Capitulo 9 - Transformacoes Canonicas -TC

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Capítulo 9 – Transformações Canônicas 
 
As Equações de Hamilton e as respectivas Equações de Lagrange têm 
o mesmo grau de dificuldade de solução matemática das equações 
diferenciais correspondentes. 
Entretanto, podemos pensar em uma transformação matemática no 
espaço de fase {𝑞𝑘, 𝑝𝑘} para novas coordenadas generalizadas e momentos 
conjugados {𝑄𝑘 , 𝑃𝑘}. As transformações matemáticas de interesse Físico 
serão aquelas que preservem as E.H. e explorem a existência de variáveis 
cíclicas. Note que no capítulo anterior só fizemos transformações no espaço 
das configurações 𝑞𝑘 → 𝑄𝑘. 
Uma transformação é chamada canônica se existem 2𝑛 funções 
invertíveis * 
𝑄𝑘 = 𝑄𝑘(𝑞, 𝑝, 𝑡) 𝑒 𝑃𝑘 = 𝑃𝑘(𝑞, 𝑝, 𝑡) 𝑘 = 1,… , 𝑛 (9.1) 
e que seja possível encontrar uma função 𝐾(𝑄, 𝑃, 𝑡) tal que ela 
satisfaça às E.H. , isto é, 
�̇�𝑘 =
𝜕𝐾
𝜕𝑃𝑘
 𝑒 �̇�𝑘 = −
𝜕𝐾
𝜕𝑄𝑘
 𝑘 = 1,… , 𝑛 (9.2) 
A função 𝐾(𝑄, 𝑃, 𝑡) é chamada Hamiltoniana Modificada ou ainda, 
por brevidade, Kamiltoniana 
 Obviamente, tanto as variáveis originais como as canônicas precisam 
obedecer ao Princípio de Hamilton Modificado 
𝛿 ∫[𝑝𝑘�̇�𝑘 −𝐻(𝑞, 𝑝, 𝑡)]𝑑𝑡 = 0 𝑒 
𝑡2
𝑡1
𝛿 ∫[𝑃𝑘�̇�𝑘 − 𝐾(𝑄, 𝑃, 𝑡)]𝑑𝑡 = 0 (9.3) 
𝑡2
𝑡1
 
 Lembramos, que em 𝑡1 e 𝑡2 os extremos têm variação nula, isto é, 
𝛿𝑞𝑘(𝑡1) = 𝛿𝑞𝑘(𝑡2) = 0 𝑒 𝛿𝑝𝑘(𝑡1) = 𝛿𝑝𝑘(𝑡2) = 0 (9.3𝑎) 
𝛿𝑄𝑘(𝑡1) = 𝛿𝑄𝑘(𝑡2) = 0 𝑒 𝛿𝑃𝑘(𝑡1) = 𝛿𝑃𝑘(𝑡2) = 0 (9.3𝑏) 
* Nas expressões acima utilizamos notação compacta, substuindo os 2 
conjuntos de 2𝑛 variáveis por (𝑞, 𝑝) e (𝑄, 𝑃). Também passamos a usar a 
notação de Einstein em que índices repetidos estão somados. 
2 
 
Obviamente, os integrandos em (9.3) não precisam ser iguais. A 
solução mais geral possível é quando os integrandos diferem por uma 
derivada total no tempo de uma função que mistura 2 variáveis (uma antiga 
e uma nova) do conjunto (𝑞, 𝑄, 𝑝, 𝑃) e do tempo 𝑡 e uma escala 𝛽 
 𝛽[𝑝𝑘�̇�𝑘 −𝐻(𝑞, 𝑝, 𝑡)] = [𝑃𝑘�̇�𝑘 − 𝐾(𝑄, 𝑃, 𝑡)] +
𝑑𝐹(𝑞,𝑄,𝑝,𝑃,𝑡)
𝑑𝑡
 (9.4) 
A variação de (9.4), usando (9.3), conduz à variação da integral 
𝛿 ∫
𝑑𝐹
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
= 𝛿𝐹[(𝑞, 𝑄, 𝑝, 𝑃), 𝑡2] − 𝛿𝐹[(𝑞, 𝑄, 𝑝, 𝑃), 𝑡1] = 0 
Que se anula para qualquer par de variáveis escolhidas (𝑞, 𝑄, 𝑝, 𝑃) 
devido às equações (9.3 a e b). 
Sobre a constante de escala 𝛽: suponha que definimos novas 
coordenadas generalizadas e momentos conjugados por uma escala, a 
saber 
𝑞𝑘
′ = 𝜌𝑞𝑘 𝑒 𝑝𝑘
′ = 𝜎𝑞𝑘 
Pelo Princípio de Hamilton Modificado 
𝛿 ∫[𝑝𝑘
′ �̇�𝑘
′ −𝐻′(𝑞′, 𝑝′, 𝑡)]𝑑𝑡 = 𝛿 ∫[𝜌𝜎( 𝑝𝑘�̇�𝑘) − 𝐻
′(𝑞′, 𝑝′, 𝑡)]𝑑𝑡 = 0 
𝑡2
𝑡1
 
𝑡2
𝑡1
 
Então, basta que 
𝐻′(𝑞′, 𝑝′, 𝑡) = 𝜌𝜎 𝐻(𝑞, 𝑝, 𝑡) 
Ou seja, a escala de 𝑞 𝑒 𝑝 simplesmente escala 𝐻. 
 Em (9.5) se 𝛽 = 1 a transformação é chamada de transformação 
canônica, se 𝛽 ≠ 1 ela é chamada de transformação canônica estendida. 
 Para facilitar, daqui para a frente assumiremos 𝛽 = 1. Podemos 
reescrever (9.4) na forma diferencial 
(𝑝𝑘𝑑𝑞𝑘 − 𝑃𝑘𝑑𝑄𝑘) + (𝐾 − 𝐻)𝑑𝑡 = 𝑑𝐹 (9.5) 
Com 𝐹(𝑞, 𝑄, 𝑝, 𝑃, 𝑡) 
Vamos escolher 𝐹 = 𝐹1(𝑞, 𝑄, 𝑡) . Ela é conhecida como função 
geradora. 
De (9.5), 
3 
 
𝑝𝑘 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑞𝑘
 (9.6𝑎) 
𝑃𝑘 = −
𝜕𝐹1
𝜕𝑄𝑘
 (9.6𝑏) 
𝐾(𝑄, 𝑃, 𝑡) = 𝐻(𝑞, 𝑝, 𝑡) +
𝜕𝐹1
𝜕𝑡
 (9.6𝑐) 
Procedimentos: 
1) Dada uma função geradora 𝐹1 : 
a) Utilizamos (9.6 a) para obter os 𝑛 𝑄𝑘´𝑠 em termos de 
(𝑞𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑡) conduzindo à 1ª. transformação canônica de 
(9.1). Estamos supondo que essa inversão seja possível. 
b) O resultado é substituído em (9.6 b) para obter os 𝑛 𝑃𝑘´𝑠 
em termos de (𝑞𝑗 , 𝑝𝑗 , 𝑡) conduzindo à 2ª. 
transformação canônica de (9.1). 
c) Os resultados de a) e b) são usados para inverter (9.1), 
isto é , obter os (𝑞, 𝑝) em funçao dos (𝑄, 𝑃) 
d) Os resultados de c) são usados em (9.6.c) para a 
obtenção da Kamiltoniana. 
2) Dadas as transformações canônicas (9.1) : 
a) Obtemos de (9.1) as variáveis (𝑝, 𝑃) em termos de 
(𝑞, 𝑄, 𝑡). 
b) As equações (9.6 a) e (9.6 b) são integradas para obter 
𝐹1(𝑞, 𝑄, 𝑡). 
Muitas vezes pode acontecer que a função 𝐹1(𝑞, 𝑄, 𝑡) não seja 
a melhor. Por exemplo, uma das várias inversões descritas acima não 
seja possível. Podemos pensar em funções geradoras que dependam 
de variáveis diferentes. 
Se quisermos em função de (𝑞, 𝑃, 𝑡), então, tomamos 
𝐹 = 𝐹1 = 𝐹2(𝑞, 𝑃, 𝑡) − 𝑃𝑘𝑄𝑘 (9.7) 
 De (9.5) 
𝑝𝑘𝑑𝑞𝑘 − 𝑃𝑘𝑑𝑄𝑘 + (𝐾 − 𝐻)𝑑𝑡 = 𝑑𝐹 = −𝑃𝑘 𝑑𝑄𝑘 − 𝑄𝑘 𝑑𝑃𝑘 +
𝜕𝐹2
𝜕𝑞𝑘
𝑑𝑞𝑘 +
𝜕𝐹2
𝜕𝑃𝑘
𝑑𝑃𝑘 +
𝜕𝐹2
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
 Que resulta em 
4 
 
𝑝𝑘𝑑𝑞𝑘 + (𝐾 − 𝐻)𝑑𝑡 = −𝑄𝑘 𝑑𝑃𝑘 +
𝜕𝐹2
𝜕𝑞𝑘
𝑑𝑞𝑘 +
𝜕𝐹2
𝜕𝑃𝑘
𝑑𝑃𝑘 +
𝜕𝐹2
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
Ou seja, 
𝑝𝑘 =
𝜕𝐹2
𝜕𝑞𝑘
 (9.8𝑎) 
𝑄𝑘 =
𝜕𝐹2
𝜕𝑃𝑘
 (9.8𝑏) 
𝐾 = 𝐻 +
𝜕𝐹2
𝜕𝑡
 (9.8𝑐) 
 
Se quisermos em função de (𝑝, 𝑄, 𝑡), então, tomamos 
𝐹 = 𝐹1 = 𝐹3(𝑝, 𝑄, 𝑡) + 𝑝𝑘𝑞𝑘 (9.9) 
 De (9.5) 
𝑝𝑘𝑑𝑞𝑘 − 𝑃𝑘𝑑𝑄𝑘 + (𝐾 − 𝐻)𝑑𝑡 = 𝑑𝐹 = 𝑝𝑘 𝑑𝑞𝑘 + 𝑞𝑘 𝑑𝑝𝑘 +
𝜕𝐹3
𝜕𝑝𝑘
𝑑𝑝𝑘 +
𝜕𝐹3
𝜕𝑄𝑘
𝑑𝑄𝑘 +
𝜕𝐹3
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
 Que resulta em 
−𝑃𝑘𝑑𝑄𝑘 + (𝐾 − 𝐻)𝑑𝑡 = 𝑞𝑘 𝑑𝑝𝑘 +
𝜕𝐹3
𝜕𝑝𝑘
𝑑𝑝𝑘 +
𝜕𝐹3
𝜕𝑄𝑘
𝑑𝑄𝑘 +
𝜕𝐹3
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
Ou seja, 
𝑃𝑘 = −
𝜕𝐹3
𝜕𝑄𝑘
 (9.10𝑎) 
𝑞𝑘 = −
𝜕𝐹3
𝜕𝑝𝑘
 (9.10𝑏) 
𝐾 = 𝐻 +
𝜕𝐹3
𝜕𝑡
 (9.10𝑐) 
 
Se quisermos em função de (𝑝, 𝑃, 𝑡), então, tomamos 
𝐹 = 𝐹1 = 𝐹4(𝑝, 𝑃, 𝑡) + 𝑝𝑘𝑞𝑘 − 𝑃𝑘𝑄𝑘 (9.11) 
 De (9.5) 
5 
 
𝑝𝑘𝑑𝑞𝑘 − 𝑃𝑘𝑑𝑄𝑘 + (𝐾 − 𝐻)𝑑𝑡 = 𝑑𝐹
= 𝑝𝑘 𝑑𝑞𝑘 + 𝑞𝑘 𝑑𝑝𝑘 − 𝑃𝑘 𝑑𝑄𝑘 + 𝑄𝑘 𝑑𝑃𝑘 +
𝜕𝐹4
𝜕𝑝𝑘
𝑑𝑝𝑘 +
𝜕𝐹4
𝜕𝑃𝑘
𝑑𝑃𝑘 +
𝜕𝐹4
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
 Que resulta em 
(𝐾 − 𝐻)𝑑𝑡 = 𝑞𝑘 𝑑𝑝𝑘 + 𝑄𝑘 𝑑𝑃𝑘 +
𝜕𝐹4
𝜕𝑝𝑘
𝑑𝑝𝑘 +
𝜕𝐹4
𝜕𝑃𝑘
𝑑𝑃𝑘 +
𝜕𝐹4
𝜕𝑡
𝑑𝑡 
Ou seja, 
𝑄𝑘 = −
𝜕𝐹4
𝜕𝑃𝑘
 (9.12𝑎) 
𝑞𝑘 = −
𝜕𝐹4
𝜕𝑝𝑘
 (9.12𝑏) 
𝐾 = 𝐻 +
𝜕𝐹4
𝜕𝑡
 (9.12𝑐) 
As funções geradoras definidas acima são as principais na literatura. Mas 
podemos ter situações mistas: �̅�(𝑞1, 𝑃1, 𝑄2, 𝑝2, 𝑡). Neste caso, vocês podem 
verificar que devemos escolher 𝐹 = 𝐹1 = �̅� + 𝑞2𝑝2 − 𝑄1𝑃1 
Exemplos: 
1) Transformação identidade 
 
Se escolhermos 𝐹2 = 𝑞𝑘𝑃𝑘, teremos 
𝑝𝑖 =
𝜕𝐹2
𝜕𝑞𝑖
= 𝑃𝑖 ; 𝑄𝑖 =
𝜕𝐹2
𝜕𝑃𝑖
= 𝑞𝑖 ; 𝐾 = 𝐻 
 
2) Transformação Pontual 
 
Definimos uma transformação pontual se todos os 𝑓𝑘 
𝑓𝑘 = 𝑓𝑘(𝑞1, … 𝑞𝑛, ; 𝑡) 𝑘 = 1,… , 𝑛 
 São independentes e o sistema é inversível, isto é, podemos 
reescrever q´s em função de f´s. 
 Se escolhermos uma transformaçã pontual geradora , isto é, 
𝐹2 = 𝑓𝑘(𝑞1, … 𝑞𝑛, ; 𝑡)𝑃𝑘 
 Então, de (9.8 b) temos 
6 
 
𝑄𝑖 =
𝜕𝐹2
𝜕𝑃𝑖
= 𝑓𝑖(𝑞1, … 𝑞𝑛, ; 𝑡) 
 Ou seja, toda transformação pontual é canônica e ela não mistura as 
novas coordenadas generalizadas com os antigos momentos conjugados. 
 A Kamiltoniana é, em geral, diferente da Hamiltoniana e depende das 
derivadas temporais dos f´s. 
 
3) Considere a Hamiltoniana de um oscilador harmônico nas 
coordenadas usuais 
 
𝐻 =
𝑝2
2𝑚
+
𝑘𝑞2
2
=
1
2𝑚
(𝑝2 +𝑚2𝜔2𝑞2), 𝜔2 =
𝑘
𝑚
 
 A forma quadrática sugere a utilização de senos e cossenos 
𝑝 = 𝑓(𝑃) 𝑐𝑜𝑠𝑄 (9.13𝑎) 
𝑞 =
𝑓(𝑃)
𝑚𝜔
 𝑠𝑒𝑛𝑄 (9.13𝑏) 
 Observe que, com essa escolha a variável 𝑄 é cíclica, pois 
𝐻 =
𝑓2(𝑃)
2𝑚
 (9.13𝑐) 
 Dividindo (9.13 a) por (9.13 b) temos 
𝑝 = 𝑞𝑚𝜔 𝑐𝑜𝑡𝑄 (9.13𝑑) 
 A equação acima mostra que a variável 𝑝 em (9.13 d) está sendo 
reescrita em função de (𝑞, 𝑄) → 𝐻(𝑞, 𝑝) → 𝐾(𝑞, 𝑄) → 𝐹1(𝑞, 𝑄) 
 De (9.6 a,b e c) 
𝑝 =
𝜕𝐹1(𝑞, 𝑄)
𝜕𝑞
= 𝑞𝑚𝜔 𝑐𝑜𝑡𝑄 → 𝐹1(𝑞, 𝑄) =
𝑚𝜔𝑞2
2
𝑐𝑜𝑡𝑄+ 𝜑(𝑄) 
 A solução mais simples é escolher 𝜑(𝑄) = 0. 
𝐹1(𝑞, 𝑄) =
𝑚𝜔𝑞2
2
𝑐𝑜𝑡𝑄 (9.13𝑒) 
Daí teremos 
7 
 
𝑃 = −
𝜕𝐹1(𝑞, 𝑄)
𝜕𝑄
=
𝑚𝜔𝑞2
2𝑠𝑒𝑛2𝑄
=
𝑓2(𝑃)
2𝑚𝜔
 (9.13𝑓) 
 Onde na última igualdade usamos (9.13 b) 
 E 
𝐾 = 𝐻 +
𝜕𝐹1(𝑞, 𝑄)
𝜕𝑡
= 𝐻 =
𝑓2(𝑃)
2𝑚
= 𝜔𝑃 (9.13𝑔) 
As E.H. são: 
�̇� = −
𝜕𝐾
𝜕𝑄
= 0 → 𝑃 = 𝑐𝑡𝑒 
𝐾 = 𝜔𝑃 = 𝐸 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (9.13ℎ) 
De (9.13 g) 
𝑓(𝑃) = √2𝑚𝜔𝑃 = √2𝑚𝐸 (9.13𝑖) 
�̇� =
𝜕𝐾
𝜕𝑃
= 𝜔 → 𝑄 = 𝜔𝑡 + 𝛼 (9.13𝑗) 
De (9.13 b, i e j) temos 
𝑞 = √
2𝐸
𝑚𝜔2
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝛼) 
Que é a nossa conhecida solução do oscilador harmônico. Claro, 
resolver esse problema simples como feito aqui, via transformações 
canônicas, é muito insensato. 
 
Transformações Canônicas via Formalismo Simplético 
 
Vamos supor uma transformação canônica reduzida, isto é, que não 
depende do tempo. 
𝑄𝑘 = 𝑄𝑘(𝑞, 𝑝) (9.14𝑎) 
𝑃𝑘 = 𝑃𝑘(𝑞, 𝑝) (9.14𝑏) 
 
8 
 
Do Capítulo 8 temos 
Definindo a matriz coluna 𝜼 com 2𝑛 linhas 
𝜂𝑘 = 𝑞𝑘 , 𝜂𝑘+𝑛 = 𝑝𝑘 , 𝑘 = 1,…𝑛 (9.15𝑎) 
E definindo outra 
𝜕𝐻
𝜕𝜼
 matriz coluna com 2𝑛 linhas tal que 
𝜕𝐻
𝜕𝜂𝑘
=
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑘
= −�̇�𝑘 ,
𝜕𝐻
𝜕𝜂𝑛+𝑘
=
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑘
= �̇�𝑘 , 𝑘 = 1,… , 𝑛 (9.15𝑏) 
 Seja 𝑱 uma matriz 2𝑛 𝑥 2𝑛 tal que 
𝑱 = (
0 𝑰
−𝑰 0
) (9.15𝑐) 
Onde 0 é a matriz nula 𝑛 𝑥 𝑛 e 𝑰 é a matriz identidade 𝑛 𝑥 𝑛 
(generalização de uma das matrizes de Pauli). 
Então as equações podem ser escritas na forma simplética (palavra 
que vem do grego e significa entrelaçado, foi cunhada por H.Weyl em 1939) 
�̇� = 𝑱
𝜕𝐻
𝜕𝜼
 (9.15𝑑) 
Vemos que 𝐻(𝑞, 𝑝) = 𝐻(𝜼). 
Definindo um vetor coluna 𝝃 com 2𝑛 linhas 
𝜉𝑘 = 𝑄𝑘 , 𝜉𝑘+𝑛 = 𝑃𝑘 , 𝑘 = 1,…𝑛 (9.16𝑎) 
Derivando em relação ao tempo (9.14 a e b) 
 �̇�𝑘 =
𝜕𝜉𝑘
𝜕𝜂𝑗
�̇�𝑗 𝑘, 𝑗 = 1,…2𝑛 
Ou definindo a matriz jacobiana transformação 
𝑀𝑘𝑗 =
𝜕𝜉𝑘
𝜕𝜂𝑗
 (9.16𝑏) 
Em notação matricial 
�̇� = 𝑴�̇� (9.16𝑐) 
De (9.15 d) 
�̇� = 𝑴 𝑱
𝜕𝐻
𝜕𝜼
 (9.17) 
9 
 
Se invertermos (9.14 a e b) teremos 𝐻(𝝃) e 
𝜕𝐻
𝜕𝜂𝑘
=
𝜕𝐻
𝜕𝜉𝑗
𝜕𝜉𝑗
𝜕𝜂𝑘
= 𝑀𝑗𝑘
𝜕𝐻
𝜕𝜉𝑗
 
Em notação matricial 
𝜕𝐻
𝜕𝜼
= 𝑴𝑡
𝜕𝐻
𝜕𝝃
 (9.18) 
De (9.17 e 18) 
�̇� = 𝑴 𝑱 𝑴𝑡
𝜕𝐻
𝜕𝝃
 (9.19) 
Como (9.15 d) também vale para 𝝃 
�̇� = 𝑱
𝜕𝐻
𝜕𝝃
 (9.20) 
Ou seja 
𝑴 𝑱 𝑴𝑡 = 𝑱 (9.21) 
A equação acima é condição necessária e suficiente para que uma 
transformação independente do tempo seja canônica. 
A matriz 𝑴 é chamada de matriz simplética. 
A equação (9.21) é chamada de condição simplética para que uma 
transformação seja canônica. 
Pode-se mostrar que mesmo quando a transformada canônica 
depende do tempo, isto é, não é restrita, a condição simplética (9.21) 
continua sendo necessária e suficiente para que a transformação seja 
canônica. 
 
Transformações Canônicas Infinitesimais (TCI) 
Vamos supor que as novas variáveis 𝑄, 𝑃 difereciem apenas 
infinitesimalmente das originais 𝑞, 𝑝. 
𝑄𝑘 = 𝑞𝑘 + 𝑑𝑞𝑘 (9.22𝑎) 
𝑃𝑘 = 𝑝𝑘 + 𝑑𝑝𝑘 (9.22𝑏) 
10 
 
Em notação matricial 
𝝃 = 𝜼 + 𝒅𝜼 (9.22𝑐) 
Ou seja, a transformação está infinitesimalmente próxima da identidade e, 
conforme nosso exemplo 1 (pag. 5) a função geradora será 
𝐹2 = 𝑞𝑘𝑃𝑘 + 𝜖𝐺(𝑞, 𝑃, 𝑡) (9.23) 
Onde 𝜖 é um parâmetro infinitesimal e 𝐺 é uma função diferenciável 
chamada de função geradora da transformação canônica infinitesimal. De 
(9.8 a) 
𝑝𝑘 =
𝜕𝐹2
𝜕𝑞𝑘
= 𝑃𝑘 + 𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑞𝑘
 
Ou 
𝑑𝑝𝑘 ≡ 𝑃𝑘 − 𝑝𝑘 = −𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑞𝑘
 (9.24𝑎) 
De (9.8 b) 
𝑄𝑘 =
𝜕𝐹2
𝜕𝑃𝑘
= 𝑞𝑘 + 𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑃𝑘
 
Ou 
𝑑𝑞𝑘 ≡ 𝑄𝑘 − 𝑞𝑘 = 𝜖
𝜕𝐺
𝜕𝑃𝑘
 (9.24𝑏) 
As equações (9.24 a e b) podem ser combinadas em uma só 
𝑑𝜼 = 𝜖 𝑱
𝜕𝐺
𝜕𝜼
 (9.24𝑐) 
Na secção anterior demonstramos que qualquer transformação canônica 
num tempo fixo 𝑡0 satisfaz a condição simplética (9.21). Se agora, num 
tempo infinitesimalmente próximo (𝑡0 + 𝑑𝑡), a condição simplética estiver 
satisfeita, então para qualquer tempo finito 𝑡 a condição continuará 
valendo já que podemos ver o intervalo finito (𝑡 − 𝑡0) como uma sucessão 
infinita de TCI. 
 De (9.22 c) e (9.24 c), a matriz Jacobiana 
𝑴 =
𝜕𝝃
𝜕𝜼
= 𝑰 + 𝜖𝑱
𝜕2𝐺
𝜕𝜼𝜕𝜼
 (9.25) 
11 
 
Onde o 2º. Termo é uma matriz quadrada simétrica , 2𝑛 𝑥 2𝑛, cujos 
elementos são 
𝜕2𝐺
𝜕𝜼𝜕𝜼
)
𝑘,𝑗
=
𝜕2𝐺
𝜕𝜂𝑘𝜕𝜂𝑗
 
Tomando a transposta de (9.25) e lembrando que 𝑱 é antisimétrica, temos 
𝑴𝒕 = 𝑰 − 𝜖𝑱
𝜕2𝐺
𝜕𝜼𝜕𝜼
 (9.26) 
A condição simplética é 
𝑴𝑱𝑴𝒕 = (𝑰 + 𝜖𝑱
𝜕2𝐺
𝜕𝜼𝜕𝜼
) 𝑱 (𝑰 − 𝜖𝑱
𝜕2𝐺
𝜕𝜼𝜕𝜼
) 
Que até 1ª. ordem será 
𝑴𝑱𝑴𝒕 = 𝑱 + 𝜖𝑱
𝜕2𝐺
𝜕𝜼𝜕𝜼
− 𝜖𝑱
𝜕2𝐺
𝜕𝜼𝜕𝜼
= 𝑱 
Conclusão: Qualquer Transformação Canônica, dependente do tempo ou 
não, satisfaz a Condição Simplética. 
• Ao utilizarmos Transformações Canônicas, nós teremos a liberdade 
de escolher o formalismo de Geradores ou o Simplético, aquele que, 
no momento, levar a um tratamento mais simples. 
• A Transformação Identidade é Canônica. 
• Se uma Transformação é Canônica, a Transformação Inversa também 
será Canônica. 
• Duas Transformações Canônicas sucessivas (Operação Produto) 
definem uma Transformação que também é Canônica. 
• A Operação Produto é Associativa. 
 
Das propriedades que descrevemos nos itens acima, concluimos que 
as Transformações Canônicas formam um Grupo. 
 
 
 
 
12 
 
Parênteses de Poisson 
O Parênteses de Poisson de 2 funções 𝑢(𝑞, 𝑝) 𝑒 𝑣(𝑞, 𝑝) com relação às 
variáveis canônicas 𝑞, 𝑝 é definido pela expressão (escalar) bilinear 
[𝑢, 𝑣]𝑞,𝑝 =
𝜕𝑢
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝑣
𝜕𝑝𝑖
−
𝜕𝑢
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑣
𝜕𝑞𝑖
 (9.27) 
Ou, no formato matricial 
[𝑢, 𝑣]𝜂 = (
𝜕𝑢
𝜕𝜼
)
𝑡
𝑱 
𝜕𝑣
𝜕𝜼
 (9.28) 
Suponhamos que 𝑢 𝑒 𝑣 sejam umas 2𝑛 variáveis canônicas 𝑞, 𝑝 . Então, 
teremos, 
[𝑞𝑗 , 𝑞𝑘]𝑞,𝑝 = [𝑝𝑗 , 𝑝𝑘]𝑞,𝑝 = 0 (9.29𝑎) 
[𝑞𝑗 , 𝑝𝑘]𝑞,𝑝 = −[𝑝𝑗 , 𝑞𝑘]𝑞,𝑝 = 𝛿𝑗,𝑘 (9.29𝑏) 
As equações acima podem ser sumarizadas no formato matricial 
[𝜼, 𝜼]𝜂 = 𝑱 (9.30) 
Onde [𝜼, 𝜼] é uma matriz quadrada 2𝑛 𝑥 2𝑛, cujos elementos 𝑙𝑚 são 
[𝜂𝑙 , 𝜂𝑚]. 
 Na transformação canônica de 𝑞, 𝑝 para 𝑄, 𝑃 ou de 𝜼 para 𝝃 temos 
𝑑𝜉𝑖 =
𝜕𝜉𝑖
𝜕𝜂𝑗
 𝑑𝜂𝑗 → 
𝜕𝜉𝑖
𝜕𝜂𝑘
=
𝜕𝜉𝑖
𝜕𝜂𝑗
𝜕𝜂𝑗
𝜕𝜂𝑘
= 𝑀𝑖𝑗𝛿𝑗,𝑘 = 𝑀𝑖𝑘 
 Onde 𝑀 é a matriz Jacobiana 2𝑛 𝑥 2𝑛 
𝜕𝝃
𝜕𝜼
= 𝑴 (9.31) 
Se usarmos em (9.28) um dos 2𝑛 𝜉 no lugar de 𝑢, 𝑣 teremos 
[𝝃, 𝝃]𝜂 = (
𝜕𝝃
𝜕𝜼
)
𝑡
𝑱 
𝜕𝝃
𝜕𝜼
 
Ou 
[𝝃, 𝝃]𝜂 = 𝑴
𝑡 𝑱 𝑴 
Da condição simplética segue que 
13 
 
[𝝃, 𝝃]𝜂 = 𝑱 (9.32) 
Os Parênteses de Poisson de (9.30) e (9.32), envolvendo diretamente as 
variáveis canônicas 𝑞, 𝑝 e sua transformação canônica 𝑄, 𝑃, são chamados 
de Parênteses de Poisson fundamentais. 
 Conclusão: Os Parênteses de Poisson fundamentais são invariantes 
frente uma transformação canônica !! 
 Em outras palavras, a invariância dos Parênteses de Poisson frente a 
uma transformação canônicas é completamente equivalente à Condição 
Simplética para uma transformação canônica. 
 Vamos agora mostrar que qualquer (todos) os Parênteses de Poisson 
são invariantes frente à uma transformação canônica, não somente os 
Parênteses de Poisson fundamentais. 
 Sejam 2 funções 𝑢 𝑒 𝑣 dependentes das variáveis canônicas 𝑞, 𝑝. 
𝜕𝑣
𝜕𝜼
= 𝑴𝑡
𝜕𝑣
𝜕𝝃
 
 Trocando 𝑣 por 𝑢 e transpondo 
(
𝜕𝑢
𝜕𝜼
)
𝑡
= (
𝜕𝑢
𝜕𝝃
)
𝑡
 𝑴 
 De (9.28) 
[𝑢, 𝑣]𝜂 = (
𝜕𝑢
𝜕𝜼)
𝑡
𝑱 
𝜕𝑣
𝜕𝜼
= (
𝜕𝑢
𝜕𝝃
)
𝑡
𝑴 𝑱𝑴𝑡
𝜕𝑣
𝜕𝝃
 
 Da condição simplética 
[𝑢, 𝑣]𝜂 = (
𝜕𝑢
𝜕𝝃
)
𝑡
𝑱
𝜕𝑣
𝜕𝝃
= [𝑢, 𝑣]𝜉 (9.33) 
Logo, todos os Parênteses de Poisson são invariantes por transformações 
canônicas !! 
 Como os Parênteses de Poisson são os mesmos qualquer que seja a 
transformação canônica, vamos suprimir os índices 𝜂 ou 𝜉 e escreveremos 
simplesmente, [𝒖, 𝒗] 
14 
 
 A idéia principal por trás das transformações canônicas é que as 
Equações de Hamilton de movimento são invariantes por essas 
transformações. 
 Similarmente, a invariância dos Parênteses de Poisson (PP, daqui por 
diante) frente transformações canônicas. Então, toda equação que 
possamos expressar que esteja escrita somente em função dos PP serão 
também invariante por transformações canônicas (TC, daqui por diante). 
Uma Mecânica Clássica expressa somente em termos de PP tem a transição 
para a Mecânica Quântica facilitada pois os PP se transformam em 
comutadores de operadores. 
 Por conseguinte, dado o papel importante dos PP, vamos analisar 
algumas de suas propriedades algébricas. 
1) [𝑢, 𝑢] = 0 (9.34𝑎) 
2) [𝑢, 𝑣] = −[𝑣, 𝑢] 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 (9.34𝑏) 
3) [𝑎𝑢 + 𝑏𝑣,𝑤] = 𝑎[𝑢,𝑤] + 𝑏[𝑣,𝑤] 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 (9.34𝑐) 
 𝑎 𝑒 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
4) [𝑢𝑣,𝑤] = [𝑢, 𝑤]𝑣 + 𝑢[𝑣,𝑤] (9.34𝑑) 
5) [𝑢, [𝑣, 𝑤]] + [𝑣, [𝑤, 𝑢]] + [𝑤, [𝑢, 𝑣]] = 0 (9.34𝑒) 
A expressão 5) é chamada de Identidade de Jacobi , cuja 
demonstração está na lista de exercícios. 
O PP [𝑢, 𝑣] pode ser visto como uma operação produto de 2 funções. 
Enquanto na Aritmética o produto de 3 números é associativa: 
(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐), a Identidade de Jacobi mostra que no caso PP ela é não 
associativa. 
As propriedades (9.34 b, c, e) formam uma Álgebra não associativa 
que é chamada Álgebra de Lie. 
Nós já conhecemos algumas entidades matemáticas que também 
satisfazem a Álgebra de Lie: 
• O produto vetorial [𝐴, �⃗⃗�] → 𝐴 𝑥 �⃗⃗� 
• O comutador de 2 matrizes [𝐴, 𝐵] → 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 
É esta última entitade, o comutador de 2 matrizes, que permite fazer 
a transição da Mecânica Clássica para a Mecânica Quântica através do 
princípio da correspondência 
15 
 
[𝑢, 𝑣] → 
𝑖
ℏ
(𝑢𝑣 − 𝑣𝑢) 
À esquerda 𝑢, 𝑣 são funções clássicas, à direita 𝑢, 𝑣 são operadores 
quânticos. 
Outro invariante por TC é o chamado Parênteses de Lagrange que 
hoje tem só um interesse basicamente histórico e o deixaremos como um 
trabalho proposto. 
Finalmente, temos também um invariante “geométrico” por TC que 
é o Volume no espaço de fases. 
Um volume infinitesimal no espaço de fase das coordenadas 
canônicas (𝑞, 𝑝) vale 
(𝑑𝜂) = 𝑑𝑞1, 𝑑𝑞2, … , 𝑑𝑞𝑛𝑑𝑝1, 𝑑𝑝2, … , 𝑑𝑝𝑛 
Um volume infinitesimal no espaço de fase das coordenadas 
canônicas transformadas (𝑄, 𝑃) vale 
(𝑑𝜉) = 𝑑𝑄1, 𝑑𝑄,… , 𝑑𝑄𝑛𝑑𝑃1, 𝑑𝑃2, … , 𝑑𝑃𝑛 
 Como sabemos, esses volumes se relacionam pelo módulo do 
determinante da matriz Jacobiana 
(𝑑𝜉) = |det𝑀|(𝑑𝜂) 
 A matriz Jacobiana é ortogonal, logo 
𝑀𝑡 = 𝑀−1 → 𝑑𝑒𝑡(𝑀𝑀𝑡) = [det (𝑀)]2 = 𝑑𝑒𝑡(𝐼) = 1 
 Portanto, 
|det𝑀| = 1 
E um volume de tamanho qualquer em uma região arbitrária do espaço de 
fase 
𝑉 = ∫…∫(𝑑𝜂) (9.35) 
É um Invariante Canônico. 
 
 
 
16 
 
Mecânica Clássica no formalismo de Parênteses de Poisson 
Suponha uma função dependente das variáveis canônicas do tempo, 
isto é, 𝑢(𝑞, 𝑝, 𝑡). Tomando a derivada temporal total e usando as E.H. 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑞𝑖
�̇�𝑖 +
𝜕𝑢
𝜕𝑝𝑖
�̇�𝑖 +
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑖
− 
𝜕𝑢
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑖
 +
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 
Logo, 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= [𝑢,𝐻] +
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 (9.36) 
Ou, na forma simplética 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝜼
�̇� +
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝜼
 𝑱 
𝜕𝐻
𝜕𝜼
+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 (9.37) 
A Expressão (9.36) é a equação de movimento generalizada para uma 
função arbitrária de 𝑢 em termos de PP. As E.H são casos particulares. 
Substituindo 𝑢 por 𝑞 𝑜𝑢 𝑝 em (9.36) 
�̇�𝑖 = [𝑞𝑖 , 𝐻] 𝑒 �̇�𝑖 = [𝑝𝑖 , 𝐻] (9.38𝑎) 
Ou, na forma simplética 
�̇� = [𝜼,𝐻] (9.38𝑏) 
 As equações (9.38 a ou b) são as E.H. utilizando PP. Se fizermos, em 
(9.36), 𝑢 = 𝐻, teremos 
𝑑𝐻
𝑑𝑡
=
𝜕𝐻
𝜕𝑡
 
• Se 𝑢 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 então 
[𝐻, 𝑢] =
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 (9.39) 
• Se, além disso, 𝑢 não depende explicitamente de 𝑡, então o PP 
se anula 
[𝐻, 𝑢] = 0 (9.40) 
• Se 𝑢 𝑒 𝑣 são constantes de movimento então podemos 
construir uma 3ª. constante de movimento a partir da 
identidade de Jacobi (9.34 e). Basta fazer 𝑤 = 𝐻 o que resulta 
em 
17 
 
[𝐻, [𝑢, 𝑣]] = 0 (9.41) 
 O que significa que [𝑢, 𝑣] é uma constante de movimento !! 
 Se encontrarmos uma TC que faça com que as cooordenadas 
generalizadas e os momentos conjugados sejam, simultâneamente, 
constantes de movimento, teremos resolvido completamente o problema. 
Esse método será mostrado no capítulo 10 – Teoria de Hamilton Jacobi. 
De (9.24c), temos 
𝑑𝜼 = 𝜖 𝑱
𝜕𝐺
𝜕𝜼
 (9.41𝑏) 
De (9.28), fazendo 𝑢 → 𝜼 𝑒 𝑣 = 𝑢 
 [𝑢, 𝑣]𝜂 = (
𝜕𝑢
𝜕𝜼
)
𝑡
𝑱 
𝜕𝑣
𝜕𝜼
→ [𝜼, 𝑢] = 𝑱 
𝜕𝑢
𝜕𝜼
 
Se escolhermos 𝑢 = 𝐺 então 
𝑑𝜼 = 𝜖[𝜼, 𝐺] (9.42) 
Tomando o infinitésimo 𝜖 = 𝑑𝑡 𝑒 𝐺 = 𝐻, obtemos 
𝑑𝜼 = [𝜼,𝐻] 𝑑𝑡 (9.43) 
Na equação acima vemos que a Hamiltoniana evolui os valores de 𝜼 num 
instante 𝑡 para os seus valores num instante infinitesimalmente posterior 
𝑡 + 𝑑𝑡. Compondo teremos a evolução temporal do sistema. 
Em resumo: a Hamiltoniana é a função geradora do movimento do 
sistema com o tempo (em quântica, é o operador de evolução temporal). 
Até aqui vimos a TC de maneira passiva: uma função qualquer 
𝑢(𝑞, 𝑝, 𝑡) tem um ponto 𝐴 do espaço de fase (𝑞, 𝑝) mapeado no ponto 𝐴′ 
do espaço de fase (𝑄, 𝑃) e, obviamente , é passivo pois 𝑢(𝑞, 𝑝, 𝑡) =
𝑢(𝑞(𝑄, 𝑃), 𝑝(𝑄, 𝑃), 𝑡) 
 
18 
 
Com a Hamiltoniana como função geradora, a TC é ativa, movendo 
um ponto de espaço de 𝐴(𝑞, 𝑝) para um outro ponto 𝐵(𝑄, 𝑃) no mesmo 
espaço de fase 
 
Isto é particularmente interessante, quando o gerador depende 
continuamente de um único parâmetro. Quando esse gerador é a 
Hamiltoniana, TC infinitesimais levarão a uma curva que corresponde à 
trajetória temporal do sistema no espaço de fase ! 
Para uma TC infinitesimal usando (9.41b) e (9.33) 
𝑑𝑢 = 𝑢(𝜼 + 𝒅𝜼) − 𝒖(𝜼) = (
𝜕𝑢
𝜕𝜼
)
𝑡
𝑑𝜼 = 𝜖 (
𝜕𝑢
𝜕𝜼
)
𝑡
𝑱
𝜕𝐺
𝜕𝜼
= 𝜖[𝑢, 𝐺] (9.44) 
Se pensarmos 𝜖 = 𝑑𝛼, como o parâmetro único infinitesimal que faz 
𝑢 evoluir. Podemos escolher (o que, em hipótese alguma, representa algum 
tipo de restrição) o valor inicial 𝛼0 = 0 como sendo o valor desse parâmetro 
quando o sistema está na sua configuração inicial 𝑢(𝛼 = 0) = 𝑢0 (seja ela 
qual for). De (9.44) 
𝑑𝑢
𝑑𝛼
= [𝑢, 𝐺] (9.45) 
Derivando uma segunda vez teremos 
𝑑2𝑢
𝑑𝛼2
= [
𝑑𝑢
𝑑𝛼
, 𝐺] = [[𝑢, 𝐺], 𝐺] 
De modo que a expansão de Taylor 
𝑢(𝛼) = 𝑢0 + 𝛼
𝑑𝑢
𝑑𝛼
)
𝛼=0
+
𝛼2
2!
 
𝑑2𝑢
𝑑𝛼2
)
𝛼=0
+
𝛼3
3!
 
𝑑3𝑢
𝑑𝛼3
)
𝛼=0
+⋯ 
𝑢(𝛼) = 𝑢0 + 𝛼[𝑢, 𝐺])0 +
𝛼2
2!
[[𝑢, 𝐺], 𝐺])
0
+
𝛼3
3!
[[[𝑢, 𝐺], 𝐺], 𝐺]
0
+⋯ (9.46) 
 Se 𝛼 = 𝑡, 𝑢(𝛼) = 𝑢(𝑡), 𝐺 = 𝐻 a expansão acima é de uma exponecial. No 
formalismo de Heisenberg da Mecânica Quântica será 𝑒
𝑖𝐻𝑡
ℏ 
19 
 
• Exemplo 1 - Translação 
Seja uma partícula de massa 𝑚 se movendo em uma dimensão 𝑥, com 
aceleração constante 𝑎. Vamos escolher 𝑞 = 𝑥. Como a forçaé constante, seu 
rotacional é zero e existe energia potencial 𝐹 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 𝑚𝑎 → 𝑉(𝑥) = −𝑚𝑎𝑥. 
Logo, 
𝐻 =
𝑝2
2𝑚
+ 𝑉(𝑥) =
𝑝2
2𝑚
−𝑚𝑎𝑥 
Na equação (9.46), fazendo 𝛼 = 𝑡 , 𝑢 = 𝑥 e 𝐺 = 𝐻, teremos 
[𝑥, 𝐻] =
𝑝
𝑚
 
[[𝑥, 𝐻], 𝐻] =
1
𝑚
[𝑝, 𝐻] = 𝑎 
[[[𝑥, 𝐻], 𝐻],𝐻] = [𝑎, 𝐻] = 0…𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 
 
A solução é , com condições iniciais 𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0; �̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0 =
𝑝0
𝑚
 
𝑥 = 𝑥0 +
𝑝0
𝑚
𝑡 +
𝑎𝑡2
2
 
• Exemplo 2 – Rotação 
Vamos supor uma partícula girando em torno do eixo 𝑧. Sejam 𝑥, 𝑦 as 
coordenadas dessa partícula no plano perpendicular ao eixo 𝑧, 
Chamando 𝑞1 = 𝑥, 𝑞2 = 𝑦, 𝑞3 = 𝑧 e 𝑝1 = 𝑚�̇�, 𝑝2 = 𝑚�̇�, 𝑝3 = 𝑚�̇� O 
vetor momento angular dessa partícula será 
|
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑞1
𝑝1
𝑞2
𝑝2
𝑞3
𝑝3
| 
E sua componente 𝑧 
𝐿3 = (𝑞1𝑝2 − 𝑞2𝑝1) 
 Os PP serão 
[𝑞1, 𝐿3] = {[𝑞1, 𝑞1]𝑝2 + 𝑞1[𝑞1, 𝑝2] − [𝑞1, 𝑞2]𝑝1 − 𝑞2 [𝑞1, 𝑝1]⏞ 
=𝟏
} 
[𝑞1, 𝐿3] = −𝑞2 𝑜𝑢 [𝑥, 𝐿𝑧] = −𝑦 (9.47𝑎) 
[𝑞2, 𝐿3] = 𝑞1 𝑜𝑢 [𝑦, 𝐿𝑧] = 𝑥 (9.47𝑏) 
[𝑞3, 𝐿3] = 0 𝑜𝑢 [𝑧, 𝐿𝑧] = 0 (9.47𝑐) 
 
Se girarmos as coordenadas generalizadas de um ângulo 𝜃 finito 
em torno do eixo 𝑧 teremos novas cooordenadas generalizadas 𝑋, 𝑌, z. O 
gerador dessa rotação é 𝐿𝑧, de maneira que compondo rotações 
infinitesimais [ 𝑋)𝜃=0 = 𝑥 𝑒 𝑌)𝜃=0 = 𝑦 ] 
zero zero zero
8 
20 
 
De (9.46) 
𝑋(𝜃) = 𝑥 + 𝜃[𝑋, 𝐿𝑧]0 +
𝜃2
2!
[[𝑋, 𝐿𝑧], 𝐿𝑧]0 +
𝜃3
3!
[[[𝑋, 𝐿𝑧], 𝐿𝑧], 𝐿𝑧]
0
+
𝜃4
4!
 [[[[𝑋, 𝐿𝑧], 𝐿𝑧], 𝐿𝑧] , 𝐿𝑧]
0
+⋯ 
[𝑋, 𝐿𝑧]0 = −𝑦 
[[𝑋, 𝐿𝑧], 𝐿𝑧]0 = −𝑥 
[[[𝑋, 𝐿𝑧], 𝐿𝑧], 𝐿𝑧]
0
= 𝑦 
[[[[𝑋, 𝐿𝑧], 𝐿𝑧], 𝐿𝑧] , 𝐿𝑧]
0
= 𝑥 
Logo, 
𝑋(𝜃) = 𝑥 − 𝜃𝑦 −
𝜃2
2!
𝑥 +
𝜃3
3!
𝑦 +
𝜃4
4!
𝑥 … = 𝑥 (1 −
𝜃2
2!
+
𝜃4
4!
… ) − 𝑦 (𝜃 −
𝜃3
3!
+ ⋯) 
Ou seja 
𝑋(𝜃) = 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜃) − 𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
Seguindo mesmo procedimento, teremos 
𝑌(𝜃) = 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
Que corresponde a girar o sistema de um ângulo 𝜃 em torno do eixo 𝑧 no sentido anti-
horário. 
 É claro, que o que foi feito acima é um tour de force para problemas até simples. 
A equação (9.46) não representa um método preferido por ninguém para resolver 
problemas de Mecânica Clássica. 
 Muito importante, fundamental mesmo, é o PP das componentes do momento 
angular 
[𝐿𝑖, 𝐿𝑗] = 𝜖𝑖𝑗𝑘𝐿𝑘 (9.48) 
 Onde 𝜖𝑖𝑗𝑘 é o tensor de Levi-Civita definido por 
𝜖𝑖𝑗𝑘 = {
 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠
 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çã𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 1,2,3
 −1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çã𝑜 í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 1,2,3 
 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1,2,3 (9.49) 
 E o PP de uma componente com o módulo ao quadrado do momento angular 
𝐿2 = 𝐿𝑥
2 + 𝐿𝑦
2 + 𝐿𝑧
2 
[𝐿𝑖, 𝐿
2 ] = 0 (9.50) 
 As demonstrações de (9.48) –(9.50) ficarão para a lista de exercícios. 
21 
 
Pular secção (9.7) do Goldstein 
O Teorema de Liouville 
É um teorema da Mecânica Estatística. Como é impossível resolver as equações 
diferenciais de movimento de 1 mol de uma substância, já que envolve um número de 
moléculas igual ao número de Avogrado ~1023, o que se pode fazer é obter médias de 
uma grandeza física qualquer (calor específico, magnetização, polarização, etc). Para 
isso, preparamos e inicializamos um grande número sistemas de maneira igual (igual de 
um ponto de vista macroscópico, por exemplo, mesma Temperatura, Pressão, 
Volume...) e analisamos a evolução temporal de todos esses sistemas. Esse conjunto de 
sistemas é chamado de ensemble. 
No espaço de fase esse ensemble corresponde a um volume infinitesimal 𝑑𝑉 
contendo um número de sistemas 𝑑𝑁 , em outras palavras, com densidade 𝐷 =
𝑑𝑁
𝑑𝑉
. Os 
sistemas do ensemble estão inicialmente no instante 𝑡1 em volta do ponto [𝑞(𝑡1), 𝑝(𝑡1)] 
(veja figura) e evoluem, sob a ação da Hamiltoniana para um instante 𝑡2. Isto significa 
que 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= [𝐷,𝐻] +
𝜕𝐷
𝜕𝑡
 (9.51) 
 
Os pontos iniciais no volume 𝑑𝑉 em torno de [𝑞(𝑡1), 𝑝(𝑡1)] estarão em torno do 
ponto [𝑞(𝑡2), 𝑝(𝑡2)] ligados por uma TC. Pela equação (9.35) , temos que um certo 
volume no espaço de fase não muda com o tempo. Todos os sistemas do ensemble 
estarão em volta deste novo ponto → 𝑑𝑁 é constante no tempo. Logo, 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= 0 (9.52) 
A equação (9.52) é a expressão matemática do Teorema de Liouville que afirma 
que a densidade de sistemas na vizinhança de algum ponto do espaço de fase não muda 
com o tempo. 
 
 
Obs.: O Tensor de Levi-Civita pode ser escrito 
𝜖𝑖𝑗𝑘 =
1
2
[𝛿𝑗,𝑖+1−𝛿𝑖,𝑗+1 + 𝛿𝑖,𝑘+1−𝛿𝑘,𝑖+1+𝛿𝑘,𝑗+1−𝛿𝑗,𝑘+1]