Lista 3

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EAE 5811 - Econometria I
Prof. Dr. Denisard Alves
Monitores: Bruno Gasperini e Ricardo Sabbadini
Lista 3
Data de entrega: 23/04
1) Considere o seguinte modelo
y = X� + "
em que a matriz de variância-covariância E[""0jX] = �2
:
a) Encontre �^ols; E[�^ols] e var[�^ols]
b) Encontre �^gls; E[�^gls] e var[�^gls]
c) Demonstre o Teorema de Aitken: �^gls é o estimador linear não viesado
de variância miníma no modelo de regressão linear generalizado.
2) Considere o modelo
yt = �+ et; t = 1; :::; T
com et i.i.d, E[et] = 0; E[e2t ] = �
2 + �2 e cov(et; es) = �
2; para s 6= t: O
estimador e…ciente de � é GLS. Compute a e…ciência relativa de OLS, de…nida
por
var(�^ols)
var(�^gls)
3) Suponha que você queira estimar um modelo e descon…a, por motivos
teóricos, da presença de heteroscedasticidade e os testes empíricos comprovam
este fato. Discute a utilização do estimador de White, de GLS e de FGLS para
se estimar a variância.
4) No modelo generalizado de regressão, se as k colunas de X são auto-
vetores de 
, então os estimadores de OLS e GLS são idênticos. Prove esse
resultado.
5) Suponha E[uijx] = 0 e E[u2i jx] = �2: A intenção desse exercício é guiá-lo
pela demostração da distribuição assintótica, sob a hipótese nula de homoscedas-
ticidade, das estatísticas dos testes de heteroscedasticidade de Breusch-Pagan e
White. Provaremos um caso geral em que ambos se enquadram.
Seja h(x) um vetor n por k de variáveis do qual a E[u2jx] pode depender.
No caso do teste de Breusch-Pagan h(x) = x; no de White h(x) = x0x (tal vetor
tem todas as variáveis explicativas, seus quadrados e seus produtos cruzados).
Seja u2i = �0 + hi� + vi; Sob H0 de homocedasticidade, temos que � = 0;
�0 = �
2 e E[vijhi] = E[vijxi] = 0:
1
Sabemos que a estatística do teste de heteroscedasticidade consiste num teste
de signi…cância da regressão de u^2i contra hi (pode ser nR
2 ou um teste F ou
Wald). hi é um vetor k por 1.
a) Mostre que:
n�1=2[
X
hi(u^
2
i � �^2)] = n�1=2[
X
(hi � �h)(u2i � �2)] + op(1)
em que �h é a esperança populacioanl de hi:
Dica: use o fato que: fn�1=2[P(hi � �h)x0i(b� �)(b� �)0xi]g = op(1)
b) Suponha que E[u4i =xi] = �
2; isto é, em u2i = �0 + hi� + vi; E[v
2
i =xi] =
�2: Supõe-se homoscedasticidade na regressão auxiliar (apesar de ser possível
fazer testes robustos à heteroscedasticidade nesse etapa, não mostraremos sua
distribuição assintótica). Mostre que:
E[(u2i � �2)2(hi � �h)0(hi � �h)] = �2E[(hi � �h)0(hi � �h)]
em que: �2 = E[(u2i � �2)2]
c) Mostre que os itens (a) e (b) implicam que a estatística LM da regressão
de u^2i contra hi se distribui assintoticamente como uma �
2
Q:
6) Suponha que você tenha a seguinte especi…cação : yi = x0i� + "i, que
satisfaz todas as suposições do teorema de Gauss-Markox. Entretanto, ao invés
dos dados originais i=1,...,N, você tem J grupos de diferentes tamanhps. O
primeiro grupo tem uma pessoa, o segundo grupo duas pessoas e o j-ésimo
grupo j pessoas, sendo que
JX
j=1
j = N . Se você tem a sua disposição apenas as
médias dos grupos �yj e �xj , responda:
a) O estimador de OLS de � será viesado?
b) O estimador de OLS de � terá variância mínima?
7) Considere o modelo de regressão:
yi = �+ �xi + 
zi + ui; em que ui = zivi + ei
em que ei é i.i.d com média zero e variância �2e e vi é i.i.d com média zero e
variância �2v. Suponha cov(ei; vi) = 0, o que implica que var(uijzi) = z2i �2v+�2e:
Utilizando o STATA, crie uma população de 10000 observações (seed 123)
extraídas de uma distribuição normal com as seguintes características:
xi � N(410; 121)
zi � N(20; 25)
vi � N(0; 16)
ei � N(0; 1)
2
Agora, gere: o termo de erro ui e a variável yi tal que � = 2; 5; � = 2 e

 = 15: Sorteie dessa população uma amostra de 2000 observações e responda:
a) Estime o modelo apresentado por OLS. Reporte as estimativas e seus
erros-padrão.
b) Faça o grá…co de dispersão de y contra z. Qual conjectura pode ser feita
a partir desse grá…co?
c) Teste a presença de heteroscedasticidade por Breusch-Pagan e por White
(é permitido utilizar os comandos para os testes do STATA). Qual a conclusão
dos testes?
d) Estime o modelo utilizando o estimador robusto de Eicker-Huber-White
para a matriz de variância-covariância. Compare os resultados obtidos com os
do item a.
e) Estime o modelo acima por FGLS, partindo da suposição de que a het-
eroscedasticidade segue a forma multiplicativa de Harvey.
8) (base de dados: cc.txt) Procedimento para uma situação em que você
encontre uma base de dados em .txt e queira trabalhar com ela no STATA, mas
não possa utilizar o MSExcel para tabular os dados.
i) mude o diretório principal de trabalho do STATA para a localização onde se
encontra o seu arquivo .txt pelo comando: cd "..." (exemplo: cd "C:nDocuments
and SettingsnAdministradornDesktop");
ii) comando para entender o .txt: in…le ’nome das variaveis’using ’nome-
doarquivo’, prestando atenção para a ordenação das variáveis (exemplo: in…le
mdr acc age income exp ownrent selfempl using cc.txt);
iii) salvar o arquivo no formato .dta (as variáveis do item anterior são
de…nidas na tabela F8.1 do Greene 6ed p.1085);
iv) caso você se depare com um arquivo tipo .csv (comma separated value),
o procedimento é similar, apenas usando o comando insheet ao invés de in…le;
Agora, considere o seguinte modelo
expi = �0 + �1agei + �2ownrenti + �3incomei + �4income
2
i + "i
a) Explique (dê uma intuição) por que este modelo pode sofrer de het-
eroscedasticidade.
b) Para con…rmar suas suspeitas, implemente os teste de Breusch-Pagan
(caso geral e caso especial) e de White (caso geral e caso especial). Para efeito
de exercício, você não poderá utilizar os comandos (estat) imtest, whitetst ou
(estat) hettest do STATA (utilize tais comandos apenas para conferir sua re-
sposta).
c) Os testes indicam a presença de heteroscedasticidade? Se diferem, qual
seria a origem de tal divergência? Além disso, descrevas vantagens e desvanta-
gens do teste de White.
d) Suponha que a variância do erro é desconhecida. Porém, você tem indí-
cios de sua estrutura e suspeita que esta variância seja uma função linear das
variáveis income e income2. Obtenha o estimador de FGLS.
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