Conceitos Fundamentais e Estática dos Fluidos

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Síntese de Pesquisa
Conceitos Fundamentais e Estática dos Fluidos
Aluna
Joyce Ingrid Venceslau de Souto
Questionário
1) Como o vetor área apresenta componentes nas direções ordenadas (x,y,z, por exemplo) cujos valores são iguais à área projetada em cada um dos três planos espaciais (Ax, Ay e Az), demonstre que cada uma dessas áreas são calculadas pelo produto entre o módulo do vetor área (A) e o cosseno do ângulo complementar do ângulo entre esse vetor e a direção normal do plano ordenado considerado.
2) Estude e apresente um resumo sobre o conteúdo referente ao empuxo hidrostático e o momento resultantes sobre superfícies planas e curvas apresentado no livro do Potter et Wiggert, comparando-a com a metodologia utilizada pelo Fox et McDonald. Qual delas achou mais adequada? Por quê?
O empuxo hidrostático foi estudado e proposto, primeiramente, através do Princípio de Arquimedes. Através da observação, ele percebeu que todo corpo, parcial ou totalmente imerso numa massa fluida estática, fazia surgir uma força de reação à força peso do corpo e esta ocasionava um incremento no volume do recipiente que abriga o fluido, sendo essa reação conhecida como empuxo. Devido à própria geometria de análise, divide-se a metodologia aplicada em problemas envolvendo empuxo hidrostático de acordo com a superfície sobre a qual o esforço de empuxo aparece, podendo ser ela plana ou curva. 
Para superfícies planas, a metodologia adotada em ambos os autores é basicamente a mesma. Sabe-se que em uma superfície plana, as forças hidrostáticas agem normal à superfície e, além do seu módulo, é necessário também calcular o ponto de aplicação (suas coordenadas) dessa força sobre a superfície. Como a força sobre o diferencial de área sobre uma placa é dada pela mesma expressão para todos os pontos fluidos na superfície da placa, integra-se ela para obter a força hidrostática resultante, dada por:
	Substituindo a pressão na expressão acima pela expressão encontrada que relaciona a variação dessa grandeza pela diferença de altura em dois pontos e obtendo uma integral que pode ser reduzida ao centroide da superfície plana, obtém-se o seguinte: 
	Agora, para encontrar as coordenadas do ponto de aplicação da força hidrostática resultante, toma-se a integral dos momentos das forças infinitesimais em torno do eixo x. Faz-se a integração explicitando p como função de y, obtendo:
	Finalmente, obtêm-se:
	Analogamente ao procedimento feito para encontrar y’, para o x’, tem-se o seguinte:
Para uma superfície curva submersa, o Potter propõe um método alternativo para solução de problemas. Ao invés de se integrar a força hidrostática resultante sobre o elemento diferencial de área do problema, torna-se mais simples calcular as componentes dessa força, horizontal e vertical, separadamente. Isso é feito considerando o D.C.L. do bloco líquido englobado pela superfície curva. 
A partir disso, escreve-se as equações do equilíbrio estático para o bloco, obtendo as seguintes expressões:
	A intensidade da força hidrostática resultante é apenas o módulo das componentes acima descritas.
Tendo em vista ambas as metodologias adotadas, acredito ser mais adequada a aplicada pelo Potter em comparação a do Fox tendo em vista que existe uma maior quantidade de problemas envolvendo cálculo de momentos das forças calculadas inicialmente, de maneira independente à superfície analisada, e a metodologia adotada pelo Potter propõe primeiramente o cálculo dos momentos causados pelos esforços e, após isso, caso seja necessário, realiza-se o cálculo das coordenadas do ponto de aplicação da força, simplificando notoriamente o processo matemático. Frente a isso, a abordagem do Fox sugere primeiramente o cálculo do ponto de aplicação, em cada coordenada, sendo necessárias alguns cálculos paralelos para determinação de outras variáveis que não teriam a ver diretamente com o problema em questão e geralmente se chega a integrais mais complexas de se resolver, para após tudo isso realizar o cálculo de momentos. E especialmente no caso do cálculo da força hidrostática em corpos submersos, o Potter propõe um método alternativo para solução de problemas. Ao invés de se integrar a força hidrostática resultante sobre o elemento diferencial de área do problema, torna-se mais simples calcular as componentes dessa força, horizontal e vertical, separadamente.
3) Recupere, apresente e explique as condições de equilíbrio e de estabilidade de corpos flutuante e a diferença entre a estabilidade de corpos completamente e parcialmente imersos em líquidos estáticos. Numa aplicação marítima, quais fenômenos e situações naturais poderiam alterar essa estabilidade?
		As condições de equilíbrio e de estabilidade de corpos flutuantes e a diferença entre a estabilidade entre corpos parcial e totalmente imersos demandam alguns conhecimentos básicos sobre empuxo, brevemente abordados na questão anterior. Primeiramente, um corpo pode ser classificado como flutuante quando a ação de forças sobre a superfície molhada dele, resultando em um esforço vertical que o faz se deslocar em direção a superfície do fluido (estático), podendo aquele ficar parcialmente flutuante ou inteiramente submerso. Depois, o estado de forças sobre corpos flutuantes para se refletir as suas condições de equilíbrio fazem referência ao equilíbrio estático de forças, ou seja, um quadro de esforços que permita ao corpo não realizar movimento translacional e, como a partir da análise de empuxo em superfícies curvas, observa-se que componentes lateais de um equilíbrio dessa natureza se cancelariam mutuamente, resta o cálculo desse equilíbrio com as componentes normais de forças. Assim, tem-se que o empuxo resultado num corpo sob ação apenas da força peso e do empuxo é equivalente a: 
		Integrando a expressão acima para todo o volume do corpo e igualando a força peso do corpo flutuante (), tem-se:
		A partir dessa relação, pode-se discutir acerca da estabilidade de corpos parcial ou completamente imersos em líquidos estáticos, através da correlação entre e , de forma que: se for maior que , o corpo submerge no fluido; se for igual a , o corpo flutua completamente imerso no fluido e se for menor a , o corpo ascende no fluido e flutua parcialmente sobre ele. Enquanto as condições de equilíbrio fazem referência a simplificação do ponto de aplicação de forças que, desde a mecânica clássica, são postas no centro de gravidade do corpo, as condições de estabilidade se referenciam ao ponto de concentração de pressão, ou também chamado de centro de flutuação (ou centro de carena), que está ligada ao equilíbrio rotacional do corpo flutuante. A análise de estabilidade sempre leva em conta a posição de ambos os centros (CG e CC) e é com base na disposição deles no corpo que se é capaz de concluir sobre o equilíbrio do corpo. Para sumarizar isto e suas consequências, basta observar a figura a seguir.
		Especialmente no caso (c), onde o CG está acima do CC, constitui uma instabilidade no corpo flutuante que, para retornar a sua posição de estabilidade, surgirá um momento restaurador de forma a girar o corpo e devolvê-lo a sua condição de estabilidade inicial.
Numa aplicação marítima, imagina-se algumas situações naturais que poderiam causar um desequilíbrio ou instabilidade, sob a luz do que foi explicado anteriormente, seriam algumas delas: a passagem de correntes marítimas, a passagem de transportes marítimos de grande porte para transporte de pessoas (transatlânticos) ou produtos (cargueiros), movimentação das placas tectônicas, derretimento e afundamento de grandes blocos de gelo nos pólos. 
4) A partir da equação geral de equilíbrio estático para massas fluidas com aceleração constante, obtenha as expressões para (i) a pressão no interior do líquido e (ii) função da cota z da superfície livre em função da outra coordenada do problema nas seguintes situações: (a) massa líquida de geometria cartesiana com vetor aceleração retilínea constante; (b) rotação de reservatório com geometria cilíndrica contendo líquido com velocidadeangular constante em torno do eixo de simetria.
a)
Nesse caso, com o escoamento unilateral, simplifica-se a equação de equilíbrio estático, resultando em:
	Dessa forma, a pressão se torna independente de y e a diferencial de P se torna:
		Tomando o ponto 1 como a origem das coordenadas e onde a pressão é P0, e o ponto 2 como qualquer ponto no fluido, integra-se a equação acima, obtendo o seguinte:
		Sendo assim, obtém-se a distribuição de pressão pode ser expressa como:
(i) 
A elevação vertical da superfície livre no ponto 2 com relação ao ponto 1 pode ser determinada pela escolha de um dos pontos sobre a superfície livre de modo que P1=P2. Logo, tem-se que:
(ii) 
b) Considerando a geometria do recipiente ser um sólido de revolução, existe simetria no eixo z e não há dependência de . Nesse caso, simplifica-se a equação de equilíbrio estático, resultando em:
Dessa maneira, a diferencial total de P se torna:
	A equação para superfícies a pressão constante, iguala a expressão a 0, substitui por , e deixar esse termo em função da diferencial de r. Após isso, basta integrar a expressão, obtendo o seguinte: 
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