor que 360º.
ab + bc + ac 〈 360º, ou seja, f1 + f2 + f3 〈 360º
5.2 Ângulo poliédrico
Ângulos poliédricos são semirretas de mesma origem que nunca ficam em um mesmo semiplano. A 
figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
S1
Sn
S5
S2 S3
S4
V
Figura 63
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Ângulos poliédricos devem satisfazer as seguintes condições:
• cada face é menor que a soma das demais;
• a soma das medidas das faces é menor que 360º.
Exemplo: não existe ângulo poliédrico com faces medindo 10º, 30º, 40º e 130º, pois 130º 〉 10º + 30º + 40º.
5.3 Poliedros
Como visto anteriormente, é chamado poliedro todo sólido formado por quatro ou mais polígonos 
planos que pertencem a planos diferentes e que possuem apenas uma aresta em comum.
Hexaedro: 6 faces retangulares.
Figura 64
Tetraedro: 4 faces triangulares.
Figura 65
Icosaedro: 20 faces triangulares.
Figura 66
5.3.1 Poliedro convexo
É quando cada uma das faces do poliedro se encontra inteiramente no mesmo semiespaço.
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Exemplo:
Figura 67
5.3.2 Poliedro côncavo
Verifique que duas das faces deste poliedro não se encontram no mesmo semiespaço.
Figura 68
5.4 Relação de Euler
Considerando três poliedros, vamos contar o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o 
número de faces (F).
Figura 69
Figura 70
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Figura 71
Quadro 2
Vértice Face Aresta V + F
Pentágono 10 7 15 17
Pirâmide quadrangular 5 5 8 10
Dodecaedro 20 12 30 32
 Observação
Podemos observar que V + F é igual a A + 2.
Portanto: V + F = A + 2. Essa relação é válida para todo poliedro convexo 
e é chamada de Relação de Euler.
6 CILINDROS, CONES E ESFERAS
6.1 Cilindros
São comuns os objetos de forma cilíndrica: alguns postes de iluminação, latas de refrigerante, 
reservatório de água etc. O conceito de cilindro é muito importante, pois nos traz muitas utilidades 
práticas do dia a dia.
Figura 72 – Tonéis de metal
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Figura 73 – Forma cilíndrica
Figura 74 – Reservatório de água.
Exploraremos alguns conceitos matemáticos desse sólido. Um cilindro circular é a reunião de todos 
os segmentos congruentes e paralelos a CD com uma extremidade no círculo.
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A
C
B
D
Figura 75
As bases de um cilindro são formadas por circunferências, como visto na figura anterior. Sua 
superficie lateral transforma‑se em um retângulo (quando planificada), o que será visto posteriormente.
6.1.1 Elementos do cilindro
As bases de um cilindro são círculos paralelos que têm centro A e B. Sua altura é a distância entre os 
dois centros A e B, no caso do cilindro reto.
O cilindro possui secção meridiana, que nada mais é do que uma região poligonal obtida pela 
intersecção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.
A geratriz é qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases (por 
exemplo, AB) e paralelo à reta que determina a distância entre A e B, ou seja a altura.
A geratriz de um cilindro reto tem o mesmo valor da altura deste. 
Os cilindros podem ser classificados conforme a inclinação da geratriz. Assim,
• se a geratriz for perpendicular à base, o cilindro será reto (figura a seguir, do lado esquerdo);
• se a geratriz for inclinada, o cilindro será denominado oblíquo (figura a seguir, do lado direito).
É possível notar que a geratriz de um cilindro reto forma com o diâmetro da base um ângulo de 90º, 
diferentemente do cilindro oblíquo. No caso do cilindro oblíquo, o ângulo formado entre a geratriz e o 
diâmetro do cilindro é diferente de 90º.
Geratriz Eixo h
Diretriz
O
O’
Eixo
O
O’
Diretriz
Geratriz
h
Figura 76 – Cilindro reto Figura 77 – Cilindro oblíquo
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6.1.2 Classificação dos cilindros circulares
6.1.2.1 Cilindro circular reto ou de revolução
O cilindro circular reto ou de revolução é gerado pela rotação de 360º de um retângulo ao redor 
do eixo O.
O
O’
h
O
O’
Figura 78 – Cilindro circular reto ou de revolução
6.1.3 Secção transversal
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às 
bases. Todas as seções transversais são congruentes.
α
Figura 79
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6.1.4 Cilindro equilátero
É todo cilindro cuja secção meridiana resulta em um quadrado.
2r
2rh = 2r
Figura 80
Podemos verificar que, no cilindro equilátero, a altura é igual ao diâmetro da base, ou 
seja, 2r.
h=2r
Exemplo 1:
Em um cilindro equilátero, o raio da base é r. Qual é a área de sua secção meridiana?
Resolução: a secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado; portanto, para se calcular 
a área da secção, basta calcular a área do quadrado, que é 4r2.
Exemplo 2:
Qual é a área da secção meridiana de um cilindro equilátero de altura h?
Resolução: a secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado; portanto, para se calcular 
a área dela, basta calcular a área do quadrado, que é h2.
6.1.5 Áreas lateral e total de um cilindro circular reto
A visualização de formastridimensionais planificadas facilita a compreensão das 
propriedades geométricas envolvidas. Como mencionado anteriormente, foi visto que a 
superfície lateral de um cilindro forma um retângulo. Vamos planificar um cilindro para 
melhor compreensão:
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h
r
r
r
h
2 π r
Figura 81
Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:
Alat = 2 π r . h
onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 2 π r . h + 2 π r
2
Atot = 2 π r . (h + r)
r
h
Cilindro
equilátero
h = 2r
r
Superfície
lateral
Figura 82
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r
h
r
Base
Base
Superfície lateral
2πr
h
Figura 83
6.1.6 Volume do cilindro
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = Abase × h
Se a base é um círculo de raio r, então:
V = π r2 . h
Vamos entender melhor como se chega até a fórmula do cilindro. Consideremos um cilindro de altura 
h e aresta da base Ab, e um prisma com a mesma altura (h) e a mesma área da base Ab. Suponhamos 
ainda que os planos que contêm a base são horizontais.
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α
β
A1 A2
1 2
Figura 84
Qualquer plano horizontal que seciona o cilindro também seciona o prisma, e as seções têm áreas 
iguais, pois são congruentes às respectivas bases. Portanto, podemos dizer que o volume do prisma e o 
do cilindro são iguais.
Se o volume do prisma é: Vprisma = Ab . h e o Vprisma = Vcilindro, temos: Vcilindro = Ab . h ∴ Vcilindro = π . r
2 . h
 Saiba mais
De acordo com o raciocínio de Cavalieri, esses dois sólidos, um cilíndrico 
e o outro prismático têm o mesmo volume. Você pode conhecer mais 
relações entre sólidos utilizando o princípio de Cavalieri disponível em: 
<http://m3.ime.unicamp.br/dl/1IMX3R6IwNQ_MDA_8f351_>.
Exemplo 1:
Dado o cilindro circular equilátero (h = 2r), calcule a área lateral e a área total.
No cilindro equilátero, a área lateral e a área total são dadas por:
Alat = 2π r . 2r = 4π r
2
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 4π r
2 + 2π r2 = 6π r2
V = Abase . h = π r
2 . 2r = 2π r3
Exemplo 2: Seja um cilindro circular reto de raio igual a 3 cm e altura 2 cm. Calcule a área lateral, a 
área total e o volume.
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Cálculo da área lateral:
Alat = 2πr . h = 2π 3.2 = 12π cm
2
Cálculo da área total
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 12π+ 2π3
2 = 12π+ 18π= 32π cm2
Cálculo do volume
V = Abase × h = πr
2 × h
V = π . 32 × 2 = π × 9 × 2 = 18π cm3
Seguem as fórmulas para auxílio no cálculo dos cilindros circular reto e equilátero:
AL = 2 πr . h
AT = 2 πr . (r + h)
V = π r2 . h
AL = 4 πr2
AT = 6 πr2
V = 2 πr3
hh = g
r
g
r
r
2r = g = h
Figura 85 – Cilindro circular reto Figura 86 – Cilindro equilátero
6.2 Cone
São encontrados, com bastante facilidade, objetos em forma prismática e cilíndrica em nosso dia 
a dia. No entanto, isso não acontece com tanta facilidade no caso dos sólidos na forma de pirâmides 
e cones. Ainda assim, podemos observar objetos como um chapéu de palhaço distribuído em festas de 
crianças ou até mesmo alguns copos de chope, que possuem a forma aproximada de um cone.
Desses objetos de forma cônica, imaginamos um cone, que é caracterizado por possuir uma base 
circular. Seu vértice fica exatamente sobre o centro da base, ou seja, a projeção do vértice sobre a base é 
o centro desta (no caso do cone reto). Sua altura é dada pela distância entre o vértice e o centro da base.
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Vamos verificar uma definição matemática. Considere um plano α e um círculo de centro C contido 
em α; considere ainda um ponto V fora de α. Podemos chamar de cone a reunião dos segmentos que 
têm uma extremidade em V e outra nos pontos do círculo.
α
C
α
P C
V
Figura 87
6.2.1 Elementos
O cone possui sua base sendo um círculo de raio r. Seu vértice é o ponto que pode ser chamado de 
P, que limita a reunião do segmento da base até esse ponto P.
Sua geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na 
curva que envolve a base, o que chamamos de g.
Sua altura é dada pela distância do vértice do cone ao plano da base e é chamada de h.
A secção meridiana de um cone é dada pela intersecção deste com um plano que contém um 
eixo. Quando o cone for reto, sua secção meridiana será um triângulo isósceles. No caso do cone ser 
equilátero, sua secção meridiana resultará em um triângulo equilátero. Vamos observar a figura a seguir:
V
A
B
R
R
O
Figura 88
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Assim, teremos:
g = 2 . R
h = R . √3
A fórmula da altura de um cone equilátero será deduzida nos próximos itens.
g
h
g
2R
Figura 89
6.2.1.1 Classificação do cone
Existem alguns tipos de cones que possuem características específicas que exploraremos com a seguir.
Observe:
V
O
h
g
R
Figura 90
Um cone é dito reto se a reta VO for perpendicular à base. O cone reto também pode ser chamado 
de cone de revolução, pois é gerado pela rotação do triângulo retângulo ao redor do eixo.
A geratriz de um cone de revolução pode ser chamada de apótema do cone. Para calcularmos o 
apótema do cone, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, assim:
g2 = h2 + r2
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Observe o cone da figura a seguir:
α
O R
V
h
g
Figura 91
Um cone é dito oblíquo se a reta VO for obliqua à base. E é considerado equilátero quando sua secção meridiana 
resultar em um triângulo equilátero. Esse tipo de cone será discutido separadamente nos próximos itens.
6.2.1.2 Área do cone
Para calcularmos a área do cone, precisamos calcular separadamente sua base, sua área do setor e 
sua área lateral. Vejamos como são os procedimentos a seguir.
6.2.2 Área lateral
Para calcularmos a área lateral de um cone, precisamos saber primeiro o que é uma área de setor e 
como a obtemos.
Vamos observar a figura a seguir:
R
R
L〈X
Setor circular
Figura 92 – Setor circular
A figura nos mostra á área de um setor circular de uma circunferência qualquer.
Sabendo que L é o comprimento do arco dessa circunferência, se dobrarmos esse arco, a área do setor 
dobra, e assim sucessivamente. Logo, a área do setor pode ser resolvida por uma regra de três simples.
Comprimento do arco área do setor
2πr → πr2
l → Áreasetor
Áreasetor = 
lr
2
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Ou seja:
Áreasetor = 
1
2
 (comprimento do arco) x raio.
Para facilitar nossos cálculos, como foi feito no cálculo da área lateral do cilindro, planificaremos o 
cone para melhor compreensão do sólido. Planificando‑o e calculando a área do setor circular, temos 
que o raio do setor é g e o comprimento do arco mede 2πr. Portanto:
g
V
V
L
g
R
Figura 93
A rglateral =
1
2
2. . .π
ALat = π r g
6.2.3 Área total
A área total de um cone circular reto pode ser obtida por meio da somatória da área lateral com a 
área da base.
Assim,
ATotal = π r g + π r
2
ATotal = π r(g+r)
6.3 Cones equiláteros
Um cone circular reto é equilátero quando a secção meridiana resulta em um triângulo equilátero. 
E o que significa isso? Vimos que a secção meridiana de um cone é a intersecção deste com um plano 
que contém o eixo. Vamos observar o triângulo equilátero resultante de um cone equilátero na figura 
a seguir:
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g
h
g
2R
g= 2 R 
Figura 94
Sabemos que a área da base de um cone é:
ABase = π r
2
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
(2R)2 = h2 + R2
h2 = 4R2 – R2 = 3R2
Assim,
h = R √3
Um cone pode ser comparado a uma pirâmide de base circular.
6.3.1 Volume do cone
Observando as figuras a seguir, podemos concluir que o volume do cilindro é maior do que o volume 
do cone:
A
C
B
D
Figura 95
66
Unidade II
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13
V
O
h
g
R
Figura 96
Quando a área da base e a altura do cilindro forem iguais às do cone, podemos dizer que o volume 
do cone é igual à terça parte do volume do cilindro. Sabemos que o volume do cilindro é dado pelo 
produto da área da base pela altura.
V = Abase × h
Se a base é um círculo de raio r, então:
V = πr2 h
Logo, o volume do cone é dado por:
V A hbase=
1
3
.
Exemplo 1:
A geratriz de um cone circular reto mede 80 cm e forma um ângulo de 60o com o plano da base. 
Determine a área lateral, a área total e o volume do cone.
Figura 97
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GEOMETRIA ESPACIAL
sen(60o) = h/80
(1/2)√3 = h/80
h = 40√3 cm
V = (1/3) Abase h
V = (1/3) π r2 h
V = ( )π. .40 40 3
3
2
V cm= 64000 3
3
3π
60º
g = 2r
Figura 98
r = 40 cm; g = 80 cm
Alat = πr g = π40.80 =3200π cm
2
Atotal = Alat + Abase
Atotal = π r g + πr
2 = π r (r+g)
Atotal = π40 (40+80) = 4800π cm
2
Exemplo 2:
Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c, e a sua área mede 2 m2. O cone obtido pela 
rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 4πm3. Determine o comprimento do cateto c.
68
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b
c
Figura 99
2 b c 4= =⇒1
2
b c. .
V =(1/3) . Abase . h
4
1
3
2π π= c b.
4
4 2= 


b
b.
4
16
2= b
b.
4b = 16 ⇒ b = 4 cm
Exemplo 3:
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 4 cm, e o ângulo (B) = 60º. Girando‑se o triângulo em 
torno do cateto menor, obtém‑se um cone. Qual é o seu volume?
B
C
A
Figura 100
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GEOMETRIA ESPACIAL
sen(60o) = R/4
(1/2)√3 = R/4 ⇒ R =2√3 cm
g2 = h2 + R2
42 = h2 + (2√3)2
16 = h2 + 4 . 3
h = 2 cm
V A hbase=
1
3
.
V = ( )π 2 3 2 1
3
2
. .
V= 8π cm3
6.3.2 Tronco de cone
Secção transversal de um cone é a intersecção do cone com um plano paralelo.
Caso cortemos um cone com um plano paralelo à base, vamos obter dois sólidos geométricos.
O sólido que contém o vértice será um cone menor, e o sólido que não contém o vértice, e sim a base 
do cone, será o tronco de cone.
h’
H
Cone
h
Tronco do cone
Base maior
Base menor
As
Ab
r
r
Figura 101
70
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Podemos considerar a seguinte relação:
r
r
h
H
, ,
=
Asecção = h
' 
 Abase h
Um tronco de cone reto ou de revolução é gerado por um trapézio retângulo.
6.3.3 Áreas de um tronco de cone
A área da base maior é a área de um círculo de raio R.
g
r
R
g
g
2πr
2πR
Figura 102
AB = π . R
2
A área da base menor é a área do outro círculo de raio igual a r.
AB = π . r
2
A área lateral de um tronco de cone é calculada da seguinte maneira: imagine a planificação desse 
tronco de cone. Vamos obter um trapézio em que a base maior mede 2 π R e a base menor mede 2 π r. 
A altura desse trapézio é a geratriz do tronco de cone. Agora é só aplicar a área do trapézio, que, como 
todos sabem, é:
A
B b
hTrap zioé �
�
�
( )
2 . 
Por analogia temos que a área (Alateral) será:
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GEOMETRIA ESPACIAL
A
R r
glateral �
�2 2
2
� �.
A R r glateral � �� ��
A
R r
g
A
R r
g
A
lateral
lateral
lateral
�
��
�
�
�
�
� �
�
�� ��
�
�
�
�
� �
2 2
2
2
2
� �
�
�� �� � �� R r g
O cálculo da área total é a soma das áreas das bases com a área lateral. Dessa forma, temos:
A A A Atotal lateral B b= + +
Sabemos que:
A g R r A R e A rlateral B b� �� � � � � �� � �, 2 2
Substituindo temos:
A g R r R r
A g R r R r
A g R r
total
total
total
� �� � � �
� �� � � �� �
� � ��
� � �
�
�
2 2
2 2
�� � �� �
� �� � � �� ��� ��
R r Por to
A R g R r g rtotal
2 2 tan
�
6.3.4 Volume de um tronco de cone
O cálculo do volume de um tronco de cone é análogo à fórmula do volume de um tronco de pirâmide. 
Assim, fazendo uma adaptação, temos:
V
h
A A A AB B b b= + + 3
. — fórmula do volume do tronco de pirâmide
V
h
R Rr r= + +


π.
.
3
2 2
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Exemplo 1:
A que distância do vértice devemos cortar um cone de revolução de altura H, por um plano paralelo 
à base, de modo que o volume do cone destacado seja 1/27 do volume do primeiro cone?
A
A
d
H
b
B
=
Aplicando a mesma relação para o volume, temos v
V
d
H
= 



3
O volume do cone destacado é 1
27
, então: v
V
= 1
27
Logo: 
d
H
d
H
d H



= ⇒ = ⇒ =
3 1
27
1
3
1
3
Exemplo 2:
O volume de um tronco de cone mede 28.π cm3, e os raios das bases medem respectivamente 4 cm 
e 1 cm. Qual é o valor da geratriz?
O volume do tronco de cone é dado pela fórmula: V
h
R Rr r= + +


π.
.
3
2 2 . Substituindo o que o 
problema nos fornece, temos:
28
3
4 4 1 12 2.
.
.π π= + +


h
28
3
16 4 1= + +[ ]h
28
21
3
= .h
28 = 7h
h = 4 cm
Aplicando o Teorema de Pitágoras para encontrar a geratriz, termos:
g2 = h2 + (B – b)2
g2 = 42 + (4 – 1)2 
g2 = 16 + 9
g = √25
g = 5 cm
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GEOMETRIA ESPACIAL
 Observação
Apolônio de Perga (c. 262‑190 a.C.) foi nomeado “O Grande 
Geômetra”, por conta de sua obra Secções cônicas. A definição de 
cônica por meio de secções planas numa superfície cônica circular de 
suas folhas foi dada por ele. Apolônio também introduziu os nomes 
atuais de elipse, hipérbole e parábola.
6.4 Esfera
Uma das ciências mais antigas, a Astronomia, se preocupava em entender o céu e os astros, 
seus movimentos, formas e distâncias. Nesse estudo, perguntava‑se se os astros teriam forma de 
círculos ou esferas.
É provável que a forma esférica tenha sido criada a partir da observação e do estudo dos corpos 
celestes como o Sol e a Lua.
A forma do nosso planeta pode ser considerada uma esfera.Os homens reproduziram‑na em 
objetos como as bolas de vôlei, futebol, basquete. E, a partir dessas formas, foi possível identificar 
relações e propriedades importantes e específicas da esfera. Por exemplo, ela é o único objeto que rola 
independente de sua posição, diferentemente do círculo ou do cilindro, que só são capazes de rolar 
em determinadas posições.
Assim, podemos dizer que todos os pontos da superfície de uma esfera estão em igualdade de 
condições. A distância de todos eles ao centro dela é a mesma. Tal distância é o seu raio.
Outra forma de definir esfera é observando a figura a seguir. Vamos imaginar uma rotação completa 
de um semicírculo ao redor de um eixo e. O sólido gerado pode ser chamado de esfera.
e
Figura 103
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6.4.1 Secção
A intersecção de uma esfera com um plano secante é um círculo chamado secção da esfera.
Seção plana Plano secante
α
Figura 104
R
h
Figura 105
O raio da secção da Figura anterior é chamado R.
6.4.2 Volume da esfera e área da superfície esférica
Pelo método da exaustão, Arquimedes (287 a.C — 212 a.C) provou que o volume da esfera é igual a 
quatro vezes o volume do cone, cujo o raio e altura são os mesmos da esfera.
Sabendo que o volume do cone é dado por:
V A hbase=
1
3
. , que equivale a:
π πR xR R2 3
3 3
=
Como o volume da esfera é quatro vezes o volume do cone, temos:
4
3
3πR
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Exemplo:
Calcule o volume de uma esfera de 6 cm de raio.
Resolução:
V R= =4
3
3π
V = =4
3
63π
V = =4
3
216π
V = 288π
6.4.3 Área da esfera
Quando cortamos uma esfera, o maior círculo que podemos obter tem raio igual ao dela. Como 
sabemos, a área do círculo, então, é dada por: A=πR2, e a área da superfície esférica é igual a quatro 
vezes a área desse círculo. Portanto:
A=4πR2
e
O
P
R
Figura 106
Exemplo:
Calcule a área de uma esfera de 12 cm de raio.
Resolução:
A=4πR2 
A=4π122
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A=4π144
A=576π
 Lembrete
É importante lembrar‑se deque:
R
0
V
R= 4
3
3π
A=4πR2
Figura 107
6.4.4 Fuso esférico
Se uma semicircunferência com as extremidades em um eixo gira α graus (0º 〈 α 〈 360º) em torno 
do eixo, ela gera uma superfície chamada fuso esférico.
R
α
Figura 108
A área do fuso é proporcional a α, ou seja, se dobrarmos α, dobraremos a área do fuso; se triplicarmos 
α, triplicaremos a área do fuso, e assim sucessivamente.
Vamos calcular a área do fuso.
Aplicando uma regra de três simples, temos:
360 40 2
0
→
→
. .π
α
r
Afuso
 → A
r
fuso =
π α. .2 0
090
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GEOMETRIA ESPACIAL
Utilizando a mesma linha de raciocínio para radianos, vem:
2 4 2π π
α
. .rad r
rad Afuso
→
→ → A rfuso = 2
2. α
6.4.5 Cunha esférica
Se um semicírculo com o diâmetro em um eixo gira α graus (0º 〈 α 〈 360º) em torno do eixo, ele gera 
um sólido que é chamado de cunha esférica.
R
α
Figura 109
 Lembrete
Quando dobramos o valor de α, o valor do volume da cunha dobra; 
quando triplicamos o valor de α, o volume também triplica, e assim 
sucessivamente.
Quando α = 360º, a cunha se transforma na esfera V r=
4
3
3π. , de modo que:
360
4
3
0 3
0
→
→
π
α
.r
Vcunha
 → V
r
cunha =
π α. 3 0
0270
Transformando em radianos, temos:
2
4
3
3π π
α
. .
.
rad r
rad Vcunha
→
→
 → V
r
cunha =
2
3
3. .α
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Exemplo 1:
Calcule a área total e o volume de uma cunha de 
π
8
 radianos de uma esfera de 4 cm de raio.
A área total de uma cunha é a soma da área do fuso + a área de um semicírculo + a área de outro 
semicírculo, ou seja:
Atotal = Afuso + Acírculo (1)
Vamos calcular a área do fuso:
2 4 4
8
2π π
π
. .rad
Afuso
→
→
 → Afuso = =
π π
π
π
8
4 16
1
2
4. . .
Substituindo na equação (1), temos:
A cmtotal = + ⇒4 4 20
2 2π π π. .
Volume da cunha:
2
4
3
4
8
3. . .π π
π
rad
Vcunha
→
→
 → V cmcunha = =
π π
π
π
8
4
3
4
1
2
16
3
3 3. . . .
Exemplo 2:
Calcule o volume e a área de uma esfera de 10 cm de diâmetro. 
Resolução:
Se a esfera possui 10 cm de diâmetro, o seu raio mede 5 cm. Portanto, a área da esfera é:
R
0
V
R
A R
=
=
4
3
4
3
2
π
π
Figura 110
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GEOMETRIA ESPACIAL
A= 4 π 52
A= 4 π. 25
A = 100 π cm2
O volume:
V = 4 5
3
3. .π
V = 4 125
3
π.
V cm= 500
3
3π
 Resumo
Além dos sólidos geométricos já estudados anteriomente, pudemos 
conhecer nesta unidade os sólidos platônicos, que possuem uma 
característica importante que os diferencia dos demais: são sólidos convexos 
cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes. São cinco os 
sólidos platônicos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Vimos que a relação de Euler é muito utilizada no estudo de sólidos. Estudamos 
também superfícies curvas, bem como a decomposiçao delas em figuras planas.
 Exercícios
Questão 1. (Enem, 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para 
servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de 
uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
8 cm
20 cm
4 cm
4 cm
Figura 111
80
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Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na 
leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá:
A) Encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
B) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
C) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
D) Encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
E) Encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das alternativas
Para resolvermos a questão, temos que calcular o volume dos cilindros. O volume do copinho plástico 
é dado por:
V r h V V cmc c c= ⇒ = ⇒ =π π π. . . .
2 2 32 4 16 .
O volume da leiteira é dado por:
V r h V V cml l l= ⇒ = ⇒ =π π π. . . .
2 2 34 20 320 .
A relação entre os volumes da leiteira e do copinho é dada por:
V
V
V Vl
c
l c= = ⇒ =
320
16
20 20
π
π
. (o volume da leiteira é 20 vezes o volume do copinho).
Então, para encher os vinte copinhos plásticos pela metade, é suficiente encher a leiteira até a 
metade. Sendo assim:
A) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é correta.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é incorreta.
C) Alternativa incorreta.
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2013
GEOMETRIA ESPACIAL
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é incorreta.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é incorreta.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é incorreta.
Questão 2. (Enem, 2010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2m de diâmetro e 
4m de altura (de espessura desprezível) foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, 
contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 
3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a:
A) R$230,40.
B) R$124,00.
C) R$104,16.
D) R$54,56.
E) R$49,60.
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