Lista - limites - UFRJ - Prof

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
Lista - imites - UFRJ - Prof. Rodrigo Cardoso - Q3 e Q8 - Resolvida
 
3) Determine os valores de a e b de modo que:
 
- ax = 0lim
 
x +∞ →
2x + bx + 3
x + 1
2
 Resolução:
 
Desenvolvendo a expressão:
 
- ax = =
2x + bx + 3
x + 1
2 2x + bx + 3 - ax x + 1
x + 1
2 ( ) 2x + bx + 3 - ax - ax
x + 1
2 2
 
= =
2x - ax + bx - ax + 3
x + 1
2 2 x ⋅ 2 - a + x ⋅ b - a + 3
x + 1
2 ( ) ( )
 
Assim, o limte fica: = 0lim
 
x +∞ →
x ⋅ 2 - a + x ⋅ b - a + 3
x + 1
2 ( ) ( )
 
Perceba que a única forma de o limite acima tender a zero é termos: 
 
2 - a = 0 e b - a = 0
 
 -a = -2 a = 2→
 
 b - 2 = 0 b = 2→
 
8) Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico das
funções abaixo:
 
a) f x =( )
x²
4- x2
 
 Resolução:
 
Assintotas Horizontais:
 
 
 
Para verificar se há assintotas horizontais é preciso estudar o limite da função tendendo para 
o infinito;
 
= = = = = = - 1lim
 
x ±∞ →
x²
4 - x2
lim
 
x ±∞ →
x²
x - x2
4
x2
2
lim
 
x ±∞ →
1
- 1
4
x2
1
- 1
4
±∞ 
1
0 - 1
1
-1
 
Assim, -1 é uma assintota horizontal
 
Assintotas Verticais:
 
Para verificar se há assintotas verticais é preciso estudar o limite da função tendendo para 
as raízes do denominador;
 
Raízes → 4 - x = 0 -x = - 4 x = 4 x = ± x = ±22 → 2 → 2 → 4 →
 
Devemos estudar o limite da função quando esta tende para 2 e -2 pela esquerda e pela 
direita:
 
 perceba que quando x fica muito próximo de 2 pela direita, a função tende a -∞lim
 
x 2 → +
x²
4 - x2
→
 Para verifcar isso basta substituir valores pouco acima de 2, como : 2, 01;(
 2, 0001; 2, 00001)
 
 perceba que quando x fica muito próximo de 2 pela esquerda, a função tende lim
 
x 2 → -
x²
4 - x2
→
 a +∞ Para verifcar isso basta substituir valores pouco abaixo de 2, como : 1, 99;(
 1, 99999; 1, 9999999)
 
 perceba que quando x fica muito próximo de - 2 pela direita, a função tendelim
 
x -2 → +
x²
4 - x2
→
 a +∞ Para verifcar isso basta substituir valores pouco acima de - 2, como :(
 -1, 99; - 1, 99999; -1, 9999999)
 
 perceba que quando x fica muito próximo de - 2 pela esquerda, a função tende lim
 
x -2 → -
x²
4 - x2
→
 a -∞ Para verifcar isso basta substituir valores pouco abaixo de - 2, como : (
 -2, 01; - 2, 0001; -2, 00001)
 
Assim, -2 e 2 são uma assintota verticais
 
 
 
Os resultados encontrados podem ser verificados no gráfico abaixo:
 
 
b) f x =( )
4x²
x - 22
 
 Resolução:
 
Assintotas Horizontais:
 
Para verificar se há assintotas horizontais é preciso estudar o limite da função tendendo para 
o infinito;
= = =lim
 
x ±∞ →
4x²
x - 22
lim
 
x ±∞ →
4x²
x 1 -2
2
x2
lim
 
x ±∞ →
4x²
x 1 -
2
x2
lim
 
x ±∞ →
4x²
x 1 -
2
x2
 
 
 
= = = = = = +∞lim
 
x ±∞ →
4x
1 -
2
x2
4 ±∞( )
1 -
2
±∞( )2
+∞
1 - 0
+∞
1
+∞
1
 
Como o limite tende para o infinito, não há assintotas horizontais
 
Assintotas Verticais:
 
Para verificar se há assintotas verticais é preciso estudar o limite da função tendendo para 
as raízes do denominador;
 
Raízes → = 0 = 0 x - 2 = 0 x = 2 x = ±x - 22 → x - 22
2
( )2 → 2 → 2 → 2
 
Devemos estudar o limite da função quando esta tende para pela direita e quando 2
tende a pela esquerda, já que o domínio da função é R - :- 2 - ; ] 2 2 [
perceba que quando x fica muito próximo de pela direita, a função tendelim
 
x → 2
+
4x²
x - 22
→ 2
 a +∞ Para verifcar isso basta substituir valores pouco acima de , como : ( 2
 ; ; 2, 01 2, 0001 2, 00001)
 
 perceba que quando x fica muito próximo de - pela esquerda, a funçãolim
 
x - → 2
-
4x²
x - 22
→ 2
 tende a +∞ Para verifcar isso basta substituir valores um pouco abaixo de (
 - , como : - ; - ; -2 2, 01 2, 0001 2, 00001)
 
Assim, - e são uma assintota verticais2 2
 
Os resultados encontrados podem ser verificados no gráfico abaixo:
 
 
 
 
c) f x =( )
x
x + 12
 
Resolução:
 
Assintotas Horizontais:
 
Para verificar se há assintotas horizontais é preciso estudar o limite da função tendendo para 
o infinito;
= = =lim
 
x ±∞ →
x
x + 12
lim
 
x ±∞ →
x
x 1 +2
1
x2
lim
 
x ±∞ →
x
±x 1 +
1
x2
lim
 
x ±∞ →
x
±x 1 +
1
x2
 
= = = = = = ± 1lim
 
x ±∞ →
1
± 1 +
1
x2
1
± 1 +
1
±∞( )2
1
± 1 - 0
1
± 1
1
±1
 
Assim, -1 e +1 são assintotas horizontais
 
Assintotas Verticais:
 
 
 
Para verificar se há assintotas verticais é preciso estudar o limite da função tendendo para 
as raízes do denominador;
 
Raízes: 
= 0 = 0 x + 1 = 0 x = - 1 Não existe raíz real!x + 12 → x + 12
2
( )2 → 2 → 2 →
 
Assim, não há assintotas verticais
 
Os resultados encontrados podem ser verificados no gráfico abaixo:
 
 
d) f x = -( )
1
x
1
2+ x
1
2
 
Resolução:
 
Assintotas Horizontais:
 
Para verificar se há assintotas horizontais é preciso estudar o limite da função tendendo para 
o infinito;
 
 
 
- = ⋅ - = ⋅ - = 0 ⋅ 0 -lim
 
x ±∞ →
1
x
1
2 + x
1
2
lim
 
x ±∞ →
1
x
lim
 
x ±∞ →
1
2 + x
1
2
1
±∞
1
2 +±∞
1
2
1
2
 
= 0 ⋅ - = 0
1
2
 
Assim, 0 é uma assintota horizontal
 
Assintotas Verticais:
 
Para verificar se há assintotas verticais é preciso estudar o limite da função tendendo para 
as raízes do denominador;
 
Raízes: x + 2 = 0 x = -2; x = 0→
 
Devemos estudar o limite da função quando esta tende para 0 e -2 pela esquerda e pela 
direita:
 
- perceba que quando x fica muito próximo de 0 pela direita, a funçãolim
 
x 0+ →
1
x
1
2 + x
1
2
→
 tende a +∞ Para verifcar isso basta substituir valores pouco acima de 0,(
 como : 0, 01; 0, 0001; 0, 00001)
 
- perceba que quando x fica muito próximo de 0 pela esquerda, a funçãolim
 
x 0 → -
1
x
1
2 + x
1
2
→
 tende a +∞ Para verifcar isso basta substituir valores pouco abaixo de 0,(
 como : - 0, 01; -0, 0001; -0, 00001)
 
- perceba que quando x fica muito próximo de - 2 pela direita, a função lim
 
x -2 → +
1
x
1
2 + x
1
2
→
 tende a +∞ Para verifcar isso basta substituir valores pouco acima de (
 -2, como : - 1, 99; - 1, 99999; -1, 9999999)
 
 perceba que quando x fica muito próximo de - 2 pela esquerda, a função tende lim
 
x -2 → -
x²
4 - x2
→
 a -∞ Para verifcar isso basta substituir valores pouco abaixo de - 2, como : (
 -2, 01; - 2, 0001; -2, 00001)
 
 
 
Assim, -2 e 0 são assintotas horizontais
 
Os resultados encontrados podem ser verificados no gráfico abaixo:
 
 
Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas