teorico (1)

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Modelos Probabilísticos 
Aplicados à Engenharia
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Brena Silva
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
Variáveis Aleatórias e 
Distribuições de Probabilidade
 
 
• Determinar a probabilidade a partir de funções de probabilidades contínuas e discretas 
e vice-versa;
• Calcular médias e variâncias para variáveis aleatórias discretas e contínuas.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Variáveis Aleatórias;
• Variáveis Aleatórias Discretas;
• Variáveis Aleatórias Contínuas 
e Funções Densidade de Probabilidade.
UNIDADE Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
Variáveis Aleatórias
Ao descrever o espaço amostral de um experimento, não especificamos que um re-
sultado individual necessariamente seja número. De fato, apresentamos alguns exemplos 
nos quais os resultados do experimento não eram uma quantidade numérica. Por exem-
plo, imaginemos os bens manufaturados nos processos de produção. Podemos fazer 
inspeção e avaliá-los utilizando as categorias intituladas defeituoso e não defeituoso. 
Neste caso, estamos categorizando os bens e precisamos avaliar a confiabilidade desses 
resultados em termos de variáveis e distribuição de probabilidade.
Podemos citar outro exemplo: suponha que queremos avaliar o limite máximo de 
componente químico em um suco de caixinha. Neste caso, deveremos ter limites de es-
pecificação para considerarmos a aprovação ou rejeição da avaliação desse item. Além 
disso, podemos atribuir o valor 1 aos sucos perfeitos e o valor 0 aos sucos que extrapo-
larem os limites de especificação.
Para descrever um experimento aleatório é conveniente associar valores numéricos 
aos seus resultados. Como os eventos que ocorrem quando se realizam experimentos 
aleatórios variam a cada realização dos mesmos, variarão também os valores numéricos 
que lhes são associados.
Assim, vejamos a situação proposta por Dantas (2013):
Consideremos uma moeda, cujos lados podem ser cara (C) ou coroa ( )C . A moeda 
é lançada duas vezes e o espaço amostral é o conjunto { }, , ,CC CC CC CC . Seja X a 
função definida no espaço amostral que é igual ao número de vezes de caras nos dois 
lançamentos, temos:
Tabela 1
Espaço amostral Valores de X
CC 2
CC 1
CC 1
CC 0
A correspondência entre os pontos do espaço amostral e os valores da variável X 
também pode ser expressa da seguinte maneira: ( ) 2, ( ) 1, ( ) 1X CC C CC X CC= = =
e ( ) 0X CC = .
Observe que para cada situação experimental desejamos atribuir um número real x 
a todo elemento s do espaço amostral S. Isto é, x = X (s) é o valor de uma função X do 
espaço amostral no espaço dos números reais. 
Seja ε um experimento e S um espaço amostral associado ao experimento. Uma 
função X, que associe a cada elemento s ∈ S é um número real, X(s), sendo denominada 
variável aleatória, conforme apresenta a Figura 1:
X
X (s)s
Figura 1 – Cada s ∈ S corresponderá exatamente a um valor X(s)
Fonte: Adaptado de MEYER, 2003
8
9
Podemos considerar os valores possíveis de X como outro espaço amostral. O espaço 
amostral S (original) corresponde ao resultado do experimento (possivelmente número 
não numérico), enquanto o espaço amostral formado pelos possíveis valores de X cor-
responde ao espaço associado à variável aleatória X e representa a característica numé-
rica que poderá nos interessar. Podemos chamar esse espaço de contradomínio.
Ou seja, podemos definir uma variável aleatória como uma função definida num es-
paço amostral, que assume valores reais.
Segundo Montgomery e Runger (2018), uma variável aleatória é denotada por uma 
letra maiúscula, tal como X. Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido 
da variável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal como x = 2.
Podemos apresentar alguns exemplos de variáveis aleatórias (DANTAS, 2013):
• Número de partículas radioativas desintegradas em um dado intervalo de tempo;
• Número de veículos que passam por um posto de pedágio durante uma hora;
• Duração de um componente de um circuito;
• Tempo de vida até a fadiga de um cabo de aço;
• Nível de água em uma represa num dado instante;
• Número de primogênitos do sexo masculino em dez famílias.
Variáveis Aleatórias Discretas
• Definição: segundo Meyer (2003), uma variável aleatória discreta pode ser enten-
dida como o número de valores possíveis de X, quando esse número de valores for 
finito ou infinito numerável ; 
• Exemplos de variáveis aleatórias discretas: número de arranhões em uma su-
perfície, proporção de partes defeituosas entre 1.000 testadas, número de bits
transmitidos que foram recebidos com erro.
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018)
O tempo para recarregar o flash é testado em três câmeras de telefones celulares. 
A probabilidade de uma câmera passar no teste é de 0,8; as câmeras trabalham inde-
pendentemente. Qual é a probabilidade de a primeira e segunda câmeras passarem no 
teste e a terceira falhar?
Resolução
Uma vez que as câmeras são independentes, a probabilidade de a primeira e segunda 
câmeras passarem no teste e de a terceira falhar, denotada por ppf, é:
( ) ( )( )( )0,8 0,8 0,2 0,128P ppf = =
9
UNIDADE Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
O espaço amostral para o experimento e as probabilidades associadas são mostrados 
na Tabela 2:
Tabela 2 – Teste de flashs de câmeras
Câmera 1 Câmera 2 Câmera 3 Probabilidade X
Passa Passa Passa 0,512 3
Falha Passa Passa 0,128 2
Passa Falha Passa 0,128 2
Falha Falha Passa 0,032 1
Passa Passa Falha 0,128 2
Falha Passa Falha 0,032 1
Passa Falha Falha 0,032 1
Falha Falha Falha 0,008 0
Fonte: MONTGOMERY; RUGER (2018)
Podemos compreender a probabilidade de variáveis aleatórias discretas por meio de 
sua distribuição de probabilidade, a qual descreve o comportamento aleatório de um 
determinado fenômeno em estudo.
Distribuição de Probabilidades e Funções de Probabilidade
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta X, definida 
em um espaço amostral S, é uma tabela que associa a cada valor de X a sua probabi-
lidade (DANTAS, 2013). Segundo Montgomery e Ruger (2018), a distribuição de pro-
babilidades de uma variável aleatória X é uma descrição das probabilidades associadas 
aos valores possíveis de X. Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é fre-
quentemente especificada por apenas uma lista de valores possíveis, juntamente com a 
probabilidade de cada um. 
Em alguns casos, é conveniente expressar a probabilidade em termos de uma fórmula. 
Por exemplo, por meio do estudo do comportamento das probabilidades resultantes de 
experimentos, podemos padronizar uma fórmula comum a essa distribuição. Veremos, 
em outras oportunidades, as distribuições de probabilidades discretas como, por exem-
plo, a distribuição binomial, distribuição de Poisson etc.
A compreensão dos resultados de probabilidade, relacionados ao experimento de 
flash de três câmeras, apresentada na Tabela 2, é um exemplo de distribuição de proba-
bilidade. A Tabela 2 apresenta o espaço amostral associado à sua probabilidade. 
Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013)
Considere o evento de retirarmos três peças de uma linha de produção e verificarmos 
se cada uma delas é aprovada (A) ou defeituosa (D). O espaço amostral é o conjunto 
{AAA, AAD, ADA, ADD, DAA, DAD, DDA, DDD}. Suponha que a fração de peças 
boas que é produzida é 0,9 e que a fração de defeituosas é, portanto, 0,1. Suponha 
ainda que as retiradas podem ser consideradas independentes. Elabore a distribuição de 
probabilidade para este exemplo.
10
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Resolução
Podemos calcular que a probabilidade de que duas peças sejam defeituosas é igual a 
P (X = 2), que será igual a:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )2
2
0,9 0,1 0,1 0,1 0,9 0,1 0,1 0,1 0,9
3 0,9 0,1
P X P ADD P DAD P DDA= = + +
= + +
= ×
Com este mesmo raciocínio, podemos estimar as probabilidades de não haver peças 
defeituosas, de ter somente uma peçadefeituosa, ou de ter as três peças defeituosas.
Assim, determinaremos a distribuição de probabilidade da variável aleatória X, que 
dá o número de peças defeituosas no exemplo, de modo que precisamos conhecer a 
probabilidade definida no espaço amostral, conforme a Tabela 3:
Tabela 3
Valores de X Pontos amostrais Probabilidades
0 AAA (0,9)3
1 AAD, ADA, DAA 3(0,9)2 (0,1)
2 ADD, DAD, DDA 3(0,9) (0,1)2
3 DDD (0,1)3
Uma distribuição de probabilidade é o conjunto de valores de X que pertencem ao 
subconjunto do espaço amostral.
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018)
Há uma chance de que um bit transmitido por meio de um canal de transmissão 
digital seja recebido com erro. Seja X o número de bits com erro nos quatro próximos 
bits transmitidos. Os valores possíveis para X são {0, 1, 2, 3, 4}. Baseando-se em um 
modelo para os erros (que será apresentado na seção seguinte), as probabilidades para 
esses valores serão determinadas. Suponha que as probabilidades sejam:
( )
( )
( )
( )
( )
0 0,6561
1 0,2916
2 0,0486
3 0,0036
4 0,0001
P X
P X
P X
P X
P X
= =
= =
= =
= =
= =
A distribuição de probabilidades de X é especificada pelos valores possíveis, junta-
mente com a probabilidade de cada um. Uma descrição gráfica da distribuição de pro-
babilidades de X é mostrada na Figura 2:
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UNIDADE Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
0,0036
0,0486
0,2916
0,6561
f (x)
0,0001
0 1 2 3 4 x
Figura 2 – Gráfico para a distribuição de bits
Fonte: Adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018
• Interpretação prática: um experimento aleatório pode frequentemente ser resu-
mido com uma variável aleatória e sua distribuição. Os detalhes do espaço amostral 
geralmente podem ser omitidos.
Para uma variável aleatória discreta X, sua distribuição pode ser descrita por uma 
função de probabilidade de cada um dos valores discretos possíveis para X. Segundo 
Montgomery e Ruger (2018), para uma variável aleatória discreta X, com valores possí-
veis x1, x2… xn, a função de probabilidade é tal que:
1 0� � � � �f xi
2 1
1
� � � � �
�
�
i
n
if x
3� � � � � �� �f x P X xi i
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018)
O distribuidor de uma máquina para estudo de cromossomos desenvolveu um novo 
modelo. A companhia estima que quando for introduzida no mercado, haverá grande 
sucesso, com probabilidade de 0,6, sucesso moderado com probabilidade de 0,3, ou 
nenhum sucesso com probabilidade de 0,1. O lucro anual estimado associado ao mo-
delo tendo muito sucesso é US$ 15 milhões, e para aquele de sucesso moderado é 
US$ 5 milhões; nenhum sucesso resultará em um prejuízo de US$ 500.000. Seja X o 
lucro anual do novo modelo, determine a função de probabilidade de X.
Resolução
A função de probabilidade é a determinação das possíveis probabilidades da variável 
X = lucro anual do novo modelo:
P (X = 15) = 0,6 
P (X = 5) = 0,3
P (X = –0,5) = 0,1
12
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Um método alternativo para descrever uma distribuição de probabilidade de uma 
variável aleatória é usar probabilidades cumulativas, tal como P (X ≤ x). Além disso, 
probabilidades cumulativas podem ser usadas para encontrar a função de probabilidade 
de uma variável discreta. Para uma variável aleatória discreta satisfaz as seguintes pro-
priedades (MONTGOMERY; RUNGER, 2018):
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2 0 1
3 ,
i
i
x x
F x P X x f x
F x
Se x y então F x F y
≤
= ≤ =
≤ ≤
≤ ≤
∑
Esperança Matemática, Variância e
Desvio-Padrão de Variável Aleatória Discreta
A esperança matemática de uma variável aleatória discreta X, definida em um espa-
ço amostral S, no qual está definida uma probabilidade P é dada por (DANTAS, 2013):
( ) ( ) ( )
 S
E X X P
ω
ω ω
∈
= ∑
Assumindo valores xi, com as respectivas probabilidades P [X = xi], para i = 1, 2...,, 
dada por (DANTAS, 2013): 
( ) [ ]
1
i i
i
E X x P X x
∞
=
= =∑
Segundo Montgomery e Runger (2018), a esperança matemática é também chamada 
de valor esperado ou média (µ). A média de uma variável aleatória X é uma média 
ponderada dos valores possíveis de X, com pesos iguais às probabilidades. Se f (x) é a 
função de probabilidade de uma carga em uma longa e delgada viga, E (X) é o ponto no 
qual a viga se equilibra. Logo, E (X) descreve o “centro” da distribuição de X, em uma 
maneira similar ao ponto de equilíbrio de uma carga.
Se as esperanças das variáveis aleatórias X e Y existem, então, existe a esperança 
X + Y e se c é uma constante, tem-se:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
E X Y E X E Y
E cX cE X
+ = +
=
Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013)
Uma loteria vende 100 bilhetes. O preço de cada bilhete é R$ 1,20 e o bilhete sor-
teado paga um prêmio de R$ 100,00. Você compra um bilhete. Qual é a esperança de 
seu ganho?
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UNIDADE Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
Resolução
Designemos por X a variável aleatória que é igual ao seu ganho. X assume o valor 
-R$ 1,20 com a probabilidade 0,99 e R$ 98,80 com probabilidade 0,01. Temos para a 
esperança de X:
( ) 1,20 0,99 98,80 0,01 0,20E X = − × + × = −
A variância e o desvio-padrão de uma variável aleatória X são medidas de dispersão 
ou espalhamento nos valores possíveis para X. A variância de X usa o peso f(x) como o 
multiplicador de cada desvio quadrático possível (x − μ)². Já a variância é denotada por 
(MONTGOMERY; RUNGER, 2018):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2
x x
V X E X x f x x f xσ µ µ µ= = − = − = −∑ ∑
Já o desvio-padrão é dado por:
2σ σ=
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUNGER, 2018)
Dois novos projetos de produto devem ser comparados, baseando-se no potencial de 
retorno. O setor de comercialização (marketing) sente que o retorno do Projeto A pode 
ser previsto bem acuradamente como US$ 3 milhões. O potencial de retorno do Projeto 
B é mais difícil de estimar. O setor de comercialização conclui que há probabilidade de 
0,3 de que o retorno do Projeto B seja de US$ 7 milhões, mas há probabilidade igual a 
0,7 de que o retorno seja de apenas US$ 2 milhões. Qual projeto você prefere?
Resolução
Seja X o retorno do Projeto A. Em razão da certeza no retorno do Projeto A, pode-
mos modelar a distribuição da variável aleatória X como US$ 3 milhões, com probabili-
dade igual a 1. Por conseguinte, E (X) = 3 milhões de dólares.
Seja Y o retorno do Projeto B. O valor esperado de Y, em milhões de dólares, é:
( ) ( ) ( )7 0,3 2 0,7 $ 3,5E Y US= + =
Pelo fato de E (Y) exceder E (X), poderíamos preferir o Projeto B. No entanto, a 
 variabilidade do resultado do Projeto B é maior. Ou seja:
( ) ( ) ( ) ( )2 7 3,5 2 0,3 2 3,5 2 0,7 5,25 milhões de dólares quadradosσ = − + − =
Em virtude de as unidades das variáveis neste exemplo serem em milhões de dólares 
e por causa da variância de uma variável aleatória ser o quadrado dos desvios em relação 
14
15
à média, as unidades de s² serão milhões de dólares ao quadrado. Essas unidades tornam 
a interpretação difícil. Pelo fato de as unidades do desvio-padrão serem as mesmas uni-
dades da variável aleatória, o desvio-padrão s é mais fácil de interpretar. Neste exemplo, 
podemos resumir os nossos resultados como o desvio médio de Y em relação à sua 
média é de US$ 2,29 milhões.
Variáveis Aleatórias Contínuas e
Funções Densidade de Probabilidade
Suponha que o contradomínio de X seja formado por um número finito muito gran-
de de valores, digamos todos os valores x no intervalo 0 ≤ x ≥ 1, da seguinte forma: 0; 
0,0001; 0,003; 0,02…; 0,981; 0,99; 1,00. A cada um desses valores está associado um 
número não negativo p (xi) = P (X = xi), i = 1,2 ..., cuja soma é igual a 1. Assim, defi-
nimos que X é uma variável aleatória contínua, se existir uma função f, denominada 
função de densidade de probabilidade (fdp) de X que satisfaça às seguintes condições 
(MEYER, 2003): 
• ( ) 0f x ≥ para todo x;
• ( ) 1f x dx
+∞
−∞
=∫ ;
• Para quaisquer a, b, com a b−∞ < < < +∞ , teremos ( ) ( )
a
b
P a X b f x dx≤ ≤ = ∫ .
Essa definição expressa as propriedades de estudarmos um fenômeno em que não há 
interesse em contar os valores em estudo, comoé o caso das variáveis discretas. Em vez 
disso, queremos determinar o(s) intervalo(s) de valor(es). Por exemplo: podemos estar 
interessados em avaliar produtos por meio da análise do seu comprimento. Neste caso, 
haverá um intervalo de medidas considerado aceitável. Os resultados que estão fora des-
se intervalo serão considerados inaceitáveis. 
As variáveis aleatórias contínuas, como o tempo de duração de uma chamada telefô-
nica, o tempo de vida de uma lâmpada ou a altura da água em uma represa num dado 
instante assumem valores na reta ou em intervalos da reta. Assim, em vez de se atribuir, 
como no caso discreto, probabilidades aos valores da variável, pode-se atribuir probabili-
dades a intervalos de valores da variável contínua por meio de uma função que descreve 
a densidade de probabilidade (DANTAS, 2013).
• Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica, comprimento, 
pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.
Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013) 
Seja f (x) = x para 0 ≤ x ≤ 1, f (x) = 2 – x para 1 ≤ x ≤ 2 e 0 no complementar, 
conforme apresenta o gráfico da Figura 3, calcule as probabilidades P [0 ≤ X ≤ 0,8] e 
P [0,3 ≤ X ≤ 1,5]..
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UNIDADE Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
f (x)
0 0,3 1,0 1,5 2,0
Figura 3 – Gráfico do intervalo de f(x)
Fonte: Adaptado de DANTAS, 2013
Resolução
Para o cálculo das probabilidades, utilizaremos as funções f (x) = x para 0 ≤ x ≤1, f 
(x) = 2 – x para 1 ≤ x ≤ 2. Se estivermos interessados em saber os valores de x entre 0 
e 1, utilizaremos f (x) = x. Caso estejamos interessados em saber o valor de x entre 1 e 
2, utilizaremos f (x) = 2 – x. Assim, temos:
[ ] ( )
[ ] ( )
0,80,8
00
1,51
0,3 1
1,51 2
1,5
1
0,3 1
0,8 ²²0 0,8 0,32
2 2
0,3 1 ,5 2
² 2 0,83
2 2
xP X xdx
P X xdx x dx
x xx
≤ ≤ = = = =
≤ ≤ ≤ = + − =
= + − =
∫
∫ ∫
Exemplo (adaptado de MEYER, 2003)
Seja X a duração da vida (em horas) de um certo tipo de lâmpada. Admitindo que X 
seja uma variável aleatória contínua, suponha-se que a fdp f de X seja dada por:
( ) 3/ ,1500 2500,
0, 
f x a x x
para quaisquer outros valores
= ≤ ≤
=
Calcule o valor de a.
Resolução
Para calcular a constante a, recorremos à condição ( ) 1f x dx
∞
−∞
=∫ , que neste caso se 
torna ( )
2500
3
1500
/ 1a x dx =∫ .
Para calcularmos a, devemos solucionar a integral:
( )
2500
3
1500
25002
1500
/ 1
1
2
7.031.250
a x dx
xa
a
−
=
− =
=
∫
16
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Funções de Distribuição Cumulativa
A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória contínua X é:
( ) ( ) ( )
x
F x P X x f u du
−∞
= ≤ = ∫
Para x−∞ < < ∞ .
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018)
Seja a variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida 
em miliampères. Suponha que a faixa de X seja [4,9; 5,1 mA] e considere que a função 
densidade de probabilidade de X seja f (x) = 5 para 4,9 ≤ x ≤ 5,1. Qual é a probabilidade 
de uma medida da corrente ser menor que 5 miliampères? 
Resolução
A função densidade de probabilidade é mostrada na Figura 4:
5
4,9 5,1 x
f (x)
Figura 4 – Função densidade do exemplo
Fonte: Adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018
É suposto que f (x) = 0, onde quer que ela não esteja definida especificamente. A pro-
babilidade requerida é indicada pela área sombreada na Figura 4. 
Para este exemplo, a função de distribuição cumulativa da variável aleatória X
consiste em três expressões:
( )
( ) ( )
( ) ( )
4,9
4,9
0
5 24,5 4,9 5,1
1 5,1
4,9
x
x
F x f u du x para x
F x f u du para x
f x para x
= = − ≤ <
= =
=
≥
<
∫
∫
17
UNIDADE Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
Por conseguinte:
( )
0 4,9
5 24,5 4,9 5,1
1 5,1
x
F x x x
x
<
= − ≤ <
 ≥
O gráfico de F (x) é mostrado na Figura 5:
1
0 20 x
f (x)
Figura 5 – Função distribuição cumulativa
Fonte: Adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018
Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Contínuas
Para introduzir o conceito de esperança para variáveis aleatórias contínuas, considera-
remos uma variável aleatória X com densidade de probabilidade, conforme Dantas (2013):
( )
2 , 0 5
2 4 , 0,5 2
3 3
 0, 
x para x
f x x para x
nocomplementar
 ≤ ≤= − + ≤ ≤


Elaboraremos o gráfico dessa densidade e espalharemos na Figura 6 delimitada pelo 
mesmo eixo das abscissas uma massa unitária:
x0,2
f (x)
0,6 1,0 1,4 1,8
Figura 6 – Dados do exemplo
Fonte: Adaptado de DANTAS, 2013
18
19
É possível construir variáveis aleatórias discretas que aproximam esta variável contí-
nua X. O sentido da aproximação ficará claro à medida que avançarmos. Dividiremos 
o conjunto de valores de X em cinco partes iguais, de comprimento 0,4 (considere o 
intervalo [0,2], conforme a Figura 3.
As probabilidades associadas a esses valores serão iguais às áreas dos retângulos 
cujas bases são iguais ao comprimento dos intervalos e cujas alturas traçadas nos pontos 
médios dos intervalos são iguais ao valor das densidades nesses pontos. 
No ponto 0,2, o valor da altura é f (0,2) = 2(0,2) = 0,4. Nos demais pontos, a expressão 
da densidade é ( ) 2 4
3 3
f x x= − + . Assim, substituindo os valores 0,6; 1,0; 1,4; 1,8 nessa 
expressão, obtemos para essas alturas 0,93; 0,66; 0,4; 0,13. Como as probabilidades des-
ses valores são iguais às áreas dos retângulos, temos, para a distribuição de probabilidade:
Tabela 4
Valores de X5 Probabilidades
0,2 0,160
0,6 0,372
1,0 0,264
1,4 0,160
1,8 0,052
Podemos calcular a esperança da variável X pela fórmula E(X) das variáveis discretas:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
5 0, 2 0,16 0,6 0,372 1,0 0,264
1,4 0,16 1,8 0,052
0,836
E X = + +
+ + =
=
Podemos dividir o espaço em dez partes iguais e repetir o procedimento. Ainda, 
podemos construir uma sequência de aproximações, tomando um número de divisões 
cada vez maior, de modo que os comprimentos dos intervalos tendam a zero. Segundo 
Dantas (2013), analisando este exemplo, pode-se perceber que, quando o número de 
divisões é grande, o histograma da variável discreta é bastante próximo da densidade de 
probabilidade da variável original X e as esperanças dessas variáveis discretas, que são 
somas do tipo [ ]i i
i
x P X x=∑ , aproximam-se da integral definida de xf (x), onde f (x) é 
a densidade de probabilidade de X.
A esperança de uma variável aleatória X, com densidade de probabilidade f (x) é 
dada por:
( ) ( )E X xf x dx
∞
−∞
= ∫
19
UNIDADE Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013)
Calcule a esperança da variável aleatória X cuja densidade de probabilidade é dada por:
( )
2 , 0 5
2 4 , 0,5 2
3 3
0, 
x para x
f x x para x
nocomplementar
≤ ≤
= − + ≤ ≤


Resolução
( )
0,5 2
0 0,5
0,5 2 2
0 0,5 0,5
2 42
3 3
³ 2 ³ 4 ²2
3 3 3 3 2
1 63 2 1 304 0,8333.
12 36 3 4 36
E X x xdx x x dx
x x x
 = + − + = 
 
 = + − + = 
 
 = − + − = = 
 
∫ ∫
A variância de X de uma variável aleatória contínua é dada por:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 ²
V X x f x dx
V X x f x dx
σ µ
σ µ
∞
−∞
∞
−∞
= = − =
= = −
∫
∫
Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018)
Seja a variável aleatória contínua X o diâmetro de um orifício perfurado em uma pla-
ca metálica. O diâmetro-alvo é de 12,5 milímetros. A maioria dos distúrbios aleatórios 
no processo resulta em diâmetros maiores. Dados históricos mostram que a distribuição 
de X pode ser modelada por uma função densidade de probabilidade f (x) = 20e–20(x–12,5), 
para x ≥ 12,5. Calcule a média e variância.
Resolução
A média é igual a:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
20 12,5
12,5
20 12,5
20 12,5
12,5
22
12,5
2 20 12,5
12,5
20
12,5 0,05 12,55
20
12,55
20 12,55 ²
x
x
x
x
E X x e dx
eE X xe
V X x fxdx
x e dx
µ
σ
∞
− −
∞− −
− −
∞
∞
− −
= = =
= − − = + =
= = − =
= − =
∫
∫
∫20
21
A variância de X é:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
20 12,5
12,5
20 12,5
20 12,5
12,5
22
12,5
2 20 12,5
12,5
20
12,5 0,05 12,55
20
12,55
20 12,55 ²
x
xx
x
E X x e dx
eE X xe
V X x fxdx
x e dx
µ
σ
∞
− −
∞− −
− −
∞
∞
− −
= = =
= − − = + =
= = − =
= − =
∫
∫
∫
Esta integral deve ser desenvolvida por partes e encontramos que:
( ) 0,0025V X =
21
UNIDADE Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Integral indefinida de e^-x
https://youtu.be/7FBWdGhcJUM
Integral por partes de x e^x dx
https://youtu.be/5HVzQflfFnU
Variáveis Aleatórias – Distribuição Uniforme
https://youtu.be/vjtFJxHo2Tw
 Leitura
Noções de probabilidade
https://bit.ly/335pcfZ
Probabilidade, variáveis aleatórias, distribuição de probabilidades e geração aleatória
https://bit.ly/3nRny9Q
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Referências
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 3. ed. São Paulo: Edusp, 2013. 
MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para 
engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
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