Teoria dos Conjuntos

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CONJUNTOS
TEORIA DOS CONJUNTOS
CONJUNTOS
Agrupamento de coisas que compartilham uma mesma característica. Podem ser 
números, objetos, figuras, pessoas, animais e tudo o que podemos ordenar, 
catalogar ou reunir em grupos.
EXEMPLO: Os estados do Nordeste do Brasil.
N = {AL, BA, CE, MA, PB, PI, PE, RN e SE}
M = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}
Todo conjunto recebe uma letra maiúscula e é representado por chaves, com 
seus elementos sendo separados por vírgulas.
Geometria Plana I Triângulos
CONJUNTOS
Geometria Plana I Triângulos
Pode-se representar também esse mesmo conjunto através do diagrama de Venn.
S
AL BA CE 
MA PB
PI PE RN SE
Dó Ré Mi
Fá Sol
Lá Si
M
Geometria Plana I Triângulos
Além do diagrama de Venn e de listar todos os elementos do conjunto, existe ainda 
outra maneira de expressar esse conjunto.
Lei de formação: E = { X I X é um número natural menor ou igual à 5}
tal que
E = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Na lei de formação não se lista os elementos, mas é informado quais são as suas 
características.
ELEMENTOS
Geometria Plana I Triângulos
Todo conjunto é formado por um ou vários objetos que são denominados elementos.
Por exemplo: No conjunto de estados do Nordeste do Brasil são elementos o Alagoas, 
Bahia, Ceará, Maranhão etc.
Pode-se também determinar o número de elementos que esse conjunto tem, usando a 
seguinte notação.
N (N) = 9
N (M) = 7
PERTINÊNCIA 
Estudar a pertinência entre um conjunto e um elemento, significa entender se um 
determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto.
Temos na matemática um símbolo específico para o termo:
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
EXEMPLO
B = {5, 6, 7, 8} o elemento 6 pertence a B, mas o número 3 não pertence ao conjunto B.
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
Os elementos de um conjunto também podem formar outros conjuntos, nesse caso 
se diz que um conjunto está contido ou não em outro conjunto. Matematicamente, 
também existe um símbolo para essa definição:
EXEMPLO:
SUBCONJUNTOS
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
IGUALDADE DOS CONJUNTOS
Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando possuem exatamente os mesmos 
elementos.
Observação: A ordem em que os elementos aparecem não é importante quando 
trabalhamos com conjuntos. 
EXEMPLO:
A = { X I X é o um nº par maior que 0}
B = { 2, 4, 6, 8, ...}
A = B
C = { 1, 2, 3, 4}
D = { 2, 4, 5, 6}
C≠D
EXEMPLO 1
Represente o conjunto formado por:
a) Múltiplos positivos de 3.
M = { 3, 6, 9, 12...}
b) Divisores positivos de 12.
D = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
EXEMPLO 2
Escrever o conjunto abaixo pela lei de 
formação:
A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { X I X ∈ IN e 3 ≤ X ≤ 8}
Conjunto A formado pelos elementos X tais 
que o X pertence ao conjunto dos números 
naturais e o x tem que ser maior ou igual a 
3 e menor igual que 8
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
EXEMPLO 3
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6...}, B = {X I X é divisor positivo de 8 }, C = {X I X é múltiplo de 
5 compreendido entre 0 e 30}.
Assinale V para VERDADEIRO e F para FALSO:
12 ∈ A (V)
4 ∉ B (F)
5 ∉ C (F)
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
O conjunto vazio corresponde a um tipo particular de conjunto, já que ele não 
possui elementos. Esse conjunto é usado para indicar uma situação impossível de 
ocorrer. 
Existem duas formas de representar um conjunto vazio.
CONJUNTO VAZIO
Não se deve unir as duas representações do conjunto vazio. Ou usamos uma, ou 
usamos a outra, porque se unirmos as duas, teremos na verdade a representação 
de um conjunto unitário!
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
O conjunto unitário é todo conjunto que possui apenas um elemento. 
CONJUNTO UNITÁRIO
Observe:
o único elemento que pode satisfazer essas duas condições é o número 4.
O Conjunto universo corresponde ao conjunto ao qual pertencem todos os 
elementos que fazem parte do nosso estudo.
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
UNIÃO DE CONJUNTOS
Para definir as principais operações entre dois ou mais conjuntos, como: união de 
conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença de conjuntos e conjunto 
complementar, utilizaremos algumas ferramentas gráficas, como o diagrama de 
Venn.
A união entre dois ou mais conjuntos será um novo conjunto constituído por elementos 
que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos em questão. Formalmente o conjunto 
união é dado por:
A união entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A ou ao
conjunto B.
Em outras palavras, basta unir os elementos de A com os de B.
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
EXEMPLO:
a) Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
A intersecção entre dois ou mais conjuntos também será um novo conjunto formado 
por elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a todos os conjuntos envolvidos. 
Formalmente temos:
Sejam A e B dois conjuntos, a intersecção entre eles é formada por elementos que 
pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Desse modo, devemos considerar 
somente os elementos que estão em ambos os conjuntos.
EXEMPLO:
a) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, –1, –2, –3}
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = { }
B ∩ C = {0}
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
A diferença entre dois conjuntos, A e B, é dada pelos elementos que pertencem a A
e não pertencem a B.
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
No diagrama de Venn-Euler, a diferença entre os conjuntos A e B é:
Conjuntos I Teoria dos Conjuntos
EXEMPLO:
Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} e C = { }.
Vamos determinar as seguintes diferenças.
A – B = {5}
A – C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C – A = { }
Observe que, no conjunto A – B, tomamos inicialmente o conjunto A e “tiramos”
os elementos do conjunto B. No conjunto A – C, tomamos o A e “tiramos” o vazio,
ou seja, nenhum elemento. Por último, em C – A, tomamos o conjunto vazio e
“tiramos” os elementos de A, que, por sua vez, já não estavam lá.