Lista 3_GABARITO
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Lista 3_GABARITO


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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade 
Departamento de Economia 
Disciplina: Microeconomia I 
Professores: Décio Kadota, Elisabeth Farina, Ricardo Madeira 
Monitores: Bruno Komatsu e Otávio Sidone 
 
LISTA 03 
Questão 01 
Os três tipos de relação de agregação entre as elasticidades, presente no capítulo 5 do 
Nicholson podem ser generalizadas para qualquer número de bens (no livro o autor faz as 
agregações para dois bens). Suponha que haja n bens e que a parcela da renda destinada ao 
gasto desse bem seja ( 
 
 
) e considere as seguintes definições: 
 
 
 
 
\u2044 \u2044
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mostre que: 
a) \u2211 
 
 
b) \u2211 
 
 
c) \u2211 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 02 
a) Dado um bem inferior, o que ocorre quando, ceteris paribus, a renda do consumidor 
aumenta e o preços desse bem cai? 
a) Dado que o bem é inferior, por definição um aumento na renda do consumidor implica na 
redução do consumo desse bem. 
b) Qual a relação entre bens de Giffen e bens inferiores? Justifique através da Equação de 
Slutsky. 
b) Todo bem de Giffen é um bem inferior. Entretanto, nem todo bem inferior é de Giffen. 
Pela equação de Slutsky: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o termo do lado esquerdo é o efeito total, o 1º termo do lado direito é o efeito substituição e o 
2º é o efeito renda. Sabemos que o efeito substituição é sempre negativo. Contudo, o efeito 
renda pode assumir qualquer sinal (positivo ou negativo). O caso dos bens de Giffen consiste 
naquela situação onde o efeito renda é positivo, e com magnitude maior do que o efeito 
substituição, de tal maneira que o efeito total é positivo. Assim, é condição necessária para a 
ocorrência de bens de Giffen que o efeito renda seja positivo, o que ocorre se, e somente se, 
 
 
 
 
Que é precisamente a definição de um bem inferior. 
Questão 03 
Considere a função de utilidade quasi-linear . 
a) Calcule o efeito renda e a elasticidade renda para cada um dos bens. 
b) Calcule o efeito substituição e a elasticidade-preço da demanda compensada para 
cada um dos bens. 
c) Mostre que a equação de Slutsky vale para esta utilidade 
d) Mostre que a equação de Slutsky em forma de elasticidade também vale para esta 
função. É possível notar alguma característica especial desta função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04 
A função dispêndio de um consumidor é dada por : 
 ( ) 
 
 
a) Derive a demanda hicksiana, a função utilidade indireta e a demanda marshalliana para esse 
consumidor. 
b) Existem restrições sobre os parâmetros para que as funções sejam 
consistentes com a maximização de utilidade? Em caso afirmativo, explicite-as. 
 
 
 
 
 
Parte I 
 
 
 
 
Parte II 
 
 
Questão 05 
Dada a utilidade abaixo, encontre a demanda marshalliana e função utilidade indireta. 
 
 
 
 
Parte I 
 
 
 
Parte II 
 
Questão 06 
a) Obtenha as funções de demanda de Marshall e Hicks para a função de utilidade: 
 ( ) 
 
 
 
a) Para encontrarmos as demandas marshallianas teremos que maximizar a função 
 ( ) 
 
 
 , sujeito à restrição orçamentária: . 
Montando o problema: 
 
{ }
 
 
 
 
 
O Lagrangiano será: 
 
 
 
CPO: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo por : 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (IV) em , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em (IV), vem que: 
 
 
 
 
 
 
Já para encontrarmos as demandas hicksianas teremos que minimizar a função , 
sujeito à restrição 
 
 
 
Montando o problema: 
 
{ }
 
 
 
 
 
O Lagrangiano será: 
 
 
 
 
CPO: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo por : 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (IV) em , temos: 
 
 
 
 [
 
 
]
 
 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
b) Calcule os valores dos multiplicadores de Lagrange. 
Substituindo os valores de 
 e 
 na expressão na 1ª equação das CPO do problema de 
maximização de utilidade, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente, o multiplicador do problema de minimização do gasto será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, temos que: 
 
 
 
 
c) mostre que a demanda de Marshall é homogênea de grau zero em , enquanto que 
a demanda de Hicks é homogênea de grau zero em . 
 As demandas marshallianas são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificando a homogeneidade na demanda pelo bem 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, as demandas marshallianas são homogêneas de grau zero em . 
Já as demandas hickisianas são: 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
Verificando a homogeneidade na demanda pelo bem 1: 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
Analogamente: 
 
 [
 
 
 
 
]
 
 [
 
 
 
 
]
 
 
 
Portanto, as demandas hickisianas são homogêneas de grau zero em . 
d) Esboce as curvas de renda-consumo para cada bem. 
A curva de renda-consumo é representa combinação da demanda pelos dois bens para 
diferentes níveis de renda no plano ( ). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde a inclinação é dada por: 
 
 
 
e) Esboce as curvas de Engel para cada bem. 
A Curva de Engel expressa a quantidade demandada em função da renda. Assim, a Curva de 
Engel para o bem 1 é desenhada no plano ( ), enquanto que para o bem 2 é desenhada no 
plano ( ). Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde as inclinações das curvas são dadas por: 
 
 
 
 e 
 
 
 
. 
 
 
 
m 
 
m 
f) Encontre a função utilidade indireta , e sua derivada com respeito à M. Compare 
com o resultado obtido em b). Por que isso ocorre? 
A função valor utilidade indireta é obtida colocando as demandas nos respectivos 
lugares da função utilidade: 
 
 
 (
 
 
)
 
(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
(
 
 
)
 
 
Derivando com respeito a m, vem: 
 (
 
 
)
 
(
 
 
)
 
 
Nota-se que esse valor é idêntico ao valor de . Tal fato é conhecido como Teorema do 
Envelope. 
g) Encontre a função dispêndio . O que ocorre quando ela é calculada sob a 
utilidade da função de utilidade indireta? Qual é o significado disso para a análise do problema 
dual? 
A função dispêndio é a função valor mínimo que mostra o dispêndio mínimo necessário para 
obter o nível de utilidade u. Ela é obtida pela introdução