ELETROTÉCNICA - CAPÍTULOS I, II 1, II 2, II 3 e II 4 (1) (1)

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UNISUAM 
 
 
ENGENHARIA 
 
ELETROTÉCNICA 
 
 
PROFº RAED 
 
 
2015-1 
 
 1 
CAPÍTULO I – ELETRODINÂMICA 
 
1. Tensão Elétrica 
A tensão elétrica entre dois pontos, também chamada de diferença de potencial (ddp), é o trabalho 
necessário em joules para mover um coulomb de carga de um ponto a outro. 
 
A unidade no Sistema Internacional (SI) de tensão elétrica é o volt, cujo símbolo é V. O símbolo de 
tensão elétrica é U. 
 
q
W
U  
 
Onde: U  é a tensão elétrica, em volts (V). 
 W  é o trabalho, em joules (J). 
 q  é a carga elétrica, em coulomb (C). 
 
 
2. Corrente Elétrica 
É o movimento ou o fluxo de elétrons. Para se produzir a corrente, os elétrons devem se deslocar 
pelo efeito de uma ddp. 
 
A unidade no SI de corrente é o ampère, cujo símbolo é A. Os símbolos utilizados são o I para uma 
corrente constante e i para uma corrente variável no tempo. 
 
O condutor metálico da figura 1, submetido a uma ddp entre os seus extremos, possui uma 
quantidade de elétrons que atravessa a seção reta transversal do condutor desde o instante t até o 
instante t + t. Cada elétron apresenta uma carga elétrica elementar e de valor igual a C19106,1  . 
Em um intervalo de tempo t, passa pela seção transversal uma carga elétrica de valor absoluto 
igual a: 
 
enq . 
 
Onde: q  é a quantidade de carga elétrica em movimento, em coulomb (C). 
 n  é o número de elétrons. 
 e  é a carga elétrica elementar de um elétron, que é igual a 1,6x10
-19
C. 
 
 2 
 
Fig. 1 – No intervalo de tempo Δt, “n” elétrons passam pela seção reta transversal do condutor. 
 
Define-se intensidade média de corrente elétrica mi no intervalo de tempo t: 
 
t
q
im


 
 
Quando a corrente varia com o tempo, define-se intensidade de corrente i em um instante t o limite 
para o qual tende a intensidade média, quando o intervalo de tempo t tende a zero: 
 
t
q
i
ot 



lim 
 
Denomina-se corrente contínua constante toda corrente de sentido e intensidade constantes com o 
tempo. Neste caso, a intensidade média da corrente mi em qualquer intervalo de tempo t é a 
mesma e, portanto, igual à intensidade i em qualquer instante t . 
 
iim  
 
A figura 2 mostra o gráfico dessa corrente em função do tempo. Esse é o caso mais simples de 
corrente elétrica. A pilha mostrada ao lado do gráfico é um exemplo de fonte que fornece uma 
corrente contínua constante. 
 
Fig. 2 – A corrente contínua constante tem sentido e intensidade constantes com o tempo. 
 
 
 3 
A figura 3 mostra um gráfico de uma corrente elétrica que muda, periodicamente, de intensidade e 
sentido, esta é chamada de corrente alternada. Nos terminais das tomadas das residências, 
escritórios, comércios e indústrias há uma corrente alternada na frequência de 60 Hz, ou seja, 
60 ciclos/segundo. 
 
Fig. 3 – A corrente alternada muda periodicamente no tempo. 
 
Um ampère de corrente é definido como o deslocamento de um coulomb através de um ponto 
qualquer de um condutor durante um intervalo de um segundo. 
 
segundo
coulomb
ampére
1
1
1  
 
t
q
I


 
 
Onde: I  é a corrente elétrica, em ampères (A). 
 q  é a quantidade de carga elétrica em movimento, que passa através de uma seção reta 
transversal de um condutor, em coulomb (C). 
t  é o intervalo de tempo, em segundos (s). 
 
 
3. Densidade de Corrente 
É a relação entre a corrente elétrica em ampères e a área da seção transversal do condutor em m
2
. 
S
I
J  
 
Onde: J  é a densidade de corrente elétrica, em ampères/metro quadrado (A/m
2
). 
 I  é a intensidade da corrente elétrica, em ampères (A). 
S  é a área da seção transversal do condutor, em metros quadrados (m
2
). 
 
 4 
4. Resistores 
O resistor é todo elemento cuja função em um circuito é oferecer uma resistência especificada. 
 
A unidade no SI de resistência elétrica é o ohm, cujo símbolo é o . 
 
Para uma dada tensão elétrica, quanto maior a resistência menor será corrente elétrica. Portanto, a 
resistência é a oposição ao fluxo da corrente elétrica. 
 
São exemplos de resistores: filamentos de tungstênio de lâmpadas incandescentes e fios de nicromo 
enrolados em hélice em chuveiro elétrico. 
 
 
5. Lei de Ohm 
Considere o resistor da figura 4, mantido a uma temperatura constante, percorrido por uma corrente 
elétrica i , quando entre seus terminais A e B for aplicada a ddp U. 
 
 
Fig. 4 – A ddp é a causa da passagem da corrente “i”. 
 
Mudando-se a ddp sucessivamente para U1, U2, U3, ..., o resistor passa a ser percorrido por corrente 
de intensidade ...,,, 321 iii 
 
Ohm verificou, experimentalmente, que mantida a temperatura constante, o quociente da ddp 
aplicada pela respectiva intensidade de corrente era uma constante característica do resistor. 
 
Rtecons
i
U
i
U
i
U
i
U
 tan...
3
3
2
2
1
1 
 
A grandeza R assim introduzida foi denominada resistência elétrica do resistor. A resistência 
elétrica não depende da ddp aplicada ao resistor nem da corrente elétrica que o percorre; ela 
depende do condutor e de sua temperatura. A expressão que simboliza a lei de Ohm é: 
 
I
U
R  
 
 5 
Onde, conforme já definido: 
 R resistência elétrica, em ohms (). 
 U tensão elétrica, em volts (V). 
 I intensidade da corrente elétrica, em ampères (A). 
 
 
6. Resistores Ôhmicos e Não-Ôhmicos 
Na figura 5, o gráfico de U em função de i é uma reta que passa pela origem, constituindo, assim, a 
curva característica de um resistor ôhmico. O coeficiente angular da reta (tg ) é numericamente 
igual a resistência elétrica do resistor, que é igual a uma constante não-nula. 
 
R
i
U
tg  
 
Fig. 5 - Curva característica de um resistor ôhmico. 
 
Para condutores que não obedecem a Lei de Ohm, a curva característica passa pela origem, mas não 
é uma reta, conforme mostra a figura 6. Esses condutores são denominados condutores não-lineares 
ou não-ôhmicos. A resistência aparente (Rap) é definida em cada ponto da curva da seguinte 
maneira: 
 
'
'
'
i
U
R
i
U
R apap  
 
 
Fig. 6 - Curva característica de um condutor não-ôhmico. 
 
 6 
7. Efeito Térmico ou Efeito Joule 
Um resistor transforma exclusivamente em térmica a energia elétrica recebida de um circuito. 
Portanto, é comum afirmar que um resistor dissipa energia elétrica que recebe do circuito. 
 
Nos aquecedores elétricos em geral (chuveiros elétricos, torneiras elétricas, ferros elétricos, 
secadores de cabelos), constituídos de resistores, ocorre a transformação de energia elétrica em 
energia térmica. 
 
O efeito da transformação de energia elétrica em térmica é denominado efeito térmico ou efeito 
joule. Esse efeito pode ser entendido considerando o choque dos elétrons livres contra os átomos do 
condutor. 
 
 
8. Resistividade 
A resistência elétrica de um resistor depende do material que o constitui, de suas dimensões e de sua 
temperatura. Portanto, a resistência elétrica R de um resistor em dada temperatura é: 
 diretamente proporcional ao seu comprimento (  ), em metros (m); 
 inversamente proporcional à sua área de seção transversal (S), em m2; 
 dependente do material que o constitui (  ), em .m. 
 
S
R
.
 
 
Onde  (letra grega rô) é uma grandeza que depende do material que constitui o resistor e da 
temperatura, sendo denominado resistividade do material. 
 
A resistividade de um material varia com a temperatura. Para variações não-excessivas (até cerca de 
400ºC), pode-se admitir como linear a variação da resistência com a temperatura. Nestas condições, 
a resistividade  a uma temperatura T é dada por: )](1[ 00 tT   
Onde:   resistividade na temperatura final (T), em .m. 
 0  resistividade na temperatura inicial (t0), em .m. 
   coeficiente de temperatura do material, em ºC-1. 
 T  temperatura final, em ºC. 
 t0  temperatura inicial, em ºC. 
 
 7 
Tabela1 - Resistividade de alguns materiais à temperatura ambiente (20ºC). 
MATERIAL RESISTIVIDADE (.m) 
Prata 1,47x10
-8 
Cobre 1,72x10
-8 
Ouro 2,44x10
-8 
Alumínio 2,75x10
-8 
Tungstênio 5,25x10
-8 
Ferro 9,68x10
-8 
 
Todos os condutores metálicos apresentam um aumento de resistência elétrica com a elevação de 
temperatura. Se uma determinada corrente elétrica aquecer um condutor, haverá uma diminuição 
desta corrente devido o aumento da resistência elétrica do condutor, provocado pelo aumento da 
temperatura. 
 
)](1[ 00 tTRR   
 
Onde: R  resistência na temperatura final (T), em . 
 0R  resistência na temperatura inicial (t0), em . 
   coeficiente de temperatura do material, em ºC-1. 
 T  temperatura final, em ºC. 
 t0  temperatura inicial, emºC. 
 
Tabela 2 - Coeficiente de temperatura ( ) de alguns materiais. 
MATERIAL  (ºC-1) 
Prata 0,0038
 
Cobre 0,00393
 
Alumínio 0,0039
 
Tungstênio 0,0045
 
Ferro 0,0050
 
 
 
 8 
9. Condutividade 
A condutividade de um material ( ) é o inverso da resistividade. 
 


1
 
 
A unidade no SI de condutividade é o mho/metro. 
 
 
10. Potência e Energia Elétrica 
A potência elétrica P usada em qualquer parte de um circuito é igual a corrente I nessa parte 
multiplicada pela tensão U através dessa parte do circuito. A fórmula para o cálculo da potência é: 
 
IUP . 
 
Onde P é potência elétrica, em watts (W). 
 
Pela Lei de Ohm, IRU  
 
2.. IRIIRIUP  
 
Sendo 
R
U
I  
 
A potência elétrica dissipada pode, também, ser dada por: 
R
U
P
2
 
 
A energia elétrica (EEL) transformada em energia térmica ao fim de um intervalo de tempo t, em 
um resistor, é dada por: tIREEL 
2 . Esta expressão é conhecida como a Lei de Joule, podendo 
assim ser enunciada: A energia elétrica dissipada em um resistor, durante um dado intervalo de 
tempo t, é diretamente proporcional ao quadrado da intensidade de corrente que o percorre. 
 
A unidade usual de energia elétrica utilizada na eletrotécnica é o watt-hora (Wh). Porém, o produto 
da potência P em watts e o intervalo de tempo t em segundos é igual a energia em joules. 
 
 
 9 

2
1
.
t
t
EL dtPE 
 
1Ws = 1 J 
JjoulesWssWhkWkWh 6106,3000.600.3000.600.33600.10001.11  
 
 
11. Múltiplos e Submúltiplos 
Os prefixos das unidades são utilizados para facilitar a escrita das mesmas quando elas estão 
expressas ou em valores muito grandes ou muito pequenos. As Tabelas 3 e 4 mostram os prefixos, 
seus multiplicadores e seus símbolos. 
 
Tabela 3 – Múltiplos. 
 PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR 
M
Ú
L
T
IP
L
O
S
 
DECA da 10 10 
HECTO h 10² 100 
QUILO k 103 1.000 
MEGA M 106 1.000.000 
GIGA G 109 1.000.000.000 
TERA T 1012 1.000.000.000.000 
PETA P 1015 1.000.000.000.000.000 
EXA E 1018 1.000.000.000.000.000.000 
ZETA Z 1021 1.000.000.000.000.000.000.000 
IOTA Y 1024 1.000.000.000.000.000.000.000.000 
 
 
Tabela 4 – Submúltiplos. 
 PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR 
S
U
B
M
Ú
L
T
IP
L
O
S
 
DECI d 10-1 0,1 
CENTI c 10-2 0,01 
MILI m 10-3 0,001 
MICRO µ 10-6 0,000.001 
NANO n 10-9 0,000.000.001 
PICO p 10-12 0,000.000.000.001 
FEMTO f 10-15 0,000.000.000.000.001 
ATO a 10-18 0,000.000.000.000.000.001 
ZEPTO z 10-21 0,000.000.000.000.000.000.001 
IOCTO y 10-24 0,000.000.000.000.000.000.000.001 
 
 10 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. O gráfico a seguir representa a intensidade de corrente em um fio condutor, em função do 
tempo. Calcule para o intervalo de 0 a 6s: 
(a) A quantidade de carga que passa por uma seção reta do condutor. 
(b) O número de elétrons que atravessa a seção reta do condutor. 
 
 
2. Um condutor é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 1A. Determine o número 
de elétrons que passam por uma seção transversal do condutor em um segundo, sabendo que a carga 
elétrica elementar de um elétron vale 1,6 x 10
-19
C. 
 
3. Relacione quatro efeitos principais produzidos pela corrente elétrica. 
 
4. Um resistor de 20 é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 3A. Determine: 
(a) A ddp nos terminais do resistor. 
(b) A potência elétrica consumida pelo resistor. 
(c) A energia elétrica consumida no intervalo de tempo de 20s, expressa em joules. 
 
5. Sabendo-se que 20 lâmpadas de 100 watts e 10 lâmpadas de 150 watts permanecem acesas 5 
horas por dia, pergunta-se: Qual o consumo de energia elétrica, em kWh, no período de 30 dias? 
 
6. Um chuveiro elétrico alimentado sob ddp de 127V, consome uma potência de 4,4kW. Calcule: 
(a) A resistência elétrica do aparelho. 
(b) A intensidade de corrente que percorre o aparelho. 
(c) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 72 segundos, expressa em 
kWh. 
(d) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 72 segundos, expressa em 
joules. 
(e) O gasto de 30 dias, em reais, se o chuveiro é utilizado durante 90 minutos por dia. Suponha que 
o preço do kWh seja de R$0,52. 
 
 11 
7. Um chuveiro alimentado sob ddp de 220V, consome uma potência de 4,4kW. Calcule para esta 
condição: 
(a) A resistência elétrica do aparelho. 
(b) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 24 minutos, expressa em 
kWh. 
(c) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 5 minutos, expressa em 
joules. 
 
8. Um fio com 200m de comprimento e seção circular de 6mm2, produz uma queda de tensão de 
6V, com uma intensidade de corrente elétrica de 10A. Calcule a resistividade do material que 
constitui o fio, em .m. 
 
 
9. Um ser humano pode ser eletrocutado se uma pequena corrente de 50mA passar perto do seu 
coração. Um eletricista trabalhando com as mãos suadas faz bom contato com os dois condutores 
que ele está segurando, um em cada mão. Se a sua resistência for de 2000, qual poderia ser a 
tensão fatal? 
 
10. Um fio de tungstênio tem uma resistência de 10 a 20ºC. Determine a sua resistência a 
120ºC. Dado:  = 0,0045/ºC. 
 
11. Um equipamento elétrico monofásico de 5kW é alimentado por uma fonte de 200 V através de 
um circuito de fio de cobre de 4mm
2
. Determine o comprimento máximo desse circuito, em metros, 
para que nele a queda de tensão não ultrapasse 2 %. Dado: A resistividade do fio de cobre é de 
m
mm202,0 
 
 
12. Um fio cilíndrico de comprimento ℓ e raio de seção reta r apresenta resistência R. Um outro 
fio, cuja resistividade é o dobro da primeira, o comprimento é o triplo, e o raio 3/r , terá resistência 
igual a: 
 
 12 
13. Têm-se cinco fios condutores F1, F2, F3, F4 e F5, de mesmo material e à mesma temperatura. 
Os fios apresentam comprimento e área de seção transversal conforme tabela abaixo. Sendo R a 
resistência elétrica de F1, podemos afirmar que F2, F3, F4 e F5 têm resistências elétricas, 
respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
(1) (a) 27C; (b) 1,6875x10
20
elétrons; (2) 6,25x10
18
 elétrons; (3) magnético, químico, fisiológico e 
térmico (ou joule); (4) (a) 60V; (b) 180W; (c) 3.600J; (5) 525kWh; (6) (a) 3,6657; (b) 34,646A; 
(c) 0,088kWh; (d) 316.800 joules; (e) R$102,96; (7) (a) 11; (b) 1,76kWh; (c) 1.320.000 joules; 
(8) 1,8x10
-8
.m; (9) 100V; (10) 14,5; (11)16m; (12) 54R; (13) 2R ; R/2 ; 2R ; 4R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fio 
condutor 
Comprimento 
Área de seção 
transversal 
F1 ℓ A 
F2 2ℓ A 
F3 ℓ 2A 
F4 ℓ A/2 
F5 2ℓ A/2 
 
 
 13 
CAPÍTULO II – CIRCUITOS ELÉTRICOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
II.1 – CIRCUITOS EM SÉRIE 
 
1. Introdução 
Atualmente, dois tipos de corrente elétrica são usados nos equipamentos elétricos e eletrônicos. Um 
deles é a corrente contínua (CC), cujo fluxo de cargas (corrente) não varia em intensidade e sentido 
com o tempo. O outro é a corrente alternada (CA) senoidal, cujo fluxo de cargas varia 
continuamente em intensidade e sentido com o tempo. 
 
Uma bateria como a ilustrada na figura 1 tem, em função da diferença de potencial entre seus 
terminais, a capacidade de promover (‘pressionar’) um fluxo de cargas através de um simples 
circuito. O terminal positivo atrai os elétrons do fio com a mesma rapidez com que eles são 
fornecidos pelo terminal negativo. Enquanto a bateria estiver ligada ao circuito e mantendo as suas 
características elétricas, a corrente (CC) através do circuito não terá variações de intensidade nem 
sentido. 
 
Se considerar o fio como um condutor ideal (isto é, que não se opõe ao fluxo de elétrons), a 
diferença de potencial V entre os terminais do resistor será igual à tensão aplicada pela bateria. 
 
A corrente é limitada somente pelo resistor R. Quanto maior a resistência, menor a corrente, e vice-
versa, como determinado pela lei de Ohm. 
 
Fig. 1 - Componentes básicos de um circuito elétrico. 
 
Por convenção, o sentido do fluxo convencional da corrente ( alconvencionI ) como indicado na figura 
1, é oposto ao do fluxo de elétrons ( eletrônicoI ). Além disso, o fluxo uniforme de cargas leva a 
concluir que a corrente contínua I é a mesma em qualquer ponto do circuito. Segundo o sentido do 
fluxo convencional, observa-se que há aumento de potencial ao atravessar a bateria (de – para +) e 
uma queda de potencial ao atravessar o resistor (de + para -). Em circuitos de corrente contínua com 
 
 14 
apenas uma fonte de tensão, a corrente convencional sempre passa de um potencial mais baixo para 
um potencial mais alto ao atravessar uma fonte de tensão, como mostra a figura 2. 
 
 
Fig. 2 - Sentido convencional da corrente para circuitos CC com uma fonte de tensão. 
 
Entretanto, o fluxo convencional sempre passa de um potencial mais alto para um potencial mais 
baixo ao atravessar um resistor, qualquer que seja o número de fontes de tensão no mesmo circuito, 
como mostra a figura 3. 
 
 
Fig. 3 - Polaridade resultante da passagem de uma corrente I no sentido convencional, através de 
um elemento resistivo. 
 
 
2. Circuitos em Série 
Um circuito consiste de um número qualquer de elementos unidos por seus terminais, 
estabelecendo pelo menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir. O circuito visto 
na figura 4(a) possui três elementos, conectados em três pontos (a, b e c), de modo a constituir um 
caminho fechado para a corrente I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 4(a) - Circuito em série Fig. 4 (b) - 1R e 2R não estão em série. 
 
 
 
 15 
Dois elementos estão em série se: 
 Possuem somente um terminal em comum (isto é, um terminal de um está conectado somente a 
um terminal do outro). 
 O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por 
corrente. 
 
Na figura 4(a), os resistores 1R e 2R estão em série porque possuem apenas o ponto “b” em 
comum. As outras extremidades dos resistores estão conectadas a outros pontos do circuito. Pela 
mesma razão, a bateria U e o resistor 1R estão em série (terminal “a” em comum), e o resistor 2R e 
a bateria U estão em série (terminal “c” em comum). Visto que todos os elementos estão em série, o 
circuito é chamado circuito em série. 
 
Se o circuito mostrado na figura 4(a) for modificado de modo que um resistor 3R percorrido por 
corrente seja introduzido, conforme ilustra a figura 4(b), os resistores 1R e 2R não estarão mais em 
série porque a segunda parte da definição de elementos em série não será verdadeira. 
 
Uma característica do circuito em série é que a corrente elétrica é a mesma através de todos 
os elementos ligados no circuito. 
 
Um ramo do circuito é qualquer parte do circuito que possui um ou mais elementos em série. Na 
figura 4(a), o resistor 1R constitui um ramo do circuito, o resistor 2R , outro, e a bateria U, um 
terceiro. 
 
A resistência total de um circuito em série é a soma das resistências do circuito. 
 
Na figura 4(a), por exemplo, a resistência total ( TR ) é igual a 1R + 2R . Observa-se que a resistência 
total é na realidade a resistência ‘vista’ pela bateria quando ela ‘observa’ a combinação de 
elementos em série, conforme ilustra a figura 5. 
 
Fig. 5 - Resistência ‘vista’ pela fonte. 
 
 16 
Em geral, para determinar a resistência total (ou equivalente) de “n” resistores em série, é aplicada 
a seguinte equação. 
 
nT RRRRR  ...321 
 
Para determinar a resistência total de “n” resistores de mesmo valor em série, simplesmente 
multiplica-se o valor de um dos resistores pelo número total de resistores em série, n, ou seja: 
 
RnRT  
 
Uma vez conhecida a resistência total, o circuito visto na figura 4(a) pode ser redesenhado segundo 
mostrado na figura 6, revelando claramente que a única resistência que a fonte ‘vê’ é a resistência 
equivalente. Não importa como os elementos estão conectados para estabelecer TR . Desde que o 
valor de TR seja conhecido, a corrente drenada da fonte pode ser determinada usando a lei de Ohm 
da seguinte forma: 
 
T
T
R
U
I  
 
Fig. 6 – Circuito equivalente. 
 
Como a tensão “U” é fixa, a intensidade da corrente da fonte depende somente do valor de TR . 
Uma resistência TR elevada resultará em um valor relativamente pequeno de I , enquanto valores 
pequenos de TR resultarão em grandes valores de corrente I . 
 
 
 
 
 17 
O fato de a corrente ser a mesma em todos os elementos do circuito mostrado na figura 4(a) permite 
calcular a tensão entre os terminais de cada resistor usando diretamente a lei de Ohm, ou seja: 
 
IRUIRU 2211  
 
A potência fornecida a cada resistor pode então ser determinada utilizando qualquer uma das três 
equações, conforme listado a seguir: 
1
2
12
111
R
U
IRIUP  
 
2
2
22
222
R
U
IRIUP  
 
n
n
nnN
R
U
IRIUP
2
2  
 
A potência fornecida pela fonte é: IUPfornecida  
 
A potência total fornecida a um circuito resistivo é igual a potência total dissipada pelos elementos 
resistivos, ou seja: 
 
nfornecida PPPPP  ...321 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Exemplo 1: No circuito abaixo, determine: 
(a) A resistência total. 
(b) A corrente fornecida pela fonte I . 
(c) As tensões 321, UeUU . 
(d) A potência dissipada por 321, ReRR . 
(e) A potência fornecida pela fonte e a compare com a soma das potências calculadas em (d). 
 
Solução: 
(a)  8512321 RRRRT 
 
(b) A
R
U
I
T
5,2
8
20
 
 
(c) VIRU 5)5,2)(2(11  
VIRU 5,2)5,2()1(22  
VIRU 5,12)5,2)(5(33  
 
(d) WIUP 5,12)5,2)(5(11  
WIRP 5,12)5,2)(2( 2211  
W
R
U
P 5,12
2
52
1
2
1
1  
 
WIUP 25,6)5,2)(5,2(22  
WIRP 25,6)5,2)(1( 2222  
W
R
U
P 25,6
1
5,2 2
2
2
2
2  
 
 19 
WIUP 25,31)5,2)(5,12(33  
WIRP 25,31)5,2)(5( 2233  
W
R
U
P 25,31
5
5,12 2
3
2
3
3  
 
(e) WIUPT 50)5,2)(20(  
WPPPPT 5025,3125,65,12321  
 
 
Exemplo 2: Determine TR , I e 2U para o circuito mostrado. 
 
Solução: 
 
Observe o sentido da corrente, estabelecido pela bateria e a polaridade da queda de tensão entre os 
terminais de 2R determinada pelo sentido da corrente. 
 2577474321 RRRRRT 
 
Como  7431 RRR , o valor de TR pode ser calculado, também, da seguinte forma: 
 254)7)(3(21RnRRT 
 
A
R
U
I
T
2
25
50
 
 
VIRU 8)2)(4(22  
 
 
 20 
Exemplo 3: A resistência total (RT) do circuito é igual a 1500kΩ. Determine: 
(a) A tensão da fonte (U). 
(b) A energia elétrica total (EEL), em joules, se o circuito ficar ligado durante 25h. 
(c) A potência (P1), em µW (microwatt), dissipada em R1. 
 
 
Solução: 
321 RRRRT  
 
 kkRRRR T 500)2008001500(321 
 
(a) VIRU T 9106101500.
63   
 
(b) JtIUtPE TEL 86,43600251069...
6   
 
(c) WIRP 18)106(10500. 263211 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
3. Fontes de Tensão em Série 
As fontes de tensão podem ser conectadas em série, como mostra a figura 7, para aumentar ou 
diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as 
tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade 
resultante é aquela para a qual a soma é maior. 
 
 
 
 
Fig. 7 - Reduzindo fontes de tensão CC em série a uma única fonte. 
 
Na figura 7(a), por exemplo, as fontes estão todas ‘forçando’ a corrente para a direita, de modo que 
a tensão total é dada por: 
 
VUUUU 182610321  
 
Entretanto, na figura 7(b) a maior ‘força’ é para esquerda, o que resulta em uma tensão total dada 
por: 
 
VUUUU 8439132  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
4. Lei de Kirchhoff para Tensões 
A lei de Kirchhoff para tensões (LKT) afirma que a soma algébrica das elevações e quedas de 
tensão em uma malha fechada é zero. 
 
Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que, ao ser percorrido em um sentido a partir de 
um ponto, retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito. Seguindo a 
corrente na figura 8, pode-se traçar um caminho contínuo que deixa o ponto “a” através de 1R e 
retorna através de U sem deixar o circuito. Assim, abcda é uma malha fechada. Para poder aplicar a 
lei de Kirchhoff para tensões, a soma das elevações e quedas de potencial precisa ser feita 
percorrendo a malha num certo sentido. 
 
Fig. 8 - Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões em um circuito série. 
 
Por convenção, o sentido horário será usado para todas as aplicações da lei de Kirchhoff para 
tensões que se seguem. Entretanto, o mesmo resultado pode ser obtido se o sentido escolhido for o 
anti-horário e a lei for aplicada corretamente. 
 
Um sinal positivo indica uma elevação de potencial (de – para +), e um sinal negativo, uma queda 
(de + para -). Se seguir a corrente no circuito mostrado na figura 8 a partir do ponto “a”, primeiro 
encontra-se uma queda de potencial 1U (de + para -) entre os terminais de 1R e outra queda 2U 
entre os terminais de 2R . Ao passar pelo interior da fonte, tem-se um aumento de potencial U (de – 
para +) antes de retornar ao ponto “a”. 
 
0 U 
 
 
 
 23 
No circuito da figura 8 usando o sentido horário, seguindo a corrente I e começando no ponto “d”, 
tem-se: 
21
21 0
UUU
UUU


 
 
A tensão aplicada a um circuito em série é igual a soma das quedas de tensão nos elementos em 
série. A lei de Kirchhoff também pode ser baseada na seguinte fórmula: 
quedaselevações UU  
 
A soma das elevações de potencial em uma malha fechada tem de ser igual à soma das quedas de 
potencial. 
 
Se o circuito fosse estudado no sentido anti-horário, começando no ponto “a”, o resultado seria o 
seguinte: 
21
12 0
0
UUU
UUU
U



 
 
A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões não precisa seguir um caminho que inclua elementos 
percorridos por corrente. Por exemplo, na figura 9 há uma diferença de potencial entre os pontos 
“a” e “b”, embora os dois pontos não estejam conectados por um elemento percorrido por corrente. 
A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões em torno da malha fechada irá resultar em uma 
diferença de potencial de 4V entre os dois pontos. Usando o sentido horário: 
VU
U
x
x
4
0812


 
 
Fig. 9 - Demonstração de que pode existir tensão entre dois pontos não-conectados por um condutor 
percorrido por corrente. 
 
 24 
Exemplo 4: Determine as tensões desconhecidas nos circuitos abaixo: 
(a) 
 
Solução: A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões no sentido horário irá resultar em: 
02211  UVVU 
VUVUV 8,292,4162211  
 
(b) 
 
Solução: Nesse caso, há duas formas possíveis de calcular a tensão desconhecida. 
 
1º) Adotando o sentido horário, incluindo a fonte de tensão U, tem-se: 
VUUU
UUU
x
x
201232
0
1
1


 
 
2º) Usando o sentido horário para a outra malha que envolve 32 ReR , tem-se: 
VUUU
UUU
x
x
20146
0
32
32


 
 
O que confirma o resultado anterior. 
 
 25 
5. Intercambiando Elementos em Série 
Os elementos de circuitos em série podem ser intercambiados sem que a resistência total, a corrente 
que atravessa o circuito e a potência consumida pelos diferentes elementos sejam afetadas. 
 
Fig. 10 - Circuitos CC em série com os elementos a serem intercambiados. 
 
 
Por exemplo, o circuito mostrado na figura 10 pode ser redesenhado, segundo ilustra a figura 11, 
sem que os valores de I e a tensão U no resistor de 7 sejam afetados. A resistência total TR é de 
15Ω nos dois casos e I = (37,5/15) = 2,5A. A tensão VIRU 5,17)5,2()7(7   nas duas 
configurações. 
 
 
Fig. 11 - Circuito da figura 10 com elementos intercambiados. 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
6. Regras do Divisor de Tensão 
Nos circuitos em série a tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na mesma 
proporção que os valores de resistência. 
 
Por exemplo, as tensões entre os terminais dos elementos resistivos mostrados na figura 12 são 
dadas. O maior resistor, de 6Ω, captura a maior parte da tensão aplicada, enquanto o menor resistor, 
3R , fica com a menor. Observa-se também que, como a resistência de 1R é 6 vezes maior que a de 
3R , a tensão entre os terminais de 1R é também 6 vezes maior que entre os terminais de 3R . O fato 
de que a resistência de 2R é 3 vezes maior que a de 1R resulta em uma tensão 3 vezes maior entre 
os terminais de 2R . Finalmente, como a resistência de 1R é o dobro da resistência de 2R , a tensão 
entre os terminais de 1R é o dobro da de 2R . Portanto, em geral, a tensão entre os terminais de 
resistores em série está na mesma razão que suas resistências. 
 
Fig. 12 - Como a tensão se divide entre elementos resistivos em série. 
 
 
Se a resistência de todos os resistores da figura 12 for aumentada na mesma proporção como 
mostrado na figura 13, os valores de tensão permanecerão os mesmos. Em outras palavras, ainda 
que as resistências sejam multiplicadas por um milhão, as tensões continuarão as mesmas. Assim, 
fica claro que é a relação entre os valores dos resistores que conta para a divisão da tensão, e não o 
valor absoluto dos resistores. O valor de corrente no circuito será profundamente afetado pela 
mudança nos valores das resistências da figura 12 para a figura 13, mas os valores de tensão 
permanecerão os mesmos. 
 
 27 
 
Fig. 13 - A razão entre os valores das resistências determina a divisão da tensão em um circuito CC 
em série. 
 
 
O método denominado regra dos divisores de tensão, permite calcular às tensões sem determinar 
primeiro a corrente. A regra pode ser deduzida analisando o circuito mostrado na figura 14. 
 
Fig. 14 - Dedução das regras dos divisores de tensão. 
 
21 RRRT  
 
TR
U
I  
 
 
 28 
Aplicando a lei de Ohm: 
TT R
UR
R
U
RIRU 1111 





 
 
TT R
UR
R
U
RIRU 2222 





 
 
Regra geral: 
T
x
x
R
UR
U  
 
Onde xU é a tensão entre os terminais de xR , U é a tensão aplicada aos elementos em série e TR é 
a resistência total do circuito em série. 
 
 
Exemplo 5: Determine a tensão 1U para o circuito mostrado a seguir. 
 
 
 
Solução: 
 
V
RR
UR
R
UR
U
T
16
80
1280
6020
)64)(20(
21
11
1 



29 
Exemplo 6: Usando a regra dos divisores de tensão, determine as tensões ', 31 UeUU para o 
circuito em série visto abaixo. 
 
Solução: 
V
kkk
Vk
R
UR
U
T
6
15
90
³1015
)45³)(102(
852
)45)(2(1
1 





 
 
V
k
Vk
R
UR
U
T
24
15
360
³1015
)45³)(108(
15
)45)(8(3
3 





 
 
V
k
Vkk
R
URR
U
T
21
15
315
³1015
)45³)(107(
15
)45)(52()(
' 21 







 
 
 
7. Fonte de Tensão e Terra 
Exceto em alguns poucos casos especiais, os sistemas elétricos e eletrônicos são aterrados por 
razões de segurança e para fins de referência. O símbolo que indica a conexão à terra aparece na 
figura 15 com seu valor de potencial definido (zero volt). 
 
Fig. 15 - Potencial do ponto de terra. 
 
 30 
Se a figura 4(a) fosse redesenhada com a fonte aterrada, pode ter o aspecto mostrado na figura 
16(a), 16(b) ou 16(c). Em qualquer caso, fica entendido que o terminal negativo da bateria e o 
terminal inferior do resistor 2R estão conectados ao potencial do ponto de terra. Embora a figura 
16(c) não mostre nenhuma conexão entre os dois símbolos de terra, supõe-se que tal ligação exista 
para garantir o fluxo contínuo da carga. Se U = 12 V, então o ponto “a” está a um potencial 
positivo de 12 V em relação ao potencial do ponto de terra (0 V) e existem 12 V entre os terminais 
da combinação em série dos resistores 1R e 2R . Se, por exemplo, um voltímetro conectado entre o 
ponto “b” e a terra medir 4 V, então a tensão entre os terminais de 2R é igual a 4 V, com o 
potencial maior em b. 
 
Fig. 16 - Três formas de mostrar o mesmo circuito CC em série. 
 
 
O fato de a tensão ser uma grandeza que é estabelecida entre dois pontos resulta em uma notação de 
duplo índice inferior que define o primeiro índice inferior como correspondente ao ponto de maior 
potencial. Na figura 17(a), os dois pontos que definem a tensão entre os terminais do resistor R são 
representados por “a” e “b”. Como “a” é o primeiro índice em abU , o ponto de “a” deve estar a 
um potencial maior que o ponto “b” para que abU tenha um valor positivo. Se, na verdade, o ponto 
“b” estiver a um potencial maior que o ponto “a”, abU terá um valor negativo, conforme indicado 
na figura 17(b). 
 
A notação de duplo índice inferior abU especifica o ponto “a” como o de maior potencial. Se este 
não for o caso, um sinal negativo deve ser associado no valor de abU . A tensão abU é a tensão no 
ponto “a” em relação ao ponto “b”. 
 
 
 31 
 
Fig. 17 - Definindo o sinal para a notação de duplo índice inferior. 
 
Se o ponto “b” da notação abU for especificado como o potencial de terra (zero volt), então uma 
notação de subscrito inferior único poderá ser usada para informar a tensão em um ponto em relação 
ao ponto de terra. 
 
Na figura 18, aU é a tensão entre o ponto “a” e o ponto de terra. Neste caso ele é obviamente 10V, 
pois é medida diretamente entre os terminais da fonte de tensão U. A tensão bU é a tensão entre o 
ponto “b” e o ponto de terra. Como é uma tensão obtida diretamente sobre o resistor de 4Ω, 
VUb 4 . 
 
Fig. 18 - Definindo o uso da notação de índice único para valores de tensão. 
 
 
A notação de índice inferior único aU especifica a tensão no ponto “a” em relação ao ponto de 
terra (zero volt). Se a tensão é menor que zero, um sinal negativo deve ser associado ao valor de 
aU . 
 
baab UUU  
 
 
 32 
Em outras palavras, se a tensão nos pontos “a” e “b” em relação ao ponto de terra for conhecida, a 
tensão abU pode ser determinada usando a equação anterior. A partir da figura 18, por exemplo: 
 
VUUU baab 6410  
 
 
Exemplo 7: Determine a tensão abU . 
 
 
Solução: 
 
VUUU baab 42016  
 
Observe que o sinal negativo indica o fato de que o ponto “b” está a um potencial mais elevado que 
o ponto “a”. 
 
 
Exemplo 8: Determine a tensão aU . 
 
 
Solução: 
 
baab UUU  
VUUU baba 945  
 
 
 
 33 
Exemplo 9: Determine as tensões bU , cU e acU . 
 
 
Solução: 
 
Começando no potencial da terra (zero volt), subindo até 10V para chegar ao ponto “a” e em 
seguida passa-se por uma queda de potencial de 4V para chegar ao ponto “b”. O resultado é que o 
medidor lerá: 
VUb 6410  
 
Se continuar até o ponto “c”, haverá uma queda adicional de 20V, o que dará: 
 
VUU bc 1420620  
 
A tensão acU pode ser obtida usando a equação abaixo. 
 
VUUU caac 24)14(10  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
8. Resistência Interna das Fontes de Tensão 
Toda fonte de tensão, seja ela um gerador, uma bateria ou uma fonte de alimentação para 
experiências de laboratório como a que é mostrada na figura 19, possui uma resistência interna. O 
circuito equivalente de qualquer fonte de tensão é, portanto, parecido ao mostrado na figura 19(b). 
 
Fig. 19 - (a) Fontes de tensão CC; (b) circuito equivalente. 
 
A fonte de tensão ideal não possui resistência interna e sua tensão de saída é U volts com carga 
máxima ou sem carga. Nas fontes reais, figura 20(b)(c), nas quais consideram-se os efeitos devido a 
resistência interna, a tensão de saída será de U volts somente quando a fonte não estiver ligada a 
nenhuma carga ( 0LI ). Quando uma carga for conectada à fonte, figura 20(c), a tensão de saída 
da fonte diminui devido à queda de tensão na resistência interna. 
 
Fig. 20 - Fonte de tensão: (a) ideal intR = 0; (b) determinação de NLV ; (c) determinação de intR . 
 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões ao circuito fechado da figura 20(c), tem-se: 
0int  LL UIRU 
LL IRUU int 
 
Se o valor de intR não for conhecido, ele pode ser determinado da seguinte forma: 
L
L
I
UU
R

int 
 
 35 
Exemplo 10: Antes que a carga seja conectada, a tensão de saída da fonte mostrada na figura (a) 
está ajustada para 40 V. Quando uma carga de 500 Ω é conectada, com mostra a figura (b), a tensão 
de saída cai para 36 V. O que aconteceu ao restante da tensão e qual a resistência interna da fonte? 
 
Solução: 
 
A diferença de 40V – 36V = 4V aparece entre os terminais da resistência interna da fonte. A 
corrente na carga é: 
 
AI L 072,0
500
36
 



 55,55
072,0
3640
int
L
L
I
UU
R 
 
 
9. Regulação de Tensão 
Para qualquer fonte de tensão, o ideal é que a tensão da saída se mantenha constante, independente 
do valor de corrente, dentro da faixa especificada para a corrente de carga ( LI ). Em outras palavras, 
se uma fonte for ajustada para 12 V, é desejável que ela mantenha essa tensão entre os terminais de 
saída, mesmo que a corrente de carga varia. Uma medida que indica o quanto uma fonte está 
próxima das condições ideais é dada pela característica de regulação de tensão da fonte. Por 
definição, a regulação de tensão de uma fonte entre as condições “sem carga” e em “plena carga” é 
dada pela seguinte equação: 
 
100100
arg
arg
)%(Re 




L
L
R
U
UU
ac
acvazio
Utensãodegulação 
 
 
 36 
Em condições ideais LUU  e (UR)% = 0. Portanto, quanto menor a regulação de tensão, melhor, 
pois será menor a variação da tensão de saída de uma fonte quando a carga varia. 
 
Pode ser mostrado, por meio de uma breve substituição que a regulação também pode ser expressa 
na forma: 
 
100%)( int 
L
R
R
R
U 
 
Em outras palavras, quanto menor for a resistência interna de uma fonte, menor será sua regulação e 
mais ela se aproximará de uma fonte ideal. 
 
 
Exemplo 11: Calcule a regulação de tensão de uma fonte com VU 24 e  1,0intR , alimentando 
uma carga  5LR . 
 
Solução: 
%2100
5
1,0
100)%( int 
L
R
R
R
U 
 
Outra forma de resolução: 
A
RR
U
I
L
L 7059,4
51,0
24
int




 
 
VIRU LLL 529,23)7059,4()5(  
 
%2100
529,23
471,0
100
529,23
529,2324
100)%( 




L
L
R
U
UU
U 
 
 37 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 – Dado RT = 12k e I = 6mA, calcule 1R e U para o circuito abaixo.Solução: 
321 RRRRT  
kkRk 6412 1  
 kkkR 210121 
VIRU T 72)106()1012(
33   
 
 
2 – Determine 21 UeU . 
 
Solução: 
Para a malha 1, começando no ponto “a” e escolhendo o sentido horário, tem-se: 
01525 1 U 
VU 401  
 
Para a malha 2, começando no ponto “a” e escolhendo o sentido horário, tem-se: 
VU
U
20
020
2
2


 
 
 38 
3 – Usando a lei de Kirchhoff para tensões, determine as tensões desconhecidas para os circuitos 
mostrados. 
(a) 
 
Solução: 
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões no sentido horário, tem-se: 
VU
U
x
x
50304060
0304060


 
 
 
(b) 
 
Solução: 
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões no sentido horário, tem-se: 
VU
U
x
x
182146
02146


 
 
Como o resultado foi negativo, sabe-se que “a” deve ser negativo e “b” positivo, mas o valor 
absoluto de 18 V está correto. 
 
 39 
4 – Determine: 
(a) A resistência TR . 
(b) A corrente I. 
(c) As tensões 21 UeU . 
(d) A potência dissipada pelos resistores de 4Ω e 6Ω. 
(e) A potência total fornecida pela bateria e a compare à dissipada pelos resistores de 4Ω e 6Ω 
combinados. 
 
 
Solução: 
(a)  106421 RRRT 
 
(b) A
R
U
I
T
2
10
20
 
 
(c) VIRU 8)2)(4(11  
VIRU 12)2)(6(22  
 
(d) W
R
U
P 16
4
64
4
)²8(
1
2
1
4  
 WIRP 16)2(.4. 2214  
 WIUP 1628.14  
 W
R
U
P 24
6
144
6
)²12(
2
2
2
6  
WIRP 24)²2)(6(²26  
 WIUP 24212.26  
 
 40 
(e) W
R
U
P
T
T 40
10
400
10
)²20(2
 
WIRP TT 40)²2)(10(²  
WIUPT 40)2)(20(  
WWWPPPT 40241664   
 
 
5 – Para o circuito determine: 
(a) A tensão 2U usando a lei de Kirchhoff para tensões. 
(b) A corrente I. 
(c) As resistências 31 ReR . 
 
 
Solução: 
(a) A lei de Kirchhoff para tensões (escolhendo o sentido horário): 
0123  UUUU 
VUUUU 21181554132  
 
(b) A
R
U
I 3
7
21
2
2  
 
(c)  6
3
181
1
I
U
R 
 
  5
3
153
3
I
U
R 
 
 41 
6 – Determine a tensão abU . 
 
Solução: 
VUUU baab 35)15(20  
 
 
7 – Determine abU e cbU 
 
Solução: 
Existe uma ddp de 54V entre os terminais dos resistores em série 1R e 2R , ou seja, entre os 
terminais “a” e “c”. 
VUUU caac 54)19(35  
 
Pode ser calculada, também, da seguinte forma: 
VUU 54)19(3512  
 
A corrente pode então ser determinada usando a lei de Ohm e os valores das tensões como segue: 
 
 42 
A
RR
UU
R
U
I
T
ac 2,1
45
54
2520
)19(35
21
12 





 
 
VIRUab 30)2,1)(25(2  
VUUa 352  
VUUUUUU ababbaab 53035  
VUUc 191  
VUUU bccb 24519  
 
 
8 – Usando a regra dos divisores de tensão, determine as tensões 21 UeU . 
 
Solução: 
Redesenhando o circuito com o símbolo de bateria, tem-se o circuito abaixo. 
 
 
 43 
Aplicando a regra dos divisores de tensão: 
 
V
RR
UR
U 16
24
)24)(4(
21
1
1 



 
 
V
RR
UR
U 8
24
)24)(2(
21
2
2 



 
 
 
9 – Calcule: 
(a) abU 
(b) bU 
(c) cU 
 
 
Solução: 
(a) V
R
UR
U
T
ab 2
532
)10)(2(1 

 
 
(b) V
R
URR
UUU
T
RRb 8
10
)10)(53()( 32
32




 
 
(c) VterradepontodopotencialUC 0 
 
 
 
 44 
10 – A bateria vista abaixo possui uma resistência interna de 2 Ω. Determine a tensão com carga 
( LU ) e a potência dissipada pela resistência interna se a carga for um resistor de 13Ω. 
 
 
Solução: 
A
RR
U
I
L
L 2
15
30
132
30
int




 
 
VIRU LLL 26)2)(13(  
WIRP LR 8)2(2.
22
intint
 
 
 
11 – Calcule a regulação de tensão de uma fonte com VU 12 e  05,0intR , alimentando uma 
carga com VU L 8,11 . 
 
 
Solução: 
 
%6949,1100
8,11
2,0
100
8,11
8,1112
100)%( 




L
L
R
U
UU
U 
 
 45 
II.2 – CIRCUITOS EM PARALELO 
 
1. Elementos em Paralelo 
Dois elementos ou ramos ou circuitos estão conectados em paralelo quando possuem dois pontos 
em comum. 
 
Na figura 1, por exemplo, os elementos 1 e 2 têm terminais “a” e “b” em comum; portanto, eles 
estão em paralelo. 
 
 
Fig. 1 - Elementos em paralelo. 
 
 
Na figura 2 todos os elementos estão em paralelo porque satisfazem o critério anteriormente citado. 
Essas três configurações têm o objetivo de ilustrar como os circuitos em paralelo podem ser 
desenhados. 
 
Fig. 2 - Diferentes aparências para uma configuração com três elementos em paralelo. 
 
 46 
Na figura 3, os elementos 1 e 2 estão em paralelo porque têm os terminais “a” e “b” em comum, e 
esta combinação está em série com o elemento 3. 
 
Fig.3 - O elemento 1 está em paralelo com o elemento 2. O elemento 3 está em série com a 
combinação em paralelo de 1 e 2. 
 
 
Na figura 4, os elementos 1 e 2 estão em série devido ao ponto comum “a”, e esta combinação em 
série está em paralelo com o elemento 3, como evidenciam as conexões comuns aos pontos “b” e 
“c”. 
 
Fig. 4 - O elemento 1 está em série com o elemento 2. Esta associação de 1 com 2 está em paralelo 
com o elemento 3. 
 
Nas figuras 1 a 4, os retângulos numerados foram usados como símbolos genéricos representando 
um resistor, ou uma bateria, ou mesmo circuitos complexos. 
 
 
 
 
 47 
2. Circuitos em Paralelo 
O circuito mostrado na figura 5 é o mais simples dos circuitos em paralelo. Os terminais “a” e “b” 
são comuns a todos os elementos. 
 
Fig. 5 - Circuito em Paralelo. 
 
Como os terminais da bateria estão diretamente ligados aos terminais de 21 ReR , é óbvio que as 
tensões obtidas entre os terminais destes elementos em paralelo são iguais. 
 
Fazendo uso deste fato, tem-se: 
 
UUU  21 
 
11
1
1
R
U
R
U
I  
 
22
2
2
R
U
R
U
I  
 
Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente fornecida pela fonte ( TI ) é igual à 
soma das correntes em cada um dos ramos do circuito. Logo, a corrente fornecida pela fonte é: 
 
21 IIIT  
 
 48 
21 R
U
R
U
R
U
T
 
 
A potência dissipada pelos resistores e a potência fornecida pela fonte podem ser obtidas da 
seguinte maneira: 
1
2
12
11111 ..
R
U
IRIUP  
 
2
2
22
22222 ..
R
U
IRIUP  
 
21
2
2.. PP
R
U
IRIUP
T
TTTT  
 
 
3. Resistência Equivalente 
 
Fig. 6 - Determinação da resistência total (ou equivalente) para resistências em paralelo. 
 
NT IIIII ...321  
 
N
N
T R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
 ...
3
3
2
2
1
1 
 
NUUUUU  ...321 
 
NT RRRRR
1
...
1111
321
 
 
 
 
 49 
Para dois resistores diferentes em paralelo: 
21
21
21 .
111
RR
RR
RRRT

 
21
21 .
RR
RR
RT

 
 
 
Para “ n ” resistores iguais a “R” em paralelo: 
n
R
RT  
 
A resistência total de um conjunto de resistores em paralelo é sempre menor que a do resistor de 
menor resistência. Além disso, quanto maior for a diferença entre os valores das resistências de dois 
resistores em paralelo, mais o valor da resistência equivalente será próximo do valor da menor 
resistência. Por exemplo, a resistência total para um resistor de 3Ω em paralelo com um de 6Ω vale 
2Ω. Entretanto, a resistência total de um resistor de 3Ω em paralelo com um de 60Ω é de 2,857Ω. 
 
 
4. Condutância Equivalente 
A condutância é o inverso da resistência. A unidade de condutância é o siemens (S) ou mho 
(inverso de ohms). 
R
G
1
 
 
No caso de elementos em paralelo, a condutância total é a soma das condutâncias individuais. Ou 
seja, para o circuito em paralelo visto na figura 7, pode-se representar: 
 
NT GGGGG  ...321 
 
 
Fig. 7 - Determinação da condutância total para circuito em paralelo. 
 
 
 50 
Quanto maior a condutância total, maior é a intensidade da corrente total no circuito (mantendo 
constante a tensão aplicada). Quanto maior for o número de elementos em paralelo, maior será a 
corrente de entrada do circuito. Em outras palavras, à medida que aumenta o número de resistores 
em paralelo,a corrente na entrada do circuito também aumenta, para uma tensão de entrada 
constante. Este efeito é oposto ao que acontece no caso dos resistores em série. 
Exemplo 1: Determine a condutância e a resistência equivalente no circuito abaixo. 
 
Solução: 
SGGGT 5,0167,0333,0
6
1
3
1
21  
 
 2
5,0
11
T
T
G
R Ou, 




 2
63
63.
21
21
RR
RR
RT 
 
Ou, 

 2
2
1
6
3
6
12
1
6
1
2
3
1111
21
T
T
R
RRR
 
 
 
Exemplo 2: Determine a condutância e a resistência totais do circuito mostrado no exemplo 
anterior, se um resistor adicional de 10 Ω for colocado em paralelo com outros elementos. 
Solução: 
SGT 6,01,05,0
10
1
5,0   667,1
6,0
11
T
T
G
R 
 
Observa-se que a adição de mais resistores em paralelo, aumenta-se a condutância e diminui-se a 
resistência. 
 
 
 
 
 
 51 
Exemplo 3: Determine a resistência total para o circuito abaixo. 
 
 
 
Solução: 
20
19
20
4510
4
5
1
5
4
1
10
2
11111
321



RRRRT
 
 
 0526,1
19
20
TR 
 
 
Exemplo 4: Determine a resistência equivalente de cada circuito. 
(a) 
 
 
Solução: 
 
 4
3
12
n
R
RT 
 
 
 
 
 
 52 
(b) 
 
Solução: 
RRRRR  4321 
 
 5,0
4
2
n
R
RT 
 
 
Exemplo 5: Calcule a resistência total do circuito. 
 
Solução: 
O circuito foi redesenhado de modo mais conveniente: 
 
 2
3
6'
n
R
RT 
 
 
 53 





 8
81
648
729
729.
42
42"
RR
RR
RT 
 
"' || TTT RRR  





 6,1
10
16
82
82.
"'
"'
TT
TT
T
RR
RR
R 
 
 
Exemplo 6: Determine a resistência total para cada circuito: 
(a) 
 
Solução: 
 15
2
30
30||30 TR 
 
 
(b) Qual o efeito no valor da resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor 
de mesmo valor? 
 
Solução: 
 10
3
30
30||30||30 TR 
 
O valor de TR diminui em relação ao circuito do item (a). 
 
 54 
(c) qual o efeito no valor da resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor 
de valor grande em paralelo, conforme mostra a figura abaixo? 
 
Solução: 



 778,14
100015
100015
1||151||30||30 TRkk 
 
Pequena diminuição no valor de TR , em comparação ao valor de RT do circuito do item (a). 
 
 
(d) Qual o efeito sobre a resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor de 
valor pequeno em paralelo, conforme figura abaixo? 
 
 
Solução: 



 099338,0
1,015
1,015
1,0||151,0||30||30 TR 
 
Diminuição considerável no valor de TR , em comparação ao valor de RT do circuito do item (a). 
 
Conclusão: Em todos os casos, a resistência total de um circuito em paralelo diminui quando é 
adicionado um resistor em paralelo, não importando o valor de sua resistência. Observa-se, também, 
que a resistência total é menor que a resistência de menor valor do circuito. 
 
 55 
Exemplo 7: Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente total TI . 
(c) As correntes 1I e 2I . 
(d) A potência dissipada em cada resistor. 
(e) A potência fornecida pela fonte comparando o resultado com a potência dissipada pelos 
resistores. 
 
Solução: 
(a) 




 6
27
162
189
189.
21
21
RR
RR
RT 
 
(b) A
R
U
I
T
T 5,4
6
27
 
 
(c) A
R
U
R
U
I 3
9
27
11
1
1  
A
R
U
R
U
I 5,1
18
27
22
2
2  
 
(d) WIUIUP 81327.. 1111  
WIUIUP 5,405,127.. 2222  
 
(e) WIUP TT 5,1215,427.  
WPPPT 5,1215,408121  
 
 56 
Exemplo 8: A resistência equivalente do circuito é igual a 4, determine: 
(a) A resistência 3R . 
(b) A tensão da fonte U. 
(c) A corrente total TI . 
(d) A corrente 2I . 
(e) A potência dissipada em R2. 
 
Solução: 
(a) 
321
1111
RRRRT
 
 
3
1
20
1
10
1
4
1
R
 
 
20
2
20
125
1
20
1
2
10
1
5
4
11
3



R
  10
2
20
3R 
 
(b) VIRUU 40410. 111  
 
(c) A
R
U
I
T
T 10
4
40
 
 
(d) A
R
U
R
U
I 2
20
40
22
2
2  
 
(e) WIRP 80)2(20. 22222  
 
 
 57 
5. Lei de Kirchhoff para Corrente 
A lei de Kirchhoff para a tensão dá uma relação muito importante entre os valores da tensão ao 
longo de uma malha fechada de um circuito. A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) fornece uma 
relação igualmente importante entre as corrente que chegam a qualquer nó. 
 
A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) afirma que “a soma algébrica das correntes que entram e 
saem de um nó é igual a zero”. Em outras palavras, a “soma das corrente que entram em um nó 
tem de ser igual à soma das correntes que deixam este nó”. 
 
Em forma de equação, tem-se: saementram II  
 
Fig. 8 - Ilustração da lei de Kirchhoff para corrente. 
 
Na figura 8, por exemplo, a área sombreada pode representar um sistema completo, um circuito 
complicado ou simplesmente uma junção de dois ou mais ramos (um nó). Em quaisquer dos casos, 
a soma das correntes que entram é igual à soma das corrente que saem, conforme pode ser 
verificado facilmente: 
AA
IIII
1212
10284
3241



 
 
 
 58 
A aplicação mais comum desta lei será em junções de dois ou mais caminhos (ramos) para a 
corrente, conforme é mostrado na figura 9. 
 
Fig. 9 - Demonstração da lei de Kirchhoff para corrente. 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente ao nó da figura 9: 
saementram II  
426  
AA 66  
 
 
Exemplo 9: Determine as correntes 43 IeI no circuito abaixo usando a lei de Kirchhoff para 
corrente. 
 
 
Solução: 
Deve-se trabalhar primeiro com o nó “a”, pois neste caso a única incógnita é 3I . Na junção “b” 
existem duas correntes desconhecidas, I3 e I5, que não podem obviamente serem determinadas a 
partir de uma única aplicação da lei. 
 
 
 59 
Em “a”: 
saementram II  
321 III  
332 I 
AI 53  
 
Em “b”: 
saementram II  
453 III  
415 I 
AI 64  
 
Exemplo 10: Determine 5431 ,, IeIII para o circuito abaixo. 
 
Solução: 
Em “a”: saementram II  
21 III  
45 1  I 
AI 1451  
 
Em “b”: saementram II  
AII 131  
 
Um resultado esperado, pois 31 ReR estão em série, sendo que a corrente em elementos em série é 
igual. 
 
 60 
Em “d”: saementram II  
543 III  
AI 541 5  
 
Em “c”: 
AII 442  
 
Considera-se o circuito como um todo. Observa-se que a corrente que entra é I = 5 A. A intensidade 
da corrente que deixa o circuito, à direita, é AI 55  . Os dois valores têm de ser iguais, já que a 
corrente que entra em qualquer sistema tem de ser igual à corrente que sai do sistema. 
 
 
Exemplo 11: Determine as correntes 53 IeI aplicando a lei de Kirchhoff para corrente. 
 
 
Solução: 
Visto que na junção “b” há duas quantidades desconhecidas e na junção “a” apenas uma, tem que 
se aplicar a lei de Kirchhoff para corrente primeiro ao nó “a”. O resultado pode então ser aplicado 
ao nó “b”: 
 
 
 
 61 
Para o nó “a”: 
321 III  
334 I AI 73  
 
Para o nó “b”: 
543 III  
517 I 
AI 6175  
 
 
Exemplo 12: Encontre o valor e o sentido das correntes 7643 ,, IeIII no circuito mostrado. 
 
Solução: 
Embora os elementos não estejam em série nem em paralelo, pode-se aplicar a lei de Kirchhoff para 
corrente para determinar todas as correntes desconhecidas. 
 
Considerando o sistema em sua totalidade, sabe-se que a corrente que entra deve ser igual à corrente 
que sai. Portanto: AII 1017  
 
 
 62 
Como estão chegando 10A à junção “a” e 12A estão deixando esta mesma junção, 3I tem de estar 
fornecendo corrente a este nó. 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente na junção “a”: 
AI
I
III
21012
1210
3
3
231



 
 
No caso do nó “b”, como 12A estão entrando e 8A saindo, logo 4I , também, deve sair deste ponto. 
Portanto: 
812 4
542


I
III
 
AI 48124  
 
Na junção “c”, tem-se AI 23  saindo e 4I = 4A entrando; logo 6I deve estarsaindo. Aplicando a 
lei de Kirchhoff para a corrente ao nó “c”: 
AI
I
III
224
24
6
6
634



 
 
Verifica-se a consistência dos resultados na junção “d”: 
AA
A
III
1010
1028
765



 
 
 
6. Regra do Divisor de Corrente 
Conforme o nome sugere, a regra do divisor de corrente mostra que uma corrente que entra em um 
conjunto de elementos em paralelos se dividirá entre esses elementos. 
 
No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se dividirá igualmente. 
 
Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor resistência será 
percorrido pela maior fração da corrente. 
 
 
 63 
A razão entre os valores das correntes nos dois ramos será inversamente proporcional a razão entre 
as suas resistências. 
 
Por exemplo, se a resistência de um dos resistores de uma combinação em paralelo for o dobro da 
resistência do outro, então a corrente que o atravessa será a metade da corrente que percorre o 
resistor de menor resistência. 
 
Na figura 10, como 1I vale 1 mA e o valor de 1R é seis vezes o de 3R , a corrente através de 3R tem 
de ser 6 mA (não havendo necessidade de se efetuar quaisquer outros cálculos). No caso de 2R a 
corrente tem de ser 2 mA, pois 1R é o dobro de 2R . A corrente total, 321 III  , é de 9 mA. 
Portanto, conhecendo somente a corrente que percorre 1R , é possível calcular todas as outras 
correntes no circuito, sem ter conhecimento adicional sobre o circuito. 
 
No caso de circuitos para os quais são conhecidos somente os valores dos resistores e a corrente de 
entrada, deve-se utilizar a regra do divisor de corrente para calcular as correntes nos vários ramos. 
 
Fig. 10 - Ilustração da forma como a corrente se divide entre resistências diferentes. 
 
 
 
Fig. 11 - Dedução da regra do divisor de corrente. 
 
 64 
A corrente de entrada )( TI é dada por TRU / , em que TR é a resistência total do circuito. 
Substituindo esta expressão para xx IRU  , em que xI é a corrente que atravessa o ramo do 
resistor xR , a fórmula geral para a regra do divisor de corrente é obtida da seguinte forma: 
T
xx
T
T
R
IR
R
U
I  
 
T
x
T
x I
R
R
I  
 
Descrevendo em palavras, a corrente que percorre qualquer dos ramos em paralelo é igual ao 
produto da resistência total do circuito pela corrente de entrada, dividido pelo valor da resistência 
no ramo em que se deseja determinar a corrente. 
 
Para a corrente 1I : 
T
T I
R
R
I
1
1  
 
Para a corrente 2I : 
T
T I
R
R
I
2
2  
 
E assim por diante. 
 
No caso particular de dois resistores em paralelo como mostra a figura 12: 
 
Fig. 12 - Dedução de uma fórmula para a divisão da corrente entre dois resistores em paralelo. 
 
 65 
21
21
RR
RR
RT

 
 
1
21
21
1
1
R
I
RR
RR
I
R
R
I
T
T
T  
 
21
2
1
RR
IR
I T

 
 
Analogamente para 2I : 
21
1
2
RR
IR
I T

 
 
Ou seja, no caso de dois ramos em paralelo, a corrente através de um deles é igual ao produto da 
resistência no outro ramo pela corrente de entrada, dividido pela soma dos valores das duas 
resistências em paralelo. 
 
 
Exemplo 13: Determine a corrente 2I usando a regra do divisor de corrente. 
 
 
Solução: 
A
RR
IR
I T 2
3
6
12000
)6()4000(
80004000
)6)(4000(
21
1
2 



 
 
 
 66 
Exemplo 14: Determine o valor da corrente 1I usando a regra do divisor de corrente. 
 
Solução: Existem dois métodos para resolver este problema. 
1º Método: 
48
11
48
128
1
48
1
2
24
1
8
6
11



TR
  6363,4
11
48
TR 
 
Logo: mAmAI
R
R
I T
T 545,30)42(
6
3636,4
1
1 


 
 
2º Método: 



 16
4824
4824
48||24 mA
mA
I 545,30
616
)42(16
1 


 
 
A corrente sempre procura o caminho de menor resistência. 
1) Para dois resistores em paralelo a maior corrente passará através do resistor de menor resistência. 
2) Uma corrente que entra em uma configuração de vários resistores em paralelo se divide entre 
estes resistores na razão inversa dos valores de suas resistências. Esse efeito é ilustrado a seguir. 
 
Fig. 13 - Divisão da corrente entre ramos em paralelo. 
 
 67 
II.3 – CIRCUITOS EM SÉRIE-PARALELO 
Circuitos em série-paralelo, também chamados mistos, são os que contêm componentes ligados em 
série e em paralelo. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica IT , I1 e I2. 
(c) A queda de tensão em cada resistor. 
(d) A potência dissipada em cada resistor. 
(e) A energia elétrica total consumida pelo circuito, em kWh, se ficar ligado durante 10h. 
 
 
2) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica IT , I1 e I2, em mA. 
(c) A queda de tensão em cada resistor. 
(d) A potência dissipada em cada resistor, em mW. 
(e) A energia elétrica total consumida pelo circuito, em quilojoules (kJ), se ficar ligado durante 2h. 
 
 
 68 
3) Determine: 
(a) A resistência equivalente, em MΩ. 
(b) A corrente elétrica total (IT), em A. 
(c) A queda de tensão em R1 (U1). 
(d) A corrente elétrica em R2 (I2), em A. 
(e) A queda de tensão em R5 (U5). 
(f) A corrente elétrica em R4 (I4), em A. 
(g) A potência total consumida, em mW. 
(h) A energia elétrica total consumida, em joules, supondo que o circuito fique ligado 10h. 
 
 
4) Determine: 
(a) A resistência equivalente, em kΩ. 
(b) A tensão da fonte (U). 
(c) A corrente elétrica I4, em A. 
(d) A queda de tensão (U2). 
 
 
 69 
5) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica total (IT). 
(c) A queda de tensão em R1 (UR1). 
(d) A queda de tensão em R3 (UR3). 
(e) A ddp entre os pontos “a” e “b” (Uab). 
(f) A energia elétrica total, em quilojoules (kJ), supondo que o circuito fique ligado 100s. 
 
 
6) Determine: 
(a) A queda de tensão em R1 (UR1). 
(b) A queda de tensão em R2 (UR2). 
(d) A queda de tensão em R3 (UR3). 
 
 
 70 
7) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica total (IT). 
(c) A corrente elétrica I6. 
(d) A queda de tensão em R6 (U6). 
(e) A energia elétrica total, em kWh, supondo que o circuito fique ligado 2h. 
 
 
 
 
8) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica 21, IeIIT . 
(c) O potencial elétrico Ua. 
 
 
 
 
 71 
Respostas: 
(1) (a) RT = 16; (b) IT = 15A; I1 = 10A; I2 = 5A; (c) UR1 = 180V; UR2 = UR3 = 60V; 
(d) PR1 = 2,7kW; PR2 = 600W; PR3 = 300W; (e) Eel = 36kWh; (2) (a) RT = 30k; (b) IT = 5mA; 
I1 = 1mA; I2 = 4mA; (c) UR1 = 50V; UR2 = UR3 = 100V; (d) PR1 = 250mW; PR2 = 100mW; 
PR3 = 400mW; (e) Eel = 5,4kJ; (3) (a) RT = 10M; (b) IT = 12A; (c) U1 = 24V; (d) I2 = 1,6A; 
(e) U5 = 96V; (f) I4 = 6A; (g) PT = 1,44mW; (h) Eel = 51,84J; (4) (a) RT = 120k; (b) U = 12V; 
(c) I4 = 60A; (d) U2 = 8V; (5) (a) RT = 4; (b) IT = 3A; (c) UR1 = 7,5V; (d) UR3 = 9V; 
(e) Uab = 1,5V; (f) Eel = 3,6kJ; (6) (a) UR1 = 12V; (b) UR2 = 7V; (c) UR3 = 15V; (7) (a) RT = 8; 
(b) IT = 30A; (c) I6 = 10A; (d) U6 = 20V; (e) Eel = 14,4kWh; (8) (a) RT = 4; (b) IT = 9A; I1 = 6A; 
I2 = 3A; (c) Ua = 6V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 72 
II.5 – AS LEIS DE KIRCHHOFF 
Considere um circuito elétrico constituído de três fontes de tensão (E1, r1), (E2, r2) e (E3, r3) e de 
resistores elétricos R1, R2 e R3, conforme o exemplo abaixo. 
 
 
Chama-se nó o ponto no qual a corrente elétrica se divide. 
 
Os trechos de circuitos entre dois nós consecutivos são denominados ramos. 
 
Qualquer conjunto de ramos formando um percurso fechado recebe o nome de malha. 
 
No circuito elétrico apresentado acima, como exemplo, são: 
Nós B e E. 
Ramos: BAFE, BE e BCDE. 
Malhas: ABEFA, BCDEB e ABCDEFA. 
 
A cada ramo do circuito elétrico atribui-se um sentido de corrente. Esse sentido, embora arbitrário,deve ser coerente com o elemento de circuito do ramo. Sendo uma fonte de tensão, a corrente 
elétrica entra pelo terminal negativo e sai pelo terminal positivo. Sendo um resistor, a corrente entra 
pelo terminal positivo e sai pelo negativo. 
 
A primeira lei de Kirchhoff ou lei dos nós estabelece que “em um nó, a soma das intensidades de 
corrente que chegam é igual a soma das intensidades de corrente que saem”. 
  saemchegam II 
A lei dos nós aplicada no nó “B” fornece: 
321 iii  (1) 
 
 73 
Essa lei aplicada ao nó “E” leva à mesma equação anterior. 
 
 
Conhecendo os valores de tensão das fontes e dos resistores, há três incógnitas ( 321 ,, iii ), logo, são 
necessárias três equações. Como já existe uma, 321 iii  , ficam faltando duas equações. Para 
solucionar, escolhem-se duas das três malhas existentes e adota-se um sentido, que nesse caso será 
aplicado o horário (). 
 
Malha ABEFA: 
0.... 1222211111  iREiriRirE (2) 
21221211 ..)( EEiriRRr  
 
Malha BCDEB: 
0... 33333222  irEiRirE (3) 
3233322 .)(. EEirRir  
321 iii  
32213322 )(.)(. EEiirRir  
322323131322 ..... EEiriRiriRir  
322332133 .)(.)( EEiRrrirR  
 
Dessa forma, é obtido o sistema de duas equações com duas incógnitas: 
21221211 ..)( EEiriRRr  
322332133 .)(.)( EEiRrrirR  
 
 
 
 
 
 74 
Exemplo 1: Determine as intensidades e os sentidos das correntes em todos os ramos. 
 
 
Solução: 
Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes 321 ,, iii : 
A corrente 1i no sentido horário na malha da esquerda. 
A corrente 2i no ramo central no sentido para cima. 
A corrente 3i no sentido horário na malha da direita. 
 
321 iii  (1) 
 
0133210 21  ii 
101332 21  ii 
332 21  ii (2) 
 
05,3414313 332  iii 
5,3131453 32  ii 
5,2353 32  ii 
5,23)(53 212  iii 
5,23553 212  iii 
5,2385 21  ii (3) 
 
)10(332 21  ii 
)4(5,2385 21  ii 
 
 
 75 
303020 21  ii 
943220)( 21  ii 
12462 2 i 
 
Ai 2
62
124
2  
 
Uma equação deve ser escolhida, para encontrar a corrente 1i . 
332 21  ii 
3)2(32 1  i 
632 1  i 
32 1  i 
Ai 5,11  
 
213 iii  
Ai 5,325,13  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 76 
Exemplo 2: Determine as intensidades das correntes 321 ,, iii . 
 
Solução: 
321 iii  (1) 
040208210 122  iii 
)2(501020 21  ii 
25510 21  ii (2) 
0542040 331  iii 
45520 31  ii 
45)(520 211  iii 
455520 211  iii 
45525 21  ii (3) 
25510 21  ii 
45525)( 21  ii 
7035 1 i 
 
Ai 2
35
70
1  
 
25510 21  ii 
255)2(10 2  i 
20255 2 i 
55 2 i Ai 15
5
2  
321 iii  
12213  iii 
Ai 13  
 
 77 
Exemplo 3: Determine as intensidades das correntes 321, IeII . 
 
321 III  (I) 
 
0655475 21  II 
657554 21  II 
1054 21  II 
1054 21  II (II) 
 
01653565 332  III 
1636565 32  II 
5265 32  II 
5265 32  II 
  5265 212  III 
52665 212  III 
52116 21  II (III) 
 
52116 21  II 2084424)4( 21  II 
 1054 21  II 603024)()6( 21  II 
 14874 2 I AI 2
74
148
2  
1054 21  II 
10)2(54 1 I 
2010104 1 I AI 5
4
20
1  
AIII 725213  
 
 78 
Exemplo 4: A intensidade de corrente 1i vale 0,2A. Determine 32 , ii e 3R . 
 
Solução: 
23 2,0 ii  (1) 
 
053 331  iRi 
0)2,0()2,0()5(3 23  iR 
0.2,013 233  iRR 
2.2,0 233  iRR (2) 
 
055. 233  iiR 
055)2,0( 223  iiR 
55.2,0 2233  iiRR (3) 
 
55.2,0 2233  iiRR 
2.2,0)( 233  iRR 
35 2 i Ai 6,0
5
3
2  
 
Aii 8,06,02,02,0 23  
2.2,0 233  iRR 
2)6,0(2,0 33  RR 
28,0 3 R 
 
 5,2
8,0
2
3R 
 
 79 
Exemplo 5: Determine a diferença de potencial BA UU  . 
 
 
Solução: 
Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes 321 ,, iii : 
A corrente 1i no sentido horário na malha da esquerda; 
A corrente 2i no ramo central no sentido para baixo; 
A corrente 3i no sentido horário na malha da direita. 
 
 
321 iii  (1) 
 
082010 21  ii 
20810 21  ii 
20810 21  ii (2) 
 
01068 32  ii 
0)(1068 212  iii 
0101068 212  iii 
61810 21  ii (3) 
 
 80 
20810 21  ii 
61810 21  ii 
2626 2 i 
 
Ai 1
26
26
2  
 
20810 21  ii 
20)1(810 1 i 
)1(82010 1 i 
82010 1 i 
1210 1 i 
 
Ai 2,1
10
12
1  
 
213 iii  
213 iii  
12,13 i 
Ai 2,03  
 
ABBA UUU  
28iU AB  
18ABU 
VU AB 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 81 
Exemplo 6: Determine 321, IeII . 
 
 
321 III  
 
05130515180 121  III 
050520 21  II 
50520 21  II (I) 
 
08100125130 332  III 
0205230 32  II 
230205 32  II 
230)(205 212  III 
23020205 212  III 
5)(2302520 21  II 
4654 21  II (II) 
 
 50520 21  II 
 (+) 4654 21  II 
 9624 1 I  AI 4
24
96
1  
 
4654 21  II  465)4(4 2  I 
16465 2 I  305 2 I 
AI 6
5
30
2   AIII 1064213  
 
 82 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Determine 321, IeII . 
 
 
2) Determine 321, IeII . 
 
 
3) Determine 321, IeII . 
 
 
Respostas: 
(1) I1 = 3A; I2 = 2A; I3 = 5A; (2) I1 = 8A; I2 = 20A; I3 = 12A; (3) I1 = 4A; I2 = 10A; I3 = 6A