Conservação de Energia Mecânica na Física Clássica

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Introdução à Física Clássica I
Prof. Neemias Alves de Lima
26 de julho de 2021
Escola de Ciências e Tecnologia, UFRN
12 - Conservação de energia
A ideia de que o movimento de um objeto é governado por algo
que não muda teve sua origem nos experimentos pendulares de
Galileu. Energia mecânica é qualquer forma de energia que está
diretamente associada ao movimento ou a uma força. A energia
cinética é uma forma de energia mecânica. Outros dois tipos de
mecânica energia são a energia gravitacional, associada à força
da gravidade e energia elástica, associado com a força exercida
por uma mola. A partir do uso do conceito de energia mecâ-
nica podemos ir além da abordagem de trabalho e energia que
apresentamos no capítulo anterior.
1
Conservação de energia mecânica
Vimos que para as forças gravitacional e elástica podemos escre-
ver o trabalho como uma diferença de energia potencial:
W = −(Uf − Ui) (1)
Se a força resultante em um corpo de massa m realiza trabalho
que pode ser calculado por esta equação, temos pelo teorema
trabalho e energia cinética que
Wres = −(Uf − Ui) = Kf − Ki (2)
onde
K = 1
2
mv2 (3)
é a energia cinética do corpo.
2
Podemos reescrever esta igualdade da seguinte forma:
Kf + Uf = Ki + Ui (4)
onde a soma das energias cinética e potencial,
E = K + U (5)
chamamos de energia mecânica do sistema composto pela partí-
cula e as fontes das energias potenciais.
Forças para as quais podemos escrever o trabalho como uma dife-
rença de energia potencial são chamadas de forças conservativas
pois por (4) a energia mecânica é sempre constante:
Ef = Ei (6)
3
A Eq. (6) é chamada de lei da conservação da energia mecânica.
Esta lei foi proposta e comprovada em 1722 por Émilie du Châ-
telet (1706 – 1749) por meio de colisões de esferas de metal com
um alvo de barro mole.
Émilie du Châtelet
4
Exemplo 12.1 - Um bloco cúbico de lado a é solto a partir
do repouso no topo de uma rampa sem atrito, a uma altura
H � a acima da base da rampa, como mostra Figura. A rampa
termina a uma altura h acima da base, de forma que o bloco sai
voando da rampa e segue uma trajetória parabólica até chocar-
se contra o solo. Estime a velocidade do bloco ao atingir o solo.
Despreze os efeitos da resistência do ar.
v = 0H
h
y
xO
Estado inicial (i)
v
H
h
y
xO
Estado final (f)
5
A única força que realiza trabalho sobre o bloco é força gravita-
cional. Pela lei de conservação de energia mecânica:
Ef = Ei Kf + Ug,f =��>
0
K i + Ug,i
1
2
mv2f + mgyf =
1
2
mv2i + mgyi
1
2��
mv2 +��mg0 =
1
2��
m02 +��mgH
v =
√
2gH
Imagine como você resolveria este problema aplicando direta-
mente as leis de Newton (e equações da cinemática). Seria mais
simples ou mais complicado?
6
Exemplo 12.2 - Uma corda leve passa por uma roldana e liga
dois blocos como ilustrado nas Figuras abaixo. O sistema é
liberado do repouso com o bloco mA = 4, 0 kg tocando o solo.
Com que velocidade v o bloco mB = 12, 0 kg atingirá o solo se
h = 2, 0 m? Considere a roldana ideal e despreze o atrito em
seu mancal.
mA
mB
h
v = 0
v = 0
Estado inicial (i)
y
0
mA
mB
h
v
v
Estado final (f)
y
0
7
As condições do problema permitem aplicar a lei de conservação
de energia mecânica. As altura iniciais e finais dos blocos A e B
são yAi = 0, yAf = h, yBi = h e yBf = 0, com h = 2, 0 m, e as
velocidades finais de ambos é v.
Ef = Ei
KAf + KBf + Ug,Af + Ug,Bf = KAi + KBi + Ug,Ai + Ug,Bi
1
2
mAv2 +
1
2
mBv2 + mAgh + 0 = 0 + 0 + 0 + mBgh
Isolando v:
v =
√
2mB − mA
mB + mA
gh =
√
212, 0 − 4, 0
12, 0 + 4, 0
9, 8(2, 0) = 4, 4 m/s
8
Exemplo 12.3 - Um brinquedo utiliza uma mola (k = 36 N/m)
para lançar um bloco (m = 8, 0 g) em uma rampa inclinada
(θ = 30◦). Qual é a distância s que o bloco percorre ao longo da
rampa se a mola for comprimida de d = 4, 2 cm e então liberada
do repouso? Despreze as forças de atrito.
Nas Figuras abaixo temos as situações inicial, final e as escolhas
dos sistemas de coordenadas que definem as energias potenciais.
−d
mk
v = 0
θ
Estado inicial (i)
y′ x ′
0
y
x
m
k
v = 0
θ
Estado final (f)
y′
x ′
y
x
s h
9
Aplicando a lei de conservação de energia mecânica, temos
Ef = Ei
Kf + Ug,f + Ue,f = Ki + Ug,i + Ue,i
0 + mgh + 0 = 0 + 0 + 1
2
kd2
Da Figura temos que
h = s senθ (1)
Substituindo (2) em (1):
mgs senθ = 1
2
kd2 (2)
Isolando d:
s = kd
2
2mg senθ
=
36(0, 042)2
2(8, 0 × 10−3)9, 8 sen30◦
= 0, 81 m
10
Energia
E o que acontece com a energia mecânica quando forças não-
conservativas atuam em um objeto? Como a própria pergunta
sugere a energia mecânica do sistema não será conservada. Para
obter a variação da energia mecânica escrevemos o trabalho re-
sultante como uma soma dos trabalhos das forças conservativas,
Wc, e das forças não conservativas, Wnc:
Wres = Wc + Wnc = −(Uf − Ui) + Wnc = Kf − Ki (7)
onde a ultima igualdade se deve ao teorema trabalho-energia ci-
nética.
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Podemos reescrever esta equação assim:
Kf + Uf = Ki + Ui + Wnc (8)
ou seja,
Ef = Ei + Wnc (9)
Portanto, quando há forças não conservativas, a energia mecâ-
nica não é conservada e sua variação é justamente o trabalho
resultante das forças não conservativas:
∆E = Wnc (10)
Mas, se a energia mecânica não é conservada, para onde ela vai
(no caso de dissipação) ou de onde ela vem (no caso de haver um
ganho)?
12
Em 1843, James Prescott Joule (1818-1889) fez uma série de ex-
perimentos e descobriu que o calor, energia cinética e o trabalho
mecânico são apenas formas diferentes de energia. No mais fa-
moso, um peso preso a um fio ao cair fazia girar uma pá imersa na
água. Assim, ele mostrou que a energia potencial gravitacional
perdida pelo peso na descida era igual à energia interna obtida
pela água através do atrito com a palheta.
James Prescott Joule Experimento de Joule
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Em 1847, Hermann von Helmholtz (1821-1894) postulou que exis-
tia uma única energia, e que esta se manifestava em diferentes
formas.
Hermann von Helmholtz
Portanto, a variação da energia mecânica se deve a sua conversão
em calor, luz, som, ligações químicas, etc, e vice-versa.
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Exemplo 12.4 - Um bloco de massa 0,50 kg está sobre uma
superfície plana horizontal. Ele é empurrado contra uma mola
ideal comprimindo-a até uma distância 0,20 m. Quando o bloco
é liberado ele se move por uma distância 1,0 m antes de parar.
A constante da mola é igual a 100 N/m. Calcule o coeficiente
de atrito cinético entre o bloco e a mesa.
As Figuras abaixo ilustram as situações inicial e final do sistema,
onde: m = 0, 50 kg, d = 0, 20 m, s = 1, 0 m e k = 100 N/m.
y
x
m
k v = 0
−d
Estado inicial (i)
y
x
m
k v = 0
s
Estado final (f)
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O bloco para por causa da dissipação de energia mecânica devido
à força de atrito. A equação de conservação de energia é
Ef = Ei + Wat
Kf + Ug,f + Ue,f = Ki + Ug,i + Ue,i − Fat,cs
0 + 0 + 0 = 0 + 0 + 1
2
kd2 − Fat,cs
Isolando a força de atrito:
Fat,c =
kd2
2s
=
100(0, 20)2
2(1, 0)
= 2, 0 N
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Da definição da força de atrito cinético temos
Fat,c = µcN
onde, pelo diagrama de corpo livre,
N = mg
Portanto:
Fat,c = µcmg
µc =
Fat,c
mg
=
2, 0
0, 50(9, 8)
= 0, 41
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Exemplo 12.5 - Uma atleta de 65 kg caminha para fora de
uma plataforma de mergulho de 10 m e pula na água. Se ela
alcança uma profundidade de 4,5 m, qual é a força resistente
média da água sobre ela? Desconsidere a resistência do ar.
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A força de resistência ~FA da água é uma força não conservativa,
logo
Ef = Ei + WA
onde WA é o trabalho de ~FA no deslocamento de profundidade
d. Definindo y = 0 igual ao nível da água, temos
Kf + Ug,f = Ki + Ug,i + WA
0 + mg(−d) = 0 + mgh − FAd
Portanto, isolando FA:
FA =
mg(h + d)
d
=
65(9, 8)(10 + 4, 5)
4, 5
= 2, 1 × 103 N = 2, 1 kN
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Exercícios
12.1 Um corpo de 5,0 kg de massa é preso a uma mola na posição
vertical. A constante elástica da mola é igual a 2, 0 × 103 N/m.
(a) Se se permitir que a mola se alongue muito lentamente, de
que distância o corpo abaixará? (b) Agora o corpo, a partir
da posição da mola relaxada, é abandonadode maneira a cair
livremente. Qual a distância máxima que o corpo se deslocará
nesse caso?
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12.2 Uma bola de demolição balança na extremidade de um cabo
de 12,0 m sobre um arco circular vertical. O operador da grua
consegue imprimir à bola uma velocidade escalar de 5,00 m/s
quando a bola passa pelo ponto mais baixo de seu balanço e
depois deixa de dar qualquer assistência à bola. O atrito e a
resistência do ar são desprezíveis. Com que velocidade estará
a bola quando o cabo fizer um ângulo de 20, 0◦ em relação à
vertical?
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12.3 Na Figura abaixo, um carro se desloca sem atrito ao longo
do trilho. Ele parte do repouso no ponto A a uma altura h acima
da base do círculo de 10,0 m de raio com topo no ponto B. (a)
Qual é o menor valor de h para que o carro passe por C sem cair?
(b) Se h = 35, 0 m qual é a velocidade e a aceleração do carro no
ponto C, uma extremidade do diâmetro horizontal.
A
C
B
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12.4 Uma criança escorrega de uma colina de areia sentada em
um pedaço de papelão. No topo da colina, sua mãe lhe dá um
empurrão para atingir uma velocidade de 1,0 m/s para ela come-
çar a descida. A força de atrito que age no papelão é um terço do
peso combinado da criança e do papelão. Se ela percorre uma dis-
tância de 25 m e a sua velocidade na base da colina é de 4,0 m/s,
calcule o ângulo que a inclinação da colina faz com a horizontal.
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12.5 Um bloco (m = 2, 0 kg) é empurrado contra uma mola
(k = 400 N/m), comprimindo-a em d = 0, 250 m, como indica a
Figura. Quando o sistema é liberado o bloco se move ao longo de
uma superfície horizontal e então a partir da posição D = 60, 0
cm pode subir (ou não) um plano inclinado de θ = 35◦. Se os
coeficientes de atrito da superfície com o bloco são µc = 0, 30
e µe = 0, 50 em qual posição (x, y) o bloco voltará a estar em
repouso?
y
x
0 D
m
k v = 0
−d
θ
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Respostas
12.1 (a) 2,4 cm; (b) 4,9 cm
12.2 3,4 m/s
12.3 (a) 25, 0 m; (b) 22,1 m/s; (c) 50 m/s2
12.4 21◦
12.5 (8,9 cm, 0,27 cm)
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	12 - Conservação de energia