Lista 1 - MAT 342 - MAT 342 - 2019-I

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
1a Lista - MAT 342 - Análise para Licenciatura - 2019/I
1) Prove que, supondo-se que são válidos o primeiro e o segundo axiomas de Peano, o terceiro axioma é equivalente ao
axioma (3’) a seguir:
(3’)Para todo subconjunto não vazio A ⊂ N, tem-se A− s(A) 6= ∅.
2) Um elemento a ∈ N chama-se antecessor de b ∈ N quando se tem a < b mas não existe c ∈ N tal que a < c < b. Prove
que, exceto 1, todo número natural possui um antecessor.
3) Use indução para mostrar que:
(a) 2(1 + 2 + ... + n) = n(n + 1);
(b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = (n + 1)2;
(c) (a− 1)(1 + a + ... + an) = an+1 − 1, para quaisquer que sejam a, n ∈ N;
(d) n ≥ 4⇒ n! > 2n.
4) Seja X um conjunto com n elementos. Use indução para provar que o conjunto das bijeções (ou permutações) f : X −→ X
tem n! elementos.
5) Prove que, para todo n ∈ N, o conjunto In = {p ∈ N; 1 ≤ p ≤ n} é finito.
6) Indicando com cardX o número de elementos do conjunto finito X, prove:
(a) Se X é finito e Y ⊂ X, então cardY ≤cardX.
(b) Se X e Y são finitos então X ∩ Y e X ∪ Y são finitos e card(X ∪ Y )=cardX+cardY -card(X ∩ Y ).
(c) Se X e Y são finitos então X × Y é finito e card(X × Y )=cardX.cardY .
7) Prove que todo conjunto finito não-vazio X de números naturais contém um elemento máximo (isto é, existe x0 ∈ X tal
que x ≤ x0,∀x ∈ X).
8) Seja X um conjunto finito. Mostre que
f : X −→ X é injetiva⇔ f : X −→ X é sobrejetiva.
9) Seja f : X −→ Y . Mostre que
(a) Y é finito e f é injetiva ⇒ X é finito;
(b) X é finito e f é sobrejetiva ⇒ Y é finito.
10) Mostre que, se X é infinito e A ⊂ X é um conjunto finito, então Y = X −A é ainda infinito.
11) Mostre que, se existe uma bijeção entre N e um conjunto X, então X é infinito.
12) Seja f : X −→ Y . Mostre que
(a) X é infinito e f é injetiva ⇒ Y é infinito;
(b) Y é infinito e f é sobrejetiva ⇒ X é infinito.
13) Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma função injetiva f : X → Y e uma função
sobrejetiva g : Y −→ X.
14) Seja P(N) o conjunto das partes de N (os elementos P(N) são os subconjuntos de N). Mostre que P(N) não é enumerável.
15) Defina f : N×N→ N fazendo f(1, n) = 2n− 1 e f(m + 1, n) = 2m(2n− 1). Prove que f é uma bijeção. O que podemos
concluir desse exerćıcio?
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16) Prove que, se X e Y são conjuntos enumeráveis, então o produto cartesiano X × Y é enumerável.
17) Sejam X1, X2, ..., Xn, ... conjuntos enumeráveis. Mostre que a reunião X =
+∞⋃
n=1
Xn é enumerável (ou seja, a reunião
enumerável de conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável).
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