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DESCRIÇÃO Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da importante noção de função real de uma variável real. PROPÓSITO Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de problemas diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas. OBJETIVOS MÓDULO 1 Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções MÓDULO 2 Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora MÓDULO 3 Definir funções crescentes e decrescentes MÓDULO 4 Definir funções periódicas MÓDULO 1 Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções INTRODUÇÃO Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas aos acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar. É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou expressões matemáticas, porém, muitas vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a um número real para todos os possíveis valores da variável independente. Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores da variável independente para os quais a fórmula matemática define uma função. Imagem: Shutterstock.com Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o domínio quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ. Antes de darmos prosseguimentos ao nosso estudo de funções, assista ao vídeo que relembra as definições básicas relativas às funções. DEFINIÇÃO O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja: Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 𝑓(𝑥)=𝑥2 e os seus domínios. 𝐷1=ℝ D(f) = {x ∈ R| f(x) ∈ R} 𝐷3=[0;+∞[ Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la. EXEMPLO 1 Qual é o domínio da função ? Repare que 𝑥=0 não está no domínio dessa função, pois a divisão por 0 (zero) não está definida. Logo, 𝐷(𝑓)=ℝ∗. D2 = {−2; −√2; −1; 0; 1; √2; 2} f(x) = 1 x EXEMPLO 2 Qual é o maior subconjunto de 𝑋⊂ℝ, tal que a fórmula define uma função 𝑓:𝑋→ℝ? Como só podemos calcular a raiz quadrada de valores não negativos, temos: 𝐷(𝑔)=[0; +∞[. Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função? g(x) = √x EXEMPLO 3 Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa no projeto assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa. Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca, faça o que se pede: A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno. B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a largura. Assista ao vídeo com a resolução das questões apresentadas no exemplo 1.3. EXEMPLO 4 SABENDO QUE O COMPRIMENTO DO TERRENO DE JOÃO É DE 100 M, UTILIZE A EXPRESSÃO OBTIDA 𝐴=𝑥⋅(120−𝑥) PARA DETERMINAR A ÁREA DO TERRENO ONDE SERÁ CONSTRUÍDA A PISCINA. RESOLUÇÃO DA QUESTÃO javascript:void(0) RESOLUÇÃO DA QUESTÃO Conforme visto no exemplo 3, a área do terreno é dada pela expressão A=x⋅(120−x), onde x é o número de metros de comprimento do terreno. Logo, temos: A(100)=100⋅(120−100)=2000 m2 Isso significa que a imagem de 100 pela função A é 2000. ATENÇÃO Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais importantes sobre uma função. O gráfico de uma função pode ser definido como: 𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓)={(𝑥; 𝑓(𝑥)) | 𝑥∈𝐷(𝑓)} Portanto, a ordenada 𝑦 de um ponto do gráfico da função 𝑓 é o valor de 𝑓 na abscissa 𝑥 correspondente. O gráfico de 𝑓 também nos permite visualizar o domínio e a imagem, além de muitas outras informações. LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja: COMO SABER SE UM NÚMERO REAL 𝒂 PERTENCE AO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 𝒇? O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função 𝑓 se a reta vertical 𝑥=𝑎 corta o gráfico de 𝑓 em um ponto. Como f é uma função, este ponto é necessariamente único. Foto: Shutterstock.com EXEMPLO 1 Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins: Fonte: BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008. Imagem: Shutterstock.com. Imagem adaptada por: Gian Corapi. Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto em Tocantins. COMO SABER SE UM NÚMERO REAL 𝑏 PERTENCE À IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 𝑓? O número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓 se a reta horizontal 𝑦=𝑏 corta o gráfico de 𝑓 em pelo menos um ponto. EXEMPLO 2 Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no Brasil, em 2029 e 2018, respectivamente. Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins: Fonte: BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008. DOMÍNIO Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico no Eixo 𝑂𝑥. Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓: O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥? Vemos que o domínio da função 𝑓 é o intervalo no eixo das abscissas indicado em vermelho. Seu domínio é o intervalo fechado: Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔: D(f) = [−1, 4] javascript:void(0) O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥? Vemos que o domínio da função 𝑔 é o conjunto no eixo das abscissas indicado em vermelho. Seu domínio é a união de intervalos disjuntos (intervalos cuja interseção é vazia): .D(g) = [− , 1) ∪ (1 , 5]7 2 javascript:void(0) Assista ao vídeo com mais um exemplo de domínio da função. IMAGEM Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu gráfico no Eixo 𝑂𝑦. Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓: O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦? Vemos que a imagem da função 𝑓 é o intervalo fechado indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦. Sua imagem é o intervalo fechado , . Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔: [− ; ]9 4 37 12 Im(f) =[− ; ]9 4 37 12 javascript:void(0) O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂y? Vemos que a imagem da função 𝑔 é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂y Sua imagem é o intervalo . . EXEMPLO 3 (−2; 5, 25] Im(g) = (−2; 5, 25] javascript:void(0) Gráfico da função ℎ Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦, vemos que a imagem da função ℎ é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦. Sua imagem é o intervalo . . (−2; 5, 25] Im(h) = (−2; 5, 25] Em resumo, é possível determinar a imagem de um conjunto de pontos: Se 𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓 (pintado de azul na figura), então, a imagem deste subconjunto é dada por 𝒇(𝑫)={ 𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈𝐷 }. EXEMPLO 4 Assista ao vídeo com mais um exemplo de imagem da função. EXEMPLO 5 Observe o gráfico da função 𝑓 e o intervalo destacado em verde no Eixo 𝑂𝑦, que é um subconjunto da imagem de 𝑓. Ao traçar as retas e de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂𝑦, temos: [− ; ]2 3 5 12 y = 5 12 y = − 2 3 Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre asretas e , temos: Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo da imagem, basta projetarmos no Eixo 𝑂𝑥. y = − 2 3 y = 5 12 [− ; ]2 5 5 12 A parte do Eixo 𝑂𝑥 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8]: VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO: O DOMÍNIO E A IMAGEM DA FUNÇÃO SÃO, RESPECTIVAMENTE: A) 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[. B) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. C) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. D) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[. f(x)= ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ −2x, se x < 0 √x, se 0 ≤ x ≤ 4 2, se x > 4 2. (PETROBRAS - 2008) CONSIDERE QUE 𝑓 É UMA FUNÇÃO DEFINIDA DO CONJUNTO 𝐷 EM ℝ POR: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8. SENDO 𝐼𝑚 A IMAGEM DE 𝑓, É CORRETO AFIRMAR QUE, SE: A) 𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+. B) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4]. C) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+. D) 𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8]. 3. OBSERVE OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) E 𝒚=𝒉(𝒙): NO MESMO PAR DE EIXOS, PODEMOS AFIRMAR QUE: A) 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 𝑒 ℎ(2)=−2. B) 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] 𝑒 𝐼𝑚(ℎ)=[−4,3]. C) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3]. D) 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3]. 4. CONSIDERE A FUNÇÃO . PODEMOS AFIRMAR QUE O DOMÍNIO DA FUNÇÃO 𝑓 É: A) Todo número real 𝑥. B) Todo número real 𝑥, exceto os números positivos. C) Todo número real 𝑥, exceto 𝑥=300. D) Todo número real 𝑥, exceto os números negativos. 5. CONSIDERE O GRÁFICO DA FUNÇÃO 𝑓: APÓS A ANÁLISE DO GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE: f(x) = 120x 300−x A) A função não está definida em 𝑥=1,6. B) 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,5]. C) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 11]. D) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11]. 6. SE A FUNÇÃO REAL DEFINIDA POR POSSUI 𝐷= [𝑎,𝑏] COMO DOMÍNIO, ENTÃO, 𝑎+𝑏 VALE: A) 11 B) 5 C) 13 D) 15 GABARITO 1. Considere a seguinte função: O domínio e a imagem da função são, respectivamente: A alternativa "A " está correta. A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços corresponde a uma parte do domínio. Para 𝑥<0, o gráfico é parte da reta 𝑦=−2𝑥. Para traçar, basta considerarmos dois pontos. 𝑥 𝑦= −2𝑥 (𝑥; -2𝑥) 0 -2 . 0 = 0 (0; 0) f(x)= x+1 √x−2+√11−x f(x)= ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ −2x, se x < 0 √x, se 0 ≤ x ≤ 4 2, se x > 4 -2 -2 . (-2) = 4 (-2; 4) Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa: Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥=0 não pertence a essa parte do domínio da função. Para 0≤𝑥≤4, o gráfico é parte do gráfico de 𝑦=√𝑥. Para traçá-lo, devemos olhar para o esboço apresentado anteriormente, bem como calcular o valor da função nos extremos. 𝑥 𝑦=√𝑥 (𝑥; √𝑥) 0 √0=0 (0; 0) 4 √4=2 (4; 2) Marcamos, então, esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles com o formato parecido com o do esboço já apresentado. Finalmente, para 𝑥>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao Eixo 𝑂𝑥: Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois 𝑥=4 não pertence a essa parte do domínio. Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função 𝑓: A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[. 2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8. Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se: A alternativa "D " está correta. O gráfico da função 𝑓 é dado por: Vamos analisar cada restrição do domínio da função 𝑓. Note que, se 𝐷=[−2,0], temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[8,20]. Se 𝐷=[2,+∞[, temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[4,+∞). Se 𝐷=[0;2], temos que I𝑚(𝑓)=[4;8]. 3. Observe os gráficos das funções 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) e 𝒚=𝒉(𝒙): No mesmo par de eixos, podemos afirmar que: A alternativa "C " está correta. Observando o gráfico, temos: 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 e ℎ(2)=2. 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] e 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3]. 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] e 𝐼𝑚(𝑔)=[−1,𝑔(3)] 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] e 𝐼𝑚(ℎ)=[1,2]. 4. Considere a função . Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓 é: A alternativa "C " está correta. A função não está definida para 𝑥=300, pois este número anula o denominador. 5. Considere o gráfico da função 𝑓: Após a análise do gráfico, podemos afirmar que: A alternativa "D " está correta. f(x) = 120x 300−x Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇 é o conjunto no eixo -𝑥 indicado em vermelho na figura. Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. 𝑫𝒐𝒎(𝒇)=[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇 é o intervalo no eixo -𝑦 indicado em vermelho na figura. Sua imagem é o intervalo [−𝟒, 𝟖.𝟑]. 𝑰𝒎(𝒇)=[−𝟒, 𝟖.𝟑]. 6. Se a função real definida por possui 𝐷=[𝑎,𝑏] como domínio, então, 𝑎+𝑏 vale: A alternativa "C " está correta. f(x)= x+1 √x−2+√11−x Primeiramente, vamos determinar o domínio da função 𝑓. Para isso, precisamos analisar para quais valores de 𝑥 a função e está bem definida e fazer a interseção dos intervalos. Note que está bem definida para 𝑥≥2, e está bem definida para 11−𝑥≥0, ou seja, 𝑥≤11. Como [2,+∞)∩(−∞,11]=[2,11], temos que 𝐷=[2,11]. Logo, 𝑎+𝑏=2+11=13. MÓDULO 2 Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora FUNÇÕES INJETORAS Uma função 𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝑎1, 𝑎 2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), tais que 𝑎1≠𝑎2, os números 𝑓(𝑎1) e 𝑓(𝑎2) na imagem de 𝑓 são também distintos. Assista ao vídeo com mais um exemplo de injeção, sobrejeção e bijeção. √x − 2 √11 − x √x − 2 √11 − x EXEMPLO 1 A função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, definida para todos os números reais, é injetiva? Observe que: 𝑓(−2)=(−2)2−1=3=22−1=𝑓(2) Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem. Gráfico da função 𝒇 e reta horizontal 𝒚=𝟑 A partir da representação gráfica da função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, é possível observar que há retas horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez. ATENÇÃO Teste da reta horizontal Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no máximo, um ponto. Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva. EXEMPLO 2 A função 𝑔(𝑥)=𝑥3 é injetiva. Gráfico de 𝒈(𝒙)=𝒙𝟑 Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo teste da reta horizontal, a função 𝑔 é injetiva. FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS SOBREJETORAS Se 𝐴,𝐵⊂ℝ, uma função 𝑓:𝐴→𝐵 é chamada sobrejetora ou sobrejetiva, quando 𝑓(𝐴)=𝐵. Repare que, quando restringimos o contradomínio de uma função para sua imagem, ou seja,𝑓:𝐷𝑜𝑚(𝑓)⟶𝑓(𝐷𝑜𝑚(𝑓)), estamos garantindo que não há qualquer elemento do contradomínio que não seja imagem de algum elemento do domínio. Assim, essa é uma forma de garantir que a função seja sobrejetiva. BIJETORAS Uma função 𝑓, que é simultaneamente injetora e sobrejetora, é chamada de bijetora ou bijetiva. Assim, a função 𝑓:𝐷𝑜𝑚(𝑓)→𝑓(𝐷𝑜𝑚(𝑓)) (que já é sobrejetora) será bijetora se, e somente se, for injetora. RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA INVERSA O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e sua inversa. ATENÇÃO Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva. No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓 e sua inversa 𝑓−1: E SE "LEVA" EM ENTÃO "TRAZ" "DE VOLTA" EM E Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal f : A → B f−1 : B → A f a b f−1 b a f(a) = b ⇔ f−1(b) = a Dom(f) = Im(f−1) Dom(f−1) = Im(f) É preciso notar que: Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas o que essa equivalência significa geometricamente?Que o ponto (𝑎;𝑏) estar no gráfico da função 𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏;𝑎) estar no gráfico da função 𝑓−1. Simetria dos pontos (𝒂;𝒃) e (𝒃;𝒂) em relação à reta 𝒚=𝒙 No gráfico, percebemos que os pontos (𝑎;𝑏) e (𝑏;𝑎) são simétricos em relação à reta 𝑦=𝑥. Mas isso é verdade para todos os pontos das funções 𝑓 e 𝑓−1. O GRÁFICO DE 𝐟−𝟏 É OBTIDO REFLETINDO-SE O GRÁFICO DE 𝐟 EM TORNO DA RETA 𝐲=𝐱. f(a) = b ⇔ f−1(b) = a Simetria entre os gráficos de 𝒇 e 𝒇−𝟏 Se 𝑓 e 𝑔 forem funções inversas entre si, temos: 𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, PARA TODO 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1). Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, PARA TODO 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥, aplicando 𝑓, e, em seguida, 𝑓−1, obteremos de volta 𝑥. Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦, aplicando 𝑓−1, e, em seguida, 𝑓, obteremos de volta 𝑦. EXEMPLO 1 Assista ao vídeo com um exemplo de relação geométrica entre os gráficos de uma função e sua inversa. VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. (ADAPTADA DE: LIVRO ABERTO - S.D.) CONSIDERE A FUNÇÃO 𝑔:ℝ→ℝ TAL QUE 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA: A) Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10. B) A função 𝑔 é injetora. C) A função 𝑔 é sobrejetora. D) Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora. 2. CONSIDERE A FUNÇÃO BIJETORA 𝑓:[1,∞)→(−∞,1] DEFINIDA POR 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 E SEJA (𝑎,𝑏) O PONTO DE INTERSEÇÃO DE 𝑓 COM SUA INVERSA 𝑓−1. O VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO 𝑎+𝑏 É: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 3. (ADAPTADA DE: OBMEP-2019) A CALCULADORA DE DARIO TEM UMA TECLA ESPECIAL. SE UM NÚMERO 𝑛, DIFERENTE DE 2, ESTÁ NO VISOR, ELE APERTA A TECLA ESPECIAL E APARECE O NÚMERO, . POR EXEMPLO, SE O NÚMERO 6 ESTÁ NO VISOR, AO APERTAR A TECLA ESPECIAL, APARECE 3, POIS . PARA QUAIS VALORES DARIO OBTÉM O MESMO NÚMERO QUE ESTÁ INICIALMENTE NO VISOR? A) 1 e 0 B) 2 e 0 C) 3 e 0 D) 4 e 0 4. CONSIDERE A FUNÇÃO 𝑓:(−1,2]→ℝ, DADA POR: NESTAS CONDIÇÕES, É CORRETO AFIRMAR QUE: A) 𝑓 é sobrejetora. B) 𝑓 é injetora. C) 𝑓 é bijetora. D) 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]. 5. SEJA A FUNÇÃO 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, DEFINIDA POR , CUJO GRÁFICO É ESTE: 2×n n−2 = 32×6 6−2 f(x)= ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ x2, se − 1 ≤ x ≤ 0 , se 0 < x ≤ 1 −x + 2, se 1 < x ≤ 2 x+1 2 f(x) = + 12x−3 x−2 COM OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS NO EXEMPLO DO VÍDEO DESTE MÓDULO, CONSTRUA O GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA DA 𝑓 ANTES DE RESPONDER À ATIVIDADE. SOBRE A SUA INVERSA, PODEMOS GARANTIR QUE: A) Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora. B) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico: B) C) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico: C) D) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico: D) 6. SEJA 𝑓 A FUNÇÃO 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, DEFINIDA POR 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O MENOR VALOR DE 𝑡 PARA QUE A FUNÇÃO SEJA INJETORA É: A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 GABARITO 1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. Assinale a alternativa correta: A alternativa "D " está correta. Observe o gráfico da função 𝑔(𝑥)=9−𝑥2: Ao traçarmos a reta horizontal 𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔. Logo, não existe 𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10. Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔 é injetora em todo o seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo: 𝑔(−1)=8 e 𝑔(1)=8. Assim, 𝑔 não é injetora em ℝ. Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔 é dado por: Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo. 2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,1] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é: A alternativa "A " está correta. Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetiva, basta fazer a reflexão sobre a reta y=x. Dessa forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos apenas resolver o sistema: Fique atento ao fato de que a solução deve estar contida no domínio da função 𝑓, sugerido na questão. Assim, devemos resolver a equação: { y = x y = −3x2 + 2x + 2 x = −3x2 + 2x + 2 −3x2 + x + 2 = 0 Como não pertence ao domínio da função 𝑓, a única solução é 𝑥=1 e, portanto, 𝑦=1, como podemos ver graficamente: Consequentemente 𝑎+𝑏=2. 3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número 𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, . Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3, pois . Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no visor? A alternativa "D " está correta. Note que a tecla especial é uma função. Portanto, podemos considerar: Desejamos obter os valores de 𝑛, tais que 𝑓(𝑛)=𝑛. Note ainda que 2 não está no domínio da função dada. Vamos aos cálculos: x = ={ x1 = 1 x2 = − −1±5 −6 2 3 − 2 3 2×n n−2 = 32×6 6−2 f(n) = nx2 n−2 = nnx2 n−2 Logo, 𝑛=0 e 𝑛=4. 4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por: Nestas condições, é correto afirmar que: A alternativa "D " está correta. Observe o gráfico da função 𝑓: Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓 não é sobrejetora. 5. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por , cujo gráfico é este: 0 = n2 − 4n = n(n − 4) f(x)= ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ x2, se − 1 ≤ x ≤ 0 , se 0 < x ≤ 1 −x + 2, se 1 < x ≤ 2 x+1 2 f(x) = + 12x−3 x−2 Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico da função inversa da 𝑓 antes de responder à atividade. Sobre a sua inversa, podemos garantir que: A alternativa "D " está correta. O gráfico da função inversa é dado por: 6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O menor valor de 𝑡 para que a função seja injetora é: A alternativa "D " está correta. Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1: Note que, para a função 𝑓 ser bijetora, 𝑡=2. O gráfico em roxo é a função 𝑓:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal. MÓDULO 3 Definir funções crescentes e decrescentes INTRODUÇÃO Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas como: ONDE A FUNÇÃO É CRESCENTE? ONDE ELA É DECRESCENTE? O LUCRO DA EMPRESA AUMENTOU? Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da reta real e algumas de suas aplicações. Assista ao vídeo com mais um exemplo de função crescente e função decrescente. DEFINIÇÃO Uma função é considerada crescente quando os valores das imagens, , aumentam à medida que os valores de aumentam, ou seja, para , temos: . Em termos gráficos: f : R → R f(x) x x2 > x1 f(x2 ) > f(x1 ) Uma função é considerada decrescente quando os valores das imagens, , diminuem à medida em que os valores de aumentam, ou seja, para , temos . Foto: Shutterstock.com EXEMPLO 1 O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a Chuva Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90: Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de chuva acumulada do mês de janeiro ao mês de fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal Climatológica, no mês de outubro, a previsão é de um aumento significativo das chuvas acumuladas. f : R → R f(x) x x2 > x1 f(x2) < f(x1) Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). EXEMPLO 2 Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade doBrasil, do início de 2010 a 2058. Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto ocorreu um crescimento na taxa bruta de mortalidade. EXEMPLO 3 Considere a função Note que essa função é crescente em toda a reta real. De fato, dados , temos que . EXEMPLO 4 Considere a função f(x) = x3 x1 < x2 f(x1) = x13 < x 2 3 = f(x2) f(x)= ⎧⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ −x2, x < 0 0, 0 ≤ x ≤ 1 (x − 1) 2 , x > 1 Observe que a função apresentada não é estritamente crescente em toda reta real, já que ela é constante no intervalo [0,1]. As funções estritamente crescentes têm um papel especial em Cálculo I. EXEMPLO 5 Vamos praticar: analise o gráfico da função. Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente. RESOLUÇÃO DA QUESTÃO RESOLUÇÃO DA QUESTÃO Observando o gráfico, vemos que a função é crescente em e decrescente em . VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. (ADAPTADA DE: UFPE - 2017) NO GRÁFICO A SEGUIR, TEMOS O NÍVEL DA ÁGUA ARMAZENADA EM UMA BARRAGEM AO LONGO DE TRÊS ANOS: (−∞, −0. 22) ∪ (1. 55, +∞) (−0. 22, 1. 55) javascript:void(0) DE ACORDO COM O GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE: A) O nível de 70 m foi atingido uma única vez. B) O nível da água armazenada cresce em todo tempo. C) O nível da água armazenada é estritamente decrescente. D) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período. 2. NO ANO DE 2020, O MUNDO FOI ASSOLADO POR UMA PANDEMIA, CAUSADA PELO VÍRUS SAR-COV-2, CONFORME MOSTRA O GRÁFICO A SEGUIR: DE ACORDO COM O GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE: A) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. B) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. C) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. D) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. 3. APÓS VÁRIAS EXPERIÊNCIAS EM LABORATÓRIOS, OBSERVOU-SE QUE A CONCENTRAÇÃO DE CERTO ANTIBIÓTICO NO SANGUE DE COBAIAS VARIA DE ACORDO COM A FUNÇÃO , EM QUE 𝑥 É O TEMPO DECORRIDO, EM HORAS, APÓS A INGESTÃO DO ANTIBIÓTICO. f(x) = 12x − 2x2 NESSAS CONDIÇÕES, A PARTIR DE QUAL MOMENTO A CONCENTRAÇÃO DESSE ANTIBIÓTICO COMEÇA A DECRESCER? A) 0 B) 6 C) 3 D) 18 4. UMA FUNÇÃO É CRESCENTE E SATISFAZ A SEGUINTE CONDIÇÃO: , PARA TODO . SE , QUAL O VALOR DE ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 5. SABENDO QUE É UM NÚMERO REAL, O MAIOR VALOR DE , TAL QUE A FUNÇÃO , PARA , SEJA DECRESCENTE, É: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 6. (ADAPTADA DE: ENEM - 2010) AS SACOLAS PLÁSTICAS SUJAM FLORESTAS, RIOS E OCEANOS, E QUASE SEMPRE ACABAM MATANDO POR ASFIXIA PEIXES, BALEIAS E OUTROS ANIMAIS AQUÁTICOS. NO BRASIL, EM 2007, FORAM CONSUMIDAS 18 BILHÕES DE SACOLAS f : R+ → R+ f(3x) = 3f(x) x ∈ R+ f(9) = 27 f(1) d d f(x) = x2 − 4x + 3 x < d PLÁSTICAS. OS SUPERMERCADOS BRASILEIROS SE PREPARARAM PARA ACABAR COM AS SACOLAS PLÁSTICAS ATÉ 2016. SABEMOS QUE A FUNÇÃO: ONDE: ; = NÚMERO DE SACOLAS (EM BILHÕES); = NÚMERO DE ANOS (APÓS 2007). OBSERVE O GRÁFICO A SEGUIR, QUE CONSIDERA A ORIGEM COMO O ANO DE 2007: DE ACORDO COM AS INFORMAÇÕES, QUANTOS BILHÕES DE SACOLAS PLÁSTICAS SERÃO CONSUMIDAS EM 2011? A) 4,0 N(x) = ax + b a, b ∈ R N x B) 6,5 C) 7,0 D) 10 GABARITO 1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem ao longo de três anos: De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: A alternativa "D " está correta. Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente nem decrescente. 2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR- COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir: De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: A alternativa "D " está correta. Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y (correspondente ao número de casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às retas , vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao tempo) em 03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k para 40k de 03 a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. 3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função , em que 𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a decrescer? A alternativa "C " está correta. Observe o gráfico da função : y = 20k e y = 40k f(x) = 12x − 2x2 f Podemos constatar que a concentração desse antibiótico começa a decrescer a partir do da parábola. Logo, precisamos determinar o vértice dessa parábola. Isso pode ser feito algebricamente. Algebricamente, temos: Onde: coeficiente de na função quadrática; coeficiente de na função quadrática. Assim: 4. Uma função é crescente e satisfaz a seguinte condição: , para todo . Se , qual o valor de ? A alternativa "C " está correta. Note que: Logo, temos: xV xV = − b 2a a = −2 → x2 b = 12 → x xV = − = 3 12 2(−2) f : R+ → R+ f(3x) = 3f(x) x ∈ R+ f(9) = 27 f(1) 27 = f(9) = f(3 ⋅ 3) = 3 ⋅ f(3 ⋅ 1) = 3 ⋅ 3 ⋅ f(1) f(1) = = 327 9 5. Sabendo que é um número real, o maior valor de , tal que a função , para , seja decrescente, é: A alternativa "C " está correta. A parte do gráfico onde é uma parábola, cujo vértice é o ponto . Assim, a função é decrescente, nas condições do problema, para , portanto, o maior valor de é 2. 6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Sabemos que a função: Onde: ; = número de sacolas (em bilhões); = número de anos (após 2007). Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007: d d f(x) = x2 − 4x + 3 x < d x < d (− , − ) = (2, −1)b 2a Δ 4a x ≤ 2 d N(x) = ax + b a, b ∈ R N x De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em 2011? A alternativa "D " está correta. Para encontrar o valor pedido, ou seja, , porque se passaram 4 anos de 2007 até 2011, precisamos determinar os valores de e . Analisando o gráfico, e , onde 9 corresponde ao ano de 2016. Assim, temos: . Além disso, substituindo o valor de em , obtemos: . Logo: . Portanto: . MÓDULO 4 f(4) a b f(0) = 18 f(9) = 0 18 = 0a + b, b = 18 b f(9) = 0 0 = 9a + 18 ⇒ 9a = −18 ⇒ a = −2 f(x) = −2x + 18 f(4) = (−2) ⋅ 4 + 18 = 10 Definir funções periódicas Foto: Shutterstock.com INTRODUÇÃO Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos. Veja a seguir alguns exemplos: Imagem: Shutterstock.com AS ESTAÇÕES DO ANO Imagem: Shutterstock.com OS BATIMENTOS CARDIÁCOS Imagem: Shutterstock.com OS MOVIMENTOS DOS PONTEIROS DE UM RELÓGIODE PULSO Imagem: Shutterstock.com O MOVIMENTO DOS PLANETAS Imagem: Shutterstock.com A CORRENTE ELÉTRICA ALTERNADA Imagem: Shutterstock.com A CIRCULAÇÃO DO SANGUE Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções trigonométricas: SENO COSSENO TANGENTE Assista ao vídeo com mais um exemplo de função periódica. DEFINIÇÃO Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇>0, tal que 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥), para todo 𝑥 no domínio da função. O menor dos valores de 𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período da 𝑓. ATENÇÃO Se uma função 𝑓 é periódica de período 𝑇, então, 𝑓 também é periódica de período 𝑛𝑇, onde 𝑛∈ℕ, já que: 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥+2𝑇)=𝑓(𝑥+3𝑇)=⋯=𝑓(𝑥+𝑛𝑇) ELETROCARDIOGRAMA Exame que tem o objetivo de detectar se existe alguma falha na condução elétrica pelo coração. EXEMPLO 1 Considere a função 𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao eletrocardiograma de uma pessoa saudável: Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em intervalos de comprimento menor. Assim, a função 𝑓 é uma função periódica de período T. javascript:void(0) Imagem: Shutterstock.com EXEMPLO 2 Considere a função: Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓 para os valores de 𝑥 de 0 a 5. x 0 1 2 3 4 5 f(x) (-1)0=1 (-1)1=-1 (-1)2=1 (-1)3=-1 (-1)4=1 (-1)5=-1 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal 2 - Se 𝑥 é um número par, 𝑓(𝑥)=1. f : N → Z, tal que f(x) = (−1)x 3 - Se 𝑥 é um número ímpar, 𝑓(𝑥)=−1. ESTA É UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE PERÍODO 2. POR QUÊ? Ora, quando 𝑥 varia duas unidades, o valor da função se repete, ou seja: 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥+6)... Dessa forma, podemos afirmar que o período dessa função é 2. Foto: Shutterstock.com EXEMPLO 3 Considere a função 𝑓(𝑡)=sen(𝑡) e 𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico. Imagine que o ponto 𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e dá uma volta completa, ou seja, o ângulo 𝑡 varia de 0 até 2𝜋. Pensando no ciclo, é possível perceber que: Quando o ângulo 𝒕 cresce de O valor 𝒇(𝒕)=sen(𝒕) Cresce de 0 𝑎 1 Decresce de 1 𝑎 0 Decresce de 0 𝑎 −1 Cresce de −1 𝑎 0 0 a π 2 a ππ 2 π a 3π 2 a 2π3π 2 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal Assista ao vídeo e veja uma representação gráfica do que foi descrito no exemplo 3. O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do tempo 𝑥 e ocorre em ambos os sentidos dos pulmões (inspiração e expiração). O fluxo pode ser representado pela função: Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal f(x) = Asen(ωx) Imagem: Shutterstock.com Onde: A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração 𝜔 = período respiratório o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo A função 𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas estudos experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade. Imagem: Shutterstock.com VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. OBSERVE O GRÁFICO DA FUNÇÃO A SEGUIR: ω = → T =2π T ASSINALE A RESPOSTA CORRETA: A) É uma função periódica de período 2. B) É uma função periódica de período 1. C) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento, 𝑓(14)=2. D) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓 continuar com o mesmo comportamento, 𝑓(17)=0. 2. SENDO 𝑓:ℝ→ℝ UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE PERÍODO 2, PODEMOS AFIRMAR QUE: A) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 4. B) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1. C) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 1. D) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞), onde 𝑞 é uma constante positiva, não é periódica. 3. CONSIDERE QUE A FUNÇÃO 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] SEJA PERIÓDICA COM PERÍODO 6 E SEJA CRESCENTE NO INTERVALO [4,10]. LOGO, PODEMOS AFIRMAR QUE: A) 𝑓(10)=𝑓(25) 𝑒 𝑓(4)<𝑓(8). B) 𝑓(12)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(15)<𝑓(16). C) 𝑓(15)=𝑓(21) 𝑒 𝑓(21)<𝑓(22). D) 𝑓(18)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(28)<𝑓(27). 4. SEJA . A) 4 e [-2,2]. B) 4 e [-5,1]. C) 8 e [-2,2]. D) 8 e [-5,1]. 5. EM DETERMINADA ILHA DE TURISMO, DETERMINOU-SE QUE A VARIAÇÃO DA MARÉ AO LONGO DO DIA PODE SER DESCRITA PELA SEGUINTE FUNÇÃO: ONDE 𝒙 É MEDIDO EM HORAS E 𝒇(𝒙) EM METROS. QUAL GRÁFICO REPRESENTA A VARIAÇÃO DA MARÉ AO LONGO DE UM DIA? A) A) f(x) = −2 + 3. cos( + )πx 4 π 6 f(x) = 2 + sen( )πx 12 B) B) C) C) D) D) 6. CONSIDERANDO A FUNÇÃO 𝒇:ℝ→ℝ, DADA POR , DETERMINE A ALTERNATIVA CORRETA: A) A função 𝒇 é periódica com período 2. B) A imagem de 𝒇 é o intervalo [-2,2]. C) A função 𝒇 é bijetora. D) Existe 𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓. GABARITO 1. Observe o gráfico da função a seguir: Assinale a resposta correta: A alternativa "D " está correta. Observe que a função é periódica de período 4, porque: 𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥), ∀ 𝑥∈𝐷𝑜𝑚(𝑓) Assim: • 𝑓(14)=𝑓(10+4)=𝑓(10)=𝑓(6)=𝑓(2)=1; • 𝑓(17)=𝑓(13+4)=𝑓(13)=0. 2. Sendo 𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que: f(x) = −2 + cos( + )πx2 π 3 A alternativa "B " está correta. Note que a função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1, pois: 𝑔(𝑥+1)=𝑓(2(𝑥+1))=𝑓(2𝑥+2)=𝑓(2𝑥)=𝑔(𝑥). A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 4. A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞) é periódica de período 4. 3. Considere que a função 𝒇:[𝟒 , +∞[ →[−𝟑 ,𝟕] seja periódica com período 6 e seja crescente no intervalo [4,10]. Logo, podemos afirmar que: A alternativa "D " está correta. Inicialmente, vamos entender os dados e a situação da função dada. Sabemos que a função é periódica com período 6. Isso significa que: 𝒇(𝒙)=𝒇(𝒙+𝟔), 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ∈[𝟒, +∞[. Como a função é crescente no intervalo [4,10[, então, sempre teremos que: 𝑥,𝑦 ∈[4,10[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦). Sendo 𝒇 uma função periódica com período 6 e valendo a desigualdade anterior, então, o mesmo vale para os intervalos: • 𝑥,𝑦 ∈[10,16[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦); • 𝑥,𝑦 ∈[16,22[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦); 𝑥,𝑦 ∈[22,28[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦); 𝑥,𝑦 ∈[28,34[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦). E assim sucessivamente para os intervalos seguintes com tamanho 6 (que é o período). Agora vamos analisar cada alternativa: a) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟎+𝟔)=𝒇(𝟏𝟔) 𝒆 𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟔+𝟔)=𝒇(𝟐𝟐) ⇒ 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐). Assim, como 22 e 25 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item anterior, temos: 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟓). Portanto, a letra A é falsa. b) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟏𝟐+𝟔)=𝒇(𝟏𝟖) 𝒆 𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒) ⇒ 𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟐𝟒). Agora, vamos analisar 𝒇(𝟏𝟓) e 𝒇(𝟏𝟔). Como vimos na letra A, 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟔). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos: 𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓). Portanto, a letra B é falsa. c) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟏𝟓+𝟔)=𝒇(𝟐𝟏). Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟏) e 𝒇(𝟐𝟐). Na letra A, vimos que 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos: 𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟐𝟏). Portanto, a letra C é falsa. d) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒). Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟖) e 𝒇(𝟐𝟕). Note que: 𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟐𝟐+𝟔)=𝒇(𝟐𝟖). Como 22 e 27 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item listado anteriormente, temos: 𝒇(𝟐𝟖)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟕). Portanto, a letra D é verdadeira. 4. Seja . A alternativa "D " está correta. O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado porEntão, no caso de nossa função 𝒇(𝒙), temos O período será: f(x) = −2 + 3. cos( + )πx 4 π 6 P = 2π |a | a = π 4 P = = = 2π × = = 82π |a | 2π π 4 4 π 8π π Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏] Então, sendo , temos: 5. Em determinada ilha de turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do dia pode ser descrita pela seguinte função: Onde 𝒙 é medido em horas e 𝒇(𝒙) em metros. Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia? A alternativa "D " está correta. Lembrando que uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem dada pelo seguinte intervalo: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏] Então, a imagem da função pode ser obtida da seguinte forma: . Logo, a imagem da função é o intervalo [𝟏;𝟑], ou seja, a altura mínima da maré é de 1 metro, enquanto a altura máxima é de 3 metros. Assim, as possíveis alternativas são as das letras (b) e (d). Pelos gráficos dessas letras, vemos que as marés baixas ocorrem às 6h e às 18h. Calculando 𝒇(𝟔) e 𝒇(𝟏𝟖), obtemos: f(x) = −2 + 3. cos( + )πx 4 π 6 −1 ≤ cos( + )≤ 1 (multiplicando por 3)⇒πx 4 π 6 −3 ≤ 3. cos( + )≤ 3 (somando − 2)⇒πx 4 π 6 −5 ≤ −8 + 3. cos( + )≤ 1 (somando − 2)⇒πx 4 π 6 Im(f) = [−5, 1] f(x) = 2 + sen( )πx 12 f(x) = 2 + sen( )πx 12 −1 ≤ sen( )≤ 1 (somando 2) ⇒πx 12 −1 ≤ 2 + sen( )≤ 3 ⇒πx 12 −1 ≤ f(x) ≤ 3 f(x) = 2 + sen( )πx 12 f(6) = 2 + sen( )= 2 + sen( )= 2 + 1 = 3π.6 12 π 2 Portanto, o gráfico que representa a variação da maré é o que consta na letra D. 6. Considerando a função 𝒇:ℝ→ℝ, dada por , determine a alternativa correta: A alternativa "D " está correta. Vamos analisar cada alternativa: a) O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por . Então, no caso de nossa função 𝒇(𝒙), temos . O período será: Logo, o período da função dada não é 2. b) Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏] Então, sendo , temos: Logo, a imagem de 𝒇 não é o intervalo [-2,2]. c) Como vimos na letra B, a imagem de 𝒇 é: Logo, 𝒇 não é sobrejetora e, portanto, não pode ser bijetora. d) Como vimos na letra B, a imagem da função é o intervalo [−𝟑,−𝟏]. Como −𝟏,𝟓 ∈[−𝟑,−𝟏], então, existe 𝒙 ∈𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇=ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓. CONCLUSÃO f(18) = 2 + sen( )= 2 + sen( )= 2 + (−1) = 1π.18 12 3π 2 f(x) = −2 + cos( + )πx 2 π 3 P = 2π |a | a = π 2 P = = = 2π × = = 42π |a | 2π π 2 2 π 4π π f(x) = −2 + cos( + )πx 2 π 3 −1 ≤ cos( + )≤ 1 (somando − 2) ⇒πx 2 π 3 −3 ≤ −2 + cos( + )≤ −1 ⇒πx 2 π 3 Im(f) = [−3, −1] Im(f) = [−3, −1] ≠ R = contradomínio CONSIDERAÇÕES FINAIS No estudo das funções reais de variável real, você pôde observar que a descrição de problemas de nosso cotidiano é realizada com o auxílio das funções. O entendimento das funções reais de variável real requer aprender, de maneira mais aprofundada, a determinar o domínio e a imagem de alguns tipos de funções algébricas, bem como reconhecer geometricamente quando a função é injetora, sobrejetora e bijetora. É muito importante que você faça todos os exercícios propostos e estude bem os exemplos apresentados para compreender melhor o conteúdo. AVALIAÇÃO DO TEMA: REFERÊNCIAS BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008. DELGADO GÓMEZ, J. J. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: CEDERJ, 2002. v. 4. FOMIN, D. A. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 2013. v. 1. LIMA, E.; CARVALHO, P. E. W.; MORCAGO, C. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v. 1. LIVRO ABERTO. Funções. (s.d.). LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu, n. 225, 2010. MAESTRI, R. Algumas boas notícias com algumas não tanto do Covid-19. Jornal GGN, mar. 2020. STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1. VISÃO SAÚDE. Covid-19: que países conseguiram contrariar a curva do Coronavírus? Publicação em: 20 mar. 2020. EXPLORE+ Pesquise e consulte: O aplicativo on-line GeoGebra; O Portal OBMEP do Saber. Busque e analise os seguintes resultados do uso do aplicativo GeoGebra: BORGES, A. Desenho da função seno. GeoGebra. (s.d.). CORREIA, P. Duração do dia. GeoGebra, (s.d.). No primeiro, você encontra a construção do gráfico da função seno, e no segundo, um exercício interessante que mostra o número de horas de sol ao longo do ano em diferentes locais do planeta. CONTEUDISTA Loisi Carla Monteiro Pereira CURRÍCULO LATTES javascript:void(0);
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