Lista-4-2

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MAP5902 - 1o. Semestre de 2019
4a. lista de exerćıcios
1. Seja f : RN → RN uma função cont́ınua e K ⊂ RN um conjunto
compacto. É verdade que f−1(K) é fechado em RN? É verdade que f−1(K)
é compacto em RN?
2. Uma função f : RN → RM é própria se |f(x)| tende para infinito quando
|x| tende para infinito, isto é, se para todo C > 0 existe R > 0 tal que
|x| > R ⇒ |f(x)| > C.
• Mostre que se f : RN → RM é própria e cont́ınua então a imagem
inversa por f de um compacto de RM é também um compacto de RN .
• Mostre que se f : RN → RM é própria e cont́ınua então |f | atinge seu
mı́nimo.
3. Seja f : RN → RM cont́ınua. Mostre que o gráfico de f
G(f) = {(x, f(x)) ∈ RN × RM : x ∈ RN}
é fechado em RN × RM .
4. Seja f : RN → RN uma função cont́ınua e suponha que exista κ > 0 tal
que
|x− y| ≤ κ|f(x)− f(y)|, x, y ∈ RN .
Mostre que f é injetora, que f(RN) é fechado em RN e que a inversa f−1 :
f(RN)→ RN é cont́ınua.
5. Seja f : RN → RM . Mostre que f é cont́ınua se, e somente se, para todo
E ⊂ RN tem-se f(E) ⊂ f(E). Através de um exemplo, mostre também que
a inclusão pode ser própria.
6. Sejam f, g : RN → RM funções cont́ınuas. Suponha que exista E ⊂ RN
tal que Ē = RN e f |E = g|E. Mostre então que f = g.
Definição. Uma sequência de funções fn : X → R, n ∈ N, é uniformemente
limitada se existe C > 0 tal que |fn(x)| ≤ C para x ∈ X e n ∈ N.
7. Mostre que uma sequência de funções limitadas que converge uniforme-
mente é uniformente limitada.
8. Sejam fn, gn : X → R, n ∈ N, sequências de funções que convergem
1
uniformemente. Mostre que (fn + gn)n∈N converge uniformemente. Mostre,
ainda, que se fn e gn são limitadas para todo n ∈ N então (fngn)n∈N converge
uniformemente.
9. Mostre que a série
∞∑
n=1
(−1)n x
2 + n
n2
converge uniformente em qualquer intervalo limitado, mas não converge
absolutamente para qualquer valor de x.
10. Defina fn : R→ R pela regra
fn(x) =
x
1 + nx2
, n = 1, 2, . . .
Mostre que (fn)n∈N converge uniformemente para uma função f : R→ R e
que a relação
f ′(x) = lim
n→∞
f ′n(x)
é válida para x 6= 0, mas falsa para x = 0.
- - - - o o o - - - -
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