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Econometria
Regina Lúcia Sanches Malassise
Econometria
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Malassise, Regina Lucia Sanches 
M238e Econometria / Regina Lucia Sanches Malassise. – 
 Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2015.
 192 p.
 ISBN 978-85-8482-206-5
1. Econometria. 2. Regressão. I. Título
 CDD 330.015195
© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S. A.
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2015
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Sumário
Unidade 1 | Conceitos introdutórios e especificação de modelos 
econométricos
Seção 1 - Conceito, evolução e objetivos da econometria 
 1.1 O conceito de econometria
 1.2 Evolução da econometria
 1.3 Objetivos da econometria
 1.3.1 Divisão da econometria e análise de regressão 
Seção 2 - Conceito e classificação de modelos
 2.1 Modelo: conceito e tipos 
 2.1.1 Estrutura de modelos econométricos
 2.1.2 Classificações mais comuns de modelos econométricos
 2.1.3 Modelos econométricos e suas qualidades
 2.1.4 As etapas da modelagem econométrica
Seção 3 - Especificação de modelos
 3.1 Requisitos básicos de um modelo
 3.2 Fontes de informações necessárias à especificação de modelos 
 3.3 A expressão matemática adequada ao modelo linear
 3,4 Alguns critérios para auxiliar a escolha da forma funcional
 3.5 Limitações da econometria
 
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Unidade 2 | Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
Seção 1 - O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO)
 1.1 A regressão linear
 1.2 Método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) e pressupostos 
do modelo
 1.2.1 Pressupostos básicos do MQO
 1.2.2 As implicações da violação dos pressupostos
 1.2.3 Os estimadores MQO são BLUE
 1.3 A estimação do modelo por meio do MQO
 1.3.1 Análise dos resíduos
 1.3.2 Modelo linear simples: exemplo numérico
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Unidade 4 | Ferramentas e aplicações da econometria 
Seção 1 - Consumo de energia elétrica e PIB no Brasil 1970-1996
 1.1 Breve discussão teórica sobre o tema
 1.2 Hipótese
 1.3 Modelo econométrico
 1.4 Estimativa do modelo
 1.5 Conclusão
Seção 2 - Avaliação de Modelos Estimados
 2.1 Qualidades desejáveis dos estimadores MQO
 2.1.1 Não tendenciosidade
 2.1.2 Eficiência ou variância mínima
 2.1.3 Consistência
 2.2 Critérios para avaliar as estimativas de um modelo
 2.2.1 Deduções matemáticas da média, variância e covariância
 2.3. Quadro de análise de variância
Seção 3 - Modelo de Regressão Múltiplo
 3.1 O processo abreviado de estimativa do modelo geral
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Unidade 3 | Violação dos pressupostos básicos do modelo
Seção 1 - Implicações das violações dos pressupostos básicos 
do MQO
 1.1 Principais formas de violação dos pressupostos
Seção 2 - Multicolinearidade
 2.1 Conceito
 2.1.1 Principais fontes de multicolinearidade
 2.1.2 Casos de multicolinearidade
 2.2 Diagnóstico de multicolinearidade
 2.2.1 Testes que permitem identificar a presença de 
 multicolinearidade
 2.2.2 Consequências da multicolinearidade
 2.3 Consequências da multicolinearidade
Seção 3 - Autocorrelação ou correlação serial
 3.1 Conceito
 3.2 Diagnóstico de autocorrelação: o teste d de Durbin
 3.2.1 Implementação do teste de Durbin
 3.3 Medidas corretivas de autocorrelação
 3.3.1 Quando a estrutura da autocorrelação é conhecida
 3.3.2 Quando a estrutura da autocorrelação é desconhecida
Seção 4 - Heterocedasticidade
 4.1 Conceito
 4.2 Identificação da heterocedasticidade
 4.2.1 Testes estatisticos para identificacao da heterocedasticidade
Seção 2 - Estudo do desempenho da educação
 2.1 Metodologia 
 2.2 Descrição das variáveis selecionadas sobre a escola
 2.3 Formulação da hipótese de trabalho e análise das estimativas
 2.4 Possibilidades e alternativas de solução para os problemas do modelo
 2.5 Considerações finais
Seção 3 - Estudo sobre a criminalidade
 3.1 Breve explanação sobre a economia do crime 
 3.2 Algumas considerações sobre os modelos com dados em painel
 3.3 Painel de dados com modelos estáticos
 3.3.1 Modelo de regressão pooled
 3.3.2 Modelo de efeitos fixos 
 3.3.3 Modelo com efeitos aleatórios
 4.1 Modelos de painel de dados estáticos: resultados
 4.1.1 Regressão Pooled
 4.1.2 Modelo de efeito fixo
 4.1.3 Efeito aleatório ou randômico
 4.1.4 Entre o efeito fixo e aleatório
 5.1 Considerações finais
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Apresentação
Um dos grandes pressupostos da formação do economista é que ele compreenda 
e saiba utilizar métodos econométricos. Boa parte desta crença vem do fato de 
que a economia precisa fundamentar empiricamente seus conhecimentos, isto é, 
produzir provas de que as teorias realmente se aplicam à realidade estudada.
Neste sentido, os estudos ligados à Econometria têm por objetivo levar o aluno a 
compreender o desenvolvimento e a implementação dos métodos econométricos. 
Em cursos introdutórios como o nosso, o objetivo é compreender a ferramenta 
econométrica análise de regressão. Através desta é possível utilizar o Método dos 
Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), que estão presentes na maior parte das 
publicações e pesquisas econômicas.
Desta forma, neste livro contempla-se a apresentação dos caminhos seguidos 
para o desenvolvimento do método econométrico. Para tanto se apresentam os 
conceitos básicos, a análise de regressão, o modelo linear simples e múltiplo, bem 
como se explica a operacionalização de alguns deles. Para contemplar estes temas 
o livro está organizado em quatro unidades.
Na Unidade 1 aborda-se o conceito de econometria, bem como a importância de 
sua utilização como método de pesquisa e de tomada de decisão. Desta forma, 
você compreenderá a abrangência e limitações da econometria na apresentação de 
propostas e mensuração de resultados. 
Na Unidade 2 aborda-se o modelo de regressão linear simples e múltiplo, bem como 
a inclusão de variáveis especiais para promover uma melhor adequação do modelo 
a situações especiais. Neste sentido, você compreenderá as etapas e a implantação 
destes modelos de regressão.
Na Unidade 3 estudamos os principais problemas que surgem da violação dos 
pressupostos do Método dos Mínimos Quadrados (MQO), buscando compreender 
como as medidas e soluções propostas para superar tais problemas podem contribuir 
para melhorar os estimadores de ummodelo.
Na Unidade 4, você terá a oportunidade de conhecer mais algumas ferramentas da 
Econometria, bem como aplicações, pois a unidade está apresentada em forma de 
composição de artigos. Assim, a explicação da forma como foi construído cada um 
dos artigos permite a você compreender melhor os aspectos básicos da modelagem 
econométrica.
Ao final do estudo deste livro você terá absorvido conhecimentos básicos de 
Econometria que lhe permitam ler e também trabalhar com técnicas econométricas 
do MQO. Desejo a você bons estudos!
Unidade 1
CONCEITOS 
INTRODUTÓRIOS E 
ESPECIFICAÇÃO DE 
MODELOS ECONOMÉTRICOS
Nesta seção são apresentados o conceito, a evolução e os objetivos da 
econometria.
Nesta seção abordam-se os conceitos básicos de um modelo 
econométrico.
Nesta seção estudaremos as exigências e necessidades da especificação 
de modelos econométricos.
Seção 1 | Conceito, evolução e objetivos da econometria 
Seção 2 | Conceito e classificação de modelos 
Seção 3 | Especificação de modelos 
Objetivos de aprendizagem: Nesta unidade, você será levado a compreender o 
que é econometria, bem como a importância de sua utilização como método de 
pesquisa e de tomada de decisão. Ao final da leitura, compreenderá a abrangência 
e limitações da econometria na apresentação de propostas e mensuração de 
resultados. 
Para que você compreenda o que é econometria, suas implicações e abrangência, 
esta unidade está subdividida em três seções. 
Regina Lúcia Sanches Malassise
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Introdução à unidade
A econometria é uma área e, ao mesmo tempo, um método de estudo utilizado 
em diversas áreas do conhecimento, porém de maneira mais profunda nos estudos 
econômicos. 
Nos cursos de Economia, ela constitui-se numa disciplina fundamental para fixar 
as bases quantitativas dos conhecimentos da teoria econômica. Assim, pode ser 
conhecida também como ‘medição econômica’, que é a tradução literal da palavra 
econometria.
A disciplina em si necessita de um conjunto de conhecimentos que englobam 
matemática, estatística e teoria econômica. Porém, difere de todas elas devido 
à aplicabilidade que faz dos conhecimentos destas áreas. Difere da matemática 
porque busca fundamentar os resultados obtidos utilizando-se das teorias 
econômicas, difere da estatística porque busca estabelecer relações de causa e 
efeito entre as grandezas mensuradas, difere da teoria econômica porque busca 
estabelecer relações quantitativas concretas para as leis econômicas para as quais 
a teoria se ocupa mais de modo geral e esquemático. Dando continuidade, vamos 
para o estudo desta unidade.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Seção 1
Conceito, evolução e objetivos da econometria
Introdução à seção
Em quase todas as áreas de Ciências Sociais Aplicadas surge, em determinado 
momento, a necessidade de trabalhar relações quantitativas para que as ferramentas 
de análise de dados permitam refutar ou aceitar uma conclusão que existia a priori 
e que se deseja confirmar através dos dados.
Tal situação não é diferente com a economia, em especial a Teoria Econômica 
enquanto pensamento constituído e sistematizado sobre o funcionamento geral 
da atividade econômica, também buscou relações quantitativas para fundamentar 
os conhecimentos que existiam a priori.
A Teoria Econômica refere-se à sistematização conceitual dos processos 
e fenômenos econômicos ou reconstrução abstrata da realidade 
econômica, fazendo uso das categorias de um método de investigação. 
A teoria econômica procura encontrar as determinações essenciais dos 
fenômenos econômicos, separando o acessório do fundamental, com 
isso estabelecendo formulações universais, num trabalho de síntese. 
É por meio da teoria que a economia se entrelaça com a história, a 
sociologia, a antropologia e outras ciências afins. Seu papel não se limita 
à interpretação do que ocorre no plano da produção, da circulação e do 
consumo: é também o ponto de partida para a formulação de respostas 
aos problemas econômicos surgidos em cada etapa do desenvolvimento 
social.
Assim, a econometria surge como uma área de conhecimento específico 
da economia e que visa, através do estudo de dados, estabelecer relações 
quantitativas (através da matemática e estatística) e econômicas (através 
da Teoria Econômica) na investigação sobre temas econômicos de 
pesquisa. Neste sentido, partimos da compreensão do conceito de 
econometria para explorar a dimensão e abrangência desta área de 
conhecimento da economia.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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1.1 O conceito de econometria 
É interessante notar que a curiosidade humana nos leva a desenvolver soluções, 
e neste caminho criam-se métodos. Isto é, desenvolvem-se formas de proceder 
que permitam imitar um evento observado e a partir dele criar alguma forma de 
mensuração que permita, de certa forma, prever algum resultado que seja o mais 
próximo possível da realidade.
Assim, o termo “econometria” foi apresentado em 1926 pelo economista Ragnar 
Frisch, de origem norueguesa, que se baseou na palavra “biometria”, que já era 
utilizada desde o século XIX, para referir-se aos estudos biológicos que empregavam 
métodos estatísticos. 
Em particular, a biometria procurava identificar uma característica específica a 
partir da observação de organismos de uma mesma espécie. Assim, por exemplo, 
ao identificar a altura dos homens em um grupo grande de pessoas, verificou-
se que certa altura aparecia com mais frequência, e o número de homens com 
alturas diferentes desta (maiores ou menores) estavam simetricamente distribuídos 
de cada lado (maior ou menor). A esta observação a estatística atribuiu o nome 
de Lei da Distribuição Normal. A representação gráfica de tal situação pode ser 
visualizada na Figura 1.1:
O significado da Lei da Distribuição Normal é que, se retirarmos uma amostra de 
uma população para analisar uma determinada característica, a característica que 
aparece com maior frequência numa determinada amostra é a média. No caso da 
altura dos homens, tal estudo constatou que a altura mais frequente entre homens 
adultos é 1,75 m, que corresponde à média das estaturas observadas. A curva 
representada na Figura 1.1 é a curva de distribuição normal também conhecida 
como curva de Gauss-Laplace.
Figura 1.1 – Representação da distribuição da altura de homens adultos
Fonte: O autor (2015).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Esta foi, então, a primeira ideia de como nasceu a econometria. Porém, ela voltou-
se para a aplicação econômica de seus métodos, logo ela pode ser definida como:
Hill (2010) argumenta que a econometria se utiliza de Teoria Econômica e de 
Dados da economia, negócios e ciências sociais e estatística para responder a 
questões do tipo quanto. Assim, questões tais como: quanto crescerão as vendas 
de uma empresa, qual o impacto dos gastos com publicidade na eleição de um 
vereador, qual o incremento de renda necessário para elevar o consumo médio 
de carne de primeira etc. Então, a econometria permite prever quanto, por isto 
também pode ser utilizada para previsão. Agora, vamos ver um pouco sobre a 
evolução da econometria.
Em sua turma, qual a é idade média dos estudantes?
Econometria é a ciência que lida com a determinação, 
por métodos estatísticos, das leis quantitativas concretas 
que ocorrem na vida econômica [...] está ligada à teoria 
econômica e à estatística econômica e tenta por métodos 
matemáticos e estatísticos dar expressão concreta e 
quantitativa às leis gerais e esquemáticasestabelecidas pela 
teoria econômica (LANGE, 1961, p. 13-14).
Para entender o que é distribuição normal, é necessário, primeiramente, 
definir evento aleatório. Trata-se de um evento cuja ocorrência 
individual não obedece a regras ou padrões que permitam fazer 
previsões acertadas, como, por exemplo, qual face de um dado lançado 
cairá para cima. Muitos dos conjuntos de eventos aleatórios apresentam 
padrões que não são identificáveis em cada evento isoladamente, 
mas verifica-se a tendência de os eventos se concentrarem próximos 
a uma posição que representa uma média matemática deles. Assim, a 
quantidade de eventos diminui constante e gradativamente à medida 
que nos afastamos da média.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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1.2 Evolução da econometria
Embora o uso do termo econometria tenha sido feito por Ragnar Frisch em 1926, o 
interesse por estudos e análises empíricas surge com a teoria de Cournot em 1838. 
O desenvolvimento da Teoria de Duopólio, de Agustin Cournot, pela qual as 
quantidades ofertadas no mercado surgem da ação e reação de dois vendedores, 
obedecendo a algumas regras específicas. Estabelecem-se, então, funções 
lineares e com a resolução de um sistema de equações simultâneas, através do 
qual é possível estabelecer quantidade, preço e lucros de equilíbrio em duopólio. 
Chamou a atenção para a busca de investigação empírica sobre oferta.
Também a obra de Alfred Marshall (1890) em que ganhou destaque a análise 
do equilíbrio de mercado entre a oferta e demanda, chamaram a atenção para 
estudos e investigação empírica sobre a demanda.
Por outro lado, os estudos estatísticos e econométricos só foram desenvolvidos 
anos depois das pesquisas de Cournot e Marshall. Isto ocorreu devido à dificuldade 
e à escassez de dados confiáveis e compilados que permitissem realizar um estudo 
de verificação empírica dos conceitos teóricos. 
Depois que Ragnar Frisch utilizou a palavra “econometria” pela primeira vez, em 
1926, ele dedicou-se à criação da Econometric Society, em 1930, e ao jornal 
Econometrica, em 1933. Em 1943, Trygve Haalvelmo publica o livro The Probability 
Approach in Econometrics, obra na qual propõe que a análise estatística poderia 
ser utilizada como ferramenta para validar teorias matemáticas sobre atividade 
econômica com o uso de dados de fontes complexas. E os estudos que utilizam 
econometria foram avançando e se desenvolvendo. Utilizando os estudos de 
Matos (1995) podemos ver alguns pontos de destaque deste desenvolvimento.
• Em 1932, ocorre a fundação da Comissão Cowles, cujo objetivo era 
estimular o uso da lógica, da matemática e de métodos estatísticos para 
conduzir estudos de análise econômica.
• Em 1933, publica-se a primeira edição da revista Econométrica.
• Em 1934, estudos de Frisch permitem identificar os primeiros problemas 
da regressão, como a multicolinearidade.
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• Em 1939, publicam-se os estudos de Tinbergen sobre modelos 
macroeconômicos multiequacionais.
• Em 1943, a publicação dos estudos de Trygve Haalvelmo destaca a 
metodologia e a importância de equações interdependentes, o que deu 
origem a método de estimação por equações simultâneas.
• Entre 1943 e 1954, foi elaborado o tratado de Econometria intitulado 
Statistical Inference in Dynamic Economic Models, que trazia como destaque 
os problemas de especificação e simultaneidade de equações.
• Depois de 1954, ocorreram grandes desenvolvimentos quando a 
incorporação de novos métodos e recursos computacionais conseguiram 
permitir avanços e utilizações em diversas outras áreas de estudo.
• No Brasil, somente na década de 1970, começaram a aparecer as 
traduções dos manuais e livros de econometria, com as quais foi possível 
difundir o estudo desta área.
• Em 1979, funda-se a Sociedade Brasileira de Econometria (SBE) e acontece 
também o primeiro encontro anual de econometria.
A colinearidade é um termo que, em estatística, designa uma elevada 
correlação entre duas variáveis, isto é, ambas têm a mesma trajetória 
linear. Numa análise de regressão, duas variáveis independentes 
podem estar altamente correlacionadas, mantendo entre si elevada 
colinearidade, de tal forma que não é possível estabelecer o efeito de 
cada uma delas sobre a variável dependente. Por exemplo, a elevação 
das vendas de um produto (variável dependente) pode ter sido 
influenciada por um aumento de salários e pela redução das taxas de 
juros, não sendo possível distinguir no curto prazo qual das variáveis 
independentes teve a influência maior. Nesse caso, pode-se utilizar 
apenas a variável independente julgada a mais importante (o aumento 
de salários, no caso), ou combinar as duas variáveis independentes 
numa só, ou ainda escolher uma terceira que substitua as duas primeiras. 
Quando existe um grau de correlação muito elevado, com mais de duas 
variáveis, o fenômeno é denominado multicolinearidade.
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• Em abril de 1981, publica-se a Revista de Econometria da SBE.
• A partir de 1985 a disciplina tornou-se obrigatória nos cursos de Economia.
• Hoje, a econometria é ampla e seus métodos estão difundidos nas mais 
diversas áreas de estudo.
De posse do conceito e da perspectiva histórica do desenvolvimento da econo-
metria podemos discutir seus objetivos.
1.3 Objetivos da econometria
Considerando que econometria é a integração da teoria econômica, matemática 
e técnicas estatísticas e que esta integração visa testar hipóteses sobre fenômenos 
econômicos, estimação de coeficientes de relações econômicas e projeções 
ou predições de valores futuros das variáveis ou fenômenos econômicos, Matos 
(1995) aponta que são propósitos da econometria:
a) A mensuração de variáveis e agregados econômicos. Podemos citar como 
exemplo a possibilidade de estimar a oferta agregada por meio da estimação do 
PIB ou a demanda agregada por meio da estimação do consumo pessoal.
b) A estimação de parâmetros de relações estabelecidas pela teoria econômica 
ou outro conhecimento a priori. Podemos citar como exemplo a estimação da 
quantidade demanda em relação ao preço e constatarmos a aplicação ou não da 
Lei Geral da Demanda para um produto específico.
c) A formulação e teste de hipóteses sobre o comportamento da realidade. Podemos 
postular que o consumo de energia elétrica se mantenha constante no horário 
de verão no que se refere ao consumo industrial, e a partir de aí levantar dados, 
realizar regressões e testes que permitam validar ou refutar tal hipótese.
Tendo em vista estes propósitos, podemos então verificar que os objetivos da 
econometria são:
a) A verificação de teorias econômicas: Diferentemente dos períodos anteriores, 
hoje, é possível e necessário verificar a aplicabilidade da teoria econômica à 
especificidade de estudos e pesquisas realizadas de tal forma que qualquer teoria 
passe a ser utilizada e estabelecida a partir do uso de um teste empírico.
b) A avaliação de políticas econômicas: Conhecer o valor numérico de parâmetros, 
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tais como: elasticidades, multiplicadores, coeficientes técnicos, é muito importante 
no processo decisório em empresas (públicas ou privadas) e no âmbito governa-
mental, dado que auxilia na comparação de efeitos resultantes de decisões alter-
nativas. Um exemplo comum é quando se faz a seguinte pergunta: se o governo 
quiser aumentar a arrecadação tributando o consumo, esta política seria eficaz 
em produto elástico ou inelástico. A resposta para a questão recai normalmente 
sobre os preços inelásticos, pois, aumento de impostos aumenta o preço e reduz 
a demanda de produtos elásticos mais que o aumento de preços, já paraos pro-
dutos inelásticos a queda no consumo é menor que o aumento de preços. Por 
outro lado, para determinar a elasticidade de um produto, necessitamos recorrer 
à econometria.
c) A previsão de valores futuros de variáveis de natureza econômica: para os 
governos na formulação de políticas, é importante que sejam conhecidas as mag-
nitudes econômicas em toda sua dimensão possível. Assim, entender os movi-
mentos de longo prazo (cíclicos) e de médio prazo (tendência) através da medição 
e predição de valores futuros destas magnitudes utilizando informações passadas e 
presentes. Desta forma, os governos podem fazer um julgamento da necessidade 
ou não de alguma medida corretiva. Tais estudos também se aplicam às empresas. 
São mais comuns os estudos de curto e médio prazo.
1.3.1 Divisão da econometria e análise de regressão
Para melhorar e direcionar os estudos a econometria está subdividida em econo-
metria teórica e aplicada. Na econometria teórica estuda-se a estruturação dos 
modelos teóricos existentes, busca-se avançar propondo novas modelagens que 
sejam mais adequadas ou que permitam solucionar algum problema de adequação 
dos modelos existentes. 
Na econometria aplicada fazem-se aplicações dos modelos existentes, cuja es-
colha é guiada por algum conhecimento a priori sobre os problemas encontra-
dos em um campo particular dos estudos da economia ou outras áreas na qual 
a econometria seja relevante na busca de alternativas de solução. Em economia, 
a econometria se aplica a problemas microeconômicos (microeconometria), em 
estudos que envolvam a teoria da demanda, produção, investimento, consumo e 
outros campos de pesquisa econômica aplicada. E também a diversas outras áreas 
de estudo da economia. 
Em qualquer caso, a econometria é parte arte e parte ciência, devido a muitas vezes 
a intuição e o bom julgamento do econometrista desempenharem um papel 
importante na escolha de um modelo econométrico apropriado.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Uma das formas tradicionais de estudo da Econometria Aplicada na Economia é a 
análise de regressão. A análise de regressão pressupõe a existência de, no mínimo, 
duas variáveis: uma variável dependente/explicada (por exemplo Y) e uma variável 
independente/explicativa (por exemplo X). Um exemplo disto é a Lei da demanda, 
na qual dizemos que a quantidade demanda (que podemos associar a letra Y) de-
pende inversamente do preço (que podemos associar a letra X).
Assim, enquanto na regressão, procuramos um valor para Y tomando por base 
um conjunto de informações fornecido pelas características X, isto é (E[Y|X]), na 
análise verificamos se a relação causal entre uma variável econômica a ser explica-
da (variável dependente = Y) e uma ou mais variáveis independentes ou explicativas 
(X) são válidas ou necessitam de mais aprofundamentos.
Na análise de regressão quando temos uma única variável independente ou ex-
plicativa, nós temos uma regressão simples e, quando temos mais de uma, o que 
é muito comum nos estudos econométricos, temos a regressão múltipla. Mais à 
frente veremos maiores detalhes destas duas formas de regressão.
Em toda a análise de regressão também se inclui o termo erro. Este termo tem por 
objetivo ser a variável de ajuste de uma regressão que permite equilibrar a exatidão 
das análises quantitativas com a inexatidão dos fatos econômicos de acordo com 
a teoria econômica. Assim, o termo erro (aleatório) deve ser incluído na relação 
exata postulada pela teoria econômica e economia matemática, a fim de torná-
las probabilísticas (isto é, a fim de refletir o fato que, no mundo real, as relações 
econômicas entre as variáveis econômicas são inexatas, e algumas vezes erráticas).
1. Explique a ligação entre amostra, frequência e média.
2. Explique a diferença entre a econometria teórica e a 
aplicada.
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Seção 2
Conceito e classificação de modelos
Introdução à seção
Tendo em vista que os propósitos da Econometria envolvem mensurar variáveis por 
meio da estimação de parâmetros, para que ela consiga cumprir estes propósitos 
é necessário estabelecer alguma relação entre as variáveis para poder modelar 
os dados coletados acerca destas variáveis. Neste sentido, torna-se importante 
conhecer os conceitos que envolvem a compreensão do que é um modelo, e é 
isto que vamos estudar nesta seção.
2.1 Modelo: conceito e tipos
Um entendimento mais geral sobre o que vem a ser um modelo permite dizer 
que ele é constituído de uma representação simplificada da realidade que 
contemple uma montagem estruturada de tal forma que permita compreender o 
funcionamento total ou parcial da realidade observada.
De outro modo, um modelo pode ser uma representação abstrata da realidade da 
qual se separa apenas o que é relevante para a análise proposta, negligenciando 
todos os demais aspectos. É importante saber que não existe um modelo capaz 
de expressar completamente a realidade, portanto, os modelos sempre serão 
passíveis de alterações e mesmo assim serão incompletos.
Por outro lado, os modelos buscam fazer uma representação formal de ideias 
ou conhecimentos acerca de um fenômeno (que é uma parte da realidade 
observada). As ideias ou teorias são formadas por um conjunto de hipóteses 
“sobre os elementos essenciais do fenômeno e das leis que o regem, as quais 
geralmente se traduzem sob a forma de um sistema de equações matemáticas” 
(MATOS, 1995 p. 20). 
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
22
As hipóteses constituem-se no uso da teoria existente a priori para se certificar 
como poderia evoluir um fenômeno econômico. Assim, quando observamos que 
preço e quantidade variam em direção oposta para explicar a demanda utilizamos 
a hipótese ceteris paribus, ou seja, supomos que todas as demais variáveis como 
renda, preferência do consumidor se mantenham constante. 
De modo geral, a existência de uma teoria e de hipóteses fundamentadas nelas é 
uma racionalização fundamental para a construção de um modelo.
De uma maneira mais geral, os modelos econômicos podem ser classificados 
em modelos teóricos ou econométricos. Os modelos teóricos são aqueles que 
expressam leis econômicas sem conter uma especificação efetiva da forma 
matemática nem a enumeração exaustiva das variáveis que o compõem. Por 
exemplo, um modelo teórico da função demanda seria descrito como:
Qd = f(P)
Ceteris paribus ou caeteris paribus é uma expressão em latim que 
significa “permanecendo constantes todas as demais variáveis”. Muito 
utilizada em economia quando se deseja avaliar as consequências de 
uma variável sobre outra, supondo-se as demais inalteradas.
Tal racionalização de modelos permite a investigação 
das consequências lógicas das hipóteses, consideradas 
através de sua contrastação com os resultados da 
experiência. Dessa forma, conhece-se melhor a 
realidade e pode-se, em consequência, atuar, com 
mais eficácia, sobre ela. Em síntese, a palavra modelo 
refere-se a um conjunto de hipóteses estabelecidas 
a priori sobre o comportamento de um fenômeno, 
com base numa teoria já existente ou a partir de novas 
proposições teóricas (MATOS, 2005, p. 20).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
23
Que significa que a quantidade demanda (Qd) é uma função (f) do preço (P).
Já os modelos econométricos apresentam obrigatoriamente especificação 
(forma matemática, definição das variáveis e número de equações) para aplicação 
empírica, e ainda incorporaram um termo residual (erro aleatório) com a finalidade 
de levar em conta as demais variáveis que influenciam o modelo, mas que não 
está expressamente presente nele. Por exemplo, um modelo econométrico para a 
função demanda pode ser descrito como:
Qd = a - bP+ u
Na qual o máximo que o consumidor demandaria do produto é a (também 
chamada de intercepto da função, isto é, se P=0 esta seria a demanda máxima), 
e b representa o quanto o preço (P) influencia a demanda e u é o termo erro que 
visa captar o efeito de todas as outras variáveis que influenciam a demanda (como 
a renda e a preferência do consumidor), mas que não aparecem na formulação 
do modelo econométrico. O Quadro 1.1 traz outros exemplos de modelos 
econométricos formulados com base na teoria econômica.
No Quadro 1.1, M = meios de pagamento, i = taxa de juros, Y = renda e C = 
consumo a e b0 são interceptos, b é a inclinação e os termos u e e são termo erro 
aleatório. Desta forma sobre os modelos econométricos podemos concluir que:
Quadro 1.1 – Modelos econômicos e econométricos
Fonte: Adaptado de Matos (1995, p. 21)
Função Modelo 
econômico
Modelo 
econométrico
Teoria 
econômica
Função liquidez M=L (i,Y) M = a + bi + cY+ u Teoria keynesiana 
de moeda
Função 
consumo
C = b0 + bY C = b0 + bY + e Função consumo 
keynesiana
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
24
2.1.1 Estrutura de modelos econométricos
Segundo Matos (1995), os modelos econométricos prescindem de quatro 
elementos básicos, são eles:
I) As variáveis são os entes sobre os quais serão coletadas as observações ou valores 
que vão dar origem ao banco de dados e que podem apresentar diferentes valores. 
Conforme vimos anteriormente, as variáveis podem ser dependentes (também 
chamadas de explicadas, endógenas) ou independentes (também chamadas 
explicativas, exógenas) que são aquelas que afetam a variável dependente. O 
conjunto de variáveis explicativas mais o termo constante são denominados 
costumeiramente de regressores.
II) As relações ou equações descrevem o comportamento que se espera das 
variáveis observadas tendo em vista os elementos singulares de um fenômeno 
econômico. Estas relações refletem a forma como as variáveis independentes 
afetam as variáveis dependentes, e sempre será necessário estabelecer esta relação 
considerando questões de diferentes ordens que unem tais variáveis (dependentes 
e independentes num mesmo modelo). Estas relações podem ser:
Os modelos econométricos, embora contenham 
os elementos que permitem sua operacionalização, 
constituem uma formulação incompleta da realidade, 
posto que se tem de recorrer à cláusula ceteris 
paribus para preencher a lacuna entre a teoria e os 
fatos. Isso ocorre em face da impossibilidade de um 
modelo abranger todos os fatores que determinam 
ou condicionam um fenômeno. Contrastando com 
os modelos determinísticos que supõem a existência 
de variáveis que satisfazem exatamente as equações 
matemáticas, os modelos econométricos ou 
probabilísticos não admitem relações exatas em virtude 
da não inclusão de todas as variáveis que determinam 
o comportamento do fenômeno e de erros de medidas 
das variáveis (MATOS, 1995, p. 21).
a - Relações de comportamento – expressam ações 
ou condutas dos agentes econômicos. Exemplo: (1) 
Equação de demanda; (2) Equação de oferta.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
25
III) A possibilidade de apurar os parâmetros ou coeficientes da regressão. Os 
parâmetros expressam uma quantidade (número) que permanece constante em 
determinado contexto, também chamado de termo constante. Este termo indica 
a ausência de variações significativas na variável dependente ao longo do tempo. 
Por exemplo, na equação Qo = a + bP, onde P e Qo são variáveis e a e b são 
constantes, a e b são os parâmetros (SANDRONI, 1999).
IV) O termo erro ou perturbação expressa um grande número de pequenas 
causas, que produzem um desvio em relação ao que a variável dependente 
deveria ser, se a relação expressa pela equação econométrica estabelecida fosse 
determinística. Desta forma, o termo erro tem uma série de significados que 
podem surgir devido à: existência de variáveis omitidas; imprevisibilidade do 
comportamento humano; variação do comportamento entre indivíduos; erros 
de medidas da variável dependente; e especificação imperfeita das relações. “Tal 
termo tem, pois, a finalidade de preencher a lacuna entre a teoria e os fatos. 
Dessa forma, os modelos econômicos serão necessariamente não exatos ou 
estocásticos” (MATOS, 1995, p. 23).
Depois de estabelecidos os itens que compõem a estrutura do modelo é interessante 
prosseguir apresentando as classificações dos modelos. Vamos estudá-los agora.
2.1.2 Classificações mais comuns de modelos econométricos
Os modelos podem ser classificados de acordo com a função ou com as 
características do fenômeno econômico que se deseja modelar. Lembrando 
b - Relações institucionais ou legais – refletem efeitos 
provocados na atividade econômica por leis e normas, 
isto é, descrevem o impacto do ordenamento jurídico. 
Exemplo: Imposto sobre Circulação de Mercadorias e 
Serviços como função do faturamento.
c - Relações técnicas – refletem ou expressam as 
condições do processo de fabricação ou produção. 
Exemplo: função de produção.
d - Relações contábeis ou definições – expressam 
identidades entre magnitudes econômicas. Exemplos: 
(1) Lucro = Receita – Custo (2) Patrimônio líquido = 
Ativo real – Passivo real e (3) Y = C + I + G + X - M. 
(MATOS, 1995, p. 22).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
26
que as classificações não são excludentes e é fundamental entender a teoria 
que fundamenta a construção do modelo. Vamos ver quais são as principais 
classificações apresentadas por Matos (1995).
a - quanto à forma funcional: isto é, como se descreve a relação existente entre a 
variável dependente e independente em termos de evolução delas na medida em 
que aumenta o número de observações.
• Lineares – aqueles que são expressos por funções lineares (vide os tipos 
de funções no Quadro 1.1). Exemplos: 
(1) Y = a + bX
(2) Y = b0 + b1V + b2W
• Não lineares – aqueles expressos por funções não lineares (vide os tipos 
de funções no Quadro 1). Exemplos: 
(1) Y = a . Xb
(2) Y = a + b .1/x
b - quanto ao número de equações: isto é, quantas equações compõem o 
processo que descreve a relação entre as variáveis.
• uniequacionais - contêm apenas uma equação. Exemplo: 
W = a + bX + cY
• Multiequacionais – contêm, pelo menos, duas equações. Exemplo: 
Y = a + bF + cP
Q = d + fP + gU 
Y = Q
c - quanto à associação das variáveis com o tempo: isto é, se estamos observando 
as variáveis considerando o mesmo tempo ou ao longo do tempo.
• Estáticos – quando o ajustamento da variável dependente em função do 
efeito da variável explicativa ocorre simultaneamente no mesmo período de 
tempo (Cross Section). Exemplo:
Qt = a + bPt + cWt
• Dinâmicos – quando as variáveis se referem a períodos de tempo 
diferentes. Exemplo: Qt = a + bPt - 1 + cWt, onde a quantidade Q de um 
produto em t é função de seu preço de mercado P em t - 1 e do índice 
pluviométrico W em t.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
27
d - quanto à finalidade: isto é para que se constrói o modelo.
• Modelos de decisão são aqueles orientados para o processo de tomada 
de decisões.
• Modelo de previsão, que visam à previsão de valores de uma variável.
2.1.3 Modelos econométricos e suas qualidades
O bom econometrista não pode defender o uso de modelos de maneira arbitrária. 
Assim, a utilização de modelos deve levar em conta as qualidades de um modelo 
econométrico. Matos (1995) destaca algumas destas qualidades conforme as 
descrevemos a seguir. 
a - Plausibilidade teórica: espera-se que um modelo seja compatível com os 
postulados da teoria econômica, isto é, deve descrever e explicar adequadamente 
o fenômeno sob análise. Em especial, deve-se ter em mente que o fato da 
variáveldependente do modelo estar atrelado a variáveis independentes à relação 
estabelecida entre elas é fundamentada na teoria econômica, embora a relação 
possa ser estabelecida depois da coleta e, estudo dos dados, esta fundamentação 
não pode deixar de existir.
b - Capacidade explanatória: espera-se que o modelo seja capaz de explicar os 
dados observados, cuja relação ele determina. Podemos dizer que é necessário 
que depois de estimados os resultados, encontremos uma relação possível do 
ponto de vista quantitativo. 
c - Exatidão das estimativas dos parâmetros: neste caso, os parâmetros estimados 
pelo modelo deverão ser exatos no sentido de aproximar-se tanto quanto possível 
dos verdadeiros parâmetros estruturais. Em especial, depois de estimados os 
parâmetros, nós precisamos aplicá-los às observações que temos para ver o 
quanto eles permitem aferir, a partir dos valores estimados, os verdadeiros valores 
da variável dependente.
d - Capacidade de previsão: refere-se à capacidade do modelo de gerar previsões 
satisfatórias de valores futuros da variável dependente. Neste caso, esta capacidade 
torna-se mais confiável a partir do momento em que se aplica o modelo aos dados 
passados e verificamos que os valores apurados se aproximam dos valores reais da 
variável dependente, isto tornam mais confiáveis as projeções futuras.
e – Simplicidade: um bom modelo deve expressar as relações econômicas com 
o máximo de simplicidade. Esta simplicidade pode ser expressa em termos de 
número de equações e da forma matemática, ceteris paribus. Porém, deve-se 
observar que as relações econômicas são fundamentadas em teorias com certo 
grau de complexidade e é esta que confere a validade do modelo.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
28
2.1.4 As etapas da modelagem econométrica
Figura 1.2 – Etapas da construção de modelos econométricos
Fonte: Matos (1995, p. 26).
simnão
1ª Etapa:
Especificação ou 
construção do 
modelo
2ª Etapa:
Estimação 
do modelo 
especificado
3ª Etapa:
Avaliação da 
equação estimada
Formulação 
de hipóteses
Modelo 
Matemático
Modelo 
econômico
Coleta 
de dados 
apropriados
Estimação 
dos 
parâmetros
Avaliação dos 
resultados
As hipóteses 
são 
aceitáveis?
Rejeição das 
hipóteses
Revisão das 
hipóteses
Desistência 
das hipóteses
Previsão e/ou 
decisões
Aceitação das 
hipóteses
Teoria 
econômica
Observação 
do mundo 
real
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
29
É importante reconhecer que a construção de um modelo econométrico não 
pode surgir de uma vontade egocêntrica do pesquisador, mas que esta construção 
deva ser movida por critérios e regras fundamentadas em uma teoria. Para que 
se estabeleça um modelo econométrico é importante conhecer as etapas de 
estruturação de um modelo.
Na Figura 1.2, você pôde conhecer um resumo esquemático das principais etapas. 
Tal metodologia consiste basicamente em três etapas, quais sejam: especificação 
do modelo, estimação do modelo especificado e avaliação da equação estimada.
Na primeira etapa, para especificar um modelo precisamos observar a realidade, 
identificar um problema para o qual a análise possa ser feita utilizando-se da 
modelagem econométrica. Depois, se verifica a teoria econômica que nos permita 
fundamentar o problema, pois a partir disto poderemos formular as hipóteses. 
Feito isto podemos construir um modelo econômico e, neste caso, também é 
chamado de modelo matemático porque estabelece uma relação matemática 
entre as variáveis observadas. Depois podemos transformá-lo num modelo 
econométrico. Esta transformação ocorre com a incorporação do modelo geral 
dos parâmetros e do termo erro aleatório, conforme vimos no Quadro 1.1.
Podemos citar alguns exemplos, tais como:
• Venda de calçados (C) em função (f) do preço (P) e dos gastos 
promocionais (GP) => modelo matemático => C = f (P + GP) => estabelecer 
o modelo econométrico => C = a + bP + c(GP) + e. No modelo 
econométrico a, b e c são parâmetros a serem estimados e e é o termo erro 
aleatório. 
Outro exemplo seria: 
• Vendas de tinta (T) é função (f) dos gastos promocionais (GP), preço (P) e 
renda familiar disponível (RD) => modelo matemático => T = f (GP + P + RD) 
=> estabelecimento do modelo econométrico => T = a + bGP + cP + dRD 
+ e. No modelo econométrico a, b, c, d são parâmetros a serem estimados e 
e é o termo erro aleatório.
Na segunda etapa vamos em busca dos dados necessários para a estimação 
do modelo econométrico proposto. Segundo Gujarati (2011), a análise 
econométrica depende de dados adequados e os dados podem ser de três 
tipos: cortes transversais (cross section), séries temporais e dados combinados.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
30
Os dados de corte transversal “consistem numa amostra na qual todas as unidades 
são observadas num mesmo instante de tempo” (SCHRODER; PINA, 2012 p. 1) 
são coletados observando-se as variáveis no mesmo tempo. Exemplos de dados 
de corte transversal são: o censo demográfico cujo último feito no Brasil foi em 
2010, dados da Pesquisa Nacional de Amostra por Domicílios (PNAD), para um 
mesmo período. De fato, estas pesquisas podem ser feitas com certa periodicidade 
(mensal, anual, etc.), mas quando utilizamos apenas um único período ou um 
período intermediário destas pesquisas estamos utilizando dados cross section.
Dados de séries temporais constituem-se de um conjunto de observações dos 
valores que uma variável assume em diferentes momentos do tempo. Esses 
dados podem ser coletados em períodos, tais como: diariamente (ex.: preço de 
ações); semanalmente (ex.: preços do CEASA); mensalmente (ex.: IPCA, IGP, taxa 
de desemprego); trimestralmente (ex.: PIB); anualmente (ex.: orçamento público); 
quinquenalmente e decenalmente (ex.: Censo Demográfico).
Os dados de séries combinadas unem informações de observação para diferentes 
entidades em diferentes ao longo do tempo. Por exemplo, observar o PIB do Brasil, 
Paraguai, Uruguai, Argentina e Venezuela no período de 2000-2010, isto resultará 
na construção de uma tabela com 50 observações (5 países vezes 10 anos de 
observação para cada país). Um tipo de dados de combinados utilizados é o que 
chamamos de dados em painel no qual as unidades observadas são pesquisadas 
dentro de um corte de tempo. Devido à característica deste livro de ser um material 
introdutório, não será aprofundado o trabalho com séries temporais e dados em 
painel. A maior parte dos exemplos e destaques deste livro limita-se a trabalhar 
com dados cross section.
Em relação à fonte de dados, hoje, podemos encontrar dados disponibilizados 
por instituições públicas de pesquisa na internet, destacando que os dados mais 
utilizados por economistas são os dados não experimentais. Estes dados têm a 
característica de não serem controlados, mas apenas coletados pelo pesquisador. 
Podemos citar como exemplo: o PIB, as taxas de desemprego, inflação, taxa de 
câmbio, preço das ações etc.
Você poderá estudar mais sobre dados e conceitos básicos desta 
segunda etapa lendo o Capítulo 1, Tópico 1.1, do livro de Econometria, 
de James H. Stock e Mark W. Watson, publicado em 2004 e disponível 
na biblioteca digital Pearson.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
31
Em relação à precisão dos dados utilizados, devemos fazer alguns alertas sobre a 
qualidade de tais dados. Podem ocorrer erros na coleta de dados (experimentais 
ou não), os dados econômicos são apresentados de maneira muito agregada 
e a confidencialidade de alguns dados realmente impede a divulgação mais 
desagregada deles, por exemplo, os dados da declaração do imposto de renda 
quando divulgados são somente dados agregados para impedir o reconhecimento 
de um únicoindivíduo. Portanto, sempre que se utilizar uma fonte de dados deve-
se conhecer sua abrangência e suas limitações e sempre que possível destacar 
em nota as observações que possam levar a alguma dúvida sobre a natureza dos 
dados utilizados para a realização de um estudo econométrico.
Outro aspecto importante em relação aos dados é a atenção que se deve dar 
à escala de medição das variáveis, pois além das considerações matemáticas 
normais tais como quantidade/peso (dados em ton. não podem ser misturados 
com dados em kg; devem-se transformar os dados numa mesma unidade) 
unidades com unidades (somar dados de unidades diferentes sem respeitar a regra 
de transformação) também temos que observar a unidade de referência na coleta 
dos dados.
Assim os dados podem ser gerados com escalas de razão, por exemplo, o PIB per 
capita é uma razão que resulta da divisão do PIB pela população residente no país. 
Quanto à escala de intervalo, você pode utilizar um intervalo de tempo, mas não 
pode utilizar a razão entre dois intervalos, pois a análise ficaria sem sentido. 
Existem variáveis com escala nominal como, por exemplo, gênero (masculino/ 
feminino) ou estado civil (casado/solteiro) elas apenas denotam categoria e não 
podem ser apresentadas como nenhuma das demais escalas, mas podem assumir 
valores que diferenciem, por exemplo, 1 se for masculino e 0 para feminino. 
Neste caso teremos um dado meramente diferencial e que chamamos de variável 
dummy, caso que estudaremos mais adiante. 
Você conhece alguma base de dados pública? 
Procure esta fonte e verifique as informações e como 
elas estão disponíveis neste banco de dados.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
32
Ainda na segunda etapa temos estimação dos parâmetros, de posse dos dados 
o próximo passo é proceder ao cálculo dos parâmetros. A estimativa numérica 
destes permite fornecer o conteúdo empírico ao modelo. A ferramenta através da 
qual a econometria realiza a estimação dos parâmetros é a análise de regressão. 
O termo regressão foi criado por Francis Galton, que constatou que a altura dos 
pais poderia influenciar a altura dos filhos, porém todos regridem a uma média 
populacional (conforme Gráfico 1.1); e Karl Pearson, que ao analisar grupos de 
filhos de pais altos e baixos constatou que filhos de pais altos tendem a ser mais 
baixos, e vice e versa, desta forma a altura deles sempre regride a uma média da 
altura populacional. Mas a moderna descrição de regressão é:
Se aplicarmos este conceito ao estudo de Galton e Pearson, por exemplo, podemos 
ver que a preocupação em prever a altura média dos filhos (variável dependente) 
com base no conhecimento da altura dos pais (variável independente) poderia 
ser expresso num diagrama (ou gráfico) de dispersão, conforme Figura 3. Neste 
diagrama foram plotados a altura dos filhos, dada a altura fixa dos pais, verifica-se 
que para cada altura dos pais os filhos podem ser mais altos ou mais baixos, porém 
a média da altura dos filhos tende a elevar-se com a altura dos pais. Assim, se 
conectarmos as médias de cada grupo, teremos uma linha de regressão, esta 
espelha como a altura média dos filhos se eleva com a altura dos pais.
Esta linha de regressão traçada sem a estimação de parâmetros e obtida apenas 
da plotagem dos dados observados em um diagrama de dispersão pode ser 
definida como “linha que conecta o valor médio da variável dependente (altura dos 
filhos) correspondente a um dado valor da variável exploratória (altura dos pais)” 
(GUJARATI, 2011, p. 40).
A análise de regressão diz respeito ao estudo da 
dependência de uma variável, a variável dependente, 
em relação a uma ou mais variáveis, as variáveis 
exploratórias, visando estimar e/ou prever o valor 
médio (da população) da primeira em termos dos 
valores conhecidos ou fixados (em amostragens 
repetidas) das segundas (GUJARATI, 2011, p. 29).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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33
Em termos econômicos a aplicabilidade da análise de regressão pode ser realizada 
para diferentes problemas, podemos citar como exemplo: plotar o gasto com 
consumo partindo da renda disponível, plotar a elasticidade preço da demanda 
partindo dos preços e quantidades previamente conhecidos, plotar o desemprego 
dados os níveis de salários nominais. 
È importante destacar que em econometria a regressão consiste em “com base 
em uma série de dados de duas ou mais variáveis, encontrar a equação que melhor 
represente a relação entre elas” (VASCONCELLOS, 2000, p. 21).
É importante destacar que na regressão lidamos comum a relação estatística entre 
variáveis com distribuição aleatória ou estocástica, isto é, que tem distribuição 
probabilística. O sentido disto é dizer que no processo de estimação dos parâmetros 
da relação entre variáveis (dependente e independente) não conseguiremos prever 
com certeza o valor exato, apenas o valor estimado dos parâmetros e da variável 
Figura 1.3 – Diagrama de dispersão 
Fonte: Gujarati (2011, p. 40).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
34
dependente. Por outro lado, quando uma relação é exata, ou seja, determinística, 
e já se conhece esta relação não há porque encontrar valores estimados para tais 
relações.
Outro aspecto importante é que embora na análise de regressão dispusemos sobre 
variável dependente e independente, a ideia de causação, isto é, os resultados 
dos parâmetros não permitem identificar se a variável dependente seja causa ou 
consequência. Por exemplo, não se pode afirmar que as pessoas gastem mais 
porque tem renda maior ou se elas gastam mais e procuram ter renda maior para 
isto. O significado disto é que a relação de dependência não pode ser inferência 
de causa. A causa deve ser buscada na teoria econômica, que fundamenta o que 
causa o quê e por quê.
Outro aspecto importante é determinar o grau de associação entre a variável 
dependente e independente, isto é, medir a correlação entre as variáveis. Na 
análise de correlação procuramos identificar quanto uma variável está associada 
linearmente à outra. O coeficiente de correlação mede a intensidade desta relação 
linear. Aqui não importa a relação de dependência, pois as variáveis são tratadas 
simetricamente, buscamos identificar a associação linear dos valores apresentados, 
isto é, na correlação encontra-se um valor determinístico e não probabilístico. 
Porém, aconselha-se, antes de iniciar qualquer processo de análise de regressão, 
que se analise a correlação entre as variáveis e que uma correlação forte pode ser 
um dos indícios de que teremos bons parâmetros estimados pela regressão.
Concluindo-se que na análise de regressão vamos estabelecer relações de 
dependência entre as variáveis, mas não de causação, e que a correlação é 
um indício de associação linear entre as variáveis estabelecida de maneira 
determinística. A análise de regressão apresenta uma relação que é probabilística, 
não determinística, aleatória e estocástica, palavras com significados diferentes 
para pontuar que os valores da regressão são estimados, isto é, se aproximam de 
um valor real. Por isto a regressão estima uma reta de valores estimados e que para 
obtenção do verdadeiro valor da variável dependente terá que se acrescentar um 
termo de erro, também aleatório. 
Na terceira etapa vamos realizar a avaliação da equação estimada. O objetivo é 
verificar a adequação dos parâmetros às hipóteses tanto do modelo quanto do 
método escolhido. “Considerando que o modelo ajustado seja uma aproximação 
razoavelmente de boa qualidade, é preciso desenvolver critérios adequados para 
verificar se as estimativas obtidas, estão de acordo com a teoria que está sendo 
testada” (GUJARATI, 1995, p. 31).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
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Em nossos estudos,o método mais utilizado será o de mínimos quadrados 
ordinários e mais à frente conheceremos mais detalhes deste. No processo de 
análise, eles devem passar pelo processo de inferência estatística, isto é, realizar-se-
ão os testes de hipóteses. As hipóteses referem-se tanto à teoria econômica quanto 
aos pressupostos básicos do modelo de regressão linear por mínimos quadrados. 
Os principais testes são: teste t, teste F, teste quiquadrado, cujos detalhes também 
veremos mais à frente. Outros indicadores importantes do ajuste da equação são 
o coeficiente de determinação (R2) e análise dos erros ou resíduos da regressão.
Caso, após o teste de hipótese, estes sejam aceitáveis, o modelo mostra-se 
adequado à utilização para previsão ou auxiliar no processo de tomada de decisão. 
Caso as hipóteses sejam rejeitadas, existem dois procedimentos que podem ser 
tomados pelo pesquisador: revisão das hipóteses e teoria utilizada a priori ou 
desistência das hipóteses.
No auxílio, a estimação de modelos por meio de regressões é hoje realizada em 
sua maioria por softwares, tais como: R, SPSS, STATA, EWIEWS, SAS, MINITAB, 
entre outros. Destes, o único disponibilizado gratuitamente é o R. Tendo em vista 
a dimensão dos nossos estudos neste curso introdutório, não caberia ensinar a 
utilização deste software que é demasiado complexo. Então em nosso livro vamos 
utilizar, em muitos casos, a ferramenta de regressão do Excel, conforme vocês 
viram também no livro e Métodos Quantitativos (Estatística).
Pois bem, depois de explorarmos os detalhes da construção do modelo 
econométrico, nós vamos nos dedicar a aprofundar os estudos sobre as formas 
apropriadas para especificar um modelo.
1. Explique o que se entende por modelo.
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Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Seção 3
Especificação de modelos
Introdução à seção
É importante conhecer a fundo os passos para especificação do modelo. O 
pesquisador deve dedicar um tempo maior à construção do modelo, pois a maioria 
das dificuldades enfrentadas nas estimativas surge de erros na especificação do 
modelo.
Neste sentido, nesta seção, você poderá compreender os passos para especificação 
do modelo, bem como conhecerá as principais consequências de erros de 
especificação.
3.1 Requisitos básicos de um modelo
A especificação do modelo nada mais é do que expressar a forma econométrica 
de um modelo econômico. Naturalmente, a construção do modelo econômico 
foi realizada com base na teoria econômica. Assim, a estrutura de tal modelo, 
bem como as relações que se estabelecem entre as variáveis utilizadas, surge do 
prévio conhecimento e esclarecimento por parte do pesquisador sobre a teoria 
econômica que fundamenta suas escolhas. Desta forma, Matos (1995, p. 28) 
adverte que:
Na especificação de um modelo, dever-se-ão 
considerar, inicialmente, os seguintes requisitos:
a) Delimitação do fenômeno ou grupo de fenômenos 
a ser estudado; 
b) Identificação das variáveis; 
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Podemos expandir o entendimento da explicação de Matos (1995) descrevendo 
melhor cada um dos requisitos e etapas do trabalho econométrico. No campo 
da pesquisa, uma das questões mais difíceis de estabelecer de forma clara é a 
delimitação do fenômeno a ser estudado o que requer, inicialmente, que se defina 
o problema de pesquisa. Na metodologia e em técnicas de pesquisa, você já deve 
ter lido algo sobre o problema de pesquisa.
De maneira geral, o problema é definido por meio de uma pergunta clara e objetiva 
que requer estudos aprofundados para que se possa encontrar um resultado, 
solução, arcabouço, reconstrução, enfim, é necessário conhecer o problema em 
profundidade explorar seus aspectos e chegar a uma conclusão para o problema 
proposto.
No caso da modelagem econométrica, se define o problema por meio de 
uma pergunta que via de regra inclui como resposta prévia a necessidade de 
mensuração de resultados, isto é, a busca de solução requer necessariamente o 
uso de uma regressão. Então, vamos supor que tenhamos a seguinte questão: 
quais os determinantes da demanda de leite tipo C, no município de Londrina, 
entre 1990-2000? 
O que é um problema de pesquisa?
c) Estabelecimento das relações entre as variáveis; 
d) Definição da finalidade do modelo, a fim de 
orientar a especificação da forma matemática, a 
seleção de variáveis e o número de equações. 
Em consequência, a especificação é a etapa 
do trabalho econométrico que envolve: (a) a 
determinação das variáveis dependentes e explicativas 
a serem incluídas no modelo; (b) a expectativa a 
priori dos sinais e da magnitude dos parâmetros; (c) 
a forma funcional (linear ou não linear); (d) o número 
de equações; e (e) forma de mensuração das variáveis, 
como unidades adotadas, defasagens ou avanços de 
efeitos de variáveis temporais, etc.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
39
Nesta pergunta conseguimos delimitar o tema de estudo: demanda de leite; 
especificação do tema: leite tipo C; o local que estamos observando e do qual 
extrairemos os dados: em Londrina; e o período de estudo: entre 1990-2000.
No processo de identificação das variáveis, a teoria desempenha um papel 
importante, pois como toda pesquisa requer uma revisão de literatura, isto é, que 
o pesquisador leia o que já foi produzido sobre o tema para a partir daí elencar 
as variáveis que farão parte de seu estudo. Depois de apresentar as variáveis que 
são justificáveis pela teoria e pesquisas anteriores, o pesquisador poderá propor 
a inclusão de novas variáveis justificando a presença de cada uma delas em seu 
estudo.
Continuando com nosso exemplo, os estudos sobre demanda (D) de leite informam 
que ela pode ser influenciada pelo preço (P) do leite (lei geral da demanda), pela 
renda (R) dos consumidores e pelo gosto (G) ou preferência. E nosso conhecimento 
sobre o município de Londrina nos permitiria incluir outra variável a localização (L) 
ou bairro. 
O próximo passo seria descrever a relação esperada entre a variável dependente 
e as variáveis independentes. Nossa variável dependente é a demanda de leite 
(D) e as demais seriam as variáveis independentes (P, R, G, L). Em nosso exemplo, 
elas teriam a seguinte relação com a demanda: quanto maior o preço menor a 
demanda, quanto maior a renda maior a demanda, quanto mais o consumidor 
gostar de leite maior a demanda e quanto mais próximo ao centro, como ideia 
de melhor localização, maior a demanda por leite. Desta forma, a finalidade deste 
modelo será estimar a demanda de leite no município de Londrina.
A descrição da relação entre as variáveis permite especificar a forma matemática da 
relação entre elas, desta forma, nós teríamos um modelo matemático representado 
por:
 D = - P + R + G + L
E finalmente relação estabelecida é de uma função linear e ao incluirmos o termo 
de erro (também chamado resíduo) adicionando os parâmetros a serem estimados 
teremos o modelo econométrico, de tal forma que:
 D = b
0
 – b
1
P + b
2
R + b
3
G + b
4
L + u
 b
0 
= Intercepto
 b
1
 .... b
4
 = parâmetros das variáveis independentes
 u = termo erro ou resíduo aleatório.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
40
Neste sentido é importante conhecer as principais fontes de informações às quais 
o pesquisador pode recorrer para dar subsídios à construção de um modelo. 
3.2 Fontes de informações necessárias à especificação de modelos
Podemos citar como principais fontes de informação para construção do modelo: 
i) a teoria econômica, estudos anteriores, ii) conhecimento sobre as condições 
específicas do fenômeno e iii) o termo erro aleatório.
Na TeoriaEconômica, buscamos conhecer os elementos necessários para 
entender os pontos relevantes e que permitam identificar de maneira clara o 
fenômeno observado, destacando a variável dependente e a independente, bem 
como fundamentando a relação entre elas. 
Na maioria dos modelos que usam a denominação 
'econométrico' existe, em geral, uma combinação de 
coeficientes livremente calculados por via dos dados 
disponíveis e outros que são fixados, pressupostos 
ou restritos, devido a limitações relativamente à 
quantidade e qualidade dos dados de uma amostra. 
Estas restrições ou pressupostos podem, muitas vezes, 
ser feitos de acordo com a teoria econômica, ou usam, 
por vezes, resultados de outras amostras / bases de 
dados, esperando que os mecanismos econômicos se 
apliquem de forma similar.
É muito importante que o pesquisador tenha 
em mente que as definições dos elementos e da 
relação entre eles surgem da teoria e das pesquisas e 
constituem as hipóteses estabelecidas. Estas hipóteses 
são reunidas num modelo e estarão sujeitas a posterior 
confrontação com as informações fornecidas por 
dados amostrais. Essa confrontação pode resultar em 
concordância total, parcial ou mesmo discordância 
total (MATOS, 1995). 
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
41
No nosso exemplo da demanda do leite, a Lei da Demanda e os determinantes 
da demanda são analisados e nos permitem identificar as variáveis relevantes, e 
contribuem para se estabelecer quais determinantes são relevantes e como seria, 
num primeiro momento, a relação entre as variáveis. 
Os estudos anteriores reforçam os determinantes previamente estabelecidos na 
teoria econômica, assim como, permitem acrescentar e vislumbrar mais variáveis 
que permitam enriquecer o modelo, explorando outros aspectos não pensados no 
momento inicial, mas que podem se mostrar originalmente. 
Em nosso exemplo, quando acrescentamos a variável localização, esta poderia ter 
surgido porque ao ler artigos científicos sobre o tema, é comum associar consumo 
de um bem à localização. Destaca-se que “além de novas variáveis, informações 
sobre efeitos defasados, formas funcionais, medidas, inter-relações entre as 
magnitudes econômicas etc. podem ser sugeridas em estudos anteriormente 
realizados” (MATOS, 1995, p. 29).
Existem estudos nos quais após extensa pesquisa o pesquisador detectou que a 
abordagem de um fenômeno não contemplou algumas variáveis ou condições 
adversas. Neste caso, as condições específicas de um fenômeno estudado podem 
ser incorporadas ao modelo. No nosso exemplo, incluir no modelo a hereditariedade 
do consumo de leite, ou seja, verificar se filhos de pais que consomem leite 
consomem leite também como um dos determinantes da demanda de leite, no 
município de Londrina, poderia ser esta a situação específica que não apareceu 
nos estudos anteriores. 
Pode-se dizer que, em termos de pesquisa científica, boa parte dos novos 
conhecimentos é construída a partir de incrementos em pesquisas anteriores. 
Estes incrementos surgem devido à existência de condições específicas que 
necessitam ser investigadas e que podem constituir-se em fatores relevantes para 
aperfeiçoamento das discussões sobre o fenômeno observado. Podem incluir 
desde atualização de dados, aplicação de um experimento já realizado em uma 
região para estudar outra região, testar novas formas funcionais para estudos já 
realizados. 
Por fim, todo modelo não é completo, isto é, não pode dar conta de explicar 100% da 
realidade, aliás, ele é construído para ‘tentar’ explicar parte da realidade. Neste sentido 
justifica-se a sua inclusão em todos os modelos do termo erro aleatório. Por outro 
lado, deve-se destacar que um modelo deve explicar boa parte da realidade, indicando 
que o termo erro engloba apenas os fatores menos relevantes para a explicação do 
fenômeno. Os atores irrelevantes captados pelo termo erro não são incorporados ao 
modelo em virtude da impossibilidade de medi-los ou de seu desconhecimento. Disto 
conclui-se que o termo erro deve ser pequeno e ter pouca significância, pois, caso 
contrário, teríamos um modelo com erros de especificação ou de medida.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Matos (1995) explicita um exemplo de especificação de modelo tomando por base 
a teoria econômica sobre a demanda. Em seu modelo, a quantidade demanda de 
um produto importado (Q) é uma função (f) do preço do bem (P), da existência 
de bens complementares (C), do preço dos bens substitutos (S), da renda do 
consumidor (Y), do gosto ou preferência (G). 
Depois de realizar uma pesquisa em estudos anteriores, o modelo poderia 
incorporar outras variáveis, tais como o volume de crédito disponível para aquisição 
do produto (F) e o índice de distribuição de renda (D). 
De posse do conhecimento da realidade que envolve o estudo, as condições 
específicas do evento observado poderiam sugerir a inclusão das tarifas existentes 
sobre o produto importado (T) e as restrições existentes para a importação do 
produto (R). Por fim, o modelo incorporaria também o termo erro aleatório para 
captar os efeitos de variáveis que afetam o modelo embora sejam desconhecidas 
pelo pesquisador. Desta forma, o modelo seria expresso por:
Q = f (P, C, S, Y, G, F, D, T, R, u)
Um modelo matemático como este pode assumir a forma de uma função linear 
e ser expresso por: 
Q = b0 + b1P + b2C + b3S + b4Y + b5G + b6F + b7D + b8T + b9R + u
Neste modelo b
0
 é o intercepto, b
1
 ... b
9
 parâmetros e u o termo erro. Então se 
descreve como a teoria econômica permite também traçar a relação existente 
entre a variável dependente de forma a expressar o sinal matemático desta relação.
Define-se agora, com base na teoria econômica ou 
na observação direta da realidade, o sentido de variação 
de cada variável explicativa. Isso é traduzido no modelo 
pelo sinal associado a cada parâmetro. Se o efeito da 
variável for direto, o sinal esperado será positivo. No 
caso de impacto inversamente proporcional, esperar-
se-á sinal negativo. Ter-se-á sinal positivo ou negativo 
(diferente de zero), na hipótese de efeito ambíguo, 
ou seja, sentido de variação não definido a priori. A 
direção do efeito, ou – o que é a mesma coisa – o sinal 
do parâmetro, pode ser expressa pela derivada parcial 
da variável dependente em relação a cada uma das 
variáveis explicativas (MATOS, 1995, p. 30).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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Então, de acordo com a teoria econômica, a expectativa é de que os parâmetros 
da equação teriam os seguintes sinais:
δ = é a derivada matemática e segue as regras de derivação estudadas por você 
na disciplina de Cálculo I. A relação entre as variáveis do modelo pode ser positiva 
(>0) ou negativas (<0), sendo expressa na equação econométrica por sinais (+ 
ou -). Após esta fase de apresentação dos sinais esperados dos parâmetros da 
equação, pode-se então apresentar o modelo econométrico conforme segue:
Q = b0 - b1P - b2C + b3S + b4Y + b5G + b6F + b7D - b8T - b9R + u
Perceba que os itens grifados na equação (b1, b2, b8 e b9) tiveram mudança de 
sinal em relação ao modelo matemático, isto ocorreu porque identificamos que:
• De acordo com a teoria econômica, pela lei da demanda, se o preço (P) 
do bem sobre a quantidade demandada (Q) diminui por isto - b1P. 
• De acordo com a teoria econômica, se o preço dos bens complementares 
(C) sobe, a quantidade demanda (Q) do bem principal reduz-se por isto - b2C. 
• De acordo com estudos anteriores, levantou-se que os impostos sobre 
importação (T) e as restrições existentes a importação do produto (R) 
reduzem a quantidade demandada (D), por isto - b8T e - b9R.
Adverte-se que em geral não é indicado que um modelo incorpore muitas 
variáveis explicativas, porque muitasdelas terão, na prática, efeitos estatisticamente 
desprezíveis e também haverá certa dificuldade em estimar os parâmetros e corrigir 
os erros que possam surgir devido à violação dos pressupostos básicos de um 
modelo, conforme veremos mais adiante. 
Outra observação importante sobre os modelos é que eles podem ser construídos 
previamente, porém deve-se sempre conhecer alguma teoria aplicável ao modelo 
que o fundamente, pois a construção de modelos sem teoria pode apresentar 
implicações tais como: a) elevado condicionamento à hipótese ceteris paribus; b) 
descrição, mas não explicação do fenômeno e por fim c) esterilidade do modelo 
à medida que não permite atuar sobre o curso do fenômeno estudado (MATOS, 
1995).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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44
3.3 A expressão matemática adequada ao modelo linear
Em econometria básica se exploram os modelos lineares, isto quer dizer que a 
relação entre as variáveis deve ser expressa por uma função linear. Nos exemplos 
anteriores, a relação linear expressava que quando as variáveis independentes 
variam (aumentam ou reduzem) provocam alterações proporcionais na variável 
dependente (aumento ou redução), ocorre que isto nem sempre representa a 
realidade.
É necessário conhecer e realizar um estudo sobre a melhor forma de relação 
matemática entre os valores das variáveis dependentes e cada uma das variáveis 
independentes para verificar qual a melhor forma funcional para o modelo 
matemático e, depois escolher a forma de linearizar tal modelo, pois em regressão 
precisamos trabalhar com modelos que a relação entre os parâmetros seja linear. 
Matos (1995) apresenta uma tabela com as principais formas linearizáveis conforme 
podemos ver na Tabela 1.1.
Para cada uma destas formas funcionais deve-se observar o correto procedimento 
de linearização da forma original, que é o que se descreve na terceira coluna do 
Quadro 1.1. Também é importante verificar as restrições impostas à utilização da 
forma. Estas funções e suas transformações também já são bem conhecidas por 
você depois de ver os estudos da disciplina de Cálculo I. Em econometria, antes 
de rodar qualquer regressão, você precisa definir qual delas é mais adequada, pois 
você precisará carregar os dados já com a transformação linear.
Tabela 1.1 - Formas Funcionais convencionais
Fonte: Matos (1995, p. 32)
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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45
Em alguns softwares mais específicos para estudos econométricos, como Stata, 
é possível realizar as transformações por comandos dentro do próprio programa, 
não sendo necessária a transformação prévia dos dados. Porém, como o software 
mais acessível e comum que utilizaremos é o Excel, que é uma planilha de cálculo, 
carregar os dados já transformados em uma etapa anterior é indicado, pois ele não 
tem esta transformação disponível por comandos, dentro da ferramenta de análise 
de regressão que ele disponibiliza. Você pode ver a descrição gráfica das formas 
funcionais na Figura 1.4.
Figura 1.4 – Formas funcionais
Você consegue se lembrar dos tipos de funções que 
você estudou em Cálculo I?
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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46
Cada uma destas funções tem suas características e aplicabilidade na economia, 
vamos conhecer um pouco sobre elas e suas aplicações.
A função logarítmica é muito utilizada na estimação de funções de produção e 
de demanda. 
Fonte: Adaptado de Matos (1995, p. 32-33).
No caso de funções de produção, torna-se possível 
testar a existência ou não de retornos constantes, 
crescentes ou decrescentes de escala do uso de algum 
insumo. No que se refere a equações de demanda, 
o uso da forma logarítmica permite o cálculo de 
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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47
A função exponencial é utilizada para descrever processos de crescimento de 
uma variável no tempo, de tal forma que:
A função semilogarítmica II é utilizada quando estamos mensurando um efeito 
sobre uma variável dependente na qual os acréscimos na variável independente 
fazem a variável dependente crescer a taxas positivas, porém declinantes na medida 
em que a variável independente aumenta. Exemplo econômico é o efeito Engel.
elasticidade constante. De modo geral, o uso de tal 
função é adequado toda vez que uma variável cresce 
com o aumento de outra, porém a taxas decrescentes 
ou crescentes. Serviria, então, para captar o efeito Engel 
da renda disponível sobre o consumo (crescimento a 
taxas decrescentes) ou sobre a poupança (crescimento 
a taxas crescentes) (MATOS, 1995, p. 32).
Particularmente, tem-se que LnY Lna Lnb.t, a 
taxa de crescimento, g = (antiln b - 1) x 100. Pode-se 
igualmente aplicar tal função quando uma variável 
cresce (ou decresce) com os acréscimos de outra, 
porém a taxas crescentes (decrescentes). [...] A restrição 
é que a variável dependente assuma somente valores 
positivos (MATOS, 1995, p. 34).
O efeito Engel pode ser aplicado sobre o consumo individual. Isto 
implica que as taxas de variação das despesas individuais de consumo 
de um dado bem são positivas, mas declinam com os acréscimos de 
renda.
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
48
Na função hiperbólica ou recíproca, as variáveis podem assumir tanto valores 
positivos quanto negativos. “Portanto, pode-se utilizar a função hiperbólica, quando 
a relação entre as variáveis não for linear e estas assumirem valores diferentes de 
zero” (MATOS, 1995, p. 34).
A função com forma quadrática é utilizada quando a relação entre as varáveis é 
crescente, até certo ponto atinge um limite e depois se torna decrescente gerando 
uma curva em formato de U ou também U invertido. Podemos citar, como exemplo, 
a curva de custo marginal, a maximização dos lucros e maximização da utilidade. 
A função na forma logística: Observe-se que, nessa função, se X + 8 , Y M. 
Por outro lado, se X - 8 , Y 0.
Depois de compreendido um pouco sobre as formas funcionais, adverte-se que 
em muitos casos pode ser indicada uma combinação de formas funcionais, porém 
esta mescla deve estar amparada na teoria econômica. 
3.4 Alguns critérios para auxiliar a escolha da forma funcional
No estudo introdutório de econometria, em que o estudante ainda conhece pouco 
sobre todo o arcabouço teórico da economia, sugere-se que ele busque iniciar 
seus estudos utilizando como base algum conhecimento teórico; reforçar este 
conhecimento por meio de pesquisa bibliográfica; e que utilize artigos e pesquisas 
anteriores como base. Seu processo de aprendizado sobre modelos pode passar 
pela reprodução de resultados encontrados em estudos anteriores. Esta etapa é 
importante para verificar o nível de conhecimento sobre o modelo econométrico 
que se pretende utilizar.
Em face dessas características, tal função é, em geral, 
utilizada na descrição do comportamento de variáveis 
que começam a crescer vagarosamente, passando a 
aumentar rapidamente e, finalmente, alcançam um 
ponto de saturação M. Tal forma funcional é usada, por 
exemplo, para descrever o crescimento demográfico 
ou das vendas de um produto novo ao longo do tempo 
(MATOS, 1995, p. 34).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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49
Por outro lado, na medida em que avança em seus estudos, o pesquisador perceberá 
que “a teoria econômica, em geral, informa muito pouco sobre a forma funcional 
mais adequada a ser usada na especificação de um modelo econométrico. 
Ademais, não existe nenhuma regra prática para a solução do problema”. (MATOS, 
1995, p. 36).
 Normalmente, a escolha de um modelo começa por uma pequena indicação da 
teoria, segue-se a análise de dados e, ao verificar problemas com o modelo que é 
apontado pelos testes (que veremos mais adiante), retoma-sea forma funcional, 
verificando outras possibilidades além da testada. Também se recorre à inclusão 
ou exclusão de variáveis. Matos (1995) sugere que se utilizem alguns critérios, tais 
como: 
a. Simplicidade – entre uma forma funcional simples 
e uma complexa, tende-se a escolher a primeira, se 
ambas explicam o fenômeno de modo igualmente 
bem. A virtude da simplicidade é talvez a razão pela 
qual muitos pesquisadores escolhem a forma linear.
b. Indicação da teoria econômica – como o objetivo 
de um modelo econométrico é dar conteúdo empírico 
às formulações teóricas, o uso de várias formas 
funcionais e a escolha da que apresenta resultados mais 
satisfatórios, mas sem uma justificativa teórica, poderá 
resultar numa mensuração desprovida de significado 
econômico, isto é, seria uma relação espúria, um mero 
exercício estatístico e não uma análise econométrica. 
c. Poder preditivo – na verdade, um modelo 
econométrico não deve apenas sumariar um 
fenômeno efetivo, mas também ser útil para previsões. 
Isso significa que a forma funcional deve, pelo menos, 
ajustar-se bem aos dados (MATOS, 1995, p. 36).
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
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A solução de todos esses problemas ainda não é completamente dominada ou 
possível dentro da econometria. Em alguns casos, os problemas são identificados 
como: autocorrelação serial, heterocedasticidade e multicolinearidade, em outros 
o problema é como realizar a mensuração de variáveis subjetivas.
De qualquer modo, o saldo é positivo, pois, ainda que inexistam plenas soluções, o 
exame crítico dos problemas que persistem é fundamental. Isso é possível através 
de testes, comparações, melhoria de dados etc. O importante é lançar luzes na 
obscuridade.
3.5 Limitações da econometria
A econometria apresenta limitações, sobretudo por se tratar da mensuração de 
relações em uma ciência social e cujos dados espelham algumas peculiaridades e 
que não são possíveis de modelar corretamente. Assim as limitações podem surgir 
de duas fontes específicas, conforme destaca Matos (1995, p. 48):
Seriam problemas de ordem estatística:
a) dificuldade de dar tratamento a alguns tipos de 
modelos não lineares; 
b) autocorrelação observada entre os termos 
residuais; 
c) erros de observações nas variáveis; 
* amostras pequenas e/ou não representativas; 
* intercorrelação entre as variáveis explicativas, 
impedindo o pleno conhecimento da verdadeira 
relação (multicolinearidade). 
Do ponto de vista econômico, destacam-se os 
seguintes obstáculos:
a) dificuldade de incorporar aos modelos fatores 
subjetivos como atitudes, opiniões, expectativas, 
intenções, gostos do consumidor etc.; 
b) problema de classificação de variáveis em 
endógenas e exógenas, ou seja, dificuldade de 
estabelecer a direção do efeito das variáveis; 
c) problema de especificação da teoria e dos erros. 
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
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1. Especifique quais são os requisitos básicos para compor um 
modelo.
2. Explique alguns critérios relevantes para a escolha de um 
modelo. Matos (1995) sugere que se utilizem alguns critérios, 
tais como: 
Nesta unidade, você estudou a econometria e a importância de 
delimitar bem um modelo para que ele possa ser utilizado como 
um método que auxilie na realização de pesquisas e no processo 
de tomada de decisão. Compreendeu as dificuldades e limitações 
na mensuração de resultados. Assim discutimos o conceito, 
evolução e objetivos da econometria, bem como entendemos o 
que é um modelo econométrico e um pouco sobre a análise de 
regressão. Para finalizar estudamos as exigências e necessidades 
da especificação de modelos econométricos. 
Para aprofundar os conhecimentos discutidos nesta unidade, 
você poderá continuar estudando lendo o Capítulo 1 – Questões 
de Dados Econômicos, Capítulo 2 – Revisão de probabilidade e 
o Capítulo 3 do livro Econometria, dos autores James H. Stock e 
Mark W. Watson, publicado em 2004 e disponível na Biblioteca 
Digital Pearson. Desejo-lhe bons estudos!
Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
U1
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1. Explique o que é análise de regressão e dê um exemplo:
2. Apresente as diferentes formas de classificação de modelos:
3. Explique o que é cada um dos três tipos de dados que podem ser 
utilizados na modelagem econométrica.
4. Explique os três critérios para escolha da forma funcional.
5. Vamos imaginar que você tenha recebido o seguinte modelo 
matemático:
Y = C + I + G 
E recebesse a informação sobre a relação da variável dependente (Y) em 
relação às variáveis dependentes.
Y/ C = b
1
 > 0 Y/ I = b
2
 > 0 Y/ G = b
3
 > 0
Considerando os demais componentes de um modelo econométrico, 
reescreva o modelo matemático em forma de modelo econométrico.
U1
53Conceitos introdutórios e especificação de modelos econométrico
Referências
GUJARATI, D. N. Econometria básica. 5. ed. Porto Alegre: Macgraw Hill, 
2011.
HILL, R. Carter. Econometria. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
LANGE, O. Introdução à econometria. Rio de Janeiro: Fundo de Cultura, 
1961.
MATOS, O. C. Econometria básica: teoria e aplicações. São Paulo: Atlas, 
1995.
PINDYCK, R. S.; RUBINFELD, D. L. Econometria: modelos e previsões. Rio 
de Janeiro: Elsevier, 2004.
SANDRONI , Paulo. Novíssimo Dicionário de Economia. São Paulo: 
Editora Best Seller, 1999.
SCHRODER, B.; PINA, V. Econometria para concursos. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2012.
VASCONCELLOS, Marco A. (orgs.). Manual de econometria: nível 
intermediário. São Paulo: Atlas, 2000.
Unidade 2
MODELO LINEAR GERAL E 
INCLUSÃO DE VARIÁVEIS 
ESPECIAIS
Em que se apresentam os pressupostos do modelo de regressão linear 
simples e as equações que permitem estimar os parâmetros.
Na qual se exploram os critérios adotados para a estimativa do modelo, 
bem como se apresentam as estatísticas de avaliação.
Em que se aborda a extensão do MQO com a inclusão de mais variáveis 
independentes (explicativas) no modelo, destacando a forma de 
estimação de parâmetros.
Seção 1 | O método dos mínimos quadrados ordinários 
(MQO)
Seção 2 | Avaliação de Modelos Estimados
Seção 3 | Modelo de Regressão Múltiplo
Objetivos de aprendizagem: Nesta unidade, você será levado a compreender 
o modelo de regressão linear simples e múltiplo, bem como a inclusão 
de variáveis especiais para promover a melhor adequação do modelo 
a situações especiais. Utilizaremos o Método dos Mínimos Quadrados 
Ordinários (MQO) como instrumento básico da análise de regressão linear.
Neste sentido, para compreender melhor o MQO e como ele pode contribuir 
para entender processos econômicos a partir da análise de regressão, nós 
propomos que o estudo desta unidade seja composto de três seções, quais 
sejam:
Regina Lúcia Sanches Malassise
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
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Introdução à unidade
Conforme vimos na Unidade 1, a regressão linear é o método de estudo da 
econometria, porém, para que seu uso conduza aos objetivos econômicos, qual 
seja estimar parâmetros para mensurar a variável dependente partindo de dados 
conhecidos da variável independente, ela precisa seguir alguns pressupostos básicos.
Estes pressupostos surgem da forma como é concebido o modelo de regressão 
linear geral em econometria, que utiliza o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários 
(MQO). Através deste método se estima uma reta de regressão que contém os valores 
estimados mais próximos possíveis dos valores reais da variável dependente.
Neste sentido, o MQO tem ampla utilização em estudos que necessitam de algum 
grau de previsão, em termos estatísticos.Seu uso permite realizar um processo de 
extrapolação.
Assim, em economia poderíamos estar interessados em entender a relação entre o 
valor do dólar e as exportações; se o aumento do gasto com saúde pública reduz o 
número de doentes; se a melhoria da qualificação da mão de obra levou a aumentos 
salariais etc. Dando continuidade, vamos ao estudo desta unidade.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
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Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
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Seção 1
O método dos mínimos quadrados ordinários 
(MQO)
Introdução à seção
Em estatística, o estudo da regressão linear ocorre depois de verificada a existência de 
correlação linear entre duas variáveis, e a utilização da regressão objetiva traçar uma 
reta unindo os pontos que apresentam os valores estimados da variável dependente 
em relação à variável independente. 
Ocorre que, depois de encontrados os valores, ainda existem diferenças entre o 
valor estimado e o verdadeiro da variável dependente, e a variável de ajuste é o 
termo erro (resíduo). A diferença entre os valores reais e os valores estimados pode 
ser positiva e negativa, porém com números absolutos diferentes. Que os termos 
de erro poderiam se anular, pois os valores positivos e negativos não se anulariam.
Para contornar tal problema adotou-se a técnica de elevar o resíduo ao quadrado, 
assim pela regra matemática da exponenciação, todos os valores negativos se 
tornariam positivos, desta forma a soma do quadrado da diferença entre cada um 
dos valores estimados seria aproximadamente zero. E este é um dos primeiros 
pressupostos ou hipóteses do MQO. 
Assim, nesta seção, vamos desenvolver o modelo de regressão linear simples como 
instrumento introdutório para compreender como podemos utilizar uma variável 
para prever outra variável e para estudar a correlação, como uma medida da força 
da associação entre duas variáveis.
1.1 A regressão linear
A análise de regressão aqui utilizada serve como instrumento para desenvolver um 
modelo estatístico e para estimar um modelo de regressão simples – que utilizaria 
uma única variável numérica independente (X), para prever a variável numérica 
dependente (Y). De tal forma que:
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
60
Toda relação expressa pela regressão simples pode ser visualizada na Figura 2.1
Queremos aproximar os dados do gráfico de 
dispersão por meio de uma reta cuja equação é da 
forma y = α + β ∙ x, onde α é chamado de coeficiente 
linear da reta e β é chamado de coeficiente angular 
da reta. Esses valores α e β são constantes e são eles 
que a caracterizam: cada reta tem um valor para α e 
um valor para β eixos. Para traçar a reta, vamos, então, 
fornecendo valores para x (variável independente) e 
encontrando um único y tal que y = α + β∙x.
Ícone – É importante lembrar que α e β são duas 
letras gregas chamadas alfa e beta.
Voltemos, agora, para a nossa situação inicial e 
vamos traçar uma reta que, aparentemente, aproxima-
se de todos os pontos observados da melhor maneira 
possível (esse procedimento chama-se regressão 
linear). Provavelmente, nenhum dos pontos (xi, yi) 
da amostra pertence à reta, conforme você pode 
observar. Assim, para cada xida amostra, teremos yi= 
α + β ∙ xi + εi, onde εi é o erro cometido – a distância 
entre a reta e cada yi – também chamado de resíduo 
(BRANDT. 1987, p. 155).
Fonte:A autora (2015)
Figura 2.1 – Esquema da regressão linear simples
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
61
Apenas fazendo distinção, pois na Figura 2.1 utilizamos µi (normalmente associado 
a erro populacional) para representar εi (normalmente associado a erro amostral), 
que representa o termo erro (resíduo), o termo y^i representa o y estimado e o 
termo α representa o intercepto, o β representa a inclinação da reta de regressão. 
Também a equação expressa uma regressão simples que envolve a estimação de 
Y (variável dependente) e X (variável independente).
Então o fundamento do uso da regressão está em encontrar valores estimados 
para Yi(Y^i) tomando por base valores conhecidos de Xi. Quando traçamos a reta 
de regressão estamos unindo os diversos Y^i, dado os valores de Xi, e a diferença 
entre o Y^i e o Yi é o termo de erro ou resíduo.
Assim, a forma como estimamos Yi é que nos remete ao método dos mínimos 
quadrados (MQO), que é o processo que descrevemos na sequência.
1.2 Método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) e pressupostos do modelo
A análise de regressão é o método mais tradicional de trabalho na Econometria. 
Segundo Vasconcellos, no Manual de Econometria (2000, p. 22), “a regressão 
consiste em, com base numa série de dados de duas ou mais variáveis, encontrar 
uma equação que represente a relação entre elas. Uma vez encontrada essa 
equação, é possível então utilizá-la para fazer previsões a respeito dos valores de 
uma das variáveis”. Por isso, muitas vezes, a análise de regressão é o dispositivo 
usado para iniciar quase todas as pesquisas empíricas. 
 Um dos modelos mais conhecidos para fazer análise de regressão é o 
Método dos Mínimos Quadrados (MQO) aplicados aos casos de regressão linear. 
Este método estabelece uma regra sobre como podemos utilizar as observações 
amostrais. Segundo Hill (2010, p. 58), no caso do MMQ, esta regra está centrada 
no princípio dos mínimos quadrados “este princípio afirma que para ajustar uma 
reta aos valores dos dados, devemos procurar a reta de tal forma que a soma dos 
quadrados das distâncias verticais de cada ponto à reta seja a menor possível”. Para 
seguir este princípio o modelo apresenta seus pressupostos básicos.
1.2.1 Pressupostos básicos do MQO
1 – Linearidade – O modelo especifica um relacionamento linear entre y e x1 .....
xk. Greene (2003) esclarece que no contexto da regressão, a linearidade se refere 
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
62
à maneira pela qual os parâmetros e as perturbações entram na equação, não 
necessariamente à relação entre as variáveis. Então, afirma-se que a relação de 
linearidade deve ser entre os parâmetros e não necessariamente entre as variáveis.
2 – Rank ou posto Completo: Não pode haver relacionamento linear perfeito entre 
as variáveis independentes; o número de observações tem de ser no mínimo tão 
grande quanto o número de parâmetros; as variáveis independentes têm de variar.
3 – Exogeneidade das variáveis independentes: E [εi | xj1, xj2. . . ,xjK ]= 0. Indica que o 
valor esperado do termo erro εi da amostra não é uma função de qualquer uma das 
variáveis independentes observadas. Isso significa que as variáveis independentes 
não carregam informações úteis, ou que tenham peso, para a previsão de εi.
4 – Homocedasticidade e não autocorrelação: cada perturbação, εi tem a mesma 
finita variância σ2, e é não correlacionado com todos os outros distúrbios, εj. Esta 
suposição limita a generalidade do modelo.
5 – Exogeneidade na geração de dados: os dados no (xj1, xj2,..., XjK) podem ser 
uma mistura de variáveis constantes e aleatórias. O processo de geração dos dados 
opera externamente às suposições do modelo, isto é, independentemente do 
processo que gera εi. Nota-se que isso amplia A3. A análise é feita condicionalmente 
ao X observado.
6 – Distribuição normal: os resíduos são normalmente distribuídos: o modelo de 
regressão linear, com todos os seus pressupostos, é a plataforma básica para a 
construção de modelos em econometria.
De maneira similiar, porém um pouco mais sintética em termos de representação 
simbólica, Matos (1995, p. 42-43) expressa que:
Esses pressupostos são os seguintes:
Aleatoriedade de u
i
 – A variável u
i
 é real e aleatória 
ou randômica.
Média zerode u
i
 – A variável u
i
 tem média zero, isto 
é, E(u
i
)=0.
Homoscedasticidade – u
i 
tem variância constante, 
ou seja, var(u
i
)=E(u
i
^2 )= σ^2,ondeσ=constante. 
A variável u_i tem distribuição normal, isto é, u
i
 ~ 
N(0,σ^2 ).
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
63
Desta forma, a utilização do Método dos Mínimos Quadrados como ferramenta 
para estimativa e previsão gerando estatísticas confiáveis a partir da equação 
estimada dependerá da validade desse conjunto de pressupostos. Todavia, a 
violação de alguns desses é uma questão de grau e não de natureza, pois sempre 
ocorrerá de algum modo. O importante é avaliar-lhe a extensão.
1.2.2 As implicações da violação dos pressupostos
Mesmo assim ainda podemos perguntar quais seriam as implicações para o 
modelo caso alguns destes pressupostos fossem violados. De acordo com Greene 
(2003), a suposição de que xi e εi são não correlacionados é crucial para utilização 
do MQO. Porém, existe uma série de aplicações na economia em que essa 
suposição é insustentável. Exemplos incluem modelos contendo variáveis que são 
medidas com erro e modelos mais dinâmicos, envolvendo expectativas. Sem esta 
suposição, nenhuma das provas de consistência dadas acima se mantém; então os 
MQO perdem sua atratividade como um estimador. 
Ao perceber esta dificuldade o autor complementa dizendo que, existe um método 
alternativo de estimação chamado método de Variáveis Instrumentais (VI). Supondo 
que, no modelo clássico yi = x’jβ +εi, os K variáveis xi podem ser correlacionados 
com εi. Supondo também que exista um conjunto de L variáveis zi, onde L é ao 
menos tão grande quanto K, de tal forma que zi está correlacionada com xi, mas 
não com εi. Não é possível estimar β consistentemente usando o estimador dos 
Ausência de autocorrelação ou independência 
serial dos u
i
 Isso significa que E(u
i 
u
j
 )= 0 para i≠j.
Independência entre u
i 
eXu
i
, ou seja, E(u
i 
X
i
 )=0.
Nenhum erro de medida nosX’s – As variáveis 
explicativas são medidas sem erros.
O modelo tem especificação correta – Isso significa 
ausência de erro de especificação no sentido de que 
apenas uma variável explicativa é suficiente para 
expressar adequadamente o comportamento do 
fenômeno, assim como a forma matemática (linear ou 
não linear) é corretamente definida.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
64
mínimos quadrados. Mas é possível construir um estimador consistente de β 
usando as relações assumidas entre zi, xi, e εi.
E no final o autor reconhece e elenca uma série de dados amostrais que dado as 
suas particularidades não teriam no MMQ um melhor método de estimação para 
seus parâmetros, tais como: 
A) Painel de dados – examinando um modelo para despesas municipais na forma Sit 
= f (Sit-1,...) + εi. Os distúrbios são assumidos para serem livremente correlacionados 
entre períodos, então ambos Si,t-1 e εi,t, são correlacionados com εi,t-1. Segue que 
eles estão correlacionados uns com os outros, o que significa que este modelo, 
mesmo com uma especificação linear, não satisfaz os pressupostos do modelo 
clássico. Os regressores e perturbações estão correlacionados.
B) Regressão Dinâmica – examinando uma variedade de modelos de séries de 
tempo que sejam da forma yt = f(yt-1,...) + εt em que εt é autocorrelacionado 
com os seus valores passados. Este processo é essencialmente o mesmo que 
foi considerado anteriormente. Desde que os distúrbios são autocorrelacionados, 
segue-se que a regressão dinâmica implica a correlação entre a perturbação e uma 
variável do lado direito. Mais uma vez, os mínimos quadrados serão inconsistentes.
C) Função Consumo – Por construção, o modelo viola os pressupostos do modelo 
clássico de regressão. A função renda nacional Y = C + investimento + gastos 
governamentais + exportações líquidas. Embora ocorra uma relação exata entre 
C de consumo, renda e Y, C = f (Y, ε), é ambíguo e é um candidato apropriado 
para a modelagem, é evidente que o consumo (e, portanto, ε) é um dos principais 
determinantes da Y. O modelo Ct = α + βYt + εt não se encaixa nas premissas 
para o modelo clássico se Cov [Yt, εt] ≠ 0. Mas é razoável assumir (pelo menos por 
agora) que εt é não correlacionado com os valores passados de C e Y. Assim, nesse 
modelo, é possível considerar Yt-1 e CT-1, como variáveis instrumentais adequadas.
1.2.3 Os estimadores MQO são BLUE
Geralmente, os parâmetros estimados, através do MQO, são chamados melhores 
estimadores lineares não tendenciosos dentro da classe dos estimadores possíveis, 
também chamados BLUE. Wooldridge (2011) aborda o Teorema de Gauss-
Markov, que justifica o uso do método de MQO em vez de usar uma variedade de 
estimadores concorrentes. Sob as hipóteses 1 a 5, o estimador de MQO bj para βj é 
o melhor estimador linear não viesado (Best Linear Unbiased Estimator – BLUE). A 
fim de formular o teorema, o autor diz que é preciso entender cada componente 
da sigla “BLUE”. 
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
65
Assim destaca-se que um estimador se define como uma regra que pode ser 
aplicada a qualquer amostra de dados para produzir uma estimativa. O termo 
não viesado refere-se a um estimador, por exemplo bj, de β
j
 é um estimador não 
viesado de β
j
 se E(b
j
) = β
j
 para qualquer β
0
, β
1
 ..., β
k
 cuja dedução matemática, 
conforme demonstrou Greene (2003), é dado como:
b = (X’X)-1 X’y
b = (X’X)-1 X’(Xβ + ε)
b = (X’X)-1 X’Xβ + (X’X)-1 X’ε
b = β + (X’X)-1 X’ε
E[b|X] = β + E[(X’X)-1 X’ε]
Assim, para qualquer conjunto de observações, o estimador de mínimos quadrados 
tem esperança β. Além disso, através da média de b dos possíveis valores de X, 
obtém-se a média incondicional de b que também é β.
Quanto ao termo linear refere-se a um estimador bj de βj é linear se, e somente se, 
ele puder ser expresso como uma função linear dos dados da variável dependente.
E o significado de melhor para o teorema corrente, o melhor é definido como a 
variância menor. Dados dois estimadores não viesados, deve-se preferir aquele 
com a variância menor conforme demonstração matemática de Greene (2003), 
que requer conhecimento de matrizes:
Seja b
0
=Cy com C uma matriz k x n e b
0
 outro estimador linear não viesado de β.
Então, E[Cy | X] = E[(CXβ + Cε)|X] = β
Com y = Xβ + εeCX = I
Então existem muitos candidatos.
Por exemplo, as primeiras k linhas de X. Então,
C = [X
0
-1:0], em que X
0
-1 é a inversa das k primeiras linhas de X.
A matriz de covariância pode ser obtida,
Var[b
0
|X] = σ2CC’, ou seja,
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
66
b
0
 = Cy = C(Xβ + ε)
= CXβ + Cε b
0
 = β + Cε b
0
 – β = Cε
Com isso,
Var[b
0
|X] = E[(b
0
 – β)( b
0
 – β)’|X] = E[Cεε’C|X]
Var[b
0
|X] = σ2CC’
Agora, seja
D = C – (X’X)-1X’ ouC = D + (X’X)-1X’
Além disso,
Dy = (C – (X’X)-1X’)y = Cy – (X’X)-1X’y = b
0
 – b
Voltando,
Var[b0|X] =σ2CC’
 = σ2[(D + (X’X)-1X’)( D’ + X(X’X)-1)]
 = σ2[(DD’ + DX(X’X)-1 + (X’X)X’D’ + (X’X)-1X’X(X’X)-1)]
Mas, como = CX = I CX = DX + (X’X)-1X’X DX = 0
Portanto,
Var[b0|X] = σ2[DD’ + (X’X)-1] = σ2(X’X)-1 + σ2DD’
 = var[b
0
|X] = σ2DD’
Então,
var[b
0
|X] > var[b
0
|X]
Assim, b é o melhor estimador linear não viesado de β, à medida que possui 
variância mínima. 
Portanto, sob as cinco hipóteses de Gauss-Markov, na classe dos estimadores 
lineares não viesados, MQO tem a menor variância. MQO também é, sob as 
hipóteses de Gauus-Markov, assintoticamente (para grandes amostras) eficiente 
dentrode uma classe de estimadores. 
1.3 A estimação do modelo por meio do MQO
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
67
Conforme já verificamos anteriormente, estimar um modelo de regressão por 
MQO, é buscar minimizar a soma dos desvios (erro ou resíduo) ao quadrado. 
Ocorre que para realizar este cálculo precisamos seguir alguns passos e conhecer 
as equações que nos permitam chegar aos valores dos parâmetros.
A primeira equação de um modelo é aquela definida a priori pela teoria econômica 
que nos dá equação matemática e que depois de incorporado o termo erro nos 
fornece a equação econométrica. Desta forma, a equação econométrica do 
modelo linear simples, o qual só tem uma variável independente (explicativa) é 
dada por: 
Y
i
=a+bX
i
+u
i
 (i=1,2,…,n)
Como essa equação se refere à população (isto é, todo universo de dados sobre 
as variáveis do modelo), implicando a impossibilidade de cálculo, temos que 
trabalhar com valores amostrais. Neste caso, a equação a ser estimada recebe 
acentos circunflexos que indicam que os valores encontrados para os parâmetros 
foram calculados por estimativas dos valores populacionais, isto é, considerando 
uma amostra, por isto são denominados de parâmetros estimados. Desta forma, a 
equação com parâmetros a serem estimados é descrita como:
Na primeira notação temos indicando que a variável dependente é um 
valor estimado, isto é, não é o valor absoluto de Y, partindo apenas dos valores 
estimados dos parâmetros ( .)Na segunda notação, o Yi é o valor absoluto 
de Y considerando que a partir dos valores estimados ( .) e acrescendo-se a 
eles o termo erro (e
i
) teremos o valor de Y absoluto. A estimativa dos erros mínimos 
é dada por:
Para encontrar resíduos mínimos considerando todos os parâmetros temos que 
realizar a seguinte operação:
Sendo SR = Soma do quadrado dos resíduos. Assim, derivando-se esta equação 
em relação a a^ e a b^ , igualando-se essas derivadas a zero e reordenando-se os 
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
68
termos, obtém-se o seguinte sistema de equações.
Simplificando-se e ordenando-se os termos deste sistema de equações, obtém-se 
o sistema de equações normais:
Resolvendo-se este sistema de equações normais para a^ e b^ , obtêm-se as 
estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros a e b:
Obtém-se, assim, a equação estimada Y^
i
= a^ +b b^ X, que melhor se aproxima da 
verdadeira relação E(Y) = a + bX. O estimador de b pode, também, ser definido 
pelas seguintes expressões:
Sendo que em ii a expressão indica que a estimativa de b é uma média ponderada 
dos valores de Y, em que os pesos são:
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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69
Existe ainda outro método que pode ser utilizado para estimar uma regressão, 
este método é conhecido como Máxima Verossimilhança, porém, devido à 
característica deste curso ser introdutório à econometria e também dado que o 
método de regressão mais utilizado em economia é o MQO, este método não será 
abordado aqui. Em Para Saber Mais segue indicação de leitura complementar para 
aqueles que quiserem conhecer este método também.
1.3.1 Análise dos resíduos
Depois de obtida a equação estimada do modelo, podemos obter a estimativa ê do 
termo aleatório. Esta estimativa é dada por ê = Y - Y^ . Este procedimento é indicado 
porque nos fornece informações úteis para avaliação do modelo (MATOS, 1995). 
As principais observações que podemos fazer com esta análise são:
A existência de Outliers: Pode ocorrer de identificarmos que os valores do Yi 
ficarem muito distantes do ^Y
1
. Isto ocorre porque as observações de X estão muito 
distantes de 
_
X . Neste caso em que as observações se comportam diferentemente 
das demais, podemos associar esta diferença a acontecimentos ou características 
específicos associados a essas unidades de observação. Graficamente um outliers 
aparece na Figura 2.2.
O método da máxima verossimilhança consiste basicamente em 
maximizar uma função dos parâmetros da distribuição, conhecida 
como função de verossimilhança. O equacionamento para a 
condição de máximo resulta em um sistema de igual número de 
equações e incógnitas, cujas soluções produzem os estimadores de 
máxima verossimilhança. Em resumo teremos tanta funções quantas 
incógnitas (variáveis independentes) tivermos no modelo.
Links com sugestões de leitura sobre Máxima Verossimilhança:
<http://www.portalaction.com.br/confiabilidade/421-metodo-de-
maxima-verossimilhanca> acesso: 20 jul. 2015.
<http://www.portalaction.com.br/inferencia/34-estimadores-de-
maxima-verossimilhanca> acesso: 20 jul. 2015. 
<http://www.galileu.esalq.usp.br/mostra_topico.php?cod=364>
<http://www.fep.up.pt/disciplinas/2E103/ml.pdf> acesso: 20 jul. 2015.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
70
b) A omissão de variáveis explicativas relevantes: quando o termo erro ou resíduo 
se demonstra com valores muito elevados, considerando o fenômeno estudado, 
isto pode indicar que variáveis importantes para entender o fenômeno foram 
omitidas do modelo, sendo sua ausência espelhada num elevado termo erro.
c) Correlação entre os resíduos: se houver correlação entre os ui e uj, sendo i # j 
estaremos violando o pressuposto de ausência de autocorrelação. 
d) Variância não constante;
e) Distribuição não normal.
Os problemas verificados previamente na análise dos resíduos, constituem-se 
em violação dos pressupostos básicos do modelo de regressão linear MQO, este 
problema será abordado na Unidade 3.
Sobre o MQO com modelo linear simples, adverte-se que ele não é muito útil 
para a análise de fenômenos complexos, isto é, dependentes de muitos fatores. 
“A consequência disso é que os resíduos e os parâmetros estimados do modelo 
refletirão todas as imperfeições decorrentes dos erros entre o modelo proposto e 
a realidade” (MATOS, 1995 p. 46). Porém, é indicado como instrumental didático 
que permite identificar e reconhecer o processo de estimação de parâmetros. 
Fonte: A autora (2015).
Figura 2.2 – Dispersão normal e outlier
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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71
1.3.2 Modelo linear simples: exemplo numérico
Adaptando o exemplo de 4.1 de Matos (1995) procedemos à estimação de um 
modelo linear simples. Então, vejamos.
Considerando que os estimadores procurados são dados pelas equações:
Precisamos calcular as relações expressas por cada um dos componentes da 
equação. Para seguir o raciocínio descrito antes vamos fazer com que Q = Y e T 
= X. Agora por meio de uma tabela que pode ser calculada manualmente ou pode 
ser criada no Excel, utilizando-se de seus recursos, vamos calcular.
Fonte: Matos (1995 p. 49)
Tabela 2.1 – Brasil – índice da quantidade demandada (Q) e da tarifa real média (T) de 
energia elétrica (1996 = 100), 1981-1990
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
72
Fonte: A autora (2015).
Tabela 2.2 – Cálculo Auxiliar 
Retirando informações da Tabela 2 construída temos:
• n sendo o número de observações que é igual a 10 (período de 1981- 
1990);
• ∑YX = 107006
• ∑Y∙∑X = 949 x 1148 = 1089452
• ∑X2= 3483,60
• (∑X)2= 1148 x 1148 = 1317904
• 
_
Y = 949 / 10 = 94,9
• 
_
X = 1148 /10 = 114,8
É importante que você compreenda de onde vem cada um dos valores da 
equação que permite estimar os valores de a (alfa) e b (beta). O conhecimento da 
forma como estes valores são construídos, embora ainda de maneira simplificada, 
permite entender e descrever melhor o processo que envolve a estimação da 
função. Agora já temos os elementos que podem ser substituídosna equação para 
poder calcular os valores estimados.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
73
Resolução
a) Estimando os parâmetros da equação de demanda por energia elétrica, utilizando 
o modelo linear. Realizamos este processo substituindo as informações retiradas 
da tabela nas equações de a (alfa) e b (beta).
b) Apresentando a equação estimada que fica:
Y^ = 158,8092 – 0,5567 X 
c) Calculando os resíduos da regressão: para isto utilizamos a equação de Y estimado 
( Y^ ) e substituímos os valores de X para encontrarmos o Y^
i
 correspondente a cada 
X
i
 conforme podemos verificar na coluna 4 da Tabela 2.3. Depois calculamos o 
termo erro pela fórmula e
i
 = Y
i
 - Y^
i
 cujos resultados apresentamos na coluna 5.
Fonte: A autora (2015).
Tabela 2.3 – Cálculo dos resíduos da regressão
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
74
Interpretação inicial de resultados: Os resultados informam que existe um consumo 
de energia elétrica que independe da tarifa expresso pelo alfa = 158,8092 e que 
a medida em que a tarifa (X) aumenta há uma redução no consumo de energia 
expresso por beta = – 0,5567. Na análise dos resíduos, os valores absolutos 
(negativos ou positivos) do termo erro são considerados elevados de acordo com 
os valores expressos por e
i
 = Y
i
 - Y^
i
 indicando que outras variáveis omitidas no 
modelo podem ter efeito significativo para estimar a demanda por energia elétrica. 
A sequência de sinais negativos (1981-86) e de positivos (1987-90) também reforça 
este argumento. Conforme já destacamos é comum que modelos simples tenham 
pouco poder de explicação e por isto se utilizam como uma ferramenta didática 
de exposição do método.
Partindo desta exploração da regressão linear simples podemos, agora, explorar a 
sistemática de avaliação de modelos na próxima seção.
Você saberia destacar outras variáveis que podem ser 
determinantes da quantidade demanda de energia elétrica?
1. Explique o que é a importância do pressuposto da 
linearidade.
2. Quais são as principais observações que se podem 
fazer a partir da análise dos resíduos?
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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75
Seção 2
Avaliação de modelos estimados
Introdução à seção
Neste ponto podemos nos perguntar: haveria como confiar no modelo estimado 
para utilizá-lo para realizar previsões?
Pois bem, assim como é possível estruturar o modelo, existem testes, critérios 
e estatísticas que nos permitem verificar se os estimadores calculados a partir 
do modelo apresentam as qualidades desejáveis dos estimadores de Mínimos 
Quadrados Ordinários. Caso atendam a estes requisitos de qualidade, então 
o modelo e os parâmetros estimados por ele podem ser utilizados com certa 
segurança no processo de previsão. Vamos conhecê-los nesta seção.
2.1 Qualidades desejáveis dos estimadores MQO
Conforme já destacamos, num modelo de regressão trabalhamos com variáveis 
aleatórias, isto é, que envolvem relações não determinísticas. Assim, uma variável 
aleatória é caracterizada por um ou mais parâmetros, que se deseja estimar 
tomando por base uma amostra.
A fórmula é chamada de estimador, no caso estimador de mínimos quadrados, e 
o valor gerado por este estimador é chamado de estimativa. Como a estimativa 
surge de variáveis aleatórias, também o parâmetro estimado é aleatório e, portanto, 
possui média e variância (MATOS, 1995).
Aliás, nós devemos nos atentar para os momentos das variáveis os quais para 
o MQO se destacam a média, variância e desvio padrão. A média, a variância e 
desvio padrão também já foram contemplados nos estudos de estatística. Você 
sempre poderá revisar estes conteúdos para compreender melhor a econometria. 
Segundo Matos (1995, p. 57), “toda variável aleatória é caracterizada por um ou 
mais parâmetros, que se deseja estimar a partir de uma amostra”.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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76
Em termos populacionais as variáveis aleatórias se caracterizam pelos momentos da 
variável que em si são representados pelas seguintes medidas:
a) Média ou esperança matemática: E(q)
b) Variância: Var(q)=E[q-E(q)]2=
 =E(q2)-[E(q)]2
c) Erro-padrão:EP(q)=√(Var(q) )
Em termos amostrais, as variáveis aleatórias se caracterizam pelos momentos da 
variável que em si são representados pelas seguintes medidas:
a) Erro amostral: q- q^
b) Tendenciosidade ou viés: E( q^ )-q
c) Erro quadrático médio (EQM): E( q^ -q)2=Var( q^ )+[viés( q^ )]2
Matos (1995) destaca que: “É importante assinalar que, enquanto a variância mede a 
dispersão em torno da média amostral, o erro quadrático médio mede a dispersão 
em torno do verdadeiro valor do parâmetro q. Assim, se viés ( q^ ) = 0, Var( q^ ) =EQM 
( q^ )” (MATOS, 1995, p. 58).
Feitas estas considerações sobre os parâmetros, resta-nos acrescentar as qualidades 
desejáveis dos estimadores MQO. Em especial, esta qualidade refere-se à capacidade 
de se obter informações fidedignas possíveis sobre o valor do verdadeiro parâmetro, q. 
Os momentos são muito importantes em estatística para caracterizar 
distribuições de probabilidade. por exemplo, a distribuição normal é 
caracterizada apenas pelo primeiro (média) e pelo segundo (variância) 
momentos. Os momentos dão uma ideia da tendência central, 
dispersão e assimetria de uma distribuição de probabilidades.
Isso significa dizer que o desejável é que a distribuição 
dos valores de ^q , obtidos a partir de amostras repetitivas, 
seja o máximo possível concentradas em torno de q. Em 
consequência, para se obter tal proximidade máxima, 
a estimativa q^ terá de possuir as qualidades de não 
tendenciosidade, eficiência e consistência, que são 
definidas a seguir (MATOS, 1995, p. 58).
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
77
2.1.1 Não tendenciosidade
Um estimador é não tendencioso se sua distribuição amostral é igual à média dos 
parâmetros estimados. Desta forma, “a estimativa q^ de um parâmetro q, gerada 
por um estimador qualquer, é não tendenciosa, se o valor esperado ou médio 
de q^ for igual a q. Em termos estatísticos, E( q^ ) = q.” (MATOS, 1995, p. 58). Logo 
podemos ter q > q^ ou q < q^ , porém na média q = q^ . Podemos verificar a relação 
gráfica deste conceito observando a Figura 3.
2.1.2 Eficiência ou variância mínima
Um estimador eficiente tem variância mínima isto quer dizer que ele tem menor 
dispersão em torno da média, ou seja, ele tem menor desvio padrão.
Na Figura 4 podemos verificar a representação gráfica da eficiência. Na linha cheia 
que representa a f( q^ ) temos um estimador não tendencioso e eficiente. Na linha 
pontilhada g(m~) temos um estimador não tendencioso, mas não eficiente devido 
ao espraiamento da distribuição que aparece na base da curva ser maior que o 
espraiamento de f( q^ ). Assim a opção seria pelo estimador f( q^ ).
Fonte: Adaptado de Matos (1995)
Figura 2.3 – Não tendenciosidade
Uma estimativa q^ de q, obtida a partir de um 
estimador qualquer, é eficiente ou tem variância mínima, 
se as seguintes condições forem satisfeitas:
a) q^ é uma estimativa não tendenciosa;
b) Var( q^ ) < Var (m~), onde m~ é uma estimativa obtida 
mediante a utilização de outro estimador (MATOS, 1995, 
p. 59).
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
78
2.1.3 Consistência
Um estimador é consistente se sua distribuição amostral tender a se concentrar no 
verdadeiro valor do parâmetro quando a amostra cresce. Então, uma estimativa q^ 
de q para ser consistente se o limite da probabilidade de ocorrência de q^ for igual 
a q de tal forma que:
Assinale-seque a diferença [E( q^ )-q]2 é o viés, ou seja, a distância entre E( q^ ) e o 
verdadeiro valor do parâmetro, q. A representação gráfica da consistência pode ser 
visualizada na Figura 2.5.
2.2 Critérios para avaliar as estimativas de um modelo
A segurança que podemos ter em utilizar um modelo econométrico para tomada 
de decisão ou previsão deve ser pautada pela qualidade dos resultados obtidos.
Fonte: Adaptado de Matos (1995)
Fonte: Adaptado de Matos (1995)
Figura 2.4 - Eficiência
Figura 2.5 - Consistência
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
79
Os critérios estabelecidos são de três origens diferentes: da teoria econômica, 
critérios estatísticos e econométricos. A literatura sugere três critérios de avaliação.
Quanto aos critérios derivados da teoria econômica podemos comparar os 
coeficientes bem como os sinais esperados para verificar se eles são condizentes 
com a teoria econômica destacada a priori. Por exemplo, para uma equação de 
demanda se estivermos utilizando os determinantes da demanda, em especial, o 
preço do bem, nós podemos verificar se a lei da demanda se estabelece através da 
indicação do sinal do parâmetro preço. Caso isto não ocorra, então teremos que 
investigar o motivo desta divergência que poderia ser o fato de o produto ser ou 
estar num momento em que se classificaria como bem de Giffen.
Especificamente, a avaliação da estimativa de um 
modelo tem por objetivo verificar se os parâmetros 
estimados são ou não teoricamente significativos e 
estatisticamente satisfatórios ou confiáveis. Isso significa 
verificar se a estimação do modelo formulado gera 
uma equação empírica consistente ou de acordo com 
as hipóteses estabelecidas a priori e, além disso, em 
que medida os parâmetros dessa equação se afastam 
das qualidades desejáveis de não tendenciosidade, 
eficiência e consistência ou, em outras palavras, até 
que ponto os pressupostos básicos do modelo são 
violados ou não. Relembre-se que a violação de um 
ou mais desses pressupostos compromete a validade 
da equação estimada, ainda que seus parâmetros 
sejam, eventualmente, consistentes com as hipóteses 
formuladas aprioristicamente (MATOS, 1995, p. 61).
BEM DE GIFFEN. Um bem cuja demanda aumenta quando o seu preço sobe e 
diminui quando seu preço desce, aparentemente contrariando a lei da demanda. 
Essa forma de comportamento dos consumidores foi verificada por Robert 
Giffen (1837-1910) ao observar as famílias mais pobres comprando mais pão à 
medida que os preços deste produto iam aumentando. Isso acontece quando 
a magnitude absoluta do efeito-renda (em relação aos preços) é maior do que 
a magnitude negativa do efeito-substituição. Ou seja, embora mais caro, o pão 
ainda é o produto mais barato, o que faz com que os consumidores deixem de 
comprar outros produtos (mais caros) de sua dieta, para comprar mais pão. A 
elasticidade – renda da demanda para um “bem de Giffen” é negativa.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
80
Matos argumenta que:
Quanto aos critérios estatísticos, eles permitem verificar a confiabilidade dos 
estimadores por meio da realização da análise do coeficiente de correlação, 
variância, desvio padrão determinação e testes de hipóteses realizados por meio 
de estatísticas, tais como, teste t, teste F, teste quiquadradro. Todos eles foram alvo 
dos estudos estatísticos, mas também serão relembrados aqui mais adiante.
Quanto aos critérios econométricos, seu objetivo é verificar se as estimativas 
parâmetros possuem ou não as qualidades desejáveis dos estimadores, conforme 
já destacado anteriormente. 
2.2.1 Deduções matemáticas da média, variância e covariância
Dedução da Média e variância de b^ :
Acontece, no entanto, que, por alguma razão, nem 
sempre os sinais e a magnitude de um coeficiente 
estimado estão de acordo com o que se espera a priori. 
As possíveis razões para que isso ocorra são as seguintes:
a. Deficiência dos dados empíricos utilizados na 
estimação; 
b. Número de observações não adequadas em termos 
de tamanho ou de representatividade do fenômeno que 
se deseja analisar; 
c. Violação de algum pressuposto básico do modelo. 
Se os critérios não são satisfeitos, a estimativa é, em 
geral, considerada insatisfatória (MATOS, 1995, p. 61).
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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81
Como Y=a+bX+e , o valor de b^ pode ser reescrito como segue:
Como ∑x=0 e∑xX=∑x2, o valor de b^ será:
Lembrando-se de que, por hipótese, E(e) = 0, conclui-se que:
E( b^ )= b
A variância de b^ pode ser definida por:
, a variância de b^ será:
No entanto, 
Onde σ2 indica variância populacional de X
i
. Portanto:
Como Y=a+bX+e, tal expressão pode ser reescrita da seguinte forma:
Como ∑x=0 e ∑xX=∑x2, tem-se, em consequência:
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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82
Como E(e)=0, obtém-se a média de a:
E( a^ )=a
A variância da estimativa de a é definida por:
 
Covariância de a^ e de b^
A covariância entre as estimativas de a de b é dada por:
 
2.3 Quadro de análise de variância
Compreender a decomposição da variância da variável dependente em especial 
procurar compreender qual parte da variância pode ser atribuída à variável 
independente e qual parte pode ser atribuída ao termo erro aleatório. Sendo a 
variação total de Y (VT) definida pelo somatório dos desvios de Y em relação a sua 
média, elevados ao quadrado, temos:
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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83
Conforme explica Matos (1995, p. 66) destas deduções conclui-se que:
Estas definições podem ser sintetizadas na tabela da análise de regressão conforme 
expressa na Tabela 2.4.
a) ∑y2 é a variação total de Y(VT) ou soma de quadrados 
total (SQT).
b) b^ ∑yxé a variação explicada por X (VE) ou soma de 
quadrados da regressão (SQR).
c) ∑e^2é a variação residual (VR) ou soma de 
quadrados residual (SQE).
Portanto, VT=VE+VR SQT=SQR+SQE
Tal soma indica que a variação dos valores de Y em 
torno de sua média (VT) pode ser decomposta em duas 
partes: uma que corresponde à variação de X(VE) e a 
outra que expressa a variação residual ou não explicada 
por X(VR). O valor de VR é atribuído ao fato de que os 
pontos observados nem sempre pertencem à reta da 
regressão devido a fatores omitidos ou aleatórios a que 
estão sujeitas as variáveis econômicas.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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84
A partir da tabela de análise de variância podemos deduzir os demais elementos 
importantes para a composição das estatísticas de avaliação, conforme segue:
Variância amostral: que mede o grau de dispersão entre os valores observados de 
Y e o valor estimado ( Y^ ). Dada pela fórmula:
Coeficiente de determinação (R2): É um coeficiente utilizado para demonstrar a 
qualidade do ajustamento da linha de regressão, ou seja, “descobriremos quão 
bem uma linha de regressão amostral é adequada aos dados... o coeficiente de 
determinação é uma medida resumida que diz o quanto a linha de regressão 
se ajusta aos dados” (GUJARATI, 2005, p. 65). Em termos de fórmulas pode-se 
descrevê-lo como:
Quando realizamos a operação 1 – R2 podemos verificar qual parcela da variância 
total de Y (VT) não pode ser explicada por X, devido à existência de variáveis 
omitidas. Ele é descrito pela fórmula:
Tecnicamente ele mede a relação entre a variação explicada pela equação de 
regressão múltipla e a variação total da variável dependente. Assim, R2=0,75 
significa que 75% de variância são explicados pelo modelo. O coeficiente de 
determinação (R2) é um número no intervalo [0;1], quanto mais próximo de um 
melhor o ajuste.Estatística de F: serve para avaliar o efeito conjunto das variáveis explicativas sobre 
a variável dependente, ele é descrito pela fórmula
Fonte: Matos (1995, p. 67)
Tabela 2.4 – Análise de variância simples
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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85
Estatística t: A estatística t testa a significância dos parâmetros estimados do 
modelo, sendo calculada e apresentada para variável independente do modelo, 
sua fórmula é expressa por:
modelo, sendo calculada e apresentada para variável independente do modelo, 
Testes e análise de resultados: As estatísticas apuradas pelos testes t e F são utilizadas 
para confirmar ou não algumas hipóteses do modelo, conforme estudado em 
estatística. Normalmente, as hipóteses são: “Hipótese nula (H
0
), quando se admite 
não haver diferença entre a informação fornecida pela realidade e a afirmação 
da hipótese. Hipótese alternativa (H
1
), quando se admite haver diferença entre a 
informação fornecida pela realidade e a afirmação da hipótese”. (MATOS, 1995, p. 
69). As regras de decisão para os testes são:
Teste F : 
H
0
 : b = 0 (ausência de efeito da variável independente sobre a dependente).
H
0
 : b ≠ 0 (presença de efeito positivo ou negativo da variável independente sobre 
a dependente).
Teste t: 
Seguem-se os seguintes passos:
a) Escolhe-se o nível de significância (NS). E, geral, usam-se NS= 1%, NS = 5% ou 
NS = 10%;
b) Verifica-se se o teste é unilateral (b>0 ou b<0) ou bilateral (b ≠ 0).
c) Verifica-se o valor crítico t
c
 na Tabela A.2, utilizando-se o nível de significância 
(NS) adotado e o respectivo número de graus de liberdade (gl = n – k – 1).
d) Compara-se o t calculado com o t
c
.
e) Regra de decisão. 
• Se |t|>|t
c
 |, rejeita-se H
0
 (ausência de efeito), no nível de signifi cância 
adotado.
• Se |t|≤|t
c
 |, aceita-se H
0
 (ausência de efeito) no nível de signifi cância 
adotado.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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86
H
0
:b=0 (ausência de efeito).
H
1
:b>0 (presença de efeito positivo, de acordo com a teoria expressa no modelo 
formulado).
Coeficiente de correlação (r): Indica o comportamento da relação entre Y e X, 
esta relação é observada por meio dos desvios y e x, relembrando que os desvios 
resultam da diferença entre o valor real e o valor médio da variável observada. 
Então, o coeficiente de correção pode ser expresso como:
Matos (1995, p. 76) adverte que há diferenças importantes entre a correlação e a 
regressão de tal forma que:
Pois bem, agora que conhecemos o modelo linear simples e as características 
deste, bem como verificamos as formas de realizar avaliação de modelos, podemos 
avançar para compreender o estudo do modelo linear geral com o qual podemos 
incorporar mais de uma variável explicativa ao modelo.
A análise de regressão apresenta as seguintes 
vantagens em relação à análise de correlação:
a. A regressão indica o sentido da relação de 
dependência entre Y e X: Y X; 
b. Os parâmetros que ligam as variáveis podem ser 
estimados e utilizados em previsão, por pressupor um 
mecanismo lógico de determinação de X sobre Y, no 
caso da regressão, enquanto apenas se constata que as 
variáveis se alteram de forma direta ou indireta, no caso 
da correlação. 
1. De acordo com Matos (1995) quais são as conclusões que 
se podem tirar a partir da análise do quadro de variância?
2. Para que serve o coeficiente de determinação?
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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87
Seção 3
Modelo de regressão múltiplo
Introdução à seção
O modelo de regressão linear geral também será estimado por MQO e tem 
como vantagem a possibilidade de trabalhar com um número maior de variáveis 
independentes.
Por outro lado, a possibilidade de ocorrerem problemas com as estimativas 
também aumentam em decorrência de se trabalhar com mais variáveis.
Nesta seção, vamos explorar os detalhes da estimação múltipla, num primeiro 
momento realizando a explicação dos cálculos envolvidos pelo processo abreviado 
e manualmente e ao final da seção apresentaremos os itens mais relevantes, porém 
utilizaremos as estimativas pelo Excel, como recurso computacional para explorar 
alguns exemplos.
Adverte-se que o Excel não é o software mais apropriado para estas estimativas, 
porém a realização de estimativas por outros softwares, como Stata, R, SPSS, 
envolvem um nível de conhecimento e operação destes que fogem ao objetivo 
deste livro introdutório de Econometria. O aluno que sentir necessidade poderá 
procurar cursos específicos e aprofundar seus estudos nesta área.
3.1 O processo abreviado de estimativa do modelo geral
Primeiramente, precisamos relembrar que os pressupostos básicos do modelo 
geral seguem os mesmos do modelo simples, já destacados anteriormente. Um 
modelo de regressão linear geral pode ser expresso por:
Como ∑e é nula a equação em termos de média será:
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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88
Subtraindo a segunda equação da primeira e reordenando os termos temos:
Esta é descrição do modelo linear geral em termos de desvios, assim reordenando 
os termos temos: 
SR = ∑e2 = ∑ (y – b
1
x
1
 – b
2
x
2
 - ... – b
k
x
k
)2
Depois de derivados e ordenados os termos, podemos verificar o sistema de 
equações normais.
E reordenando em forma de sistema matricial temos:
O sistema fica: X’X . B = X’Y
Sendo: B = (X’X)-1 . X’Y
E o valor de b^ o é dado por:E o valor de b o é dado por:
Visando à compreensão deste processo, 
é apresentado a seguir um exemplo 
adaptado de Matos (1995), dando 
prosseguimento ao estudo iniciado com 
a tabela e acrescenta-se a coluna Y do 
produto total.
Para maior compreensão deste 
processo, vamos dar continuidade ao 
estudo, com um exemplo adaptado de 
Matos (1995) no qual se dá continuidade 
aos estudos aqui iniciados com a Tabela 
2.5 e acrescenta-se a coluna Y do 
produto total.
Nota: A tarifa (T) foi deflacionada pelo índice geral de preços/
disponibilidade interna (Fundação Getúlio Vargas), enquanto 
o produto (Y) foi corrigido pelo deflator implícito das contas 
nacionais.
Fonte: Adaptado de Matos (1995, p. 92)
Tabela 2.5 - Índices da quantidade demandada energia 
elétrica (Y), da tarifa real média (X1) e do produto real (X2), 
1981-1990
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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89
Em seguida, realizamos operações envolvendo matrizes a fim de estimar a 
equação de demanda de energia elétrica por MQO múltipla. Considerando que 
a resolução de matrizes foi estudada na disciplina de Matemática no Ensino 
Médio, é importante para a compreensão do raciocínio desenvolvido, revisitar os 
fundamentos da resolução de matrizes. Você também estudou um pouco disto na 
disciplina de Cálculo/Matemática para Economista.
Inicialmente utilizamos o sistema matricial em pela forma de desvios:
Assim, obtendo a solução deste sistema considerando o raciocínio de que B=(X' 
X)-1∙ X'Y, tal solução possibilita-nos encontrar o valor de beta (B). A fórmula a seguir 
permite a obtenção da estimativa do termo constante:
Para definir os elementos constantes do sistema matricial X^' X.B=X'Y procedemos 
da seguinte maneira:
Seguindo os passos indicados, o sistema matricial é obtido ao tomar os dados 
constantes da Tabela 4, representado por:
Assim, a matriz 2 x 2 é X’ X. Dando continuidade nos procedimentos para resolver 
o sistema calcula-se a inversa, (X' X)-1:
Cálculo do determinante D da matriz X'X
 D=3.483,6 ∙854,1- [(-825,6)∙(-825,6)]=2.293.727,4
Cálculo da matriz cofatora C
 C=[c
ij
 ]=(-1i+j)∙D
ij
Temos que D
ij 
éo determinante da submatriz que foi obtida depois da supressão 
da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz X'X. Considerando que, X'X é uma 
matriz de segunda ordem, ou seja, (2 x 2), o escalar restante é o determinante da 
submatriz, obtida após a supressão. Assim, obtemos a matriz cofatora:
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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90
Para exemplificar como se realiza o cálculo dos elementos C_11 e C_12 da matriz 
C, temos:
1. Cálculo da matriz adjunta A: 
Na matriz adjunta, esta é correspondente à transposta da matriz cofatora. Dizemos 
que A=C, pois tal matriz é simétrica.
2. Cálculo da matriz inversa
Ao solucionar o sistema de equações obtemos:
Os valores do vetor B são estimativas dos coeficientes das variáveis T e Y, obtidos 
ao multiplicar a matriz inversa (X'X)-1 pelo vetor X'Y. Temos então:
Obtendo as estimativas de b
1
 e de b
2
, podemos estimar b
0
, o termo constante:
Chegamos então, a seguinte função de demanda estimada, utilizando três casas 
decimais:
Q^ =7,778-0,263 T+1,238 Y
Procedemos à elaboração do quadro de análise de variância, com referência nos 
dados amostrais e nas estimativas dos parâmetros. Vejamos na Tabela 2.6 a seguir:
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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Fonte: Matos (1995, p. 96).
Tabela 2.6 - Análise de variância.
No qual temos que:
Dando continuidade aos estudos, temos o cálculo e interpretação da variância 
residual.
Para obter a variância residual, utilizamos a seguinte fórmula:
Para realizar o cálculo e interpretação do coeficiente de determinação (R^2) 
utilizamos a fórmula:
Observando a fórmula temos as duas variáveis explicativas, tarifa real (T) e produto 
real (Y), que de acordo com o resultado obtido, significa que são responsáveis 
por 93,1% da variação total da quantidade demandada (Q), de acordo com a 
interpretação do coeficiente de determinação ou de explicação (R^2=0,931).
O R2 ajustado é dado pela fórmula:
Com os resultados obtidos, é possível realizar o cálculo da estatística F. Este cálculo 
visa expressar qual é o efeito conjunto da tarifa real (T) e do produto real (Y) sobre Y.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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92
Utilizando-se a fórmula, obtém-se:
Obtêm-se os graus de liberdade do numerador igual a 2 e do denominador igual a 
7 e o nível de significância definido foi de 5%, isto é, NS = 0,05. Portanto, apresenta-
se o valor crítico, fornecido pela Tabela de Distribuição F, é F
c
=4,74.
A hipótese que se deseja testar é verificar se as variáveis explicativas T e Y exercem 
conjuntamente efeito significativo sobre a variável dependente Q. Tal hipótese é 
expressa da seguinte maneira:
H
0
:b
1
=b
2
=0 (ausência de efeito)
 H
1
:b
1
≠b
2
≠0 (presença de efeito)
a. Cálculo da estatística t e teste do efeito de cada variável explicativa
A fórmula a seguir corresponde ao cálculo da estatística t:
Por meio da aplicação dessa fórmula leva aos valores da estatística t para cada um 
dos parâmetros associados aos X.
1. Estatística t para b
1
=0
Para realizar o teste de significância do efeito da variável tarifa real (T) procedemos 
à seguinte maneira:
H
0
:b
1
=0 (ausência de efeito)
H
1
:b
1
<0 (presença de efeito negativo, de acordo com a teoria)
Considerando o grau de liberdade igual a 7 e nível de significância de 5%, o valor 
crítico de t para teste unilateral é t
c
=1,895 (ou t
c
=-1,895, por se tratar de teste de 
efeito negativo).
Como |t
c
|=1,895<|t|=2,91, rejeita-se a hipótese nula (H
0
) em favor da hipótese 
alternativa de efeito negativo, com um nível de significância de 5%.Tal resultado 
indica que a influência da tarifa real (T) sobre a quantidade demandada (Q) é 
estatisticamente significativa (diferente de zero), com uma probabilidade de erro 
de 5%.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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93
2) Estatística t para b
2
A seguir é apresentada a fórmula para a hipótese a ser testada:
H
0
:b
2
=0 (ausência de efeito)
H
2
:b
2
>0 (presença de efeito positivo)
Observe que o valor crítico é o mesmo obtido do teste anterior, permitindo assim, 
concluir que, sendo |t
c
|=1,895<|t|=6,78, a hipótese de efeito nulo H
0
 é rejeitada em 
favor da presença de efeito positivo, ao nível de significância de 5%. A probabilidade 
de erro é de 5% e tal resultado aponta que o efeito da variável produto real (Y) é 
altamente significativo.
Uma colocação importante a ser feita, é que a estatística t para o termo constante 
não pode ser calculada diretamente pelo processo abreviado.
b. Cálculo dos intervalos de confiança
Para calcular o intervalo de confiança parab_i utiliza-se a definição:
São considerados intervalos fechados. Assim, o valor crítico será t
c
=2,365. 
Consequentemente, os intervalos de confiança com 95% de probabilidade são 
calculados da seguinte maneira:
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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94
c.Análise dos resultados
Na realização dos resultados obtidos com a estimação do modelo, leva-se em 
consideração o tamanho da amostra. São geralmente considerados o sinal e a 
magnitude dos parâmetros, (critérios derivados da teoria econômica), assim como 
as estatísticas de avaliação do grau de confiabilidade (coeficiente de determinação 
e as estatísticas F e t), que são critérios de natureza estatística. 
Vamos ver uma análise que envolve a função de demanda de energia elétrica. 
Vejamos o seu desenvolvimento.
São consideradas uma amostra de 10 observações referentes ao período 1981/1990. 
Os resultados obtidos com a estimação da função de demanda de energia elétrica, 
são expressos da seguinte maneira:
Nesta situação, os resultados são satisfatórios, temos o coeficiente de determinação 
(R2) calculado e este indica que as variáveis tarifa real e produto real explicam 93,1% 
da variação da quantidade demandada, tal resultado permite afirmar que tem alto 
poder explicativo. Verificando por outro lado, a hipótese de efeito conjunto nulo é 
rejeitada, ao nível de significância de 5%, conforme se verifica por meio do teste F.
Além disso, observa-se que os coeficientes estimados das variáveis tarifa e produto 
real apresentaram sinais corretos, isto é, de acordo com a expectativa teórica aqui 
estudada, e são considerados como estatisticamente significativos, ao nível de 5%. 
Registre-se, em especial, o forte impacto do nível da atividade econômica, medido 
pelo produto real, sobre o consumo da energia elétrica no Brasil no período 
tomado como análise.
Para concluir, com a ressalva quanto ao pequeno tamanho da amostra (n = 10), 
os coeficientes de elasticidade-tarifa (0,318) e de elasticidade-renda (1,236). Estes 
resultados expressam a importância dessas duas variáveis na determinação do 
comportamento do consumo de energia elétrica no Brasil no período 1981/1990, 
sobretudo do PIB real. De fato, a partir da análise realizada evidencia que, mantidos 
os demais fatores, trata-se de um insumo com demanda inelástica com relação à 
tarifa real, mas altamente sensível às variações do nível de atividade da economia.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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95
1. Qual é a fórmula para encontrar o valor constante da 
regressão múltipla (valor de alfa ou de beta zero)?
2. Qual é a fórmula para o cálculo do coeficiente de 
determinação da regressão múltipla?
Nesta unidade você aprendeu sobre:
• O método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).
• Pressupostos básicos do MQO.
• A estimação do modelo por meio do MQO.
• Avaliação de modelos estimados.
• Modelo de Regressão múltiplo.• O processo abreviado de estimativa do modelo geral.
• Deduções matemáticas da média, variância e covariância.
Nesta unidade foi estudado o Método dos Mínimos Quadrados 
Ordinários e apresentados os pressupostos do modelo de 
regressão linear simples, como também as equações que 
permitem estimar os parâmetros. Apresentou-se a avaliação das 
estimativas do modelo, exploraram-se as estatísticas de avaliação 
e o Modelo de Regressão Múltiplo, com a abordagem das mais 
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
96
variáveis independentes (explicativas) no modelo. Foi estudado acerca 
dos critérios para avaliar as estimativas de um modelo, sobre utilizar 
um modelo econométrico para tomada de decisão ou previsão.
Você pode complementar seus estudos lendo o Capítulo 4 e 5 do 
livro de Econometria, de James H. Stock e Mark W. Watson, publicado 
em 2004 e disponível na Biblioteca Digital Pearson. Bons estudos!
1. Observe que: “a regressão consiste em, com base numa 
série de dados de duas ou mais variáveis, encontrar uma 
equação que represente a relação entre elas. Uma vez 
encontrada essa equação, é possível então utilizá-la para 
fazer previsões a respeito dos valores de uma das variáveis”. 
(VASCONCELLOS, 2000. p. 22). Tomando por base esta 
afirmação, apresente um modelo de sua autoria para estudar 
algum problema econômico.
2. (ESAF/Auditor Fiscal da Previdência Social/2002) Para 
o modelo de regressão linear y = α + βX + ε , onde y é a 
variável resposta, X a variável independente, α e β são 
parâmetros desconhecidos e ε é uma componente de erro 
aleatória com média zero. Assinale a opção que corresponde 
à interpretação do parâmetro α. 
a) É o valor predito de y, dado que X = 0, desde que esse 
valor de X seja compatível com o conjunto de observações 
da variável exógena. 
b) Mede a variação esperada em y por unidade de variação na 
variável exógena. 
c) É o valor esperado de y quando se padroniza a variável 
exógena. 
d) Mede a variação da reta de regressão. 
e) Mede o coeficiente angular da reta de regressão.
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
97
3. Imagine que uma pesquisa sobre venda de um produto 
Q, fosse função do preço de venda (P) e do gasto com 
publicidade (S). Ao final da pesquisa, após rodar a regressão, 
surgiram os seguintes resultados:
Q^ =8,58-0,31 P+0,85 S R2=0,83.
Observe estes resultados e faça a análise destes para a 
empresa.
4. Em relação aos testes que auxiliam na avaliação do 
modelo, podemos citar o teste t (Student). Este teste é 
importante porque permite identificar o nível de significância 
dos parâmetros estimados para cada uma das variáveis 
independentes. Neste sentido, apresente os passos 
necessários para implementação do teste t.
5. Um importante processo realizado previamente, a análise 
de regressão deve ser a análise de correlação entre as 
variáveis do modelo. Explique o que é e qual é a diferença 
entre a análise de correlação e a análise de regressão. 
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
98
Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
U2
99
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using customer satisfaction survey data. In: SURPRENANT, C. (Ed.). Add value to 
your service. Chicago: American Marketing Association, 1987.
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Paulo: Cengagge Learning, 2008.
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hábito e restrição à liquidez. In: RBE, Rio de Janeiro, 58(3):381-402, jul./set. 2004.
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estrutural em séries econômicas no Brasil na década de 90. In: Informações 
Econômicas, São Paulo, v. 31, n. 4, abr. 2001. Disponível em: <http://www.iea.
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100 Modelo linear geral e inclusão de variáveis especiais
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100
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racionais. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/
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WOOLDRIDGE, J. M. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. São 
Paulo: Cengage Learning, 2011.
______. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. São Paulo: 
Cengage Learning, 2006.
Unidade 3
VIOLAÇÃO DOS PRESSUPOSTOS 
BÁSICOS DO MODELO
Nesta seção analisaremos quais são as principais formas de violação 
destes pressupostos conhecendo a origem e algumas possíveis formas 
de correção.
Seção 1 | Implicações das violações dos pressupostos 
básicos do MQO
Objetivos de aprendizagem:Nesta unidade, você terá a oportunidade de 
conhecer os principais problemas que surgem da violação dos pressupostos 
do Método dos Mínimos Quadrados, bem como compreender as medidas 
e solução propostas para superar tais problemas.
Neste sentido, para que você compreenda a dimensão e abordagem destes 
problemas, propomos a apresentação desta unidade subdividida em quatro 
seções, quais sejam:
Regina Lúcia Sanches Malassise
Nesta seção veremos como a correlação entre duas ou mais variáveis 
independentes inclusas no modelo MQO podem interferir nas estimativas 
dos parâmetros. 
Nesta seção estudaremos como a dependência temporal dos resíduos 
torna os resultados do MQO pouco confiáveis.
Seção 2 | Multicolinearidade
Seção 3 | Autocorrelação ou correlação serial
Nesta seção verificaremos como a instabilidade da variância do termo 
erro pode prejudicar a análise via MQO.
Seção 4 | Heterocedasticidade
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
103
Os pressupostos dos estimadores de mínimos quadrados, que garantem que estes 
sejam melhores estimadores lineares não tendenciosos (MELNT), nos informam as 
características de um modelo ideal. 
Este modelo ideal garante que a reta de regressão apresente aos valores estimados 
da variável dependente mais próximo possível o valor real da variável e, portanto, 
permite que o modelo possa ser utilizado para previsão. 
Ocorre que quando estamos trabalhando com dados econômicos, a possibilidade 
de encontrarmos dados para os quais, quando utilizados o MQO estimar os 
parâmetros, encontremos estimadores MELNT muitas vezes pequenos.
Nestes casos, ao identificarmos alguma violação dos pressupostos, passamosimediatamente à fase de busca de soluções para o problema. É evidente que esta 
solução passa desde implementação de estratégias estatísticas que permitam 
contornar o problema, até mudanças na forma funcional do modelo e pode 
chegar à mudança de método de estimação do qual podemos passar para outro 
método de estimação.
Introdução à unidade
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
105
Seção 1
Implicações das violações dos pressupostos 
básicos do MQO
Recordando os pressupostos básicos do MQO, temos:
Como consequência destes podemos dizer que a utilização do Método dos 
Mínimos Quadrados, como ferramenta para estimativa e previsão, somente gera 
Esses pressupostos são os seguintes:
I Aleatoriedade de u
i
– A variável u
i
 é real e aleatória ou 
randômica.
II Média zero de u
i
– A variável u
i
 tem média zero, isto 
é, E(u
i
)=0.
III Homoscedasticidade– u
i
tem variância constante, 
ou seja, var(u
i
)=E(u
i
2 )= σ2,ondeσ=constante. 
IV A variável u
i
 tem distribuição normal, isto é, u
i
 ~ 
N(0,σ^2 ).
V Ausência de autocorrelação ou independência serial 
dos u_i. Isso significa que E(u
i 
u
j
 )= 0 para i≠j.
VI Independência entre u
i 
eX
i
, ou seja, E(u
i
 X
i 
)=0.
VII Nenhum erro de medida nosX’s – As variáveis 
explicativas são medidas sem erros.
VIII O modelo tem especificação correta – Isso 
significa ausência de erro de especificação no sentido 
de que apenas uma variável explicativa é suficiente 
para expressar adequadamente o comportamento do 
fenômeno, assim como a forma matemática (linear ou não 
linear) é corretamente definida (MATOS, 1995, p. 42-43).
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
106
estatísticas e parâmetros confiáveis a partir da equação estimada, quando atende 
a esse conjunto de pressupostos. Por outro lado, a violação de alguns desses é 
uma questão de grau e não de natureza, pois sempre ocorrerá de algum modo. O 
importante é avaliar-lhe a extensão.
1.1 Principais formas de violação dos pressupostos
Mesmo assim ainda podemos nos perguntar o que aconteceria caso alguns destes 
pressupostos fossem violados, quais seriam as implicações para o modelo. De 
acordo com Greene (2006), a suposição de que x
i
 e ε
i
 são não correlacionados é 
crucial para utilização do MQO. 
Ocorre que algumas vezes estes pressupostos são violados. Porém, existe uma 
série de aplicações na economia em que essa suposição é insustentável (GREENE, 
2006). Exemplos incluem modelos contendo variáveis que são medidas com erro 
e modelos mais dinâmicos, envolvendo expectativas. Sem esta suposição assim o 
modelo deixa de ter consistência, então os MQO perdem sua atratividade como 
um estimador. 
Ao perceber esta dificuldade, o autor complementa dizendo que existe um método 
alternativo de estimação chamado método de variáveis instrumentais (VI). Supondo 
que, no modelo clássico yi = x’
j
β +ε
i
, os K variáveis x
i
 podem ser correlacionados 
com ε
i
. Supondo também que exista um conjunto de L variáveis z
i
, onde L é ao 
menos tão grande quanto K, de tal forma que zi está correlacionada com x
i
, mas 
não com ε
i
. Não é possível estimar β consistentemente usando o estimador dos 
mínimos quadrados. Mas é possível construir um estimador consistente de β 
usando as relações assumidas entre z
i
, x
i
, e ε
i
.
E no final o autor reconhece e elenca uma série de dados amostrais que dado suas 
particularidades não teriam no MQO um melhor método de estimação para seus 
parâmetros, tais como: 
A) Painel de dados – examinando um modelo para despesas municipais na forma Sit 
= f (Si
t-1
,...) + ε
i
. Os distúrbios são assumidos para serem livremente correlacionados 
entre períodos, então ambos S
i,t-1
 e ε
i
,
t
, são correlacionados com ε
i
,
t-1
. Segue que 
eles estão correlacionados uns com os outros, o que significa que este modelo, 
mesmo com uma especificação linear, não satisfaz os pressupostos do modelo 
clássico. Os regressores e perturbações estão correlacionados.
B) Regressão Dinâmica – examinando uma variedade de modelos de séries de 
tempo que sejam da forma y
t
 = f(y
t-1
,...) + ε
t
 em que ε
t
 é autocorrelacionado 
com os seus valores passados. Este processo é essencialmente o mesmo que 
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
107
foi considerado anteriormente. Desde que os distúrbios são autocorrelacionados, 
segue-se que a regressão dinâmica implica a correlação entre a perturbação e uma 
variável do lado direito. Mais uma vez, os mínimos quadrados serão inconsistentes.
C) Função Consumo – Por construção, o modelo viola os pressupostos do modelo 
clássico de regressão. A função renda nacional Y = C + investimento + gastos 
governamentais + exportações líquidas. Embora ocorra uma relação exata entre 
C de consumo, renda e Y, C = f (Y, ε), é ambíguo e é um candidato apropriado 
para a modelagem, é evidente que o consumo (e, portanto, ε) é um dos principais 
determinantes da Y. O modelo Ct = α + βY
t
 + ε
t
 não se encaixa nas premissas para 
o modelo clássico se Cov [Yt, εt] ≠ 0. Mas é razoável assumir (pelo menos por 
agora) que εt é não correlacionado com os valores passados de C e Y. Assim, neste 
modelo, é possível considerar Y
t-1
 e C
T-1
, como variáveis instrumentais adequadas.
1. Por que não se pode utilizar o método MQO para estimar 
parâmetros gerados por painel de dados?
2. Para a função consumo, qual tipo de variável deve ser 
criado para resolução de um modelo?
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
108
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
109
Seção 2
Multicolinearidade
Introdução à seção
O problema da multicolinearidade pode ser entendido a partir de um exemplo. 
Imagine que você esteja coletando dados para realizar a estimação de um modelo 
MQO para a demanda por automóveis em seu município. 
Então, em sua pesquisa, você poderia coletar dados tais como: preço do carro, 
preço da motocicleta, escolaridade, renda, PIB e PIB per capita, preferência do 
consumidor.
Neste caso, poderiam surgir alguns problemas detectados após a estimação do 
modelo. Vamos citar alguns: muitos tipos de veículos diferentes, sendo necessário 
delimitar melhor qual tipo e modelo de carro; a preferência é subjetiva e difícil 
de mensurar e; em economia a renda, renda per capita e PIB estão estritamente 
relacionadas, isto é, tem alta correlação. 
Neste último caso, dizemos que as variáveis são correlacionadas, ou seja, as 
variáveis explicativas medem aproximadamente a mesma coisa. Embora para 
Gujarati (2011) sempre exista alguma correlação entre as variáveis explicativas, esta 
colinearidade entre as variáveis é uma questão de grau bem como as formas de 
correção do problema.
Neste sentido, para compreendermos o problema e verificar as possíveis alternativas 
de correção, vamos estudar esta seção.
2.1 Conceito
O entendimento geral sobre a multicolinearidade é que ela surge devido à 
existência de relações lineares entre as variáveis independentes do modelo, ou 
seja, existe colinearidade. Desta forma, ela pode ser definida como:
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
110
Assim, quando a correlação envolve mais de duas variáveis independentes, o 
problema passa a se chamar multicolinearidade. Esta relação pode ser perfeita 
(exata) conforme propunha o termo original utilizado por Ragnar Frisch, ou 
imperfeita quando as relações são aproximadamente exatas quando podemos 
incorporar a existência de um termo de erro estocástico. 
Gujarati (2011) argumenta que situações nas quais as variáveis independentes 
resultam de formas exponenciais, isto é, uma variável X
2
 que resulta de uma 
variável X
1
2ou uma X3
, por exemplo, que resulte de X
2
3 etc. que não descrevem 
uma relação linear também serão inclusas num diagnóstico de multicolinearidade. 
Assim, o coeficiente de correlação para estas variáveis se apresentará altamente 
correlacionado.
Existem diferentes níveis ou graus de multicolinearidade, a Figura 3.1 apresenta um 
digrama de representação destas.
COLINEARIDADE. Termo que, em estatística, designa 
uma elevada correlação entre duas variáveis, isto é, 
ambas têm a mesma trajetória linear. Numa análise de 
regressão, duas variáveis independentes podem estar 
altamente correlacionadas, mantendo entre si elevada 
colinearidade, de tal forma que não é possível estabelecer 
o efeito de cada uma delas sobre a variável dependente. 
Por exemplo, a elevação das vendas de um produto 
(variável dependente) pode ter sido influenciada por um 
aumento de salários e pela redução das taxas de juros, não 
sendo possível distinguir no curto prazo qual das variáveis 
independentes teve a influência maior. Nesse caso, pode-
se utilizar apenas a variável independente julgada a mais 
importante (o aumento de salários, no caso), ou combinar 
as duas variáveis independentes numa só, ou ainda 
escolher uma terceira que substitua as duas primeiras. 
Quando existe um grau de correlação muito elevado, 
com mais de duas variáveis, o fenômeno é denominado 
multicolinearidade (SANDRONI, 1989. p. 108).
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
111
Na figura 3.1, conhecida como diagrama de Ballentini, os círculos Y, X2, X3 
representam as variações da variável dependente e as variáveis independentes 
respectivamente. O grau de colinearidade é medido pela extensão da área 
sombreada, que apresenta a sobreposição dos círculos. Desta forma, o gráfico (a) 
apresenta a situação ideal, que seria a ausência de colinearidade entre as variáveis. 
O gráfico (b) apresenta colinearidade baixa. O gráfico (c) colinearidade moderada, 
(d) elevada colinearidade e (e) colinearidade muito alta.
2.1.1 Principais fontes de multicolinearidade
Segundo Gujarati (2011), é comum de se verificar ou acontecer multicolinearidade 
entre as variáveis independentes quando ocorrem alguns fatores específicos tais 
como:
Fonte: Gujarati (2011, p. 331)
Figura 3.1 – Visão de multicolinearidade segundo o diagrama de Ballentine
Y
Y
Y Y
Y
X
2
(a) No collinearity
(c) Moderate collinearity (d) High collinearity (e) Very high collinearity
(b) Low collinearity
X
2
X
2
X
2
X
2
X
3
X
3
X
3
X
3
X
3
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
112
1) Método de coleta de dados: em alguns casos, 
o pesquisador pode ter coletado os dados da amostra 
de uma faixa limitada de valores pelos regressores da 
população. Em dados econômicos deve-se atentar para 
exemplo de situações atípicas para que a coleta considere 
esta atipicidade. São exemplos disto a sazonalidade 
(comum na agricultura), períodos críticos de política 
econômica que criem uma disparidade nos dados como 
planos econômicos de combate à inflação, controle de 
taxas de câmbio. Mas estas considerações tornam-se 
importantes apenas quando as variáveis em estudos estão 
relacionadas direta ou indiretamente a estas atipicidades. 
2) Restrições ao modelo ou à população que está 
sendo alvo da amostra: este problema pode ocorrer 
quando as variáveis independentes estão ligadas por uma 
lógica econômica intrínseca. Por exemplo, propor um 
modelo que vise captar o consumo de energia elétrica 
(Y), como uma função da renda (X1) e do tamanho do 
imóvel (X2). Pode-se verificar que o tamanho da renda 
influencia no tamanho o imóvel, logo rendas maiores 
imóveis maiores e vice-versa.
3) Especificação do modelo: a escolha correta da 
forma funcional, que não é única, pois cada variável pode 
apresentar relações funcionais diferentes em relação 
à variável dependente. Por exemplo, caso se incorpore 
termos polinomiais em um modelo de regressão quando 
a amplitude da variável X for pequena, poderá ocasionar 
multicolinearidade. Então estar atendo à combinação de 
formas funcionais possíveis é importante.
4) Um modelo sobredeterminado: uma regra 
importante a seguir é que um modelo deve ter 
número maior de observações do que variáveis 
independentes, neste caso o modelo pode incorrer em 
alta multicolinearidade, o que impossibilita a estação dos 
parâmetros da regressão. Assim refletir sobre as variáveis 
essenciais ao modelo e evitar a sobredeterminação 
é importante, além disto, num caso como este a regra 
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
113
da simplicidade na escolhe de um modelo ficaria 
prejudicada devido ao número de variáveis maior que o 
de observações.
5) A tendência comum entre variáveis de séries 
temporais: em alguns casos as variáveis de série de tempo 
caminham na mesma direção, ou seja, tem tendência 
comum. Podemos citar como exemplo: consumo e 
renda, riqueza e população os regressores (variáveis 
independentes) variam na mesma direção e proporção 
gerando colinearidade entre elas.
2.1.2 Casos de multicolinearidade
Conforme já argumentado anteriormente, a multicolinearidade é uma questão de grau. 
Matos (1995, p. 124-125) argumenta que ela pode ser tratada de acordo com seu grau. 
Os três casos identificados pelo autor são: 
A – Ausência de Multicolinearidade – ocorre tal caso 
quando a correlação entre as variáveis explicativas é 
nula, isto é, as variáveis são ortogonais entre si. Essa é a 
situação ideal.
B – Multicolinearidade Perfeita – nesse caso, a 
correlação entre as variáveis explicativas é igual a 1 ou 
a – 1.
O cálculo das estimativas dos parâmetros é, 
matematicamente, impossível nessas circunstâncias, 
porque o determinante da matriz X`X é nulo.
C – Multicolinearidade Imperfeita – trata-se 
da situação em que a correlação entre as variáveis 
explicativas situa-se entre 0 e 1 ou entre –1 e 0. É o caso 
mais comum. 
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
114
2.2 Diagnóstico de multicolinearidade
Em geral, um dos indícios mais claros da existência da multicolinearidade ocorre 
quando o R² é alto, mas nenhum dos coeficientes da regressão apresenta valores 
estatisticamente significativos para o teste t. 
Verifica-se como consequência da multicolinearidade em uma regressão o aumento 
da variância da estimativa e, portanto, do erro-padrão.
Tornando a estimativa impossível ou então, no caso de multicolinearidade perfeita, a 
impossibilidade de qualquer estimação se a multicolinearidade for perfeita.
A correlação elevada reduz a eficiência, isto representa que um estimador não 
tendencioso, mas que apresenta grande variância conduzirá a estimativas distantes 
da realidade ou do verdadeiro valor do parâmetro y. Desta forma, verifica-se que o 
parâmetro estimado é significativamente afetado, tornando-o instável.
2.2.1 Testes que permitem identificar a presença de multicolinearidade
O problema da multicolinearidade diz respeito à relação existente entre duas ou 
mais variáveis independentes. Quanto maior a multicolinearidade, maior a variância 
dos estimadores, maiores os erros-padrão e menores os testes t, o que pode levar 
a inferências enganosas, como por exemplo, não rejeitar a hipótese nula de que 
um determinado coeficiente é igual a zero quando este deveria ser rejeitado.
Pela matriz de correlação podemos verificar, utilizando um exemplo para PIB 
e renda, que a correlação simples entre a renda e o tempo é bastante elevada 
Em geral, as consequências mais danosas do problema 
se verificam à medida que:
a- ocorram não significâncias de variáveis explicativas 
com sinais incorretos para algumas delas, ainda que R2 
seja elevado;
b- aumente o grau de correlação simples entre as 
variáveis explicativas;
c- os parâmetros estimados se tornem instáveis, 
quando o tamanhoda amostra se altera ou alguma 
variável é omitida ou adicionada ao modelo;
d- diminua o determinante da matriz de coeficientes 
de correlação entre as variáveis explicativas (MATOS, 
1995 p. 126-127). 
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
115
(0,94); quando tais correlações superam 0,8, há fortes indícios de existência de alta 
colinearidade entre as variáveis.
Outra forma de verificar a colinearidade é através do fator de inflação da variância 
(VIF). Diz-se que o VIF médio de um conjunto de regressores não deve ser maior 
do que 10 ou que o maior VIF de um regressor não deve ser maior do que 10. Pela 
análise da tabela a seguir, vemos que a multicolinearidade é alta nos dados em 
questão.
2.2.2 Multicolinearidade e os testes t e F
Quando nos deparamos com esta situação (um ou mais testes t insignificantes 
e o teste F significante), provavelmente estamos diante do problema da 
multicolinearidade, que se refere à correlação entre duas variáveis explicativas ou 
entre uma delas e as demais, incluídas na equação de um modelo. Isso ocorre 
quando duas variáveis X1 e X2 medem aproximadamente a mesma coisa. Alguns 
aspectos que ressaltam a presença de multicolinearidade são o teste t insignificante 
e teste F significativo.
Na presença de multicolinearidade e os componentes das variâncias de MQO 
Var (^bj) = 
A variância (Var) depende de 3 componentes: σ^2, SQT, R2.
 é a variação amostral total em xj.
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
116
A variância do erro, σ2: um σ2 maior significa variâncias maiores nos estimadores de 
MQO: mais ruído na equação (um σ2 maior torna mais difícil estimar o efeito parcial 
de qualquer uma das variáveis independentes sobre y, e isso é refletido nas variâncias 
maiores dos estimadores de inclinação de MQO.
A variação amostral total em Xj, SQTj: quanto maior a variação total em Xj, menor é 
a variância (^bj); assim, tudo o mais sendo igual para estimar ^bj preferimos ter tanta 
variação amostral em Xj quanto possível. Já descobrimos isso no caso da regressão 
simples. 
Embora raramente seja possível escolher os valores amostrais das variáveis 
independentes, há uma maneira de aumentar a variação amostral em cada uma das 
variáveis independentes: aumentar o tamanho da amostra. 
De fato, na amostragem aleatória de uma população, SQTj aumenta sem limite quando 
o tamanho da amostra torna-se maior. Esse é o componente da variância que depende 
sistematicamente do tamanho da amostra. Quando SQT é pequeno, variância de ^bj 
pode ficar muito grande.
O R2 mede o grau de ajuste, um R2 próximo de 1 indica que X
2
 explica bastante da 
variação de X
1
 na amostra. Isso significa que X
1
 e X
2
 são altamente correlacionadas. 
Quando R2 cresce em direção a 1, a variância de ^b torna-se maior. Assim, um grau 
elevado de relação linear entre X
1
 e X
2
 pode levar a variâncias grandes dos estimadores 
de inclinação de MQO.
Na presença de multicolinearidade, os estimadores de mínimos quadrados ordinários, 
apesar de serem melhor estimador linear não viesado (MELNV) têm grandes variâncias 
e covariâncias, o que dificulta uma estimativa precisa. Por esse motivo, a razão t de um 
ou mais coeficientes tende a ser estatisticamente insignificante; assim, podemos ter um 
t baixo e erro-padrão alto, o que dificulta a estimação de intervalos de confiança, já que 
as inferências podem se tornar enganosas, pois há um risco muito grande de se aceitar 
a hipótese nula, quando esta deveria ser rejeitada.
2.3 Consequências da multicolinearidade
Podemos citar como principais consequências da multicolinearidade os seguintes 
pontos:
 1) O estimador de mínimos quadrados não é definido. 
 2) Quando multicolinearidade é perfeita, não se calcula o determinante e não 
se consegue obter os parâmetros.
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
117
 3) Quando tal correlação é elevada, a eficiência dos parâmetros estimados 
é significativamente afetada, tornando-os instáveis. A consequência é o aumento 
da variância da estimativa e, portanto, do erro-padrão. Daí, a estatística t se reduz, e a 
hipótese nula H
0
 pode ser aceita, quando deveria ser rejeitada.
→ Com multicolinearidade torna-se difícil isolar a influência relativa dos X
i
, ficando a 
interpretação dos resultados prejudicada.
 4) Quando r está perto de 1, a multicolinearidade está presente e as variâncias dos 
estimadores se tornam grandes; mesmo que os estimadores sejam não tendenciosos, 
será pequena a confiança que podemos ter no valor deles.
 5) As variâncias, erros-padrão e covariância dos estimadores de mínimos 
quadrados podem ser grandes; grandes erros-padrão implicam alta variabilidade 
amostral, instabilidade dos coeficientes estimados em relação a pequenas variações 
na amostra ou na especificação do modelo, intervalos de estimação dilatados e 
informações relativamente imprecisas proporcionadas pelos dados amostrais sobre os 
parâmetros desconhecidos; com erros-padrão altos, não podemos rejeitar H
0
.
 6) Quando os erros-padrão dos estimadores são grandes, é possível que 
os testes t usuais levem à conclusão de que as estimativas dos parâmetros não são 
significativamente diferentes de zero, mesmo com altos R2 e F, indicando poder 
explanatório significativo do modelo como um todo. O problema é que as variáveis 
colineares não proporcionam informação suficiente para estimar seus efeitos separados.
 7) A melhor maneira de ver se multicolinearidade está causando problemas é 
examinar os erros-padrão dos coeficientes: se vários coeficientes têm erros-padrão altos 
e ao retirarmos uma ou mais variáveis da equação se reduz o erro-padrão das variáveis 
que permaneceram, a origem do problema normalmente é a multicolinearidade.
Por fim, deve-se investigar se a partir do momento em que se realiza um diagnóstico 
de multicolinearidade, qual a gravidade e extensão do problema, pois desta forma é 
possível verificar se há propostas para correção do problema que são possíveis de serem 
implementadas. De tal forma que possamos utilizar os procedimentos sugeridos por 
Matos (1995, p. 129):
Os procedimentos mais comuns visando reduzir suas 
consequências são os seguintes:
a. aumento do tamanho da amostra;
b. uso de informação a priori sobre o valor da estimativa 
dos parâmetros, obtida de estudo prévio;
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
118
c. transformação da relação funcional; 
d. exclusão das variáveis colineares;
e. uso de razões ou primeiras diferenças. 
1. O que se entende por variáveis correlacionadas?
2. Defina colinearidade.
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
119
Seção 3
Autocorrelação ou correlação serial
Introdução à seção
Quando estudamos os tipos de dados verificamos que podemos ter dados do 
tipo corte transversal, séries temporais e combinação de corte transversal e série 
temporal.
Em estudos de corte transversal, a seleção de amostras é feita de maneira aleatória 
e em princípio não há motivos para supor que o termo erro de uma observação 
esteja correlacionado com o de outra. Mas existem casos que este problema se 
verifica e isto receberá o nome de autocorrelação espacial.
Em estudos que envolvem série de tempo devido ao ordenamento natural das 
séries que costuma seguir uma sequência cronológica, levando à observação 
de inter-relações entre as observações. Assim, quanto mais curto o espaço de 
tempo entre uma observação e outra, maior é a tendência a ter autocorrelação ou 
correlação serial. Um exemplo deste tipo de problema ocorre quanto utilizamos 
dados de preços de ações.
Desta forma, a autocorrelação é um problema que se verifica nos termos de erro 
e que concorre para violação do pressuposto do MQO de que o termo erro é 
aleatório e não correlacionado. Para entender melhoreste problema vamos 
estudar esta seção.
3.1 Conceito
De acordo com Matos (2000), a autocorrelação é um dos problemas mais sérios 
em econometria. A autocorrelação ocorre quando há dependência temporal dos 
valores dos resíduos, ou seja, quando os resíduos são correlacionados entre si. 
Quando há autocorrelação, há violação de uma das suposições do MQO, pois 
Cov (εi. εj|X ) ≠ 0, para todo i ≠ j. Na presença de autocorrelação, os termos de erro 
(desvios) seguem padrões sistemáticos.
Vale ressaltar que, apesar de os termos autocorrelação e correlação serial serem 
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
120
utilizados, muitas vezes, como sinônimos, há certa distinção entre estes dois 
termos, conforme explicitado em Gujarati (2011): autocorrelação é a correlação 
defasada de uma série consigo mesma, defasada em um número de unidades de 
tempo, enquanto o termo correlação serial é utilizado para correlação serial entre 
duas séries de tempo. Quando os resíduos são autocorrelacionados, as estimativas 
de mínimos quadrados ordinários dos parâmetros não são eficientes (não possuem 
variância mínima) e o erro-padrão é viesado, o que leva a testes e intervalos de 
confiança incorretos.
As fontes de autocorrelação são: inércia; omissão de variável explicativa (ou erro 
de especificação do modelo); má especificação da forma matemática (erro de 
especificação do modelo); má especificação do verdadeiro termo aleatório; ajuste 
imperfeito de estatísticas. Utiliza-se o teste de Durbin – Watson para verificar a 
ausência de autocorrelação. O uso deste teste mostra que o método dos mínimos 
quadrados não é adequado, pois apesar de gerar estimadores não viesados, geram 
estimadores não consistentes. Daí, deve-se usar o método dos mínimos quadrados 
gerais.
3.2 Diagnóstico de autocorrelação: o teste d de Durbin
Este é o teste mais amplamente utilizado para verificar a presença de correlação 
serial. Sua formulação é dada pelo quociente entre a soma das diferenças ao 
quadrado nos sucessivos resíduos e a soma dos quadrados dos resíduos (SQR): 
No numerador da estatística do teste de Durbin-Watson, o número de observações 
é n-1, pois se perde uma observação quando se calculam as sucessivas diferenças. 
Uma vantagem da estatística d é que ela se baseia nos resíduos estimados, que 
são calculados rotineiramente na análise de regressão. Por isso mesmo, muitos 
pacotes econométricos informam o d de Durbin-Watson junto a outros resultados 
estatísticos, como por exemplo, R2, R2 ajustado, testes t, entre outros. O uso do 
teste d requer algumas observações importantes, conforme alerta Gujarati (2011, 
p. 422):
1. O modelo de regressão inclui o termo de intercepto. Se tal termo não estiver 
presente, como no caso da regressão que passa pela origem, é importante rodar 
novamente a regressão incluindo o termo de intercepto para obter a SQR. 2. As 
variáveis explicativas os Xs, são não-estocásticas, ou fixadas em amostras repetidas. 
2. As perturbações são geradas pelo esquema autorregressivo de primeira ordem: 
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
121
 4. O modelo de regressão não inclui valor (es) defasado(s) da variável 
dependente como uma das variáveis explicativas. Assim, o teste não é aplicável a 
modelos do seguinte tipo:
Em que Y
t-1
 é o valor de Y defasado de um período. Tais modelos são conhecidos 
como modelos autorregressivos. 5. Não há observações que estejam faltando nos 
dados.
No teste de Durbin-Watson, não há um valor crítico único que levará à rejeição 
ou aceitação da hipótese nula de que não há nenhuma correlação serial entre os 
resíduos. Porém tiveram êxitos ao derivar um limite inferior di e um limite superior 
ds, de modo que se o d calculado estiver fora desses valores críticos pode-se tomar 
uma decisão relativamente à presença de correlação serial positiva ou negativa. 
Além disso, estes limites dependem somente do número de observações n e do 
número de variáveis explicativas. Estes limites, para n variando de 6 a 200 e para até 
20 variáveis explicativas, foram tabulados por Durbin e Watson.
3.2.1 Implementação do teste de Durbin
Um dos pressupostos básicos do MMQ é que o termo erro era aleatório, 
independente e com variância constante, ao constatar a existência de correlação 
entre os resíduos estaríamos numa situação de autocorrelação serial. Este problema 
pode surgir da especificação incorreta do modelo, da omissão de variável relevante 
e também procedimentos de dessasonalização da série através de processos de 
médias móveis. 
Fonte: Pindyck e Rubinfeld (2004, p. 189)
Tabela 3.1 – Teste de Durbin e Watson e interpretações
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
122
A consequência da autocorrelação é que os estimadores dos parâmetros são não 
viesados, porém não eficientes (não tem menor variância); além disto as variâncias 
estimadas dos parâmetros são subestimados, gerando problemas nos testes de 
hipóteses. Para testar a presença de autocorrelação é o Teste de Durbin Watson. 
Conceitualmente o teste d é a razão da soma das diferenças, elevada ao quadrado, 
entre sucessivos resíduos e a soma dos quadrados do resíduo, dado pela seguinte 
fórmula:
O valor de d sempre se situa entre 0 e 4, conforme figura a seguir. A análise será 
feita para destacar dois tipos de autocorrelação, a positiva e a negativa, conforme 
veremos a seguir sobre a interpretação das estatísticas do teste.
• Para testar a autocorrelação positiva na signifi cância α, a estatística do 
teste d é comparado com valores inferiores e superiores crítica (d
L,
 
U α e d, α):
• Se d <d 
L, α, há evidência estatística de que os termos de erro são 
positivamente autocorrelacionados. 
• Se d> d 
U, α, há evidência estatística de que os termos de erro não são 
positivamente autocorrelacionados. 
• Se d 
L, α<d <d U, α, o teste é inconclusivo. 
• Para testar a autocorrelação negativa de signifi cância α, a estatística de 
teste (4 - d) é comparada com a inferior e superior os valores críticos (d 
L, U α e 
d, α):
• Se (4 - d) <d 
L, α, há evidência estatística de que os termos de erro são 
negativamente autocorrelacionados. 
Fonte: Adaptado de Matos (1995, p. 137)
Figura 3.2 – Gráfico da estatística de Durbin Watson
Área de não rejeição de H
0
:
Não existem evidências de autocorrelação
0 d
L 
d
u 
2 4 - d
L 
4 - d
u 
4
0 1,04
 
1,20
 
2 2,80
 
2,95
 
4
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
123
• Se (4 - d)> d U,
 α, há evidência estatística de que os termos de erro não são 
negativamente autocorrelacionados. 
• Se d
 L, α<(4 - d) <d U, α, o teste é inconclusivo. 
Considerações importantes sobre as limitações do teste: i) não é apropriado quando 
entre as variáveis explicativas esta a variável dependente defasada; ii) no caso de 
séries não estacionárias ele só é indicado para os processos AR (1); iii) para utilizar 
a estatística o modelo estimado tem que ter o termo constante (VASCONCELLOS, 
2000, p. 115). 
3.3 Medidas corretivas de autocorrelação
Trataremos de dois métodos, o de Prais-Winsten e o processo interativo de 
Cochrane-Orcutt, tomando como referência Gujarati (2011, p. 428).
3.3.1 Quando a estrutura da autocorrelação é conhecida
Supõe-se que u
t
 = ρu
t-1
 + ε
t
 com |ρ| < 1 e os ε
t
 seguem as hipóteses de MQO com 
média zero, variância constante e ausência de autocorrelação. Se a equação u
t
 = 
ρu
t-1
 + ε
t
 for válida, a autocorrelação serial pode ser resolvida se o coeficiente de 
correlação for conhecido.
Considere as equações:
Y
t
 = β
1
 + β
2
X
t
 + u
t
 (1)
Se(1) for válida para o período t, também será válida para t-1. Portanto,
Y
t-1
 = β
1
 + β
2
X
t-1
 + u
t-1
 (2)
Multiplicando ambos os lados de (2) por ρ temos:
ρY
t-1
 = ρβ
1
 +ρβ
2
X
t-1
 +ρu
t-1 
 (3)
Subtraindo (3) de (1), temos
(Y
t
 - ρY
t-1
) = β
1
(1 – ρ) + β
2
X
t
 - ρβ
2
X
t-1
 + (u
t
 - ρu
t-1
) 
 = β
1
(1 – ρ) + β
2
(X
t
 - ρX
t-1
)+ (ε
t
) (4)
em que no último passo foi usada a equação ut = ρu
t-1
 + ε
t
.
A equação (4) pode ser expressa como:
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
124
Y*
t
 = β*
1
 + β*
2
X*
t
 + ε
t
 (5)
Em que β*
1
 = β
1
(1 – ρ), Y*
t
 = (Y
t
 - ρY
t-1
) e X*
t
 = (X
t
- ρX
t-1
)
Como εt satisfaz as suposições dos MQO, aplicamos MQO às variáveis transformadas 
Y8 e X* e obtemos estimadores MELNV. Quando rodamos a regressão (5), estamos 
rodando uma regressão pelo método dos mínimos quadrados generalizados 
(MQG ou GLS). A equação (4) é uma equação de diferença generalizada ou de 
quase-diferença, onde regredimos Y sobre X não na forma original, mas na forma 
de diferença, subtraindo-se uma proporção (ρ) do valor de uma variável no período 
anterior de seu valor no período corrente. Quando fazemos a diferenciação, uma 
observação é perdida. Para evitar esse problema, a primeira observação sobre Y 
e X é transformada: e X
1 
→ Esta transformação é chamada 
transformação de Prais-Winsten. 
3.3.2 Quando a estrutura da autocorrelação é desconhecida
O processo iterativo de Cochrane-Orcutt para estimar ρ. Através deste método 
estima-se ρ a partir da estatística d de Durbin-Watson; utilizam-se os resíduos 
estimados ut para obter informações sobre o ρ desconhecido. 
Considere a equação:
Y
t
 = β
1
 + β
2
X
t
 + u
t
 (6)
Suponha que ut é gerado por um processo AR(1):
u
t
 = ρu
t-1
 + ε
t
 (7)
Passos recomendados por Cochrane e Orcutt para estimar ρε
t
:
1. Estime o modelo de duas variáveis pelo MQO e obtenha os resíduos, u
t
.
2. Use os resíduos estimados para rodar a regressão a seguir:
u
t 
= ρû
t-1
 + v
t
 (8)
que é a contrapartida empírica do esquema AR(1) dado anteriormente.
3. Usando ^ρ obtido de (8), rode a equação de diferença generalizada (4), ou seja,
(Y
t 
- ρY
t-1
) = β1(1 – ^ρ) + β
2
(X
t
 - ^ρX
t-1
)+ (u
t
 – ^ρu
t-1
) 
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
125
ou
Y*t = β*
1
 + β*
2
X*
t
 + e
t
 (9)
Agora, podemos rodar a regressão já que ρ é conhecido 
4. Como, a priori, não se sabe se o ^ρ obtido de (8) é a “ melhor” estimativa de ρ, 
substitua os valores de β*
1
 = β
1
(1 – ^ρ) e β*
2
 obtidos de (9) na regressão original (6) 
e obtenha os novos resíduos: ût**, deste modo:
û
t
** = Y
t 
– β*
1
 - β*
2
X*
t
 (10)
Que pode se calculado facilmente, pois Y
t
, X
t
 β*
1
 e β*
2
 são todos eles conhecidos.
5. Agora estime a regressão:
u
t
** = ^^ρû**
t-1
 + w
t
 (11)
que é similar a (3). Assim, ^^ρ é a estimativa de segunda rodada de ρ.
Mas será a estimativa de segunda rodada adequada? Não será a terceira rodada? 
O método de Cochrane-Orcutt é repetitivo (iterativo). Mas há uma regra para 
sabermos até onde podemos fazer repetições. Deve-se parar de realizar as 
repetições quando as sucessivas estimativas de ρ divergirem entre si por uma 
pequena quantia, como por exemplo, 0,01 ou 0,005.
Pois bem, agora que compreendemos um pouco dos processos que envolvem a 
existência de autocorreção, podemos avançar para o estudo de outro problema 
que é a heterocedasticidade.
1. Quando ocorre autocorrelação serial, qual pressuposto do 
MQO é violado na presença de autocorrelação serial?
2. Qual é a consequência da autocorrelação para os 
estimadores?
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
126
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
127
Seção 4
Heterocedasticidade
Introdução à seção
Quando estimamos um modelo, um pressuposto importante do MQO, é que os 
erros ou resíduos sejam homocedásticos quando atendem a este pressuposto. 
Todos têm variância mínima e constante, se apresentam concentrados próximos 
a uma média.
Ocorre que algumas vezes isto não se verifica, então, pode ocorrer uma forte 
dispersão dos dados em torno de uma reta; uma dispersão dos dados perante 
um modelo econométrico regredido. Nestes casos temos o que se chama em 
econometria de heterocedasticidade.
Por outro lado, podemos dizer que a heterocedasticidade não elimina as 
propriedades de inexistência de viés e consistência dos estimadores de MQO, mas 
sua principal implicação reside no fato de que os erros apresentando variância 
elevada, os parâmetros estimados pela regressão de ter eficiência, ou seja, deixam 
de ser os melhores estimadores lineares não viesados. Para compreender melhor 
o aspecto vamos estudar esta seção.
4.1 Conceito
Em linhas gerais, a heterocedasticidade pode ser descrita como “conceito de 
estatística que designa uma distribuição de frequência em que todas as distribuições 
condicionadas têm desvios-padrão (afastamentos) diferentes" (SANDRONI, 1989, 
p. 280). Isto é, o erro não é homocedástico.
Apenas relembrando que o pressuposto da homocedasticidade pode ser 
representado estatisticamente por [E(ei)2=σ2+], significa que cada perturbação 
tem a mesma variância σ2 cujo valor é desconhecido. Quando as estimativas 
contemplam um termo erro homocedástico, isto garante que cada observação 
é igualmente confiável e que as estimativas dos coeficientes da regressão são 
eficientes, resultando em testes de hipóteses não viesados.
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
128
Ao contrariar este pressuposto a heterocedasticidade surge de situações para as 
quais a variância do termo erro não é constante para todos os valores da variável 
independente (Y).Isto é,E(X
i
e
i
)≠0; assim [E(e
i
)2≠σ2]. Desta forma, as principais 
consequências da heterocedasticidade é que o MQO não gera estimativas 
eficientes ou de variância mínima dos parâmetros, logo os erros-padrões são 
viesados e os testes t e F não são confiáveis. A heterocedasticidade é mais comum 
em dados de cross-section.
4.2 Identificação da heterocedasticidade
A forma mais simples de constatar a presença da heterocedasticidade é verificar a 
plotagem dos termos erros contra cada uma das variáveis explicativas, conforme 
podemos ver na Figura 3.3, que compara uma distribuição homocedástica contra 
uma heterocedástica.
Esse pressuposto exclui, por exemplo, a possibilidade 
de a dispersão das perturbações ser maior para valores 
mais altos de Xi. Por exemplo, em uma função de 
produção, o pressuposto de Homoscedasticidade implica 
que a variação na produção é a mesma, seja a quantidade 
de trabalho 20; 100 ou qualquer outro número de 
unidades (MATOS, 1995 p. 147).
Fonte: Gujarati (2011, p. 371).
Figura 3.3 – Homecedasticidade versus heterocedasticidade
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
129
Podemos ver também a plotagem do termo erro contra a variável independente, 
conforme apresenta a Figura 3.4, num gráfico bidimensional.
Também existem testes estatísticos para detectar a presença ou ausência do 
problema da heterocedasticidade. Os mais comuns são os propostos por Goldfeld 
e Quandt, Park, Glejser, e Pesaran e Pesaran.
4.2.1 Testes estatísticos para identificação da heterocedasticidade
1) Teste de Goldfeld e Quandt
Os procedimentos para realizar o Teste de Goldfeld e Quandt, de acordo com 
Matos (1995), foram apresentados nas linhas a) e d). No decorrer das explicações 
presentes nesta unidade, a exemplificaçãode uma operacionalização utilizando o 
Excel contribuirá para uma melhor explicação. 
a) Inicialmente, reagrupar os dados, organizando em ordem crescente, o valor da 
variável independente X
i
, que, hipoteticamente, encontra-se correlacionada aos 
resíduos.
Figura 3.4 – Diagrama de dispersão dos resíduos contra 
Fonte: Gujarati (2011, p. 371).
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
130
b) Em seguida, realizar as operações de duas regressões separadas, uma 
para os menores valores de X
i
 e outra para os maiores valores de X
i
, omitindo 
aproximadamente ¼ das observações que tenham valores médios. Portanto, as 
(n – c) observações restantes são divididas em duas subamostras de tamanhos 
iguais, em uma é necessário incluir os valores menores de X e na outra seus valores 
mais elevados.
c) Desta maneira, testa-se a razão entre a soma dos quadrados dos erros da 
segunda regressão e a soma dos quadrados dos erros da primeira regressão (isto 
é, SQE
2
/SQE
1
) no intuito de verificar se é significativamente diferente de zero. 
d) Partindo dessas informações, é definida a seguinte estatística F:
Com esta fórmula, a estatística tem distribuição F com [(n - c)/ 2 - k - 1] graus de 
liberdade tanto para o numerador quanto para o denominador. 
Adota-se:
n = número total de observações;
c = número e observações omitidas;
k = número de variáveis explicativas incluídas no modelo.
Constata-se que, se as variâncias das duas subamostras forem iguais, F tender a 1 e 
a hipótese nula de ausência de heterocedasticidade (H
0
) será aceita.
À medida que a diferença entre as duas variâncias se amplia, o problema de 
heterocedasticidade vai se agravando.
Assim, dado um nível de significância, pode-se utilizar a estatística F para verificar a 
existência ou não do problema de heterocedasticidade.
Naturalmente, se F observado >F crítico para [(n - c)/ 2 - k - 1] graus de liberdade, a 
hipótese nula de homocedasticidade será rejeitada.
Ao trabalhar com grandes amostras, o teste de Goldfeld-Quandt é considerado 
o mais indicado, de maneira que seja possível estimar adequadamente as duas 
regressões adequadamente.
Em relação à validade, teste de Goldfeld-Quandt requer a normalidade dos resíduos 
e a ausência de autocorrelação serial.
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
131
2) Teste de Glejser
Este teste caracteriza-se em estimar a equação de regressão do valor absoluto 
dos resíduos ei sobre a variável explicativa, relacionada aos resíduos, depois 
da escolha da forma especificativa considera mais adequada. Apesar disto, a 
heterocedasticidade se refira à existência de uma relação entre a variância dos 
resíduos [var(ei)] e uma ou mais variáveis explicativas (X), a estimação sugerida por 
Glejser faz sentido, porque a magnitude de ei em valores absolutos varia (aumenta 
ou diminui), quando sua variância não for constante. 
Desta forma, temos:
|e|= a + bXc+ v, onde c = -2; -1; -0,5; 0,5; 1 ou 2
A heterocedasticidade é, portanto, avaliada em função das estatísticas convencionais 
de análise de regressão (t, F e R2), rejeitando-se a hipótese nula de ausência de 
heterocedasticidade, se os parâmetros estimados forem estatisticamente iguais 
a zero, para dado nível de significância. Utiliza-se então a estatística F para a 
realização do teste.
Em uma situação quando apenas a estimativa do parâmetro b for diferente de zero, 
tem-se heterocedasticidade pura e, desse modo, é plausível admitir que var(e
i
) = 
σ2X2c. Logo, o desvio-padrão será proporcional a Xc e, em consequência, utiliza-
se Xc como fator de ponderação ou correção da equação original. Se tanto a 
estimativa de a quanto a de b forem diferentes de zero, então a heterocedasticidade 
será mista e o fator de correção mais apropriado seria o uso da estimativa da (a + 
bXc), tornando assim, a correção muito mais complexa e problemática.
Salienta-se, pelo procedimento de Glejser, o fator de correção (Xc) depende da 
forma especificativa que, mais apropriadamente, ajuste |e| a Xc ou da escolha 
arbitrária de uma delas.
3) Teste de Park
Para este teste procede uma especificação que utiliza a relação e2=aXc. Sendo 
assim, o teste de homocedasticidade consiste em regredir o quadrado dos 
resíduos, e2, sobre o X, usando-se a forma funcional logarítmica. Assim, desta 
maneira, admitindo-se um resíduo aditivo u, a equação a ser estimada apresentada 
a seguir será:
Ln e2=Ln a + cLn X + u
Entretanto, tal forma especificativa não é aplicável no caso de a variável explicativa, 
a priori relacionada a e2, assumir valores negativos ou nulos. Para esta situação, 
temos o caso da variável binária.
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
132
Há uma desvantagem, é que o termo u pode, também, ser heterocedástico, 
produzindo o erro-padrão viesado e incorreção no próprio teste.
Mesmo assim, a especificação adotada por Park pode ser combinada com o 
procedimento sugerido por Glejser, com a vantagem de se poder utilizar o valor 
estimado do parâmetro de LnX para a obtenção direta de pesos mais satisfatórios 
a fim de corrigir a heterocedasticidade.
A expressão é:
Var (e
i
) = σ2
i
 = σ2 * Xc
i
 .Portanto,
DP (ei) = σ
i
 = (σ2 * Xci)1/2 = σX
i
c/2
A estimativa do parâmetro c de LnX possibilita de terminar diretamente os valores 
do fator de correção (FC), isto é, FC = Xc/2. Assim, a equação transformada (sem o 
índice i) será correspondente a:
Ao realizar este procedimento, não há necessidade de escolher a melhor forma 
especificativa dos valores de c na equação, como é requerido o procedimento 
original de Glejser.
4) Teste de Pesaran e Pesaran
O Teste de Pesaran e Pesaran consiste em regredir o quadrado dos resíduos (u
i
) 
sobre o quadrado dos valores estimados da variável dependente (Y) conforme 
veremos na fórmula a seguir:
u2= a + bY2+ v
O teste da estimativa do parâmetro b pela estatística t ou F evidencia a significância 
ou não da relação acima, e, como resultado, a do grau de heterocedasticidade, 
uma característica relevante desse teste é a sua simplicidade.
Assim, também, relaciona os resíduos com os valores estimados da variável 
dependente. Isto evita o problema da escolha da variável explicativa que é 
correlacionada com os resíduos.
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
133
5) Teste de Normalidade de Jarque-Bera (JB)
Uma das suposições do Modelo Clássico de Regressão Linear é a de que os erros 
aleatórios têm media igual a zero. Como o erro é uma variável aleatória e deve ser 
estimada no processo de obtenção da reta de regressão, deve-se fazer um teste 
que verifique se os erros seguem a suposição de que eles têm seu valor esperado 
igual zero.
De acordo com Gujarati (2011), o teste de normalidade JB, é um teste para grandes 
amostras (assintótico) e se baseia nos resíduos de mínimos quadrados. A realização 
do teste JB requer os cálculos de medidas de assimetria e curtose. A assimetria 
se refere ao terceiro momento da distribuição e é definida como: E (X – )3. A 
assimetria é uma medida que fornece o grau de desvio ou afastamento da simetria 
de uma distribuição. Quando a curva é simétrica, a média, a moda e a mediana 
coincidem num ponto.
A curtose refere ao quarto momento da distribuição e é definido como: E (X – 
)4 ; é uma medida que reflete o grau de achatamento de uma distribuição. A 
assimetria e a curtose são utilizadas para estudar a “aparência” de uma distribuição 
de probabilidade.
A medida de assimetria (S) é definida como:
S = (1/N) Σ x
i
3/s3
Onde s é o desvio-padrão de X. Quanto á assimetria, se
S = 0 → Diz-se que a distribuição é simétrica
S < 0 → Diz-se que a distribuição tem assimetria negativa (quando a cauda inferior 
tem espessura maior; inclinação à esquerda)
S > 0 → Diz-se que a distribuiçãotem assimetria positiva (quando a cauda superior 
da distribuição é mais espessa do que a cauda inferior; inclinação à direita)
A medida de Curtose (K) é definida como:
Quanto à curtose, temos as seguintes possibilidades:
1. Platicúrtica (K < 3) → Neste caso, a distribuição é achatada (gorda ou de cauda 
curta), caracterizando alta variabilidade. 
2. Leptocúrtica (K > 3) → A distribuição (fina ou de cauda longa) é concentrada em 
torno da média.
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
134
3. Mesocúrtica (K = 3) → A distribuição de frequências é a própria distribuição 
normal.
A Figura 3.5 ilustra as possibilidades de curva quanto à curtose. A primeira curva 
é Leptocúrtica (mais afilada); a segunda (do meio) é a Mesocúrtica e a terceira (a 
mais achatada) é a Platicúrtica.
A estatística do teste de Jarque-Bera, considerando a assimetria e a curtose, é:
Onde A representa assimetria e C representa a curtose e (C – 3) é o excesso 
de curtose. Em uma distribuição dita normal, o valor da assimetria é zero e 
o valor da curtose é 3. Portanto, o teste é o seguinte: testa-se a hipótese nula 
de que os resíduos se distribuem normalmente. Jarque e Bera mostraram que 
assintoticamente (isto é, grandes amostras), a estatística JB é distribuído por uma 
qui-quadrado com 2 gl. Se o valor p da estatística qui-quadrado calculada em uma 
aplicação for suficientemente baixo, podemos rejeitar a hipótese de normalidade 
dos resíduos. Mas se o valor de p for razoavelmente alto, não rejeitamos a hipótese 
da normalidade.
6) Operacionalização de um teste de Goldfeld-Quandt
Uma das premissas importantes do modelo de regressão linear refere-se à 
homocedasticidade, isto é, a variância do termo erro, condicionada aos valores 
selecionados das variáveis explicativas, é uma constante, de tal forma que:
Fonte: Disponível em: <http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/
upload/1091_D.doc>. Acesso em: 12 out. 2010.
Figura 3.5 - Exemplos de curva quanto à curtose
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
135
Y
i 
=
 
α + β+ϵ
i
E(u
i
2) = σ2 i=1,2,... + n
Porém, pode ocorrer de a variância acompanhar as variações em X e neste caso a 
variância de Y
i 
não será constante, e neste caso a variância será
E=σ
i
2
A esta violação do pressuposto de homocedasticidade dá-se o nome de 
heterocedasticidade. Segundo Gujararati (2006), existem várias razões para que 
na prática encontremos dados heterocedásticos. Entre elas podemos citar: os 
modelos de aprendizagem pelo erro, a renda discricionária, a existência de dados 
discrepantes e a incorreta especificação do modelo, a assimetria de distribuição de 
um ou mais regressores incluídos no modelo, a incorreção na transformação dos 
dados e a incorreção nas formas funcionais.
A heterocedasticidade seria um problema mais comum em dados de corte que 
em séries temporais, pois nas primeiras encontramos uma variabilidade maior 
de informações de diferentes ordens e magnitudes coletadas sobre uma mesma 
população em um dado ponto do tempo. Verificaremos então como fica a 
estimação de β
i
m=
n Σ(xy) - ΣxΣy
n Σ(x2) - (Σx)2
sem heterocedasticidade Var 
Na presença de heterocedasticidade a variância de βi
var 
Se σ
i
2= σ2 para cada i, as duas fórmulas ficam idênticas. Caso contrário βi 
continuará sendo não viesado e consistente, porém não terá a menor variância. 
“A heteroscedasticidade não elimina as propriedades de inexistência de viés e 
consistência dos estimadores de MQO, no entanto, eles deixam de ter variância 
mínima e eficiência, ou seja, não são os melhores estimadores lineares não-
viesados (MELNV) devido a incorreções no teste t e F” (MATOS,1995, p. 147). 
A forma de correção envolve o método dos mínimos quadrados generalizados 
(MMQG), ele é capaz é capaz de considerar a variabilidade maior de informações 
desiguais da variável Yi , levando a σ
i
2= σ2 a partir da equação de regressão dos 
parâmetros estimados por MMQ. Suponha que as variâncias heterocedásticas, σ
i
2 , 
são conhecidas, retomemos equação inicial:
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
136
E dividindo-a por σ
1
 temos
Agora podemos reescrever a equação em forma de variáveis transformadas:
Sendo E(u
i
2) = σ
i
2 e este uma constante, logo var (u
i
*) = 1. Agora a variância do 
termo u_i^* é homocedástico. Agora para mantermos as demais premissas do 
MMQ afim de gerarmos estimadores MELNT assumimos que α
i
* e β
i
* passam a ser 
parâmetros estimados no lugar de α
i
 e β
i
.
Podemos detectar a presença de heterocedasticidade através da análise gráfica e 
através de testes formais tais como: Teste de Park, Teste de Glejser, Coeficiente de 
determinação por ordem de Spearman, Teste de Breusch-Pagan-Godfrey, Teste de 
White e Teste de Goldfeld Quandt. Na sequência desenvolveremos um exemplo 
numérico, de acordo com dados de Vasconcellos (2000, p.135). 
Suponha que tenhamos uma série de dados, conforme descrito na Tabela 3.2. Esta 
série poderia ser composta por salários (W) e anos de escolaridade (A).
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
137
Salários. Y1 e Ano X1 = variáveis divididas pelos seus desvios padrões.
Y* e X* = regressão dos valores de Salários Y1 e Anos de estudo X1 
Fonte: Adaptado de Gujarati (2011)
Tabela 3.2 – Salários e anos de escolaridade
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
138
Rodamos a regressão na qual W é a variável dependente salários em função dos 
anos de escolaridade (A) para a série e encontramos os seguintes valores estimados 
pelo Excel expressos no Quadro 3.1:
Desta tabela retiramos os valores da regressão, separando os parâmetros estimados 
então, temos:
W = X
0
 + β A + e
i
W = 124,05 + 177,91 A
 (54,91) (4,59)
R2 = 0,98 
Apresentamos a Figura 3.6 dos resíduos e a variável explicativa de anos de estudo.
Fonte: A autora (2015).
Quadro 3.1 – Regressão salários em função dos anos de escolaridade com as variáveis originais
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
139
Percebe-se que na medida em que os anos de escolaridade aumentam também 
aumentam os resíduos, isto seria indicativo de correlação entre os resíduos e a 
variável explicativa A, indicando a presença de heterocedasticidade. Para verificar, 
vamos aplicar o teste de Goldfeld-Quandt.
Este teste consiste em encontrar um valor λ (= teste de F). Se σ
i
2 está relacionado 
a Xi então podemos supor que σ
i
2= σ 2 X
i
2 , sendo σ_i^2uma constante. Se a 
relação descrita for verdadeira, então teremos um caso de heterocedasticidade. A 
operacionalização dos testes consiste em ordenar a amostra do maior valor de X 
para o menor (conforme coluna 3 da Tabela 1).
Depois dividir a amostra e três partes iguais (conforme marcação mais forte na 
Tabela 1), e suprimimos a parte central. Depois realizamos as regressões para a 
primeira e para a última parte e encontramos os resíduos SQR
1
 e SQR
2
 e montamos 
o teste, seguindo a fórmula.
Sendo os graus de liberdade definidos por ((n-c)÷2)-k, sendo n = tamanho da 
amostra, c = 3 parte da amostra k = número de parâmetros. Para o nosso exemplo 
encontramos os resultados apresentados nos quadros 3.2 e 3.3.
Fonte: A autora (2015).
Quadro 3.1 – Regressão salários em função dos anos de escolaridade com as variáveis originais
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
140
Fonte: A autora (2015).
Quadro 3.2 –Resultados da regressão das 12 primeiras amostras pelos valores originais
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
141
Fonte: A autora (2015).
Quadro 3.3 – Regressão com as amostras sendo padronizadas pelo desvio padrão
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
142
Das regressões do Quadro 3.3 podemosretirar as informações sobre SQR.
SQR
1
 = 559241,1 e SQR
2 
= 120315,7 
n=27, k = 2 e c=12
λ=4,65
Neste caso, os graus de liberdade do F tabelado será o mesmo no denominador 
e no denominador, conforme calculado antes o gl é de 10. Sendo a hipótese nula 
H0: ui é homocedástico e H
a
:u
i
 não é homocedástico. Procuramos o valor na 
tabela e comparamos com o valor calculado.
λ = F* = 4,65 e F tab
(10,5%)
=2,98. 
Neste caso, rejeita-se H0 de que ui é homocedástico, o teste indica que resíduo é 
heterocedástico. Neste caso, aplicamos:
Neste caso, os graus de liberdade do F tabelado será o mesmo no denominador 
e no denominador, conforme calculado antes o gl é de 10. Sendo a hipótese nula 
H
0
: u
i
 é homocedástico e Ha:ui não é homocedástico. Procuramos o valor na 
tabela e comparamos com o valor calculado.
λ = F* = 2,11 e F 
tab(10,5%)
=2,98. 
Neste caso, não se rejeita H0e ui é homocedástico. Desta forma, agora os 
parâmetros estimados α = 0,1032 e β = 0,99 podem ser considerados MELNT. 
Encontramos os novos valores 
da regressão.
W = 0,1032 + 0,99 A
 (0,046) (0,025)
R
2
 = 0,97 
Refazemos os cálculos para: 
SQR
1
 = 0,024254 e SQR
2
 = 0,515785 
n=27, k = 2 e c=12
λ=2,11
1. O que é heterocedasticidade?
2. Por que podemos ter dados heterocedásticos?
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
143
1. Observe as figuras:
Agora, responda: qual delas traz uma representação de dados 
heterocedásticos? Por quê?
Nesta unidade, você pôde compreender, através de análises, 
quais são as principais formas de violação destes pressupostos. 
Foi apresentada a multicolinearidade, com explicações sobre 
uma correlação entre duas ou mais variáveis independentes 
inclusas no modelo MQO podem interferir nas estimativas 
dos parâmetros. Outro assunto abordado nesta unidade é a 
autocorrelação serial e a heterocedasticidade, verificando, assim, 
a instabilidade da variância que o termo erro pode prejudicar a 
análise via MQO.
Nesta unidade, você aprendeu acerca das implicações das 
violações dos pressupostos básicos do MQO. Você pode 
complementar seus estudos lendo o Capítulo 7 do livro de 
Econometria, de James H. Stock e Mark W. Watson, publicado em 
2004 e disponível na Biblioteca Digital Pearson. Bons estudos!
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
144
3. Observe a figura:
 
4. Observe a figura com a representação do teste de Durbin.
5. Ao identificar um problema de multicolinearidade podemos 
atuar seguindo alguns passos para resolução deste problema. 
Apresente quais são as formas mais indicadas para corrigir o 
problema.
2. Vamos supor que um pesquisador, após rodar um modelo 
econométrico, tenha chegado aos seguintes resultados:
C = 0, 331 + 2,033Y – 0,369A R2 = 0,843
Teste t = significante e Teste F = elevado
OBS.: Regressão sujeita a problemas e heterocedasticidade.
Tendo em vista os resultados e a OBS apresentados pelo 
pesquisador, o que se pode dizer sobre o modelo?
Considerando que ela represente um 
problema de multicolinearidade e 
entendendo que esta surge do fato de 
as variáveis estarem correlacionadas, 
podemos dizer que esta correlação surge 
devido a alguns fatores. Nesse sentido, 
relacione e explique as principais fontes de 
multicolinearidade.
Agora, suponha 
que você tenha 
recebido o 
seguinte valor:
d = 1,25
Classifique os valores apurados para o teste de Durbin (d) em 
termos de autocorreção.
Área de não rejeição de H
0
:
Não existem evidências de autocorrelação
0 d
L 
d
u 
2 4 - d
L 
4 - d
u 
4
0 1,04
 
1,20
 
2 2,80
 
2,95
 
4
Violação dos pressupostos básicos do modelo
U3
145
Referências
BUENO, Rodrigo de Losso da Silviera. Econometria de séries temporais. São 
Paulo: Cengagge Learning, 2008.
DORNBUSCH, Rudiger. Macroeconomia. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1991.
ENDERS, W. Applied econometric time series. 2. ed. Wiley, 2005.
GOMES, Fábio A. R. Consumo no Brasil: teoria da renda permanente, formação de 
hábito e restrição à liquidez. In: RBE, Rio de Janeiro, 58(3):381-402, jul./set. 2004.
GREENE, William H. Analysis econometric. 5. ed. Upper Saddle River, New Jersey: 
Prentice Hall, 2003. 
GUJARATI, D. N. Econometria básica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2011.
HALL, Robert Ernest. Macroeconomia: teoria, desempenho e política. Rio de 
Janeiro: Campus, 1989.
HILL, R. Carter. Econometria. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
______. Econometria. São Paulo: Saraiva, 1999.
LANGE, O. Introdução à econometria. Rio de Janeiro: Fundo de Cultura, 1961.
MATOS, O. C. Econometria básica: teoria e aplicações. São Paulo: Atlas, 2000.
______. Econometria básica: teoria e aplicações. São Paulo: Atlas, 1995.
MARGARIDO, Marco Antônio. Aplicação de testes de raiz unitária com quebra 
estrutural em séries econômicas no Brasil na década de 90. In: Informações 
econômicas, São Paulo, v. 31, n. 4, abr. 2001. Disponível em: <http://www.iea.
sp.gov.br/out/verTexto.php?codTexto=198>. Acesso em: 18 set. 2010.
MANKIW, N. Gregory. Macroeconomia. 5. ed. São Paulo: LTC, 2003.
MORETTIN, Pedro A. Análise de séries temporais. 2. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 2006.
PINDYCK, R. S.; RUBINFELD, D. L. Econometria: modelos e previsões. Rio de 
Janeiro: Elsevier, 2004.
U3
146 Violação dos pressupostos básicos do modelo
SCHRODER, B; PINA, V. Econometria para concursos. Rio de Janeiro: Elsevier, 
2012.
SILVA, Marcos Eugênio. Uma nota sobre esperança condicional e expectativas 
racionais. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/
textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf>. Acesso em: 1º out. 2010.
VASCONCELLOS, Marco A. Manual de econometria: nível intermediário. São 
Paulo: Atlas, 2000.
______. Manual de econometria. São Paulo: Atlas, 1995.
WOOLDRIDGE, J. M. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. São 
Paulo: Cengage Learning, 2011.
______. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. São Paulo: 
Cengage Learning, 2006.
Unidade 4
FERRAMENTAS E APLICAÇÕES 
DA ECONOMETRIA
O estudo analisado objetiva compreender os aspectos básicos de modelo 
MQO com inclusão de variáveis especiais (Dummy).
Seção 1 | Consumo de energia elétrica e PIB no Brasil 
1970-1996)
Objetivos de aprendizagem: Nesta unidade, você terá a oportunidade de conhecer 
mais algumas ferramentas da econometria, bem como aplicações, pois a unidade está 
apresentada em forma de composição de artigos. 
Neste sentido, esta unidade pretende apresentar as diferentes técnicas econométricas 
produzidas pela autora Regina Lúcia Sanches Malassise. Para realizar esta tarefa, a 
unidade está composta por três seções:
Regina Lúcia Sanches Malassise
Neste estudo, a partir de dados do Censo Escolar, objetivou-se apresentar 
um caminho para a escolha de variáveis e composição de modelos.
Nesta seção, objetivou-se apresentar um tópico mais avançado de 
Econometria com a exploração de estudos com dados em painel.
Para melhor compreensão, vamos estudar estas seções.
Seção 2 | Estudo do desempenho da educação
Seção 3 | Estudo sobre a criminalidade
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
148
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
149
Introdução à unidade
A econometria constitui-se em um grupo de conhecimentos muito importante para 
o economista. Portanto, ler textos e materiais que utilizam técnicas econométricas 
e compreendê-los é necessário.
Em termos de leitura, os artigos publicados na área sempre exploram os aspectose fundamentos teóricos do problema em questão. Desta forma, a técnica não 
pode ser empregada sem construção de uma teoria que fundamente a construção 
do modelo. Em termos de linguagem científica, o uso de técnica sem fundamento 
teórico bom é o maior motivo para rejeição de publicações e trabalhos em qualquer 
área do conhecimento econômico.
Em termos de compreensão, dominar os conceitos e significados dos termos 
como intercepto (alfa) e coeficiente angular (beta), compreender os resultados dos 
testes estatísticos como teste de t e F e, compreender o significado do coeficiente 
de correlação (r) e de determinação (R2) são fundamentais para ler as conclusões 
a que o estudo conduziu.
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
150
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
151
Seção 1
Consumo de energia elétrica e PIB no Brasil 
(1970-1996)
Introdução à seção
Neste trabalho utilizamos o modelo econométrico sugerido por MATTOS (1995, p. 
112-123), com a finalidade de estimar uma equação de demanda de energia elétrica 
no Brasil para o período de 1970 a 1996. Em seu livro, ele apenas trabalha com o 
período de 1970 a 1990, Nossa contribuição foi aumentar o número da amostra 
para o período de 1996 e ainda na especificação do modelo não deflacionamos 
o PIB, apenas refizemos os cálculos e utilizamos o ano de 1980 para indicativo 
índice 100. 
1.1 Breve discussão teórica sobre o tema
Analisando os dados do consumo de energia elétrica e do PIB, ambos transformados 
em números índices com 1980 = base 100, no período de 1970-1996, temos que 
o desenvolvimento das atividades produtivas, da população urbana e dos usos 
domésticos é fator que determina a crescente demanda de energia. Alguns dados 
apontam que há uma diferença regional no país em termos de consumo de energia, 
por exemplo, em 1974, 70% do consumo se concentravam na região Sudeste.
Podemos observar que tanto o consumo de energia quanto o crescimento do PIB 
caminham na mesma direção.
Fonte: A autora (2015).
Gráfico 4.1 – Índice de consumo do PIB e energia elétrica no Brasil
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
152
Como nossa segunda alternativa é verificar o nível de energia no horário de verão 
podemos perceber através do gráfico que ocorrem a partir de 1985 algumas 
oscilações no consumo de energia elétrica, mas isto ainda não é suficiente para se 
afirmar que estas oscilações sejam resultantes do horário de verão e não afetam a 
tendência crescente do consumo de energia para os períodos seguintes.
Para obtermos respostas mais apropriadas a esta questão, utilizamos de um modelo 
econométrico sugerido por Matos (1995).
1.2 Hipótese
A hipótese formulada para este modelo é de que a quantidade de energia elétrica 
demandada na economia é função do crescimento do PIB, da tarifa real média.
Acrescentamos ainda num segundo momento uma variável dummy na tentativa 
de captar o efeito do horário de verão nos anos em que o mesmo foi adotado. 
O modelo apresentados por Matos (1995) é o que segue:
1.3 Modelo econométrico
1º Momento
As variáveis escolhidas para este trabalho permitem a definição do seguinte modelo:
Y = α + β
1
X
1
 + β
2
X
2
 + u
i
Onde:
Y = índice de consumo de energia elétrica, 
X
1
 = índice do produto interno bruto, 
2º Momento
Y = α + β
1
X
1
 + β
2
X
2
 +β
3
X
3
 + u
i
 Onde:
X
3
 = dummy para captar efeito do horário de verão nos anos em que ele foi adotado 
e, na análise de regressão normal
Y = α + β
1
X
1
 + β
2
X
2
 + u
i
Y = 7,89 + 1,238 X1 –0,263 X
2
 R
2
 = 0,93
 (6,81) (-2,92) F = 47,98 n=10
X
2
 = índice de tarifa real média,
u
i
 = termo erro da regressão.
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
153
E na análise de regressão com dummy para captar o efeito do horário de verão:
Y = 5,732 + 1,266 X
1
 –0,264 X
2
 - 0,596X
3
 R2 = 0,93
 (2,82) (-2,68) (-0,07) F = 27,34 n=10
1.4 Estimativa do modelo
No modelo proposto temos uma regressão linear múltipla, isto é, admitimos 
que o valor da variável dependente (Y) é função linear de duas ou mais variáveis 
independentes (X
1
 e X
2
). Os dados aparecem na Tabela 4.1.
Neste caso, após utilizarmos o programa TSP, 
chegamos aos seguintes resultados:
Para o Primeiro momento, temos:
Y = α +β
1
X
1
 + β
2
X
2
 + u
i
Y = 214,70 + 0,41 X
1
 –1,39 X
2
 R
2
 = 0,93
(8,38) (6,60) (-7,03) F = 184,7 n = 27
Análise dos resultados:
Teste t
H
0
 :β
1
 = 0 H
1
 :β
1
≠ 0
Como t
calc
 = 6,60 > t 
24/5%
 = 2,064, rejeita-se a 
hipótese H
0
, e se aceita a hipótese H
1
 de que β
1
 
é estatisticamente diferente de zero ao nível 
de significância de 5%, se o PIB crescer 1% o 
consumo de energia cresce 0,41.
H
0
 :β
2
 = 0 H
1
 :β
2
< 0
Como
 
t
calc
 = -7,03 rejeitam-se a hipótese 
H
0
, e se aceita a hipótese H
1
 de que β
2
 é 
estatisticamente diferente de zero ao nível de 
significância de 5%, se a tarifa aumentar 1% o 
consumo reduz em 1,39 .
Teste F
H
0
 :β
1
 = β
2
 = 0 (ausência de efeito) 
Fonte: Adaptado de: Usiskin (1995)
Tabela 4.1 –Índice de produto, tarifa e dummy 
para anos de horário de verão
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
154
H
1
 :β
1
 ≠ β
2
 ≠ 0 (presença de efeito)
Como Fcalc>Ftab (184,7 > 7,82), rejeita-se a hipótese de efeito nulo das variáveis 
explicativas. Isto significa que as variáveis crescimento do PIB e tarifa real média 
afetam a quantidade demandada de energia elétrica.
Para o segundo momento, temos:
Y = α + β
1
X
1
 + β
2
X
2
 +β
3
X
3
 + u
i
Y = 189,73 + 0,31 X
1
 –1,15 X
2
 + 29,56X
3
 R
2
 = 0,96
 (5,33) (-6,50) (3,50) F = 184,7 n = 27
Com relação aos valores estimados dos parâmetros estimados temos a acrescentar que:
• Todos os parâmetros se mostraram significativos num teste de t, pois o t 
23/5% = 2,069 e todos os parâmetros apresentaram valores superiores;
• O coeficiente de determinação (R
2
) é significativo;
• O teste de F confirma que as variáveis em seu conjunto exercem 
significativa influência no modelo.
Quando comparamos os resultados encontrados com uma amostra maior do que 
a do estudo de Matos (1995), com relação à variável dummy, o autor adverte que:
Então observamos que a variável dummy não é significativa numa amostra pequena 
nem aumentando o tamanho da amostra, este fato pode ser explicado por dois 
motivos, em primeiro lugar porque o crescimento do PIB pode estar aumentando o 
consumo rapidamente, outro seria o fato da geração de energia ser menor do que 
o necessário para suprir o aumento da demanda. 
Mas também Mattos adverte para o fato de que podem ocorrer problemas de 
multicolinearidade entre as variáveis e entre as variáveis explicativas. Para averiguar 
tal situação, procedemos aos testes de multicolinearidade.
Com relação ao efeito individual, registre-se, porém que 
a hipótese nula de ausência de efeito é somente rejeitada 
no caso das variáveis tarifa real e produto interno bruto, o 
que ocorre ao nível de significância de 5%, [...], já o impacto 
relativo ao horário de verão, indicado pela dummy, apesar de 
negativo como esperado, não se mostrou estatisticamente 
significativa, isto implica que a variável não contribui para 
explicar o modelo e pode ser excluída, [...], mas as estatísticas 
t e F podem alterar-se (MATTOS, 1995, p. 121).
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
155
Em primeiro lugar, no nosso estudo, o problema da multicolinearidade pode ser 
detectado quando não ocorre significância das variáveis explicativas, no caso a dummy, 
e quando ocorre alto grau de correlaçãosimples entre as variáveis explicativas.
Procedemos aos cálculos do coeficiente de correlação simples, através do programa 
Excel (constatamos que tanto o programa TSP quanto o Excel apresentam resultados 
similares com variações pequenas, conforme se pode constatar nos resultados 
apresentados nos anexos) e encontramos os seguintes resultados:
r
12
 = produto e tarifa = -0,7459
r
13
 = produto e dummy = 0,73
r
23
 = tarifa e dummy = -0,7854
Após os testes de correlação simples, Farrar e Glauber (1967) propuseram um teste 
visando detectar a extensão, localização e padrão de multicolinearidade. Partindo da 
elaboração de um novo X2 representado pela seguinte fórmula:
Chegamos aos seguintes resultados:
X
2
 = (27 – 1 – 1/6 (2.3+5)).Ln (1,8538-1,6982) = X
2
 = 44,96
Hipóteses H
0
 : r
12
 = r
13 
= r
23
= 0 (ausência de multicolinearidade)
 H
1
 : r
ij
≠ 0 (presença de multicolinearidade)
Como Xcal > Xtab rejetiamos a hipótese nula em favor da hipótese alternativa de 
presença do problema.
Procedemos aos testes de localização, regredindo as variáveis explicativas, utilizando 
o programa excel, chegamos aos seguintes resultados:
Como os resultados 
apresentados pelo teste 
de F são significativos, 
comprovamos que 
existe elevado grau de 
multicolinearidade entre 
as variáveis explicativas.
Procedemos à exclusão da variável produto conforme indicado por Matos (1995), 
e refizemos a regressão no programas TSP e chegamos aos seguintes resultados:
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
156
1.5 Conclusão
Após a realização de todos estes testes verificamos, diferentemente do que foi 
sugerido por Matos (1995), a variável dummy não se mostrou significativa, pois 
ela deveria aparecer com sinal negativo indicando, de acordo com a teoria como 
redutora do consumo de energia elétrica.
Outro problema pode ser criado quando excluímos a variável produto, podemos 
incorrer em erro de especificação do modelo, então concluímos que como a variável 
dummy não se mostrou significativa poderia ser excluída do modelo, e poderíamos 
então face à presença de outros fatores que afetam o consumo de energia elétrica 
propor que o horário de verão poderia não ser eficiente na questão de redução do 
consumo de energia elétrica. 
Prado (1981), em seu estudo que se deve elevar em conta que a evolução do 
consumo de energia elétrica refere-se ao consumo direto e indireto e, no último 
caso, o consumo depende da penetração dos diferentes produtos energéticos no 
mercado. Com base em dados conclui que:
• A eletricidade terá sua intensidade bastante aumentada, seguindo 
tendência histórica de adoção de tecnologias intensivas em capital.
• Graças à sua multiplicidade de usos será cada vez mais usada no âmbito 
residencial, especialmente no uso de eletrodomésticos.
• O crescimento devido a mudanças estruturais na economia, referente à 
importância dos setores produtivos, também contribui para o aumento do 
consumo de energia elétrica.
Então, se quisermos estimar um modelo econométrico para a demanda de energia 
elétrica, teremos que incluir novas variáveis ao modelo, que permitam captar tal evolução. 
1. Qual é o objetivo do estudo apresentado?
2. O que pode ter ocorrido para que a variável dummy não 
fosse significativa?
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
157
Seção 2
Estudo do desempenho da educação
Introdução à seção
Em 2007, comemorou-se 40 anos da intensificação no combate ao analfabetismo 
na população adulta no Brasil, cuja primeira ofensiva em massa foi com o Movimento 
Brasileiro de Alfabetização (MOBRAL). Criado pela Lei n° 5.379, de 15 de dezembro 
de 1967, propunha a alfabetização funcional de jovens e adultos, visando conduzir 
a pessoa humana a adquirir técnicas de leitura, escrita e cálculo como meio de 
integrá-la a sua comunidade, permitindo melhores condições de vida. (HISTÓRIA 
DA EDUCAÇÃO NO BRASIL, 1993, p. 1). Criado no regime militar, seu objetivo era 
alfabetizar adultos que haviam passado da fase escolar. O programa se justificava 
porque o Brasil tinha em 1960 o índice de analfabetismo de 39,6% da população 
adulta, reduzindo-se para 14,2%, em 1977. Em 2009, segundo dados da PNAD, 
esta taxa chega atingiu 9,7%, ou seja, um total de 14,1 milhões de pessoas com 15 
anos ou mais de idade (TAXA, 2010, p. 1). E este é um número consideravelmente 
expressivo, o que sugere pressões consideráveis sobre a educação de jovens e 
adultos no Brasil.
Ainda sobre a regulamentação somente em 1988, a partir do artigo 208 na 
Constituição Federal, o direito, mais amplo, à educação básica, seria estendido aos 
jovens e adultos como parte de uma estratégia que ampliava os direitos sociais e as 
responsabilidades do Estado no atendimento às necessidades dos grupos sociais 
mais pobres. Mas, conforme destaca o estudo de Di Pierro (2001), a reforma 
educacional de 1990 focalizou a educação básica para a faixa etária de 7 a 14 
anos, direcionando os recursos do Fundo de Valorização do Ensino Fundamental 
(FUNDEF) para esta faixa modalidade de ensino. Do fundo, foi excluída, a parcela 
destinada à educação de jovens e adultos através de um veto do então Presidente 
Fernando Henrique Cardoso, alegando que a educação de jovens e adultos oferecia 
relação custo-benefício menos favorável quando comparada à educação primária. 
Na contramão de tudo isto e devido aos números do analfabetismo, Di Pierro 
et al. (2001) argumentam que a clientela dos cursos supletivos se tornava 
crescentemente mais jovem e urbana, em função da dinâmica escolar brasileira e 
das pressões oriundas do mundo do trabalho. 
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
158
Nesse sentido, mais do que uma "nova escola", voltada 
a um novo público, antes não atendido pela escola básica 
insuficiente, a educação supletiva converteu-se também em 
mecanismo de "aceleração de estudos" para adolescentes 
e jovens com baixo desempenho na escola regular [...] a 
suplência passou a constituir-se em oportunidade educativa 
para um largo segmento da população, com três trajetórias 
escolares básicas: para os que iniciam a escolaridade já 
na condição de adultos trabalhadores; para adolescentes 
e adultos jovens que ingressaram na escola regular e a 
abandonaram há algum tempo, frequentemente motivados 
pelo ingresso no trabalho ou em razão de movimentos 
migratórios e, finalmente, para adolescentes que ingressaram 
e cursaram recentemente a escola regular, mas acumularam 
aí grandes defasagens entre a idade e a série cursada (DI 
PIERRO et al., 2001, p. 5-8).
Di Pierro et al. (2001) advertem que a escassez de recursos para modalidade Ensino 
de Jovens e Adultos (EJA) foi contornada pelos municípios de duas maneiras 
distintas: ampliação das salas de correção de fluxo e parcerias com organizações 
sociais e voluntários, como, por exemplo, o Movimento de Alfabetização (MOVA). 
O principal problema advindo destas alternativas resume-se “a descaracterização 
da educação de jovens e adultos como modalidade que requer norma própria, 
projeto político-pedagógico específico e adequada formação de educadores” (DI 
PIERRO, 2001, p. 118).
Outro aspecto importante é que O EJA 
tem necessidades especiais a serem 
atendidas, pois seu público alvo são 
pessoas com 15 anos ou mais e que 
na maioria já ingressou no mercado de 
trabalho, fato que a nova Lei de Diretrizes 
e Bases (LDB) reconhece, pois destaca 
que os cursos e os exames devem 
proporcionar oportunidades de ensino 
apropriadas às condições de vida e 
trabalho dos jovens e adultos.
Diante destes aspectos, o presente artigo 
visa explorar e descrever um panorama 
geral do EJA no Brasil tomando por base 
os dados gerados pelo Instituto Nacional 
de Estudos e Pesquisas Educacionais 
Fonte: Shutterstock (2015).
Ferramentas e aplicaçõesda econometria
U4
159
Anísio Teixeira, conhecido como INEP, com base nos microdados do Censo 
Escolar 2007.
2.1 Metodologia 
Todos os anos o INEP realiza o Censo Escolar que é disponibilizado na forma 
de microdados agrupados por escola; docentes, turma e matriculados. Estes 
dados têm por objetivo fornecer informações estatísticas e servir de subsídio 
para a adoção de políticas e estratégias educacionais. Tomando por base os 
microdados do Censo Escolar 2007, que trouxe um levantamento no número 
de alunos matriculados, bem como o de aprovados na modalidade EJA de 1ª à 
4ª série, registrados no agrupamento escola, apresentaremos a seguir algumas 
características da infraestrutura das escolas.
A análise apresentada tem por base a utilização de métodos estatísticos quanto 
econométricos. A análise estatística aparece inicialmente e tem por objetivos 
descrever a infraestrutura existente. Já a análise econométrica, que aparece na 
sequência, tem como objetivo identificar as variáveis da infraestrutura física 
e administrativa das escolas EJA que interferiram especificamente sobre o 
desempenho escolar dos alunos da quarta série do EJA, no ano de 2007. Assim, 
a parte econométrica contempla a estimação de uma função que visa estimar o 
quanto tais variáveis internas da escola interferem no desempenho/aprovação dos 
alunos.
Tendo em vista estes objetivos, o presente artigo está composto de três seções: 
descrição das variáveis selecionadas sobre a escola, formulação de hipótese de 
trabalho e análise das estimativas e considerações finais.
2.2 Descrição das variáveis selecionadas sobre a escola
Os dados aqui apresentados foram retirados da base de dados utilizando-se diversos 
comandos do software Stata. Os comandos utilizados nesta etapa estão no anexo 
item 2. Em 2007, o Brasil possuía 81.635 escolas, que ofereciam a modalidade de 
ensino EJA. Destas, 78.435 ofereciam EJA Fundamental (primeira à oitava série) e 
47.284 ofereciam EJA Médio (primeiro ao terceiro colegial). Estas escolas atendiam 
a um total de 4.940.165 alunos distribuídos em ensino presencial (4.330.471) e 
semipresencial (608.699). Especificamente sobre as escolas que ofereciam EJA 
Fundamental, os alunos matriculados da primeira à quarta série, somavam 473.407 
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
160
sendo que destes 236.794 referiam-se a novos alunos matriculados e 236.613 
alunos aprovados, isto é que passaram de ano. Destes alunos aprovados, um total 
de 62.715 passou da quarta série, isto é, concluíram o ensino primário. Estes alunos 
constituem o público alvo deste trabalho.
Começamos nossa análise trabalhando com a infraestrutura escolar oferecida aos 
concluintes da quarta série. Vamos fazer uma descrição da infraestrutura física 
(pública, interna e equipamentos) que estas escolas têm, faremos isto porque 
nosso objetivo é entender quanto a infraestrutura influencia o desempenho destes 
alunos.
As escolas que possuem alunos aprovados na quarta série são 3.676. Destas 
escolas, 828 localizam-se na zona rural e 2.848 na zona urbana. Somam um total 
de 36.533 salas de aula e contam com 68.376 funcionários. E no ano registraram 
um total de aprovados/concluintes da quarta série de 62.715 alunos. 
Conforme o Quadro 4.1, observa-se que a maioria das escolas conta com uma 
boa estrutura fornecida pelos serviços públicos. Os destaques são para energia 
elétrica, coleta de lixo, seguido do fornecimento de água tratada da rede pública, 
e em último com um percentual pouco satisfatório aparece o serviço de esgoto, 
entendido como vias de escoamento adequado para os resíduos produzidos pela 
escola.
Fonte: A autora (2015).
Fonte: A autora (2015).
Quadro 4.1 - Infraestrutura de serviços públicos básicos de que dispõe a escola EJA 1ª à 4ª série
Quadro 4.2 – Infraestrutura interna da escola EJA 1ª à 4ª série
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
161
O Quadro 4.2 destaca a infraestrutura interna de cada escola, entendida aqui 
como itens que aprimoram e melhoram o desempenho escolar por possibilitarem 
condições melhores de ensino e promover melhores oportunidades de acesso à 
informação, saúde, esporte e lazer. Um dos itens de maior destaque é o prédio 
escolar, que segundo Menezes e Santos (2002, p. 112), seria:
As escolas que se classificam como prédios escolares são 96,71%, porém para 
atender à conceituação deveriam contar com sanitários e verificamos que apenas 
65,5% das escolas contam com sanitários no próprio prédio. 
Outro destaque é que maior parte das escolas oferece alimentação, seguida de 
biblioteca, acesso à internet e quadra de esportes. Um destaque à parte é a oferta 
de quinta série por 46% das escolas, esta variável é considerada importante porque 
sinaliza para o aluno concluinte da quarta série que ele pode ir adiante, e como já 
está adaptado seria melhor ainda poder continuar na mesma escola. 
O Quadro 4.3 destaca a existência de equipamento na escola. A maior parte das 
escolas possui televisão e aparelho de vídeo. Porém, os computadores disponíveis 
para os alunos são oferecidos por apenas em 38,8% das escolas.
Fonte: A autora (2015).
Quadro 4.3 – Equipamentos e recursos da escola EJA 1ª à 4ª série
 1. Edifícios pertencentes a estabelecimentos de ensino 
e constituídos de espaços educativos (salas de aula, 
laboratórios, salas-ambientes), de serviço (sanitários, 
cozinha, cooperativa, serviço médico) e de administração 
(direção, secretaria, portaria, arquivo, sala de professores, 
almoxarifado) (cf. Centro Regional de Construcciones 
Escolares para América Latina, Metodologia para el 
Planeamiente de las Construcciones Escolares, México, 
1969). 2. Prédios identificados por único endereço, que 
serve ao funcionamento de um estabelecimento de ensino. 
Os fins de ocupação de um prédio escolar, portanto, são de 
desenvolvimento do processo ensino-aprendizagem. Nota: 
Rigorosamente, prédio escolar deve ser considerado aquele 
construído para fins de ocupação escolar. 
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
162
2.3 Formulação da hipótese de trabalho e análise das estimativas
Antes de começarmos convém fazer uma advertência que sempre começamos 
os estudos econométricos pela análise dos dados, esta etapa foi feita inicialmente 
e envolveu vários aspectos de correção e seleção de variáveis. Para os dados 
observados formulamos a seguinte hipótese de trabalho: o número de aprovados 
na 4ª série EJA é uma função do número de matriculados, número de salas de aula, 
do número de funcionários, número de computadores disponível para alunos, do 
funcionamento em prédio escolar, do fornecimento de água, de energia elétrica, 
de esgoto, de coleta de lixo, da existência de quadra de esportes, de biblioteca, de 
sanitário no prédio escolar, de equipamentos como TV, vídeo e da existência da 
quinta série e do fornecimento de alimentação na escola. 
A escolha das variáveis foi feita porque se acredita que seria possível mensurar uma 
parte do desempenho escolar (em termos alunos EJA 4ª série aprovados) de teve 
a disponibilidade de uma infraestrutura de serviços públicos básicos de que dispõe 
as escolas, de uma infraestrutura interna de cada escola e dos equipamentos e 
recursos que ela dispõe. Assim, o desempenho escolar pode ser em parte explicado 
por variáveis que representam as condições físicas da escola. As estimativas foram 
obtidas através do Stata e encontram-se no anexo. 
A primeira regressão mostrou que o R2 foi significativo indicando que as variáveis 
explicativas contribuem para explicar 42% das variações no número de aprovados. 
Sendo que as variáveis significativas, a 10%, e com sinal esperado são matriculados: 
sala, computadores, água, TV. E as variáveis significativas com sinal contrário ao 
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Quadro 4.4 – Regressão inicialFerramentas e aplicações da econometria
U4
163
esperado foram: funcionário, coleta de lixo. Por outro lado, tivemos 10 variáveis não 
significativas. Em primeiro lugar vamos fazer os testes de diagnóstico de regressões 
e só depois vamos buscar alternativas que nos permitam corrigir os problemas. 
Nossa primeira ação é verificar a correlação parcial entre as variáveis do modelo, 
isto porque a não significância das variáveis pode estar associada a problemas de 
correlação entre as variáveis e também a heterocedasticidade.
Após rodarmos o correlograma (Tabela 4.5), constatamos que existe correlação 
entre as variáveis, porém as correlações mais intensas são entre aprovados e 
matriculados (64%), funcionários de salas (77%); água e esgoto (63%). No comando 
pwcorr a significância da correlação entre alimentação e funcionário foi (70%), 
com biblioteca (85%), quadra (93%) e sanitário (73%). O significado maior disto 
é que as escolas que possuem uma infraestrutura completa vão geralmente ter 
também alimentação. Isto não quer dizer que uma determina a outra, mas que 
onde existe um existe outro. 
Identificou-se, também, através da análise visual, numa comparação gráfica dos 
erros da regressão versus distribuição normal, que os erros demonstram pequena 
variância, porém parecem não seguir uma distribuição normal (Figura 1). Isto se 
deve à presença de muitas variáveis binárias no modelo, que conforme testes 
confirmaram a não normalidade de sua distribuição e isto contribui para termos 
problemas com o resíduo da regressão. 
Quadro 4.5 – Correlograma
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Ferramentas e aplicações da econometria
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164
Fonte: A autora (utilização do software Stata)
Figura 4.1 – Distribuição dos erros da regressão versus distribuição normal
Figura 4.2 – Análise dos resíduos da regressão e identificação de outliers
Conforme a Figura 4.2 (A e B), parece haver uma anormalidade maior na distribuição 
intermediária dos dados. Conforme a Figura 2 (C e D), confirma-se que a distribuição 
dos erros não é bem-comportada, a árvore se mostra mais concentrada na copa. E 
pelo da Figura 5 do anexo, percebemos que os maiores problemas de leverage se 
encontram nos estados de SP, RJ, CE e PE. Em São Paulo existe grande número de 
matriculados, escolas com grande número de salas com número de aprovados três 
vezes menor que o número de matriculados, mesmo ocorrendo no Rio de Janeiro. Já 
para o Ceará há uma diferença interna nas escolas entre o número de matriculados e 
de aprovados para quase todas as escolas, o mesmo se verifica em Pernambuco.
Ferramentas e aplicações da econometria
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165
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Ferramentas e aplicações da econometria
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166
O segundo procedimento será verificar a homocedasticidade dos resíduos. 
Conforme Figura 4.3, do anexo, existe uma concentração de erros, indicando a 
heterocedasticidade. 
O teste e Bresch Pagan apresentou probabilidade zero, indicando forte presença 
de heterocedasticidade, conforme Quadro 1a do anexo. O mesmo ocorrendo 
com o teste de White, conforme resultados Quadro 1b.
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Figura 4.3 – Análise dos resíduos para cada uma das variáveis do modelo
Ferramentas e aplicações da econometria
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167
Continuamos com o teste de multicolinearidade. O teste vif demonstrou que não 
temos problemas de multicolinearidade, de acordo com Quadro 4.7.
O teste gráfico de linearidade indicou que as variáveis 
têm pouca relação linear existindo concentração de 
valores em torno da média, conforme figuras 4 letras 
A, B e C.
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Quadro 4.7 – Teste Vif
Figura 4.4 - Análise média dos aprovados relacionados a algumas variáveis
A
Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for 
heteroskedasticity
 Ho: Constant variance
 Variables: fitted values of aprovados
chi2(1) = 17922.67
Prob> chi2 = 0.0000
B
whitetst
White's general test statistic : 1452.895 Chi-
sq(171) P-value = 7.e-202
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Quadro 4.6 – Teste de Breusch Pagan e Qhitetest
Ferramentas e aplicações da econometria
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Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Quanto à especificação do modelo, o linktest demonstrou aceitação do modelo 
que a especificação do modelo está incorreta, pois aponta valor p<0,05. O ovtest 
também confirma problemas de especificação do modelo.
Ferramentas e aplicações da econometria
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169
A
B Ramsey RESET test using powers of the fitted values of aprovados
 Ho: model has no omitted variables
F(3, 3654) = 24.74
Prob> F = 0.0000
A
B
C
Quanto aos testes de independência considerando a possibilidade de existência 
de autocorrelação das variáveis, foram aplicados os testes Durbin Watson (Quadro 
1a), Durbina (quadro 1b), Archlm (quadro 1c) e Breusch Godfrey (quadro 1d). E os 
resultados dos testes apontam que não existe autocorrelação entre as variáveis, ou 
pelo menos ela não foi significativa o suficiente.
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Quadro 4.8 – Linktest (a) e Ovtest
Quadro 4.9 – Testes de independência
Ferramentas e aplicações da econometria
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170
D 
Terminando os testes podemos resumir nossos maiores problemas com o modelo 
seria a presença de heterocedasticidade e por isto mesmo a não normalidade dos 
resíduos e o mais complicado de todos, a especificação incorreta do modelo. 
Podemos adiantar que estes problemas se devem em grande parte à natureza dos 
dados com uma diversidade e informações e muitas variáveis binárias, a existência 
de outliers severos e a utilização de uma única base de dados que apresenta 
dificuldades adicionais devido à descontinuidade da coleta de informações de 
maneira sistematizada. 
Por exemplo, ao abrir a base 2006 e 2008, constatou-se que não existem a 
variável aprovada no 4º ano EJA, impossibilitando levantar em tempo hábil 
outras alternativas para o problema. Além disto, muitos dados com informações 
inexistentes (.) e outros conflitantes, por exemplo, a escola tem aprovados EJA, 
mas não tem matriculados. 
Além disto, percebe-se uma distribuição da variável dependente que vai de 1 a 
249 com concentração de frequência com 95% dos valores concentrados na 
aprovação de 50, e destaque que a aprovação de até 10 é tomar individualmente 
5% das observações conforme tabulate. Nosso próximo passo será tentar algumas 
alternativas de solução para os problemas encontrados.
2.4 Possibilidades e alternativas de solução para os problemas do modelo
Nosso primeiro passo em direção à busca de melhorias, tanto no indicador de 
ajuste do modelo (R2 ajustado) quanto da significância individual das variáveis 
independentes do modelo (melhorar o teste t), foi buscar eliminar as observações 
com maior leverege, pois de acordo com a análise feita inicialmente nos dados 
(comandos describe, codebook e tabulate) havia grandes disparidades entre os 
valores das variáveis independentes. Ao aplicar excluir as variáveis leverage, tivemos 
uma redução do R2 de 42,6%, conforme item A, para 38,42%, conforme item B do 
Quadro 5. Porém, tal redução foi compensada pelo aumento do poder explicativo 
individual das variáveis. Se antes tínhamos 7 variáveis significativas, agora passamos 
a ter 9 variáveis. 
O próximo passo foi buscar a exclusão de variáveis, pois nosso modelo tinha 
inicialmente 18 variáveis explicativas, embora este número incluísse mais 
observações, na prática um modelo com muitas variáveis e pode implicar uma 
solução de problemas mais trabalhosa. 
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Ferramentas e aplicações da econometria
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171
Quadro 4.10 – Resumo de testes e regressões rodadaspara MQO
O critério utilizado foi excluir variáveis que apresentassem valores insignificantes e 
que poderiam ter seu significado expresso em outras variáveis presentes no modelo. 
Optamos por excluir a variável energia, embora a correlação com as demais 
variáveis fosse baixa, os dados estatísticos apontaram que 98% das escolas têm 
energia elétrica e 96% estão em prédio escolar, então de maneira meio intuitiva 
podemos afirmar que a maioria das escolas que tem prédio escolar são providas 
de energia elétrica e a exclusão da variável não prejudicaria o modelo. 
A outra opção foi excluir a variável alimentação, pois apresentava correlação alta 
com outras variáveis e a significância destas correlações era considerável. Então, 
como 96% das escolas oferecem alimentação e a correlação com biblioteca, 
sanitário, quadra e funcionário é alta, acredita-se que mantendo as demais variáveis 
e retirando a de alimentação o modelo não seria comprometido. 
Ao final destas alterações novamente tivemos uma pequena redução do R2, que 
ficou em 38, 15%, conforme item C. Também houve redução no número de 
variáveis explicativas significativas agora são 7.
Tentamos nova supressão de variáveis, agora excluindo variáveis de infraestrutura 
que poderiam estar presentes na variável prédio. Estas variáveis são energia, 
quadra, sanitário. Novamente, conforme verificamos no item D, houve redução 
do R2, continuamos com 7 variáveis explicativas significativas, porém com menos 
variáveis no modelo (13 variáveis).
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Ferramentas e aplicações da econometria
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172
O próximo passo foi retomar o modelo inicial e refazer uma regressão, mas agora 
transformando as variáveis em log, pois, desta forma, estaríamos estimando o 
modelo com base nas variações registradas entre as variáveis e não em seus valores 
absolutos. As transformações foram aplicadas somente nas variáveis quantitativas, 
pois as variáveis binárias e categóricas não apresentam variações significativas. 
Agora registramos uma melhora no R2 que ficou em 40,29%, conforme item F, e 
temos 8 variáveis explicativas significativas.
Outra alternativa também foi rodar a regressão com as transformações de variáveis 
sugeridas pelo comando ladder. Novamente, observando os resultados no item G, 
verificamos que houve redução do R2, mas agora temos 9 variáveis explicativas 
significativas.
A fim de estimar um modelo com melhor ajuste de modelo e após várias tentativas 
de correção melhorias, chegamos à conclusão de que grande número de variáveis 
independentes não está contribuindo para um bom ajuste do modelo. Optamos 
então por retomar o modelo estimado com variáveis em log e a partir dele excluir 
as variáveis que se mostraram insignificantes.
Conforme podemos verificar no item H, o ajuste que retirou as variáveis promoveu 
uma melhoria no R2 e principalmente deixou o modelo variáveis com bom poder 
explicativo individual, pois todas as variáveis explicativas são estatisticamente 
significativas. Tendo alcançado este objetivo vamos refazer o diagnóstico da 
regressão agora utilizando este novo modelo. 
O teste de normalidade dos resíduos apresentou sensíveis melhoras, conforme 
podemos ver a seguir. Houve um espraiamento da variância dos resíduos que 
conduzindo a distribuição dos resíduos da regressão para uma distribuição mais 
próxima do normal.
Fonte: A autora (utilização do software Stata)
Quadro 4.11 - Regressão final
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
173
Fonte: A autora (2015)(utilizado o software Stata).
Figura 4.5 – Gráfico de distribuição dos resíduos da regressão versus distribuição normal
Com redução também nos pontos de leverege.
Ferramentas e aplicações da econometria
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174
Quanto à homocedasticidade, tanto o teste de Bresh Pagan (0.64) quanto o teste 
de White (8,36 e) confirmaram a homodasticidade dos dados, após mudança do 
modelo. O teste de multicolinearidade demonstrou ausência do problema.
Quanto aos testes de lineraridade, estes demonstraram que linearidade dos dados 
é muito difusa, formando figuras centralizadas no centro do gráfico, embora 
seguindo certa tendência, ora positiva ora negativa. 
Os testes de especificação do modelo apontam para uma especificação mais 
correta, sendo que no linktest o modelo estaria estimando mais corretamente 
os erros, porém o teste de Ramsey (ovtest) informou que ainda existem variáveis 
Fonte: A autora (2015)(utilizado o software Stata).
Figura 4.6 – Gráfico do leverege das regressões
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
175
omitidas no modelo (0.0414) conforme podemos verificar nas figuras 39 e 40 do 
anexo. O resultado do ovtest já era perfeitamente esperado, porque com certeza 
outras variáveis importantes como renda, taxa de desemprego, condição na família 
influenciam as variáveis do modelo de maneira geral e não somente a variável 
dependente. Um resultado melhor para o teste realmente causaria mais espanto 
do que entusiasmo. 
Todos os testes de independência (Durbin Watson, durbina, archlm e bigdfrey) 
demonstraram não haver dependência temporal entre os erros das variáveis. 
Foram rodadas, a partir da regressão inicial, inúmeras outras regressões modificadas 
para verificar se haveria melhoria da regressão sem desprezar ou omitir variáveis 
pré-selecionadas. Como nenhuma dela mostrou melhor, optamos por continuar 
com o modelo em log e que excluiu variáveis conforme Quadro 4.5, letra H.
2.5 Considerações finais
Embora a regressão final não tenha um R2 mais elevado que inicial, ela permitiu 
encontrar mais variáveis significativas e foi o modelo que melhor se adaptou aos 
testes de pressupostos do MQO. 
Sabemos que o modelo aqui proposto padece de uma série de dificuldades e 
para o mundo real seria necessário incluir mais variáveis que não estão presentes 
na base utilizada, cabendo aqui uma ressalva de que o mesmo pode servir para 
estudos iniciais com a utilização do Microdados do Censo Escolar.
Sabe-se, também, que esta base apresenta uma série de limitações, entre elas a 
mais grave é a descontinuidade das variáveis pesquisadas. Neste estudo poderíamos 
futuramente tentar a técnica de regressão com dados em painel, aliás seria mais 
adequado para tratar com a diversidade de informações abordadas pelo estudo, 
porém a variável dependente de nosso modelo não aparece nos dados das escolas, 
nem em 2006 e nem em 2008. 
E parece ser uma variável que foi levantada em um ano atípico. Portanto, para 
melhor utilização da base as autoridades deveriam privilegiar e montá-las para que 
ela fosse um instrumento de pesquisa completo. Quanto ao modelo escolhido e 
a explicação para as variáveis, podemos dizer que ao eliminar algumas variáveis, 
ainda foi possível captar seus efeitos através das variáveis restantes. 
As variáveis de infraestrutura apresentaram o seguinte comportamento: ao manter a 
variável prédio escolar, e de acordo com a definição do INEP, no prédio está presente 
uma infraestrutura, conforme também observamos na análise estatística. 96 % das 
escolas estão em prédio escolar, 98% tem energia, 65% contam com sanitário no 
prédio da escola, 56% tem esgoto, 52% têm biblioteca e 45% tem quadra de esportes. 
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
176
Então, para quase 50%, das escolas, o fato de ter prédio pode implicar que elas 
tenham também uma infraestrutura, tanto administrativa quanto em termos de 
recebimento de serviços públicos básicos, melhor. E que a variável prédio contribui 
de maneira positiva com 0,1664 para o desempenho escolar. A variável coleta 
de lixo e vídeo está com sinal contrário à teoria. Uma explicação para coleta do 
lixo é que ela é frequente na zona urbana e em cidades maiores, gerando aí um 
conflito com as cidades pequenas e o número de aprovados nestas que também 
é menor, cabeaqui mais estudos. Observação semelhante seria feita para vídeo, 
acrescentando o fato de que se trata de um equipamento em desuso. 
A variável computador influencia de maneira positiva o que também era esperado, 
pois com o avanço das tecnologias, o acesso à informática melhora o desempenho 
escolar dos alunos. 
Por último, destaca-se o papel do fator humano. Quanto maior o número de 
funcionários melhor o desempenho da escola. Outro fator humano é o efeito 
ingresso de novos alunos matriculados, variações nela implicam variações positivas 
de .69 no número de aprovados. 
Isto tem um problema circular porque quanto maior o número de matriculados 
maior o número de aprovados para que esta variável não representasse este 
problema poderíamos substituí-la por uma Proxy em estudos futuros. 
Também acrescentamos o ano seguinte, pois se acredita que em escolas que 
oferecem possibilidade de ascensão nos estudos haja um estímulo maior e, 
portanto, maior quantidade de alunos aprovados, e realmente variações nesta 
provocam variações positivas de 0,09 no desempenho escolar.
Finalmente, argumentamos que o estudo aqui desenvolvido, serve para 
encaminhamentos futuros e estudos mais detalhados a respeito do efeito da 
infraestrutura escolar sobre o desempenho da escola. Esperamos que o mesmo 
suscitasse novos caminhos, projetos e buscas.
1. Qual é a hipótese formulada para o modelo em questão?
2. Depois de realizados todos os testes, quais foram os 
problemas apresentados pelo modelo?
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
177
Seção 3
Estudo sobre a criminalidade
Introdução à seção
Este trabalho objetiva demonstrar como o autor desenvolveu seu estudo 
econométrico. No artigo, utilizou o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários 
e de estimadores com dados em painel para o período de 2001 a 2005. O autor 
construiu um painel de dados utilizando diversas fontes de estatísticas, tais como: 
Secretaria Nacional de Segurança Pública (SENASP), do DATASUS, IPEADATA etc. 
Neste sentido, o trabalho centrará esforços em reproduzir os passos do artigo, 
visando explorar e explicar o modelo econométrico utilizado no estudo. Para 
cumprir esta meta o presente trabalho está composto de quatro partes. No item 
1 faremos uma breve revisão bibliográfica sobre Economia do Crime. No item 2 
faremos algumas considerações sobre os modelos com dados em painel. No item 
3 rodaremos o modelo estático para efeitos fixos e variáveis. No item 4 tecer-se-ão 
as considerações finais.
3.1 Breve explanação sobre a economia do crime 
Os primeiros estudos sobre a economia do crime surgiram nos Estados Unidos 
no final dos anos 60 com as relevantes contribuições de Becker (1968) e Ehrlich 
(1973). Na análise eles propõem uma leitura econômica para as atividades ilícitas, 
no sentido de buscar a racionalidade da escolha por parte do agente criminoso.
Ora, sob este ponto de vista, a busca pelas causas da criminalidade por parte de 
um indivíduo deve centrar-se nas condições de vida dele, o que não se pode deixar 
Um indivíduo cometerá um crime se (e somente se) a 
utilidade esperada por este ato exceder a utilidade que 
ele teria na alocação de seu tempo e demais recursos em 
outras atividades que sejam consideradas lícitas (SANTOS, 
2009, p. 170). 
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
178
de investigar são as condições individuais e estruturais sob as quais suas condições 
de vida são geradas (SANTOS & KASSOUF, 2008). Assim, uma equação que 
busque identificar os determinantes da criminalidade deve conter elementos que 
contemplem esta realidade, e isto é feito quando se inclui nela a renda, a educação, 
o desemprego e a desigualdade de renda sendo estas variáveis comuns entre a 
maioria dos estudos que procuram identificar os determinantes da criminalidade1. 
Por outro lado, para que esta equação ficasse mais robusta, em termos de teoria 
microeconômica de tomada de decisão, precisaríamos incluir um item que 
considerasse a ideia de ganho de produtividade do crime, ou do ato ilícito. Este 
elemento seria próprio das condições individuais, pois dependem da análise que o 
indivíduo faz das suas chances de sucesso no ato ilícito2. Constantemente temos 
notícias sobre reincidência do criminoso. Disto se presume que depois que o 
indivíduo comete um crime pela primeira vez, ele considera que é mais experiente 
na prática ilícita. Além disto, a sensação de impunidade e a convivência em um 
meio ilícito também instigam e realimenta a atividade criminosa.
Neste sentido, as condições de vida de um indivíduo em seus aspectos individuais e 
estruturais ampliam as diferenças entre a utilidade/retorno que o indivíduo tem do 
tempo disponibilizado e dos demais recursos de que dispõe a favor das atividades 
ilícitas. Estas duas condições se reforçam o que faz pressupor que um movimento 
de inércia faria bastante sentido (KUME, 2004). Por isto vários pesquisadores têm 
se dedicado ao estudo da presença de efeito inércia nas taxas de crimes letais nos 
estados brasileiros, conforme argumentou Santos (2009) e seu objetivo é apresentar 
mais evidências para o efeito inércia sobre a persistência da criminalidade letal no 
tempo. Para tanto especificou seu modelo completo nos seguintes termos:
Crimei;t = ηi + ηt + γCrimei,t-1 + β1 Segurança Públicait + β2Educaçãoit + 
β3Uniparentalidade Femininait + β4Urbanizaçãoit + β5Desigualdade de Rendait + 
β6Juventude Masculinait + β7Rendait + ξit
Em que:
Crimei;t é a taxa de crimes violentos letais e intencionais contra pessoas por cem 
mil habitantes no i-ésimo estado (i = 1,..., 26) no ano t (t = 1,..., 5). Dados obtidos da 
Secretaria Nacional de Segurança Pública (SENASP);
ηi e ηt são, respectivamente, os efeitos fixos de estado e de tempo;
Crimei,t-1 é a taxa de crimes letais defasada. Variável que representa a dinâmica 
do modelo e que, portanto, só aparecerá nas estimativas dos modelos dinâmicos; 
1O autor cita vários artigos, para maiores detalhes consultar a bibliografia de SANTOS (2009)
2A probabilidade de ele falhar na realização de tal atividade, o que resultaria em prisão, julgamento e punição efetiva se reduzem na 
medida em que ele fica mais experiente, pelo menos na visão dele.
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
179
Segurança Pública (seg) é o total de gastos com segurança pública por cem mil 
habitantes, em reais de 2005. Dados do IPEADATA;
Educação (esc) é a escolaridade média, em anos de estudo, dos homens entre 15 
e 30 anos de idade, proxy para o custo de oportunidade do crime. Dados da PNAD;
Uniparentalidade Feminina (fam) é o porcentual de famílias uniparentais chefiadas 
por mulheres, proxy para o grau de instabilidade familiar e de desorganização 
social. Construída a partir dos dados da PNAD considerando famílias chefiadas por 
mulheres, sem presença do cônjuge e com filhos de qualquer idade;
Urbanização (urb) é a taxa de urbanização (razão entre a população urbana e a 
população total). Utilizados os dados do DATASUS;
Desigualdade de Renda (des) medida pelo coeficiente de Gini e deflacionada pelo 
INPC, utilizando dados do IPEADATA.
Juventude Masculina (jov) é a proporção de homens entre 15 e 30 anos de idade 
(grupo mais vulnerável ao crime) na população total, controle para o grupo mais 
vulnerável ao crime, tanto do lado da oferta quanto da demanda, dados da PNAD;
Renda Familiar (ganhos) é a renda familiar per capita, em reais de 2005, proxy para 
os retornos esperados do crime, dados da PNAD e
ξit e o termo erro com as pressuposições usuais.
Adverte-se que nos modelos com efeito fixo e aleatório, por serem modelos 
estáticos, não está contemplada a taxa de crime defasada. A variável defasada 
será utilizada nos modelos dinâmicos, GMM Diference e System. Sendo que neste 
último as variáveis instrumentais serão a taxa e crime defasada e a segurança 
pública, ouseja, serão tratadas como potencialmente endógenas, por pressupor 
que os investimentos em segurança dependem da criminalidade e que estas 
também interferem nos volumes de investimento em segurança. 
A expectativa para as variáveis do modelo é que todas apresentem sinais positivos, 
isto é, que intensifiquem as taxas de crime. Exceção é feita para β1 e β2 que se espera 
tenham sinais negativos, isto é, contribuam para reduzir a taxa de criminalidade. 
3.2 Algumas considerações sobre os modelos com dados em painel
O uso dos dados em painel permite estudar dados acompanhando suas variações 
ao longo do tempo e também em crosssection, ou seja, trata-se de uma 
combinação que recebe a denominação de dados longitudinais (crosssection e 
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
180
séries temporais). O modelo básico utilizado em dados em painel é especificado 
da seguinte forma:
Onde Y é a variável dependente; α
i
 é o intercepto desconhecido para cada indivíduo; 
β
2
 parâmetro da variável independente; X representa o conjunto de variáveis 
independentes; β é o coeficiente das variáveis independentes; u é o termo de erro. 
Em que os subscritos i é a unidade de corte transversal e, t tempo. Em relação aos 
dados pode ser painel balanceado ou desbalanceado. O painel balanceado tem o 
mesmo número de observações para cada unidade seccional, onde as unidades 
de crosssection (i = 1,..., n) possuem n>1 e períodos (t = 1,... T) T > 1. 
Quando o painel é desbalanceado, isso significa que o número de observações 
difere entre cada unidade seccional. No presente estudo, o painel é do tipo 
desbalanceado porque segundo o autor nos anos de 2004 e 2205, os estados do 
Paraná e Pernambuco não publicaram as taxas de crime. Para ser balanceado ele 
deveria ter 130 observações (26 estados x 5 anos), como faltaram 4 observações (2 
para cada estado) então o painel tem 126 observações.
Outra observação importante é que os estudos com dados em painel contemplam 
modelo estáticos e dinâmicos. Segundo MARQUES (2000) num modelo estático 
os pressupostos são: as variáveis explicativas são independentes dos termos 
erro; a heterocedasticidade está presente nos coeficientes da regressão (porque 
variam de indivíduo para indivíduo e no tempo) ou na estrutura do termo erro 
(correlacionado com αi ou autocorrelacionado no tempo). Os modelos estáticos 
podem ser de sete especificações diferentes e a escolha de um deve considerar 
os dados e ao tipo de problema. Aqui os modelos estáticos que nos interessam e 
que foram testados no artigo alvo do estudo são os modelos pooled, efeitos fixos 
e efeitos aleatórios. 
3.3 Painel de dados com modelos estáticos
3.3.1 Modelo de regressão pooled
Neste modelo, combinam-se todos os dados em corte transversal e séries 
temporais através do modelo de mínimos quadrados ordinários (MQO). Todas as 
observações de cada X são empilhadas e depois estimados os parâmetros por 
MQO. Por exemplo, se tivermos observações de 20 anos para um grupo de 4 
empresas, o empilhamento produzirá 80 observações para cada variável do 
modelo. Assim, a especificação do modelo: 
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
181
Como é estimado por MQO este modelo assume que os erros uit são do tipo 
“ruído branco” e não estão correlacionados com os regressores. Este modelo 
é chamado de restritivo, pois considera comum para o painel como um todo a 
constante e os coeficientes angulares. Este método é apropriado quando se supõe 
que os indivíduos possuem características semelhantes Gujarati (2006).
3.3.2 Modelo de efeitos fixos 
No modelo de efeitos fixos pode-se levar em conta a individualidade de cada X e 
fazer variar o intercepto. Assim, esta técnica pressupõe que as variáveis omitidas 
podem levar a mudanças nos interceptos para os dados em corte transversal e 
séries temporais. De acordo com Greene (2008), o modelo de efeito fixo implica 
que as diferenças entre os grupos podem ser capturadas por diferenças nos termos 
constantes. A especificação do modelo seria:
O subscrito i no termo intercepto sugere que o intercepto das 4 empresas pode 
ser diferente de uma para outra, porém são invariantes no tempo (os coeficientes 
angulares dos regressores não variam entre indivíduos nem ao longo do tempo). 
Esta seria uma limitação do modelo que poderia ser contornada utilizando-se 
binárias de intercepto diferencial, conforme sugere Gujarati (2006, p. 516). Num 
modelo como este os parâmetros estimados, são:
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
182
A inclusão de dummys para captar diferenças pode se dar no termo i ou para 
o termo t ou para ambos. Assim enquanto a constante capta as diferenças que 
não variam no tempo as crosssection inclusas no modelo tem função da captar 
as diferenças que variam no tempo para o indivíduo em relação a ele mesmo 
(dummys para o termo i) e para o indivíduo em relação aos demais indivíduos no 
tempo (dummys para o termo t). Para fins do artigo estudado, utilizou-se apenas 
o modelo de variáveis binárias de mínimos quadrados (LSDV) e estimaram-se os 
interceptos para cada ano.
3.3.3 Modelo com efeitos aleatórios
Segundo Marques (2000), este modelo de componentes de erro introduz a 
heterogeneidade individual no termo de perturbação que poderá ser dividido em 
duas partes: uma comum, com média nula e variância σ2
u
 e uma individual, também 
com média zero, mas com variância σ2α e que se assumem independentes. A 
especificação do modelo para efeitos aleatórios é a seguinte:
Onde u
it
= µ
it 
+ v
it
 , sendo µi o termo do erro do corte transversal ou específico 
dos indivíduos (erro individual), que é constante ao longo do tempo, e v
it
 o termo 
combinado da série temporal e do corte transversal. Em termos de modelos 
aleatórios a de se considerar as seguintes restrições impostas sobre os momentos 
das variáveis:
4.1 Modelos de painel de dados estáticos: resultados
4.1.1 Regressão Pooled
Comecemos por estimar o modelo MQO, para termos 
uma visão sobre o comportamento linear das variáveis 
listadas para o estudo. O autor não estimou o modelo 
com regressão simples, apenas com dummys. Aqui 
optamos por implementar este caminho para verificar 
a evolução da qualidade de ajustamento do modelo .
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
183
Os dados foram empilhados e temos então 126 observações (saída 5). Podemos 
observar que temos um teste R e F insignificantes, porém temos 5 variáveis 
significativas de acordo com o teste t. As variáveis apresentaram sinal de acordo 
com o esperado, a exceção foi a variável segurança. Isto pode acontecer devido a 
dois fatos: a heterogeneidade dos dados e a presença de efeitos não observáveis. 
4.1.2 Modelo de efeito fixo 
Este modelo oferece a possibilidade de captar efeitos de estado não observáveis. 
Então se o modelo estimado contiver efeitos de estado não observáveis, as 
estimativas dos betas serão tendenciosas e inconsistentes em consequência da 
omissão de variável o que pode ser contemplado quando se utiliza um modelo 
que explore as características de painel dos dados e permitem o controle pela 
heterogeneidade de estado não observável.
No Stata podemos estimar o modelo utilizando o comando xtreg (saída 8) para 
estimar modelos de efeitos fixos que estimam a regressão sobre a média de 
indivíduos (estados). O efeito é estimado entre estados e o impacto das variáveis 
independentes sobre a dependente é estimado para cada grupo (estado) e então 
se calcula a média entre os efeitos de tais estados. Este comando também mede 
o efeito fixo dentro dos grupos (estados).
Os resultados mostram que o R2 dentro do painel (within) é de 0.15, entre os 
painéis (between) é de 0.065 e geral (overall) é de 0.078. Vemos que o R2 é melhor 
dentro do painel, porém, ainda baixo, fato que também se destaca no indicadordos desvios de feitos fixo mais termo erro (sigma_u) de 51,3%. Mas como desvio 
padrão somente de ui3(sigma_e) é proporcionalmente menor (18%) e a variância 
de sigma_u, expressa por rho4, é elevada (88,7%), podemos dizer que o resultado 
de R2 era esperado por causa do tamanho da amostra e da omissão de variáveis.
Fonte: A autora (2015) (utilizado o software Stata).
Quadro 4.12 – Estimativa do modelo Pooled
3Os erros ui referem-se à soma de ai e ei da equação padrão do modelo de efeitos fixos.
4O termo rho refere-se à variância não explicada pela diferença de uma entidade para outra. Também conhecida como correlação 
intraclasse do erro.
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
184
ortamento linear das variáveis listadas para o estudo. O autor não estimou o modelo 
com regressão simples, apenas com dummys. Aqui optamos por implementar este 
caminho para verificar a evolução da qualidade de ajustamento do modelo.
O dado relativo à informação corr (u_i, xb) mostra a correlação entre os efeitos 
fixos e as variáveis independentes consideradas no modelo. Verifica-se que a 
correlação entre os erros ui com os regressores no modelo de efeitos fixos é 
–0,5045, considerada muito alta, indicando a presença de efeitos específicos não 
observáveis. O teste F para verificar se ui=0 com média zero, rejeita a hipótese de 
que o erro seja randômico e bem distribuído em torno da média, confirmando a 
conclusão anterior. Assim, os efeitos fixos são bastante importantes no modelo, 
sendo e as características whitin estão determinando as diferenças. 
4.1.3 Efeito aleatório ou randômico
Este modelo admite que a distribuição dos efeitos fixos ou que a diferença entre 
os indivíduos/entidades tem uma distribuição bem-comportada com média zero. 
Considera-se, portanto, não haver correlação entre estes efeitos e as variáveis 
independentes do modelo, conforme se observa na corr (u_i, X) = 0 (assumed) 
da saída 15, ele também é conhecido como modelo de correção de erros. No 
Fonte: A autora (2015)(utilizado o software Stata).
Quadro 4.13 – Regressão painel com efeito fixo
Ferramentas e aplicações da econometria
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185
entanto, este modelo considera que as observações de cada indivíduo (estado) 
têm um elemento comum, o ui, o que produz autocorrelação dos erros dentro 
do próprio indivíduo (estado), o que produz estimadores de MQO não eficientes 
e os erros padrão inválidos. Portanto, deve-se utilizar a estimação de mínimos 
quadrados generalizados (MQG) (GUJARATI, 2006, p. 526).
4.1.4 Entre o efeito fixo e aleatório
A escolha sobre qual deles utilizar pode ser feita através da aplicação de um teste 
formal chamado teste de Hausman. O teste cria uma variável com distribuição χ2 
assintótica e consiste em avaliar se os coeficientes estimados usando o modelo de 
efeitos fixos ou aleatórios são idênticos. A hipótese nula do teste de Hausman é a 
de que as diferenças nos coeficientes não são sistemáticas, isto é, os estimadores 
do modelo de efeitos fixos e do modelo de efeitos aleatórios não apresentam 
diferenças substanciais. Se houver rejeição da hipótese nula, isto significa que o 
mais indicado é o modelo de efeitos fixos.
Conforme demonstra a saída 17, as diferenças entre os coeficientes são sistemáticas, 
indicando que o melhor modelo seria o estimado para efeitos não observáveis 
aleatórios.
Fonte: A autora (2015)(utilizado o software Stata).
Quadro 4.14 – Regressão dados em painel efeito aleatório
Ferramentas e aplicações da econometria
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186
Porém, vários pesquisadores afirmam que a escolha de qual dele é o melhor deve-se 
pautar também pela teoria econômica a priori, pois nas palavras de Dias (2010, p. 5)
E conforme argumento Santos (2009, p. 177) em nota:
Eu particularmente gosto da sugestão do Hsiao (1992). 
Os efeitos ai e ui representam a ignorância do investigador 
e, portanto, compreendê-la o máximo possível deve ser 
nosso objetivo. Ainda segundo o autor os modelos diferem 
no seguinte:
I) o modelo de efeito fixo serve para avaliar o resultado 
condicional aos efeitos existentes na amostra. Portanto, o 
resultado vale somente para a amostra.
II) o modelo de efeito randômico faz análise incondicional, 
sendo os resultados válidos para a população. 
No caso da criminalidade é muito mais plausível utilizar 
o modelo de Efeitos Fixos do que o modelo de Efeitos 
Aleatórios, pelo fato de que os efeitos específicos de estado 
não observáveis, potencialmente, são correlacionados com 
as variáveis exógenas do modelo. Assumir esta hipótese é 
bastante razoável no caso da criminalidade, pois é plausível 
que a qualidade das instituições de segurança pública e 
privada esteja associada ao nível de renda do estado, ou, 
então, que os conflitos pessoais estejam de alguma forma 
ligados ao nível de desigualdade de renda e assim por diante.
Fonte: A autora (2015)(utilizado o software Stata).
Figura 4.15 – Quadro comparativo
Ferramentas e aplicações da econometria
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187
5.1 Considerações finais
A realização deste trabalho cumpriu com seu objetivo de conseguir percorrer os 
caminhos já trilhados por um pesquisador, através da reprodução de seu trabalho 
e de seus resultados. Podemos argumentar que outros aspectos positivos e 
produtivos podem ser destacados, conforme segue:
1. Ao empreender a busca por um material que permitisse a reprodução com a 
utilização das técnicas de Econometria, podemos tomar contato com colegas 
pesquisadores de outras instituições e estabelecer um canal de troca de informações 
muito importante para o crescimento e desenvolvimento de pesquisa.
2. Através do trabalho, tomar conhecimento de outra área dos estudos de 
economia, a Economia do Crime, tomando contato com uma extensa bibliografia, 
nacional e internacional na abordagem sobre o tema.
3. Podemos aprofundar os conhecimentos de estudos de dados em painel, com 
a utilização de método dinâmico e que contemple a possibilidade de desenvolver 
estudos nos quais a combinação de equações em níveis e em diferenças nos 
permita captar, a existência de efeitos específicos não observáveis, com o uso de 
painel de dados estáticos.
4. E por último, intensificar a troca de experiências entre os colegas de curso. Este 
maior entrosamento permite que possamos trabalhar em grupo que amplia as 
nossas possibilidades em termos de produção científica.
5. Podemos dizer que foi uma experiência enriquecedora no sentido de que 
promoveu profunda conscientização da necessidade de estar sempre em busca 
de aperfeiçoar e ampliar os conhecimentos existentes.
1. Qual é a racionalidade da escolha em cometer um crime 
segundo a indicação da teoria utilizada no estudo?
2. Qual é a vantagem do uso de painel de dados para estudos 
econométricos?
Ferramentas e aplicações da econometria
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188
Nesta Unidade, exploramos algumas aplicações da 
econometria. Você pode complementar seus estudos 
lendo o Capítulo 8, 9 e 10 do livro de Econometria, de 
James H. Stock e Mark W. Watson, publicado em 2004 e 
disponível na Biblioteca Digital Pearson. Bons estudos!
Nesta unidade destacamos a implementação de um MQO 
com inclusão de dummy, Vimos como podemos proceder 
à escolha de variáveis de um modelo por meio da análise de 
dados. E, por fim, verificamos os passos para compreender 
os modelos com dados em painel. 
1. A Econometria utiliza-se de métodos quantitativos 
para estimar relações entre variáveis dependentes 
e independentes. Por outro lado, a avalidade destas 
estimativas depende dos resultados apresentados pelos 
testes que permitem validar ou não as conclusões que o 
modelo econométrico pode expressar. Neste sentido, 
destaque as principais conclusões dos testes e dos 
resultados gerais do modelo apresentado na Seção 1.
2. O jornal Valor Econômico publicou a seguinte manchete 
“Consumo de energia no Brasil cai 0,9%em março”. 
(Disponível em: <http://www.valor.com.br/brasil/4025292/
consumo-de-energia-no-brasil-cai-09-em-marco>. 
Acesso em: 28 abr. 2015). Segundo o jornal, o cenário 
econômico de baixa produção e o clima mais ameno 
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
189
ajudaram na queda do consumo. Considerando o estudo 
apresentado na Seção 1, que pararelo você poderia fazer 
entre a manchete e o que foi apresentado na Seção 1?
3. Num estudo sobre infraestrutura nas escolas brasileras 
intitulado "Uma escala para medir a infraestrutura escolar", 
realizada pelos pesquisadores Joaquim José Soares Neto, 
Girlene Ribeiro de Jesus e Camila Akemi Karino, da UnB 
(Universidade de Brasília), e Dalton Francisco de Andrade, da 
UFSC (Universidade Federal de Santa Catarina) e comentada 
pelo UOL Educação. (Disponível em: <http://educacao.uol.
com.br/noticias/2013/06/04/menos-de-1-das-escolas-
brasileiras-tem-infraestrutura-ideal.htm>. Acesso em: 25 
maio 2015). Os pesquisadores informaram que a criança, 
quando chega à escola, tem que ter equipamentos, conforto 
do ambiente para se concentrar, se dedicar aos estudos e 
ao aprendizado. O professor precisa de equipamento para 
desenvolver o trabalho dele, assim como a escola, explica 
Joaquim José Soares Neto. "O Brasil está passando por 
um momento em que é consenso que se deve investir 
em educação. A pesquisa traz uma perspectiva de como 
orientar esse investimento para resolver um problema que 
não é simples" (p. 1). Neste sentido, em nosso estudo da 
Seção 2, apresentamos a correlação entre as variáveis do 
modelo proposto na seção. Apresente a correlação destas 
variáveis.
4. Ainda tomando como base o enunciado da questão 
3, complemente sua análise apresentando os principais 
resultados do modelo proposto na seção.
5. O pesquisador que pretende utilizar modelagem 
econométrica em seus estudos deve se prevenir em relação 
aos obstáculos presentes na busca de dados, definição 
de variáveis, formatação de modelos e dentre estes itens 
também desenvolver um bom relacionamento com demais 
pesquisadores do tema. Neste sentido, na Seção 3, foram 
apresentados resultados de um estudo anterior no qual se 
propuseram pequenas alteraçãos, nas conclusões finais 
destacaram-se algumas partes do processo de pesquisa. 
Descreva quais são estes itens.
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
190
Ferramentas e aplicações da econometria
U4
191
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Econometria