Aula 23

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EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Capítulo 6: Escoamento Externo
Hidrodinâmica
�Conceitos fundamentais
�Arrasto total
�Transferência de calor 
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Fluido
• É qualquer substância que se deforma 
continuamente quando submetido a uma 
tensão de cisalhamento, ou seja, ele escoa.
• Fluidos existem como líquido (água, 
gasolina), gás (ar, hidrogênio) e como uma 
combinação de líquido e gás (vapor úmido).
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Propriedades de um fluido
• São várias as propriedades que permitem 
distinguir os fluidos e que são independentes 
do seu movimento:
– Densidade;
– Pressão de vapor;
– Tensão superficial (atração molecular de um 
líquido próximo de uma superfície ou outro fluido);
– Velocidade do som (velocidade na qual a onda 
acústica se movimenta no fluido).
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Fluidos incompressíveis x compressíveis
• Fluidos compressíveis
– São aqueles que apresentam variação na 
densidade quando escoam: usualmente os 
gases.
• Fluidos incompressíveis
– São aqueles que não apresentam variação da 
densidade quando escoam (densidade constante 
ao longo do escoamento): usualmente líquidos e 
alguns gases.
• Neste curso serão considerados apenas os 
fluidos incompressíveis (ideais).
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Escoamento incompressível x 
compressível
• A diferença entre o escoamento incompressível e 
compressível pode ser verificado através do 
número de Mach:
• Onde V é a velocidade do fluido e c é a velocidade 
do som.
• Esta equação permite determinar qual o 
escoamento de um fluido.
c
V
M =
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Movimento de um fluido
Pode ser analisado segundo duas descrições:
• Lagrangiana: é a descrição de movimento na qual as 
partículas individuais são observadas em função do 
tempo.
– Torna-se uma tarefa bastante difícil quando o número de 
partículas é muito grande, como no escoamento de um 
fluido.
• Euleriana: é a descrição de movimento na qual as 
propriedades de escoamento (como a velocidade) são 
funções do espaço e do tempo.
– A região de escoamento considerada é o campo de 
escoamento.
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Campo de escoamento
Linhas de corrente: definidas como a linha contínua 
que é tangente aos vetores velocidade ao longo do 
escoamento num dado instante t.
As linhas de corrente são sempre paralelas ao 
escoamento.
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Escoamento externo X interno
• Escoamento externo é aquele que ocorre 
externamente a uma superfície sólida, onde o fluido 
está em contato com uma única fronteira sólida;
• Escoamento interno é aquele que possui fronteiras 
limitando o campo de escoamento: 
– No escoamento interno, os efeitos viscosos causam perdas 
energéticas substanciais e são responsáveis por grande 
parte da energia necessária para transportar óleo e gás em 
tubulações.
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Força externa total no VC
A força externa total atuando em um VC é:
vispresgravVC
FFFF ++=∑
∫∫∫∫∑ ++=
SCSC
VC dA dA P -n)(ρgVF τ
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Tensão de cisalhamento
Ao encontrar uma fronteira sólida, o fluido se 
deforma devido à aplicação de forças de 
cisalhamento (que agem paralelamente às 
superfícies do fluido). 
Enquanto esta força estiver atuando, o fluido 
continuará se deformando.
Esta força é resultado de uma tensão (de 
cisalhamento) agindo sobre o fluido, que exerce 
uma oposição ao movimento do fluido.
Energia deve ser fornecida para vencer esta 
resistência e manter o escoamento.
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Tensão de cisalhamento
• Existem fluidos em que a relação entre a tensão 
de cisalhamento e a taxa de deformação é linear e 
pode ser expressa por:
y
u
µτx
∂
∂
=
Viscosidade dinâmica
Taxa de deformação
É uma propriedade intensiva, 
também conhecida como 
viscosidade absoluta (SI : N.s/m2)
Apresenta valores tabelados 
variando com T e P.
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Gradiente de velocidade
• Devido o princípio da aderência o fluido 
em contato com uma superfície sólida 
possui a velocidade da superfície.
• Na medida em que afasta da parede, a 
velocidade do fluido relativa à parede 
aumenta, variando desde a velocidade 
da superfície (zero) até um valor máximo 
finito (U).
• Essa variação de velocidade é chamado 
de perfil de velocidade ou gradiente de 
velocidade.
• A tensão de cisalhamento age no 
sentido de resistir ao movimento do 
fluido, sendo máxima na superfície onde 
não existe movimento relativo.
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Camada limite hidrodinâmica
• É uma camada 
relativamente fina onde os 
efeitos das tensões 
viscosas de cisalhamento 
são preponderantes 
(escoamento viscoso), 
existindo o gradiente de 
velocidade.
• A espessura da camada limite, δδδδ, corresponde a distância a 
partir da qual o valor da velocidade do fluido corresponde a 
uma fração da velocidade a montante U.
• Logo: u = 0 em y = 0
u = 0,99 U em y = δδδδ
u = 0,99U em y = δδδδ
u = 0 em y = 0
δ
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Com Viscosidade
Sem Viscosidade
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Escoamento na camada limite
• Experimentos mostram que existem dois regimes de 
escoamento na camada limite: laminar e turbulento.
• Escoamento laminar: fortemente ordenado
– As partículas mantém seu padrão de comportamento;
– O mecanismo de difusão é somente o molecular;
– O escoamento se processa na forma de “lâminas”
sobrepostas.
• Escoamento turbulento: fortemente desordenado
– As partículas não apresentam um padrão de comportamento;
– O mecanismo de difusão não é somente o molecular;
– Ocorre difusão devido ao movimento desordenado das 
partículas – choques.
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Escoamento na camada limite
• Os regimes de escoamento laminar e turbulento 
podem ser caracterizados considerando-se a 
relação entre a força de inércia numa partícula 
fluida e a força viscosa agindo nessa partícula 
fluida.
• Essa relação é adimensional e é conhecida como 
Número de Reynolds (Re).
ν
UL
µ
ρUL
L
L
U
µ
L
UρL
τ.A
M.a
viscosa força
inercial força
Re
2
23
=====
ν
UL
µ
ρUL
Re ==
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Recr em placas planas
• Experimentos realizados em uma placa plana lisa
indicaram que o valor crítico de Re, baseado na 
distância ao longo da placa (a contar da borda do 
ataque) é aproximadamente 0,5 x 106.
• Caso a superfície da placa seja rugosa, o valor de 
Recr estará no intervalo 8 x 103 – 0,5 x 106.
• Existe um valor crítico de Re acima do qual o 
escoamento será turbulento e abaixo do qual será
laminar.
• Este valor é conhecido como número de Reynolds 
de transição ou crítico.
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Escoamento em regime permanente X 
transiente
• No escoamento em regime permanente não há
alteração das propriedades da partícula ao longo 
do tempo.
– Logo, as quantidades de interesse no escoamento de 
um fluido (como por exemplo velocidade, pressão e 
densidade) são independentes do tempo.
• No escoamento em regime transiente as 
propriedades da partícula se alteram ao longo do 
tempo.
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Capítulo 6: Escoamento Externo
Hidrodinâmica
�Arrasto viscoso e de pressão
�Arrasto total 
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Escoamento externo
A medida que um fluido escoa ao passar por uma placa plana, 
o atrito exerce seu efeitode duas maneiras:
• Uma é a aplicação direta de uma força de atrito (viscosa) 
causada pela tensão de cisalhamento atuando sobre esta 
placa ⇒⇒⇒⇒ associado ao chamado arrasto viscoso ou de atrito.
• A outra está relacionada ao fato de os efeitos do atrito no 
fluido que escoa poderem alterar drasticamente o percurso 
do fluido em torno da placa plana. Estes efeitos causam uma 
queda de pressão irreversível na direção do escoamento (a 
pressão na parte posterior da placa é menor que na parte 
frontal) ⇒⇒⇒⇒ associado ao arrasto de pressão ou de forma.
• O arrasto total sobre a fronteira do VC é a combinação do 
arrasto de atrito com o de pressão.
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Arrasto viscoso ou de atrito
• É o resultado do efeito da camada limite:
– É originário dos efeitos viscosos, associados à tensão de 
cisalhamento, atuantes nas paredes sólidas.
• A tensão de cisalhamento age no sentido de resistir ao 
movimento do fluido, ou seja, no sentido oposto a 
deslocamento no eixo x, e quando multiplicada pela área 
apropriada, resulta na força viscosa.
• Assim, esta força viscosa agirá SEMPRE no sentido de se 
opor ao movimento
• Quando define-se o VC e a sua superfície coincide com a 
superfície sólida, surge uma reação à esta tensão sobre esta 
superfície sólida, na direção positiva do deslocamento no 
eixo x, e oposta à direção da força viscosa sobre o fluido.
• Essa força de reação é chamada de força de arrasto viscosa.
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Arrasto viscoso ou de atrito
• A tensão de cisalhamento é determinada pela viscosidade e 
pelo gradiente de velocidades.
• Devido as dificuldades de se determinar o gradiente de 
velocidades, pode-se determinar a tensão por meio do 
coeficiente de atrito de Fanno (Cf):
• Existem Cf tabelados para alguns objetos e para a camada 
limite laminar e a camada limite turbulenta.
• Muitas vezes, o Cf se obtém a partir da relação com o Re. 
Tais relações são tabeladas para diversos tipos de objetos.
2
ext
p
f
(1/2)ρ
τ
C
U
=
Onde τp é a tensão de 
cisalhamento na parede do 
objeto
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Arrasto viscoso ou de atrito
• A força de arrasto viscosa (Df) é determinada considerando 
que a força de arrasto de pressão é nula.
• Logo, DF é obtida pela multiplicação da tensão pela área do 
objeto:
• Existe uma expressão que permite determinar o arrasto de 
atrito para uma placa plana lisa tanto para a camada limite 
laminar quanto para a turbulenta. Esta expressão utiliza o 
coeficiente médio de atrito:
A(1/2)ρCD 2extfF U=
A(1/2)ρCD 2extfF U=
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Coeficientes de arrasto de atrito
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Arrasto de Pressão
• Em grande parte das situações existe uma 
gradiente de pressão na direção do escoamento do 
fluido.
• Conhecendo-se a área, haverá uma força de arrasto 
associado ao gradiente de pressão.
• O arrasto devido à pressão apresenta uma total 
dependência do formato do corpo, sendo por isso 
denominado também de arrasto de forma. Isso se 
dá, porque seu valor é atribuído de acordo com as 
distribuições de pressão ao longo da geometria 
submetida ao escoamento. 
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Arrasto de Pressão
• O arrasto de pressão vai contribuir para a 
resistência total sofrida pelo fluido e 
resultará num fenômeno chamado de 
separação do escoamento ou deslocamento 
da camada limite.
• No descolamento existe um gradiente de 
pressão entre a região frontal de estagnação 
(alta pressão) e a região do descolamento 
(baixa pressão).
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Separação do escoamento
• Nos bocais:
– A velocidade U do fluido está crescendo na direção do escoamento, dU/dx > 0;
– Isto significa que o gradiente de pressão na direção do escoamento é negativo, 
dP/dx <0;
– Assim a força de pressão resultante no fluido age de forma favorável, na 
direção do escoamento.
• Nos difusores:
– A velocidade U está decrescendo na direção do escoamento, dU/dx < 0;
– O gradiente de pressão é positivo, dP/dx > 0;
– E a resultante força de pressão age retardando o escoamento.
– Este gradiente de pressão é chamado de gradiente de pressão adverso. Isto 
quer dizer que a quantidade de movimento do fluido está decrescendo e o 
fluido próximo à superfície pode ser levado ao repouso numa distância 
qualquer a partir da parede (u=0, y>0).
– Quando isto ocorre, o escoamento se separa.
dx
dU
U
dx
dP
−=
ρ
1
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Arrasto total
• O arrasto total é soma do arrasto de atrito e de 
pressão:
• É determinado pelo coeficiente de arrasto, definido 
por:
• Este coeficiente apresenta-se definido para cada tipo 
de objeto.
PFT DDD +=
A
U
D
C TD 2
2
ρ
=
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Arrasto de pressão
• É obtido por aproximação a partir do arrasto 
total e do arrasto de atrito.
• O arrasto de atrito é calculado conhecendo-
se a área da superfície do objeto e o número 
de Reynolds do escoamento e considerando 
o arrasto de pressão nulo.
• A diferença entre o arrasto total e o arrasto 
de atrito fornece o arrasto de pressão.
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Arrasto total em placas planas
• No caso do escoamento de um fluido ocorrer 
paralelo ao comprimento de uma placa plana, 
a contribuição do arrasto de pressão é nula 
pois somente os efeitos viscosos 
predominam. Logo, só há o arrasto de atrito.
• Quando o escoamento do fluido for normal à
placa plana, o arrasto por unidade de largura 
refere-se apenas ao arrasto de pressão, pois 
a tensão de cisalhamento será normal ao 
escoamento. Logo não há arrasto de atrito.
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Força de arrasto
• A redução da força de arrasto é muito importante 
para o desenvolvimento de aviões, caminhões e 
automóveis mais econômicos.
• O arrasto total multiplicado pela velocidade de 
tráfego gera a potência necessária para vencer os 
efeitos viscosos e de pressão e equivale a uma 
parcela significativa da potência total que deve ser 
produzida pelo motor do veículo.
• Por isto, várias pesquisas vêm sendo desenvolvidas 
para determinar métodos de redução de arrasto 
para diferentes objetos em movimento.
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Capítulo 6: Escoamento Externo
� Efeitos térmicos
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Transferência de Calor
• Condução
– É a energia que está sendo transferida através de uma 
substância (sólido ou fluido) em função do gradiente de 
temperatura dentro da própria substância.
• Convecção
– É a energia transferida entre um fluido e uma superfície 
sólida em função do movimento do fluido. Pode ser:
• Natural e forçada.
• Radiação
– É a energia transferida por ondas eletromagnéticas.
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Convecção forçada x natural
• Quando o movimento do fluido é gerado por 
um dispositivo externo ao sistema, a 
convecção é forçada. 
• Caso contrário, é natural:
– Nesse caso, a transferência de calor em si 
garante a fonte necessária para realizar o 
movimento.
– Essa força surge devido às diferenças de 
densidades quando se aquece o fluido.
– Normalmente não se verifica velocidade do 
fluido.
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Fluxo de Calor por Convecção
• Pode ser determinado por:
Calor total transferido em [W].
Onde h = coeficiente de transferência de calor por convecção;
Tp = temperatura da superfície;
T∞∞∞∞ = temperatura do fluido fora da camada limite.
 Ou
Fluxode calor por unidade de área [W/m2].
).(. ∞
•
−= TTAhQ p
).(" ∞−= TThq p&
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h médio
• Desta forma, é definido um valor médio para h 
como: 
).(.0 ∞−=⇒=
∫
TTAhQ
L
dxh
h p
L
s
&
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Camada limite térmica
• Caso a superfície sólida esteja a uma temperatura 
diferente da corrente livre de escoamento (fora da 
camada limite), uma camada limite térmica também 
será formada.
• Sua taxa de desenvolvimento e espessura são 
semelhantes aos da camada limite hidrodinâmica.
• A relação entre as camadas limite térmica e 
hidrodinâmica é indicada pelo número de Prandtl:
• Pr de vários fluidos está tabelado (Tabela A-8 e outras).
k
c
r
pµ
α
ν
==P
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Camada limite térmica
N. Prandtl, Pr
T
h
δ
δ
α
ν
==Pr
Onde νννν é a viscosidade cinemática e αααα é a 
difusividade térmica. 
O Pr pode ser interpretado como a 
razão entre as espessuras das camadas 
limites hidrodinâmica e térmica.
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Camada limite térmica x hidrodinâmica
( )
Turbulento
Regime
 
Laminar
Regime
 Pr, 10261 31 ≅=
T
h
T
h
δ
δ
δ
δ
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Perfil de temperatura: aquecimento e 
resfriamento do fluido
T∞∞∞∞
Aquecimento 
Tp > T∞∞∞∞
Resfriamento 
Tp < T∞∞∞∞
T∞∞∞∞ T∞∞∞∞
Tδδδδ
Tp Tp
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Número de Nusselt
• Da definição de h e de camada limite térmica, pode-
se escrever que:
T
x
T
x
T
x
x
k
xh
k
hk
h
δδδ
=⇒=⇒≅
1
k
xh
Nu xx =
 
k
Lh
uN =
• Correlações para determinar o coef. 
de transf. de calor por convecção 
(h) são usualmente expressas em 
termos do número de Nusselt local 
ou médio.
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Número de Nusselt
• A forma exata da relação funcional vai depender da 
configuração geométrica da superfície, da natureza 
do escoamento e das condições de contorno 
térmicas na superfície.
• As condições de contorno térmicas usuais são:
– Temperatura uniforme na superfície;
– Fluxo de calor uniforme.
( )Pr Re, f
k
xh
Nu xx ≅=
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Nu: Convecção Forçada
Temperatura da Parede Uniforme
Rex < 5.10
3
5.105 < Rex <5.10
7
2 2
T LNu Nu Nu= += += += +
Transição:
5.103 < Rex < 5.105
Expressão para 
valor médio de 
Nu é válida 
somente se
0,5 < Pr < 2000
Propriedades avaliadas em T∞∞∞∞
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Nu: Convecção Forçada
Fluxo de Calor Uniforme
)(PrRe,
PrRe,
/,
,
118521
02960
3210
80
−+
=
−
x
x
xNu
)1(PrRe443,21
PrRe037,0
3/21,0
8,0
−+
=
−T
uN
( ) 3121460 // PrRe, xxNu =Laminar:
Turbulento:
PLACA PLANA LISA
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Analogia entre atrito e calor
• Quando Pr = 1, as camadas limite térmica e 
hidrodinâmica são idênticas, ou seja, existe uma 
semelhança entre a quantidade de movimento e de 
calor transferido.
• Pode haver uma relação simples entre o coef. de 
arrasto de atrito e coef. médio de transferência de 
calor em uma placa plana:
Uρc
h
 
2
C
p
f ==tS
PrRe
Nu
L
=
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Analogia entre atrito e calor
• Para o intervalo 0,6 < Pr < 60:
• Chilton-Colburn – válida para: i) escoamento 
laminar numa placa plana e ii) escoamentos 
turbulentos sobre superfícies planas ou com 
curvaturas. 
• Útil para calcular coef. transferência de calor em 
superfícies rugosas. 
32f PrtS 
2
C
⋅=
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Convecção natural
Onde g = 9,08 m/s2
ββββ = coeficiente de expansão volumétrica = 
(para gás ideal ββββ = 1/Tf onde Tf = (Tp+T∞∞∞∞)/2)
Para a placa plana vertical, a transição do 
escoamento laminar para o turbulento ocorre a 
Rax ≅≅≅≅ 109
Grashof) de (número 
ν
)xTT(g
 Gr
2
3
p
x
∞−
=
β
Rayleigh) de (número.Pr GrRa xx =
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Propriedades avaliadas em Tf
Nu: Convecção Natural
Placa Plana Isotérmica Vertical
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Nu: Convecção Natural
Placa Plana Isotérmica Horizontal
Onde L = área/perímetro
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Correlações para cilindros e esferas
• 1< ReLc < 105 & 0,6 < Pr < 1000
Escoamento Forçado
Número de Nusselt médio para outros objetos de formas variadas com 
temperatura de parede uniforme:
onde o comprimento característico Lc (Re e Nu) e Nu0 são dados na 
tabela 6-5:
2
tur
2
lam0 NuNuNuNu ++++++++====
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Correlações para cilindros e esferas
• ReLc < 1 & 0,6 < Pr < 1000
Escoamento Forçado
Fio, cilindros e tubos:
Esferas:
onde o comprimento característico Lc (Re e Nu) e Nu0 são dados na 
tabela 6-5
31750 /Pr)(Re, LcNu =
31011 /Pr)(Re, LcNu =
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Correlação para cilindros e esferas –
convecção natural
• Correlação geral para cálculo do coef. transf. calor 
em convecção natural para objetos de formas 
variadas (válida para regiões laminar e turbulenta):
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
261
Lc21
0 300
PrRa
NuNu













 ξξξξ⋅⋅⋅⋅
++++====
( )
( ) ( )91669
50
1
1














+
=
Pr
,
Prξ
O comprimento característico LC (Ra e Nu) e Nu0 são dados na 
Tabela 6-6.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Convecção Natural x Forçada
• Para cada situação haverá uma correlação 
específica para Nu.
• Deve-se tomar cuidado ao se determinar os 
parâmetros de referência pois:
– Convecção forçada: propriedades físicas 
avaliadas na temperatura do escoamento externo.
• Assim, Re, Pr e Nu têm seus parâmetros avaliados por 
Text (ou T∞∞∞∞).
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Convecção Natural x Forçada
• Para cada situação haverá uma correlação 
específica para Nu.
• Deve-se tomar cuidado ao se determinar os 
parâmetros de referência pois:
– Convecção natural: propriedades físicas 
avaliadas na temperatura da película (filme), que 
é uma média entre a T da parede e a externa: 
Tf = (Tp+T∞∞∞∞)/2. 
• Assim, ββββ, Gr e Ra têm suas propriedades avaliadas por 
Tf.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Regime laminar x turbulento
• Quem irá definir se o escoamento em uma 
placa plana se encontra em uma ou outra 
região será o número de Reynolds 
(convecção forçada) ou o número de 
Rayleigh (convecção natural):
– Para cada geometria há um valor de Reynolds e 
de Rayleigh diferente para definir essa transição.
• Para cada regime, laminar ou turbulento, 
haverá uma correlação específica para Nu.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Calcular Nu (Nu = h.L/k) usando as correlações
Calcular taxa de calor Q: Q = q”.A
Calcular fluxo calor por área (q”): q” = h.(Tp-T∞)
Determinar h (h = Nu.k/L)
Procedimento de cálculo – fluxo de calor
• •
•
Determinar se o fluxo de calor ocorre por convecção
forçada ou natural e se o regime é laminar ou
turbulento (a partir de Re ou Ra)
• •
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Turbulento
5.105<Rex<107
local
T
Q
médio
T
Q
Nux→Eq. 6.34
Nu→Eq. 6.37
CONVECÇÃO FORÇADA – PLACA PLANA
propriedades avaliadas Text
Laminar
Rex<5.103
Nux→Eq. 6.26
Nux→Eq. 6.44
local
T
Q
médio
T
Q
Nu→Eq. 6.30
Nu→não há
Transição
5.103<Rex<5.105
médio ( ) ( )2 2L TNu Nu Nu= +T
Nu→Eq. 6.30
Nu→Eq. 6.37
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra.Carla K. N. Cavaliero
CONVECÇÃO NATURAL – PLACA PLANA
propriedades avaliadas (TP+Text)/2
Nux→Eq. 6.59
Nux→Eq. 6.60
laminar
Ra < 109
local
médio
turbulento
local
médio
Nu→Eq. 6.61
Q
RaL*
Eq. 6.58
Nux→Eq. 6.51
Nux→Eq. 6.52
laminar
RaL< 109
local
médio
turbulento
local
médio
Nu→Eq. 6.54
T
RaL
Eq. 6.50
Vertical
Horizontal T
Q/F
F/Q Nu→Eq. 6.57
Nu→Eq. 6.55
Nu→Eq. 6.56
104<RaL<107
107<RaL<1011
105<RaL<1010
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
CONVECÇÃO CILINDROS, TUBOS E ESFERAS
propriedades avaliadas Text
Convecção
Forçada
Isotérmica
0.6<Pr<1000
Nux→Eq. 6.46
Nux→Eq. 6.47
ReLC<1
cilindros
esferas
1<ReLC<105
Nu0&Lc→Tab. 6.5
Nu→Eq. 6.30
( ) ( )
2 2
0 L TNu Nu Nu Nu
 Eq. 6.45
= + +
Nu→Eq. 6.37
Convecção 
Natural 
Isotérmica
Lam/Turb.
2
1 6
LC
0
Ra Pr
Nu Nu
300
 Eq. 6.63
 ⋅ ξ ⋅  
= +  
   
ξξξξ→Eq. 6.64
Nu0 & Lc→Tab. 6.6
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercícios - Capítulo 6
Escoamento externo: efeitos
viscosos e térmicos
Proposição de exercícios:
6.8/ 6.12/ 6.22/ 6.24/ 6.25/ 6.27/ 6.29/ 6.33/
6.34/ 6.35/ 6.38/ 6.39/ 6.40/ 6.42
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 1: Um arremessador em um jogo de beisebol é cronometrado 
enquanto arremessa uma bola a 90 mph através do ar a 60o F. Se o 
diâmetro da bola for de 2,80 in, calcule a força de arrasto sobre ela 
supondo que os efeitos da rugosidade na superfície são desprezíveis.
Escoamento externo
Arrasto
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 1: Um arremessador em um jogo de beisebol é cronometrado 
enquanto arremessa uma bola a 90 mph através do ar a 60o F. Se o 
diâmetro da bola for de 2,80 in, calcule a força de arrasto sobre ela 
supondo que os efeitos da rugosidade na superfície são desprezíveis.
d = 2,8 in = 7,11*10-2 m
U = 90 mph = 40,2 m/s
Propriedades do ar (60o F = 15,6o C): νννν = 14,69*10-6 m2/s
ρρρρ = 1,2229 kg/m3
A força de arrasto total será:
esfD
esf
D AUCD
AU
D
C
2
2 2
1
2
1
ρ
ρ
=⇒=
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 1: Um arremessador em um jogo de beisebol é cronometrado 
enquanto arremessa uma bola a 90 mph através do ar a 60o F. Se o 
diâmetro da bola for de 2,80 in, calcule a força de arrasto sobre ela 
supondo que os efeitos da rugosidade na superfície são desprezíveis.
d = 2,8 in = 7,11*10-2 m
U = 90 mph = 40,2 m/s
Propriedades do ar (60o F = 15,6o C): νννν = 14,69*10-6 m2/s
ρρρρ = 1,2229 kg/m3
5
6
2
10*95,1
10*69,14
10*11,7*2,40*
Re ===
−
−
ν
dU
40,
156:Fig
=
−
DC
NAUCD esfD 276
2
21011742402229140
2
1 2222 ,
)/*,(*),(*,*,
===
−π
ρ
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 2: Um lâmpada de 40W, de 10 cm de diâmetro, instalada 
externamente está exposta ao ar que está a 14oC e na velocidade de 
5m/s. Foi observado que a temperatura de sua superfície mantém-se 
aproximadamente em 36oC. Estime a taxa de perda de calor por 
convecção do bulbo considerando que a lâmpada seja esférica.
40W
d=10cm
Tar = 14º C
Uar = 5 m/s
Ts = 36º C
Escoamento externo
Convecção forçada
Temperatura da parede uniforme
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Nu médio para uma esfera (1< ReLc < 105 & 0.6 < Pr < 1000):
Exercício 2: Um lâmpada de 40W, de 10 cm de diâmetro, instalada 
externamente está exposta ao ar que está a 14oC e na velocidade de 
5m/s. Foi observado que a temperatura de sua superfície mantém-se 
aproximadamente em 36oC. Estime a taxa de perda de calor por 
convecção do bulbo considerando que a lâmpada seja esférica.
7160103113
10872410217
24611005
26
36
3
,Pr/.,
/.,./.,
/,/
==
==
==
−
−−
sm
CmWksmkg
mkgCkgJc
o
o
p
ν
µ
ρ
2
tur
2
lam0 NuNuNuNu ++++++++====
Propriedades do ar a 14º C:
40W
d=10cm
Tar = 14º C
Uar = 5 m/s
Ts = 36º C
Re = ULc/νννν = 5*0,1/13,31.10-6 = 3,8.104
)( ∞−= TTAhQ p&
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
• Para esferas Nuo= 2,0
• Lc = d = 0,1m
• Nu laminar:
• Nu turbulento:
Exercício 2: Um lâmpada de 40W, de 10 cm de diâmetro, instalada 
externamente está exposta ao ar que está a 14oC e na velocidade de 
5m/s. Foi observado que a temperatura de sua superfície mantém-se 
aproximadamente em 36oC. Estime a taxa de perda de calor por 
convecção do bulbo considerando que a lâmpada seja esférica.
8,115Pr)(Re664,0 3/12/1 == LcLuN
147
)1(PrRe443,21
PrRe037,0
3/21,0
8,0
=
−+
=
−
Lc
Lc
TuN
189
22
0 =++= turlam NuNuNuNu
40W
d=10cm
Tar = 14º C
Var = 5 m/s
Ts = 36º C
7160103113
10872410217
24611005
26
36
3
,Pr/.,
/.,./.,
/,/
==
==
==
−
−−
sm
CmWksmkg
mkgCkgJc
o
o
p
ν
µ
ρ
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
• O coeficiente de calor médio 
será:
• E a taxa de perda de calor será:
Exercício 2: Um lâmpada de 40W, de 10 cm de diâmetro, instalada 
externamente está exposta ao ar que está a 14oC e na velocidade de 
5m/s. Foi observado que a temperatura de sua superfície mantém-se 
aproximadamente em 36oC. Estime a taxa de perda de calor por 
convecção do bulbo considerando que a lâmpada seja esférica.
C W/m47 2o===
−
1,0
10.87,24*189. 3
cL
kuN
h
 W32,5)(*),(*)( =−=−= ∞ 1436050447
2πTTAhQ p
&
40W
d=10cm
Tar = 14º C
Var = 5 m/s
Ts = 36º C
7160103113
10872410217
24611005
26
36
3
,Pr/.,
/.,./.,
/,/
==
==
==
−
−−
sm
CmWksmkg
mkgCkgJc
o
o
p
ν
µ
ρ
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Escoamento externo
Convecção natural
Exercício 3: Um condutor elétrico tem a forma de um cilindro com 
diâmetro D = 25 mm e comprimento igual a 1 m. Ele é posicionado na 
horizontal e a temperatura de sua superfície igual a 60oC, enquanto que 
o ar que o circunda tem temperatura de 20oC. Determine a potência em 
W dissipada pelo condutor no ambiente. Utilize a relação proposta onde 
a dimensão característica L é o próprio diâmetro D.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
• Tf = (Tp+T∞∞∞∞)/2= 40ºC
• Propriedades do ar a 40º C: cp=1006,8 J/kg.ºC; 
ρρρρ=1,1273 kg/m3; νννν=1,70.10-5 m2/s; k=2,71.10-2 W/mºC; 
Pr=0,71; ββββ=1/Tf =0,0032 K
Exercício 3: Um condutor elétrico tem a forma de um cilindro com 
diâmetro D = 25 mm e comprimento igual a 1 m. Ele é posicionado na 
horizontal e a temperatura de sua superfície igual a 60oC, enquanto que 
o ar que o circunda tem temperatura de 20oC. Determine a potência em 
W dissipada pelo condutor no ambiente. Utilize a relação proposta onde 
a dimensão característica L é o próprio diâmetro D.
( )
k
DTTgc
Ra
Ra
uN
arpp
D
D
D
.
)(
Pr)/559,0(1
387,0
60,0
32
2
27/816/9
6/1
µ
βρ −
=








+
+=
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 3: Um condutor elétrico tem a forma de um cilindro com 
diâmetro D = 25 mm e comprimento igual a 1 m. Ele é posicionado na 
horizontal, a temperatura de sua superfície igual a 60oC enquanto que o 
ar que o circunda tem temperatura de 20oC. Determine a potência em 
W dissipada pelo condutor no ambiente. Utilize a relação proposta onde 
a dimensão característica L é o próprio diâmetro D.
4
32
10854 .,
.
)(
=
−
=
k
DTTgc
Ra
arpp
D
µ
βρ
 W22)(**,**)()( =−=−=−= ∞∞ 2060102507 πTTPLhTTAhQ pp&
( )
56
55901
3870
600
2
278169
61
,
Pr)/,(
,
,
//
/
=








+
+= DD
Ra
uN
C W/m7
. 2o==
D
kuN
h D
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 4: Uma piscina externa aquecida (15 m de largura e 30 m de 
comprimento) em uma estação de esqui é coberta durante a noite para 
reduzir a perda de calor. Numa noite típica de inverno, a temperatura 
do ar está a -10 ºC e o vento sopra à velocidade de 3 m/s sobre a piscina 
na direção de seu comprimento. Considerando que a temperatura da 
cobertura da piscina em contato com o ar é de 25 ºC, estime a taxamédia de energia (kW) transferida para manter a temperatura da 
piscina constante. Suponha que os lados e o fundo da piscina estejam 
bem isolados.
Escoamento Externo
Convecção forçada
Temperatura da parede 
uniforme
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 4: Uma piscina externa aquecida (15 m de largura e 30 m de 
comprimento) em uma estação de esqui é coberta durante a noite para 
reduzir a perda de calor. Numa noite típica de inverno, a temperatura 
do ar está a -10 ºC e o vento sopra à velocidade de 3 m/s sobre a piscina 
na direção de seu comprimento. Considerando que a temperatura da 
cobertura da piscina em contato com o ar é de 25 ºC, estime a taxa 
média de energia (kW) transferida para manter a temperatura da 
piscina constante. Suponha que os lados e o fundo da piscina estejam 
bem isolados.
).(. ∞−= TTAhQ p&
Piscina: 15 m largura x 30 m comprimento
T∞ = -10º C
Tp = 25º C
U = 3 m/s
Propriedades do ar -10º C: cp = 1,0056 kJ/kg.ºC
ρ = 1,3414 kg/m3
µ = 16,71.10-6 kg/m.s
ν = 12,46.10-6 m2/s
k = 23,29.10-3 W/m.ºC
Pr = 0,721
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 4: Uma piscina externa aquecida (15 m de largura e 30 m de 
comprimento) em uma estação de esqui é coberta durante a noite para 
reduzir a perda de calor. Numa noite típica de inverno, a temperatura 
do ar está a -10 ºC e o vento sopra à velocidade de 3 m/s sobre a piscina 
na direção de seu comprimento. Considerando que a temperatura da 
cobertura da piscina em contato com o ar é de 25 ºC, estime a taxa 
média de energia (kW) transferida para manter a temperatura da 
piscina constante. Suponha que os lados e o fundo da piscina estejam 
bem isolados.
6
6
102237
104612
303
.,
.,
*
Re ====
−ν
UL
µ
ρUL O escoamento é turbulento 
(Re > 5.105)
3
32106
806
3210
80
100839
1721010223744321
72101022370370
144321
0370
.,
),().,(,
,*).,(,
)(PrRe,
PrRe,
/,
,
/,
,
=
−+
=
−+
=
−
−
T
T
uN
uN
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exercício 4: Uma piscina externa aquecida (15 m de largura e 30 m de 
comprimento) em uma estação de esqui é coberta durante a noite para 
reduzir a perda de calor. Numa noite típica de inverno, a temperatura 
do ar está a -10 ºC e o vento sopra à velocidade de 3 m/s sobre a piscina 
na direção de seu comprimento. Considerando que a temperatura da 
cobertura da piscina em contato com o ar é de 25 ºC, estime a taxa 
média de energia (kW) transferida para manter a temperatura da 
piscina constante. Suponha que os lados e o fundo da piscina estejam 
bem isolados.
CmW
L
kuN
h
k
Lh
uN
o2
33
/05,7
30
10.29,23*10.083,9.
===⇒=
−
 
kWWTTAhQ p 11110.11,1))10(25)(30*15(*05,7).(.
5 ==−−=−= ∞
&
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Existem tópicos do Cap. 6 que não 
foram revisados para a execução dos 
exercícios anteriores.
Eles precisarão ser estudados para a 
resolução dos exercícios 
recomendados do livro.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
FIM !