roteiro de matemática - derivadas

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MATEMÁTICA PARA BIOMEDICINA 
Prof. Emerson Rodrigo da Silva 
 
ROTEIRO DE EXERCÍCIOS 3 
 
1) O volume de uma cultura de bactérias viáveis tem seu crescimento representado pela função 
M(t)= p0 + 60t -2,5t² (t medido em horas e M cm³), sendo p0 uma constante positiva. Calcule a 
velocidade de crescimento dessa cultura quanto t = 6h. O que representa o ponto onde M’(t)=0? E 
para os valores de t onde M’(t)<0 e M’(t)>0 o que estaria acontecendo com a quantidade de 
bactérias? 
2) A energia E envolvida na contração isotônica de músculos estriados é expressa por E=(P+a)x, 
onde P.x representa o trabalho realizado pelo músculo e a.x é o calor produzido pelo encurtamento 
x. 
(a) Mostre que dE/dt = v(P+a), onde v é a velocidade de contração. 
(b) A. V. Hill observou que a taxa de variação instantânea da energia depende linearmente da 
força de tensão exercida, isto é: dE/dt = b(P0-P), onde P0 representa a tensão máxima, 
ocorrente em estado tetânico. Mostre que (P+a)(v+b)=(P0+)b=k (constante). 
3) Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x² no ponto P(1,1). 
4) Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x²-8x+9 no ponto (3,-6). 
5) Em um processo de síntese de uma determinada proteína por uma célula, a massa de proteína M 
aumenta em função do tempo de acordo com a seguinte expressão: M(t) = p + q.t +r.t², onde p, q e 
r são constantes características. Determine a taxa de reação como uma função do tempo t. 
6) Em um experimento metabólico, a massa M de glicose decresce de acordo com a fórmula 
M(t) = 4,5 – (0,003)t², onde t é dado em horas. Calcule uma expressão para a taxa de reação e 
determine os valores da taxa em t = 0 h e t = 2 h. Faça um gráfico em papel milimetrado 
descrevendo M(t) e M’(t) no intervalo 0 a 2 horas. 
7) O número de bactérias em um experimento controlado é n = f(t). (a) Qual o significado da 
derivada f’(5)? Quais são as suas unidades? Qual será maior f’(5) ou f’(10)? Se a oferta de 
nutrientes for limitada, isso afetaria sua conclusão? Explique. 
 
 
 
 
 
 
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8) Use o gráfico abaixo para estimar as seguintes derivadas: 
(a) f’(0), (b) f’(1), (c) f’(2), (d) f’(3), (e) f’(4), (f) f’(5). 
 
 
9) Calcule as derivadas abaixo: 
 
 
 
 
 
10) A bactéria E. coli é encontrada no intestino humano, onde vive em um ambiente farto em 
nutrientes. Em um dado meio sintético, cada célula se divide em duas a cada 20 minutos. (a) 
Mostre que a população de E. coli em um dado instante t é dada por N = 2
t/20
. (b) Calcule a taxa 
de crescimento em qualquer instante t futuro e, em particular, determine a taxa de crescimento em 
100 minutos. (c) Verifique que a taxa de crescimento em t = 140 minutos é o dobro da taxa em t = 
120 minutos. (d) Verifique que a taxa de crescimento instantânea dN/dt em qualquer instante 
futuro é numericamente igual a 0.034655 vezes a biomassa N naquele momento. 
11) Use a regra da cadeia para calcular as derivadas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
ENTREGA EM DUAS SEMANAS.