Áreas de Figuras Planas - Círculos e Suas Partes

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MATEMÁTICA II
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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS - 
CÍRCULOS E SUAS PARTES10
ÁREA DO CÍRCULO
Calculamos a área de um círculo de centro O e raio R por
Acírculo = π · R
2
Demonstração:
Colocando-se infinitos triângulos dentro de um círculo, de 
modo que a base de cada triângulo seja muito pequena, para que 
possa está quase encostando na circunferência, e assim a altura 
de cada triângulo ficará bem próximo do raio do círculo, teremos 
a figura abaixo.
Depois, reorganizando esses triângulos de modo que seja 
possível formar um paralelogramo, com a base sendo a metade 
do comprimento da circunferência 
2 RC R
2
π
= = π e a altura será a 
medida do raio R do círculo.
Sabemos que a área do paralelogramo é o produto da base 
com a altura. Assim teremos a área do círculo
A = πR · R = πR²
ÁREA DA COROA CIRCULAR
Dados dois círculos concêntricos, a região exterior ao círculo 
menor e interior ao círculo maior é chamada de coroa circular.
Obtemos a área da coroa circular subtraindo o círculo menor 
do círculo maior. Assim, temos: Acoroa = πR
2 – πr2
Podemos reescrever essa fórmula colocando π em evidência e, 
dessa forma, temos:
Acoroa = π(R
2 – r2)
ÁREA DO SETOR CIRCULAR
Observemos que se dobrarmos o ângulo do setor, também 
dobramos a área, se triplicarmos o ângulo do setor, também 
triplicamos a área. Isto ocorre porque o ângulo central e a área do 
setor a ele correspondente são diretamente proporcionais.
Dessa maneira:
2
setorA R 360
θ
= π ⋅
°
Para θ em graus.
ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR
Um segmento circular é definido como a região limitada pela 
circunferência e uma corda. Dessa maneira, podemos dizer que 
uma corda divide um círculo em dois segmentos circulares.
Para determinarmos a área do menor segmento devemos 
subtrair a área de um triângulo da área do setor circular, assim 
como sugere a figura.
Logo, temos
Asegmento = Asetor – Atriângulo
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Considere a corda AB na circunferência abaixo.
Para determinar a área do maior segmento, basta somar a 
área de setor de ângulo θ mais a área do triângulo OAB.
Asegmento = Asetor b – AOAB
PROEXPLICA
01. Calcular a área do segmento circular abaixo.
Solução:
A área do setor é:
2 2 2 2
setor
2
60 1 1A R R R 4
360 360 6 6
1 16 816 cm
6 6 6
θ °
= π ⋅ = π ⋅ = π ⋅ = π ⋅ ⋅ =
°
π π
= π ⋅ ⋅ = =

A área do triângulo OAB é:
2 2
2
OAB
3 4 3 16 3A 4 3 cm
4 4 4
= = = =

Portanto a área do segmento é:
Asegmento = Asetor – Atriângulo = 
8 4 3
3
π
−
02. Determine a área de um círculo de diâmetro 12 cm.
Solução:
Como o raio é metade do diâmetro temos que o R = 6 cm.
Dessa forma a área pedida é Acírculo = πR
2 = π62 = 36π cm2
03. Determine a área de uma coroa circular de raios 6 e 9 cm.
Solução:
Como conhecemos os dois raios segue uma aplicação 
direta da fórmula 
Acoroa = πR
2 – πr2
Acoroa = π9
2 – π62 = 81π – 36π = 45π cm2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Encontre a área de um círculo de diâmetro igual a 15cm.
02. Calcule a área do setor circular com raio igual a 10cm e ângulo 
central de 36°.
03. Observe a imagem abaixo e calcule a área do segmento circular 
indicado.
04. Determine a área da coroa circular de raios iguais a 5 cm e 7 cm.
05. Calcule o valor dos raios de uma coroa circular cuja soma dos 
raios são 12 cm e a área da coroa são 72 cm2.
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (UERJ) Na fotografi a abaixo, observam-se duas bolhas de 
sabão unidas.
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede 
de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema:
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, 
unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual 
ao raio R.
A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a 
seguinte medida:
a) 
2R
2
π
b) 
23 R
2
π
c) 
23 R
4
π
d) 
24 R
3
π
90º
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02. (ENEM) Uma administração municipal encomendou a pintura 
de dez placas de sinalização para colocar em seu pátio de 
estacionamento.
O profissional contratado para o serviço inicial pintará o fundo 
de dez placas e cobrará um valor de acordo com a área total dessas 
placas. O formato de cada placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, 
que tangencia lados de um retângulo, sendo que o comprimento 
total da placa é h = 60 cm, conforme lustrado na figura. Use 3,14 
como aproximação para π.
Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros quadrados, 
das dez placas?
a) 16.628 b) 22.280 c) 28.560 d) 41.120 e) 66.240
03. (IFSP) Determinada Prefeitura pretende construir três canteiros 
em formato de círculos como ilustram as figuras abaixo.
Sabe-se que cada canteiro tem um raio de 50 metros. Sendo assim, 
assinale a alternativa que apresenta a área total dos 3 canteiros.
Dado: π = 3,14.
a) 7.850 m2
b) 15.700 m2
c) 23.550 m2
d) 11.775 m2
e) 19.625 m2
04. (ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio 
para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros 
de lado, conforme a figura.
2 m
GRANDE MÉDIA
PEQUENA
Área do círculo:
�r²
2 m
Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 
tampas pequenas. As sobras de material da produção diária 
das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são 
doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem 
reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se 
concluir que:
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) as entidades I e II recebem juntas, menos material do que a 
entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
05. (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se 
próximas à linha do equador e em pontos diametralmente postos 
no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, 
pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 
800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura 
em aproximadamente
a) 16 horas.
b) 20 horas.
c) 25 horas.
d) 32 horas.
e) 36 horas.
06. (IFPE) A moeda de 1 real é formada de uma parte prateada 
(círculo interior onde aparece o valor da moeda e o ano de 
fabricação) e uma parte dourada (coroa circular).
Sabendo que a moeda tem 27 mm de diâmetro e que a parte 
prateada tem 24 mm de diâmetro (usando a aproximação π = 3,1) 
podemos afirmar que a área, em milímetros quadrados, da parte 
dourada, é
a) 79,05
b) 6,975
c) 14,415
d) 367,5825
e) 118,575
07. (ENEM) A figura mostra uma praça circular que contém um 
chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos 
que definem a praça e o chafariz são concêntricos.
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O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições 
de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro 
fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, 
medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. 
Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB : 16 m. 
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou 
corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.
A medida encontrada pelo engenheiro foi
a) 4π b) 8π c) 48π d) 64π e) 192π
08. (ENEM) Um garçom precisa escolher uma bandeja de base 
retangular para servir quatro taças de espumante que precisam 
ser dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior da 
bandeja, e com suas bases totalmente apoiadas na bandeja. A 
base e a borda superior das taças são círculos de raio 4 cm e 5 cm, 
respectivamente.
A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, em 
centímetro quadrado, igual a
a) 192 b) 300 c) 304 d) 320 e) 400
09. (ENEM) O proprietário de um parque aquático deseja construir 
uma piscina em suas dependências. A figura representaa vista 
superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares 
idênticos, com ângulo central igual a 60º. O raio R deve ser um 
número natural.
• O parque aquático já conta com uma piscina em formato 
retangular com dimensões 50 m × 24 m. 
• O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja 
menor que a ocupada pela piscina já existente. 
• Considere 3,0 como aproximação para π.
O maior valor possível para R, em metros, deverá ser
a) 16 b) 28 c) 29 d) 31 e) 49
10. (FUVEST) Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, 
ABCD é um retângulo e o segmento (“CD” ) é tangente em X ao arco 
de extremos A e B do setor circular. Se AB = 2 3 e AD = 1, então a 
área do setor OAB é igual a
a) 
3
π b) 
2
3
π
c) 4
3
π d) 
5
3
π
e) 
7
3
π
11. (ENEM) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem 
a forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercado por 
grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, 
mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro 
dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. 
O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para 
pavimentar mais 100 m² de área. O síndico do condomínio irá 
avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar 
a região a ser ampliada.
Utilize 3 como aproximação para π.
A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a 
nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em 
estoque
a) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada 
mede 21 m².
b) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada 
mede 24 m².
c) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada 
mede 48 m².
d) não será suficiente, pois a área da nova região a ser 
pavimentada mede 108 m².
e) não será suficiente, pois a área da nova região a ser 
pavimentada mede 120 m².
12. (UNIRIO) Uma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, 
cujo desenho está na figura a seguir, é usada para revestir a parede 
de um banheiro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30 
cm de lado, a área da região hachurada é:
a) 900 – 125π
b) 900 (4 – π) 
c) 500π – 900 
d) 500π – 225 
e) 225 (4 – π)
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13. (UFMG) Observe a figura a seguir. Nessa figura, OA = 4 3 , OB = 
2 3 e AB e AC tangenciam a circunferência de centro O em B e C.
A área da região hachurada é
a) π - 3 
b) 2π - 3 
c) 4π - 3 3 
d) 4π - 2 3 
e) 4π - 3 
14. (UFAM) Considere a região hachurada, no interior do círculo 
de centro O, limitada por semicircunferências, conforme mostra a 
figura a seguir. 
Se a área dessa região é 108π cm2 e AM = MN = NB, então a medida 
do raio do círculo, em centímetros, é 
a) 9 
b) 12 
c) 16 
d) 18 
e) 24 
15. (FMP) A figura abaixo mostra um círculo que representa uma 
região cuja área mede 600 m². No círculo está destacado um setor 
circular, definido por um ângulo central que mede 24º.
Quantos metros quadrados mede a área da região representada 
pelo setor circular?
a) 25
b) 40
c) 24
d) 48
e) 20
16. (CFTMG) Na figura a seguir, há 4 circunferências concêntricas 
cujos raios medem 1,0 cm; 0,9 cm; 0,8 cm; 0,7 cm.
A área da região sombreada, em cm², é
(use 3 como aproximação para π)
a) 1,02 b) 1,59 c) 1,92 d) 2,25
17. (UERJ) Na figura abaixo, estão representados dois círculos 
congruentes, de centros C1 e C2, pertencentes ao mesmo plano α. O 
segmento 1 2C C mede 6 cm.
A área da região limitada pelos círculos, em cm², possui valor 
aproximado de:
a) 108 b) 162 c) 182 d) 216
18. (IFPE) Um designer gráfico criou uma logomarca para uma 
empresa com a forma que lembra uma vírgula, tomando como 
referência um círculo de diâmetro AB e dois semicírculos de 
diâmetros colineares AC e CB (observe a figura). Sabe-se que 
AB = 12 cm e que CB = 2·AC. Determine a área, em cm², da região 
destacada em forma de vírgula.
a) 12π
b) 14π
c) 16π
d) 18π
e) 24π
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19. (ENEM PPL) No projeto de arborização de uma praça está 
prevista a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será 
constituído de uma área central e de uma faixa circular ao seu 
redor, conforme ilustra a figura.
Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular 
sombreada.
A relação entre os raios do canteiro (R) e da área central (r) deverá 
ser 
a) R = 2r
b) R r 2= 
c) 
2r 2rR
2
+
= 
d) R = r² + 2r
e) 3R r
2
= 
20. (FATEC) Nas competições olímpicas de Tiro com Arco, o alvo 
possui 1,22 m de diâmetro. Ele é formado por dez circunferências 
concêntricas pintadas sobre um mesmo plano e a uma distância 
constante de 6,1 cm entre si, como vemos no esquema.
Podemos afirmar corretamente que a razão entre a área da região 
cinza e a área total do alvo, nessa ordem, é igual a
a) 
3 .
10
 
b) 
2 .
15
 
c) 1 .
25
 
d) 
10 .
61 
e) 5 .
21
 
APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (CFTMG - ADAPTADA) A figura abaixo representa quatro 
circunferências de mesmo raio e centros A, B, C e D. Essas 
circunferências tangenciam-se em um único ponto P, comum às 
quatro circunferências, e o quadrilátero ABCD é um quadrado cujo 
lado mede 2 2 cm.
Determine a área da região sombreada na figura, em cm²,
02. (UFJF-PISM - ADAPTADA) A figura abaixo apresenta a tela de um 
radar térmico que, na cor cinza, indica a região de uma floresta onde 
foi detectada uma grande queimada. Nessa tela, as circunferências 
em O, e as medidas de seus raios estão indicadas na tela, em 
quilômetros. Há também seis retas que passam pelo ponto O e que 
dividem cada circunferência em arcos de mesma medida.
Utilize 3 como aproximação para o número π.
Qual é a extensão, em quilômetros quadrados, da área de queimada 
indicada pelo radar?
03. (UNIFESP) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis 
exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de 
lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência 
externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.
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Nestas condições, calcule:
a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita.
b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada. 
04. (FUVEST) São dadas três circunferências de raio r, duas a duas 
tangentes. Os pontos de tangência são P1, P2 e P3.
Calcule, em função de r,
a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado 
pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: 
cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não 
intersecta a terceira;
b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos 
ligando cada ponto P1, P2 e P3 aos dois vértices do triângulo T 
mais próximos a ele. 
05. (UTFPR - ADAPTADA) Observe a figura.
Note que as duas circunferências menores se tangenciam no centro 
da circunferência maior e, também tangenciam a circunferência 
maior. Sabendo que o comprimento da circunferência maior é de 
12πcm, determine o valor da área da parte hachurada, em cm².
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. C
02. B
03. C
04. E
05. C
06. E
07. D
08. C
09. B
10. C
11. E
12. E
13. C
14. D
15. B
16. A
17. C
18. A
19. B
20. C
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. Shachurada = 8·(π-2) = 8π - 16
02. Scinza = 275 km²
03. a) 6( 3 ) - 2π unidades de área
b) 4π unidades de comprimento 
04. a) ( )lado 2r 3 1= ⋅ +
b) ( )2azulS r 3 3= ⋅ +
05. 18πcm²
ANOTAÇÕES
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