Análise Diferencial e Integral do Movimento Fluido

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Síntese de Pesquisa
Análise Diferencial e Integral do Movimento Fluido
Aluna
Joyce Ingrid Venceslau de Souto
Questionário
1. Descreva e comente sobre o teorema do transporte de Reynolds e como ele viabilizou a obtenção de equações integrais de conservação para volumes de controle;
O teorema do transporte de Reynolds permitiu descrever a taxa de variação de uma dada propriedade extensiva arbitrária de um sistema de controle a partir das variações associadas a essa propriedade a partir de um volume de controle. A partir desse teorema, foi possível estudar as propriedades de um fluido usando a abordagem euleriana a partir das leis da física que, para o estudo de movimento de partículas, têm sua aplicação direta e que foi necessário um conjunto de conversões matemáticas para que elas fossem aplicáveis quando se estuda propriedades relativas a regiões do espaço (volumes de controle). Os desdobramentos teóricos, desde a concepção do que seria um sistema e volume de controle até a expressão matemática que recebe o nome deste teorema estão sumarizados na figura abaixo.
Figura 1 – Volume de controle fixo arbitrário.
Fonte: https://members.tripod.com/hdf_cv/Hidraulica/Teorema_Reynolds_P.gif
	Como é possível observar pela Fig. 1, só foi possível viabilizar todo o desenvolvimento matemática, que objetivou transformar as leis básica da Física – foram elas: conservação da massa, quantidade de movimento linear e angular, primeira e segunda leis da termodinâmica, expressando estas como equações de taxa e, a partir disso, aplicar a definição de derivada de acordo com as regiões do volume de controle que, de fato, faziam parte das fronteiras do sistema em um tempo inicial e em um tempo infinitesimal após este. Para melhor visualizar a movimentação do sistema em comparação ao volume de controle fixo, pode-se observar a Figura 2 que demonstra precisamente essa informação através da movimentação de um fluido através de uma tubulação.
Figura 2 – Escoamento em uma tubulação e a análise em sistema e volume de controle.
Fonte: encurtador.com.br/ipyEQ
	Como todas as equações das leis básicas se referem a taxas temporais de uma dada propriedade do fluido, foi possível viabilizar o teorema do transporte de Reynolds relacionando esta, para um sistema de controle, em função da mesma taxa no interior de uma região. Para conseguir isso, primeiramente, representou-se todas as variáveis extensivas das leis físicas com a mesma variável N e associou-se à ela uma propriedade intensiva . Após a análise do volume de controle arbitrário, a partir de uma formulação de derivada, obtêm-se a seguinte expressão: 
	Na qual cada termo indicado necessita ser avaliado de forma que se obtenha a taxa de variação de uma propriedade extensiva N associada a um sistema em função de expressões, analisadas individualmente a partir de 1,2 e 3, que são equações integrais do volume de controle relacionando as propriedades intensivas do mesmo fluido.
2. Explore as versões completas das equações de conservação da massa, quantidade de movimento linear e quantidade de movimento angular e explique semântica e fisicamente o que significa cada termo dessas equações integrais de conservação.
	A partir do teorema de transporte de Reynolds, é possível então substituir as variáveis extensiva e intensiva pelas suas correspondentes em cada caso específico das leis básicas da física, a exemplo da conservação de massa e da quantidade de movimento linear e angular. 
	Então, no caso do equacionamento referente à conservação da massa, ao realizar as substituições necessárias, fazendo e a partir da expressão do teorema de transporte de Reynolds, e sabendo que a taxa mássica é zero pela própria definição desta lei física, tem-se a seguinte expressão:
	Semanticamente, o primeiro indica que existe uma taxa temporal, indicada pelo diferencial de tempo, da variação mássica, uma vez que houve um desenvolvimento matemático do qual se partiu de . Daí, no segundo termo, conhece a integral de sobre uma área A como a taxa de fluxo de volume ou vazão volumétrica. Como esta ainda é multiplicada pela massa específica do fluido, o integrando se refere também a variação mássica e sua integral sobre a superfície de controle (SC) indica que essa taxa de fluxo mássica está ocorrendo nos limites do volume de controle. Assim, fisicamente, como na expressão geral do teorema, o primeiro termo dessa equação se refere a taxa de variação mássica dentro do volume de controle. Já o segundo termo está relacionado a taxa líquida de fluxo mássica para fora do volume de controle, através de sua superfície. Ambos os termos somados resultarem em zero significa que a causa física do aumento da taxa mássica dentro do VC é justamente a taxa líquida de fluxo de massa que entra no VC, uma vez que isolando os termos, o segundo adquire sinal negativo e sua interpretação física seria a oposta ao explicado para a equação geral. Ademais, ressalta-se que a interpretação física do segundo termo depende também do resultado do produto interno uma vez que o vetor é sempre orientado para fora do volume de controle e depende do caso, podendo ser paralelo e no mesmo sentido de ou paralelo e com sentido oposto ao de . Naquele caso, interpreta-se que o escoamento está ocorrendo para fora do volume de controle (produto interno positivo), enquanto neste caso se interpreta que o escoamento está ocorrendo para dentro do volume de controle (produto interno negativo).
	Já no caso do equacionamento referente à quantidade de movimento linear, nesse caso geral, se aplica para volumes de controle acelerados e, a partir disso, infere-se que a movimentação das coordenadas cartesianas (xyz) é arbitrária desde que as velocidades tenham como referencial o VC. Por conta disso, deve-se primeiramente relacionar as derivadas temporais da quantidade de movimento do volume de controle relativa ao referencial inercial (XYZ) com a do referencial (xyz), que está acelerando com relação ao referencial inercial. Daí, utiliza-se a equação de movimento relativo () e se conclui, por ser um movimento de translação pura, que a as acelerações estariam relacionadas da mesma forma, isto é, com os mesmos índices contidos na equação de movimento relativo.
Assim, fazendo e a partir da expressão do teorema de transporte de Reynolds e considerando que a força resultante sobre o volume de controle inclui forças de campo () e de superfície (), combina-se as expressões para a equação de movimento linear e para a conversão de sistema para VC, obtém-se a formulação geral da 2ª lei de Newton para um VC acelerado, dada por:
	Vale ressaltar que a equação acima é vetorial, portanto, geralmente é escrita decompondo as três componentes escalares – para , substitui-se por ; para , substitui-se por ; para , substitui-se por , e colocando os subscritos correspondentes à coordenada aos termos da equação. Analogamente ao que se interpretou na equação integral da conservação de massa, aqui temos que a força total resultante da ação das forças de campo (normalmente a força gravitacional) e superfície sobre o volume de controle leva em conta a taxa de variação da quantidade de movimento linear dentro do volume de controle (primeiro termo), enquanto o segundo termo está relacionado a taxa líquida através da qual a quantidade de movimento está saindo pela SC. A interpretação semântica também é semelhante a considerada no caso da conservação de massa, apenas trocando a nomenclatura dada pelos termos para o seu equivalente no presente caso, isto é, o primeiro termo da direita indica que existe uma taxa temporal, indicada pelo diferencial de tempo, da variação de quantidade de movimento. Daí, no segundo termo, a integral de vazão volumétrica sobre uma área A multiplicada pela massa específica do fluido e por , infere-se que a integral sobre a superfície de controle (SC) indica que essa taxa líquida da quantidade de movimento está ocorrendo nos limites de VC. Além disso, a única diferença desta expressão para a de VC inercial é o termo contendo a aceleração retilíneaque representa a movimentação acelerada do referencial do volume de controle com relação ao referencial inercial. Ademais, cuidados devem ser tomados novamente com relação a avaliação do sinal resultado do produto escalar , presente no segundo termo da equação, bem como selecionar um volume de controle adequado para simplificar a análise de forças atuantes nele.
	Para a formulação de VC para a quantidade de movimento angular, escolheu-se a abordagem do VC inercial, equacionando o princípio em relação em sistema, daí expressando a quantidade de movimento angular com relação ao VC inercial e, então, utilizando o teorema do transporte de Reynolds para realizar a conversão da propriedade do sistema para o volume de controle. Assim, fazendo e a partir da expressão do teorema de transporte de Reynolds e considerando que a força resultante sobre o volume de controle inclui os torques provocados pelas forças de campo, superfície e por eixos externo ao VC, tem-se a seguinte expressão:
	Analisando a expressão, nota-se que os termos a esquerda da equação se referem ao torque do sistema com relação a força de superfície que age sobre ele: o primeiro é o torque causado por forças de superfície, o segundo pela força de campo (gravitacional, na maioria dos casos em estudo) e o terceiro é o torque causado por eixos que cruzam a SC. Semelhantemente aos casos analisados anteriormente para as outras leis básicas, os termos a direita da equação levam em conta, respectivamente, a taxa de variação da quantidade de movimento angular dentro do volume de controle e a taxa líquida de fluxo de quantidade de movimento angular que atravessa a superfície do VC. 
3. Obtenha matematicamente de forma detalhada a equação integral de conservação da quantidade de movimento linear para volume de controle com aceleração qualquer e comente sobre o significado físico de cada termo obtido. Quais termos seriam importantes na formulação do movimento de um surfista que usa kitesurf para se divertir num açude de grande extensão como o reservatório da cidade de Boqueirão que abastece Campina Grande? 
	Para se desenvolver matematicamente a equação integral que expressa a quantidade movimento linear para um volume de controle com aceleração arbitrária, primeiramente se deve escrever a 2ª lei de Newton para um sistema de coordenadas arbitrário e acelerado, daí se usa o teorema de transporte de Reynolds para a formulação do volume de controle. De acordo com a sequência de passos a ser desenvolvida, em primeiro lugar, tem-se que a 2ª lei de Newton para um sistema se movimentando com relação a um sistema de coordenadas inercial dada por:
 (1)
	Sabe-se que XYZ denota o sistema de coordenadas inercial, desde que:
 (2)
	E a massa do sistema – – é constante,
 (3)
	Agora, para relacionar a aceleração com a , que é a medida com relação ao referencial acelerado, é necessário considerar este de acordo com a Figura 3, situada logo abaixo.
Figura 3 - Localização de uma partícula em relação a um sistema de referência inercial (XYZ) e acelerado (xyz).
Fonte: encurtador.com.br/esQW3
	De acordo com a figura acima, pode-se visualizar que o referencial acelerado xyz está localizado por um vetor em relação ao referencial inercial XYZ. Por conta da consideração de aceleração arbitrária, também se nota que o referencial xyz rotaciona com uma velocidade angular e, além disso, a partícula está localizada instantaneamente localizada com relação ao referencial xyz por um vetor de posição . Logo, pela geometria da figura, a posição da partícula com relação ao referencial inercial é . A partir disso, pode-se escrever a velocidade da partícula com relação a um observador no referencial inercial por:
(4)
	Onde é a velocidade instantânea do volume de controle relativa ao referencial XYZ. Agora, avaliando a derivada de , deve-se notar que ambas magnitude e orientação dos vetores unitários - ,, - são funções do tempo. Assim, tem-se que:
(5)
	Os termos , e são as componentes da velocidade da partícula com relação a xyz. Logo, escreve-se: 
 (6)
	Para um sistema de coordenadas puramente rotativo, tem-se que:
(7)
	Então, combinando as Eqs. 5, 6 e 7, obtém-se o seguinte:
 (8)
	Substituindo a Eq. 8 na Eq. 4, 
 (9)
	A partir disso, a aceleração da partícula com relação a um observador no referencial inercial XYZ é expressa por:
 (10)
	Observa-se que ambos e são medidos com relação ao referencial acelerado xyz, então os mesmos cuidados tomados ao desenvolver a Eq. 8 devem ser tomados agora. Logo, 
 (11)
	E também,
 
 (12)
	Substituindo as Eqs. 11 e 12 na Eq. 10, teremos
 (13)
	Agora, substituindo a Eq. 13 no último resultado obtido na Eq. 3, tem-se:
 (14)
	Além disso, sabendo que
 (15)
	Combina-se as Eqs. 14 e 15, obtendo:
 (16)
	Então, está obtida a formulação da 2ª lei de Newton para um sistema, mostrada na Eq. 16. Obtendo esta para um volume de controle, basta considerar o teorema de transporte de Reynolds, cuja expressão está contida na Fig. 1, e estabelecer e . Dessa forma, teremos que
 (17)
	A Equação 17 é a formulação completa mais generalista da 2ª lei de Newton. Percebe-se que, ao comparar a Eq. 17 com aquela obtida na 2ª questão, para um volume de controle se movendo com uma aceleração retilínea, a diferença é o acréscimo de três termos na integral do VC a esquerda da equação. De forma geral, esses termos representam a movimentação rotacional do referencial xyz, referentes respectivamente a: força de Coriolis causada pelo movimento da partícula no referencial xyz; a força centrípeta devida à rotação do referencial acelerado; a força tangencial causada pela aceleração angular do referencial xyz. No caso especial no qual não existe rotação do referencial acelerado, os termos referentes a esse movimento (, e ) são nulos e a equação se torna aquela obtida para um volume de controle com aceleração retilínea. Já no caso da formulação do volume de controle inercial, todos os termos referentes ao movimento acelerado do VC (, e ) são nulos. Ademais, os cuidados que devem ser tomados são os já citados no caso da formulação para um VC com aceleração retilínea, que seriam a escolha do volume de controle, de forma a simplificar os cálculos de forças, e nomear adequadamente as direções das coordenadas do referencial do VC (xyz) e do inercial (XYZ).
	Para formular do movimento de um surfista que pratica kitesurfing, sabe-se que uma das principais características à prática desse esporte que se diferencia em comparação ao surf é que, com o uso do kite, estabelece-se uma notória relação do movimento do surfista com a intensidade e a direção do vento, uma vez que o impulso causado no kite pela influência do vento é devida a sustentação aerodinâmica, baseada na teoria de Bernoulli, segundo a qual, essa sustentação se deve a diferença de pressão devido ao aumento de velocidade na parte superior do kite. Levando isso em consideração e para efeito de simplificação analítica, pode-se considerar o volume de controle como sendo o conjunto surfista e prancha, parcialmente imersa na água, no qual o referencial acelerado xyz estaria nele e o inercial XYZ estaria na superfície do açude. Para determinar onde exatamente estaria localizado o sistema de coordenadas do referencial, considera-se que este, no caso do referencial xyz, está no tornozelo do surfista, que é o ponto no qual ocorre a conexão dos componentes do VC, e, no caso do referencial inercial, a origem do sistema de coordenadas poderia estar em um banhista (observador) no açude. Assim sendo, de forma simplificada, o esquema de forças nesse VC é dado de acordo com a Figura 4 abaixo.
Figura 4 - Ilustração básica de forças no volume de controle considerado.
Fonte: https://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-32892011000300013 
	Onde A é a força de reação ao arrasto e sustentação do kite, B é a força de arrasto da água (ondas), C é a força peso do surfista, D é o momento causado pelo binário de forças A e B, e E é o momento causado por C. Considerando as forças ilustradas na Fig. 4 e que a própria naturezade movimento do VC de controle considerado, com ou sem o kite, cuja cinemática pode ser visualizada na Fig. 5, possibilita-o se movimentar de forma translacional ou rotacional, com uma aceleração arbitrária que depende da movimentação dos ventos e das ondas. 
Figura 5 – Graus de liberdade existentes no kite, considerando referenciais nele e no chão.
Fonte: https://wes.copernicus.org/articles/4/1/2019/
	Dessa forma, para a formulação do movimento do surfista, utilizar-se-ia a formulação da 2ª lei de Newton para um volume de controle com aceleração arbitrária e pode ser eliminado o termo dado que não existiria notoriamente nenhuma força de superfície agindo sobre o VC dado que um açude não teria efeito de ondas nem correntes, uma vez que a água é represada.
4. Aplique a conservação da quantidade de movimento angular para analisar uma turbina a gás, por exemplo, obtendo e interpretando os termos da expressão final da equação de Euler para essa turbomáquina, assim como seu triângulo de velocidades característico.
	Primeiramente considera-se o princípio da conservação da quantidade de movimento angular, cuja expressão foi explorada na questão 2 e resgatada logo abaixo, aplicado ao volume de controle, presente na Figura 6, tendo como origem o eixo do rotor.
	Para o caso de uma turbina a gás, pode se desconsiderar os torques causados devido às forças de superfície e de campo (gravitacional), e considerando o regime permanente, a formulação acima resulta em:
 (1)
Figura 6 – Volume de controle para rotor de uma turbomáquina.
Fonte: https://www.kau.edu.sa/Files/0057863/Subjects/Chapter%206.pdf
Considerando uma máquina geradora e usando as relações do triângulo de velocidades na entrada do sistema de controle (1), sabendo que é o ângulo formado entre e 
E a partir do triângulo de velocidades na saída do SC (2):
	Aplicando a Eq. 1 ao rotor da Figura 6, que representa o rotor da turbina a gás, temos
	Realizando as substituições com as relações trigonométricas estabelecidas, obtém-se
	A equação obtida é a conhecida como a equação da turbomáquina de Euler, sendo válida tanto para turbinas quanto para bombas. Contudo, no caso da turbina, que é uma turbomáquina com saída de trabalho, a velocidade de saída é menor que a de entrada e, para que o torque no eixo resulte em valor numérico positivo, troca-se a ordem dos operandos na subtração. Logo, ficamos com 
A equação acima indica que os componentes de velocidade normal ( e ) bem como a pressão que atua nas áreas circunferenciais interna e externa do volume de controle, passam pelo centro do eixo e, por conta disso, não contribuem para o torque sobre a origem. 
5. Faça uma análise dos termos da equação integral da conservação da energia e identifique quais os mais importantes para formular as conversões de energia que ocorrem em um ventilador doméstico e em um aerogerador eólico.
		Ao se analisar a equação integral de volume de controle para a primeira lei da termodinâmica, temos que:
		Onde
		Sabendo que é a energia interna específica do volume de controle de volume , é a velocidade do volume de controle de volume , é a altura do VC de volume relativa a uma referencial e é a aceleração da gravidade. A partir dessa formulação, pode-se inferir que o lado esquerdo da equação se refere ao balanço da taxa energética que ocorre no volume de controle, tendo como entrada a taxa de transferência de calor sobre o VC e como saída o somatório da taxa dos trabalhos realizados pelo VC sobre o meio, na qual se caracteriza: como sendo a taxa do trabalho de eixo causado pelas forças de superfície para fora do VC; como sendo a taxa do trabalho causado pelas forças de cisalhamento que agem para fora das fronteiras do VC; que representa a taxa do trabalho causado por outras forças de campo, como aquelas oriundas de outras formas de energia, como elétrica, eletromagnética, etc. Analogamente a interpretação das demais formulação das leis básicas da física, o primeiro termo a direita da equação representa a taxa temporal da energia no interior do VC e o segundo termo se refere a taxa de fluxo energético que cruza as fronteiras do volume de controle.
Um ventilador, de maneira geral, tem seu princípio de funcionamento similar ao de uma bomba, ou seja, ele é um dispositivo mecânico que recebe trabalho através de um motor elétrico e gera energia hidráulico (de fluido que, no caso, seria o ar) através do movimento das pás. Os ventiladores domésticos são classificados como ventiladores axiais tipo propeller e, no caso destes, o termo de velocidade é de primordial importância uma vez que a análise de escoamento desse tipo de equipamento depende do triângulo de velocidades obtido, como sugere a Figura 7 abaixo. 
Figura 7 – Modelo de escoamento num ventilador: (a) geometria da pá do ventilador; (b) velocidades nas seções de entrada e de saída do rotor.
Fonte: http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/TM120/APOSTILA_MH/capitulo2_teoriageral__MAQUINAS%20DE%20FLUXO.PDF
	Sendo a velocidade da pá dada , onde é a distância radial medida a partir do eixo do ventilador, a velocidade absoluta do fluido (que vista por um observador estacionário) é denominada e a velocidade relativa (que é vista por um observador solidário às pás) é denominada . A velocidade real do fluido (absoluta) é igual a soma vetorial da velocidade relativa com a velocidade das pás. Ou seja,
Já os aerogeradores eólicos têm seu princípio de funcionamento similar ao de uma turbina, ou seja, ele é um dispositivo mecânico que recebe energia hidráulica através de movimento das pás causado pela movimentação das massas de ar e gera trabalho que é armazenado em baterias após uma série de reduções. Contudo, por se tratar de uma turbomáquina, o termo de velocidade continua tendo sua grande importância no caso dos aerogeradores, cujo modelo de escoamento e triângulo de velocidades está posto na Figura 8.
Figura 8 – Modelo de escoamento num moinho de vento: (a) geometria da pá do moinho; (b) velocidades nas seções de entrada e de saída do rotor.
Fonte: http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/TM120/APOSTILA_MH/capitulo2_teoriageral__MAQUINAS%20DE%20FLUXO.PDF
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