01 MA COC DinÃmica e EstÃtica AvanÃadas

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DINÂMICA E ESTÁTICA AVANÇADAS 
Renato de Brito Sanchez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO A DINÂMICA E ESTÁTICA AVANÇADA ................................ 3 
2 FUNDAMENTOS DE ESTABILIDADE ........................................................ 11 
3 TRAÇÕES E ESTABILIDADE ..................................................................... 17 
4 CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................. 23 
5 CINEMÁTICA .......................................................................................... 31 
6 DINÂMICA DOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS............................................ 38 
 
 
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3 
 
 
1 INTRODUÇÃO A DINÂMICA E ESTÁTICA AVANÇADA 
1.1 Conceitos básicos 
A Mecânica é conhecida como a área da física que se concentra no estudo do repouso 
e do movimento dos corpos, estando estes sob a ação ou não de forças. Ela se divide 
nas áreas da dinâmica, cinemática e estática. Todos os movimentos que acontecem em 
nosso cotidiano podem ser representados pelas equações desse campo. 
O estudo da mecânica é de suma relevância para uma enorme cadeia de profissões, 
por essa razão é o conteúdo da física mais exígido em exames e vestibulares. Alguns 
profissionais lidam diariamente com as arestas deste campo, como engenheiros 
mecânicos, engenheiros agrônomos, engenheiros hidráulicos, engenheiros civis, 
físicos, arquitetos e outros. 
 
1.1.1 Centroides e centros de massa 
Segundo Mabie (1998), o Centro de Massa de um corpo ou de um sistema é o ponto 
que se move como se toda a massa do sistema se concentrasse nele e todas as forças 
externas também fossem aplicadas nesse mesmo ponto. No centroide, as coordenadas 
são as médias das coordenadas dos pontos que formam uma figura geométrica. Veja 
na figura a seguir: 
Figura 1.1 – Centro de massa de um martelo rotacionando 
 
Fonte: H5P (s.d.). 
, 
 
 
4 
 
1.1.2 Vetores e álgebra matricial 
A Algebra matricial é uma sintese das operações de adição e multiplicação envolvendo 
matrizes escalares, e serve como importante método para saber a permissividade de 
operações ao adicionar ou multiplicar duas ou mais matrizes. Uma matriz é um arranjo 
retangular de elementos (números, variáveis aleatórias, letras): 
 
𝐴(2×3) = [
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
] 
 
Um vetor é uma matriz com somente uma linha (vetor linha) ou somente uma coluna 
(vetor coluna). 
𝐴(1×3) = [𝐴11 𝐴12 𝐴13]; 𝐴(3𝑥1) = [
𝐴11
𝐴21
𝐴31
] 
 
 
1.1.3 Forças e momentos 
O “Torque” ou o “momento” é a ação de girar ou torcer um objeto em torno de seu 
eixo de rotação ao aplicar força. Para aplicar torque a um objeto, a força imposta a ele 
deve ser inconsistente com seu eixo de rotação. A distância entre o ponto de aplicação 
da força e o polo magnético é chamada de braço de alavanca. 
De acordo com o SI (Sistema Internacional de Unidades), a unidade de medição de 
torque é o metro Newton (N.m). Além disso, o torque é uma grandeza vetorial, 
calculada pelo produto vetorial (ou produto externo) entre o braço de alavanca (r) 
(também chamado de linha de ação) e a força (F). O torque e o módulo de torque 
podem ser calculados usando a fórmula abaixo: 
�⃗� = �⃗� × �⃗⃗� → |𝝉| = 𝒓 × 𝑭 × 𝒔𝒆𝒏𝜽 
, 
 
 
5 
 
Podemos deduzir que torque é o produto vetorial entre a distância do eixo de rotação 
e a força aplicada sobre o mesmo. 
 
1.1.4 Equilíbrio de partículas 
Uma partícula está em equilíbrio quando o seu vetor velocidade é constante. Para que 
um vetor seja constante, ele deve ter sempre a mesma direção, o mesmo sentido e o 
mesmo módulo. 
O equilíbrio estático ocorre quando a partícula está em repouso. Neste caso, o vetor 
velocidade é zero (v→=0→v→=0→) e o vetor aceleração também é zero 
(a→=0→a→=0→). 
Já o equilíbrio dinâmico ocorre quando a partícula está em movimento retilíneo 
uniforme, isto é, o vetor velocidade é constante e diferente de zero (v→v→≠ 0→0→ e 
constante) e o vetor aceleração é zero (a→=0→a→=0→). 
 
1.2 Equilíbrio de corpos rígidos 
Para que um corpo rígido se mantenha em equilíbrio, o corpo rígido não pode ser 
girado, nem movido. Portanto, duas condições precisam ser atendidas: 
1) A força resultante exercida sobre o seu centro de massa deve ser zero (sem se 
mover ou com velocidade constante); 
2) O resultado do momento aplicado ao corpo deve ser vazio (não estar girando 
ou estar girando, mas com velocidade angular constante). 
Quando essas duas condições são atendidas, qualquer corpo pode manter o equilíbrio. 
Citamos por exemplo as pedras abaixo, que necessitam de um corpo no centro da 
massa da pedra base, para que se mantenha de pé a estrutura. 
 
, 
 
 
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Figura 2.2 - Equilíbrio de pedras 
 
Fonte: BEDUKA (2019). 
 
1.2.1 Diagrama de corpo livre 
Em física e engenharia, um diagrama de corpo livre é uma ilustração gráfica usada para 
visualizar as forças aplicadas, momentos e reações resultantes em um corpo em uma 
determinada condição. Eles representam um corpo ou corpos conectados com todas 
as forças, momentos e reações aplicadas, que atuam no corpo. Como na imagem a 
seguir. 
 
Figura 1.3 – Exemplo de diagrama de corpo livre 
 
Fonte: PASSEI DIRETO (s.d.). 
 
, 
 
 
7 
 
1.2.2 Equilíbrio de forças e momentos 
O corpo, independentemente de ser extenso ou pontual, se submete à força 
resultante. Portanto, de acordo com o estabelecimento da primeira lei de Newton 
(conhecida como lei da inércia), um objeto em estado de equilíbrio pode estar em 
estado estático ou em movimento linear uniforme, que são chamados de equilíbrio 
estático e equilíbrio dinâmico. 
 
1.2.3 Graus de liberdade e vínculos 
O grau de liberdade é o número de movimentos rígidos possíveis e independentes que 
o corpo pode realizar. A ligação é todo o elemento de ligação entre as várias partes da 
estrutura, ou entre a estrutura e o meio externo, e tem como objetivo limitar um ou 
mais graus de liberdade do corpo. Para que o vínculo atinja esta função, ele deve estar 
na direção que impede o movimento, e reagirá na mesma direção. 
 
1.3 Equilíbrio de estruturas 
Quando a grandeza externa e a grandeza interna têm o mesmo módulo, a estrutura 
está em estado de equilíbrio estático, no qual a soma de todas as deformações da 
força interna produzirá o movimento e o deslocamento da reação na estrutura. O 
equilíbrio estático do sistema de força coplanar deve satisfazer as condições das três 
equações estáticas seguintes: 
A soma das forças horizontais igual a zero (S H=0). 
 
 
 
, 
 
 
8 
 
A soma das forças verticais igual a zero (S V=0). 
 
 
A soma dos momentos das forças e dos momentos sobreposto é igual a zero (S M=0). 
 
1.3.1 Treliças 
Na engenharia estrutural, uma treliça é uma estrutura composta por cinco ou mais 
elementos triangulares. 
Estes elementos triangulares são compostos por elementos lineares cujas 
extremidades são conectadas em pontos chamados nós. Considere de uma maneira 
simplificada a aplicação de forças externas e forças de reação a esses mesmos nós. 
Uma vez que todas as costuras são consideradas marcadas (rotação livre), e conforme 
mencionado anteriormente, devido às forças externas e forças de reação que são 
aplicadas aos nós, as forças geradas nos vários elementos da estrutura são de tração 
ou compressão. 
 
 
 
 
 
, 
 
 
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Figura 1.4 – Exemplo de treliça 
 
Fonte: GRUPO ABR. (s.d.). 
 
1.3.2 Pórticos 
Na teoria de estruturas, um pórtico é definido por elementos de barras situadas em 
um único plano, tais como pilares e vigas, que associados e com carregamento atuante 
no mesmo plano do sistema estrutural, promovem a estabilidade e a resistência aos 
esforços normais, cortantes e de flexão nos elementos da estrutura. 
Considerando a Teoria das Estruturas, há diversos tipos de pórticos, dentre eles: 
Pórticos Bi apoiados, Engastados-Livres, Tri articulados, Bi apoiados com Articulação eTirante, Compostos, e Pórticos com Barras Inclinadas. 
 
1.3.3 Mecanismos 
Um mecanismo é conhecido como um conjunto de elementos rígidos móveis uns em 
relação aos outros, ligados por diferentes tipos de juntas (pernas, juntas de contacto, 
pinos etc.) denominadas pares cinemáticos, cuja finalidade é transmitir, transformar 
movimento e força. Dessa forma, eles são abstrações teóricas das funções da máquina, 
e sua pesquisa envolve a teoria do mecanismo. 
De acordo com os princípios da álgebra linear e da física, um esqueleto vetorial é 
criado e, assim, um sistema de equações é formado. Ao contrário de questões básicas 
de cinemática ou dinâmica, a máquina não é considerada uma massa pontual e, uma 
, 
 
 
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vez que os elementos que constituem a máquina têm uma combinação de 
movimentos relativos de rotação e translação, é necessário considerar conceitos como 
centro de gravidade, momento de inércia e velocidade angular. 
 
Conclusão 
Neste bloco vimos a importância da dinâmica e da estática no dia a dia da engenharia. 
A mecânica é uma grande área da física que estuda movimento e repouso, e partimos 
desse princípio para calcular e mensurar os vetores dentro da álgebra. 
Vimos também o equilíbrio de corpos rígidos e seu centro de massa, equilíbrio de 
forças e momentos. Acompanhamos a importância dos graus de liberdade e seus 
vínculos no equilíbrio de estruturas, assim como a definição de treliças e pórticos 
dentro da mecânica estrutural. 
 
REFERÊNCIAS 
BEDUKA. “Equilíbrio – aprenda o que é, os tipos e as condições”. In: Física, 2019. 
Disponível em: <https://bit.ly/2USdCjV>. Acesso em: 23 nov. 2020. 
GRUPO ABR. Treliça. Disponível em: <https://bit.ly/3pT7eqP>. Acesso em: 23 nov. 
2020. 
H5P. Disponível em: <https://h5p.org/h5p/embed/35275>. Acesso em: 23 nov. 2020. 
MABIE, H. H; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and Dynamics of Machinery. Hoboken: 
John Wiley & Sons, 1998. 
Passei Direto. Disponível em: <https://bit.ly/2UVyBSW>. Acesso em: 23 nov. 2020. 
 
 
 
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2 FUNDAMENTOS DE ESTABILIDADE 
Estabilidade é a qualidade de estável, é aquilo que mantém o equilíbrio, não varia e 
permanece no mesmo lugar durante um determinado período. Podemos dividir a 
estabilidade em Estabilidade estática e Estabilidade dinâmica. 
A estabilidade estática é neutra quando os momentos que atuam sobre o corpo são 
zero e com isso ele se encontra em equilíbrio, e quando perturbado não sofre 
alteração no seu estado inicial. Já um corpo é dinamicamente estável se, por conta 
própria, ele acaba voltando a sua posição de equilíbrio e permanece nela com o passar 
do tempo. 
 
2.1 Esforços internos 
Quando uma força é aplicada a uma viga, uma força interna que consiste em tensão 
normal e tensão de cisalhamento geralmente aparece em vários pontos dentro dela. 
Para determiná-los, deve-se primeiro usar equações estáticas para calcular as forças e 
os momentos da seção transversal que requerem consideração. 
Para determinar a tensão, por exemplo, é necessário tomar a tensão da seção C da 
viga abaixo, assumindo que a parte direita da estrutura foi removida da seção em 
consideração. Para repor seu efeito na parte da corrente alternada, deve-se considerar 
a força normal na superfície da peça, a força normal e o momento na viga na parte C, 
conforme mostrado a seguir. 
 
 
 
 
 
, 
 
 
12 
 
Figura 2.1 – Exemplo 
 
 
As forças Q e N e o momento M equilibram as forças AC com as forças VA, F1 e F2. 
 
2.1.1 Forças normais e cortantes, momentos vetoriais e torções 
Podemos aplicar determinada força à um corpo de diversas maneiras, dentre elas 
temos: tração, compressão, cisalhamento, flexão e torção. Dentre as forças que são 
projetadas em um corpo é possível dividi-las de diversas formas, dentre elas Forças 
Axiais (Normal) e Forças Radiais (Cortante). 
As forças Axiais são aquelas que comprimem ou tracionam a seção do corte. Serão 
consideradas positivas ou negativas segundo as ilustrações abaixo. 
 
 
https://sites.google.com/site/eeestaticadasestruturas/aula-05/Esf_Int.jpg?attredirects=0
, 
 
 
13 
 
Figura 2.2 – Exemplo de Compressão e Tração 
 
Fonte: ENGCOACH (2015). 
 
Quanto às Radiais, são aquelas paralelas à seção e perpendiculares ao eixo da peça. 
Um exemplo é a tesoura, como podemos ver abaixo: 
 
Figura 2.2 – Exemplo de forças radiais de uma tesoura 
 
 
2.1.2 Diagramas de esforços 
O diagrama de tensão de cisalhamento é um gráfico que descreve a mudança na 
tensão de cisalhamento ao longo da seção transversal da estrutura. A convenção usada 
para o desenho do gráfico é desenhar o valor positivo da força de cisalhamento em um 
lado da fibra superior da haste e o valor negativo no outro lado. 
Também temos tensões calculadas a partir da força cortante, momento fletor e 
momento de torção. A viga processada é uma viga prismática, ou seja, a seção 
transversal da viga é constante em cada vão. Em ambos os casos, uma viga sem ou 
com colunas é considerada fixa porque não se move na direção horizontal. 
 
, 
 
 
14 
 
2.1.3 Relações diferentes entre os esforços internos 
A força interna na seção plana do elemento estrutural é definida como um grupo de 
forças e momentos, que são estaticamente equivalentes a seu compartilhamento das 
tensões internas na área da seção. 
Portanto, por exemplo, a tensão na seção plana Σ da viga é igual a integral da tensão t 
na área plana. Usualmente é feita uma distinção entre tensões perpendiculares à 
seção da viga (ou até mesmo quanto à espessura da placa ou da lâmina) e tensões 
tangentes à seção da viga (ou propriamente à superfície da placa ou da lâmina). 
Portanto, temos uma relação diferente com o trabalho interno e o dividimos em: 
• O esforço normal (ou perpendicular ao plano em consideração) é dado pelo 
resultado da tensão normal σ. Ou seja, perpendicular à área onde iremos 
determinar o trabalho normal; 
• A força de cisalhamento (tangente ao plano em consideração) é dada pelo 
resultado da tensão de cisalhamento τ, portanto, podemos dizer que a linha 
tangente é a área onde pretendemos determinar a força de cisalhamento. 
 
2.2 Princípios dos trabalhos virtuais e energia potencial 
Sobre o princípio do trabalho virtual, ele permite formular condições de equilíbrio a 
partir do trabalho, que é escalar. Suponha que o conceito de trabalho seja familiar. No 
entanto, não se aplica ao termo "virtual". 
Quando há a capacidade de realizar trabalho relacionado com a posição do objeto, 
temos a denominada “energia potencial”, definida como forma de energia que está 
diretamente ligada a um sistema que interage entre diversos corpos e está ligada com 
a posição que o corpo ocupa. O SI define que sua unidade é o Joule (J). 
 
 
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2.2.1 Trabalho virtual 
O trabalho virtual não é um deslocamento real, ou seja, é virtual. Normalmente, esse é 
o recurso mais confuso. Dizer que não são deslocamentos reais significa que não 
ocorreram de fato e, portanto, são fictícios. Logo, não há variação de tempo 
diretamente relacionada a esses deslocamentos, ou seja, o tempo decorrido durante 
sua ocorrência é zero. Para lembrar esse recurso, geralmente, é usado “” em vez de 
“d” para representá-los. 
 
2.2.2 Energia potencial 
Quanto à energia potencial, é uma energia que pode ser armazenada pelo corpo e 
depende de sua posição. Ao aplicar força ao corpo, toda a energia potencial pode ser 
convertida em outras formas de energia potencial ou energia cinética. 
Neste caso, existe uma função, denominada energia potencial, cuja variação (ou seja, 
algo de caráter virtual) pode ser escrita da seguinte forma: 
−𝛿𝑉 = 𝐹 × 𝛿𝑟 = 𝛿𝜏 
 
2.3 Aplicações em estruturas 
Trazendo o trabalho virtual e a energia potencial para a aplicação em estruturas, 
podemos fazer uma conexão dessas áreas em sinergia com a aplicação de forças a um 
determinado objeto. Partes de um corpo que suportam os esforços nele aplicados sãoconsideradas estruturas. Em construção civil citamos vigas, colunas e lajes; na 
Mecânica temos suportes, bases e colunas; em Biomecânica, no corpo humano, o 
conjunto dos ossos. Isso se aplicada à base que mantém a estrutura firme, 
independente da força sobre ela aplicada. 
 
 
, 
 
 
16 
 
Conclusão 
Neste bloco acompanhamos a importância da estabilidade e seus devidos 
fundamentos para manter o equilíbrio de determinado corpo, passando pela estática e 
dinâmica. Temos também a aplicação de esforços internos constituídos por tensões e 
cisalhamentos nos diversos pontos de seu interior. 
Aprofundamo-nos no diagrama de esforços com as suas forças e momentos vetoriais, 
assim como as diversas relações nos esforços internos. Iniciamos nossa busca dentro 
do trabalho virtual e seus derivados da energia dentro da aplicação em estruturas, 
agindo em conjunto com a aplicação de forças a um determinado objeto, mantendo a 
estrutura rígida contra os esforços sobre a mesma. 
 
REFERÊNCIAS 
ENGCOACH. Tração axial. Disponível em: <https://bit.ly/3pW8PvN>. Acesso em: 23 
nov. 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 TRAÇÕES E ESTABILIDADE 
3.1 Estabilidade de sistema de corpos rígidos e vinculações elásticas 
A área da física que estuda o equilíbrio de objetos, ou seja, objetos que estão 
estacionários ou se movendo em linha reta a uma velocidade constante, é a estática. 
Nesses objetos, a força resultante das forças aplicadas a eles é zero. Para um objeto de 
tamanho pequeno em relação à situação de pesquisa, pode-se admitir que seu 
comportamento seja um ponto material, e para atingir o equilíbrio, basta que a força 
resultante da força aplicada seja zero, a saber:∑𝐹 → = 0. 
 
3.2 Tração em barras 
Para um determinado material, a relação entre tensão e deformação é encontrada por 
meio de testes de tração. A amostra, que pode ser uma tira redonda ou retangular, é 
colocada na máquina de teste e puxada. À medida que a carga aumenta, a força e a 
deformação resultante são medidas. A tensão é obtida dividindo a força pela área da 
seção transversal da barra de aço, e a deformação específica é obtida dividindo o 
alongamento pelo comprimento no qual a deformação ocorre. 
Deste modo, obtém-se um diagrama tensão x deformação completo para o material 
em estudo. 
 
3.2.1 Barras tracionadas: hipótese cinemática 
A hipótese cinemática no modelo de Euler-Bernoulli consiste em supor que as ações de 
movimento possíveis devem ser tais que as seções permaneçam planas, não 
deformadas e ortogonais ao eixo longitudinal x da viga. Essa hipótese está ilustrada na 
Figura 3.2, para uma seção AB distante x da origem do sistema de referência. Após a 
ação de flexão, a seção AB assume a posição indicada por A”B”, mas permanece plana, 
não-deformada e ortogonal ao eixo da viga. Portanto, as ações de movimento 
, 
 
 
18 
 
possíveis fazem com que, em cada seção transversal x, ocorra um deslocamento 
vertical rígido, denotado por v(x), constante em todos os pontos da seção, juntamente 
com uma rotação rígida em torno do eixo z, como mostrado na figura 3.2 abaixo, para 
a mesma seção AB. Observe que inicialmente a seção assume a posição A0 B0 devido 
ao deslocamento transversal rígido v(x) na direção do eixo y do sistema de referência. 
A partir daí, ocorre uma rotação rígida de um ângulo α em torno do eixo z e a seção 
gira até atingir a posição final A”B”. Observe que devido a rotação de um ângulo α em 
torno do eixo z, o ponto A0 B0 apresenta um deslocamento ∆u na direção longitudinal 
x e um deslocamento ∆v na direção y. 
 
Figura 3.1 – Origem do sistema de referência 
 
 
Fonte: UNICAMP (s.d.). 
 
 
 
, 
 
 
19 
 
Figura 3.2 – Rotação rígida 
 
Fonte: UNICAMP (s.d.). 
 
3.3 Relações diferentes entre os esforços internos 
Os esforços internos em uma estrutura caracterizam a ligação de tensão interna, ou 
seja, a tensão interna é imprescindível para a tensão no decorrer da seção transversal 
da barra de aço. A força interna representa a indução da força e do momento entre as 
duas partes da estrutura da malha devido ao corte transversal. 
Os efeitos internos respectivos são os mesmos em cada lado da parte segmentada e 
vice-versa, pois correspondem a uma ação e a uma reação correspondente. A relação 
entre eles é diferente entre "esforço" e "momento de flexão". O primeiro é o resultado 
da força da parte de isolamento da outra parte na direção transversal ao eixo da barra 
na seção transversal. No momento fletor podemos dizer que é o momento 
consequente de todas as forças, e o momento da seção transversal do corte é o 
momento da parte de isolamento acima da outra parte na direção transversal ao eixo 
da barra. 
 
 
, 
 
 
20 
 
3.3.1 Relação constitutiva elástica linear 
Usando a equação constitutiva, quando a tensão e a deformação estão linearmente 
relacionadas, ocorre o caso especial de sólidos elásticos: 
𝜎𝑖𝑗 = ∑𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙
𝑘,𝑙
 
Nesses casos, dizemos que temos entidades elásticas lineares. A elasticidade linear 
consiste em estudar sólidos elásticos lineares sujeitos a ligeira deformação, de forma 
que o deslocamento e a deformação sejam "lineares", ou seja, a componente do 
campo de deslocamento u está muito próxima de uma combinação linear de 
componentes tensores. O sólido está deformado. Geralmente, sólidos elásticos 
lineares com grandes deslocamentos não atenderão a essa condição. Portanto, a 
teoria elástica linear só se aplica em: 
• Sólidos elásticos lineares: no qual a tensão e a deformação estão linearmente 
relacionadas (linearidade do material); 
• Pequenas deformações: situação na qual o deslocamento e a deformação 
gerada estão linearmente relacionados. Nesse caso, a deformação de 
engenharia pode ser usada para representar o estado de deformação da 
entidade (linearidade geométrica). Esta é uma forma simplificada do tensor de 
deformação linear de Green-Lagrange, que também é usado para deformações 
de maior volume. 
 
3.3.2 Problemas de equilíbrio 
Pode-se dizer que se o sistema de pontos materiais está em um estado estático em 
relação ao objeto de referência, ou seja, as posições dos pontos em relação ao objeto 
de referência não mudam com o tempo, o sistema de pontos materiais está em um 
estado de equilíbrio em relação ao objeto de referência. 
, 
 
 
21 
 
Se o sistema de pontos materiais está em equilíbrio em respeito ao sistema inercial, a 
força resultante das ações externas atuando no sistema é zero, e o momento dessas 
forças em relação a qualquer ponto no espaço também é zero. O problema quanto ao 
equilíbrio do sistema é quando o plano não está na inércia e suas forças resultantes 
são diferentes quanto à intensidade e direção. 
 
3.3.3 Dimensionamento para resistência 
Uma estrutura pode ser levada a ruptura por diversos motivos, alguns são: 
• Resistência à tração; 
• Resistência à compressão; 
• Resistência ao cisalhamento; 
• Resistência à flambagem; 
• Resistência à flexão; 
• Resistência à torção. 
Para seu dimensionamento deve se considerar, além da resistência estática, a 
resistência do material à fadiga, aplicando-se cargas variáveis, alternadas e oscilantes. 
 
Conclusão 
Neste bloco estudamos a estabilidade em sistemas rígidos e vinculações elásticas em 
corpos em movimento ou estáticos. Fizemos uma relação entre tensão e deformação, 
e encontramos a tração servindo de ensaio para testes de força e deformação do 
material. 
Encontramos também problemas em equilíbrio, referenciando objetos em repouso 
para que seus pontos não variem com tempo, assim como o dimensionamento para 
, 
 
 
22 
 
resistência considerando a resistência do material e a fadiga quando aplicada uma 
carga sobre ela. 
 
REFERÊNCIAS 
UNICAMP. “Modelo de Euler-Bernoulli”. In: Viga. Disponível em: 
<https://bit.ly/33ayYNH>. Acesso em 23 nov. 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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234 CONCEITOS BÁSICOS 
4.1 Movimentos 
A parte da física que estuda o movimento e suas causas é a mecânica, que envolve o 
movimento em si e o que o faz começar ou parar. Se você abstrair a causa do 
movimento e se concentrar apenas na descrição do movimento, temos a parte da 
mecânica chamada “cinemática”. Já o contrário, se tentarmos entender a causa do 
movimento, a força que inicia ou interrompe o movimento de um objeto, então o 
estudo chamado “dinâmica” será realizado no campo da mecânica. Temos também 
uma disciplina especializada em objetos estacionários: é a Estática. Em certo sentido, 
estática é um atributo altamente específico, porque só se apresenta à referências 
muito especiais, por isso é comum que, em qualquer caso, possamos atribuir 
movimento ao objeto que está sendo analisado. 
 
4.1.1 Tipos de movimentos 
Na física podemos citar quatro tipos de movimentos principais e dentro deles outras 
subcategorias. Os quatro pilares do movimento são: 
• Movimento circular uniformemente variado, conhecido como MCUV, que é um 
caso um pouco mais geral do MCU. Nele, além de uma aceleração centrípeta, 
há também acelerações angulares e tangenciais constantes, que fazem com 
que a velocidade angular do móvel varie uniformemente; 
Movimento circular uniforme, a direção da velocidade móvel muda 
constantemente, de forma que sua distância a um ponto do espaço permaneça 
constante. Ainda que conhecido como movimento circular uniforme, tal 
movimento é acelerado, uma vez que, para que se possa descrever uma 
trajetória circular, é necessária a existência de uma aceleração centrípeta; 
, 
 
 
24 
 
• Movimento uniformemente variado, no qual intitulamos a modalidade do 
movimento em que a velocidade de um corpo muda a taxas constantes. Se a 
velocidade aumenta, trata-se de um movimento acelerado, se a velocidade 
diminui, então temos um movimento retardado; 
• Movimento uniforme, o mais comum, é aquele no qual a velocidade de um 
corpo é constante, deslocando-se apenas em linha reta. A equação 
fundamental usada para o estudo do movimento uniforme é a função horária 
da posição. 
 
4.1.2 Força, massa e aceleração 
Quando dizemos estas três palavras: força, massa e aceleração, a primeira coisa a se 
pensar é a Segunda lei de Newton. A lei de Newton diz que qualquer força resultante 
fará com que o corpo humano acelere. A força e a aceleração geradas têm a mesma 
direção, e a relação entre elas é dada pela massa do corpo, a conhecida inércia. A 
segunda lei nos mostra uma característica importante em relação a massa: determinar 
a razão entre a força resultante e a aceleração. Uma das melhores maneiras de 
entender essa relação é visualizar fórmulas e aplicá-las conceitualmente a exemplos. 
Consequentemente, na equação da Segunda lei de Newton, temos que “Fr” 
corresponde a força resultante, “m” é a massa e “a” é a aceleração. A fórmula a seguir 
descreve força e aceleração: 
𝐹𝑟 = 𝑚 × 𝑎 → 𝑎 =
𝐹𝑟
𝑚
 
 
4.1.3 Equações de movimento para o centro de massa 
No sistema de partículas n, quando nenhuma força externa é empregada a um ponto 
no sistema com uma propriedade muito especial (chamada centro de massa), toda a 
quantidade de movimento será retida. 
, 
 
 
25 
 
Como M é a massa total, a soma das massas, a equação pode ser reescrita da seguinte 
forma: 
𝑀�⃗� 𝑐𝑚 = 𝑚1𝑟1⃗⃗⃗ + 𝑚2𝑟2⃗⃗ ⃗ + ⋯+ 𝑚𝑛𝑟𝑛⃗⃗ ⃗ 
 
Como a massa é constante, é necessário obter uma relação baseada no tempo dos dois 
membros, em um intervalo de tempo que tende a zero, calculando as razões em 
função do tempo das posições. Porém, temos conhecimento de que , 
quando tender a zero. 
Do mesmo modo, se calcularmos a razão em função do tempo para os dois membros 
da equação, concluiremos que o centro de massa do sistema de partículas pode ser 
atribuído a lei de Newton: 
𝑀𝐴 𝑐𝑚 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 
Do qual é a aceleração do centro de massa. 
Portanto, o centro de massa tem propriedades muito únicas. O centro de gravidade se 
move como se todas as forças externas agissem sobre ele. 
 
4.1.4 Movimento de inércia 
A inércia é um elemento da matéria e indica resistência à mudança, por isso também é 
chamada de inatividade. O princípio da inércia indica a tendência de manter o corpo 
imóvel. Ao mesmo tempo, mostra a tendência de manter um movimento constante, 
ou seja, um objeto se movendo a uma velocidade constante em linha reta. A mudança 
do estado estático ou de movimento ocorre apenas quando a força resultante é 
aplicada ao corpo. 
, 
 
 
26 
 
O elemento que mais contribui para a massa é a inércia. Quanto maior a massa de um 
objeto, maior sua inércia. 
Portanto, a equação que resume o movimento inercial é: 
𝑄 = 𝑚 × 𝑣 
Q é a quantidade de movimento linear, m é a massa e v a velocidade. 
 
4.2 Energia 
No estudo da física, energia é a habilidade do sistema físico de fazer esse trabalho, ou 
a habilidade de mover. Na verdade, certa energia está relacionada à sua capacidade de 
fazer as coisas acontecerem. 
A energia assume várias formas, como luz, energia cinética ou mecânica, calor, 
potencial, energia elétrica etc. A energia cinética é estabelecida como a energia do 
movimento. Energia potencial é um tipo de energia armazenada que um objeto possui 
devido à sua posição ou estrutura. O exemplo mais comum de energia, é ilustrado pela 
mola que quando comprimida possui energia potencial e quando solta ela se estica, 
gerando a energia cinética. 
 
4.2.1 Métodos de energia 
No tocante ao movimento, cada um desses sistemas está funcionando e consumindo 
energia. Cada organismo está funcionando e precisa de comida ou energia para a 
fotossíntese. Aqui estão as muitas formas que a energia pode assumir: 
• Energia radiante ou energia solar gerada a partir da luz e calor do sol; 
• Energia potencial, àquela armazenada em um sistema; 
• Energia cinética, baseada no movimento da matéria; 
• Energia elétrica, que está ligada ao movimento de elétrons; 
, 
 
 
27 
 
• Energia mecânica; 
• Energia térmica, relacionada ao calor de um objeto; 
• Energia química, armazenada nas ligações químicas de moléculas; 
• Massa (ou nuclear) de energia, submetida na estrutura nuclear de 
átomos; 
• Energia eletromagnética, relacionada às ondas de luz, encontradas em 
ondas de rádio, micro-ondas, raios-x, e raios infravermelhos. 
 
4.2.2 Trabalho e energia cinética 
No ramo da física, definimos o trabalho como transferência de energia por meio de 
uma ou mais forças que atuam no corpo humano. Como resultado, o objeto é 
deslocado. 
O teorema da energia cinética em relação ao trabalho é um importante teorema físico, 
pois afirma que o trabalho da força resultante (a soma de todas as forças envolvidas 
no trabalho de cálculo) altera a energia cinética de um objeto. 
O trabalho realizado pela força consequente atuando no corpo humano é igual à 
mudança na energia cinética de determinado corpo. 
A equação que calcula Trabalho é a seguinte: 
𝜏 = 𝐹 × 𝑑 × cos (𝜃) 
 
Já a fórmula proveniente da energia cinética é: 
𝐸𝑐 =
𝑚 × 𝑣2
2
 
 
, 
 
 
28 
 
4.3 Energia e momentos 
Denominamos momento linear é uma das duas grandezas físicas básicas necessárias 
para descrever corretamente a relação entre duas entidades ou sistemas físicos. A 
segunda grandeza é a energia. As entidades ou sistemas em interação trocam energia 
e momentum, para isso é necessário que as duas grandezas sempre sigam suas 
respectivas leis de conservação, o que significa que se o sistema fechado não for 
afetado por forças externas, seus momentos totais não mudarão. 
A relação energia e torque é geralmente expressa pela relação de dispersão de cada 
entidade em toda teoria dinâmica, e os conceitos de quantidades importantes (como 
força e massa) estão diretamente relacionados a essas quantidades. O torque linear 
depende do quadro de referência. Observadores em diferentes quadros encontrarão 
diferentes valores de pulsos linearesno sistema. Mas todos perceberão que, enquanto 
o sistema estiver isolado, o valor do momento linear não mudará com o tempo. 
 
4.3.1 Impulsão, momento linear e momento angular 
Sempre que um corpo se encontra imerso total ou parcialmente em um líquido ou em 
um gás, é sujeito a uma força vertical e ascendente, à qual se dá o nome de Impulsão. 
Segundo a lei de Arquimedes, para determinar a Impulsão sofrida pelo corpo, devo 
calcular o peso do líquido deslocado. Para determinar a impulsão do objeto é 
necessário conhecer seu peso real, por meio de experimento mergulhando um objeto 
em um fluído, definindo seu empuxo (impulso), como vemos na ilustração abaixo: 
 
 
 
 
 
, 
 
 
29 
 
Figura 4.1 – Experimento de impulso 
 
Fonte: BIOLOGIA TOTAL (2019). 
 
Como a velocidade, o momento linear é uma grandeza vetorial e fica 
completamente definida ao especificar sua magnitude, direção e sentido. 
O momento linear também pode ser definido como: 
𝑝 = ∫𝑚𝑑𝑣 
 
Em que P é o vetor tridimensional que indica o momento linear do objeto 
nas três direções do espaço tridimensional, V é o vetor de velocidade 
tridimensional que dá a taxa de movimento do objeto em cada direção e M 
é a massa do objeto. 
Na relação entre massa e velocidade angular gera uma grandeza 
chamada momento angular. É um conceito um tanto abstrato, no entanto é 
muito útil para descrever o movimento e a estabilidade de um corpo. A 
fórmula que a descreve é: 
�⃗� = 𝑟 × 𝑚𝑣 
(WIKIPEDIA, s. d., s. p.). 
 
 
 
 
, 
 
 
30 
 
Conclusão 
Neste bloco estudamos o movimento e suas respectivas causas dentro da física. Ao 
tratarmos do movimento, nos relacionamos diretamente com a cinética. Quando há 
aplicação de força ou cessamento dos movimentos, entramos na dinâmica. Ou ainda, 
quando algo que não se move permanece parado, estamos falando da estática. 
Com a ajuda da Segunda Lei de Newton, que trata da força resultante em um corpo, 
provocando o seu movimento de aceleração até mesmo no dimensionamento de sua 
massa, conhecemos a inércia. 
Vemos também os diversos tipos de energia e aprendemos que ela nunca se perde, 
apenas se transforma. Por fim, contemplamos que o trabalho é a transferência de 
energia atuando em um corpo, assim como suas respectivas equações. 
 
REFERÊNCIAS 
BIOLOGIA TOTAL. “Energia Cinética e Trabalho: Fórmulas e Exemplos” In: Física, 2019. 
”Disponível em: <https://bit.ly/374flZ0>. Acesso em: 24 nov. 2020. 
“Momento Linear”. In: Wikipédia. Disponível em: <https://bit.ly/2KCByWl>. Acesso 
em: 24 nov. 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
31 
 
 
 
5 CINEMÁTICA 
5.1 Cinemática de corpos rígidos 
Na compreensão do estudo da cinemática de um corpo rígido, existe uma ligação 
cinemática muito especial, que está relacionada à velocidade de quaisquer dois pontos 
do corpo rígido. Este link pode ser facilmente derivado dos pressupostos básicos de um 
C.R. De um modo geral, pode-se dizer que este link permite o estabelecimento de um 
campo esportivo (velocidade e aceleração) que caracteriza "movimento rígido" a 
qualquer momento. No entanto é necessário apenas saber todo o campo de 
velocidade a ser determinado, dominar a velocidade do ponto pertencente ao objeto 
de pesquisa, o ponto selecionado arbitrariamente e o vetor de rotação do mesmo 
objeto. 
 
5.1.2 Corpos rígidos e tipos de movimento 
O corpo rígido pode executar rotação, translação ou uma combinação de ambos. No 
movimento giratório, é possível observar o movimento da força aplicada ao corpo, 
como um pião, conforme mostrado na figura abaixo. No processo de translação, o 
movimento é provocado pela força externa atuando no corpo rígido. 
Figura 5.1 – Pião em rotação 
 
Fonte: NATUREZA DA FÍSICA (2010). 
 
, 
 
 
32 
 
 
5.1.3 Cinemática de corpos rígidos no espaço 
Por outro lado, o movimento de rotação também é chamado de "spin" na literatura 
científica inglesa e representa o movimento de rotação do corpo humano em torno de 
seu próprio eixo de Oz. Na suposição de movimento em torno de um "ponto fixo", 
esses três graus de liberdade são suficientes para definir de maneira única a posição de 
um corpo rígido no espaço. 
 
5.2 Movimentos 
Na física a competência responsável pelo estudo do movimento e suas causas é a 
mecânica, que presta a mesma atenção ao movimento em si que o sujeito que o faz 
começar ou parar. Se forem ignoradas as causas do movimento e o foco tornar-se 
apenas as características do movimento, teremos a parte da mecânica chamada 
"cinemática". Ao contrário, se o foco for a causa do movimento, ou seja, a força que 
causa ou impede o movimento de um objeto, então teremos a parte da mecânica 
chamada dinâmica. 
Há também uma disciplina especializada no estudo de objetos que não se movem: 
estática (estacionários). Portanto, ela é um atributo muito especial porque só se 
apresenta a uma referência muito especial, por isso é muito comum que possamos 
atribuir movimento ao objeto de pesquisa em qualquer caso. 
 
5.2.1 Velocidade 
Ao registrar a velocidade média da amplitude física como um vetor ( ), podemos 
defini-la como a razão entre o vetor de deslocamento ( ) e o tempo gasto ( ), que é 
sempre positivo. Combinada com a pesquisa vetorial, acreditamos que a velocidade 
média de qualquer móvel é um conceito que envolve módulos, direções e sentidos. A 
direção e seu respectivo sentido vetorial de velocidade média são as mesmas que a 
, 
 
 
33 
 
direção usada pelo vetor e seu módulo é derivado da razão do módulo do vetor de 
deslocamento para o intervalo de tempo relativo que o dispositivo móvel leva para 
percorrer o vetor. 
Em associação à velocidade média do vetor, precisamos saber que ela não fornece 
informações detalhadas sobre o tipo de movimento entre o ponto A e o ponto B, nem 
fornece informações detalhadas sobre a forma da trajetória do dispositivo móvel, 
portanto, envolvendo apenas posição e momentos extremos, o ponto inicial e o ponto 
final da parte que está sendo analisada. 
 
5.2.2 Aceleração 
Para estimar a velocidade na qual o vetor de velocidade da estação móvel muda entre 
dois instantes, uma aceleração vetorial média é criada. A aceleração é a relação entre 
a mudança da velocidade do vetor e o intervalo de tempo correspondente. Como o 
período temporal é sempre positivo, o vetor de aceleração média tem a mesma 
direção que o vetor, o que representa a mudança de velocidade do vetor. Podemos ver 
a fórmula que descreve essa aceleração abaixo: 
𝛾 𝑚 =
∆𝑣 
∆𝑡
 
 
5.2.3 Movimento de sistemas de referência 
Ao dizer que um objeto está em movimento, isso significa que sua posição muda com o 
tempo. No entanto, é fácil perceber que o conceito de movimento é relativo, ou seja, 
um objeto pode estar em movimento em relação a outro objeto, mas pode estar em 
repouso em relação a um terceiro objeto. 
Exceto para o conceito de movimento relativo (isto é, dependendo do sistema de 
referência), outras grandezas físicas também são relativas. Este é o caso da posição das 
partículas. Einstein foi o primeiro a perceber que o intervalo de tempo entre dois 
, 
 
 
34 
 
eventos também é uma quantidade relativa, o que é contrário às suposições da 
mecânica clássica. A terra é frequentemente usada como um sistema de referência. 
Por exemplo, a posição de um ponto no mapa geográfico pode ser determinada 
atribuindo-se a latitude e longitude dele no plano. 
 
5.2.4 Particularização: cinemática de corpos rígidos no plano 
Existem duas maneiras de analisar a particularidade dos corpos rígidos no plano: 
• Atribuindo um sistema como um todo, plotando, assim, um único 
diagrama de corpo livre e não considerando as forças interiores de 
ligação entre os corpos variáveis; 
• Dividindo o sistema em vários subsistemas, semelhante ao que é feito na 
estática, considere as equações de movimento de cada subsistema e 
resolva o sistema de equações resultantes em conjunto. Obviamente, 
neste caso,a força de conexão entre os corpos principais é considerada. 
O segundo caminho é o mais utilizado, pois é o único caminho possível quando o 
número desconhecido é maior que 3 (este é o número de equações disponíveis na 
análise de equilíbrio do plano). 
 
5.3 Noções gerais de mecanismos 
Em mecanismos, os componentes ou elementos que podem transmitir força e 
movimento são chamados de conexões ou hastes. Para transmitir o movimento, que é 
o objetivo básico da organização, os vários elementos devem estar ligados entre si. O 
conjunto de superfícies que estabelecem contato entre as várias hastes do mecanismo 
são chamadas de juntas cinemáticas ou pares cinemáticos. 
, 
 
 
35 
 
As barras ou hastes mecânicas podem ser binárias, ternárias, quaternárias etc., e 
podem ter dois, três ou quatro elementos de junta. A figura abaixo ilustra o esquema 
correspondente. 
Figura 5.2 – Esquema de ligação em mecanismos 
 
Fonte: FLORES (2005). 
 
5.3.1 Contatos deslizantes 
As ligações deslizantes são aquelas que permitem movimentos relativos de translação 
entre as partes do corpo. No caso do método dos elementos finitos, essas restrições à 
cinemática são escritas para os graus de liberdade dos elementos finitos, os quais 
contêm as juntas. Para a introdução do perfil de rugosidade em juntas planas, utiliza-se 
como base a formulação desenvolvida em Siqueira (2016) para ligações deslizantes 
entre elementos de pórtico plano. Para as juntas espaciais, estende-se a abordagem 
plana para os elementos finitos de pórtico espacial por onde podem deslizar 
elementos de casca, pórtico espacial ou mesmo barra simples. 
 
5.3.2 Mecanismos planos articulados 
Mabie e Reinholtz (1998) definem mecanismo como a parte do projeto de uma 
máquina relacionada com a cinemática e cinética de mecanismos articulados, cames, 
, 
 
 
36 
 
engrenagens e trens de engrenagens, como a imagem a seguir de um mecanismo de 
quatro barras articulado. 
 
Figura 5.3 – Mecanismo articulado 
 
Fonte: MABIE; REINHOLTZ (1998). 
 
5.3.3 Rotação sem deslizamento 
Quanto aos sólidos, as superfícies sobre as quais eles rolam são consideradas 
deformáveis, e o contato será teoricamente pontual (como esférico) ou teoricamente 
linear (como um cilindro). Desta forma, se pararmos o movimento de rolamento, por 
exemplo, o deslizamento de uma bola, veremos que, como não há deslizamento, a 
velocidade relativa de deslizamento do ponto de contato da bola em relação à 
superfície é zero. 
Os mancais sólidos antiderrapantes são sempre acompanhados por atrito relacionado 
à perda de energia, ou seja, a transformação da energia mecânica em energia térmica 
devido à deformação da superfície de contato. 
De fato, sólidos que não deslizam, mas rolam na horizontal aos poucos, param de se 
mover: além da resistência do ar, existe também o atrito de rolagem, que depende das 
características do material em contato. Desta forma, a principal diferença entre o 
atrito estático (atrito que ocorre em um rolamento não deslizante quando tratamos o 
sólido em contato com o não deformável) e o atrito do rolamento (quando permitimos 
, 
 
 
37 
 
que o sólido entre em contato e se deforme, não importa quão pequeno ele seja) são: 
quando o atrito é estático, a energia mecânica não é convertida em calor. 
 
Conclusão 
Neste bloco tratamos a cinemática no estudo de um corpo rígido, relacionando sua 
velocidade entre dois pontos. Vimos que o corpo rígido executa movimento de 
rotação, translação ou até mesmo os dois simultaneamente, assim como sua 
cinemática no espaço e no plano. 
Nos debruçamos sobre os vetores de aceleração e velocidade, assim como seu sistema 
de referência dentro do movimento. Por fim, estudamos seus mecanismos, que são os 
elementos responsáveis pela transmissão da força e do movimento, conhecidos como 
ligações ou barras. 
 
REFERÊNCIAS 
FLORES, P. CLARO, J. C. P. “Introdução ao Estudo de Mecanismos”. In: Cinemática de 
Mecanismos. Disponível em: <https://bit.ly/3fwA8Io>. Acesso em: 24 nov. 2020. 
MABIE; REINHOLTZ. Mecanismos – TM11. Disponível em: <https://bit.ly/2IVWvLJ>. 
Acesso em: 24 nov. 2020. 
NATUREZA DA FÍSICA. “ Física do pião e uma mensagem para 2011”. In: Natureza da 
Física, 2010. Disponível em: <https://bit.ly/2J4MrQs>. Acesso em: 24 nov. 2020. 
 
 
 
 
 
, 
 
 
38 
 
 
6 DINÂMICA DOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS 
Para entender melhor o movimento de um objeto, parâmetros devem ser usados, 
como sua posição em relação a um ponto fixo, o sistema de coordenadas e o tempo 
necessário para o objeto realizar seu movimento. Através da parametrização do 
mundo real e da confirmação experimental da relação entre eles, é possível idealizá-lo 
e compreendê-lo. Para esta tarefa, é necessário usar ferramentas matemáticas 
poderosas, como cálculos diferenciais e integrais, e então prever o movimento do 
objeto quando conhecermos parâmetros o bastante. Desse modo, o estudo da 
cinemática (descrever o movimento do corpo sem se preocupar com a análise de suas 
causas) e da dinâmica (relacionada à causa do movimento, ou seja, as forças 
envolvidas) do sistema de partículas nos permite compreender e nos adaptar melhor 
ao mundo dinâmico em que estamos inseridos. 
 
6.1 Equações, trabalho e dinâmica 
Definimos trabalho como a energia consumida para realizar uma atividade. Essa 
magnitude é o resultado do produto da força e do deslocamento (considerando o 
vetor da força paralela e do deslocamento). 
𝝉 = 𝑭 × 𝒅 
As equações da dinâmica estão relacionadas entre acelerações e forças resultantes 
sobre o veículo. Relações também entre acelerações angulares e torques resultantes 
sobre o objeto, diretamente ligadas as Leis de Newton. 
 
6.1.1 Equações de movimento para um sistema de partículas 
Qualquer corpo ou objeto, no espaço, pode ser idealizado como um sistema de 
partículas, cada uma identificada como uma pequena massa elementar. 
, 
 
 
39 
 
Aplicando a Segunda Lei de Newton em uma partícula genérica, temos a seguinte 
equação: 
∑�⃗⃗� = 𝒎�⃗⃗� ↔ �⃗⃗� 𝒊 + ∑�⃗� 𝒊𝒋
𝒏
𝒋=𝟏
= 𝒎𝒊 × �⃗⃗� 𝒊 
Na qual: 
mi = massa da partícula i; 
ai = aceleração da partícula; 
fij = força interna da partícula j sobre a partícula i; 
Fi = força externa aplicada sobre a partícula i. 
Aplicando a Terceira Lei de Newton para uma partícula qualquer de um sistema, 
temos: 
 
6.1.2 Trabalho e energia 
Em relação à energia, é muito importante enfatizar o princípio da economia de 
energia. Segundo o químico Antoine Lavoisier (1743-1794), de acordo com este 
princípio: "Nada se perde na natureza, nada se cria, tudo se transforma". Para ilustrar 
a conversão de energia em geral, considere o uso de uma mola relaxada (sistema de 
equilíbrio), ou seja, uma mola sem tensão: 
 
, 
 
 
40 
 
Figura 6.1 – Exemplificação do trabalho de uma mola 
 
Fonte: FERRARO (2019). 
 
Na compressão de uma mola é necessário energia. Portanto, aplicar força em uma de 
suas extremidades faz com que ela se contraia. Imagine uma mola com um 
determinado objeto em sua extremidade, dizemos que quando a força é aplicada à 
mola, o trabalho está feito. Este trabalho corresponde à energia transferida da pessoa 
para a mola. O deslocamento de 0 a A indica que a mola foi comprimida e tem uma 
trava no objeto para evitar sua liberação. A mola de compressão armazena energia. No 
entanto, essa energia só pode ser exibida removendo o bloqueio do carrinho. A 
energia armazenada na mola é chamada de energia elástica potencial. Tem potencial 
porque pode ser expresso e tem elasticidade porque está em um corpo elástico 
deformado. Agora, observando o deslocamento de 0 para A, notamos que o objeto é 
liberado. Quando a trava é removida, a energia potencial armazenada na mola é 
revelada, fazendo com que o objeto se mova. Da mesma forma, ainda temos trabalho 
no processo. Agora, esse trabalho corresponde à energia transferida da mola para o 
objeto. A energia obtidapor ele é chamada de energia cinética. 
 
, 
 
 
41 
 
6.1.3 Impulsão, momento linear e momento angular 
A equação gerada pelo impulso é mostrada abaixo, onde o impulso é o resultado da 
força e do tempo em que a força é aplicada a um determinado objeto (em segundos), 
veja: 
 
 
 
O impulso atuante em uma partícula é definido por um vetor, logo o impulso de força 
(I → I →) e a força (F → F →) são representados vetorialmente e caracterizados por 
estarem na mesma direção e com o mesmo sentido. 
Sendo assim, diante deste conceito, o momento linear associado a um objeto é 
produzido pela relação da massa deste objeto pela sua velocidade linear, ou seja, este 
é representado por um vetor, portanto, tanto o vetor da velocidade, quanto o vetor do 
momento linear possuem a mesma direção e o mesmo sentido. 
p→=m⋅v→p→=m⋅v→ 
Em que: 
p→p→ = momento linear; 
mm = massa; 
v→v→ = velocidade. 
 
A partir deste conceito, é reforçado o fato de que para o objeto o momento linear é 
uma representação vetorial, ou seja, é reafirmada a caraterística de que ambos os 
vetores, velocidade e momento linear, sem exceção, terão a mesma direção e sentido. 
Esse conceito se diferencia ao do momento angular, dado que este é dependente da 
velocidade e do comprimento do eixo transversal até o eixo de rotação, ou seja, o raio 
considerado para o movimento circular de revolução do objeto. 
, 
 
 
42 
 
6.1.4 Dinâmica de corpos rígidos 
A dinâmica do corpo rígido faz parte da mecânica, ela estuda o movimento e o 
equilíbrio dos corpos rígidos (entidades) sem ignorar sua deformação. Ao aplicar um 
tensor à entidade, poderá resultar em dois comportamentos, rígido ou deformável. 
Quando a aplicação do tensor é levemente deformada, a entidade é considerada 
rígida, o que torna o material rígido. 
A aceleração do movimento translacional de um corpo rígido é atribuída à força 
resultante, que pode ser obtida ao adicionar a força externa como um vetor livre. A 
aceleração angular no movimento rotacional se deve ao fato de que a linha de ação da 
força externa não passa pelo centro de massa. 
 
6.2 Balanços e sistema linear 
Ao relacionar o balanço com o sistema linear, supõe-se que caso seja um sistema 
contendo vários objetos, o momento linear do sistema é igual à soma dos momentos 
lineares (vetor) de cada objeto. O momento linear do sistema é igual ao momento 
linear do mesmo centro de massa. 
Ao descrever seu movimento, às vezes é considerado que essa quantidade é mais útil 
do que a velocidade do centro de massa do sistema corporal. Na verdade, quando a 
força externa resultante aplicada ao sistema é zero, como uma colisão em um plano 
horizontal sem atrito, em uma explosão ou em um sistema com massa variável, o 
momento linear total é retido. 
Consideramos um encontro entre dois objetos em translação, com massas e , e 
com velocidades iniciais e , como demonstra a figura abaixo. 
 
 
 
 
, 
 
 
43 
 
Figura 6.2 – Choque entre corpos em translação 
 
Fonte: O autor. 
 
Antes, durante e depois da colisão, a força resultante atuando no corpo é zero. A 
colisão envolve apenas forças internas. A seguir, consideremos a lei de Newton dos 
pares ação e reação da força interna. Assim, durante a colisão, a força que atua sobre 
o corpo 1, que é exercida pelo corpo 2, , é simétrica da força que atua no corpo 2 
devido à ação do corpo 1. Todavia, aplicado a objetos diferentes, o resultado deste par 
de forças no sistema é vazio: 
𝐹 1 + 𝐹 2 = 0⃗ 
 
6.2.1 Balanço de momento angular 
Definimos o momento angular como um dos mais importantes valores da cinemática 
rotacional, pois pode medir o número de movimentos relacionados à rotação de um 
corpo em relação a um determinado eixo de rotação. Sua definição é um pouco 
abstrata: é um vetor que representa matematicamente o módulo, a direção e o 
sentido do movimento, sendo ainda definido como a relação do raio de rotação e a 
dinâmica que envolve o movimento deste objeto. 
Acompanhe, no plano a seguir, que o momento angular é perpendicular à região 
formada pelos vetores r e Q. No qual temos uma relação de espaço entre quantidade 
de movimento (Q), raio (r) e momento angular (L). 
 
 
, 
 
 
44 
 
Figura 6.3 – Momento angular perpendicular à área 
 
Fonte: O autor. 
 
Ao obtermos que o ângulo entre Q e r é igual a 90°, como o sen90° é igual a 1, temos 
uma relação menos complexa: 
 
A quantidade de movimento é dada pelo produto da massa (m) e velocidade (v), 
portanto, obtemos: 
 
Lembramos também que a velocidade escalar (v) é dada pelo produto da velocidade 
angular e o raio de rotação (r): 
 
 
 
 
 
 
https://www.preparaenem.com/fisica/momento-angular.htm
https://www.preparaenem.com/fisica/momento-angular.htm
https://www.preparaenem.com/fisica/momento-angular.htm
https://www.preparaenem.com/fisica/momento-angular.htm
, 
 
 
45 
 
6.2.2 Energia cinética 
Energia cinética é a energia que o corpo tem devido ao seu movimento. Se você deseja 
acelerar um objeto, deve aplicar força. Aplicar a força exige que realizemos um bom 
trabalho. Após a conclusão do trabalho, a energia é transferida para o objeto, e o 
objeto se moverá a uma nova velocidade escalar constante. A energia transferida é 
chamada “energia cinética” e depende da massa obtida e da velocidade escalar. 
A energia cinética pode ser variada entre corpos e convertida em outras formas de 
energia. Como exemplo, uma ave voadora pode colidir com um objeto parado. Após a 
colisão, parte da energia cinética inicial da ave pode ter sido transferida para o objeto 
parado ou convertida em outra forma de energia 
Para essa equação, podemos escrever: 
𝐸𝑐 =
𝑚 × 𝑣2
2
 
EC = energia cinética; 
m = massa; 
v = velocidade. 
 
6.2.3 Equações de Euler 
A equação de Euler é uma equação relacionada à lei de Newton no movimento dos 
fluidos. A aceleração do fluido no ponto e tempo t é 
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
≅ 𝑎 
 depende de: 
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
=
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
+ (𝑣 × 𝑣 )𝑣 
, 
 
 
46 
 
Com o fluido no campo gravitacional da gravidade, a equação de Euler é a seguinte: 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
+ (𝑣 × 𝑣 )𝑣 = −
∇⃗⃗ 𝑝
𝑝
+ 𝑔 
 
6.2.4 Movimento giroscópio 
Definimos como giroscópio um dispositivo usado no ramo da física e afins, para 
demonstrar a conservação do momento angular. Tal dispositivo consiste em um rotor 
(volante), que é conectado ao eixo com pelo menos um determinado grau de liberdade 
de rotação. No que se refere aos objetos expostos, o volante dispõe de três graus de 
liberdade, ou seja, após girar, o volante permanece estável independentemente do 
movimento do suporte. A figura abaixo mostra um giroscópio livre que pode girar ao 
longo de três eixos: o eixo de rotação do rotor e dois outros eixos (ortogonais entre si) 
no anel cardam. 
 
Figura 6.4 – Exemplo de giroscópio 
 
Fonte: O autor. 
 
6.3 Particularização e modelagem 
6.3.1 Particularização: dinâmica de corpos rígidos no plano 
Numa dinâmica de Corpos Rígidos em um plano trabalho com esta equação, na qual: 
• Massa (m): resistência do corpo a uma aceleração a; 
, 
 
 
47 
 
• Momento de inércia (I): resistência do corpo a uma aceleração angular α. 
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚
𝑚
 
Se o corpo é feito de um material de densidade variável, então o momento de inércia 
pode ser calculado usando elementos de volume: 
𝐼 = ∫ 𝑟2𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝑣
 
No caso em que a densidade  é uma constante, temos: 
𝐼 = 𝜌∫ 𝑟2𝑑𝑉
𝑣
 
Quando o volume elementar escolhido tem dimensões infinitesimais nas três 
dimensões (dV = dx dy dz), o momento de inércia é determinado por uma integral 
tripla. 
 
6.3.2 Modelagem e simulação de mecanismos planos articulados 
Quanto à modelagem e simulação de mecanismos em planos articulados, são 
encontrados diversos programas responsáveis pela simulação de um plano. Abaixo 
veremos uma simulação do mecanismo de um came cilíndrico num seguidor plano 
pelo programa MatLab. 
Tal mecanismo é simplese fácil de implementar, e é amplamente utilizado em 
aplicações que precisam converter o movimento rotativo da roda excêntrica em 
movimento de oscilação angular. O movimento é formado por uma haste ou suporte 
fixo, em que a extremidade direita do came cilíndrico é conectada à outra extremidade 
da haste deslizante. É tangente à circunferência do came ao longo da direção tangente, 
conforme mostrado na figura a seguir. A partir da interseção do controle deslizante 
(seguidor) e do círculo excêntrico (excentricidade) no ponto P (x, y), um conjunto de 
equações que descrevem o caminho de movimento do sistema pode ser obtido. 
, 
 
 
48 
 
(𝑥 − 𝐴)2 + (𝑦 − 𝐵)2 = 𝑅2 
(𝑥 + 𝐿) × (𝐴 − 𝑥) − (𝑦 − 0) × (𝑦 − 𝑏) = 0 
 
Figura 6.5 – Came cinética, Simulação no MatLab 
 
Fonte: SEDRAZ (2006). 
 
Após definir esta solução, use o comando “solve” no Matlab, a posição angular do 
seguidor e sua respectiva velocidade angular são funções trigonométricas, que 
também são a saída do programa. Além de traçar o movimento completo do 
mecanismo em modo contínuo, também é possível traçar o deslocamento, a 
velocidade e a aceleração do seguidor em função do ângulo de entrada do came. 
 
Conclusão 
Neste bloco falamos sobre a dinâmica do sistema de partículas, que nos permite 
entender e nos adaptarmos de forma mais rápida ao mundo dinâmico em que vivemos 
através de sua equação, relacionando elementos como massa, aceleração e força na 
aplicação da segunda e terceira leis de Newton. Vimos também sobre trabalho e a 
energia envolvida na execução de suas atividades. Seja na impulsão que une a energia 
cinética e potencial, e consequentemente em seus momentos linear e angular. Por fim, 
tratamos a equação de Euler que está associada a lei de Newton no movimento de um 
fluído e do dispositivo utilizado na física para demonstrar a conservação do momento 
angular conhecido como giroscópico. 
, 
 
 
49 
 
REFERÊNCIAS 
NICOLAU, B. “Trabalho de uma força qualquer”. In: Os fundamentos da Física, 2019. 
Disponível em <https://bit.ly/2KFrThX> Acesso em: 25 nov. 2020. 
SEDRAZ, J. “Modelagem e simulação computacional de mecanismos”. In: Congresso 
Brasileiro de Engenharia, 2006. Disponível em <https://bit.ly/3l9UmZE> Acesso em: 25 
nov. 2020.