Cálculo de volumes e áreas

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CADERNO DE QUESTÕES – MATEMÁTICA APLICADA 
AULA TEÓRICA 06 
 
 
1. Calcule, utilizando o método dos discos circulares, o volume de 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥 em 
torno de 𝑥, om 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
 
Resolução: o método dos discos circulares em torno do eixo horizontal 𝑥 utiliza-se da 
fórmula 𝑉 = ∫ 𝜋𝑟2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. Portanto 
𝑉 = ∫𝜋(𝑥3 − 2𝑥)2𝑑𝑥
2
0
 
Utilizando o quadrado perfeito (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
𝑉 = 𝜋∫[(𝑥3)2 − 2(𝑥3)(2𝑥) + (2𝑥)2]𝑑𝑥
2
0
 
𝑉 = 𝜋∫[𝑥6 − 4𝑥4 + 4𝑥2]𝑑𝑥
2
0
 
𝑉 = 𝜋 [
𝑥7
7
−
4𝑥5
5
+
4𝑥3
3
]
0
2
 
𝑉 = 𝜋 [(
27
7
−
4 ∗ 25
5
+
4 ∗ 23
3
) − (
07
7
−
4 ∗ 05
5
+
4 ∗ 03
3
)] 
𝑉 = 𝜋 ∗
352
105
≈ 10,53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule o volume do sólido que está entre as equações 𝑦 = 6𝑥2 − 3𝑥 e 𝑦 = 0 
formado pela revolução em torno do eixo 𝑥 
 
Resolução: o método dos discos circulares em torno do eixo horizontal 𝑥 utiliza-se da 
fórmula 𝑉 = ∫ 𝜋𝑟2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. Portanto precisamos encontrar os limites de 𝑥. 
Devemos igualar as equações de 𝑦 para obter os limites de 𝑥, ou seja: 
6𝑥2 − 3𝑥 = 0 
3𝑥(2𝑥 − 1) = 0 
𝑥 = 0 ou 𝑥 =
1
2
 
Aplicando esse resultado na formula do método dos discos circulares em torno do eixo 
horizontal 𝑥, temos 
𝑉 = ∫ 𝜋(6𝑥2 − 3𝑥)2𝑑𝑥
1/2
0
 
Utilizando o quadrado perfeito (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
𝑉 = 𝜋∫ [(6𝑥2)2 − 2(6𝑥2)(3𝑥) + (3𝑥)2]𝑑𝑥
1/2
0
 
𝑉 = 𝜋∫ [36𝑥4 − 36𝑥3 + 9𝑥2]𝑑𝑥
1/2
0
 
𝑉 = 𝜋 [
36𝑥5
5
−
36𝑥4
4
+
9𝑥3
3
]
0
1/2
 
𝑉 = 𝜋 [(
36 ∗ 1/25
5
− 9 ∗ 1/24 + 3 ∗ 1/23) − (
36 ∗ 05
5
− 9 ∗ 04 + 3 ∗ 03)] 
𝑉 = 𝜋 ∗
3
80
≈ 0,12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a área entre as curvas 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = −3𝑥2 + 9 
 
Resolução: inicialmente precisamos verificar os pontos de intersecção entre as curvas 
𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = −3𝑥2 + 9. Assim: 
−3𝑥2 + 9 = 𝑥2 
−4𝑥2 + 9 = 0 
𝑥2 =
9
4
 
𝑥 = ±
3
2
 
São os limites de integração. 
A região será determinada pelo resultado da função superior menos a inferior. Para isso 
podemos tomar valores dentro do intervalo de integração em cada uma das funções e 
determinar qual delas é superior, ou traçar o gráfico das funções no intervalo. 
Dentro do intervalo 𝑥 = ±
3
2
 podemos tomar 𝑥 = 0 e verificar seu valor nas curvas: 
𝑦 = 𝑥2 → 𝑦 = 0 
𝑦 = −3𝑥2 + 9 → 𝑦 = 9 
Portanto 𝑦 = −3𝑥2 + 9 é a curva superior. Assim, montamos a nossa integral: 
∫ [(−3𝑥2 + 9) − (𝑥2)]𝑑𝑥
3/2
−3/2
 
∫ [−4𝑥2 + 9]𝑑𝑥
3/2
−3/2
 
[−
4𝑥3
3
+ 9𝑥]
−3/2
3/2
 
(
 
 
−
4 ∗ (
3
2)
3
3
+ 9 ∗ (
3
2
)
)
 
 
−
(
 
 
−
4 ∗ (−
3
2)
3
3
+ 9 ∗ (−
3
2
)
)
 
 
 
(−
4 ∗
27
8
3
+
27
2
) − (−
4 ∗ (−
27
8 )
3
−
27
2
) 
(−
27
2
∗
1
3
+
27
2
) − (
27
2
∗
1
3
−
27
2
) 
−
27
6
+
27
2
−
27
6
+
27
2
= 18 
4. Calcule o volume do sólido que está entre as equações 𝑦 = 3𝑥2 e 𝑦 = 9𝑥 formado 
pela revolução em torno do eixo 𝑦 
 
Resolução: o método das arruelas em torno do eixo vertical 𝑦 utiliza-se da fórmula 𝑉 =
∫ 𝜋[𝑓(𝑦)2 − 𝑔(𝑦)2]𝑑𝑦
𝑏
𝑎
. Portanto precisamos encontrar os limites de 𝑦. 
Devemos igualar as equações de 𝑦 para obter os limites de 𝑥, ou seja: 
3𝑥2 = 9𝑥 
3𝑥2 − 9𝑥 = 0 
3𝑥(𝑥 − 3) = 0 
𝑥 = 0 ou 𝑥 = 3 
Para determinarmos os limites de 𝑦, utilizaremos os limites de 𝑥: 
Se 𝑥 = 0 em 𝑦 = 3𝑥2 ou em 𝑦 = 9𝑥, então 𝑦 = 0 
Se 𝑥 = 3 em 𝑦 = 3𝑥2 ou em 𝑦 = 9𝑥, então 𝑦 = 27 
Escrevendo 𝑥 como função de 𝑦, temos 
𝑦 = 3𝑥2 → 𝑥 = √
𝑦
3
 
𝑦 = 9𝑥 → 𝑥 =
𝑦
9
 
Aplicando as informações acima na fórmula, temos: 
𝑉 = ∫𝜋[𝑓(𝑦)2 − 𝑔(𝑦)2]𝑑𝑦
𝑏
𝑎
 
𝑉 = ∫ 𝜋 [[√
𝑦
3
]
2
− [
𝑦
9
]
2
] 𝑑𝑦
27
0
 
= ∫ 𝜋 [
𝑦
3
−
𝑦2
81
] 𝑑𝑦
27
0
 
= ∫ 𝜋 [
27𝑦 − 𝑦2
81
] 𝑑𝑦
27
0
 
=
𝜋
81
∫ [27𝑦 − 𝑦2]𝑑𝑦
27
0
 
=
𝜋
81
[
27𝑦2
2
−
𝑦3
3
]
0
27
 
=
𝜋
81
[
27 ∗ 272
2
−
273
3
− 0] = 40,5𝜋 
5. Obtenha a área entre as curvas 𝑦 = 𝑥3 e 𝑦 = 8𝑥 para 𝑥 ≥ 0 
 
Resolução: iniciamos igualando as curvas para obter os pontos de interseção 
𝑥3 = 8𝑥 
𝑥3 − 8𝑥 = 0 
𝑥(𝑥2 − 8) = 0 
𝑥 = 0 ou 𝑥 = √8 
Dentro do intervalo [0; √8] temos que a curva 𝑦 = 8𝑥 é superior, então: 
∫ [8𝑥 − 𝑥3] 𝑑𝑥
√8
0
 
= [
8𝑥2
2
−
𝑥4
4
]
0
√8
 
= 4 ∗ (√8)
2
−
(√8)
4
4
− 0 
= 4 ∗ 8 −
64
4
 
= 16