questões callen cap 7

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QUESTÕES CALLEN 
 
7.2-1) Na vizinhança imediata do estado T0, v0 o volume de um sistema particular de 1 mol é 
observado variar de acordo com a relação 
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂(𝑻 − 𝑻𝟎) + 𝒃(𝑷 − 𝑷𝟎) 
Calcule a transferência de calor dQ para o sistema se o volume molar é alterado por um 
pequeno incremento dv = v - v0 a uma temperatura constante T0. 
 
dQ = TdS 
dS se relaciona com dV à temperatura constante, ou seja, 𝑑𝑆 = (
𝜕𝑆
𝜕𝑉
)
𝑇
𝑑𝑉 
 
Usando o quadrado termodinâmico: 
 
 
→ (
𝜕𝑆
𝜕𝑉
)
𝑇
= (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
 
𝑑𝑆 = (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
𝑑𝑉 
𝜕𝑣 = 𝜕𝑣0 + 𝑎 𝜕𝑇 + 𝑏 𝜕𝑃 
𝐷𝑎𝑛𝑑𝑜: (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
= −
𝑎
𝑏
 
𝑑𝑄 = 𝑇 𝑑𝑆 = 𝑇 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
𝑑𝑉 = −
𝑇. 𝑎
𝑏
𝑑𝑉 
𝑑𝑄 = −
𝑇. 𝑎
𝑏
𝑑𝑉 
 
 
 
7.2-2) Para um sistema particular de 1 mol, na vizinhança de um estado particular, observa-
se que uma mudança de pressão dP à uma temperatura constante T é acompanhada de um 
fluxo de calor dQ = A dP. Qual é o valor do coeficiente de expansão térmica desse sistema, 
no mesmo estado? 
𝛼 =
1
𝑣
(
𝜕𝑣
𝜕𝑇
)
𝑃
=
1
𝑉
(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑃
 (𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠ã𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎) 
𝑑𝑄 = 𝑇 𝑑𝑆 = 𝐴 𝑑𝑃 
𝑇. 𝑑𝑆 = 𝐴. 𝑑𝑃 
(
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
=
𝑇
𝐴
 
 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑜: 
 
→ (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
= − (
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑃
 
− (
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑃
= −
𝑇
𝐴
 𝑜𝑢 
1
𝑣
(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑃
= −
𝑇
𝐴𝑣
 
𝛼 = −
𝑇
𝐴𝑣
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2-3) Mostre que a relação 𝛼 =
1
𝑇
 implica que Cp é independente da pressão (
𝜕𝐶𝑝
𝜕𝑃
)
𝑇
= 0 
 
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝛼 =
1
𝑇
=
1
𝑉
(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑃
 
𝑒 𝐶𝑃 =
𝑇
𝑁
(
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑃
 
 
𝑄𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: (
𝜕𝐶𝑝
𝜕𝑃
)
𝑇
=
1
𝑁
[
𝜕
𝜕𝑃
(𝑇
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑃
]
𝑇
= 0 
 
→ (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
= − (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
 
 
(
𝜕𝐶𝑝
𝜕𝑃
)
𝑇
=
1
𝑁
[
𝜕
𝜕𝑃
(𝑇
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑃
]
𝑇
→ 
1
𝑁
{
𝜕
𝜕𝑃
[(
𝜕𝑇𝑆
𝜕𝑇
)
𝑃
− 𝑆]}
𝑇
 
 
1
𝑁
{
𝜕
𝜕𝑃
[(
𝜕𝑇𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
]}
𝑃
−
1
𝑁
(
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
 
1
𝑁
{
𝜕
𝜕𝑃
[𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
]}
𝑃
−
1
𝑁
(
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
 
1
𝑁
{−
𝜕
𝜕𝑃
[𝑇 (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
]}
𝑃
+
1
𝑁
(
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
 
1
𝑁
{−
𝜕
𝜕𝑃
(𝑉)}
𝑃
+
1
𝑁
(
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
= 0 
 
 
 
7.3-1) Os estudiosos de termodinâmica às vezes se referem à “primeira equação de T dS” e à 
“segunda equação de T dS”; 
(𝟏) 𝑻 𝒅𝑺 = 𝑵𝒄𝒗𝒅𝑻 + (𝑻𝜶/𝒌𝑻) 𝒅𝑽 (𝑵 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆) 
(𝟐) 𝑻 𝒅𝑺 = 𝑵𝒄𝒑𝒅𝑻 − 𝑻𝑽𝜶𝒅𝑷 (𝑵 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆) 
Derive essas equações. 
 
 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (1): 
𝑑𝑄 = 𝑇 𝑑𝑆 
𝑆 = 𝑆 (𝑇, 𝑉, 𝑁), 𝑁 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑑𝑆 = (
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑉
𝑑𝑇 + (
𝜕𝑆
𝜕𝑉
)
𝑇
𝑑𝑉 + (
𝜕𝑆
𝜕𝑁
) 𝑑𝑁 
𝐸𝑛𝑡ã𝑜, 𝑇𝑑𝑆 = 𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑉
𝑑𝑇 + 𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑉
)
𝑇
𝑑𝑉 
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐶𝑣 =
𝑇
𝑁
(
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑉
→ (
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑉
=
𝑁
𝑇
𝐶𝑣 
 
 
Usando o quadrado termodinâmico: 
(
𝜕𝑆
𝜕𝑉
)
𝑇
= (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
 
𝑇𝑑𝑆 = 𝑇
𝑁
𝑇
𝐶𝑣𝑑𝑇 + 𝑇 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
𝑑𝑉 
𝐷𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 7.33, (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
= −
(
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
→ 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓. 𝛼
(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑇
→ 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝜅𝑇
 
 𝐸𝑚 𝑞𝑢𝑒: 
𝛼 =
1
𝑉
(
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
 𝑒 𝜅𝑇 = −
1
𝑉
(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑇
 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
=
(
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑇
 
=
𝛼. 𝑉
−𝑉. 𝜅𝑇
 
0 
= −
𝛼
𝜅𝑇
 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑇𝑑𝑆 = 𝑁𝐶𝑣𝑑𝑇 + 𝑇
𝛼
𝜅𝑇
𝑑𝑉 
 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (2): 
𝑑𝑄 = 𝑇 𝑑𝑆 
𝑆 = 𝑆 (𝑇, 𝑉, 𝑁), 𝑁 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑑𝑆 = (
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑃
𝑑𝑇 + (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
𝑑𝑃 + (
𝜕𝑆
𝜕𝑁
) 𝑑𝑁 
𝑇𝑑𝑆 = 𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑃
𝑑𝑇 + 𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
𝑑𝑃, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑃
=
𝑁
𝑇
𝐶𝑃 
 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
: 
 
→ (
𝜕𝑆
𝜕𝑃
)
𝑇
= − (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
 
𝑇𝑑𝑆 = 𝑇
𝑁
𝑇
𝐶𝑃𝑑𝑇 − 𝑇 (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
𝑑𝑃 
𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝛼 =
1
𝑉
(
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
→ (
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
= 𝑉𝛼 
𝑇𝑑𝑆 = 𝑁𝐶𝑝𝑑𝑇 − 𝑇 𝑉𝛼 𝑑𝑃 
 
 
7.3-2) Mostre que a segunda equação no problema anterior leva diretamente à relação 
𝑻 (
𝝏𝒔
𝝏𝑻
)
𝒗
= 𝑪𝑷 − 𝑻 𝒗 𝜶 (
𝝏𝑷
𝝏𝑻
)
𝒗
 
E, portanto, valida a equação 7.36. 
 
𝑇𝑑𝑆 = 𝑁𝐶𝑃𝑑𝑇 − 𝑇 𝑉𝛼 𝑑𝑃, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑇 
𝑇 = (
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑉
= 𝑁𝐶𝑃 (
𝜕𝑇
𝜕𝑇
)
𝑉
− 𝑇 𝑉𝛼 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
 
𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑉
= 𝑁𝐶𝑃 − 𝑇 𝑉𝛼 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉
 
𝑁𝑇 (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑣
= 𝑁𝐶𝑃 − 𝑇 𝑁 𝑣 𝛼 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑣
 
0 
𝑇 (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑣
= 𝐶𝑝 − 𝑇 𝑣 𝛼 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑣
 
 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 7.36, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝐶𝑣 = 𝑇 (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑣
 
 𝑒 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑣
𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 7.35: 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑣
= −
(
𝜕𝑣
𝜕𝑇
)
𝑃
→ 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝛼
(
𝜕𝑣
𝜕𝑃
)
𝑇
→ 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝜅𝑇
 
𝛼 =
1
𝑣
(
𝜕𝑣
𝜕𝑇
)
𝑃
→ (
𝜕𝑣
𝜕𝑇
)
𝑃
= 𝑣 𝛼 𝑒 𝜅𝑇 = −
1
𝑣
(
𝜕𝑣
𝜕𝑃
)
𝑇
→ −𝑣 𝜅𝑇 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑣
=
𝑣 𝛼
𝑣 𝜅𝑇
=
𝛼
𝜅𝑇
 
1
𝑇
(𝑇𝐶𝑣) = 𝐶𝑃 − 𝑇 𝑣 𝛼 (
𝛼
𝜅𝑇
) → 𝐶𝑣 = 𝐶𝑃 −
𝑇 𝑣 𝛼2
𝜅𝑇
 
 
7.3-3) Calcule (𝝏𝑯/𝝏𝑽)T,N em termos das quantidades padrões Cp, 𝜶, 𝜿𝑻, T e P. 
 
𝑈[𝑃] = 𝐻, 𝐻 = 𝐻(𝑆, 𝑃, 𝑁), (
𝜕𝑈
𝜕𝑉
) = −𝑃 
𝐻 = 𝑈 + 𝑃 𝑉 
𝐶𝑢𝑗𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟á: 𝑑𝐻 = 𝑑𝑈 + 𝑃 𝑑𝑉 + 𝑉 𝑑𝑃, 𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑃 𝑑𝑉 + 𝜇𝑑𝑁 
𝑑𝐻 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑃 𝑑𝑉 + 𝜇 𝑑𝑁 + 𝑉 𝑑𝑃 + 𝑃 𝑑𝑉, 𝑁 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑑𝐻 = 𝑇 𝑑𝑆 + 𝑉 𝑑𝑃 
𝐷𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒: (
𝜕𝐻
𝜕𝑉
)
𝑇,𝑁
= 𝑇 (
𝜕𝑆
𝜕𝑉
)
𝑇,𝑁
+ 𝑉 (
𝜕𝑃
𝜕𝑉
)
𝑇,𝑁
 
 𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒: 
𝐶𝑃 =
𝑇
𝑁
(
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑃
; 𝐶𝑉 =
𝑇
𝑁
(
𝜕𝑆
𝜕𝑇
)
𝑉
; 𝛼 =
1
𝑉
(
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
; 𝜅𝑇 = −
1
𝑉
(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑇
 
 
𝑅𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑜 1° 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑒 𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 7.33 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜: 
 
→ (
𝜕𝑆
𝜕𝑉
)
𝑇,𝑁
= (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉,𝑁
 𝑒 (
𝜕𝑃
𝜕𝑉
)
𝑇,𝑁
= [(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑇,𝑁
]
−1
= [−𝑉 𝜅𝑇]
−1 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑉
)
𝑇,𝑁
= [(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑇,𝑁
]
−1
 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑉
)
𝑇,𝑁
= [−𝑉 𝜅𝑇]
−1 
(
𝜕𝐻
𝜕𝑆
)
𝑇,𝑁
= 𝑇 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉,𝑁
−
𝑉
𝑉 𝜅𝑇
 
 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 7.35: 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑉,𝑁
= −
(
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃,𝑁
(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑇,𝑁
= −
𝛼 𝑉
(−𝜅𝑇 𝑉)
=
𝛼
𝜅𝑇
 
𝐿𝑜𝑔𝑜, (
𝜕𝐻
𝜕𝑆
)
𝑇,𝑁
= 𝑇
𝛼
𝜅𝑇
−
1
𝜅𝑇
 
(
𝜕𝐻
𝜕𝑆
)
𝑇,𝑁
=
1
𝜅𝑇
(𝑇 𝛼 − 1) 
 
7.3-4) Reduzir a derivada (
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
. 
 
 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 1ª 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠: 
(
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
= [(
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
𝑃
]
−1
 
 𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙: 
 
(foto) 
→ (
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
𝑃
= (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑣
 𝑒 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑣
= −
(
𝜕𝑣
𝜕𝑇
)
𝑃
(
𝜕𝑣
𝜕𝑃
)
𝑇
= −
𝑣 𝛼
(−𝑣 𝜅𝑇)
=
𝛼
𝜅𝑇
 
(
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
= [(
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
𝑃
]
−1
→ (
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
=
1
(
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑣
 
(
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
=
1
𝛼
𝜅𝑇
 
(
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
=
𝜅𝑇
𝛼
 
 
7.3-5) Reduzir a derivada (
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑣
. 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑣
= [(
𝜕𝑓
𝜕𝑠
)
𝑣
]
−1
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑈[𝑇] = 𝑓 = 𝑈 − 𝑇 𝑠 
𝑑𝑓 = 𝑑𝑈 − 𝑇 𝑑𝑠 − 𝑠 𝑑𝑇, 𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑠 − 𝑃 𝑑𝑣 
𝑑𝑓 = −𝑠 𝑑𝑇 − 𝑃 𝑑𝑣 
 𝐷𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒: 
(
𝜕𝑓
𝜕𝑠
)
𝑣
= −𝑠 (
𝜕𝑇
𝜕𝑠
)
𝑣
− 𝑃 (
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑣
 
→ (
𝜕𝑓
𝜕𝑠
)
𝑣
= −𝑠 (
𝜕𝑇
𝜕𝑠
)
𝑣
 
(
𝜕𝑓
𝜕𝑠
)
𝑣
= −𝑠 [(
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑣
]
−1
, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝐶𝑣 = 𝑇 (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑣
→ (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑣
=
1
𝑇
𝐶𝑣 
(
𝜕𝑓
𝜕𝑠
)
𝑣
= −
𝑠
𝐶𝑣
𝑇
 
(
𝜕𝑓𝜕𝑠
)
𝑣
= −
𝑠𝑇
𝐶𝑣
 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑣
= −
𝐶𝑣
𝑇𝑠
 
 
7.3-6) Reduzir a derivada (
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑃
. 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑃
= [(
𝜕𝑓
𝜕𝑠
)
𝑃
]
−1
 
 𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑓 = 𝑢 − 𝑇 𝑠 
𝑑𝑓 = 𝑑𝑢 − 𝑇 𝑑𝑠 − 𝑠 𝑑𝑇 , 𝑑𝑢 = 𝑇 𝑑𝑠 − 𝑃 𝑑𝑣 
𝑑𝑓 = −𝑠 𝑑𝑇 − 𝑃 𝑑𝑣 
𝐴 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟á: (
𝜕𝑓
𝜕𝑠
)
𝑃
= −𝑠 (
𝜕𝑇
𝜕𝑠
)
𝑃
− 𝑃 (
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
 
→ (
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑃
= [−𝑠 (
𝜕𝑇
𝜕𝑠
)
𝑃
− 𝑃 (
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
]
−1
 
 𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒: 
𝐶𝑃 = 𝑇 (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑃
; 𝐶𝑣 = 𝑇 (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑣
; 𝛼 =
1
𝑣
(
𝜕𝑉
𝜕𝑇
)
𝑃
; 𝜅𝑇 = −
1
𝑇
(
𝜕𝑉
𝜕𝑃
)
𝑇
 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑃
= {−𝑠 [(
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑃
]
−1
− 𝑃 (
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
}
−1
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑃
=
𝐶𝑃
𝑇
 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑃
= {−𝑠 (
𝑇
𝐶𝑃
) − 𝑃 (
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
}
−1
 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑃
= {−
𝑠 𝑇
𝐶𝑃
− 𝑃 (
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
}
−1
 
 
 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 7.34: 
(
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
=
(
𝜕𝑣
𝜕𝑇
)
𝑃
(
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑃
 
(
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
=
𝛼 𝑉
𝐶𝑃
𝑇
 
(
𝜕𝑣
𝜕𝑠
)
𝑃
=
𝑇 𝑣 𝛼
𝐶𝑃
 
𝐿𝑜𝑔𝑜, (
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑃
= {−
𝑠 𝑇
𝐶𝑃
− 𝑃
𝑇 𝑣 𝛼
𝐶𝑃
 }
−1
 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑃
= {−
𝑠 𝑇
𝐶𝑃
−
𝑃 𝑇 𝑣 𝛼
𝐶𝑃
 }
−1
 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑓
)
𝑃
= −
𝐶𝑃
𝑇(𝑠 + 𝑃 𝑣 𝛼)
 
 
 
 
7.3-7) Reduzir a derivada (
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
ℎ
. 
 
 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 7.35: 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
ℎ
= −
(
𝜕ℎ
𝜕𝑣
)
𝑠
(
𝜕ℎ
𝜕𝑠
)
𝑣
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑈[𝑃] = ℎ = 𝑈 + 𝑃 𝑣 
𝑑ℎ = 𝑑𝑈 + 𝑃 𝑑𝑣 + 𝑣 𝑑𝑃, 𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑃 𝑑𝑣 
𝑑ℎ = 𝑇 𝑑𝑆 + 𝑣 𝑑𝑃 
 𝐶𝑜𝑚 𝑖𝑠𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒: 
(
𝜕ℎ
𝜕𝑣
)
𝑠
= 𝑇 (
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
𝑠
+ 𝑣 (
𝜕𝑃
𝜕𝑣
)
𝑠
 𝑒 (
𝜕ℎ
𝜕𝑠
)
𝑣
= 𝑇 (
𝜕𝑠
𝜕𝑠
)
𝑠
+ 𝑣 (
𝜕𝑃
𝜕𝑠
)
𝑠
 
(
𝜕ℎ
𝜕𝑠
)
𝑣
= 𝑣 (
𝜕𝑃
𝜕𝑠
)
𝑠
= 𝑣
(
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
𝑃
(
𝜕𝑠
𝜕𝑃
)
𝑣
 
𝐴𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 
 𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠: (tendo em vista que não eliminam a entropia) 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
𝑃
= (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑃
(
𝜕𝑇
𝜕𝑣
)
𝑃
=
𝐶𝑃
𝑉 𝛼 𝑇
 
e 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑃
)
𝑣
= (
𝜕𝑠
𝜕𝑇
)
𝑣
(
𝜕𝑇
𝜕𝑃
)
𝑣
=
𝐶𝑣
𝑇
(
𝜕𝑇
𝜕𝑃
)
𝑣
=
𝐶𝑣
𝑇
(
𝜕𝑣
𝜕𝑃
)
𝑇
(
𝜕𝑣
𝜕𝑇
)
𝑃
=
𝐶𝑣
𝑇
−
𝑉𝜅𝑇
𝑣 𝛼
= −
𝐶𝑣 𝜅𝑇
𝑇 𝛼
 
 
 𝐷𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒: 
(
𝜕ℎ
𝜕𝑣
)
𝑠
= 𝑣
𝐶𝑃
𝑣 𝛼 𝑇
−
𝐶𝑣 𝜅𝑇
𝑇𝛼
=
𝐶𝑝
𝐶𝑣 𝜅𝑇
 
 
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎: 
(
𝜕ℎ
𝜕𝑠
)
𝑣
= [
𝑇 𝑑𝑠 + 𝑣 𝑑𝑃
𝜕𝑠
]
𝑣
= 𝑇 + 𝑣 (
𝜕𝑃
𝜕𝑠
)
𝑣
 
 
1 
 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 
(
𝜕ℎ
𝜕𝑠
)
𝑣
= 𝑇 +
𝑣
(
𝜕𝑠
𝜕𝑃
)
𝑣
= 𝑇 +
𝑣 𝑇 𝛼
−𝐶𝑣 𝜅𝑇
= 𝑇 (1 −
𝑣 𝛼
 𝜅𝑇 𝐶𝑣
) 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
ℎ
=
𝐶𝑃
𝑇(𝜅𝑇𝐶𝑣 − 𝑣 𝛼)
 
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐶𝑣 = 𝐶𝑃 − 𝑇
𝑣 𝛼2
𝜅𝑇
: 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
ℎ
= −
𝐶𝑃
𝑇 [𝜅𝑇 (𝐶𝑃 −
𝑇𝛼2
𝜅𝑇
) − 𝑣 𝛼]
 
(
𝜕𝑠
𝜕𝑣
)
ℎ
= −
𝐶𝑃
𝑇(𝜅𝑇 𝐶𝑃 − 𝑇 𝑣 𝛼
2 − 𝑣 𝛼)
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 (
𝜕𝑃
𝜕𝑇
)
𝑣
= −
(
𝜕𝑣
𝜕𝑇
)
𝑃
(
𝜕𝑣
𝜕𝑃
)
𝑇
= −
𝛼 𝑉
(𝜅𝑇 𝑉)
=
𝛼
𝜅𝑇