Equações de Estado para Gases

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Profa. Dra. Carla K. N. CavalieroEM524 - Fenômenos de Transporte
Capítulo 3: Propriedades de 
uma Substância Pura
�Equação de estado do gás ideal
�Outras equações de estado
�Outras propriedades 
termodinâmicas
Profa. Dra. Carla K. N. CavalieroEM524 - Fenômenos de Transporte
Princípio de estado
O número de propriedades independentes 
requerido para especificar um estado 
termodinâmico de um sistema é:
N + 1
onde N é o número de formas de trabalho 
reversível possíveis.
• Sistema simples compressível: o número de 
propriedades independentes será 2
N + 1,
onde N = 1 (um trabalho reversível)
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E como se obtém estas 
propriedades?
• Tabelas de propriedades 
• Equações de estado
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Equação de estado
• As equações usadas para relacionar as 
propriedades de estado P, νννν e T são as 
chamadas equações de estado.
• Um exemplo é a equação dos gases ideais:
PV = n R T
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Gás ideal
• Experimentos mostram que ao confinar 
amostras de 1 mol de vários gases em 
recipientes de volumes idênticos e mantê-los 
na mesma temperatura, suas pressões 
medidas são praticamente – mas não 
exatamente – as mesmas.
• Repetindo este experimento com as 
densidades mais baixas dos gases, as 
pequenas diferenças nas pressões medidas 
tendem a desaparecer.
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Gás ideal
• Para densidades suficientemente baixas todos os 
gases reais tendem a obedecer à relação:
PV = nRT
onde P, V, n, R e T são respectivamente pressão absoluta, 
volume, número de moles do gás, constante universal dos 
gases e temperatura absoluta.
• Constante universal dos gases:
R = 8,31434 kJ/kmol.K = 0,0831434 bar.m3/kmol.K =
= 1,9858 Btu/lbmol.R = 10,73 psia-ft3/lbmol.R
• Os gases que atendem a esta equação de estado 
são conhecidos como gases ideais.
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Gás ideal
• A equação de estado do gás ideal também pode 
aparecer através da constante particular do gás:
PV = MRgT
onde M = massa do gás
Rg = constante do gás em particular
• Esta constante pode ser obtida a partir da constante 
universal dos gases:
gás mol
R
R g =
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Gás ideal
Tabela A-7: Propriedades de diversos gases ideais 
Gás Fórmula 
química 
Peso 
molecular 
R 
(kJ/kg*K) 
cp 
(kJ/kg*K) 
cv 
(kJ/kg*K) 
γ 
Ar 28,97 0,28700 1,0035 0,7165 1,400 
Dióxido de 
carbono 
CO2 44,01 0,18892 0,8418 0,6529 1,289 
Metano CH4 16,04 0,51835 2,2537 1,7354 1,299 
Etano C2H6 30,07 0,27650 1,7662 1,4897 1,186 
Oxigênio O2 31,999 0,25983 0,9216 0,6618 1,393 
Hidrogênio H2 2,016 4,12418 14,2091 10,0849 1,409 
Nitrogênio N2 28,013 0,29680 1,0416 0,7448 1,400 
 
cp, cv e γ obtidos a 300K
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Gás ideal
• A equação de estado do gás ideal pode aparecer 
de várias formas:
PV = nRT
PV = MRgT
P = ρρρρRgT
Pνννν = RgT
P1V1 = P2V2
T1 T2
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Então, quando considerar 
um gás ideal ?
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Gás ideal
• Em densidades baixas (pressões baixas ou 
altas temperaturas), os gases reais se 
comportam de maneira próxima a dos gases 
ideais.
P = ρρρρRgT
• Ar, nitrogênio, oxigênio, hidrogênio, hélio, 
argônio, dióxido de carbono apresentam um 
erro de menos de 1% no uso da equação de 
estado dos gases ideais quando em baixas 
densidades.
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Gás ideal
Qual seria o erro ao usar a equação para gases 
ideais para calcular os valores das propriedades 
para TODAS as substâncias puras?
– Depende da pressão e da temperatura do 
sistema.
– Quanto maior a temperatura, menor o erro: 
(T/Tc > 2,0)
– Quanto menor a pressão, menor o erro:
(P/Pc < 0,1)
Profa. Dra. Carla K. N. CavalieroEM524 - Fenômenos de Transporte
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E quando o gás não se 
comportar como gás ideal ?
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Gases reais
• Em densidades altas, o comportamento dos 
gases desvia-se da equação de gases ideais.
• Neste caso, deve-se utilizar outra equação de 
estado.
• Uma opção é aplicar um fator de correção na 
equação de estado dos gases ideais.
• Este fator de correção é chamado de fator de 
compressibilidade (Z).
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Gases reais:
Fator de compressibilidade
• Esta é uma equação genérica e dela pode-se 
chegar a equação dos gases ideais:
• Para um gás ideal: Z = 1
• Para um gás real: Z<1 ou Z>1
TR
P
Z
g
ν
=
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Princípio dos estados 
correspondentes
• O fator de compressibilidade é aproximadamente 
o mesmo para todos os gases à mesma pressão 
reduzida e temperatura reduzida.
Z = Z(Pr, Tr) para todos os gases
• Nestas condições diz-se que os gases estão em 
estados correspondentes.
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Pressão e temperatura reduzidas
• Essas grandezas são obtidas com o auxílio da 
temperatura e pressão crítica.
• Isto porque no pronto crítico todos os gases 
estão num estado equivalente.
• Podem ser determinadas como:
Tc
T
Tr
Pc
P
Pr
=
=
Onde Pr e Tr são respectivamente a 
pressão reduzida e a temperatura 
reduzida;
P e T são valores absolutos;
Pc e Tc são os valores no ponto crítico.
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Fator Z, Pr e Tr
• O fator Z é expresso na forma de gráfico 
para uma grande quantidade de gases 
(carta de compressibilidade).
• No entanto é necessário saber a pressão e 
a temperatura reduzidas para se 
determinar Z.
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Fator Z, Pr e Tr
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Outras equações de estado para 
gases reais
• Equação de estado de van der Waals;
• Equação de estado de Redlich-Kwong;
• Equação de estado do virial.
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Outras propriedades 
termodinâmicas
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Coeficiente de 
compressibilidade isobárica (ββββ)
0
T
1
β
P
>





∂
∂
=
v
v
• Representa a variação fracional de volume pela 
variação unitária de temperatura para um processo 
a pressão constante.
Por Prof. Eugênio S. Rosa
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Coeficiente de 
compressibilidade isotérmica (κκκκ)
• Representa a variação fracional de volume pela 
variação unitária de pressão para um processo a 
temperatura constante.
0
P
κ
T
>





∂
∂
−=
v
v
1
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Coeficientes de 
compressibilidade ββββ e κκκκ
• Os coeficientes de compressibilidade isobárica (ββββ ) 
e isotérmica (κκκκ) são funções da relação P-νννν-T para 
a substância e valores numéricos podem ser 
obtidos a qualquer estado definido.
• Estas propriedades são particularmente úteis 
quando se trabalha com substâncias na fase 
líquida ou sólida.
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Coeficientes de 
compressibilidade ββββ e κκκκ
κνdPβνdTdν
dP
P
v
dT
T
v
dν
P)ν(T,ν
TP
−=






∂
∂
+





∂
∂
=
=
• Como o volume específico é uma função da pressão 
e da temperatura tem-se:
• Para substâncias que não sejam ideais, caso ββββ e κκκκ
sejam constantes teremos:
( ) ( )1212
1
2 PPκTTβ
ν
ν
ln −−−=





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Energia interna específica (u)
A energiainterna (U) representa a energia armazenada, 
ou possuída pelo sistema, devido às energias 
cinética e potencial das moléculas presentes na 
substância que o constituí.
M
U
=u
• A energia interna específica:
onde M é a massa da substância
• Medidas experimentais mostram que u é função 
apenas da temperatura e do volume específico:
),( νTuu =
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Calor específico a volume 
constante (cv)
v
v
T
u
c 





∂
∂
=
• Este refere-se à energia necessária para que 1kg de 
uma substância sofra a elevação de 1oC num 
processo a volume constante. É um valor tabelado e 
obtido experimentalmente.
),( νTuu =
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Entalpia específica (h)
A entalpia é o somatório da energia interna e do 
produto PV.
νPuh +=
• A entalpia específica:
• Medidas experimentais mostram que h é função 
apenas da temperatura e da pressão:
),( PThh =
PVUH +=
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Calor específico a pressão 
constante (cp)
P
p
T
h
c 





∂
∂
=
• Este refere-se à energia necessária para que 1kg de 
uma substância sofra a elevação de 1oC num 
processo a pressão constante. É um valor tabelado 
e obtido experimentalmente.
),( PThh =
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Gráfico de calor específico
• Como cp e cv são 
funções da 
temperatura, pode-se 
expressar seus 
valores através de 
gráficos.
• Exemplo: gráfico cp
para várias 
substâncias.
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Calores específicos cp e cv
Tabela A-7: Propriedades de diversos gases ideais 
Gás Fórmula 
química 
Peso 
molecular 
R 
(kJ/kg*K) 
cp 
(kJ/kg*K) 
cv 
(kJ/kg*K) 
γ 
Ar 28,97 0,28700 1,0035 0,7165 1,400 
Dióxido de 
carbono 
CO2 44,01 0,18892 0,8418 0,6529 1,289 
Metano CH4 16,04 0,51835 2,2537 1,7354 1,299 
Etano C2H6 30,07 0,27650 1,7662 1,4897 1,186 
Oxigênio O2 31,999 0,25983 0,9216 0,6618 1,393 
Hidrogênio H2 2,016 4,12418 14,2091 10,0849 1,409 
Nitrogênio N2 28,013 0,29680 1,0416 0,7448 1,400 
 
cp, cv e γ obtidos a 300K
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Energia interna específica, 
entalpia específica e calores 
específicos para o caso de 
gases ideais
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Energia interna específica (u)
Para um gás ideal, a energia interna específica é
função apenas da temperatura.
• Isto foi obtido experimentalmente através dos 
trabalhos realizados por Joule, em 1843. Nestes 
ele mostrou que a energia interna do ar à baixa 
densidade (gás ideal) depende essencialmente 
da temperatura.
)(Tuu =
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Relacionando energia interna 
específica e cv
Para gases ideais: u = u(T)u = u(T)
No entanto:
dv
v
u
 dT
T
u
du
Tv






∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++





∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
0
dTTdu )(c dT
T
u
v
v
=





∂
∂
=
A variação de energia interna será:
dT(T)c
2
1
T
T
v∫=−=∆ 12 uuu
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Entalpia específica (h)
Para um gás ideal, a entalpia específica também é
função apenas da temperatura.
• Isto pode ser verificado:
)(Tuu =
νPuh +=
Como: TRP g=ν
Tem-se: TRTuh g+= )(
Assim: )(Thh =
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Relacionando entalpia específica
e cp
h = h(T)h = h(T)
No entanto:
dP
P
h
dT
T
h
 
TP






∂
∂
+





∂
∂
=dh
0
dTTdh )(c dT
T
h
p
p
=





∂
∂
=
A variação de entalpia será:
dT(T)cp∫=−=∆
2
1
12
T
T
hhh
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Relacionando cp e cv
TRuh g+=
gR
dT
du
dT
dh
+=
Derivando em função de T:
E desta forma:
gvp Rcc +=
Quando gases ideais possuem cp e cv constantes, 
eles são chamados de gases perfeitos.
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Resumo para gases ideais
• u, h, cv e cp são funções apenas da temperatura
ideal gas
p
ideal gas
v c ;c 





=





=
dT
dh
dT
du
gvp Rcc +=
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Três maneiras de se obter ∆∆∆∆u e ∆∆∆∆h
• ∆u = u2 - u1 (tabela) 
• ∆u = 
• ∆u = cv,cte∆T
(T) dT c
 
 
v∫
2
1
• ∆h = h2 - h1 (tabela) 
• ∆h = 
• ∆h = cp,cte∆T
(T) dT c
 
 
p∫
2
1
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Exercício: Determine a variação de entalpia para 1 kg de 
nitrogênio (considerado como gás ideal) aquecido de 300K 
para 1200K:
a) Usando a tabela de gases: 
T = 300K → h(molar) = 8.723 kJ/kmol
T = 1200K → h(molar) = 36.777 kJ/kmol
b) Integrando cp(T)
c) Assumindo o cp,cte
Use M = 28 kg/kmol
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Exercício: Determine a variação de entalpia para 1 kg de 
nitrogênio (considerando gás ideal) aquecido de 300K para 
1200K:
a) Usando a tabela de gases 
b) Integrando cp(T)
c) Assumindo o cp,cte
Use M = 28 kg/kmol
kJ 1.002
28
28.054
kmoles n∆hH molar ==⋅=∆
a) De acordo com a tabela de propriedades do nitrogênio:
T1 = 300K h(molar)= 8.723 kJ/kmol
T2= 1200K h(molar)= 36.777 kJ/kmol
Logo:
kJ/kmol054.28723.8777.3612 =−=−=∆ hhh
Em 1 kg de nitrogênio tem-se 1/28 kmoles. Assim:
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Exercício: Determine a variação de entalpia para 1 kg de 
nitrogênio (considerando gás ideal) aquecido de 300K para 
1200K:
a) Usando a tabela de gases ∆∆∆∆H= 1.002 kJ
b) Integrando cp(T)
c) Assumindo o cp,cte
Use M = 28 kg/kmol
325,1
100
40,820
100
70,072.1
100
79,51206,39
−−−






−





+





−=
TTT
c molarp
b) A expressão para cp molar(T) para o nitrogênio pela
tabela A-5 é:
Para um gás ideal: dT(T)c
2
1
T
T
p∫=∆h
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Exercício: Determine a variação de entalpia para 1 kg de 
nitrogênio (considerando gás ideal) aquecido de 300K para 
1200K:
a) Usando a tabela de gases ∆∆∆∆H= 1.002 kJ
b) Integrando cp(T)
c) Assumindo o cp,cte
Use M = 28 kg/kmol
dT
TTT
h ∫
−−−






−





+





−=∆
1200
300
325,1
100
40,820
100
70,072.1
100
79,51206,39
b) Assim:
kJ 1.003H
kJ/kmol093.28
=∆
=∆h
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Exercício: Determine a variação de entalpia para 1 kg de 
nitrogênio (considerando gás ideal) aquecido de 300K para 
1200K:
a) Usando a tabela de gases ∆∆∆∆H= 1.002 kJ
b) Integrando cp(T) ∆∆∆∆H= 1.003 kJ
c) Assumindo o cp,cte
Use M = 28 kg/kmol
c) Considerando cp= constante a partir da tabela A-7:
Cp,cte = 1,0416 kJ/kg K 
kgkJTc ctep /938)3001200(0416,1 =−=∆=∆h
Pelos valores encontrados, o resultado da integral é
praticamente o mesmo que o resultado das tabelas.
O resultado usando cpmédio constante levou a um erro de 6%.
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Razão entre os calores específicos 
(γγγγ)
v
g
v
p
c
R
1
c
c
+=
(T)
(T)c
(T)c
c
c
v
p
v
p γγ ==≡
1
R
c
1
R
c
g
p
g
v
-
 e 
- γ
γ
γ
==
Para a maioria dos gases γγγγ é quase constante com a 
temperatura e igual a 1,4.
γγγγ >1gvp Rcc +=
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Processos isotérmico e 
politrópico para gases ideais
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Processo isotérmico
• Para um gás ideal: PV = MRgT = constante
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Processo isotérmico
• O trabalho será:






== ∫
1
2
g
2
1
g
V
V
nTMR
V
dV
TMRW l
 
 
 
dV 
V
TMR
 PdVW
2 
1 
2 
1 
g
∫ ∫==
Como M,Rg e T são constantes:
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Processo politrópico
PVn = constantePVn = constante
n = 1 ⇒⇒⇒⇒ Isotérmico (temperatura constante)
n = γγγγ = Cp/Cv ⇒⇒⇒⇒ Adiabático (Q=0) 
n = 0 ⇒⇒⇒⇒ Isobárico (pressão constante)
n = ∞∞∞∞ ⇒⇒⇒⇒ Isocórico (volume constante)
PV1 = c
PVγ = c
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Processo politrópico
• Considerando que:• Considerando que:
n
1
2
2
1
n
22
n
11
n
V
V
P
P
constanteVPVP
constante PV






=
==
=
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Processo politrópico
• O trabalho será:
( )1n para 
n1
VV
c
n-1
V
v
v
c 
 
V
dV
c dV
V
c
 PdV W
n1
1
n1
2
n-1 2
1
2 
1 n
2 
1 
1
1
n
≠





−
−
=





=
===
−−
∫∫ ∫
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Processo politrópico
• O trabalho será:
( )
1n , 
n1
VPVP
W
n-1
VVP)(VVP
 W
1122
n1
1
n
11
n1
2
n
22
≠
−
−
=
−
=
−−
• Considerando que:
constanteVPVP n22
n
11 ==
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Resumo de processos politrópicos
1n , 
V
V
nTMRW
1n , 
n1
VPVP
W
dV
V
c
 PdV W
1
2
g
1122
2 
1 n
2 
1 
=





=
≠
−
−
=
== ∫∫
l
Por Prof. Eugênio S. Rosa
Profa. Dra. Carla K. N. CavalieroEM524 - Fenômenos de Transporte
Exercício 3) Um gás ideal em uma montagem pistão-cilindro é
submetido a um processo de expansão para a qual a relação 
entre pressão e volume é dada por: PVn = constante
A pressão inicial é 3 bar, o volume inicial é 0,1 m3 e o volume 
final é 0,2 m3. Determine o trabalho para o processo, em kJ, se:
a) n=1,5
b) n=1,0
c) n=0
Gás
PVn=cte
Estado inicial (1): P1 = 3 bar (300 kPa); V1 = 0,1 m3
Processo de expansão
Estado final (2): V2 = 0,2 m3
1W2 = ??
1n , 
V
V
nTMRW
1n , 
n1
VPVP
W
dV
V
c
 PdV W
1
2
g
1122
2 
1 n
2 
1 
=





=
≠
−
−
=
== ∫∫
l
Profa. Dra. Carla K. N. CavalieroEM524 - Fenômenos de Transporte
Exercício 3) Um gás em uma montagem pistão-cilindro é
submetido a um processo de expansão para a qual a relação 
entre pressão e volume é dada por: PVn = constante
A pressão inicial é 3 bar, o volume inicial é 0,1 m3 e o volume 
final é 0,2 m3. Determine o trabalho para o processo, em kJ, se:
a) n=1,5
b) n=1,0
c) n=0
Gás
PVn=cte
Estado inicial (1): P1 = 3 bar (300 kPa); V1 = 0,1 m3
Processo de expansão
Estado final (2): V2 = 0,2 m3
1W2 = ??
a) n = 1,5 
n1
VPVP
W 1122
−
−
=
n
1122 VPVP =
n
kPa
n
106
2,0
1,0
300
5,1
=





==
2
n
11
2
V
VP
P
kJ 17,6 
1,51
030,2*106
W =
−
−
=
1,*00
Profa. Dra. Carla K. N. CavalieroEM524 - Fenômenos de Transporte
Exercício 3) Um gás em uma montagem pistão-cilindro é
submetido a um processo de expansão para a qual a relação 
entre pressão e volume é dada por: PVn = constante
A pressão inicial é 3 bar, o volume inicial é 0,1 m3 e o volume 
final é 0,2 m3. Determine o trabalho para o processo, em kJ, se:
a) n=1,5
b) n=1,0
c) n=0
Gás
PVn=cte
Estado inicial (1): P1 = 3 bar (300 kPa); V1 = 0,1 m3
Processo de expansão
Estado final (2): V2 = 0,2 m3
1W2 = ??
b) n = 1,0 (processo isotérmico)
2g1g1122 TMRTMRVPVP ===
kJ 2 W 79,0
1,0
2,0
ln*1,0*300 =





=
V
V
nTMRW
1
2
g 





= l
Profa. Dra. Carla K. N. CavalieroEM524 - Fenômenos de Transporte
Exercício 3) Um gás em uma montagem pistão-cilindro é
submetido a um processo de expansão para a qual a relação 
entre pressão e volume é dada por: PVn = constante
A pressão inicial é 3 bar, o volume inicial é 0,1 m3 e o volume 
final é 0,2 m3. Determine o trabalho para o processo, em kJ, se:
a) n=1,5
b) n=1,0
c) n=0
Gás
PVn=cte
Estado inicial (1): P1 = 3 bar (300 kPa); V1 = 0,1 m3
Processo de expansão
Estado final (2): V2 = 0,2 m3
1W2 = ??
c) n = 0 (processo isobárico P=cte)
30kJ0,1)-300(0,2 W ==−== ∫
2
1
12 )( VVPPdV
Profa. Dra. Carla K. N. CavalieroEM524 - Fenômenos de Transporte
Exercícios - Capítulo 3
Propriedades de uma substância pura
Proposição de exercícios:
3.2 / 3.4 / 3.6 / 3.9 / 3.12 / 3.16 / 3.21 / 3.22 / 3.26 / 
3.32