Livro-Texto - Unidade II FLUIDOS E TERMODINÂMICA

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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Unidade II
5 FUNDAMENTOS DA TERMODINÂMICA
5.1 Temperatura
O conhecimento do conceito de temperatura é importante para muitas áreas, por exemplo, 
a metalúrgica (na produção de ligas metálicas), a médica (na esterilização de instrumentos), 
a ambiental (em questões relativas ao aquecimento global), a nutricional (no transporte de 
alimentos), a espacial (na conjectura sobre a possibilidade de vida em outros planetas) e na 
meteorológica (na previsão do tempo). O conceito de temperatura é estudado há muitos anos. O 
corpo humano só diferencia o quente e o frio em relação à sua própria temperatura e isso fez com 
que fossem construídos dispositivos que utilizassem alguma substância que, por efeito de uma 
variação de temperatura, sofresse alteração em suas propriedades físicas. Esses instrumentos foram 
denominados “termômetros”.
Para quantificar a medida de temperatura, foram definidas “escalas de temperatura”, que utilizam 
como referência alguma propriedade física de uma substância padrão que se altera com a temperatura, 
por exemplo, o ponto de fusão e ebulição da água na pressão normal.
Um resumo dos personagens envolvidos na construção desses primeiros termômetros está no quadro 
15. As escalas de temperatura mais utilizadas no cotidiano são a Celsius e a Fahrenheit. A escala Celsius 
utiliza como pontos de referência a fusão do gelo e a ebulição da água, que foram tomados como 0ºC 
e 100ºC, respectivamente. A escala Fahrenheit utiliza os mesmos pontos de referência, porém adota os 
valores de 32ºF e 212ºC.
A escala Celsius é adotada na maioria dos países e a Fahrenheit, principalmente, nos EUA e no 
Reino Unido. Essas escalas não pertencem ao Sistema Internacional de Unidades (SI). A escala de 
temperatura utilizada atualmente no SI é a Kelvin, proposta em 1854 pelo físico escocês William 
Thomson, conhecido como Lord Kelvin. A escala Kelvin utiliza dois pontos de referência: um ponto 
é conhecido como o “zero absoluto”, que é quando as moléculas de um corpo não possuem mais 
movimento, o outro é o “ponto tríplice da água”, que ocorre quando a fase sólida, a fase líquida e o 
vapor da água coexistem.
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Unidade II
Quadro 15 – Resumo histórico da construção dos primeiros 
dispositivos utilizados para medir temperaturas
Galileu Galilei (1564‑1642)
Idealizador do primeiro termômetro. Consistia num tubo aberto de vidro com um bulbo preenchido com vinho. A 
mudança no volume do vinho estimava sua temperatura.
Fernando II (1610‑1670)
Desenvolveu o primeiro termômetro selado utilizando álcool no interior do tubo e fazendo cinquenta marcas no vidro 
do tubo. Esse termômetro não utilizava nenhum ponto fixo para a calibração da escala.
Robert Hook (1635‑1703)
Utilizou tinta vermelha no álcool. Em sua escala, cada grau representava um incremento do volume equivalente a 
1/500 parte do volume do líquido que o termômetro precisava. Esse termômetro utilizava somente um ponto fixo, o 
ponto de congelamento da água. 
Olef Christensen Romer (1644‑1710)
Idealizou o primeiro termômetro com dois pontos de referência. O termômetro utilizava vinho vermelho com 
indicador da temperatura.
Daniel Gabriel Fahrenheit (1686‑1736)
Considerou dois pontos de referência, o ponto de fusão do gelo em 32ºF e o ponto de ebulição da água em 212ºF (na 
pressão atmosférica padrão). Adotou também o mercúrio como substância termométrica.
Anders Celsius (1701‑1744)
Propôs um termômetro com cem (100) graus como ponto de ebulição da água e de zero(0) grau como ponto de fusão 
do gelo. Mais tarde, essa escala foi invertida e tornou‑se de uso popular na maior parte do mundo.
Thomas Seebeck (1770‑1831)
Descobriu que, quando dois fios de metais diferentes são unidos em duas extremidades e um dos extremos é aquecido, 
circula corrente elétrica no circuito. Estava descoberto o termopar, um importante sensor de temperatura para 
aplicações industriais. 
Sir Willians Siemens (1823‑1883)
Propôs o uso de termômetros de resistência de platina, com os quais a medição de temperatura é feita pela alteração 
da resistência de um material com a temperatura.
William Thomson ou Lord Kelvin (1824‑1907)
Desenvolveu uma escala termodinâmica baseada nas variáveis de estado de um gás ideal e considerou o “zero 
absoluto” quando a energia cinética das moléculas fosse nula. Essa escala foi batizada de escala Kelvin. 
Hugh Longbourne Callendar (1863‑1930)
Aprimorou o termômetro com resistência de platina, comparando‑o ao termômetro agás. 
Fonte: <http://www.smar.com/brasil/artigostecnicos/artigo.asp?id=89>. Acesso em: 27 jan. 2013.
5.1.1 A lei zero da termodinâmica
A área da Física que utiliza conceitos de temperatura e calor é a Termodinâmica. Essa área procura 
quantificar a energia interna de um corpo, utilizando apenas três variáveis macroscópicas: a pressão (P), 
o volume (V) e a temperatura (T). A alteração de uma ou mais dessas variáveis pode modificar a energia 
interna de um sistema, seja ele um sólido, um líquido ou um gás.
Uma panela com água fria, quando em contato com uma chama, aquece a água. Esse é um exemplo 
trivial de uma interação térmica, ou seja, uma ação mútua entre corpos em estados térmicos diferentes 
quando postos na presença um do outro. A interação térmica é acompanhada de transformações nos 
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
corpos interagentes e pode ocorrer com ou sem variação no estado térmico. Exemplo: se segurarmos 
um pedaço de gelo fundente na mão, o estado térmico não varia, mas ele se funde. Imaginemos que, em 
uma garrafa térmica perfeita (paredes adiabáticas), sejam introduzidos café quente e uma ampola de 
vidro contendo leite frio. O café esfria, o leite esquenta: em poucos minutos, o café, o leite e a ampola 
estarão em um mesmo estado térmico, todo o conjunto estará em equilíbrio térmico. Esse resultado 
experimental é a lei zero da termodinâmica, enunciada a seguir:
“Dois corpos em equilíbrio térmico com um terceiro estão em equilíbrio térmico entre si.”
5.1.2 Célula do ponto tríplice
Mediante certas convenções, estabelece‑se uma correspondência biunívoca entre estados térmicos 
e números. Em graus de temperatura, cada número exprime a temperatura do correspondente estado 
térmico. A correspondência biunívoca entre estado térmico (propriedade física) e temperatura 
(grandeza física) pode ser estabelecida de diversas maneiras, conforme explicado a seguir. Cada 
modalidade de tal correspondência origina uma escala de temperatura. Trataremos da escala absoluta 
Kelvin (temperatura T) e das escalas relativas Celsius e Fahrenheit (temperatura). As correspondentes 
unidades são o Kelvin (K), o grau Celsius (ºC) e o grau Fahrenheit (ºF). As escalas com essas denominações 
distinguem‑se umas das outras pelos números convencionais que as caracterizam; elas se referem 
a um único ponto fixo fundamental, o ponto tríplice da água, e a dois pontos fixos subsidiários, o 
ponto do gelo e o ponto do vapor. O ponto tríplice da água se dá quando gelo, água e vapor de água 
coexistem em equilíbrio em um estado físico caracterizado por determinada pressão (4,58 torr) e 
determinado estado térmico.
Por convenção internacional, atribui‑se ao ponto tríplice da água, conforme as escalas de temperatura, 
os valores indicados na tabela 18.
Tabela 18 – Temperaturas do ponto tríplice da água 
para as escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit
Escala Kelvin Escala Celsius Escala Fahrenheit
Ttr = 273,16K θtr = 0,0100ºC θtr = 32,02ºF
Fonte: Johnson (1977, p. 11).
As convenções que presidem as escalas termométricas dizem respeito à substância termométrica, à 
grandeza termométrica, ao ponto fixo e à lei de correspondência. A água líquida, o gelo sólido e o vapor 
d’água (água no estado gasoso) podem coexistir, em equilíbrio térmico,apenas em um conjunto de 
valores de pressão e temperatura. A figura a seguir mostra uma célula do ponto tríplice.
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Unidade II
Vapor d’água
Água e gelo
Figura 101
Na figura, é possível verificar uma célula do ponto tríplice, na qual gelo sólido, água líquida e vapor 
d´água coexistem em equilíbrio térmico. Por acordo internacional, a temperatura dessa mistura foi 
definida como 273,16 K.
Os pontos fixos tradicionais são o ponto do gelo e o ponto do vapor. A reprodução deles é menos 
exata do que a do ponto tríplice. A correspondência entre esses pontos para as escalas de temperatura 
Kelvin, Celsius e Fahrenheit estão indicadas na tabela a seguir.
 Saiba mais
O Inmetro possui tecnologia para construção de uma célula do ponto 
triplo da água. Veja todos os detalhes no endereço:
<http://www.inmetro.gov.br/noticias/conteudo/CPTA.pdf>.
Tabela 19 – Temperaturas do ponto do gelo e do ponto do vapor para as 
escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit e a amplitude dessas escalas
Escala Kelvin
Ponto do vapor Ponto do gelo Amplitude
Tv = 373,15 K Tg = 273,15 K Tv – Tg = 100 K
Escala Celsius
Ponto do vapor Ponto do gelo Amplitude
θV = 100ºC θg = 0ºC θv – θg = 100ºC
Escala Fahrenheit
Ponto do vapor Ponto do gelo Amplitude
θV = 212ºF θg = 32ºF θV – θg = 180ºF
Fonte: Johnson (1977, p. 11).
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
5.1.3 Termômetros
Os termômetros são dispositivos com os quais se determinam as temperaturas. Em um 
termômetro, um corpo material exibe uma propriedade física que varia mensuravelmente com o 
estado térmico. A substância que constitui o corpo é chamada de substância termométrica. A partir 
desta, obtém‑se a temperatura (na escala adotada) por intermédio de uma dependência funcional 
chamada “lei de correspondência”. O termômetro padrão é chamado de termômetro normal, sendo 
o termômetro de gás em volume constante. A substância termométrica é um gás. A grandeza 
termométrica é a pressão P do gás, e a lei de correspondência é uma equação termométrica, 
expressa como:
T = a + b . P (1)
Na equação 1, a e b são constantes para o termômetro na escala adotada. Extrapolando as 
medidas para gás extremamente rarefeito, temos a temperatura legal. O termômetro a gás é 
um instrumento para uso em laboratório em situação na qual é necessária a determinação da 
temperatura com grande precisão. Para uso corrente, adotam‑se “termômetros práticos”, como 
os do quadro 16.
Quadro 16 – Tipos de termômetros, substâncias e 
 grandezas termométricas correspondentes
Termômetro Substância termométrica Grandeza termométrica
Líquido Mercúrio, etano, toluol Volume aparente
Resistência Platina Resistência elétrica
Termopar Platina, ródio Força eletromotriz
Pirômetro óptico Tungstênio Corrente elétrica
Fonte: Johnson (1977, p. 12).
Esses termômetros fornecem temperaturas empíricas que podem diferir das temperaturas de um 
termômetro a gás. A temperatura de um corpo material é a temperatura do termômetro em equilíbrio 
térmico com o corpo.
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5.1.4 Termômetro a gás
O termômetro considerado padrão é o termômetro a gás. Seu funcionamento baseia‑se na pressão 
de um gás com o seu volume mantido sempre fixo, conforme esquematizado na próxima figura.
Sistema
Bulbo 
com gás
Escala 
Capilar
Tubo
Flexível
R
h
Figura 102
Podemos observar na figura um termômetro a gás em volume constante com o seu bulbo imerso em 
um líquido cuja temperatura T se deseja medir.
O gás termométrico é encerrado em um bulbo. Sua pressão é medida com um manômetro de 
mercúrio. No ramo do gás, o nível do mercúrio é ajustado de maneira a manter o volume V do gás 
sempre constante. Isso é feito ajustando‑se a altura do ramo que vai até o reservatório R. Conhecido o 
desnível do mercúrio h, a pressão do gás é dada por:
P = Patm + d .g . h (2)
Na equação formulada, Patm é a pressão atmosférica, d é a densidade do mercúrio e g é a aceleração da 
gravidade local. O bulbo é introduzido no interior de um líquido cuja temperatura se procura. Conforme 
o estado térmico do bulbo com gás, varia a pressão do gás, que se torna diretamente proporcional à 
sua temperatura. Supõe‑se que Pv e Pg sejam os valores de P no ponto de vapor e no ponto do gelo, 
respectivamente, e que m seja a massa do gás que ocupa o bulbo sempre com o mesmo volume V. É 
observado experimentalmente que a relação entre Pv e Pg no limite da massa do gás que está no bulbo 
tendendo a zero é igual a 1,3661. Esse resultado é independente da substância gasosa utilizada no 
termômetro, ou seja, vale a equação:
lim ,
m
v
g
v
g
P
P
T
T
 
0
13661 (3)
Na equação acima, Tv e Tg são as temperaturas absolutas do ponto de vapor e do ponto do gelo. Na 
escala de temperatura absoluta, escala Kelvin, impõe‑se a condição de que a diferença Tv – Tg, assim 
como na escala Celsius, corresponda a 100 graus, ou seja:
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Tv – Tg = 100 K (4)
Aplicando as equações 3 e 4, obtêm‑se: Tv = 373,15 K e Tg = 273,15 K. Para obter uma temperatura 
T na escala Kelvin, utilizando um termômetro a gás em volume constante, é necessário medir a pressão 
P correspondente, no limite da massa do gás tendendo a zero, e aplicar a equação:
T
P
Pm g







273 15
0
, . lim (5)
A equação 5 considera como ponto fixo padrão o ponto do gelo que corresponde à 
temperatura Tg = 273,15 K. Atualmente, é adotado como ponto fixo padrão o ponto triplo 
da água, que ocorre em temperatura e pressão bem definidas. Nesse caso, as temperaturas 
passam a ser obtidas pela equação:
T
P
Pm tr





273 16
0
, . lim (6)
O procedimento para obter uma temperatura incógnita T é o seguinte:
• encher o tubo do termômetro com uma massa m de gás e medir a pressão Ptr do gás, utilizando 
uma célula do ponto tríplice;
• medir a pressão P do gás à temperatura incógnita T, sempre mantendo o volume do gás constante;
• determinar a relação P
Ptr
;
• medir novamente P e Ptr com uma massa menor de gás e determinar novamente a relação entre 
as pressões;
• repetir esse procedimento para uma massa cada vez menor de gás, extrapolando‑se a relação entre 
as pressões no limite para a massa do gás tendendo a zero, ou seja, determinando lim
m tr
P
P



0
. Em 
seguida, insere‑se esse resultado na equação 6, determinando a temperatura T.
A pressão de um gás é resultado dos impactos de suas moléculas. Pode‑se imaginar a ausência 
de impactos correspondendo à pressão nula, que corresponderia ao zero absoluto de temperatura. 
A temperatura absoluta de um corpo é proporcional à energia cinética média de translação de suas 
moléculas. Antes, adotavam‑se dois pontos fixos experimentais: o ponto do gelo e o ponto do vapor. 
Atualmente, adota‑se um só ponto fixo experimental, o ponto tríplice da água. O outro ponto fixo é 
ideal, o zero absoluto de temperatura.
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5.1.5 Escalas Celsius e Fahrenheit
As escalas Celsius e Fahrenheit são escalas relativas de temperatura, que resultam das escalas 
absolutas por meio do deslocamento da origem. Representaremos escalas relativas por θ e escalas 
absolutas por T.
• Escala Celsius: 1 grau Celsius = 1ºC = 1 K
• Escala Fahrenheit: 1 grau Fahrenheit = 1ºF = 5
9
K
Para transformar uma temperatura da escala absoluta Kelvin em outra temperatura equivalente da 
escala Celsius, utiliza‑se a equação:
θC = T – 273,15 (7)
Para transformar uma temperatura da escala absoluta Kelvin em outra temperatura equivalente da 
escala Fahrenheit, utiliza‑se a equação:
F T 
9
5
459 67, (8)
Para transformar uma temperatura da escala relativa Celsius em outra temperatura equivalenteda 
escala relativa Fahrenheit, utiliza‑se a equação:
 F c 
9
5
32 (9)
Na tabela 20, estão as temperaturas de alguns pontos notáveis. Na tabela 21, apresentamos pontos 
fixos de algumas substâncias, obtidos de um termômetro a gás, nas escalas Kelvin e Celsius. Os pontos 
fixos podem ser utilizados para calibração de termômetros.
Tabela 20 – Temperatura de alguns pontos notáveis para as 
escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit
K ºC ºF
Zero absoluto 0 – 273,15 – 459,67
Ponto do gelo 273,15 0 32,00
Ponto tríplice 273,16 – 0,01 32,02
Ponto do vapor 373,15 100,00 212,00
Fonte: Johnson (1977, p. 19).
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Tabela 21 – Temperaturas de pontos fixos de alguns materiais 
nas escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit
Transição sob pressão normal K ºC ºF
Ebulição do oxigênio 90,18 – 182,97 – 297,35
Ebulição do enxofre 717,75 444,60 832,28
Fusão da prata 1233,95 960,80 1761,44
Fusão do ouro 1336,15 1063,00 1945,4
Fusão da platina 2042,5 1769,3 3216,74
Fusão do ródio 2233 1960 3560
Fusão do irídio 2716 2443 4429,4
Fusão do tungstênio 3653 3380 6116
Fonte: Johnson (1977, p. 20).
 Observação
O zero absoluto, na escala Kelvin, é a temperatura mais baixa que um 
sistema pode atingir. É a temperatura no vácuo e é a mais baixa com sentido 
físico. Uma das temperaturas mais baixas já atingidas em laboratório foi de 
4 Kelvin. Nessa temperatura, o hélio torna‑se líquido.
5.1.6 Tipos de termômetros
Os termômetros mais conhecidos, classificados segundo suas propriedades, são: de líquido, de 
resistência elétrica, termopares e pirômetros. No quadro 17, há um resumo de como eles funcionam.
Quadro 17 – Principais tipos de termômetros e suas características
Termômetros de líquido
O mercúrio é o líquido preferido. Esse termômetro é baseado na expansão do fluido com a temperatura. O fluido está 
no interior de um tudo de vidro fechado e a temperatura é obtida por uma escala gravada no tubo.
Termômetros de resistência elétrica
São termômetros que utilizam a variação da resistência elétrica com a temperatura de um fio de platina. Podem‑se 
realizar medições da ordem de um milésimo de grau Celsius.
Termopares
Consistem de dois condutores metálicos diferentes ligados ao ponto de medida. Quando os condutores são aquecidos, 
uma diferença de potencial elétrica é produzida. Essa tensão produz uma corrente elétrica cuja intensidade está 
relacionada à temperatura.
Pirômetro
É um termômetro de radiação. Todos os corpos emitem radiação, cuja quantidade está relacionada à temperatura do 
corpo. É possível medir a temperatura remotamente.
Fonte: <http://repositorios.inmetro.gov.br/bitstream/10926/1364/1/banner_04_temperatura.pdf>. Acesso em: 27 jan. 2013.
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Unidade II
 Saiba mais
O Inmetro possui um pôster sobre temperatura em seu acervo digital, 
no qual destaca a importância das medições exatas da grandeza para a 
maioria dos setores da vida humana. Explica também as diferenças entre 
os tipos de termômetro (líquidos, de mercúrio ou álcool, termopares e 
pirômetros) e entre as escalas de temperatura. Veja no endereço:
<http://repositorios.inmetro.gov.br/bitstream/10926/1364/1/
banner_04_temperatura.pdf>.
5.1.7 Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Faça a conversão das temperaturas indicadas na tabela.
Tabela 22
Temperatura Temperatura Temperatura
T (K) θ (ºC) θ(ºF)
‑ 71
134
100
Solução:
θC = T – 273,15 –71 = T – 273,15 T = 202,15 K
F T 
9
5
459 67, F  
9
5
20115 459 67, , θF = 97,6ºF
 F c 
9
5
32 134
9
5
32 .c θC = 56,7ºC
θC = T – 273,15 56,7 = T – 273,15 T = 329,85 K
θC = T – 273,15 θC = 100 – 273,15 θc= – 173,15ºC
 F c 
9
5
32 F   
9
5
173 15 32.( , ) θF = – 279,67ºF
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Tabela 23
Temperatura Temperatura Temperatura
T (K) θ (ºC) θ (ºF)
202,15 ‑ 71 ‑97,6
329,85 56,7 134
100 ‑173,15 ‑279,67
Exemplo 2
Em qual temperatura das escalas Celsius e Fahrenheit a leitura é a mesma?
Solução:
 F c 
9
5
32 θF= θc  c c 
9
5
32
 c c  
9
5
32 1
9
5
32



.c θc= – 40ºC
θF= – 40ºC
Exemplo 3
Supondo que, em uma escala linear de temperatura X, a água ferva a – 53,3ºX e se congele a – 170ºX, 
qual é a temperatura equivalente a 340 K na escala X?
Tabela 24
Escala Kelvin Escala X
T(K) θx(ºX)
Ponto do gelo 273,15 ‑170
Ponto do vapor 373,15 ‑53,5
340 ?
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Unidade II
Solução:
θx= a + b . T – 170 = a + b . 273,15 – 53,5 = a + b . 373,15
b    

53 5 170 5
373 15 273 15
, ( , )
, ,
b = 1,165 (ºX/K) a = – 53,5 – (1,165) . 373,1
a = – 488,22ºX θx =– 488,22 + 1,165 .T θx= – 488,22 + 1,165 . 340
θx= – 92,12ºX
Exemplo 4
Em um termômetro de gás perfeito, em volume constante, observaram‑se as grandezas indicadas na 
tabela a seguir. Determine a temperatura θ*.
Tabela 25
θ (ºC) h1 (cm) h2 (cm) h = h2 – h1 (cm)
Ponto do gelo 0 15,0 15,5 0,5
Ponto do vapor 100 15,0 21,5 6,5
θθ* 15,0 19,7 4,7
Solução:
θ= θ0 + b . (h – h0) θ0 = 0ºC h0 = 0,5 cm
θ= b . (h – 0,5) 100 = b . (6,5 – 0,5) b =
100
6
b C cmo= 50
3
 /   50
3
0 5. ( , )h Co * . ( , , ) 50
3
4 7 0 5
θ* = 70ºC
Exemplo 5
Em um termômetro de resistência de platina, observaram‑se as correspondências indicadas na tabela a 
seguir. Considerando a equação termométrica linear expressa por θ= a + b . R, determine a temperatura θamb 
do ambiente, sabendo que a correspondente resistência do termômetro para o ambiente é Ramb = 3,43 Ω.
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Tabela 26
Temperatura Resistência
θ (ºC) R (Ω)
0 3,18
100 4,23
Solução:
θ = a + b . R 0 = a + b . 3,18
100 = a + b . 4,23 b 


100 0
4 23 3 18, ,
b = 95,24ºC Ω a = 100 – 95,24 . 4,23
a = – 302,86 Ω θ= – 302,86 + 95,24 . R
θamb = – 302,86 + 95,24 . Ramb θamb = – 302,86 + 95,24 . 3,43
θamb = 23,8ºC
Exemplo 6
O resistor de um termômetro de platina apresenta resistência Rtr = 600 Ω no ponto tríplice da água 
e resistência RV = 840 Ω no ponto do vapor. Admitindo que a variação da resistência da platina seja 
sensivelmente linear entre os pontos do gelo e do vapor, determine, na escala Kelvin, a temperatura que 
corresponde à resistência R = 700 Ω.
Dados: Tg = 273,15 K Ttr = 273,16 K Tv = 373,15 K
Solução:
T = a + b . R Ttr = a + b . Rtr Tv = a + b . Rv
273,16 = a + b . 600 373,15 = a + b . 840 b 


373 15 273 1
840 600
, ,
b = 0,4166 K/Ω a = 373,15 – 0,4166 . 840 a = 23,185 K
T = 23,185 + 0,4166 . R (Ω) T = 23,185 + 0,4166 . 700 T = 314,8 K
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Unidade II
Exemplo 7
Certo termômetro de par termoelétrico tem força eletromotriz que varia linearmente com a 
temperatura. Observaram‑se os valores da tabela a seguir. Determinar a temperatura θ*.
Tabela 27
Temperatura Força eletromotriz
θ(ºC) E (mV)
Ponto do gelo 0 ‑0,118
Ponto do vapor 100 +0,682
θ* 0,282
Solução:
e = a + b . θ 0,682 = a + b . 100 – 0,118 = a + b . 0
a = – 0,118mV b
a ( , )0 682
100
 b   ( , ( , ))0 682 0 118
100
0,285 = – 0,118 + 0,008 .θ* θ* = 50,4ºC
Exemplo 8
Um gás no ponto de vapor da água apresenta temperatura igual a 373,15 K. Qual é o valor limite da 
relação entre as pressões do gás no ponto de temperatura 200 K e a pressão do gás no ponto de vapor 
(o volume do gás é o mesmo nessas temperaturas)?
Solução:
Pela equação (1.6), vem T
P
Pm tr





273 16
0
, . lim . Adaptando‑a para o ponto de vapor, temos 
T
P
Pm v





373 15
0
, . lim , para T = 200 K ⇒ P. Disso resulta 200 373 15
0





, . lim
m v
P
P
; então, 
lim
,
lim ,
m v m v
P
P
P
P 




 





0 0
200373 15
0 536 .
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Exemplo 9
Em um experimento, um corpo sofre variação de temperatura de ∆θC = 36ºC. Expressar essa variação 
de temperatura nas escalas Kelvin e Fahrenheit.
Solução:
θC = T – 273,15 ∆θC = ∆T ∆T = 36ºC
 F C 
9
5
32   F C
9
5
 F 
9
5
36. ∆θF = 64,8ºF
Exemplo 10
Certos termômetros para motor de automóvel operam com a pressão de vapor P, em atm, 
de um líquido encerrado. Para temperaturas entre 60ºC e 120ºC, aplica‑se a esses termômetros, 
com aproximação satisfatória, a equação: θ = 100 . P – 50 (ºC). Com base no exposto, complete 
a tabela a seguir.
Tabela 28
Temperatura Pressão 
θ (ºC) P (atm)
1,10
1,50
1,70
2,00
Solução:
θ = 100 . P – 50(ºC) θ = 100 . 1,10 – 50 θ = 60ºC
θ = 100 . P – 50(ºC) θ = 100 . 1,50 – 50 θ = 100ºC
θ = 100 . P – 50(ºC) θ = 100 . 1,70 – 50 θ = 120ºC
θ = 100 . P – 50(ºC) θ = 100 . 2,00 – 50 θ = 150ºC
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Unidade II
Tabela 29
Temperatura Pressão 
θ (ºC) P (atm)
60 1,10
100 1,50
120 1,70
150 2,00
Exemplo 11
Em um pirômetro óptico, em intervalo restrito, a temperatura do filamento depende da corrente 
elétrica, segundo a função:
θ = a . I + b I2
Verificou‑se a correspondência de valores indicados na tabela. Determinar a temperatura de um 
forno para o qual resultou I = 2,50 A.
Tabela 30
Temperatura Corrente Elétrica
θ (ºC) I (A)
800 1,00
2000 4,00
Solução:
θ = a . I + b I2 2000 = a . 4 + b . 42 800 = a . 1 + b . 12
2000 = 4 . a + 16 . b 800 = a + b a = 800 – b
2000 = 4 . (800 – b) + 16 . b 2000 = – 4 . b + 3200 + 16 . b 2000 = 12 . b + 3200
b  ( )2000 3200
12
 b = – 100 a = 800 – (– 100)
a = 900 θ = 900 . I – 100 I2 θ = 900 . 2,5 – 100 . 2,52
θ = 1625ºC
Exemplo de aplicação
Utilizando um termômetro de resistência com o objetivo de determinar a temperatura de um corpo 
X, obtiveram‑se os valores indicados na tabela anexa.
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Pedem‑se:
a) a temperatura Celsius θx, do corpo X;
b) a resistência que corresponde àtemperatura de 152,7ºC.
Dados:
Tabela 31
Resistência Ponto do gelo Ponto do vapor Corpo X
θ (ºC) 0 100
R (Ω) 10 Ω 13,8 Ω 13,96 Ω
Solução:
Resposta: a) θx = 104,2ºC; b) R = 15,8 Ω
5.2 Calorimetria
O conceito calorimétrico para calor é: “calor é o agente físico que se transfere de um corpo para 
outro mais frio, somente por causa do desnível térmico entre ambos”. O conceito termodinâmico para 
calor é: “calor é energia que passa de um corpo para outro mais frio devido ao desnível térmico entre 
eles”. O princípio da conservação de energia afirma que “energia pode ser transferida de um corpo para 
outro, ou convertida de uma forma para outra, mas não pode ser criada ou destruída”.
Resumidamente, afirmamos que: “calor é energia em trânsito”. Calor é uma forma de energia. A 
energia pode mudar de forma, mas nunca é aniquilada. Um corpo em movimento apresenta energia 
cinética que pode ser transformada em energia potencial. Uma força aplicada a um corpo transfere 
energia a esse corpo, e essa energia é medida pelo trabalho da força. Por exemplo, o trabalho da força de 
atrito pode ser convertido em calor. Disso se deduz que a energia cinética e a potencial são equivalentes 
a calor. Um dos primeiros a discutir essa questão foi o médico alemão Julius Robert Mayer.
A questão que se apresenta é a seguinte:
Qual é a quantidade de calor que corresponde a uma dada quantidade de energia cinética e potencial?
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Essa relação é conhecida como o equivalente mecânico do calor. Os experimentos para a 
obtenção desse equivalente foram realizados pelo cientista inglês James Prescott Joule. O calor, 
sendo uma forma de energia, pode ser medido em unidades de energia como o joule, mas, 
historicamente, foi adotada uma unidade independente de quantidade de calor, a caloria. A 
definição de caloria é a seguinte: “uma caloria é a quantidade de calor necessária para elevar, 
com pressão normal, de 14,5ºC para 15,5ºC, a temperatura de 1 g de água”. O valor do equivalente 
mecânico do calor é
1 cal = 4,186 J ou1 J = 0,239 cal (10)
5.2.1 Equação fundamental da calorimetria
Uma substância de massa m, ao receber quantidade de calor Q, sofre variação de temperatura ∆θ. 
Vale a equação:
Q = m .c . ∆θ (11)
Na equação anterior, c éo calor específico da substância. Pela definição de caloria, o calor específico 
médio da água entre 14,5ºC e 15,5ºC é c
cal
g C
c
cal
g C
a o a o 
 1
1 15 5 14 5
1
. ( , , )
O calor específico da água também varia com a temperatura; porém, essa variação é muito 
pequena e pode ser desprezada. Para que o calor específico esteja bem definido, é preciso mostrar 
em quais condições houve a variação de temperatura. Se o processo de transferência de calor 
ocorrer em pressão constante, obtém‑se um calor especifico cP que é diferente caso o processo 
ocorra com volume constante; nesse caso, o calor específico passa a ser cV. Para líquidos e 
sólidos, a diferença entre esses calores específicos é muito pequena, mas para gases são bem 
diferentes. A quantidade de calor Q necessária para elevar a temperatura de um corpo de ∆θ é 
dada pela equação:
Q = C . ∆θ (12)
Na equação demonstrada, C é a capacidade térmica do corpo. Vale também a equação:
C = m . c (13)
A tabela a seguir apresenta os calores específicos de alguns materiais. Esses valores são válidos para 
temperaturas próximas à temperatura ambiente.
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Tabela 32 – Calores específicos de várias substâncias
Material Calor Específico
c
cal
g Co




.
Água 1,00
Álcool etílico 0,58
Mercúrio 0,033
Gelo 0,53
Vidro 0,20
Latão 0,092
Alumínio 0,215
Cobre 0,0923
Prata 0,0534
Chumbo 0,0305
Fonte: Halliday (2002, p. 148).
5.2.2 Calor latente
A troca de calor em uma mudança de fase sólido ↔ líquido ou líquido ↔ vapor ocorre sempre sem 
variação de temperatura. O calor trocado nessa situação é expresso pela equação:
Q = m . L (14)
Na equação 14, L é uma constante denominada calor latente, que pode ser, conforme a situação, 
de fusão ou vaporização. Para a água, o calor latente de fusão é L
cal
gf
= 80 e o de vaporização vale 
L
cal
gv
= 540 . Na tabela 16, apresentaremos alguns valores para esses calores latentes.
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Unidade II
Tabela 33 – Calores latentes de fusão e 
vaporização para algumas substâncias
Material Calor Latente
Fusão Vaporização
LF (cal/g) LV (cal/g)
Água 79,6 539,2
Mercúrio 2,72 70,7
Cobre 49,5 1130,5
Prata 25,1 558,3
Chumbo 5,5 205,1
Hidrogênio 13,9 108,7
Oxigênio 3,32 50,9
Fonte: Halliday (2002, p. 149).
5.2.3 Equação calorimétrica
No interior de um calorímetro de mistura, perfeitamente adiabático, quando diversos corpos trocam 
calor entre si, ao contabilizar essas trocas, deve‑se aplicar a equação calorimétrica dada por:
    m c m L. . ( . ) 0 (15)
A soma dos calores trocados entre os corpos com variação de temperatura e com mudança de fase 
é igual a zero, desde que não haja troca de calor com o ambiente externo.
5.2.4 Exemplos resolvidos
Exemplo1
Um corpo de massa10 kg, com velocidade de 10
m
s
, choca‑se com uma parede, perdendo toda a sua 
energia cinética (choque inelástico). Qual é a energia, em calorias, transferida para o ambiente?
Solução:
Nesse caso, toda a energia cinética é transformada em calor. A energia cinética de um corpo é dada 
pela expressão:
E mvc =
1
2
2 (16)
Ec =
1
2
10102
 Ec = 500 J 1 J = 0,239 cal
Ec = 500 . 0,239 Ec = calor = Q = 119,5 cal.
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Exemplo 2
Uma resistência de R = 136 Ω é imersa em uma massa ma = 2000 g de água. Quando uma corrente 
elétrica de I = 2A atravessa o resistor, a temperatura da água aumenta à taxa k
Co= 4 0,
min
. O calor 
específico da água é c
cal
g C
a o=1 . Determine o equivalente mecânico do calor relativo a este experimento.
Solução:
A potência elétrica recebida pelo resistor é Pelétrica = RI
2 Pelétrica = 
∆
∆
E
t
∆E = Pelétrica . ∆t ∆E = RI
2 . ∆t Q = ma .ca . ∆T
Q = ∆E ma . ca . ∆T = RI
2∆t ma . ca . ∆T = RI
2∆t
m c
T
t
RIa a. .


 2 ma . ca . K = R . I
2 200 1 0
4 0
60
136 22. , .
,
/ ( . )



cal s J
(2000 . 1,0 . 4,0) cal = (136 . 22) . 60 J 8000 cal = 32640 J
1
32640
8000
cal J= 1 cal = 4,08 J
Exemplo 3
Uma amostra sólida de massa m e calor específico c é aquecida até uma temperatura T. Em seguida, 
ela é imersa no interior de uma massa ma de água, de calor específico ca, contida em um recipiente 
de paredes adiabáticas e capacidade térmica C. A água e o recipiente estão inicialmente em mesma 
temperatura T0, sendo T0< T. Após estabelecer‑se o equilíbrio térmico, o sistema atinge a temperatura 
de equilíbrio Te. A capacidade térmica do recipiente é C. As paredes adiabáticas não permitem troca de 
calor com o ambiente externo. Determine o calor específico c da amostra. Faça uma aplicação numérica 
para os valores indicados a seguir.
Dados: m = 500 g T = 120ºC Ca = 1
cal
g Co
 ma = 250g T0 = 25ºC
Te = 40ºC C = 150 
cal
g Co
Solução:
A quantidade de calor perdida pela amostra é transferida para a água e também para o recipiente. 
Logo, vale o que segue.
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m c C mc
m c C mc
a a e e e
a a e e
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
     
   
     
    
0 0 0
0 0
0
00 0
0
      
  
 
 
( )( ) ( )
( )( )
( )
(
m c C mc
c
m c C
m
c
a a e e
a a e
e
   
 
 
2250 1 150 40 25
500 40 120
0 15
. )( )
( )
,
 
 
 c cal
g Co
Exemplo 4
Um calorímetro de cobre de massa 50 g contém 280 g de água à temperatura inicial de 90ºC. 
Introduz‑se, no calorímetro, um bloco de alumínio à temperatura de 10ºC. A temperatura de 
equilíbrio da mistura é de 60ºC. O calor específico do cobre é ccobre = 0,095 
cal
g Co
, o do alumínio é de 
calumínio= 0,220
cal
g Co
e o da água é ca= 1,0
cal
g Co
. Determine a massa do bloco de alumínio.
Solução:
50 . 0,095 . (60 – 90) +280 . 1,0 . (60 – 90) + malumínio . 0,220 . (60 – 10) = 0∴
– 142,5 – 8400 + 11 . malumínio= 0 malumínio= 
8400 142
11
+ malumínio= 776,6 g
Exemplo 5
Um pedaço de gelo de massa 200 g encontra‑se inicialmente à temperatura de –50ºC. A temperatura 
de fusão da água é 0ºC e a de vaporização é de 100ºC. Determine a quantidade de calor necessária 
para que esse corpo seja transformado em vapor na temperatura de 130ºC. O calor específico do gelo é 
0,5 cal
g Co
, da água é 1,0 cal
g Co
 e do vapor é 0,5 cal
g Co
.
Solução:
Em todo o processo, o calor é dado pela equação:
Q = 200 .0,5 . (0 – (–50)) + 200 .1,0 . (100 – 0) + 200 . 540 + 200 .0,5 . (130 – 100)
Q = 5000 + 16000 + 20000 + 108000 + 3000 Q = 152000 cal
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Exemplo 6
Um pedaço de gelo de massa100 g, estando inicialmente à temperatura de –40ºC, é introduzido em um 
recipiente de capacidade térmica desprezível e que contém 50 g de água à temperatura de 90ºC. Determine 
a temperatura de equilíbrio do sistema e a correspondente quantidade de água e gelo que restam no final.
Solução:
É preciso verificar inicialmente se essa quantidade de água pode transferir calor suficiente para o 
gelo a ponto de levá‑lo até 0ºC no estado líquido.
Tabela 34 
Calor para levar o gelo de – 40ºC até 0ºC 100 .0,5 . (0 – (– 40)) = 2000 cal
Calor para fundir o gelo 100 . 80 = 8000 cal
Calor para levar a água de 90ºC até 0ºC 50 .1,0 .(0 – 90) = – 4500 cal
Como 4500 cal > 2000 cal e 4500 cal < 2000 cal + 8000 cal, teremos, no final do processo, uma 
mistura de gelo e água na temperatura de 0ºC, ou seja, somente uma parte do gelo será derretida. Para 
obter a massa de gelo que passa para o estado líquido, aplica‑se a equação a seguir:
100 .0,5 . (0 – (– 40)) + mgelo derretido . 80 + 50 .1,0 . (0 – 90) = 0
2000 + mgelo derretido . 80 – 4000 = 0 mgelo derretido = 
4500 2000
80



 mgelo derretido= 31,25 g
Portanto, no final sobram 68,75 g de gelo e 81,5 g de água.
Exemplo 7
Considerando o exemplo anterior, determine o valor que deveria ter a massa do gelo para que a 
temperatura de equilíbrio do sistema fosse de +10ºC.
Solução:
Nessa situação, todo o gelo seria derretido, atingindo uma temperatura positiva. Logo, é necessário 
acrescentar mais um termo na equação do exemplo 4, resultando em:
Mgelo .0,5 .(0 – (– 40)) + mgelo . 80 + mgelo .1,0 . (10 – 0) + 50 .1,0 . (10 – 90) = 0
20 .mgelo + 80 . mgelo + 10 . mgelo – 4000 = 0
110 .mgelo – 4000 = 0
mgelo = 36,36 g
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Na tabela a seguir, estão os valores em calorias para os processos separados.
Tabela 35
Calor para levar o gelo de – 40ºC até 0ºC 36,36 .0,5 . (0 – (– 40)) = 727,2 cal
Calor para fundir o gelo 36,36 . 80 = 2908,8 cal
Calor para levar o gelo derretido de 0ºC até 10ºC 36,36 .1 . (10 – 0) = 363,6 cal
Calor para levar a água de 80ºC até 10ºC 50 .1,0 . (10 – 90) = – 4000 cal
(727,2) + (2908,8) + (363,6) + (– 4000) ≅ 0
Exemplo 8
Em um recipiente de capacidade térmica desprezível, coloca‑se água a 0ºC. São adicionados 2 kg 
de vapor de água a 100ºC. O equilíbrio térmico se estabelece a 100ºC. O calor latente de vaporização da 
água é 540 
cal
g
. Determine a massa de água para que reste apenas água no equilíbrio térmico.
Solução:
Tabela 36
Calor para levar a água de 0ºC até 100ºC ma . 1,0 . (100 – 0) = 100 . ma
Calor para condensar o vapor de água – 2000 . 540 = – 1080000 cal
100 ma +(– 1080000) = 0 m ga = 
1080000
100
10800= ma = 10,8 kg
Exemplo 9
Misturam‑se 2 kg de vapor de água a 100ºC com certa quantidade de gelo a – 20ºC, resultando em 
uma mistura de água e gelo em partes iguais de massa. Determine a massa inicial de gelo.
Solução:
A condição do enunciado exige que:
2000 + mgelo derretido= mgelo – mgelo derretido m
m
derretido
gelo
gelo = 
− 2000
2
mgelo derretido= 0,5 . mgelo– 1000
Quando, numa mistura, restam água e gelo em equilíbrio térmico, a temperatura final é 0ºC. Na 
tabela que segue, estão os calores trocados pelas partes entre a situação inicial até a situação final.
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Tabela 37
Calor para levar o gelo de –20ºC até 0ºC mgelo . 0,5 . (0 – (–20)) = 10 . mgelo
Calor para fundir uma parte do gelo mgelo derretido. 80
Calor p/cond/2 kgde vapor d/água a/100ºC – 2000 . 540 = – 1080000 cal
Calor para levar 2 kg de água condensada de 100ºC para 0ºC 2000 .1,0 . (0 – 100) = – 200000 cal
10 . mgelo + 80 . mgelo derretido+ (– 1080000) + (– 200000) = 0
10 . mgelo + 80 . mgelo derretido= 1280000 10 . mgelo + 80 . (0,5 .mgelo – 1000) = 1280000
10 . mgelo + 40 . mgelo – 80000 = 1280000 50 . mgelo = 1360000
mgelo = 27200 g mgelo = 27,2 kg
Exemplo 10
Para o álcool etílico, temos o seguinte: calor latente de vaporização Lálcool= 202 
cal
g
; calor específico 
no estado líquido Cálcool = 0,65 
cal
g Co
; ponto de ebulição 78ºC. Deseja‑se condensar 1000 g de álcool 
etílico em estado de vapor a 78ºC, convertendo‑o em líquido a 20ºC, extraindo calor mediante água que 
se encontra inicialmente a 13ºC. Determine a massa de água estritamente necessária.
Solução:
ma . 1,0. (20 – 13) + (– 1000 . 202) + 1000 . 0,65 . (20 – 78) = 0
ma = 34,24 kg
Exemplo de aplicação
Em um recipiente, com capacidade térmica desprezível,faz‑se a mistura de gelo e água. Determine:
a) a temperatura de equilíbrio térmico;
b) a massa de gelo e a água que sobram após o equilíbrio térmico.
Dados: cgelo = 0,5
cal
g Co
 ca = 1,0
cal
g Co
 LF = 80
cal
g Co
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Unidade II
Tabela 38
Antes da mistura Depois da mistura
Gelo Água Gelo Água Temp./equil.
mg (g) θg (ºC) ma (g) θa (ºC) mg (g) ma (g) θe (ºC)
100 – 20 500 25
Solução:
Resposta: a) θe = 35ºC; b) mg = 0 e ma = 600 g
5.3 Gases Perfeitos
Para qualquer sistema material composto de entidades elementares iguais entre si, vale a 
definição:
”Mol é a quantidade de matéria contendo tantas entidades elementares quantos átomos existem em 
12,000 g de carbono 12”. As medições conduzem à constante de Avogadro:
NA = 6,023 . 10
23 mol–1 (17)
Em um gás perfeito, em condições normais de temperatura e pressão, um mol ocupa o volume:
Vmn = 22,4136 . 10
–3 m3 (18)
As leis de Boyle‑Mariotte, Charles, Gay‑Lussac e Avogadro são reunidas na equação de Clapeyron, 
válida para gás perfeito:
P . V = n .R . T (19)
No Sistema Internacional de Unidades, medem‑se: pressão P em Pascal,
“P
N
m
a = 2 ”, volume V em metros cúbicos, m
3, temperatura T em Kelvin, K, número de moles n em 
mol, mol.
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
A constante R pode ser calculada em qualquer estado de um corpo de gás perfeito, por exemplo, 
aplicando os valores a seguir:
n = 1 mol P = 101325 Pa V = 22,4136 . 10–3 m3
T = 273,15 K
Obtém‑se:
R
J
mol K
= 8 3143,
.
 (20)
O número de moles n de uma quantidade de gás corresponde ao quociente entre o número de 
moléculas N contidas no gás e o número de Avogadro NA.
n
N
NA
= (21)
O número de moles n também pode ser calculado por meio do quociente entre a massa m do gás e 
a massa molecular M do gás. A massa molecular M do gás é a massa de um conjunto de moléculas igual 
ao número de Avogadro.
n
m
M
= (22)
 Observação
Em sua tese de doutoramento, Albert Einstein, em 1905, descreveu um 
novo método teórico para determinar raios moleculares e o número de 
Avogadro. No estudo de soluções de açúcar em água, foi obtido o valor 
de 2,1 . 1023 mol–1. Em 1910, descobriu‑se um erro em uma das equações 
utilizadas por Einstein, e o valor foi corrigido para 6,6 . 1023 mol–1.
5.3.1 Equação de energia interna
No gás perfeito, as moléculas são partículas de volume desprezível que interagem somente 
durante eventual colisão, não havendo, portanto, coesão molecular e energia potencial interna. As 
colisões são perfeitamente elásticas (a energia cinética antes da colisão é igual à energia cinética 
após a colisão), e o movimento das partículas é caótico. A somatória da energia cinética das 
moléculas do gás perfeito representa a sua energia interna U, que segue a lei de Joule, expressa 
pela equação:
U = n .CV . T (23)
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Unidade II
Na equação anterior, CV representa o calor específico molar do gás em volume constante. A 
energia interna do gás perfeito só varia com a temperatura. Todos os gases que realmente existem são 
chamados de gases reais. Quando bastante rarefeitos, eles comportam‑se muito aproximadamente 
como gás perfeito.
5.3.2 Equação de calor
Para um gás perfeito, a troca de calor com o ambiente externo é calculada utilizando a equação 
fundamental da calorimetria, mas, ao invés de utilizar a massa m do gás, exprime‑se o calor utilizando 
o número de moles n do gás, como mostrado a seguir.
Q = m . c . ∆T n
m
M
= m – n . M Q = (n . M) . c . ∆T
Q = n . (M . c) . ∆T C = n . M 
Q = n .C . ∆T (24)
A equação 24 expressa o calor trocado pelo gás em função do calor específico molar C do gás.
Esse calor específico depende do processo a que o gás é submetido. Quando o processo é isométrico, a 
equação de calor é expressa por:
Q = n . CV . ∆T (25)
Na equação anterior, CV é o calor específico molar do gás, mantido o volume constante.
Quando o processo é isobárico, a equação de calor é expressa por:
Q = n .CP . ∆T (26)
Na equação acima,CP é o calor específico molar do gás com a pressão mantida constante. Esses 
calores específicos obedecem a uma relação conhecida como relação de Mayer, expressa por:
CP –CV = R (27)
Na equação, R é a constante universal dos gases perfeitos.
5.3.3 Equação de trabalho
Um corpo gasoso em equilíbrio ocupa volume V enquanto exerce e sofre pressão P. Em uma 
transformação lenta, o volume sofre incremento diferencial dV (dV > 0 em expansão, dV < 0 em 
compressão). O trabalho que o gás troca com o ambiente externo é:
dW = P . dV (28)
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Em uma transformação finita entre os estados (1) e (2), o trabalho é expresso por:
W P dV
V
V
12
1
2
  . (29)
Em um diagrama cartesiano de pressão versus volume, o trabalho W12 é representado pela área sob 
a curva no intervalo de integração, conforme mostrado na figura a seguir.
3,5
x 105
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04V1 V2V (m3)
P 
(N
/m
2 )
W12 > 0
(2)
(1)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Figura 103
Na figura, a área sombreada é o trabalho realizado pelo gás em uma expansão, partindo do volume 
V1 e chegando até o volume V2.
 Lembrete
O trabalho é a energia que o gás transfere ou recebe do ambiente 
externo, devido a uma mudança de sua fronteira, ou seja, quando ocorre 
alteração de seu volume. Por exemplo, suponha uma panela de pressão 
fechada que contenha somente ar no seu interior. Quando colocada 
no fogão, a chama irá aquecer o ar interno, mas não haverá troca de 
trabalho, devido ao fato de o volume de ar permanecer constante no 
seu interior.
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5.3.4 Exemplos resolvidos
Exemplo 1
O ouro possui massa molar de M. Quantos átomos existem em uma amostra de m de ouro?
Dado: NA = 6,02 .10
23 mol–1 M = 197 g/mol m = 5,00 g
Solução:
mátomo = 
M
NA
 mátomo = 
197
6 02 1023, .
 mátomo = 3,27 . 10
–22g
Nátomos=
m
matomoá
 Nátomos=
5 00
3 27 10 22
,
, . −
 Nátomos= 1,53 . 10
22 átomo 
Exemplo 2
Uma quantidade de gás perfeito está à temperatura de 400 K, à pressão de 200000
N
m2
, e ocupa um 
volume de 5,00 m2. Qual é o número de moles n do gás?
Dado: R
J
molk
= 8 31,
.
Solução:
P .V = n . R . T n
R
P V
T
= 1 . . n = 1
8 31
200000 5
400,
.
. n = 300,84 mol
Exemplo 3
Um bom vácuo produzido em laboratório corresponde a uma pressão de 1 . 10–18 atm. Quantas 
moléculas por centímetro cúbico existem nesse vácuo na temperatura de 300 K?
Dados: R
J
mol K
= 8 31,
.
 NA = 6,02 . 10
23 mol–1 1 105 2 atm
N
m
=
Solução:
1 10 1 10 10 1 1018 18 5 2
13
2. . . .
    atm N
m
N
m
n
N
NA
= P . V = n .R . T n
R
P V
T
= 1 . .
N
N R
P V
TA
= 1 . . N
V
N
R
P
T
A= . N
V

6 02 10
8 31
1 10
300
23 1, .
,
.
.
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
N
V
= 24 15 106, . moléculas m2 1m = 100 cm 1m3 = 106 cm3
N
V
= 24 15, moléculas/cm3
Exemplo 4
Calcule a energia interna U de um gás perfeito, com número de moles n, na temperatura de 27ºC. O 
calor específico molar do gás em volume constante é C RV =
3
2
.
Dados: R
J
mol K
= 8 31,
.
 n = 1 mol
Solução:
C RV =
3
2
 C
J
mol KV
= =3
2
8 31 12 48, ,
.
27ºC = (27 + 273) K = 300 K U = n .CV . T U = 1 .12,48 . 300
U = 3744 J
Exemplo 5
Qual é a massa de 8 . 1024 átomos de oxigênio, cuja massa molar vale 0,032 kg/mol??
Dado: NA = 6,02 . 10
23 mol–1
Solução:
mátomo=
M
NA
mátomo =
0 032
6 02 1023
,
, .
mátomo = 5,32 . 10
–26 kg
m = Nátomos .mátomo Nátomo= 8 . 10
24 átomos
m = 8 .1024 . 5,32 . 10–26 m = 0,4256 kg (resposta)
Exemplo 6
Um gás perfeito está com volume V1, submetido à pressão P1 e à temperaturaT1. Deseja‑se aumentar 
sua pressão até P2 sem modificar o seu volume. O calor específico do gás em volume constante é 
C RV =
3
2
. Determine o calor trocado com o ambiente externo nesse processo.
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Unidade II
Dados: V2 = V1 = 5 . 10
–3 m3 P2 = 8 . 10
5 N
m2
 P1 = 6 . 10
5 N
m2
Solução:
P2 . V2 = n .R . T P1 . V1 = n .R . T1
P2 . V2 – P1 . V1 = n .R . T2 – n .R .T1 P2 . V2 – P1 . V1 = n . R . (T2 – T1)
Q12 = n .CV . (T2 – T1) Q n R T T12 2 1
3
2
 . .( )
Q n R T n R T12 2 1
3
2
 ( . . . . ) Q P V P V12 2 2 1 1
3
2
 ( . . )
V2 = V1 Q V P P12 1 2 1
3
2
 . .( )
Q12
3 5 53
2
5 10 8 10 6 10 . . .( . . ) Q12
3 5 53
2
5 10 8 10 6 10 . . .( . . )
Q12 = 1500 J
Exemplo 7
Um corpo de gás perfeito com massa m encontra‑se com volume V1 e está submetido à pressão 
P1. O gás sofre uma compressão isobárica até a pressão V2. O calor específico molar do gás em pressão 
constante é C RP =
5
2
. Determine o calor trocado com o ambiente externo nesse processo.
Dados: P P
N
m
1 2
5
212 10= = . V
N
m
2
3
24 10
. V1 = 6 . 10
–3 m3
Solução:
P2 . V2 = n .R . T2 P1 . V1 = n .R . T1
P2 . V2 – P1 . V1 = n .R . T2 – n .R . T1 P2 . V2 – P1 . V1 = n .R . (T2 – T1)
Q12 = n .CP . (T2 – T1) Q R T T12 2 1
5
2
 .( )
Q n R T n R T12 2 1
5
2
 ( . . . . ) Q P V P V12 2 2 1 1
5
2
 ( . . )
P2 = P1 Q P V V12 1 2 1
5
2
 . .( )
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Q12
5 3 35
2
12 10 4 10 6 10  . . .( . . ) Q12 = – 6000 J
Exemplo 8
O diagrama de pressão versus volume da figura a seguir representa as transformações sofridas por 
um gás perfeito com um número de moles n = 1 mol. Determine o trabalho trocado com o ambiente 
externo nos processos AB, ACB e ADB.
3,5
x 105
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04
V (m3)
3
2,5
P(
N
/m
2 ) 2
1,5
1
0,5
0
A
D
C
B
Figura 104
Solução:
Por inspeção na figura anterior, obtemos os valores da tabela a seguir:
Tabela 39
A B C D
Pressão (N/m2) 3 . 105 1 . 105 3 . 105 1 . 105
Volume (m3) 0,01 0,03 0,03 0,01
W
P P
V VA B
A B
B A 
 ( ) .( )
2
WA B 
 ( . . ) .( , , )3 10 1 10
2
0 03 0 01
5 5
WA→B = 4000 J
WA→C = PA . (VC – VA) WA→C = 3 .10
5 . (0,03 – 0,01) WA→C = 6000 J
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Unidade II
WC→B = 0 WA→C→B = WA→C + WC→B WA→C→B = 6000 J
WA→D = 0 WD→B = PD . (VB – VD) WD→B = 1 .10
5 . (0,03 – 0,01)
WD→B = 2000 J WA→D→B = 2000 J
Exemplo 9
O diagrama de pressão versus volume da figura a seguir representa as transformações sofridas por um 
gás perfeito com um número de moles n = 1 mol. O calor específico molar do gás em volume constante é 
C RV =
3
2
. Determine a variação de energia interna ∆U do gás nas transformações AB, ACB e ADB.
3,5
x 105
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04
V (m3)
3
2,5
P(
N
/m
2 )
2
1,5
1
0,5
0
A
D
C
B
Figura 105
Solução:
Por inspeção na figura anterior, obtemos os valores da tabela a seguir:
Tabela 40
A B C D
Pressão (N/m2) 3 . 105 1 . 105 3 . 105 1 . 105
Volume (m3) 0,01 0,03 0,03 0,01
A variação de energia interna de um gás perfeito em um intervalo de temperatura ∆T é ∆U = n .CV . ∆T. 
Então, em uma transformação qualquer entre os estados inicial (1) e final (2), vale:
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
∆U12 = n .CV . (T2 – T2) U n R T T12 2 2
3
2
 . .( )
U nR T nR T12 2 1
3
2
 ( . . . . ) P2 . V2 – P1 . V1 = (n . R . T2 – n . R . T1)
U P V P V12 2 2 1 1
3
2
 .( . . ) U P V P V12 2 2 1 1
3
2
 .( . . )
Logo,
U P V P VAB B B A A 
3
2
.( . . ) UAB   
3
2
1 10 0 03 3 10 0 01 05 5.( . . , . . , )
U P V P VAC C C A A 
3
2
.( . . ) UAC    
3
2
3 10 0 03 3 10 0 01 90005 5.( . . , . . , )
U P V P VCB B B C C 
3
2
.( . . ) U JCB    
3
2
3 10 0 03 3 10 0 03 90005 5.( . . , . . , )
∆UACB = ∆UAC + ∆UCB ∆UACB = (+9000) + (– 9000) = 0
U P V P VAD D D A A 
3
2
.( . . ) U JAD    
3
2
1 10 0 01 3 10 0 01 30005 5.( . . , . . , )
U P V P VDB B B D D 
3
2
.( . . ) U JDB    
3
2
1 10 0 03 1 10 0 01 30005 5.( . . , . . , )
∆UADB = ∆UAD + ∆UDB ∆UADB = (–3000) + (+ 3000) = 0
Exemplo 10
Um cilindro contém 24 de oxigênio na temperatura de 40ºC e na pressão de 30 atm. A temperatura 
é elevada para 70ºC e o volume é reduzido para 8,5 . Considerar o gás ideal. Qual é a pressão final do 
gás em atmosferas?
Dado: 1 = 10–3 m3 1 105 2 atm
N
m
=
Solução:
24 = 24. 10–3 m2 17 = 17 . 10–3 m2
40ºC = (40 + 273)K = 313 K 70ºC = (70 + 273)K = 343 K
30 30 105 2 atm
N
m
= . P = ?
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Unidade II
P . V = n .R . T n R
P V
T
.
.=
n R
P
.
. . . . . 
 30 10 24 10
313
17 10
343
5 3 3 30 10 24
313
17
343
5. . .= P
P = 343
313
24
17
30 105. . . P
N
m
= 46 4 105 2, .
P = 46,4 atm
Exemplo de aplicação
Um gás perfeito realiza uma transformação termodinâmica representada pelo diagrama de pressão 
versus volume. Determine:
a) o número de moles n do gás e a temperatura T2;
b) o calor Q12 e o trabalho W12 trocados com o ambiente externo;
c) a correspondente variação de energia interna ∆U12 do gás.
Dados: R
atm
molK
= 0 0831, .
.

; T1 = 400 K; C RV =
3
2
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
V (I)
7
6
P 
(a
tm
)
5
4
3
2
1
(2)
(1)
0
9 10
Figura 106
205
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Solução:
Resposta: a) n = 0,36 mol; b) Q12 = 30 atm . e W12 = 24 atm .  ; c) ∆U12 = 6 atm .
6 PRIMEIRA E SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA
6.1 Primeira lei da termodinâmica
O princípio de conservação de energia para um processo termodinâmico é expresso pela primeira 
lei da termodinâmica. Essa lei mostra como trocas de energia de um sistema, na forma de calor Q ou 
de trabalho W, separada ou simultaneamente com o ambiente externo, modificam a própria energia do 
sistema. A energia do sistema será denominada de energia interna U, representando toda a energia que 
está armazenada. Resumidamente, seria a somatória da energia cinética das moléculas do sistema mais a 
somatória da energia de interação entre essas moléculas. O ambiente externo, estando em uma temperatura 
diferente da do sistema, pode trocar calor com ele. Ocorrendo uma variação no volume do sistema, haverá 
troca de trabalho com o ambiente externo. O calor e o trabalho são energias transferidas entre o sistema e 
o ambiente externo, denominadas energias em trânsito. A quantidade de calor Q e o trabalho W trocados 
com o ambiente externo dependem do processo ao qual o sistema é submetido, porém a variação de 
energia interna ∆U não depende do processo, somente do estados final e inicial do sistema.
Entendendo o Universo como a união do sistema com o ambiente externo, sua energia é sempre a 
mesma. Com base nesse princípio, exprime‑se a primeira lei da termodinâmica por:
∆U = Q – W (30)
O calor é considerado positivo quando entra no sistema e negativo quando sai. O trabalho 
é considerado positivo quando sai do sistema (expansão) e negativo quando entra (compressão). A 
primeira lei da termodinâmica é válida para sistemas sólidos, líquidos, gasosos ou para uma mistura 
desses estados; porém, neste livro‑texto, a sua aplicação será feita somente para um sistema no estado 
gasoso, considerado gás perfeito. Um gás perfeito possui três variáveis de estado: a pressão P, o volume 
V e a temperatura T. Quando duas dessas variáveis são conhecidas, a terceira fica determinada pela 
equação de Clapeyron. A energia interna U do gás perfeito depende somente de sua temperatura T.
6.1.1 Transformações termodinâmicas
Um gás perfeito pode ser submetido a uma infinidade de transformações termodinâmicas distintas, 
classificadas segundo suas propriedadesparticulares. Seguindo esse critério, vamos estudar as 
transformações isométrica, isobárica, isotérmica e adiabática. A seguir, iremos aplicar a primeira lei da 
termodinâmica separadamente de cada uma dessas transformações, utilizando o gráfico cartesiano da 
pressão versus o volume. Esse gráfico é denominado diagrama PV.
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Unidade II
6.1.1.1 Transformação isométrica
Nessa transformação, o gás mantém o seu volume constante; portanto, não há troca de trabalho 
com o ambiente externo. Há alteração de temperatura do gás, implicando troca de calor com o ambiente 
externo e também variação de energia interna. Na próxima figura está representado, em diagrama PV, 
um processo isométrico realizado por um gás perfeito de calor específico molar em volume constante 
C RV =
3
2
. Aplicando a primeira lei:
∆U12 = Q12 – W12 W12 = 0 ∆U12 = Q12
Q12 = n .CV . (T2 – T1) ∆U12 = n .CV . (T2 – T1)
P2 . V2 = n .R . T2 P1 . V1 = n .R . T1 V2 = V1
3,5
4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
V (I)
3
2,5
P(
at
m
)
2
1,5
1
0,5
0
isométrica
V1 = V2
P1
P2
(2)
(1)
Figura 107
Na figura, está representado o diagrama PV de uma transformação isométrica. No sentido 1 → 2, a 
temperatura do gás aumenta.
6.1.1.2 Transformação isobárica
Nessa transformação, o gás mantém a sua pressão constante, havendo variação de volume e 
temperatura. Há troca de trabalho com o ambiente externo. A alteração de temperatura do gás 
implica variação de energia interna e troca de calor com o ambiente externo. Na próxima figura está 
representado, em diagrama PV, um processo isobárico realizado por um gás perfeito de calor específico 
molar em volume constante C RV =
3
2
. Aplicando a primeira lei:
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
∆U12 = Q12 – W12 W12 = P2 . (V2– V1) Q12 = n .CP . (T2 – T1)
∆U12 = n .CV . (T2 – T1) n .CV . (T2 – T1) = n .CP . (T2 – T1) – P2 . (V2 – V1)
n .CV . (T2 – T1) = n .CP . (T2 – T1) – (P2 . V2 – P1 . V1)
P2 . V2 = n .R . T2 P1 . V1 = n .R . T1 P2 = P1
(P2 . V2 – P1 . V1) = n . R . (T2 – T1)
n .CV . (T2 – T1) = n .CP . (T2 – T1) – n .R . (T2 – T1) CV = CP – R
CP – CV = R (relação de Mayer) (31)
3,5
4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
V (I)
3
2,5
P(
at
m
)
2
1,5
1
0,5
0
isobárica
P1 = P2
(2)(1)
W12
Figura 108
No diagrama PV, está representada uma transformação isobárica. A área sob a transformação 
representa o trabalho trocado com o ambiente externo. No sentido 1 → 2, aumenta a temperatura 
do gás.
6.1.1.3 Transformação isotérmica
Nessa transformação, o gás mantém a sua temperatura constante, havendo variação de volume e 
pressão. Há troca de trabalho com o ambiente externo. Não há variação de energia interna. Há troca 
de calor com o ambiente externo. Na figura a seguir está representado, em diagrama PV, um processo 
isotérmico realizado por um gás perfeito de calor específico molar em volume constante C RV =
3
2
. 
Aplicando a primeira lei:
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Unidade II
∆U12 = Q12 – W12 W12 ≠ 0 ∆U12 = n .CV . (T2 – T1)
P2 . V2 = n .R .T2 P1 . V1 = n .R . T1 T2 = T1
P2 . V2 = P1 . V1 ∆U12 = 0 0 = Q12 – W12
Q12 = W12 W P dV
V
V
12
1
2
  . P . V = n .R .T
T = cte P
n R T
V
= . . W
n R T
V
dV
V
V
12
1
2
  . . .
W n R T
V
dV
V
V
12
1
2 1 . . . . W n R T In VV12
2
1





. . . n .R . T = P2 . V2 = P1 . V1
W P V In
V
V
P V In
V
V12 2 2
2
1
1 1
2
1










. . . . ou W12
Aplicando a equação de trabalho, obtemos o seguinte resultado:
W P V In
V
V12 2 2
2
1





. . W In12 1 25
25
10
 



. . W12 = 20 . In(2,5)
W12 = 22,91 atm .  1 atm .  = 100 J W12 = 2291 J
Q12 = W12 Q12 = 2291 J ∆U12 = 0
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
3,5
4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
V (I)
W12 > 0
(2)
(1)
Isotérmica
P 
(a
tm
)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Figura 109
No diagrama PV, está representada uma transformação isotérmica. A área sob a transformação 
representa o trabalho trocado com o ambiente externo. Por inspeção na figura,temos: P1 = 2,5 atm, 
V1 = 10  , P2 = 1 atm, V2 = 25  . Esses valores confirmam o produto P . V = cte em uma isotérmica.
6.1.1.4 Transformação adiabática
Nessa transformação, o gás não troca calor com o ambiente externo, havendo variação de volume, 
pressão e temperatura. Há troca de trabalho com o ambiente externo e ocorre variação de energia 
interna. Na figura a seguir está representado, em diagrama PV, um processo adiabático realizado por um 
gás perfeito de calor específico molar em volume constante C RV =
3
2
. Aplicando a primeira lei:
∆U12 = Q12 – W12 W12 ≠ 0 ∆U12 = CV . (T2 – T1)
P2 . V2 = n . R . T2
P1 . V1 = n . R .T1
∆U12 = Q12 – W12 Q12 = 0 ∆U12 = n . CV . (T2 – T1)
∆U12 = – W12 P . V = n .R . T
dU = dQ – dW dQ = 0 dW = P . dV
dU = n . CV .dT
dU = – dW n .Cv .dT = – P . dV
P . dV + V .dP = n . R . dT – n .CV .dT + V . dP = n . R .dT
– n .CV .dT + V . dP = n . R . dT V .dP = n . R .dT + n . CV .dT
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Unidade II
V . dP = n . (R + CV) . dT R + CV = CP
V . dP = n . CP . dT P . dV = – n .CV .dT
V dP
P dV
n C dT
n C dT
P
V
.
.
. .
. .
= V dP
P dV
C
C
P
V
.
.
=
C
C
P
V
  V dP
P dV
.
.
 
dP
P
dV
V
 – . dP
P
dV
V  – .
In (P) = – γ . In(V) + cte In (P) + – γ . In(V) + cte
Chega‑se à equação da transformação adiabática:
P . Vγ = cte (31)
W P dV
V
V
12
1
2
  . W cteV dVV
V
12
1
2
   . W cte
dV
VV
V
12
1
2
 . 
W cte V dV
V
V
12
1
2
 . . W cte
V V
V
12
1 2
1
1

 
 
.


W cte
V V V
V
12
2
1
1



.
.

P = cte . V–γ W
P V P V
P V
12
2 2
1 1
1


. .
.
Chega‑se à equação de trabalho da transformação adiabática:
W
P V P V
12
2 2 1 1
1
 

( . . )

 (32)
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
3,5
4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
V (I)
W12 > 0
(2)
(1)
Isotérmica
Adiabática
P 
(a
tm
)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
  5
3
Figura 110
No diagrama PV, está representada uma transformação adiabática. A área sob a transformação 
representa o trabalho trocado com o ambiente externo. Por inspeção na figura, temos: P1 = 2,5 atm, 
V1 = 10  e V2 = 25  . A pressão P2 é obtida aplicando a equação P . V
γ = cte.
Aplicando a equação de trabalho, obtemos o seguinte resultado:
W
P V P V
12
2 2 1 1
1
 

. .
 
P V P V2 2 1 1. .
  P V P V2 2 1 1. .
 
  C
C
P
V CP = CV + R 
C R RP  
3
2
C RP =
5
2 
  ( / )
( / )
5 3
3 2
R
R 
  5
3
P2 . 25
5/3 = 2,5 . 105/3 P2 = 0,543 atm 
W12
0 543 25 2 5 10
1
5
3
 

, . , .
W12 = 17,1375 atm 1 atm .  = 100 J W12 = 1713,75 J
∆U12 = n .CV . (T2 – T1) U n R T T12 2 1
3
2
 . .( ) U n R T n R T12 2 1
3
2
 ( . . . . )
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Unidade II
U P V P V12 2 2 1 1
3
2
 ( . . )
 
U12
3
2
0 543 25 2 5 10 ( , . , . )
∆U12 = – 17,1375 atm .  ∆U12 = 1713,75 J
6.1.2 Transformações cíclicas
Um gás perfeito executa uma transformação cíclica quando o estado final do gás coincide com seu 
estado inicial. Nessa situação, necessariamente a temperatura final e a temperatura inicial do gás são 
iguais; isso implica que, em uma transformação cíclica, a variação de energia interna do gás é nula, ou seja:
∆Uciclo= 0 (33)
A primeira lei da termodinâmica fica apresentada como:
∆Uciclo = Qciclo – Wciclo ∴ ∆Uciclo = 0 ∴ Qciclo = Wciclo (34)
Em diagrama PV, o trabalho no ciclo é igual a sua área interna. Quando é percorrido no sentido 
horário, o trabalho no ciclo é positivo. Quando é percorrido no sentido anti‑horário, o trabalhono 
ciclo é negativo. Na próxima figura está representado, em diagrama PV, um processo cíclico realizado 
por um gás perfeito de calor específico molar em volume constante C RV =
3
2
. Esse ciclo é constituído 
pelas transformações:
Adiabática (1 → 2), isométrica (2→3) e isotérmica (3→1). A seguir, estão os valores de pressão e 
volume dos estados 1, 2 e 3 do gás.
Tabela 41
(1) (2) (3)
P (atm) 2,5 0,543 1,0
V (I) 10 25 25
Os valores de calor, trabalho e variação de energia interna para cada transformação do ciclo são:
Adiabática Isométrica Isotérmica
(1 → 2) (2→3) (3→1)
Q (atm .  ) 0 17,1375 – 22,91
W (atm .  ) 17,1375 0 – 22,91
∆U (atm .  ) – 17,1375 17,1375 0
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
O calor no ciclo, o trabalho no ciclo e a variação de energia interna no ciclo são:
Qciclo = Q12 + Q23 + Q31 = 0 + 17,1375 + (– 22,91) Qciclo = – 5,7725 atm. 
Wciclo = W12 + W23 + W31 = 17,1375 + 0 + (– 22,91) Wciclo = – 5,7725 atm . 
∆Uciclo = ∆U12 + ∆U23 + ∆U31 = – 17,1375 + 17,1375 ∆Uciclo = 0 atm . 
3,5
4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
V (I)
Wciclo < 0
(2)
(3)
(1)
Isotérmica
Isotérmica
Adiabática
P 
(a
tm
)
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
  5
3
Figura 111
No diagrama PV, está representada uma transformação cíclica. A área interna ao ciclo é o 
trabalho trocado com o ambiente externo, que é igual também ao calor trocado com o ambiente 
externo (Wciclo = Qciclo).
 Lembrete
Um ponto do gráfico de pressão versus volume representa um estado 
para o gás. A temperatura é obtida pela equação de Clapeyron. Quando 
um gás evolui em um processo cíclico, sua variação de energia interna é 
sempre nula.
6.1.3 Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Um corpo de ar com massa m = 1000 g, considerado gás perfeito, encontra‑se em temperatura 
T1 = 300 K e pressão P1 = 1 atm. O ar sofre compressão adiabática até a pressão P2 = 5 atm. Determinar:
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Unidade II
a) a temperatura final T2;
b) o calor Q12, o trabalho W12 e a variação de energia interna ∆U12.
Dados: M = 28,9 g/mol; C R R
J
mol KV
= =3
2
8 314; ,
.
 
Solução:
a)
P V P Vy1 1 2 2. .
  1 51
5 3
2
5 3. ./ /V V= 
V
V
1
2
5 3
5
1
5




 
/
V
V
1
2
3 55 2 63= =/ ,
 
P V
T
P V
T
1 1
1
2 2
2
. .=
 
1
300
51 2
2
. .V V
T
=
V
V T
1
2 2
5 300
1
= .
. 
2 63
5 300
1 2
,
.
.
=
T
T2
5 300
2 63
= .
, T2 = 570 K
b)
∆U12 = Q12 – W12
Q12 = 0 W12 = – ∆U12
∆U12= n .CV . (T2 – T1) 
n
m
M
mol= = =1000
28 9
34 6
,
, 
 
C RV = =
3
2
3
2
8 314. . ,
C
J
mol KV
=12 471,
.
W12 = – 116504 J
∆U12= 34,6 .12,471 . (570 – 300)
∆U12= 116504 J
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Exemplo 2
Um corpo de ar que se comporta como gás perfeito é submetido, de modo reversível, a uma 
transformação cíclica, representada no diagrama PV a seguir. Determinar o trabalho realizado pelo gás 
no ciclo e o calor recebido pelo gás na transformação 2 → 3.
Dado: C RV =
3
2
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
V (I)
7
6
P(
at
m
)
5
4
3
2
1
(2)
(1)
(3)
0
9 10
Figura 112
Solução:
Por inspeção na figura, obtemos os valores a seguir:
Tabela 42
(1) (2) (3)
P (atm) 2,0 6,0 2,0
V (I) 3,0 3,0 8,0
O trabalho no ciclo é igual à sua área interna. No caso, trata‑se de um triângulo. Então:
W
P P V V
ciclo 
    ( ).( ) ( , , ).( , , )2 1 3 1
2
6 0 2 0 8 0 3 0
2
Wciclo = 10 atm . 
Para obter o calor na transformação 2 → 3, é necessário aplicar a equação do primeiro princípio da 
termodinâmica: Q23 = ∆U23 + W23. Portanto, também é necessário determinar ∆U23 e W23.
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Unidade II
W
P P
V V atm23
2 3
3 22
6 0 2 0
2
8 0 3 0 20      ( ) .( ) ( , , ) .( , , ) . 
U n C T T n R T TV23 3 2 3 2
3
2
   . .( ) . .( )
U P V P V23 3 3 2 2
3
2
 .( . . )
U atm23
3
2
8 0 2 0 6 0 3 0 3 0   .( , . , , . , ) , . 
Q23 = ∆U23 + W23 = – 3,0 + 2,0 Q23 = 17 atm . 
Exemplo 3
Um gás perfeito executa o ciclo representado na figura a seguir. Completar as tabelas (I) e (II).
Dados: C RV =
3
2
; T1 = 200 K
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
V (I)
7
6
P(
at
m
)
5
4
3
2
1
(1)
(4) (3)
(2)
0
9 10
Figura 113
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Tabela 43
(1) (2) (3) (4) 
P(atm) 7,0 7,0 3,0 3,0
V (I) 2,0 8,0 8,0 2,0
T (K) 200 K
Tabela 44
Isobárica Isométrica Isobárica Isométrica
(1 → 4) (2 → 3) (3 → 4) (4 → 1) 
Q(atm .  ) 
W(atm .  ) 
∆U(atm .  ) 
Solução:
n R
P V
T
cons te.
.
tan= =
P V
T
P V
T
P V
T
P V
T
1 1
1
2 2
2
3 3
3
4 4
4
. . . .= = =
7 0 2 0
200
7 0 8 0 3 0 8 0 3 0 2 0
2 3 4
, . , , . , , . , , . ,= = =
T T T
T1 – 200 K T2 – 800 K T3 – 343 K T4 – 86 K
Tabela 45
(1) (2) (3) (4) 
P(atm) 7,0 7,0 3,0 3,0
V (I) 2,0 8,0 8,0 2,0
T (K) 200 K T1 = 800 K T3 = 343 K T4 = 86 K
O trabalho nas transformações isométricas 2 → 3 e 4 → 1 é nulo. Logo, W23 = 0 e W41 = 0. O trabalho 
nas transformações 1 → 2 e 3 → 4 corresponde às respectivas áreas sob essas transformações.
W12 = P1 . (V2 – V1) = 7 . (8 – 2) W12 = 42 atm . 
W34 = P3 . (V4 – V3) = 3 .(2 – 8) W34 = – 18 atm . 
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Unidade II
A variação de energia interna, para qualquer tipo de transformação, segue a equação, ∆U = n . CV . ∆T. 
Para qualquer estado de um gás perfeito vale a equação de Clapeyron P . V = n . R . T.
U n C T T n R T T P V P VV12 2 1 2 1 2 2 1 1
3
2
3
2
     . .( ) . .( ) ( . . )
 U U atm12 12
3
2
7 0 8 0 7 0 2 0 63   .( , . , , . , ) . 
U n C T T n R T T P V P VV23 3 2 3 2 3 3 2 2
3
2
3
2
     . .( ) . .( ) ( . . )
 U U atm23 23
3
2
3 0 8 0 7 0 8 0 48   .( , . , , . , ) . 
U n C T T n R T T P V P VV34 4 3 4 3 4 4 3 3
3
2
3
2
     . .( ) . .( ) ( . . )
 U U atm34 34
3
2
3 0 2 0 3 0 8 0 27   .( , . , , . , ) . 
U n C T T n R T T P V P VV41 1 4 1 4 1 1 4 4
3
2
3
2
     . .( ) . .( ) ( . . )
 U U atm41 41
3
2
7 0 2 0 3 0 2 0 12   .( , . , , . , ) . 
O calor em cada transformação pode ser calculado diretamente utilizando a equação da primeira lei 
da termodinâmica: Q = ∆U + W.
Q12 = ∆U12 + W12 = + 63 + 42 Q12 = 105 atm . 
Q23 = ∆U23 + W23 = – 48 + 0 Q12 = – 48 atm . 
Q34 = ∆U34 + W34 = – 27 – 18 Q12 = – 45 atm . 
Q41 = ∆U41 + W41 = + 12 + 0 Q12 = + 12 atm . 
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Tabela 46
Isobárica Isométrica Isobárica Isométrica
(1 → 2) (2 → 3) (3 → 4) (4 → 1) 
Q (atm .  ) + 105 – 48 – 45 + 12
W (atm .  ) 42 0 – 18 0 
∆U (atm .  ) + 63 – 48 – 27 + 12
Exemplo 4
Um corpo de gás perfeito percorre o ciclo reversível esquematizado no sentido anti‑horário. O ciclo 
é composto pelas seguintes transformações: adiabática 1 → 2, isobárica 2 → 3 e isotérmica 3 → 1. 
Pedem‑se:
a) número de moles n do gás;
b) a pressão, o volume e a temperatura em cada um dos estados 1, 2 e 3;
c) o trabalho, o calor e a variação de energia interna em cada uma das transformações que compõem 
o ciclo;
d) o balanço energético no ciclo.
Dados: C R C RV P= =
3
2
5
2
 R
atm
mol K
K  8 31 10 400 5
3
2
1, .
.
.

 T  
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
111 122 133 144 155 166 177 188 199 2010 21 22 23 24
Adiabática
Isotérmica
V (I)
P 
(a
tm
)
(1)
(2) (3)Isobárica
Figura 114
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Unidade II
Solução:
a) Para determinar o número de moles, é preciso utilizar a equação de Clapeyron: n
P V
R T
= .
.
. Para o 
estado vale: n
P V
R T
n n mol    
11
1
2
12 6
8 31 10 400
2 2
.
.
.
, . .
, 
b) Na tabela a seguir, estão os valores de pressão, volume e temperatura que já são conhecidos.
Tabela 47
(1) (2) (3) 
P(atm) 12 4 4
V (I) 6 V2 = ? 18
T (K) 400 T2 = ? T3 = ?
Faltam as temperaturas T2 e T3 e o volume V2. Para obtermos esses valores, utilizaremos a equação de 
Clapeyron e a equação da transformação adiabática.
P V
T
cte
. =
 
P V
T
P V
T
P V
T
1 1
1
2 2
2
3 3
3
. . .= =
 
12 6
400
4 4 182
2 3
. . .= =V
T T
P . Vγ = cte P V P V1 2 2 2. .
  12 6 4
5 3
2
5 3. ./ /= V
V2
5 3 3 512 6
4





. /
/
 V2 = 11,6  
12 6
400
4 116 4 18
2 3
. . , .= =
T T
T2
4 116 400
12 6
= . , .
. T2 = 257,8 K
T3
4 18 257 8
4 116
= . . ,
. , T3 = 400 K
A tabela contendo as variáveis de estado com todos os valores é a seguinte:
Tabela 48
(1) (2) (3) 
P (atm) 12 4 4
V (I) 6 11,6 18
T (K) 400 257,8 400
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
c) O trabalho para cada uma das transformações é calculado pelas equações a seguir:
• Adiabática
W
P V P V
12
2 2 1 1
1
4 116 12 6
1 5 3
 

 

( . . ) ( . , . )
/
 W12 = 38,4 atm .  
• Isobárica
W23 = P2 . (V3 – V2) = 4 . (18 – 11,6) W23 = 25,6 atm . 
• Isotérmica
W P V In
V
V
In31 3 1 3 1
1
3
4 18
6
18





 


( ) ( )
. . . . W31 = – 79,1 atm . 
O calor para cada uma das transformações é calculado pelas equações a seguir:
• Adiabática
Q12 = 0
• Isobárica
Q n C T T n R T T n R T n R TP23 3 2 3 2 3 2
5
2
5
2
     . .( ) . .( ) .( . . . . )
Q P V P V23 3 3 2 2
5
2
5
2
4 18 4 116   .( . . ) .( . . , )
Q23 = 64 atm . 
• Isotérmica
Q31 = W31 Q31 = – 79,1 atm . 
A variação de energia interna é calculada pela mesma equação em todas as transformações 
termodinâmicas: ∆U = n . CV . ∆T.
• Adiabática
U n C T T n R T T P V P VV12 2 1 2 1 2 2 1 1
3
2
3
2
     . .( ) . .( ) .( . . )
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Unidade II
U P V P V12 2 2 1 1
3
2
3
2
4 116 12 6   .( . . ) .( . , . )
∆U12 = – 38,4 atm . 
• Isobárica
U nC T T n R T T P V P VV23 3 2 3 2 3 3 2 2
3
2
3
2
     . .( ) . .( ) .( . . )
U P V P V23 3 3 2 2
3
2
3
2
4 18 4 11 6   .( . . ) .( . . . )
∆U23 = 38,4 atm . 
• Isotérmica
U n C T T n R T T P V P VV31 1 3 1 3 1 1 3 3
3
2
3
2
     . .( ) . .( ) .( . . )
U P V P V31 1 1 3 3
3
2
3
2
12 6 4 18   .( . . ) .( . . )
∆U31 = 0
d) Para verificarmos o balanço energético do ciclo, precisamos calcular o trabalho, o calor e a variação 
da energia interna no ciclo e, em seguida, aplicar a primeira lei da termodinâmica.
∆Uciclo = ∆U12 + ∆U23 + ∆U31 
∆Uciclo = (– 38,4) + (38,4) + (0) ∆Uciclo = 0
Wciclo = W12 + W23 + W31
Wciclo = (38,4) + (25,6) + (– 79,1) 
Wciclo = – 15,1 atm . 
Qciclo = Q12 + Q23 + Q31
Qciclo = (0) + (+ 64) + (– 79,1) 
Qciclo = – 15,1 atm . 
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18
FLUIDOS E TERMODINÂMICA
Esses resultados conferem com a primeira lei. Vejamos:
∆Uciclo = Qciclo – Wciclo 0 = (– 15,1) – (– 15,1)
Exemplo 5
Um corpo de ar apresenta‑se nas condições T1 = 300 K, P1 = 1 atm e V1 = 100 . O ar é submetido a 
duas transformações consecutivas: compressão adiabática 1 → 2 e esfriamento isométrico 2 → 3. No 
estado final, a temperatura é T3 = T1 e a pressão é P3 = 2 atm. Pedem‑se:
a) o trabalho na compressão adiabática 1 → 2;
b) o calor no esfriamento isométrico 2 → 3.
Dados: C RV 
3
2
5
3
 =
3.5
(2)
(3)
V(I)
P(
at
m
)
(1)
3
2
0.5
2.5
1
1.5
0
0 5 10 50 9030 70 11020 60 10040 8015 55 9535 7525 65 10545 85
Figura 115
Solução:
a)
• Adiabática
P V P V2 2 1 1. .
  P V P V2 2 1 1. .
  P2 . 50
5/3 = 1 . 1005/3
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Unidade II
P2
5 3
5 3
1 100
50
= .
/
/
 P2 = 3,174 atm
W
P V P V
12
2 2 1 1
1
3 174 50 1 100
1
5
3
 

 

. . , . .

W12 = – 88,05 atm . 
b)
• Isométrica
Q23 = n .CV . (T3 – T2) Q n R T T23 3 2
3
2
 . .( )
Q nRT nRT P V P V23 3 2 3 3 2 2
3
2
3
2
   ( ) ( . . )
Q23
3
2
2 50 3 174 50 ( . , . ) Q23 = – 88,05 atm . 
Exemplo 6
Um corpo de gás perfeito percorre o ciclo reversível esquematizado no sentido anti‑horário. O 
ciclo é composto pelas seguintes transformações: isobárica 1 → 2, isométrica 2 → 3 e linear 3 → 1. 
Pedem‑se:
a) o trabalho e o calor no ciclo;
b) o calor na transformação 3 → 1;
c) as temperaturas T2 e T3.
Dados: C R C R KV P= = =
3
2
5
2
5001 T
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2/
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18
FLUIDOS E TERMODINÂMICA
(2)
Isométrica
Isobárica
(3)
V(I)
P(
at
m
)
(1)
0
8
4
12
2
10
6
1
9
5
3
11
7
0 8 164 12 202 10 186 141 9 175 133 11 197 15
Figura 116
Solução:
O trabalho no ciclo é a soma dos trabalhos das transformações que compõem o ciclo, ou seja:
Wciclo = W12 + W23 + W31
W12 = P2 . (V2 – V1) = 4 . (13 – 2) 
W12 = 44 atm .  W23 = 0
W
P P
V V31
1 3
1 32
4 10
2
2 13       ( ) ( ) ( ) ( )
W31 = – 77 atm . 
Wciclo = (+ 44) + (0) + (– 77) 
Wciclo = – 33 atm . 
Aplicando a primeira lei da termodinâmica em um ciclo: 
∆Uciclo = Qciclo – Wciclo
∆Uciclo = 0 Qciclo = Wciclo Qciclo = – 33 atm . 
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/0
2/
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Unidade II
b)
Q31 = ∆U31 + W31
U n C T T n R T TV31 1 3 1 3
3
2
       ( ) ( )
U n R T n R T P V P V31 1 3 1 1 3 3
3
2
3
2
         ( ) ( )
U31
3
2
4 2 10 13 .( . . )
∆U31 = – 183 atm . 
Q31 = (– 183) + (– 77) 
Q31 = – 260 atm . 
c)
Equação de Clapeyron:
n R
P V
T
.
.= = constante
P V
T
P V
T
P V
T
1 1
1
2 2
2
3 3
3
. . .= =
 
4 2
500
4 13 10 13
2 3
. . .= =
T T
T2 = 3250 K T3 = 8125 K
Exemplo 7
Um corpo de gás perfeito percorre o ciclo reversível esquematizado no sentido horário. O ciclo é 
composto pelas seguintes transformações: isotérmica 1 → 2, isobárica 2 → 3 e isométrica 3 → 1. 
Pedem‑se:
a) a pressão P1, as temperaturas T2 e T3;
b) o trabalho no ciclo.
Dados: C R C R KV P= = =
3
2
5
2
2501 T
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FLUIDOS E TERMODINÂMICA
0 2 8 14 24 34 444 10 20 30 4016 26 36 466 12 22 32 4218 28 38 48 50
20
16
12
8
4
18
14
10
6
2
19
15
11
7
3
17
13
9
5
1
0
V (I)
P 
(a
tm
)
(1)
(2)
(3)
Figura 117
Solução:
a)
Na isotérmica, vale:
P1 . V1 = P2 . V2 P1 . 12 = 5 . 40 P1 = 16,7 atm
Utilizando a equação de Clapeyron:
n R
P V
T
.
.= = constante
P V
T
P V
T
P V
T
1 1
1
2 2
2
3 3
3
. . .= =
 
16 7 12
250
5 40 5 12
2 3
, . . .= =
T T
T2 = 250 K T3 = 75 K
b)
Wíndice = W12 + W23 + W31 
W P V
V
V12 1 1
2
1





. .ln W12 16 7 12
40
12
 



, . .ln
W12 = 241,13 atm .  W23 = P2 . (V3 – V2) W23 = 5 . (12 – 40) 
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Unidade II
W23 = – 140 atm .  W31 = 0 Wciclo = (241,3) + (– 140) + (0) 
Wciclo = 101,3 atm . 
Exemplo 8
Um mol de gás perfeito, inicialmente em temperatura T1 = 1000 K e ocupando o volume 
V1 = 1000  , expande‑se até o volume V2 = 20  . Calcular o trabalho e o calor recebidos pelo gás 
supondo que a transformação seja:
a) isotérmica;
b) adiabática.
Dados: C R C RV P  
3
2
5
2
5
3
  R atm
mol K
 8 31 10 2, .
.
 n=1mol
Solução:
a)
Isotérmica
T1 = T2 P1 . V1 = P2 .V2
W P V
V
V
isot rmica
12 1 1
2
1
é 




. .ln P .V = n . R . T
W n R T
V
V
isot rmica
12
2
1
é 




. . .ln Wisot rmica12 1 0 0831 1000
20
10
é  



. , . .ln
W atmisot rmica12 57 6
é = , . U Q Wisot rmica isot rmica isot rmica12 12 12
é é é 
Uisot rmica12 0
é  Q Wisot rmica isot rmica12 12
é é= 
Q atmisot