em volume3 fisica PROFESSOR

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Livro do Professor
Física
Volume 3
© Editora Positivo Ltda., 2015
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
M867 Dal Moro, Guilherme Andre.
Física : ensino médio / Guilherme Andre Dal Moro, Halina dos Santos França ; reformulação 
dos originais de Euler de Freitas Silva Júnior ; ilustrações DKO Estúdio, Jack Art. – Curitiba : 
Positivo, 2015.
v. 3 : il.
Sistema Positivo de Ensino
ISBN 978-85-385-9964-7 (Livro do aluno)
ISBN 978-85-385-9965-4 (Livro do professor)
1. Física. 2. Ensino médio – Currículos. I. França, Halina dos Santos. II. Silva Júnior, Euler 
de Freitas. III. DKO Estúdio. IV. Art, Jack. V. Título.
CDD 373.33
Presidente: Ruben Formighieri
Diretor-Geral: Emerson Walter dos Santos
Diretor Editorial: Joseph Razouk Junior
Gerente Editorial: Júlio Röcker Neto
Gerente de Arte e Iconografia: Cláudio Espósito Godoy
Autoria: Guilherme Andre Dal Moro e Halina dos Santos França; reformulação 
dos originais de: Euler de Freitas Silva Júnior
Supervisão Editorial: Jeferson Freitas
Edição de Conteúdo: Milena dos Passos Lima (Coord.) e Alysson Ramos Artuso
Edição de Texto: André Maurício Corrêa
Revisão: Chisato Watanabe
Supervisão de Arte: Elvira Fogaça Cilka 
Edição de Arte: Alexandra Mascari Cezar
Projeto Gráfico: YAN Comunicação
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©Shutterstock/Chalermpol, ©Shutterstock/Macrovector 
e ©Shutterstock/Blinka
Imagens de abertura: ©Shutterstock/Sussi, ©Shutterstock/iko
Editoração: Rafaelle Moraes
Ilustrações: DKO Estúdio e Jack Art
Pesquisa Iconográfica: Janine Perucci (Supervisão) e Camila França Filipaki
Engenharia de Produto: Solange Szabelski Druszcz
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2018
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05
06
Sumário
Energia e teoremas do trabalho e da energia ...4
Energia cinética .....................................................................................................6
Energia potencial ..................................................................................................9
Teoremas do trabalho e da energia ......................................................................14
Energia mecânica ................................................................................................19
Princípios conservativos ................................31
Sistemas conservativos ........................................................................................32
Sistemas não conservativos .................................................................................36
Quantidade de movimento ..................................................................................44
Impulso ...............................................................................................................46
Teorema do impulso e da variação da quantidade de movimento .......................49
Colisões ...............................................................................................................51
O projeto gráfico atende aos objetivos da coleção de diversas formas. As ilustrações, diagramas e figuras contribuem para a construção 
correta dos conceitos e estimulam um envolvimento ativo com temas de estudo. Sendo assim, fique atento aos seguintes ícones:
Representação artística
Imagem ampliada
Fora de escala numérica
Escala numérica
Imagem microscópica
Formas em proporção
Fora de proporção
Coloração semelhante ao natural
Coloração artificial
Acesse o livro digital e 
conheça os objetos digitais 
e slides deste volume.
Ponto de partida 
Energia e teoremas
 do 
trabalho e da energ
ia
05
 As usinas eólicas têm a capacidade de transformar a energia do movimento dos ventos em energia elétrica. A 
grande vantagem desse tipo de energia está relacionada ao fato de que o vento é uma energia renovável e limpa.
 No Brasil, a Região Nordeste tem grande potencial energético para esse tipo de energia, pois está sujeita a uma 
grande incidência de ventos.
1. O que você entende por energia limpa?
2. Em que outras situações do cotidiano a energia está presente? 
1
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 Imag
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kbank
4
Objetivos da unidade:
 definir energia cinética e energia potencial;
 resolver situações-problema que envolvam energia 
mecânica;
 relacionar a variação da energia cinética com a reali-
zação do trabalho de uma força;
 resolver situações-problema que envolvam os teore-
mas do trabalho e da energia.
tivos da unidade:
efinir energia cinética e energia potencial;
O termo energia está presente em 
diversas situações cotidianas. No artigo 
a seguir, observe as preocupações asso-
ciadas à energia em nosso país.
MOREIRA FILHO, Joel G. Crise energética brasileira. Disponível em: <http://diariodocomercio.com.br/noticia.php?tit=crise_energetica_
brasileira&id=134830>. Acesso em: 16 nov. 2014.
A compreensão dos termos associados à energia apresentados no texto é facilitada pelo contexto – consumo de 
energia no Brasil –, mas como poderíamos entender o que é energia em um sentido mais geral? 
A pergunta pode parecer bastante abstrata e uma das formas de respondê-la é por meio das propriedades asso-
ciadas à energia:
 • energia pode ser transferida de um corpo para 
outro;
 • energia pode ser transformada de um tipo em 
outro;
 • energia não pode ser destruída;
 • energia pode ser armazenada;
 • energia está relacionada à capacidade de se pro-
duzir movimento.
Na natureza, a energia se manifesta de diversas formas – por exemplo, nas ligações atômicas e moleculares (energia 
química), no som de um alto-falante (energia sonora), nas vibrações dos átomos e das moléculas (energia térmica), 
no movimento dos elétrons (energia elétrica), na emissão de fótons de luz (energia luminosa), na queda de um para-
quedista (energia mecânica). Na Mecânica, a energia está relacionada a dois fenômenos: um associado ao movimento 
de um corpo ou sistema de corpos (a cinética) e outro associado a posições dos corpos ou propriedades dos sistemas 
(a energia potencial, que ainda pode ser subdividida em energia potencial gravitacional e energia potencial elástica).
Nesta unidade, são contemplados, portanto, essas duas componentes da energia mecânica, suas principais carac-
terísticas e relações com nosso cotidiano.
A situação crítica de abastecimento com o período de forte estiagem e as elevadas temperaturas re-
gistradas nos últimos meses reacenderam uma discussão antiga entre os brasileiros: a possibilidade de 
racionamento de energia elétrica. O problema não é somente uma consequência da escassez de chuva. O 
crescimento populacional também acarreta a necessidade de uso racional da água, principal combustível 
das usinas hidrelétricas. Como não houve acréscimo proporcional da capacidade de armazenamento dos 
reservatórios nas hidrelétricas, a crise energética coloca em evidência a fragilidade do sistema de abas-
tecimento. A adoção de medidas efetivas é necessária para regularizar a distribuição e evitar o risco de 
racionamento.
O consumo de energia elétrica nas residências registrou, em janeiro, um aumento de 7,9%, em relação 
ao mesmo período no ano passado. Os dados foram divulgados pela Empresa de Pesquisa Energética 
(EPE), estatal federal que atua no planejamento do setor energético. Dos 866 gigawatts-hora (GW · h), 
consumidos a mais no mês, 257 GW · h foram na Região Sul, uma das mais afetadas pela onda de calor. 
O Operador do Sistema Elétrico (ONS) está com praticamente todo o parque de gerador térmico dispo-
nível para atender à demanda. Ainda assim,tem sido obrigado a esgotar, gradativamente, os reservatórios 
hidrelétricos para evitar o racionamento de energia.
5
Energia cinética
No termo Cinemática, o radical cine, derivado do grego, é o mesmo que aparece na palavra cinema e significa 
movimento. Cinemática é a parte da Física que estuda os movimentos; energia cinética é, então, o tipo de energia que 
um corpo tem quando está efetivamente em movimento em relação a um referencial.
Durante o desenvolvimento histórico dos conceitos da Dinâmica, dois filósofos tiveram destaque. De um lado, 
o francês René Descartes (1596-1650), que defendia que “a verdadeira medida do movimento ou da força de um 
corpo” era a quantidade m · v, sendo m a massa do corpo e v a velocidade. De outro, o alemão Gottfried Wilhelm 
Leibniz (1646-1716), que defendia a existência de uma “força viva” (vis viva) como responsável pelos movimentos. Essa 
grandeza seria dada por: m · v2.
ConexõesConexões
 Algumas curiosidades a respeito de energia: 
• a energia liberada em 10 minutos de atividade de um furacão supera aquela que seria liberada por todas as armas 
nucleares existentes no mundo detonadas em conjunto;
• um carro viajando a 80 km/h usa cerca de metade do seu combustível somente para compensar o trabalho reali-
zado pela resistência do ar; 
• se você gritar durante oito anos, sete meses e seis dias, produzirá energia sonora de valor equivalente à energia 
necessária para esquentar uma xícara de café;
• os Estados Unidos consomem aproximadamente 25% da energia elétrica mundial.
2 Breve histórico que relaciona os traba-
lhos de Einstein e a energia cinética.
Vários físicos renomados estudaram e deram contribuições para o desenvolvimento do conceito de energia cinética. 
Procure as principais definições históricas de energia (vis viva) conforme seus pesquisadores. 3 Texto de referência 
sobre vis viva.
O conceito de energia cinética tal qual conhecemos 
atualmente foi estabelecido pelo matemático francês 
Gaspard-Gustave Coriolis (1972-1843). Coriolis relacionou 
o conceito de trabalho ao conceito de energia cinética, 
evidenciando que, para isso, o conceito de vis viva, 
determinado por m ∙ v2, deveria ser expresso pela metade 
de seu valor. Dessa forma, para um corpo de massa m, 
que se movimenta com uma velocidade de módulo v, a 
energia cinética deve ser calculada conforme a equação:
E
m v
c =
⋅ 2
2
Nessa equação, a unidade de massa m é expressa em 
kg, e a de velocidade v, em m/s.
 Corpos em movimento em relação a 
um referencial têm energia cinética.
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ck
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31
12
 
6 Volume 3
30 m
No Sistema Internacional, a energia cinética do corpo é medida em joule (J). Em aplicações usuais, outras unidades 
de energia são bastante frequentes, como caloria (cal) e quilowatt-hora (kW ∙ h).
A definição de energia cinética evidencia que o valor da velocidade influencia significativamente na quantidade de 
energia de um móvel. Ao dobrar a velocidade de um corpo, a energia cinética é quadruplicada; ao triplicar a veloci-
dade de um corpo, a energia cinética é multiplicada por nove.
Essa relação quadrática entre a energia cinética e velocidade revela por que o aumento inadvertido de velocidade 
de um veículo eleva consideravelmente os riscos de um acidente.
Por exemplo, um veículo de 1 000 kg de massa a uma velocidade de 72 km/h (20 m/s) apresenta energia cinética 
de 200 000 J:
E E E Jc c c=
⋅ ⇒ = ⇒ =1000 20
2
400 000
2
200 000
2
Se a velocidade do veículo for aumentada para 144 km/h (40 m/s), um aumento de 100% na velocidade, a energia 
cinética aumenta para 800 000 J, um aumento de 300%:
E E E Jc c c=
⋅ ⇒ = ⇒ =1000 40
2
1600 000
2
800 000
2
Nessa situação, fica evidente que, ao dobrar a velocidade de um corpo, sua energia cinética quadruplica e, portan-
to, o trabalho necessário para pará-lo também é quadruplicado (lembrando que o trabalho é a grandeza relacionada 
à variação da energia). Quando a força de frenagem for a mesma, um trabalho multiplicado por quatro requer um 
deslocamento também multiplicado por quatro. Logo, se, na primeira situação, a distância de frenagem é de 30 m, na 
segunda, com a mesma força de frenagem, a distância será de 120 m (visto que a energia é o quádruplo).
Todo corpo em movimento em relação a um referencial tem energia cinética, uma grandeza escalar definida pela me-
tade do produto entre a massa de um corpo e o quadrado da velocidade. No SI, ela é representada por Ec e é medida em 
joule (J) ou kg m
s
⋅ 2
2
.
30 m 90 m
D
KO
 E
st
ú
d
io
. 2
01
5.
 D
ig
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l.
Física 7
Atividades
Gabaritos.4
1. Todo corpo em movimento em relação a um referencial 
tem energia cinética. Com base nos conceitos estuda-
dos sobre energia cinética e sua relação com a massa 
e a velocidade dos corpos, faça o que se pede.
a) O que ocorre com a energia cinética de um corpo 
quando sua massa duplica?
A energia cinética também duplica.
b) O que ocorre com a energia cinética de um corpo 
quando sua velocidade duplica?
A energia cinética quadruplica.
c) O que ocorre com a energia cinética de um corpo 
quando a velocidade é reduzida pela metade?
A energia cinética será um quarto do valor inicial.
d) Para que a energia cinética dobre, o que deve ocor-
rer com a velocidade?
A velocidade deve ser multiplicada pela raiz quadrada de dois.
2. Um ciclista pedala com velocidade constante de 
8,0  m/s. Sabendo que o conjunto (pessoa-bicicleta) 
tem massa de 75 kg, determine a sua energia cinética.g g
E
m v
E
E E
c c
c c
=
⋅
⇒ =
⋅
=
⋅
⇒ =
2 2
2
75 8
2
75 64
2
2400 J
3. Uma pessoa corre em um parque com uma velocidade 
de 10,8 km/h. Sabendo que sua energia cinética é de 
360 J, determine sua massa.
Primeiro é necessário converter a velocidade de km/h 
para m/s: v v= ⇒ =
10 8
3 6
3
,
,
m/s
E
m v m
m m kg
c =
⋅
⇒ =
⋅
= ⋅ ⇒ =
2 2
2
360
3
2
720 9 80
4. Em média, o corpo humano necessita de 2 500 kcal 
de energia para realizar as tarefas diárias, como an-
dar, pensar e manter as funções fisiológicas. Caso essa 
energia fosse utilizada para movimentar um veículo 
de 2 090 kg, qual seria a velocidade atingida por ele? 
Considere que 1 kcal = 4 180 J.q
Como 1 kcal = 4 180 J, temos que:
1 4 180
2 500
2 500 4 180 10 450 000
10 450 00
kcal J
E
E E J
c
c c
_____
_____
= ⋅ ⇒ =
00
2 090
2
20 900 000 2 090
20 900 000
2 090
10 000 100
2
2
2 2
=
⋅
⇒ = ⋅
= ⇒ = ⇒ =
v
v
v v v mm/s
5. Um corpo de massa 10 kg tem velocidade de 4,0 m/s. 
Se a velocidade dobrar, qual será o percentual de au-
mento da energia cinética do corpo?g p
E
m v
E
E E
E
m v
E
E
c c
c c
c c
c
=
⋅
⇒ =
⋅
=
⋅
⇒ =
=
⋅
⇒ =
⋅
=
⋅
2 2
2 2
2
10 4
2
10 16
2
80
2
10 8
2
10
J
664
2
320
80 100
240
300
⇒ =
=
E
x
x
c J
_____ %
_____
%
6. Segundo dados da Agência de Proteção Ambiental, 50% 
a 90% da poluição do ar nas grandes cidades é prove-
niente da combustão em veículos automotivos. Por isso, 
carros elétricos têm despertado o interesse de pessoas 
e governantes que se preocupam com o meio ambiente.
 Nesses veículos, a energia química é armazenada nas 
baterias e convertida em energia elétrica que, por sua 
vez, é convertida em energia mecânica, movimentando 
o veículo.
 Considere um veículo elétrico com massa de 1,0 tone-
lada que pode atingir a velocidade de 72 km/h. Con-
siderando que 80% da energia elétrica é transformada 
em energia cinética, determine a energia elétrica con-
sumida pelo veículo.
Sugestão de atividades: questões 1 a 4 da seção Hora de estudo.
8 Volume 3
Energia potencial 
Conforme foi mencionado, a energia mecânica apresenta-se em duas categorias: associada ao movimento (energia 
cinética) e associada à posição e às propriedades do sistema (energia potencial). Neste último caso, a energia está 
relacionada à possibilidade (potencial) de um corpo de adquirir movimento espontaneamente. Por esse motivo, a 
modalidade de energia relacionada a esse segundo caso é chamada de energia potenciale pode ser entendida como 
uma modalidade de energia armazenada que pode ser convertida em energia cinética pela realização de um trabalho. 
Por exemplo, um praticante de bungee-jump na extremidade da plataforma tem potencial para cair espontanea-
mente. Ou seja, uma vez que ele der um passo além da plataforma, seu corpo entrará em movimento de queda. Assim, 
enquanto está parado no alto da plataforma prestes a saltar, o sistema composto pela Terra e pela pessoa apresenta 
energia potencial. O mesmo ocorre quando um arqueiro mantém a corda do arco esticada pronta para o disparo da 
flecha. O sistema composto pela corda esticada e pela flecha tem energia potencial. Isso acontece também com molas 
esticadas ou comprimidas.
©
Sh
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tt
er
st
oc
k/
l i
 g
 h
 t
 p
 o
 e
 t
 A energia pode 
ser armazenada, 
convertendo-se 
em movimento 
potencial.
Repare na imagem do arqueiro esticando a corda com a flecha. Essa configuração fornece à flecha o potencial de 
entrar em movimento. Assim que o arqueiro soltá-la, ela será lançada com uma velocidade. É uma situação seme-
lhante à de um corpo que está sendo seguro a certa altura do solo – assim que ele for solto, entrará em movimento. 
Nesses dois casos, existe uma importante coincidência: antes de os corpos terem potencial para adquirir movimento, 
em algum instante, alguma força foi aplicada para colocá-los na posição em que esse potencial pode se manifestar. 
Para levantar um objeto até certa altura, é preciso jogá-lo para cima ou suspendê-lo; para esticar ou comprimir uma 
mola, é necessário puxar ou empurrar suas extremidades; para colocar uma flecha na posição de ser lançada, deve-se 
puxá-la com a corda que a dispara. Isso significa que, nesses processos, deve-se primeiramente armazenar a energia 
para que, em um segundo momento, ela seja utilizada e convertida em energia cinética ou outra forma de energia. 
Como veremos a seguir, o tipo de força que atua no sistema permite classificar a energia potencial.
Energia potencial gravitacional
Como o próprio nome sugere, energia potencial gravitacional é aquela que surge em virtude da interação gravi-
tacional entre dois corpos. Dessa forma, quando um objeto que se encontra no solo terrestre é elevado verticalmente 
até certa altura com velocidade constante, a força exercida sobre ele tem sentido oposto ao sentido da força peso. O 
resultado disso é que o sistema constituído pela Terra e por esse objeto adquire energia potencial gravitacional.
Relação entre energia potencial gravitacional e referencial adotado.5
Física 9
A
Δx
F
el
0
 A energia potencial gravitacional do 
atleta depende diretamente da altura da 
cachoeira.
A força peso, que atua sobre o objeto durante a sua queda, do ponto A 
até o chão, realiza um trabalho motor igual a:
τ τ τFP P P PF s P s m g h= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅Δ Δ
Energia potencial elástica
Outro tipo de energia potencial é aquela associada à ação da força elástica em molas ou elásticos quando são alon-
gados ou comprimidos. A energia potencial elástica também é um tipo de energia armazenada. 
Quando uma mola é comprimida ou esticada, ela realiza uma força que tem a tendência de restituir o seu tamanho 
A energia potencial gravitacional é uma grandeza escalar definida pelo produto entre a força peso que atua sobre 
um corpo e a altura em que ele se encontra do referencial de movimento. Todo corpo que apresenta uma altura em 
relação a um referencial tem energia potencial gravitacional. A energia potencial gravitacional é representada por Epg 
e é medida, no SI, em joule (J) ou kg m
s
⋅ 2
2
.
h
Am
P
g
Observe a figura abaixo, que mostra um corpo de massa m colocado em 
um ponto A, a uma altura h em relação ao chão.
©
Sh
u
tt
er
st
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k/
A
m
m
it 
Ja
ck
O trabalho realizado pela força peso é responsável por transformar a energia armazenada em função da altura e 
da aceleração da gravidade em energia cinética. Logo, a energia inicial que o corpo tem antes de iniciar sua queda, 
enquanto está na posição de altura h, é igual a m ∙ g ∙ h.
Essa energia armazenada no sistema pela ação da força gravitacional é denominada de energia potencial gravita-
cional e é determinada pela relação:
E m g hpg = ⋅ ⋅
Nessa equação, a unidade de massa m é o kg, a da gravidade g é o m/s2 e a da altura h é o m. Note que essa altura 
é medida em relação a algum nível de referência, normalmente em relação ao solo. Nesse caso, a energia potencial no 
chão é assumida como nula.
Durante a queda do corpo em uma região sem forças dissipativas, notamos uma redução da altura h em relação ao 
solo, o que implica a redução da energia potencial gravitacional. Simultaneamente, a velocidade do corpo aumenta, o que 
indica o aumento da energia cinética.
original. Essa força é denominada de força elástica e seu módulo é va-
riável durante a restituição. Assim, o trabalho da força elástica é deter-
minado pelo gráfico de uma função do 1.º grau (dessa força em relação 
à sua deformação).
τ τ τFel
el
Fel Fel
F x K x x K x
=
⋅
⇒ =
⋅ ⋅
⇒ =
⋅
2 2 2
2
Considere um pequeno bloco de massa m que é empurrado contra 
uma mola posicionada em uma superfície horizontal, sem atrito. Consi-
dere, ainda, a posição de equilíbrio da mola como sendo a posição x = 0. A força elástica aplicada por uma mola é 
diretamente proporcional à sua deformação.
10 Volume 3
 Estilingues são brinquedos em que a energia 
potencial é armazenada em virtude das 
propriedades elásticas e da deformação.
A força elástica apresenta sentido oposto ao sentido 
no qual o bloco é deslocado. Assim, para que o corpo seja 
mantido na posição A, é necessário que uma força seja 
aplicada para equilibrar a força elástica. Quando o objeto 
for solto, ou seja, quando essa força que mantém o cor-
po na posição A deixar de atuar, ele será empurrado pela 
mola, adquirindo velocidade. Não importa por quanto 
tempo o corpo é mantido em A, quando solto, entrará em 
movimento da mesma forma. Podemos concluir, então, 
que, enquanto a mola estiver comprimida, ela manterá 
uma quantidade de energia armazenada, denominada 
de energia potencial elástica.
De forma análoga, ao puxar o elástico de um estilingue, 
a força aplicada no brinquedo faz com que uma quanti-
dade de energia potencial seja armazenada no elástico e, 
posteriormente, utilizada para lançar o objeto que é preso 
a ele. Intuitivamente, sabemos que a quantidade de ener-
gia que é armazenada depende, basicamente, da defor-
mação provocada no elástico e da própria característica 
do elástico, isto é, da sua constante elástica.
Como a quantidade de energia armazenada em um 
elástico é igual ao trabalho da força elástica realizado du-
rante sua deformação, podemos concluir que a energia 
potencial elástica armazenada em uma mola ou elemen-
to elástico é igual a:
E
K x
pe =
⋅Δ 2
2
Nessa equação, K representa a constante elástica da 
mola ou elástico, e x, a deformação da mola. Observe 
que, de acordo com a equação da energia potencial elás-
tica, a quantidade de energia armazenada é proporcional 
à constante elástica da mola e proporcional ao quadra-
do da deformação aplicada. Isso implica que, ao dobrar 
a deformação de uma mola, a quantidade de energia 
armazenada quadruplica; ao triplicar a deformação, a 
quantidade de energia é multiplicada por nove, etc.
Análise gráfica da energia potencial elástica.6
Na balista, a corda de um arco de torção é tracionada para armazenamento de energia potencial elástica, que é 
transferida para a flecha, lançada em alta velocidade. O aríete medieval funciona com o armazenamento de energia 
potencial gravitacional, durante a elevação de um tronco de madeira, em um movimento pendular. O trabuco, uma 
das armas medievais de maior alcance, utiliza um contrapeso para girar o braço de lançamento. Na outra extremidade 
do braço de lançamento, é presa uma corda na qual é posicionado o projétil. Por fim, a catapulta de torção funciona 
por meio do acúmulo de energia potencial elásticaem virtude do arqueamento do braço de lançamento. Ao liberar o 
braço, a rápida restituição ao seu formato original provoca a transferência da energia cinética para o projétil.
Diversas armas medievais utilizavam princípios da energia potencial mecânica em seu funcionamento. 
ConexõesConexões
balista aríete trabuco catapulta
©
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oc
k/
b
u
n
ny
p
h
ot
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oc
k/
3D
 re
n
d
er
in
g
s
Física 11
Atividades
1. Um vaso de flor de 3,0 kg está sobre uma mesa de 
1,2 metro de altura. Determine a energia potencial gra-
vitacional do vaso considerando que o referencial é:
a) a própria mesa;) p p
Como não existe diferença de altura em relação ao 
referencial adotado, o vaso não tem energia potencial 
gravitacional em relação à mesa.
E m g h
E
E J
pg
pg
pg
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
3 10 0
0
b) o chão.)
E m g h
E
E J
pg
pg
pg
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
3 10 12
36
,
2. Uma criança sobe até o alto de um escorregador. Nesse 
ponto, ela tem 400 J de energia potencial gravitacional 
em relação ao solo. Considerando que sua massa é de 
20,0 kg, qual a altura do escorregador?g q g
E m g h
h
h m
pg = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
400 20 10
2
3. (UNESP – SP) As pirâmides do Egito estão entre as 
construções mais conhecidas em todo o mundo, entre 
outras coisas pela incrível capacidade de engenharia 
de um povo com uma tecnologia muito menos desen-
volvida do que a que temos hoje. A Grande Pirâmide 
de Gizé foi a construção humana mais alta por mais de 
4 000 anos.
 Considere que, em média, cada bloco de pedra tenha 
2 toneladas, altura desprezível comparada à da pirâmi-
de, e que a altura da pirâmide seja de 140 m. Adotando 
g = 10 m/s2, a energia potencial de um bloco no topo 
da pirâmide, em relação à sua base, é de:
a) 28 kJ.
b) 56 kJ.
c) 280 kJ.
d) 560 kJ.
X e) 2 800 kJ.)
E m g h E
E E kJ
pg pg
pg pg
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
= ⇒ =
2 000 10 140
2 800 000 2 800
4. Os amortecedores dos veículos são desenvolvidos para 
absorver a energia de impactos indesejados sobre a 
carroceria. Considere um veículo que tem uma mola 
de constante elástica igual a 20 000 N/m. Ao passar 
por um buraco, a mola se deforma 15,00 cm. Qual a 
energia absorvida pela mola?
E
K x
E
E J
pe
pe
pe
=
⋅
=
⋅
=
Δ 2
2
2
20 000 0 15
2
225
,
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/F
ox
ie
_
ak
a_
A
sh
es
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
A
fr
ic
a 
St
u
d
io
12 Volume 3
5. O arco e flecha foi regulamentado como esporte a 
partir do século XIX. Uma pessoa necessita lançar uma 
flecha com energia de 800 J. Sabendo que a constante 
elástica da corda do arco é 10 000 N/m, qual deve ser 
a deformação da corda em cm?ç
E
K x x
x x m
x cm
pe =
⋅
⇒ =
⋅
= ⇒ =
=
Δ Δ
Δ Δ
Δ
2 2
2
2
800
10 000
2
1600
10 000
0 4
40
,
6. Na ilustração a seguir, uma mola helicoidal foi 
inicialmente presa a um suporte por uma de suas 
extremidades. Depois, um corpo de massa igual a 320 g 
foi preso à extremidade livre da mola. 
 Com base nas informações, determine o que se pede.
a) A constante elástica da mola em N/m.)
F m a F P
F P K x m g
K
K
R el
el
= ⋅ ⇒ − =
= ⇒ ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
=
0
0 08 0 32 10
40
Δ
, ,
N/m
b) A energia potencial gravitacional armazenada pela 
mola.
E
K x
E
E J
pe
pe
pe
=
⋅
=
⋅
=
Δ 2
2
2
40 0 08
2
0 128
,
,
Depois
m
Antes
18 cm
10 cm
Ja
ck
 A
rt
. 2
01
0.
 D
ig
ita
l.
Sugestão de atividades: questões 5 a 12 da seção Hora de estudo.
Com base nas imagens abaixo, explique os conceitos de energia potencial gravitacional, energia cinética e energia 
potencial elástica.
Sugestão de resposta.7
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
C
h
ris
to
p
h
e 
M
ic
h
ot
©
iS
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ck
p
h
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o.
co
m
/l
ea
f 
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
Sh
am
sa
n
or
Organize as ideias
Física 13
Por exemplo, a água acumulada na 
barragem de uma hidroelétrica tem 
energia armazenada que pode ser 
transferida ou transformada. Isso ocorre 
mediante a realização de trabalho por 
parte da força gravitacional que atua 
sobre a água. A água contida em uma barragem apresenta energia potencial gravitacional.
"Na natureza, nada se cria e nada 
se perde, tudo se transforma."
Antoine Laurent de Lavoisier (1743-1794) 
Teoremas do trabalho e da energia
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
sn
ap
g
al
le
ria
iluminação 
residencial
reservatório barragem
linhas de energia 
casa de força
gerador
transformador
porta de controle fluxo de saídaturbinacomporta
dutos de água 
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
 F
la
xp
h
ot
os
Assim, o trabalho realizado pela força gravitacional transforma parte da energia potencial gravitacional acumulada 
em energia cinética (energia de movimento) no momento em que as comportas são abertas. Essa água é conduzida 
pelos dutos até chegar às turbinas, que utilizam a energia cinética para movimentar os geradores e produzir energia 
elétrica. A eletricidade é transmitida pelas linhas de energia até as residências.
O conceito de trabalho de uma força 
está diretamente relacionado à aplica-
ção de uma força, que, por sua vez, pode 
transformar um tipo de energia em ou-
tro ou transferir a energia entre diferen-
tes corpos em um sistema.
 A energia armazenada na represa é transformada em energia de movimento pela realização do trabalho da força peso.
14 Volume 3
O engenheiro de energia
O engenheiro de energia é um profissional capaci-
tado para trabalhar em sistemas, projetos, programas e 
unidades de geração de energia. Sua função compreen-
de análise, desenvolvimento e planejamento logís tico, 
de transporte, de distribuição e de utilização da ener-
gia. O engenheiro de energia pode ser alocado em: usi-
nas geradoras, como as hidrelétricas, termoelétricas e 
termonucleares; estações e subestações de distribuição 
de energia elétrica; refinarias de petróleo ou etanol e 
plataformas e poços de extração de petróleo; postos de 
trabalho administrativos, de controle e gestão.
O engenheiro de energia deve combinar habilidades e conhecimentos dos principais ramos das engenharias, 
como Engenharia Civil, Mecânica e Elétrica, e ainda as especificidades da produção energética, com foco nos setores 
locais e globais. Ele também deve ter profundo conhecimento de vários ramos da Física, como mecânica dos sólidos 
e dos fluidos, Termodinâmica, Eletromagnetismo e Eletrodinâmica, além de conhecimento de normas técnicas e de 
segurança dos sistemas com os quais trabalha.
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/M
ix
m
ik
e 
vi
ew
 Raciocínio lógico e destreza com números são algumas das 
habilidades exigidas dos engenheiros de energia.
8 Justificativa das demonstrações dos teoremas.
Ao longo deste volume, a energia e o trabalho foram 
citados e relacionados diversas vezes. Neste tópico, va-
mos investigar a relação entre trabalho e energia sob um 
ponto de vista quantitativo. Para isso, considere um cor-
po que se move horizontalmente sob ação de uma força 
resultante de módulo constante, partindo de um ponto 
A, com velocidade vA, e chegando a um ponto B, com 
velocidade vB. Essa relação pode ser ilustrada da seguinte 
maneira:
A dinâmica do movimento pode ser descrita pela 
2.ª Lei de Newton:
FR = m · a F m
v
t
R = ⋅
Δ
Δ
FR · t = m · (vB – vA) (I)
mm
F
R
v
A
v
B
Δs
A B
Como a força resultante é constante, a aceleração 
também será. Assim, a velocidade média do corpo 
ao longo do trajeto de A para B é igual a média das 
velocidades:
v
v v s
t
v v
t
s
v v
IIM
A B A B
A B
=
+
⇒ =
+
⇒ =
+2 2
2Δ
Δ
Δ
Δ
( )
Substituindo o intervalo de tempo t de (II) em (I), 
temos:
F
s
v v
m v v
F s
m
v v v v
R
A B
B A
R A B B A
⋅
+
= ⋅ −( )
⋅ = ⋅ +( )⋅ −( )
2
2
Δ
Δ
O lado esquerdo da igualdade é o trabalho da força 
resultante que atua sobre o corpo. Desenvolvendo o lado 
direito, temos:
τ τFR B A FR
B Am v v
m v m v
= ⋅ −( )⇒ = ⋅ − ⋅
2 2 2
2 2
2 2
O lado direito da igualdade corresponde à variação da 
energia cinética no percurso de A para B.
Mundo do trabalho
Física 15
Trabalhoe energia potencial 
De modo semelhante à análise feita entre o trabalho total realizado sobre um corpo e a variação da energia cinética, 
podemos analisar a relação entre as forças peso e elástica na variação da energia potencial de um sistema mecânico.
Trabalho da força peso e variação da energia potencial 
Por fim, quando o corpo atinge o solo, sua energia potencial gravitacional é nula e, assim, podemos determinar a 
variação da energia potencial gravitacional: 
E m g h
E
pgi
pgf
= ⋅ ⋅
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ 0
 
Δ
Δ
E E E
E m g h
pg pgf pgi
pg
= −
= − ⋅ ⋅
m
m
P
Δs
m
m
g
h
E
pgi
 = m · g · h
E
pgf
 = 0
Pela definição de trabalho de uma força constante e paralela ao deslocamento – produto da força aplicada pelo deslo-
camento –, temos que o trabalho aplicado pela força peso na queda do objeto é igual a:
τ τ
τ
P P P
P
F s P s
m g h
= + ⋅ ⇒ =+ ⋅
= + ⋅ ⋅
Δ Δ
9 Informações sobre o teorema da energia cinética.
10 Sugestão de resposta para a pesquisa.
O físico alemão Albert Einstein (1879-1955) foi um dos grandes destaques da História da Ciência. Sua Teoria da 
Relatividade, por exemplo, provocou mudanças profundas na concepção que o ser humano tinha do Universo. Faça 
uma pesquisa sobre esse cientista, cite alguns de seus pensamentos e explique o significado da expressão E m c= ⋅ 2.
Considerando que a velocidade no ponto B (vB) tem módulo superior à velocidade no ponto A (v A), concluímos que 
houve um aumento de energia cinética. Esse acréscimo de energia cinética deve-se ao trabalho mecânico realizado pela 
força resultante. 
Essa relação entre o trabalho realizado pela força resultante sobre um corpo e a energia cinética é denominada de 
teorema trabalho – energia cinética, em outras palavras: o trabalho total realizado em um corpo é igual à variação 
da energia cinética. 
v
A
ECA ECB
v
B
m
τ
total
m
Considere um corpo de massa m, inicialmente a uma altura h em 
relação ao solo. Desprezando-se a força de arrasto do ar, nesse corpo é 
aplicada somente a força peso, vertical para baixo.
Como estudamos anteriormente, o trabalho da força peso na queda 
de um corpo é positivo (trabalho motor), uma vez que a força peso e o 
deslocamento estão ambos orientados no mesmo sentido, para baixo. 
Nessa equação, o peso do corpo é igual à massa m multiplicada pela 
aceleração da gravidade g e pelo deslocamento, correspondente à al-
tura h.
No ponto de altura máxima, esse corpo tem uma energia potencial 
gravitacional determinada por: E m g hpg = ⋅ ⋅ . À medida que ele desce, 
sua altura em relação ao solo diminui e, consequentemente, sua energia 
potencial gravitacional também diminui.
 A queda 
de corpos 
provoca uma 
transformação 
de energia.
 A energia 
potencial 
gravitacional 
diminui 
conforme a 
queda de um 
corpo.
τ
τ
τ
total c
total c f ci
total
E
E E
m v m v
=
= −
=
⋅
−
⋅
Δ
2
0
2
2 2
16 Volume 3
 A força elástica aplicada por uma mola é proporcional à 
constante elástica e à sua deformação.
Por fim, quando a mola retorna a sua posição de equilíbrio, a energia potencial 
elástica do sistema é nula e, então, podemos determinar a variação da energia 
potencial elástica: 
E
K x
E
pei
pe f
= ⋅
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Δ 2
2
0
 
Δ
Δ Δ
E E E
E
K x
pe pe f pei
pe
= −
= − ⋅
2
2
Como a potência média pode ser dada por P
t
ot =
τ
Δ
, com os teoremas que acabamos de estudar, fica evidente que, 
para calcular o módulo da potência, também podemos utilizar a variação de energia no numerador dessa fração. De 
forma equivalente, é possível calcular a variação de energia por E = Pot · t, o que justifica a energia às vezes ser ex-
pressa em watt-hora (W · h) ou em quilowatt-hora (kW · h) – é uma maneira prática de fazer o cálculo quando a potência 
é dada em watts ou quilowatts e o tempo está sendo medido em horas.
Comparando o trabalho realizado pela força peso τP m g h= + ⋅ ⋅( ) à variação da energia potencial gravitacional 
ΔE m g hpg = − ⋅ ⋅( ), podemos concluir que: τP pgE= −Δ
Trabalho da força elástica e variação da energia potencial 
Δx
F
el
x x
0
F
xx
Kx
A = τN F
E
pef
 = 0
Δx
F
el
E
pei
 =
K ∙ Δx2
2
Considere um corpo de massa m ligado horizontal-
mente a uma mola deformada de uma posição de equi-
líbrio (x0 = 0) até uma posição x. Desprezando-se a força 
de atrito entre o bloco e o solo, a força resultante aplica-
da sobre o corpo, na direção horizontal, é a força elástica, 
que aponta para a direita. 
O trabalho realizado pela força elástica na restituição da mola à sua posição inicial é motor e tem módulo numeri-
camente igual à área do gráfico que representa a força aplicada pela mola em função do seu deslocamento.
τFel
K x
=
⋅Δ 2
2
Na equação, K representa a constante de elasticidade da mola e x representa o deslocamento do objeto enquanto 
a mola retorna ao tamanho natural (deformação da mola).
Já a energia potencial elástica, para uma posição x em relação à posição de equilíbrio x0, é dada por: 
E
K x
pe =
⋅Δ 2
2
À medida que a mola restitui seu formato natural, a energia potencial armazenada diminui, o que pode ser obser-
vado pela redução da deformação da mola.
Comparando o trabalho realizado pela força elástica τFel
K x
=
⋅⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
Δ 2
2
 com a variação da energia potencial elástica 
Δ ΔE K xpe = −
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
2
, podemos concluir que: τFel peE= −Δ
Percebemos então que o trabalho da força peso ou da força elástica está relacionado à variação da energia poten-
cial de um sistema, conforme a equação:
τF pE= −Δ
Física 17
Atividades
11 Gabarito.
1. Uma caixa de massa igual a 10 kg desliza sobre um 
plano horizontal perfeitamente liso (sem atrito), exe-
cutando um movimento retilíneo. Determine o trabalho 
realizado pela força resultante F que altera a velocida-
de da caixa de 36 km/h para 72 km/h. p
τ τ
τ τ
F c F
F i
F F
E
m v m v
= ⇒ =
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
⇒ =
Δ
2 2
2 2
2 2
10 20
2
10 10
2
1500 J
2. Um carrinho de supermercado cheio de compras tem 
massa de 20 kg. Ele é empurrado por 4,0 metros até o 
caixa por uma força resultante de 10 N. Sabendo que o 
carrinho estava inicialmente em repouso e que o piso é 
perfeitamente liso, determine:
a) a energia cinética final do carrinho; ) g
τ F c c f c i
c f
c f c f
E F s E E
F s E
m v
E E
= ⇒ ⋅ = −
⋅ = −
⋅
⋅ = −
⋅
⇒ =
Δ Δ
Δ 0
2
2
2
10 4
20 0
2
40 J
b) a velocidade final do carrinho. )
E
m v v
v v v
c f
=
⋅
⇒ =
⋅
= ⇒ = ⇒ =
2 2
2 2
2
40
20
2
80
20
4 2 m/s
3. Um casal está trafegando de carro por uma estra-
da sem movimento, com velocidade constante de 
72,0 km/h. Ao passar por uma placa que indica uma 
lombada a 100 metros, o freio é imediatamente acio-
nado, reduzindo uniformemente a velocidade do veícu-
lo, que chega à lombada com velocidade de 36,0 km/h. 
Considerando que a indicação da placa era precisa e 
que a massa total do veículo com seus passageiros é 
de 1 200 kg, determine: (Desprezar a resistência do ar.)
a) o trabalho da força de atrito. ) ç
τ τ
τ
τ
Fat c Fat c f c i
Fat
Fat
E E E
m v m v
= ⇒ = −
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
Δ
2
0
2
2
2 2
1200 10
2
1200 220
2
60 000 240 000
180 000
2
τ
τ
Fat
Fat
J
= −
= −
b) o módulo da força de atrito. ) ç
τ Fat at
o
at
at
F s
F
F N
= ⋅ ⋅
− = ⋅ ⋅ −( )
=
Δ cos180
180 000 100 1
1 800
4. O tênis é um esporte de origem inglesa que tem como 
objetivo rebater uma bolinha além da rede, fazendo-a 
tocar no chão da quadra adversária. Um de seus fun-
damentos decisivos é o saque, que pode superar os 
270 km/h. 
 Considere que um tenista profissional tenha realizado 
um saque com velocidade de 252 km/h utilizando uma 
bolinha de 60 g. Em virtude do arrasto (força de resis-
tência com o ar) e do peso, a bolinha atinge o solo da 
quadra adversária com velocidade de 234 km/h. Cal-
cule o trabalho realizado pela força resultante. p ç
τ τ
τ
τ
FR c FR c f c i
FR
FR
E E E
m v m v
= ⇒ = −
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
Δ
2
0
2
2 2
2 2
0 06 65
2
0 06 70
2
, ,
ττ τFR FR J=− ⇒ = −126 75 147 20 25, ,
©
Is
to
ck
p
h
ot
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/A
ks
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ov
18 Volume 3
Energia mecânica
Ainda neste capítulo, citamos o exemplo de uma pessoa saltando de bungee-jump. Quando a corda começa a frear 
a queda, a pessoa está em movimento, encontra-se em certa posição em relação ao solo e também o cabo que a pren-
de encontra-se deformado. Esse é um exemplo no qual podemos observar a presença das energias cinética, potencial 
gravitacional e potencial elástica ao mesmo tempo. 
As energias cinética e potencial dependem de fatores diferentes. Enquanto a energia cinética está associada à 
velocidade de um corpo, a potencial está associada à posição que ele ocupa em relação a certo nível de referência. 
5. (PUC-SP) Um garoto corre com velocidade de 5 m/s em 
uma superfície horizontal. Ao atingir o ponto A, passa a 
deslizar pelo piso encerado até atingir o ponto B, como 
mostra a figura.
 Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, 
o coeficiente de atrito cinético entre suas meias e o 
piso encerado é de:
a) 0,050
X b) 0,125
c) 0,150
d) 0,200
e) 0,250
) ))
τ
μ
μ
Fat c at c f c i
E F s E E
m g s
m v m v
= ⇒ ⋅ = −
⋅ / ⋅ ⋅ =
/ ⋅ − /
⋅
⋅ ⋅ − =
Δ Δ
Δ
2
0
2
2 2
10 10( )
00
2
5
2
100 12 5 0 125
2 2
−
− ⋅ = − ⇒ =μ μ, ,
6. (UFPB) Um avião decola e segue, inicialmente, uma 
trajetória de ascensão retilínea por 3 km, formando um 
ângulo de 30º com a horizontal. Se a força gravitacional 
realizou um trabalho de −1,5 · 108 J, a massa do avião, 
em toneladas, vale:
X a) 10
b) 5
c) 4,5
d) 1,5
e) 1,0
Sugestão de atividades: questões 13 a 21 da seção Hora de estudo.
©iStockphoto.com/mayo5
 A corda utilizada no bungee-jump tem 
um grande coeficiente de deformação, 
que interfere na conversão da energia 
cinética em energia potencial.
Física 19
 A energia potencial gravitacional é transformada em energia cinética 
em virtude da realização do trabalho da força peso.
Etapa 1: Conversão de energia potencial gravitacional em energia cinética.
No deslocamento da posição mais alta para a posição mais baixa, observamos a realização de um trabalho positi-
vo da força peso, uma vez que o deslocamento tem uma componente para baixo e a força peso também está orien-
tada para baixo. Logo, de acordo com o teorema trabalho – energia cinética, o trabalho da força peso é responsável 
por aumentar a energia cinética do sistema, conforme a expressão:
τ FP cE= Δ
Uma vez que a força de 
tração é perpendicular ao 
deslocamento do balanço 
em todos os pontos da 
trajetória, o trabalho da 
força de tração é nulo.
A ilustração apresenta uma criança em um balanço, em três 
pontos de sua trajetória. Considere o ponto mais baixo da trajetó-
ria como ponto no qual a energia potencial gravitacional é nula. Na 
posição mais alta, a energia mecânica é unicamente potencial gra-
vitacional. Na posição mais baixa, a energia mecânica é unicamente 
cinética. Entre as duas posições, o corpo da criança tem ambos os 
tipos de energia.
Mas o que faz com que a energia mecânica do corpo da criança 
alterne entre energia cinética e energia potencial gravitacional?
Nessa situação, o responsável por transformar a energia poten-
cial gravitacional em energia cinética, e vice-versa, é o trabalho da 
força peso. Vamos analisar o sistema em etapas.
12 Revisão energias cinética e potencial.
A energia mecânica é uma grandeza escalar definida pela soma da energia cinética e da energia potencial de um 
sistema mecânico. Ela é representada por Em e é medida em joule (J) ou 
kg m
s
⋅ 2
2
 no SI.
A soma das energias cinética e potencial de um corpo é denominada energia mecânica e pode ser calculada da 
seguinte forma:
E E Em c p= +
E
pg
E
pg 
= E
C
E
c
E
pg
E
c
τ
FP
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
Ro
b
er
t 
A
d
ria
n
 H
ill
m
an
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
Ro
b
er
t 
A
d
ria
n
 H
ill
m
an
Por outro lado, a realização de um trabalho positivo da for-
ça peso implica uma redução da energia potencial gravitacio-
nal, conforme a expressão:
τ FP pgE= −Δ
Dessas duas relações, temos então que, para esse sistema, 
o aumento da energia cinética – e, portanto, o aumento da 
velocidade da criança – é acompanhado de uma redução da 
energia potencial – e, portanto, redução da altura relativa ao 
solo. Assim:
Δ ΔE Ec pg= −
 Em um balanço, uma criança apresenta 
energia cinética e potencial, alternadamente.
20 Volume 3
Atividades
 A energia cinética é transformada em energia potencial 
gravitacional em virtude da realização do trabalho da força peso.
13 Possibilidade de introdução do princípio de conservação da energia mecânica.
14 Gabarito.
Etapa 2: Conversão de energia cinética em energia potencial gravitacional.
No deslocamento da posição mais baixa para a posição mais alta, o trabalho da força peso é negativo, uma vez 
que o deslocamento tem uma componente para cima e a força peso está orientada para baixo. Nessa situação, então, 
observamos a redução da energia cinética do sistema, uma vez que sua variação é negativa, conforme a expressão:
− = −τ FP cEΔ
1. A energia mecânica é definida pela adição aritmética entre a energia cinética e a energia potencial de um corpo ou 
sistema. Ela está presente em diversas situações do cotidiano. Considerando o referencial adotado como sendo a 
Terra, relacione as imagens com o(s) tipo(s) de energia(s) mecânica(s) presente(s).
 (EC) Energia cinética
 (EPG) Energia potencial gravitacional
 (EPE) Energia potencial elástica
a) Pessoa pedalando: 
EC
b) Pessoas saltando em uma cama elástica: 
EC, EPG e EPE
©
iS
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ck
p
h
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So
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b
is
E
pg
E
c
–τ
FP
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
Ro
b
er
t 
A
d
ria
n
 H
ill
m
an
No entanto, em virtude da realização de um trabalho nega-
tivo, observamos um aumento da energia potencial gravitacio-
nal, conforme a expressão:
− =τ FP pgEΔ
Dessas relações, podemos concluir que, para esse sistema, a 
redução da energia cinética – e, portanto, a redução da veloci-
dade da criança – é acompanhada de um aumento da energia 
potencial gravitacional – e, portanto, aumento da altura relativa 
ao solo. Assim:
− =Δ ΔE Ec pg
Física 21
E E E m g h
E E J
m pg m
m m
= ⇒ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⇒ =30 10 16 480,
No alto do escorregador, existe apenas energia poten-
cial gravitacional.
3. Atualmente, os tênis são desenvolvidos para absorver 
a maior parte do impacto e reduzir os efeitos sobre o 
corpo, mas nem sempre foi assim. O desenvolvimen-
to de solados apropriados para cada tipo de atividade 
passou por diversas etapas. Uma das histórias mais 
curiosas nesse desenvolvimento ocorreu por volta de 
1971, quando Bill Bowerman inovou utilizando borra-
cha líquida moldada em uma máquina de waffle.
 Segundo dados do Inmetro, calçados confortáveis são 
aqueles que absorvem mais de 50% da energia dos 
impactos. Considere um calçado de alta performance 
que absorve 80% da energia mecânica de uma pessoa 
correndo. Caso a energia mecânica durante a corri-
da seja de 1 500 J, qual o impacto transferido para o 
corpo?
300 J
4. Uma criança de 30 kg desce um escorregador de 
1,6  metro partindo do repouso. Quando ela está na 
metade do escorregador, sua velocidade é de 3 m/s. 
Determine o valor da energia mecânica:
a) no alto do escorregador;
b) na metade do escorregador.
c) Carrinho de montanha-russa em movimento: 
EC e EPG
2. A ilustração a seguir representa parte do trilho de um 
carrinho de montanha-russa. No ponto A, o carrinho 
parte do repouso; nos pontos B e D não existe varia-
ção da altura em relação ao solo. Considerando o solo 
como ponto de referencial zero, indique que tipo de 
energia mecânica está presente em cada um dos qua-
tro pontos destacados.
a) Ponto A: Energia potencial gravitacional. 
b) Ponto B: Energia cinética. 
c) Ponto C: Energia potencial gravitacional e energia cinética.
d) Ponto D: Energia cinética. 
E E E
E m g
h m v
E
E J
m pgc
m
m
m
= +
= ⋅ ⋅ +
⋅
= ⋅ ⋅ +
⋅
= + =
2 2
30 10
16
2
20 3
2
240 90 330
2
2,
Na metade do escorregador, há energia potencial gravi-
tacional e energia cinética.
D
C
B
A
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
C
h
am
el
eo
n
sE
ye
22 Volume 3
Organize as ideias
 As escadarias de Santa Teresa receberam mais de 2 mil 
azulejos diferentes, de mais de 60 países.
E E E
E
m v
m g h
E
E E J
m c p
m
m
m m
= +
=
⋅
+ ⋅ ⋅
=
⋅
+ ⋅ ⋅
= + ⇒ =
2
2
2
60 1
2
60 10 15
30 900 930
,
Nessa situação, o corpo tem apenas energia cinética e 
energia potencial gravitacional.
5. Os saltos de bungee-jump compõem um esporte radical no qual a pessoa salta de lugares altos presa por uma corda 
elástica. Considere que uma pessoa de massa igual a 80 kg realiza um salto de bungee-jump. Ao atingir a altura de 20 
metros do solo, a corda chega à sua deformação máxima, de 10 metros. Sabendo que a constante elástica da corda 
é de 35 N/m, qual a energia mecânica em relação ao solo no ponto mais baixo da queda?q g ç p q
Como a energia cinética no ponto mais baixo da queda é nula, temos apenas energia potencial gravitacional e energia potencial 
elástica.
Em = Epg + Epe Em = m · g · h + 
K x⋅ Δ 2
2
Em = 80 · 10 · 20 + 
35 10
2
2⋅
Em = 16 000 + 1 750 Em = 17 750 J
6. As escadarias de Santa Teresa são um dos vários pontos turísticos do Rio de Janeiro. Os 215 degraus foram decora-
dos com azulejos coloridos por Jorge Selarón e compõem uma bela obra ao ar livre, que atrai diversos turistas para a 
região.
 Considere que um turista de massa igual a 60 kg sobe as escadarias com velocidade constante de 1,0 m/s e que cada 
degrau tem 15 cm de altura. Qual a energia mecânica da pessoa ao atingir o décimo degrau?
energia cinética – energia potencial – energia potencial gravitacional – 
energia potencial elástica – trabalho – velocidade – altura e deformação
Utilizando os conceitos físicos a seguir, elabore um resumo sobre os dois teoremas estudados nesta unidade: energia 
mecânica e teorema do trabalho e variação da energia cinética.
Sugestão de resposta.15
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/C
at
ar
in
a 
Be
lo
va
Sugestão de atividades: questões 22 a 27 da seção Hora de estudo.
Física 23
Velocidade, transferência de energia e lesões
A velocidade tem sido identificada como um fator-chave de risco para as lesões causadas pelo 
trânsito, tendo influência tanto no risco de colisões quanto na gravidade das lesões que delas 
resultam. Velocidades mais elevadas levam a um maior risco de colisão e uma maior probabilidade 
de lesões graves. Isto porque, conforme a velocidade aumenta, o mesmo acontece com a distância 
percorrida durante o tempo de reação do condutor e a distância necessária para parar. Além disso, em 
alta velocidade, os efeitos dos erros dos condutores são ampliados. Em uma colisão, quanto maior a 
velocidade, maior a quantidade de energia mecânica (cinética) que deve ser absorvida pelo impacto. 
Daí, maior a probabilidade de lesões graves.
De acordo com as pesquisas, lesões graves são resultados de uma “troca de energia”. Durante uma 
colisão, as lesões resultam da transferência de energia para o corpo humano em quantidades e taxas 
que danificam a estrutura celular, os tecidos, os vasos sanguíneos e outras estruturas do corpo. Isso 
inclui a energia cinética, por exemplo, quando a cabeça de um passageiro de um automóvel se choca 
contra o para-brisa durante uma colisão. Das várias formas de energia – cinética, química, térmica, 
elétrica e por radiação – a transferência de energia cinética é que mais contribui para a lesão. Para 
pesquisadores e profissionais que trabalham para a prevenção de lesões causadas pelo trânsito, é 
interessante entender a biomecânica das lesões por energia cinética. Isso irá ajudá-los a desenvolver 
medidas para limitar a geração, a distribuição, a transferência e os efeitos dessa forma de energia 
durante uma colisão no trânsito.
Independentemente de saber se a energia cinética é gerada por uma colisão em um veículo 
motorizado, um tiro ou uma queda, a força a que o tecido humano está sujeito no momento do 
impacto é o produto da massa e da velocidade envolvidas. A energia cinética a ser absorvida é igual 
à metade da massa multiplicada pelo quadrado da velocidade – mostrando bem que o efeito da 
velocidade é muito maior com o aumento da velocidade. O nível de dano ao corpo dependerá da 
forma e da rigidez da superfície ou do objeto da colisão, mas a velocidade geralmente desempenha 
o papel mais crítico.
Em uma colisão, é fisicamente impossível para qualquer ocupante segurar firmemente um objeto 
solto como, por exemplo, uma criança. Em uma colisão a apenas 50 km/h, o peso da criança vai de 
fato ser multiplicado por 20 e em uma fração de segundo, um bebê de 5 kg parecerá pesar 100 kg. 
Usuários vulneráveis das vias públicas, como pedestres, ciclistas, condutores de ciclomotor ou 
motociclistas correm um alto risco de lesão grave ou fatal quando um veículo a motor colide com 
eles. Isto se deve ao fato de que, muitas vezes, eles são completamente desprotegidos ou, no caso de 
um motociclista, têm uma proteção muito limitada. A probabilidade de um pedestre ser morto, se 
atingido por um veículo motorizado aumenta consideravelmente com a velocidade. [...]
Física em foco
O texto a seguir é um fragmento do manual de segurança viária desenvolvido com o apoio das Organização 
Mundial de Saúde (OMS), do Global Road Safety Partnership e do Banco Mundial e traduzido para o português 
pela Organização Pan-Americana da Saúde. O objetivo é esclarecer o motivo pelo qual a gestão da velocidade é 
fundamental.
ORGANIZAÇÃO PAN-AMERICANA DA SAÚDE. Gestão da velocidade: um manual de segurança viária para gestores e profissionais da área. 
Brasília, D.F., OPAS, 2012.
24 Volume 3
Hora de estudo
1. Os questionamentos sobre a liberação do uso de armas 
de fogo são constantemente apresentados pela mídia 
e pelos governantes. Vários são os argumentos pró e 
contra essa liberação. Fisicamente, o que se tem de 
concreto é o perigo que esse tipo de arma representa, 
e um dos motivos está relacionado à energia contida 
em um tiro. Considere que um projétil de 20,00 g é 
disparado com velocidade de 1 440 km/h. Qual é a 
energia cinética do projétil?
2. Para o estudo do Universo e suas características, os 
foguetes tripulados e não tripulados são bastante 
utilizados. Considere que um foguete projetado para 
estudar os processos solares tenha uma massa de 
6 toneladas e atinja a velocidade de 252 000 km/h. 
Qual a energia mínima necessária para fazer com 
que esse foguete atinja essa velocidade partindo do 
repouso? 
3. (UDESC) Três homens, João, Pedro e Paulo, correm 
com velocidades horizontais constantes de 1,0 m/s, 
1,0 m/s e 2,0 m/s respectivamente (em relação a O, 
conforme mostra a figura 4). A massa de João é 50 kg, 
a de Pedro é 50 kg e a de Paulo é 60 kg.
 As energias cinéticas de Pedro e Paulo em relação a 
um referencial localizado em João são: 
X a) 0 J e 30 J
b) 25 J e 120 J
c) 0 J e 0 J
d) 100 J e 270 J
e) 100 J e 120 J
4. (FGV – RJ) Segundo o manual do proprietário de 
determinado modelo de uma motocicleta, de massa 
igual a 400 kg, a potência do motor é de 80 cv 
(1 cv ≅ 750 W).
 Se ela for acelerada por um piloto de 100 kg, à plena 
potência, a partir do repouso e por uma pista retilínea e 
horizontal, a velocidade de 144 km/h será atingida em, 
aproximadamente,
a) 4,9 s
b) 5,8 s
c) 6,1 s
X d) 6,7 s
e) 7,3 s
16 Gabarito.
1. De acordo com o texto, qual é o motivo das lesões graves em acidentes de trânsito?
2. Pesquise em fontes confiáveis a probabilidade de uma lesão fatal no caso de um atropelamento conforme ocorre o 
aumento da velocidade do veículo. 
17 Gabarito.A resolução das questões desta seção deve ser feita no caderno.
25Física
5. Responda às questões a seguir.
a) A energia cinética pode ser armazenada, isto é, 
é possível guardar certa quantidade de energiacinética por algum tempo para que ela seja utilizada 
depois?
b) E a energia potencial pode ser armazenada?
c) Um corpo pode ter simultaneamente energia cinéti-
ca e energia potencial? Dê um exemplo.
d) Um corpo pode ter simultaneamente energia poten-
cial gravitacional e energia potencial elástica? Dê 
um exemplo.
6. Um livro de 250 g está em repouso sobre uma 
prateleira da estante. A prateleira está a 1,8 metro do 
solo e a aceleração da gravidade é 10 m/s2. Qual a 
energia potencial gravitacional armazenada pelo livro 
em relação ao solo?
7. (UNIPAR – PR) Na modalidade do salto em altura, um 
atleta de massa igual a 60 kg consegue saltar, com 
relativa facilidade, uma altura de 2,0 m, consideran-
do g = 9,8 m/s2. Utilizando essa mesma quantidade 
de energia, se esse salto fosse realizado na Lua 
(g = 1,6 m/s2), a altura do salto atingida por esse atleta 
seria de:
X a) 12,25 m
b) 11,50 m
c) 10,80 m
d) 9,75 m
e) 9,25 m
8. (VUNESP – SP) Avalia-se que 25% da energia fornecida 
pelos alimentos é destinada, pelo nosso organismo, 
para atividades físicas. A energia restante destina-se à 
manutenção das funções vitais, como a respiração e a 
circulação sanguínea, ou é dissipada na forma de calor, 
através da pele. Uma barra de chocolate de 100 g 
pode fornecer ao nosso organismo cerca de 470 kcal. 
Suponha que uma pessoa de massa 70 kg quisesse 
consumir a parcela disponível da energia fornecida por 
essa barra para subir uma escadaria.
 Sabendo que cada andar tem 3 m de altura, admitindo 
g = 10 m/s2 e sendo 1,0 cal = 4,2 J, é possível afirmar 
que o número de andares que essa pessoa deveria 
subir é, aproximadamente, de:
a) 700
b) 480
c) 300
X d) 235
e) 100
9. Em um saque de vôlei, a bola sofre uma deformação 
que permite um acúmulo de energia potencial elás-
tica. Considere que a bola sofra uma deformação de 
5 cm em virtude da ação de uma força. Qual a ener-
gia potencial armazenada pela bola sabendo que 
K = 40 000 N/m?
10. (PUC-Rio – RJ) Um sistema mecânico é utilizado para 
fazer uma força sobre uma mola, comprimindo-a.
 Se essa força dobrar, a energia armazenada na mola.
a) cairá a um quarto.
b) caíra à metade.
c) permanecerá constante.
d) dobrará.
X e) será quadruplicada.
11. Um bloco A, de massa igual a 20,0 kg, está em 
repouso sobre um plano inclinado que faz um ângulo 
θ de 30° com a horizontal. Entre o plano e o bloco, 
não existe atrito, e o bloco está preso a um cabo ideal, 
que é ligado a uma mola de constante elástica igual a 
200 N/m. Considerando que a aceleração gravitacional 
é igual a 10,0 m/s2, determine a energia armazenada 
pela mola.
A
12. (UNICAMP – SP) Sensores de dimensões muito pequenas 
têm sido acoplados a circuitos microeletrônicos. Um 
exemplo é um medidor de aceleração que consiste de 
uma massa m presa a uma micromola de constante 
elástica k. Quando o conjunto é submetido a uma 
aceleração a, a micromola se deforma, aplicando uma 
força Fel na massa (ver diagrama abaixo). O gráfico 
abaixo do diagrama mostra o módulo da força aplicada 
versus a deformação de uma micromola utilizada num 
medidor de aceleração.
26 Volume 3
Alvo28,349 m
45,72 m
Limite para o 
lançamento
15. (UNESP – SP) Uma das modalidades esportivas em que 
nossos atletas têm sido premiados em competições 
olímpicas é a de barco a vela. Considere uma situação 
em que um barco de 100 kg, conduzido por um vele-
jador com massa de 60 kg, partindo do repouso, se 
desloca sob a ação do vento em movimento acelerado, 
até atingir a velocidade de 18 km/h. A partir desse ins-
tante, passa a navegar com velocidade constante. Se 
o barco navegou 25 m em movimento acelerado, qual 
é o valor da força aplicada sobre o barco? Despreze 
resistências ao movimento do barco.
16. (UERJ) Um objeto de massa igual a 4,0 kg desloca-se 
sobre uma superfície horizontal com atrito constante. 
Em determinado ponto da superfície, sua energia ciné-
tica corresponde a 80 J; dez metros após esse ponto, 
o deslocamento é interrompido.
 O coeficiente de atrito entre o objeto e a superfície 
equivale a:
a) 0,15
X b) 0,20
c) 0,35
d) 0,40
17. (UFPE) Um bloco de massa m = 1,0 g é arremessado 
horizontalmente ao longo de uma mesa, escorrega so-
bre a mesma e cai livremente, como indica a figura. A 
mesa tem comprimento d = 2,0 m e altura h = 1,0 m. 
Qual o trabalho realizado pelo peso do bloco, desde o 
instante em que foi arremessado até o instante em que 
toca o chão?
a = 0
a ≠ 0
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80
Fo
rç
a 
(1
0
–
6
 N
)
Deformação (μm)
mm
mm
a) Qual é a constante elástica k da micromola?
b) Qual é a energia necessária para produzir uma com-
pressão de 0,10 m na micromola?
c) O medidor de aceleração foi dimensionado de 
forma que essa micromola sofre uma deformação 
de 0,50  m quando a massa tem uma aceleração 
de módulo igual a 25 vezes o da aceleração da 
gravidade. Qual é o valor da massa m ligada à 
micromola?
13. Um carro de 1 200 kg está com velocidade de 72 km/h 
quando inicia uma ultrapassagem em uma rodovia de 
pista simples. Ao terminar a ultrapassagem, a velocida-
de máxima atingida foi de 126 km/h. Qual o trabalho da 
força resultante? 
14. O curling é um esporte praticado em uma pista de gelo 
cujo objetivo é posicionar as pedras o mais próximo 
possível do centro do alvo. Em uma competição, o 
atleta lançou uma pedra de 19,0 kg que parou após 
percorrer exatos 28,9 metros. Considerando que 
ninguém interferiu no movimento da pedra e que, após 
o lançamento, a força resultante correspondia à força 
de atrito da pedra com o gelo, qual foi a velocidade de 
lançamento? (Dados: = 0,020, g = 10,0 m/s2 e 
1156 34= ).
©
Sh
u
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st
oc
k/
C
or
ep
ic
s 
VO
F
Física 27
Volume 3
d
h
2,0 m
X a) 1,0 · 10–2 J
b) 1,5 · 10–2 J
c) 2,5 · 10–2 J
d) 4,0 · 10–2 J
e) 5,0 · 10–2 J
18. (CFTMG) Uma força horizontal de módulo constante 
F = 100 N é aplicada sobre um carrinho de massa 
M = 10,0 kg que se move inicialmente a uma veloci-
dade vi = 18 km/h. Sabendo que a força atua ao longo 
de um deslocamento retilíneo d = 2,0 m, a velocidade 
final do carrinho, após esse percurso, vale, aproxima-
damente,
a) 5,0 m/s
X b) 8,1 m/s
c) 19,1 m/s
d) 65,0 m/s
19. (UPE) Considere um bloco de massa m ligado a uma 
mola de constante elástica k = 20 N/m, como mostra-
do na figura a seguir. O bloco encontra-se parado na 
posição x = 4,0 m. A posição de equilíbrio da mola é 
x = 0.
k
0 2 4
m
x (m)
 O gráfico a seguir indica como o módulo da força elás-
tica da mola varia com a posição x do bloco.
|F| (N)
x
80
40
 O trabalho realizado pela força elástica para levar o blo-
co da posição x = 4,0 m até a posição x = 2,0 m, em 
joules, vale
X a) 120
b) 80
c) 40
d) 160
e) –80
20. (MACKENZIE – SP) Um carro, trafegando com veloci-
dade escalar constante v, freia até parar, percorrendo 
uma distância de frenagem (Δs), devido à desacelera-
ção do carro, considerada constante. Se o carro estiver 
trafegando com o dobro da velocidade anterior e nas 
mesmas condições, a nova distância de frenagem im-
posta ao carro em relação a anterior será
a) 2 ⋅ Δs
b) 0,5 ⋅ Δs
c) 0,25 ⋅ Δs
X d) 4 ⋅ Δs
e) 1 ⋅ Δs
21. (UFRGS – RS) Uma partícula de 2 kg está inicialmente 
em repouso em x = 0 m. Sobre ela atua uma única 
força F que varia com a posição x, conforme mostra a 
figura abaixo.
 Os valores da energia cinética da partícula, em J, quando 
ela está em x = 2 m e em x = 4 m, são, respectivamente,
a) 0 e 12.
b) 0 e 6.
c) 6 e 0.
d) 6 e 6.
X e) 6 e 12.
28
22. O que é necessário saber para determinar a energia 
mecânica de um corpo?
23. Considerando o referencial como sendo a superfície da 
Terra, indique o tipo de energia mecânica envolvida em 
cada uma das situações.
a) Um livro em uma estante. 
b) Uma pessoa correndo na beira da praia.
c) O amortecedor de um carro absorvendo o impacto 
de um buraco. 
d) Um paraquedista em queda. 
24. Um blocode massa igual a 4,0 kg foi lançado de 
uma altura de 12 metros. Ao atingir metade da altu-
ra, sua velocidade é de 15 m/s. Qual a energia me-
cânica do bloco? Considere a aceleração gravitacional 
g = 10 m/s2.
25. (UTFPR) Um tipo de bate-estaca usado em construção 
consiste de um guindaste que eleva um objeto pesado 
até uma determinada altura e depois o deixa cair prati-
camente em queda livre. Sore essa situação, considere 
as seguintes afirmações:
 I. na medida em que o objeto cai, aumenta sua ener-
gia cinética.
 II. na medida em que o objeto cai, aumenta sua ener-
gia potencial.
 III. na queda, ocorre um aumento de energia mecânica 
do objeto.
 IV. na queda, ocorre a conservação da energia poten-
cial.
 Está correto apenas o que se afirma em:
X a) I
b) II
c) III
d) I e III
e) I, III e IV
26. Uma mola é utilizada para amortecer o choque de um 
bloco de 2,0  kg com um anteparo. Em determinado 
instante do amortecimento, a velocidade do bloco 
é de 5,0 m/s e a deformação sofrida pela mola é de 
2,0 cm. Considerando que a constante K da mola vale 
3,0 · 103  N/m, qual a energia mecânica do sistema 
bloco-mola?
m
5 m/s
2 cm
27. (ENEM) O brinquedo pula-pula (cama elástica) é 
composto por uma lona circular flexível horizontal 
presa por molas à sua borda. As crianças brincam 
pulando sobre ela, alterando e alternando suas formas 
de energia. Ao pular verticalmente, desprezando o 
atrito com o ar e os movimentos de rotação do corpo 
enquanto salta, uma criança realiza um movimento 
periódico vertical em torno da posição de equilíbrio da 
lona (h = 0), passando pelos pontos de máxima e de 
mínima alturas, hmáx e hmin, respectivamente.
 Esquematicamente, o esboço do gráfico da energia ci-
nética da criança em função de sua posição vertical na 
situação descrita é:
a) EC
0h
min
h
máx
h
b) EC
h
min
h
máx
h
0
X c) 
0
h
h
máx
h
min
E
C
d) 
0
h
h
máx
h
min
E
C
e) 
0
h
h
máx
h
min
E
C
29Física
Ponto de partida 
Princípios conserva
tivos
06
1
1. Com base nos conceitos de energia estudados na unidade anterior, explique quais são os tipos de energia pre-
sentes na situação retratada na imagem.
2. Estabeleça uma relação entre a frase do escritor Mario Quintana e a situação presente na imagem. É possível a 
criança se embalar sozinha?
"A recordação é uma cadeira de balanço embalando sozinha."
Mario Quintana (1906-1994)
©iStockphoto.com/Panhandlin
30
2 Texto sobre ciência, energia e forças conservativas.
Sistemas conservativos
Na natureza, existem alguns fenômenos nos quais, depen-
dendo das suas características, as condições iniciais podem ser 
restabelecidas após uma sucessão de processos. Por exemplo, 
ao jogar uma bola para cima com velocidade inicial v0, ela re-
torna ao solo com a mesma velocidade, em sentido contrário 
(se pudermos desprezar a resistência do ar). 
No início desse movimento, a bola tem somente veloci-
dade e está a uma altura desprezível em relação ao solo e, por 
isso, toda sua energia mecânica é cinética. 
À medida que ela sobe, a velocidade da bola e, consequentemente, sua energia cinética diminuem, ao mesmo 
tempo que sua altura e sua energia potencial aumentam.
Quando a bola atinge o ponto de altura máxima, sua velocidade é nula e a bola tem energia potencial máxima. 
Nesse instante, ocorre a inversão da trajetória, portanto a bola não tem energia cinética.
Durante a queda, a altura da bola em relação ao solo diminui; logo, sua energia potencial gravitacional também 
diminui, enquanto sua velocidade e energia cinética aumentam.
No ponto mais baixo, a bola tem velocidade máxima (e energia cinética máxima), sendo nula a sua energia potencial.
 Em um lançamento para cima, desprezando a força de resistência do ar, a energia mecânica permanece constante.
Observamos, contudo, que, em todas as etapas desse lançamento, desconsiderando a força de resistência do ar, 
a energia mecânica – a soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional – permaneceu constante. 
Nessas condições, o sistema é denominado de sistema conservativo. Logo:
E Emf mi= ou E E E Ec f pgf ci pgi+ = +
Nessa relação, Emi representa a energia mecânica inicial do sistema e Emf representa a energia mecânica final. Este 
é o teorema da conservação da energia mecânica, segundo o qual se define que, em um sistema conservativo, a 
variação da energia mecânica é nula:
E E
E
mf mi
m
− =
=
0
0Δ
Em outras palavras, na ausência de forças dissipativas, a energia mecânica se conserva.
Objetivos da unidade:
 definir sistemas conservativos e não 
conservativos;
 conceituar quantidade de movimento 
e impulso;
 compreender o teorema do impulso 
e da variação da quantidade de mo-
vimento;
 resolver situações-problema que en-
volvam colisões.
Objetivos da unidade:
definir sistemas conservativos e não
Solo
v
0
Etapa 1
E
c
 =
E
pg
 = 0
E
m
 = E
c
 + E
pg
Etapa 2
E
m
 = E
c
 + E
pg
E
pg
 = mgh
E
c
 =
mv2
2
mv2
0
2
v
h
Etapa 5
E
m
 = E
c
 + E
pg
E
pg
 = 0
E
c
 =
mv2
0
2
v
0
Etapa 3
E
m
 = E
c
 + E
pg
v = 0
H
E
pg
 = mgH
E
c
 = 0
h’ v’
Etapa 4
E
m
 = E
c
 + E
pg
E
pg
 = mgh’
E
c
 =
mv’2
2
Física 31
Condições para a conservação da energia
Até o momento, examinamos diversos tipos de sistemas e de situa-
ções físicas envolvendo a energia mecânica. De modo geral, os sistemas 
definem o objeto de estudo em determinada situação. Tudo que está ao 
redor do sistema é conhecido como vizinhança, e o limite que separa 
um sistema da sua vizinhança é denominado fronteira. Neste tópico, 
vamos nos concentrar em um tipo de sistema especial, para o qual o 
princípio da conservação de energia mecânica é sempre válido: siste-
ma fechado e isolado.
Por definição, um sistema fechado é aquele em que não há troca 
de matéria ou energia com o ambiente externo, isto é, a quantidade 
de matéria ou energia permanece constante ao longo do tempo. Em 
um jogo de sinuca, por exemplo, o sistema que contempla as bolas do 
jogo permanece fechado enquanto todas as bolas estiverem na mesa. A 
perda de matéria ou energia de um sistema o caracteriza como um sis-
tema aberto que, em geral, leva à variação de energia mecânica do sis-
tema. Por exemplo, se uma bola for encaçapada em um jogo de bilhar, a 
quantidade de energia que ela tinha deixa de ser contada pelo sistema, 
havendo assim mudança da quantidade da energia mecânica total.
Além de fechado, um sistema mecânico conservativo deve ser isolado. Entende-se por sistema isolado aquele em 
que os objetos do sistema exercem, ou podem exercer, forças entre si, mas sobre os quais não há ação de forças exter-
nas. Voltando ao exemplo de jogo de bilhar, as bolas em movimento recebem a ação de uma força externa, a força de 
atrito com a mesa, e por isso esse sistema se caracteriza como um sistema não isolado. Como consequência, após uma 
tacada, as bolas trocam energia com o meio e, nesse caso, perdem energia para a mesa, até pararem.
Um sistema fechado e isolado é aquele em que não há troca de matéria ou de energia com a vizinhança (meio 
externo). Consequentemente, em sistemas fechados e isolados, a quantidade de energia do sistema permanece 
inalterada ao longo do tempo.
 Em um jogo de sinuca, as bolas constituem um sistema 
fechado enquanto nenhuma bola cair na caçapa.
©
iS
to
ck
p
h
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o.
co
m
/s
h
oc
k 
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
se
ve
n
ke
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
M
ilk
ov
as
a
As situações anteriores, da bola que é lançada para cima ou da criança que brinca no balanço, podem ser tratadas 
como exemplos de sistemas fechados caso seja possível desprezar as ações de forças de arrasto ou de atrito. As forças 
de atrito e de arrasto são denominadas de forças dissipativas, isto é, dissipam a energia mecânica, transformando-a em 
outras formas de energia, como térmica, sonora, luminosa, etc.
 As forças de atrito e de arrasto são forças dissipativas, 
isto é, que dissipam a energia mecânica.
©
Sh
u
tter
st
oc
k/
fo
n
g
fo
n
g
32 Volume 3
Em sistemas físicos fechados e isolados, portanto sistemas em que a energia mecânica é conservada, existe so-
mente a ação de forças denominadas de forças conservativas. Essa categoria de forças faz com que os corpos de um 
sistema troquem energia entre si sem perder ou trocar energia com a vizinhança do sistema.
Mas o que caracteriza uma força conservativa? Para analisar como se comporta uma força conservativa, temos que 
considerar o que ocorre com o trabalho dessa força em diversas trajetórias.
Considere uma bola submetida somente à força peso, que se movimenta de um ponto A (situado a uma altura h) 
até um ponto B (situado no chão). Observe os resultados obtidos quando isso é feito com trajetórias distintas:
a) Descida vertical b) Descida por um plano inclinado
τ
τ
FP P
FP
F s
m g h
= ⋅
= ⋅ ⋅
Δ τ α
τ
FP P P
FP P
F s F s
m g s
h
s
F
= ⋅ ⋅( )+ ⋅ ⋅ °( )
= ⋅ ⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
Δ Δ
Δ
Δ
1 2
1
1
90cos cos
⋅⋅ ⋅( )
= ⋅ ⋅
Δs
m g hFP
2 0
τ
Para forças conservativas, é válido, portanto, o princípio da independência da trajetória de movimento, isto é, o 
trabalho dessas forças não depende do caminho adotado: 
τ τ τA B A B A B n→ → →= =caminho1 caminho caminho2 " "
É importante ressaltar que, se o caminho fosse invertido, isto é, de B até A, o trabalho realizado pela força peso apre-
sentaria o mesmo valor, porém com o sinal oposto. Logo, em trajetórias fechadas (de A para B e retornando novamente 
para A), o trabalho total de uma força conservativa é nulo.
τ τ
τ τ
A B B A
A B B A
→ →
→ →
= −
+ = 0
Uma força conservativa é aquela cujo trabalho realizado em uma trajetória fechada é igual a zero. Para forças con-
servativas, o trabalho realizado de um ponto A para um ponto B não depende da trajetória.
Concluindo, sistemas conservativos são aqueles em que a energia mecânica se mantém constante ao longo do 
tempo. Para que isso ocorra, tais sistemas devem ser fechados, isolados e, portanto, sujeitos somente à ação de forças 
conservativas.
m
P
A
B
Δs h
g
mm
m
P P
P
h
A
B
Δs
1
Δs
2
g
Física 33
1. Um bloco de massa igual a 4 kg tem velocidade de 
5 m/s e se choca com uma mola de constante elástica 
igual a 10 000 N/m, comprimindo-a até parar. 
m
k
 Desconsiderando as forças dissipativas, determine:
a) a energia potencial elástica armazenada pela mola;) g p p
E E E E
m v
E E
E J
mi mf ci pe f
pe f pe f
pe f
= ⇒ =
⋅
= ⇒
⋅
=
=
0
2 2
2
4 5
2
50
Como não existem forças dissipativas, a energia mecâ-
nica antes da colisão é igual à energia mecânica após 
a colisão.
b) a deformação máxima da mola.) ç
E
K x x
x
x x m
pe f
=
⋅
⇒ =
⋅
= ⋅
= ⇒ =
Δ Δ
Δ
Δ Δ
2 2
2
2
2
50
10 000
2
100 10 000
0 01 0 1, ,
2. Um bloco de massa igual 2,0 kg está no beiral de um 
prédio. Ele é abandonado de uma altura de 12,8 me-
tros em um local em que a aceleração da gravidade é 
igual a 10 m/s2. Qual a velocidade com que o bloco 
atinge o solo? Desconsidere as forças dissipativas.g ç p
E E E E
m g h
m v
v
v v
mi mf pgi c f
= ⇒ =
/ ⋅ ⋅ =
/ ⋅
⋅ =
= ⋅ ⇒ =
2
2
2
2
10 12 8
2
128 2 16
,
m/s
Como não existem forças dissipativas, a energia mecânica 
no início da queda é igual à energia mecânica no solo.
3. Uma prática comum em obras de construção de casas 
é o lançamento de objetos, como tijolos e telhas, para 
um trabalhador que as pega sobre a laje. Essa prática 
economiza o tempo de subir e descer as escadas car-
regando os objetos. 
 Dois trabalhadores estão utilizando essa prática para 
levar tijolos para cima de uma laje. Sabendo que o tijolo 
percorre 3,2 m até atingir o ponto de altura máxima, 
qual a velocidade de lançamento do tijolo? Considere 
g = 10 m/s2.g
E E E E
m v
m g h
v
v v
mi mf ci pg f
= ⇒ =
/ ⋅ = / ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
= ⇒ =
2 2
2
2 2
10 3 2
64 8
,
m/s
4. O salto com vara é uma atividade esportiva bastante 
complexa, pois envolve corrida, elasticidade e precisão 
de movimentos. O atleta deve realizar uma corrida e 
posicionar a vara em determinada região de maneira 
que ela o impulsione a passar por cima de uma bar-
ra. Considere que um atleta atinge a velocidade de 
v = 9,0 m/s no instante em que posiciona a vara para 
o salto. Desprezando a resistência do ar e supondo que 
toda a energia cinética do atleta é convertida, pela vara, 
em energia potencial gravitacional, qual a altura máxi-
ma atingida pelo atleta?g p
E E E E
m v
m g h h
h h
mi mf ci pg f
= ⇒ =
/ ⋅ = / ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
= ⇒ =
2 2
2
9
2
10
40 5
10
4 05
,
, m
5. Os jogos de pinball foram muito comuns no final do 
século XX. Eram máquinas eletromecânicas que per-
mitiam o lançamento de uma esfera metálica por meio 
da deformação de uma mola. O objetivo era evitar que 
a esfera caísse na parte inferior da área de jogo. Para 
aumentar o desafio, a máquina tinha uma inclinação 
que facilitava a descida da esfera. 
 Considere que uma mola de constante elástica igual a 
40 000 N/m sofre uma deformação de 10 cm, atingindo 
a menor altura possível dentro da máquina de pinball 
antes de lançar a esfera de metal. Sabendo que a mas-
sa da esfera é igual a 40 g, determine a velocidade de 
lançamento considerando que a energia mecânica se 
conserva. Desconsidere a altura adquirida pela bola no 
momento em que a mola está sem deformação.
Atividades
34 Volume 3
6. O trampolim acrobático, conhecido popularmente 
como cama elástica, é considerado esporte olímpi-
co desde as olimpíadas de Sydney, em 2000. Nesse 
esporte, o atleta é avaliado tanto em suas acrobacias 
como na amplitude de seus saltos. Considere que um 
atleta de 80 kg consiga atingir a altura de 4,0 metros 
em relação à cama elástica relaxada. Desconsideran-
do as forças dissipativas, qual deve ser a deformação 
da cama elástica para que o atleta atinja essa altura? 
(Dado: K = 8 000 N/m e g = 10 m/s2)
E E E E
K x m v
v
mi mf pei c f
= ⇒ = ⇒
⋅
/
=
⋅
/
⋅ ⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅− −
Δ 2 2
4 2
2
2 2
2 2
4 10 10 10 4 10
4 ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅
⋅
⇒ =
=
− −
−
10 10 4 10
4 10
4 10
10 000
100
4 2 2 2
2
2
2
2
v
v v
v m/s
Caso queira ser mais rigo-
roso, é possível resolver 
esse exercício consideran-
do que a altura adquirida 
pela bola é de 5 cm (ângulo 
de 30º com a horizontal). 
E E E E
K x
m g h
x
x
x
mi mf pei pg f
  

  

    





2
2
2
8 000
2
80 10 4
4 000 22
2
3 200 800
5 4 0
1 0 8
  
  
  

 
 
x
x x
Logo x ou x: ’ ’’ ,
A altura h é composta da soma entre os 4,0 metros que 
o corpo subiu mais a deformação x, assim temos:
A deformação da mola será de x = 1 m.
Sistemas não conservativos
De acordo com o princípio da conservação da energia mecânica, se 
o valor do trabalho realizado pelas forças externas ou não conservati-
vas que atuam em um corpo for negativo (resistente), zero (nulo) ou 
positivo (motor), ocorrerá, respectivamente, diminuição, manutenção 
ou aumento no valor da energia mecânica que ele tinha inicialmente.
Considere o exemplo do lançamento de um ônibus espacial (siste-
ma). Em virtude da ação da força de propulsão para cima (força exter-
na exercida pela vizinhança sobre o sistema), ocorre um aumento de 
energia mecânica do sistema. Inicialmente, por estar em repouso no 
solo, o ônibus espacial não tem energia cinética nem energia poten-
cial gravitacional em relação ao solo. ç
 Na decolagem de um foguete, a força de propulsão dos 
gases faz a energia mecânica do foguete aumentar.
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
Ja
so
n
 a
n
d
 B
on
n
ie
 G
ro
w
er
 
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/O
kt
al
St
u
d
io
Sugestão de atividades: questões 1 a 4 da seção Hora de estudo.
Física 35
 O aquecimento excessivo do motor pode causar danos 
irreversíveis a algumas peças. Por isso, o monitoramento 
da temperatura do motor e a conferência de água 
no sistema de refrigeramento são importantes para 
estender a vida útil do veículo.
Dissipação da energia mecânica
Na Física, a palavra dissipar indica