Lista 4

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EAE 5811 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
Monitores: Bruno Gasperini e Ricardo Sabbadini
Lista 4
Data de Entrega: 26/05
1) O arquivo money.dta contém dados trimestrais ajustados para sazonal-
idade do logaritmo da oferta de moeda real (m), PIB real (y) e taxa de juros
(r) para o Canadá referente ao período 1967:1 até 1998:4. Usando esses dados,
estime o seguinte modelo por OLS
mt = �0 + �1rt + �2yt + �3mt�1 + �4mt�2 + "t
a) Faça o teste de Durbin-Wu-Hausman para a hipótese de que a taxa de
juros rt é exógena, usando rt�1 e rt�2 como instrumentos adicionais. Explique
a lógica do teste.
b) Estime o modelo por 2SLS tratando rt como endógena e utilizando rt�1
e rt�2 como instrumentos adicionais. Essas estimativas são muito diferentes da
estimativas de OLS? Por que? Qual o problema de, ao invés de utilizarmos o
comando ivreg no STATA, rodarmos os dois estágios manualmente?
c) Realize o teste de Sargan. Explique a lógica desse teste.
Obs: Para os testes de Hausman e Sargan, não utilize os comandos do
STATA.
Dica: Ver seções 6.2.1 e 6.2.2 Wooldridge (2002).
2) Considere a estimação por IV de um modelo de regressão linear simples.
y = �0 + �1x+ u
Suponha: E[u] = 0; Cov[z; u] = 0; Cov[x; u] 6= 0; E[u2=z] = �2:
a) Sob as hipóteses acima, mostre que AV ar[
p
n(�^1 � �1)] pode ser escrita
como [�2=(�2x�
2
zx)]; em que �
2
x = V ar[x] e �zx = Corr[x; z]:
b) Como cada um desses fatores afeta AV ar[
p
n(�^1� �1)]? O que acontece
quando �zx ! 0?
c) Para o caso de regressão linear asimples acima, mostre que caso Cov[z; u] 6=
0; a inconsistência do estimador de IV pode superar a de OLS.
3) Use os dados de openess.dta. Considere o modelo abaixo.
infi = �0 + �1openi + �2 log(pcinci) + ui
em que infi é in‡ação, openi é uma medida de abertura comercial e pcinc é
a renda per capita do país i.
a) Estime o modelo por OLS.
b) Suponha que open seja endógena. Explique porque a área de um país
pode ser um bom instrumento para essa variável. Estime o modelo por 2SLS
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usando a variável log(land); log da área do país, como instrumento. Faça um
teste de endogeneidade. O instrumento é fraco?
c) Refaça todo o item anterior usando log(land) e a dummy oil (valor um
para países produtores de petróleo) como instrumentos. Também faça um teste
de restrições sobreidenti…cadoras.
Dica: o STATA 10 possui o comando ivregress. Versões anteriores do STATA
podem baixar o package ivreg2.
4) Seja b o estimador de OLS e �^ o de 2SLS. Mostre que o teste de Durbin-
Wu-Hausman, em que se utiliza uma regressão auxiliar, é um teste que tem
como hipóetse nula b = �^:
Dica1: encontre uma expressão para �^�b e mostre que essa é nula quando
os coe…cientes testados na regressão auxiliar são nulos.
Dica2: no teste DWH, você pode inserir na equação estrutural ou resíduo
ou o valor previsto da equação auxiliar.
5) Para o modelo de erro de medida de Greene, seção 12.5.1 da sexta edição,
derive detalhadamente e explique cada passo para a obtenção dos resultados
das equações (12-16), (12-17a) e (12-17b). Leia a seção e veja quais as hipóteses
em usadas para chegar a cada resultado, explicíte-as.
6) Suponha um modelo linear homocedástico. Seja b o estimador de OLS.
Suponha que plim(X0"=n) = 
 6= 0: Encontre a plim(b) e a variância assintótica
de b. Seja �^ o estimador de variáveis instrumentais. Encontre e plim(�^) e sua
distribuição assintótica. Agora mostre que o erro quadrático médio do estimador
de IV pode superar o de OLS.
7) Considere o seguinte sistema de G equações representado abaixo para
uma observação i de uma amostra i.i.d. de N indivíduos.
yi= Xi� + ui
Em que:
� é um vetor K por 1;
yi e ui são vetores G por 1;
Xi é uma matriz G por K.
(a) Suponha que:
E[X0iui] = 0
postofE[X0iXi]g = K
Partindo da primeira hipótese, derive pelo princípio da analogia um esti-
mador para �. Mostre que sob as condições usuais de regularidade este esti-
mador é consistente. Encontre sua distribuição assintótica.
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(b) Considere o caso em que
Xi =
0BBBBBB@
xi1 0 0 � � � 0
0 xi2 0 � � � 0
0 0
. . . 0
...
...
. . .
...
0 0 0 � � � xiG
1CCCCCCA
e
� =
0BBB@
�1
�2
...
�G
1CCCA
Em que:
�g é um vetor Kg por 1, g = 1; 2; :::; G;
xig é um vetor 1 por Kg, g = 1; 2; :::; G;
K =
P
Kg:
Mostre que o estimador de � do item (a), nesse caso, equivale a estimar cada
equação separadamente por MQO.
(c) Agora, suponha que:
E[uiu
0
i] = 
E[Xi 
 ui] = 0
 é positiva de…nida
E[X0i
�1Xi] é não-singular.
Qual hipótese é mais restritiva (mais "forte"), E[Xi
ui] = 0 ou E[X0iui] =
0? Explique sua resposta.
(d) Considere a seguinte transformação no sistema de equações original.
Suponha que a matriz 
 é conhecida.
�1=2yi= 
�1=2Xi� +
�1=2ui
ou
y�i= X
�
i� + u
�
i
Agora aplique o estimador do item (a) aos dados transformados. Mostre
que este estimador é consistente. Por que isso não ocorreria se tivéssemos
"E[X0iui] = 0" no lugar de "E[Xi 
 ui] = 0"? Encontre a distribuição ass-
intótica do estimador.
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(e) Mostre que E[uiu0i=Xi] = E[uiu
0
i] = 
 implica que:
E[X0i
�1uiu0i
�1Xi] = E[X0i
�1Xi]
Sob essa última condição, encontre a variância assintótica do estimador do
item (d). Mostre que sob essa hipótese, o estimador do item (d) (GLS) é mais
e…ciente que o do item (a) (OLS).
8) Considere o seguinte sistema de duas equações:
y1 = �1 + u1
y2 = �2x+ u2
Todos os elementos acima são escalares.
Uma amostra de 50 observações produziu a seguinte matriz de momentos,
simétric (primeira linha se refere à constante 1, a segunda à y1, a terceira à y2
e a quarta à x. 0BB@
50
150 500
50 40 90
100 60 50 100
1CCA
(a) Encontre a fórmula explicita para o estimador de GLS de �1 e �2: Qual
é a matriz de variância-covariância assintótica deste estimador?
(b) Derive o estimador de OLS e sua variância nesse modelo.
As respostas aos itens (c) e (d) devem ter seis casas decimais.
(c) Obtenha as estimativas de �1 e �2 por OLS e sua matriz de variância-
covariância. Use n no lugar de n � 1 como denominador das estimativas da
variância dos erros.
(d) Obtenha as estimativas de �1 e �2 por FGLS e sua estimativa amostral
da matriz de variância-covariância.
9) Exercício computacional. Base de dados Fringe.dta. É necessária a ap-
resentação do "output’do Stata.
Considere um sistema de duas equações em que as variáveis explicadas são
salário hora (hrearn) e benefícios por hora (hrbens) para um grupo de tra-
balhadores. As variáveis explicativas presentes nas duas equações são: educ,
exper, exper2, tenure, union, south, nrtheast, nrthcen, married, white, male e
uma constante.
(a) Estime o sistema por FGLS. Mostre que o mesmo resultado seria obtido
estimando cada equação por OLS.
(b) Estime um SUR, por FGLS, restrito, foçando os coe…cientes de educ a
serem iguais nas duas equações. Em seguida, teste no modelo irrestrito se esses
coe…cientes são iguais.
(c) No modelo irrestrito faça o seguinte teste de restrições conjuntas. Teste
se o coe…ciente de educ é igual nas duas equações, o coe…ciente de exper é igual
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nas duas equações e o coe…ciente de exper2 é igual nas duas equações. Em
seguida, teste cada restrição individualmente. Por …m, estime o SUR restrito.
Compare os coe…cientes de educ, exper e exper2nos dois casos.
(d) No modelo irrestrito encontre o efeito marginal de exper, avaliado em
sua média amostral, sobre as duas variáveis explicadas. Monte intervalo de
con…ança para essas estimativas.
10) Discuta identi…cação e estimação do seguinte modelo de equações si-
multâneas.
y1t + 
12y2t + 
13y3t + �11x1t + �13x3t = "1t
y2t + 
23y3t + �22x2t + �23x3t = "2t

31y1t + y3t + �32x2t = "3t
(Você não tem nenhuma restrição envolvendo as covariâncias).
Certi…que-se de que você está considerando tanto as condições de ordem
quanto de posto e de explicitar as suposições necessárias para a estimação dos
parâmetros do modelo.
11) Considere o seguinte modelo de oferta e demanda:
qs = �0 + �1p+ �2! + �s
qd = �0 + �1p+ �2y + �d
qs = qd
onde ! denota um vetor de observações de dimensão T � 1 do clima e y é um
vetor de observações T � 1da renda. Ambos são exógenos, por hipótese.
a) Discuta a identi…cação dos parâmetros nas equações de oferta e demanda.
b) A restrição �2 = 0 impõe alguma restrição nos parâmetros da forma
reduzida? Cuidadosamente descreva um teste de H0 : �2 = 0 contra H1 :
�2 6= 0 utilizando os parâmetros da forma reduzida. Dica: Escreva H0 como
H0 : R� = q0:
c) Suponha que a primeira equação é estimada por um estimador de in-
formação limitada, isto é, variáveis instrumentais. Você pode determinar se a
primeira equação é uma curva de oferta ou de demanda examinando o sinal de
�1?
d) Suponha que uma agência governamental a cada ano …xe o preço em
p0t e que esse preço possa diferir ano a ano. Que efeito essa política teria na
identi…cação e estimação do modelo?
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12) Considere o seguinte sistema de equações sob as hipóteses usuais
y1 = 
12y2 + "1 (1)
y2 = 
21y1 + �21x1 + "2 (2)
a) As equações (1) e (2) são identi…cadas se nós não …zermos nenhuma
suposição a respeito da distribuição de probabilidade, exceto que E ("1jx1) =
E ("2jx1) = 0?
b) Mostre que se a covariância dos erros é zero, então ambas as equações
são identi…cadas.
13) Você tem um sistema com três equações, no qual cada equação é iden-
ti…cada.
y1 = Y1
1 +X1�1 + "1 (1)
y2 = Y2
2 +X2�2 + "2 (2)
y3 = Y3
3 +X3�3 + "3 (3)
onde "t � N (0;�) : Seja X = [X1; X2; X3] :
Você está con…ante de que a especi…cação das duas primeiras equações está
correta, mas não tem certeza se E [X 0t"3t] = 0. Para construir um teste, você
decide rodar uma regressão de míminos quadrados em dois estágios em cada
equação e compará-la com os resultados de míminos quadrados em três estágios
para o sistema todo.
a) Explique intuitivamente por que você pode construir um teste de es-
peci…cação a partir desse procedimento, demonstrando o efeito da especi…cação
incorreta.
b) Para construir um teste formal, você considera as estimativas de cada
equação
�i =
�

^i
�^i
�
e constrói a estatística
W =
�
�^1
�^2
�
2SLS
�
�
�^1
�^2
�
3SLS
Construa um teste assintótico sob a hipótese nula de que a especi…cação está
correta, incluindo os graus de liberdade apropriados.
c) Você pode pensar num teste baseado numa estratégia de estimação mais
e…ciente?
14) Considere o modelo Keynesiano simpli…cado
Ct = �Yt + ut
Yt = It + Ct
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onde C denota o consumo, Y a renda e I o investimento (exógeno). Todas as
variáveis são transformadas de modo que tenham média zero e ut
i:i:d:� N �0; �2�
a) Mostre que MQO na equação Ct = �Yt + ut conduz a uma estimativa
inconsistente de �. O plim é muito grande ou muito pequeno? Como o seu
resultado pode ser comparado com o caso em que há erros de medida no regres-
sor?
b) Escreva a função de log-verossimilhança para uma amostra de tamanho
T como uma função de � e �2. Calcule a matriz de informação (assintótica)
para � e �2 (De…na M = lim 1T
PT
t=1 I
2
t )
c) Inverta a matriz de informação e determine o limite da distribuição de
�^MLE . Veri…que que o estimador de variáveis instrumentais �^IV , que utiliza
como instrumento It, é assintoticamente e…ciente. Isso é esperado? Compare o
estimador de máxima verossimilhança e o estimador de variáveis instrumentais
em amostras …nitas.
d) Suponha que �2 seja conhecido. Mostre que a redução percentual na
variância da distribuição assintótica para �^ é 2�
2
M+2�2 se máxima verossimilhança
for usada. (Dica: Compute o limite inferior de Cramér-Rao). Derive o estimador
de máxima verossimilhança nesse caso.
15) Exercicio de MATLAB. Enunciado e base de dados está no arquivo
exercicio15.zip
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